高中数学必修五数列单元综合测试(含答案)之欧阳数创编

数列单元测

试题

命题人：张晓光

一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。)

1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S33－S22

＝1，则数列{a n }的公差是( ) A.12

B ．1

C ．2

D ．3 2．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若8a 2＋a 5＝0，则下列式子中数值不能确定的是( )

A.a5a3

B.S5S3

C.an ＋1an

D.Sn ＋1Sn

3．设数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋a n ＋1＝2，则a 2011的值为( )

A ．2

B ．1

C ．0

D ．－2

4．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈

N *

)且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的

值是( )

A ．－5

B ．－15

C ．5D.15

5．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分

别为A n 和B n ，且An Bn ＝7n ＋45n ＋3，则使得an bn

为正偶数时，n 的值可以是( )

A ．1

B ．2

C ．5

D ．3或11

6．各项都是正数的等比数列{a n }的公比

q ≠1，且a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a3＋a4a4＋a5

的值为( )

A.1－52

B.5＋12

C.5－12

D.5＋12或5－12

7．已知数列{a n }为等差数列，若a11a10

<－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使得S n >0的最大值n 为( )

A ．11

B ．19

C ．20

D ．21

8．等比数列{a n }中，a 1＝512，公比q ＝－12

，用Πn 表示它的前n 项之积：Πn ＝a 1·a 2·…·a n ，

则Πn 中最大的是( )

A ．Π11

B ．Π10

C ．Π9

D ．Π8

9．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝

1，S 3＝a 5，a m ＝2011，则m ＝( )

A ．1004

B ．1005

C ．1006

D ．1007

10．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝6n －4，数

列{b n }的通项公式为b n ＝2n ，则在数列{a n }

的前100项中与数列{b n }中相同的项有

( )

A ．50项

B ．34项

C ．6项

D ．5项

二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上)

11．已知数列{a n}满足：a n＋1＝1－1

an

，a1＝2，

记数列{a n}的前n项之积为P n，则P2011＝________.

12．秋末冬初，流感盛行，荆门市某医院近30天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{a n}，已知a1＝1，a2＝2，且a n＋2－a n＝1＋(－1)n(n∈N*)，则该医院30天入院治疗流感的人数共有________人．13．已知等比数列{a n}中，各项都是正数，且

a1，1

2

a3,2a2成等差数列，则

a3＋a10

a1＋a8

＝

________.

14．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，且从上到下所有公比相等，则a＋b

15n1n n＋1x2－

(2n＋1)x＋1

bn

＝0的两个根，则数列{b n}的前n项和S n＝________．

三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)已知等差数列{a n}的前

n 项和为S n ＝pn 2－2n ＋q (p ，q ∈R )，n ∈N *.

(1)求q 的值；

(2)若a 3＝8，数列{b n }满足a n ＝4log 2b n ，求数列{b n }的前n 项和．

17．(本小题满分12分)等差数列{a n }的各项均

为正数，a 1＝3，前n 项和为S n ，{b n }为等比数列， b 1＝1，且b 2S 2＝64，b 3S 3＝960.

(1)求a n 与b n ；

(2)求1S1＋1S2＋…＋1Sn

的值． 18．(本小题满分12分)已知数列{b n }前n 项和

为S n ，且b 1＝1，b n ＋1＝13

S n . (1)求b 2，b 3，b 4的值；

(2)求{b n }的通项公式；

(3)求b 2＋b 4＋b 6＋…＋b 2n 的值．

19．(本小题满分12分)已知f (x )＝m x (m 为常

数，m >0且m ≠1)．设f (a 1)，f (a 2)，…，f (a n )…(n ∈N )是首项为m 2，公比为m 的等比数列．

(1)求证：数列{a n }是等差数列；

(2)若b n ＝a n f (a n )，且数列{b n }的前n 项和为S n ，当m ＝2时，求S n ；

(3)若c n ＝f (a n )lg f (a n )，问是否存在m ，使

得数列{c n }中每一项恒小于它后面的项？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．

20．(本小题满分13分)将函数f (x )＝sin 14

x ·sin 14(x ＋2π)·sin 12

(x ＋3π)在区间(0，＋∞)内的全部最值点按从小到大的

顺序排成数列{a n }(n ∈N *)．

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝2n a n ，数列{b n }的前n 项和为

T n ，求T n 的表达式．

21．(本小题满分14分)数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)．

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)若数列{b n }满足：a n ＝b13＋1＋b232＋1

＋b333＋1＋…＋bn 3n ＋1

，求数列{b n }的通项公式； (3)令c n ＝anbn 4

(n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和T n .

数列单元测试题

命题人：张晓光

一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的。)

1．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S33－S22

＝1，则数列{a n }的公差是( ) A.12

B ．1

C ．2

D ．3 [答案]C[解析]设{a n }的公差为d ，则S n ＝

na 1＋n n －12d ， ∴{Sn n }是首项为a 1，公差为d 2

的等差数列，∵S33－S22＝1，∴d 2

＝1，∴d ＝2. 2．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若8a 2＋a 5＝0，则下列式子中数值不能确定的是( )

A.a5a3

B.S5S3

C.an ＋1an

D.Sn ＋1Sn

[答案]D[解析]等比数列{a n }满足8a 2＋a 5＝

0，即a 2(8＋q 3)＝0，∴q ＝－2，∴a5a3

＝q 2＝4，an ＋1an ＝q ＝－2，S5S3＝a11－q

51－q a 11－q 31－q

＝1－q51－q3

＝113，都是确定的数值，但Sn ＋1Sn ＝1－qn ＋11－qn 的值随n 的变化而变化，故选D.

3．设数列{a n }满足a 1＝0，a n ＋a n ＋1＝2，则a 2011的值为( )

A ．2

B ．1

C ．0

D ．－2

[答案]C[解析]∵a 1＝0，a n ＋a n ＋1＝2，∴a 2＝2，a 3＝0，a 4＝2，a 5＝0，…，即a 2k －1＝0，a 2k ＝2，∴a 2011＝0.

4．已知数列{a n }满足log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈

N *)且a 2＋a 4＋a 6＝9，则log 13(a 5＋a 7＋a 9)的

值是( )

A ．－5

B ．－15

C ．5D.15

[答案]A[分析]根据数列满足log 3a n ＋1＝

log 3a n ＋1(n ∈N *)．由对数的运算法则，得出a n ＋1

与a n 的关系，判断数列的类型，再结合a 2＋a 4＋a 6＝9得出a 5＋a 7＋a 9的值．

[解析]由log 3a n ＋1＝log 3a n ＋1(n ∈N *)得，

a n ＋1＝3a n ，∴数列{a n }是公比等于3的等比数列，

∴a 5＋a 7＋a 9＝(a 2＋a 4＋a 6)×33＝35，∴

log 13(a 5＋a 7＋a 9)＝－log 335

＝－5.

5．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分

别为A n 和B n ，且An Bn ＝7n ＋45n ＋3，则使得an bn

为正偶数时，n 的值可以是( )

A ．1

B ．2

C ．5

D ．3或11

[答案]D[解析]∵{a n }与{b n }为等差数列，∴an bn ＝2an 2bn ＝a1＋a2n －1b1＋b2n －1＝A2n －1B2n －1＝14n ＋382n ＋2＝7n ＋19n ＋1

，将选项代入检验知选D. 6．各项都是正数的等比数列{a n }的公比

q ≠1，且a 2，12a 3，a 1成等差数列，则a3＋a4a4＋a5

的值为( ) A.1－52 B.5＋12 C.5－12 D.5＋12或5－12

[答案]C[解析]∵a 2，12a 3，a 1成等差数列，∴a 3＝a 2＋a 1，

∵{a n }是公比为q 的等比数列，∴a 1q 2＝

a 1q ＋a 1，∴q 2－q －1＝0，∵q >0，∴q ＝5＋12

. ∴a3＋a4a4＋a5＝1q ＝5－12

，故选C. 7．已知数列{a n }为等差数列，若a11a10

<－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使得S n >0的最大值n 为( )

A ．11

B ．19

C ．20

D ．21

[答案]B[解析]∵S n 有最大值，∴a 1>0，

d <0，∵a11a10

<－1， ∴a 11<0，a 10>0，∴a 10＋a 11<0，∴S 20＝20a 1＋a 202

＝10(a 10＋a 11)<0， 又S 19＝19a 1＋a 192

＝19a 10>0，故选B. 8．等比数列{a n }中，a 1＝512，公比q ＝－12

，用Πn 表示它的前n 项之积：Πn ＝a 1·a 2·…·a n ，

则Πn 中最大的是( )

A ．Π11

B ．Π10

C ．Π9

D ．Π8

解析：Πn ＝a 1a 2…a n ＝a n 1·q 1＋2＋…＋n －1＝

29n ? ?????－12n －1n 2＝(－1)n n －12

2－n2＋19n 2，∴当

n ＝9时，Πn 最大．故选C

9．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝

1，S 3＝a 5，a m ＝2011，则m ＝( )

A ．1004

B ．1005

C ．1006

D ．1007

[答案]C[解析]由条件知????? a1＝13a1＋3×22d ＝a1＋4d ，∴????? a1＝1d ＝2，

∵a m ＝a 1＋(m －1)d ＝1＋2(m －1)＝2m －1＝2011，∴m ＝1006，故选C.

10．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝6n －4，数

列{b n }的通项公式为b n ＝2n ，则在数列{a n }

的前100项中与数列{b n }中相同的项有

( )

A ．50项

B ．34项

C ．6项

D ．5项

[答案]D[解析]a 1＝2＝b 1，a 2＝8＝b 3，a 3＝

14，a 4＝20，a 5＝26，a 6＝32＝b 5，又b 10＝210＝

1024>a 100，b 9＝512，令6n －4＝512，则n ＝86，∴a 86＝b 9，b 8＝256，令6n －4＝256，∵n ∈Z ，∴无解，b 7＝128，令6n －4＝128，则n ＝22，∴a 22＝b 7，b 6＝64＝6n －4无解，综上知，数列{a n }的前100项中与{b n }相同的项有5项．

二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上)

11．已知数列{a n }满足：a n ＋1＝1－1an

，a 1＝2，记数列{a n }的前n 项之积为P n ，则P 2011＝________.

[答案]2

[解析]a 1＝2，a 2＝1－12＝12

，a 3＝1－2＝－1，a 4＝1－(－1)＝2，∴{a n }的周期为3，且a 1a 2a 3＝－1，∴P 2011＝(a 1a 2a 3)670·a 2011＝(－1)670·a 1＝2.

12．秋末冬初，流感盛行，荆门市某医院近30

天每天入院治疗流感的人数依次构成数列{a n }，已知a 1＝1，a 2＝2，且a n ＋2－a n ＝1

＋(－1)n (n ∈N *)，则该医院30天入院

治疗流感的人数共有________人．

[答案]255

[解析]∵a n ＋2－a n ＝1＋(－1)n (n ∈N *)，

∴n 为奇数时，a n ＋2＝a n ，n 为偶数时，a n ＋2－a n ＝2，即数列{a n }的奇数项为常数列，偶数项构成以2为首项，2为公差的等差数列．

故这30天入院治疗流感人数共有15＋

(15×2＋15×142

×2)＝255人． 13．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且

a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a3＋a10a1＋a8

＝________.

[答案]3－22

[解析]∵a1，1

2

a3,2a2成等差数列，∴a3＝a1

＋2a2，设数列{a n}公比为q，则a1q2＝a1＋2a1q，∵a1≠0，∴q2－2q－1＝0，∴q＝－1±2，∵a n>0，∴q＝2－1，

∴a3＋a10

a1＋a8

＝q2＝3－2 2.

14．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，且从上到下所有公比相等，则a＋b

[

[解析]由横行成等差数列知，6下边为3，从纵列成等比数列及所有公比相等知，公比q＝2，∴b＝2×2＝4由横行等差知c下边

为4＋6

2

＝5，故c＝5×2＝10，由纵列公比为2

知a＝1×23＝8，∴a＋b＋c＝22.

15．数列{a n}中，a1＝1，a n、a n＋1是方程x2－

(2n＋1)x＋1

bn

＝0的两个根，则数列{b n}的前n项和S n＝________．

[答案]

n

n＋1

[解析]由题意得a n＋a n＋1＝2n

＋1，又∵a n－n＝－[a n＋1－(n＋1)]，a1＝1

∴a n＝n，又a n·a n＋1＝

1

bn

，∴b n＝

1

n n＋1.∴S n＝b1＋b2＋…＋b n＝1－

1

n＋1

＝.

三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 16．(本小题满分12分)(2011·甘肃天水期末)已知等差数列{a n}的前n项和为S n＝pn2－

2n＋q(p，q∈R)，n∈N*.

(1)求q的值；

(2)若a3＝8，数列{b n}满足a n＝4log2b n，求数列{b n}的前n项和．

[解析](1)当n＝1时，a1＝S1＝p－2＋q，

当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝pn2－2n＋q－p(n－1)2＋2(n－1)－q＝2pn－p－2

∵{a n}是等差数列，∴p－2＋q＝2p－q－2，∴q＝0.

(2)∵a3＝8，a3＝6p－p－2，∴6p－p－2＝8，∴p＝2，

∴a n＝4n－4，

又a n＝4log2b n，得b n＝2n－1，故{b n}是以1为首项，2为公比的等比数列．

所以数列{b n}的前n项和T n＝1－2n

1－2

＝

2n－1.

17．(本小题满分12分)等差数列{a n}的各项均为正数，a1＝3，前n项和为S n，{b n}为等比数列，b1＝1，且b2S2＝64，b3S3＝960.

(1)求a n 与b n ；

(2)求1S1＋1S2＋…＋1Sn 的值． 解：(1)设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则d 为正数，a n ＝3＋(n －1)d ，b n ＝q n －1，

依题意有????? S2b2＝6＋d q ＝64S 3b 3＝9＋3d q 2＝960，

解得????? d ＝2q ＝8 或????? d ＝－65q ＝403(舍

去)，

故a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，b n ＝8n －1.

(2)由(1)知S n ＝3＋5＋…＋(2n ＋1)＝

n (n ＋2)，所以1S1＋1S2＋…＋1Sn ＝11×3

＋12×4＋13×5＋…＋1n n ＋2

＝12? ??

???1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12? ??

???1＋12－1n ＋1－1n ＋2＝34－2n ＋32n ＋1n ＋2

. 18．(本小题满分12分)已知数列{b n }前n 项和

为S n ，且b 1＝1，b n ＋1＝13S n . (1)求b 2，b 3，b 4的值； (2)求{b n }的通项公式；

(3)求b 2＋b 4＋b 6＋…＋b 2n 的值．

[解析](1)b 2＝13S 1＝13b 1＝13，b 3＝13S 2＝13

(b 1＋b 2)＝49，b 4＝13S 3＝13(b 1＋b 2＋b 3)＝1627

. (2)????? bn ＋1＝13Sn ①bn ＝13Sn －1②

①－②解b n ＋1－b n ＝13b n ，∴b n ＋1＝43

b n ， ∵b 2＝13，∴b n ＝13·? ??

???43n －2 (n ≥2) ∴b n ＝????? 1n ＝113·? ?????43n －2n ≥2.

(3)b 2，b 4，b 6…b 2n 是首项为13，公比? ??

???432的等比数列，

∴b 2＋b 4＋b 6＋…＋b 2n ＝13[1－432n ]1－? ??

???432

＝3

7[(

4

3

)2n－1]．

19．(本小题满分12分)已知f(x)＝m x(m为常数，m>0且m≠1)．设f(a1)，f(a2)，…，f(a n)…(n∈N)是首项为m2，公比为m的等比数列．

(1)求证：数列{a n}是等差数列；

(2)若b n＝a n f(a n)，且数列{b n}的前n项和为S n，当m＝2时，求S n；

(3)若c n＝f(a n)lg f(a n)，问是否存在m，使

得数列{c n}中每一项恒小于它后面的

项？若存在，求出m的取值范围；若不

存在，请说明理由．

[解析](1)由题意f(a n)＝m2·m n－1，即ma n ＝m n＋1.

∴a n＝n＋1，∴a n＋1－a n＝1，

∴数列{a n}是以2为首项，1为公差的等差数列．

(2)由题意b n＝a n f(a n)＝(n＋1)·m n＋1，

当m＝2时，b n＝(n＋1)·2n＋1，

∴S n＝2·22＋3·23＋4·24＋…＋(n＋

1)·2n＋1①

①式两端同乘以2得，

2S n＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋n·2n＋1＋(n＋1)·2n＋2②

②－①并整理得，

S n＝－2·22－23－24－25－…－2n＋1＋(n＋1)·2n＋2

＝－22－(22＋23＋24＋…＋2n＋1)＋(n＋

1)·2n ＋2

＝－22－221－2n 1－2

＋(n ＋1)·2n ＋2 ＝－22＋22(1－2n )＋(n ＋1)·2n ＋2＝2n ＋2·n .

(3)由题意c n ＝f (a n )·lg f (a n )＝m n ＋1·lg m

n ＋1＝(n ＋1)·m n ＋1·lg m ，

要使c n

即(n ＋1)·m n ＋1·lg m <(n ＋2)·m

n ＋2·lg m ，对一切n ∈N *成立，

①当m >1时，lg m >0，所以n ＋1

对一切n ∈N *恒成立；

②当0

>m 对一切n ∈N *成立，

因为n ＋1n ＋2＝1－1n ＋2的最小值为23

，所以0

. 综上，当0

或m >1时，数列{c n }中每一项恒小于它后面的项．

20．(本小题满分13分)将函数f (x )＝sin 14

x ·sin 14(x ＋2π)·sin 12

(x ＋3π)在区间(0，＋∞)内的全部极值点按从小到大的

顺序排成数列{a n }(n ∈N *)．

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)设b n ＝2n a n ，数列{b n }的前n 项和为

T n ，求T n 的表达式．

[解析](1)化简f (x )＝sin 14x ·sin 14

(x ＋2π)·sin 12

(x ＋3π) ＝sin x 4cos x 4·? ?????－cos x 2＝－14

sin x 其极值点为x ＝k π＋π2

(k ∈Z )， 它在(0，＋∞)内的全部极值点构成以π2

为首项，π为公差的等差数列，

a n ＝π2＋(n －1)·π＝2n －12

π(n ∈N *)． (2)b n ＝2n a n ＝π2

(2n －1)·2n ∴T n ＝π2

[1·2＋3·22＋…＋(2n －3)·2n －1＋(2n －1)·2n ]

2T n ＝π2

[1·22＋3·23＋…＋(2n －3)·2n ＋(2n －1)·2n ＋1]

相减得，－T n ＝π2

[1·2＋2·22＋2·23＋…＋2·2n －(2n －1)·2n ＋1]

∴T n ＝π[(2n －3)·2n ＋3]．

21．(本小题满分14分)数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n (n ＋1)(n ∈N *)．

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)若数列{b n }满足：a n ＝b13＋1＋b232＋1

＋b333＋1＋…＋bn 3n ＋1

，求数列{b n }的通项公式； (3)令c n ＝anbn 4

(n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和T n .

[解析](1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝2， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n (n ＋1)－(n －

1)n ＝2n ，知a 1＝2满足该式

∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n .

(2)a n ＝b13＋1＋b232＋1＋b333＋1＋…＋bn 3n ＋1

(n ≥1)①

∴a n ＋1＝b13＋1＋b232＋1＋b333＋1＋…＋bn 3n ＋1

＋bn ＋13n ＋1＋1

② ②－①得，bn ＋13n ＋1＋1

＝a n ＋1－a n ＝2，b n ＋1＝2(3n ＋1＋1)，

故b n ＝2(3n ＋1)(n ∈N *)．

(3)c n ＝anbn 4

＝n (3n ＋1)＝n ·3n ＋n ， ∴T n ＝c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝(1×3＋2×3

2＋3×33＋…＋n ×3n )＋(1＋2＋…＋n )

令H n ＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n ×3n ，

①

则3H n ＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n ×3

n ＋1

②

①－②得，－2H n ＝3＋32＋33＋ (3)

－

n ×3n ＋1＝31－3n 1－3

－n ×3n ＋1 ∴H n ＝2n －1×3n ＋1＋34

， ∴数列{c n }的前n 项和

T n ＝2n －1×3n ＋1＋34＋n n ＋12

. 时间：2021.03.02

创作：欧阳数