函数和导数复习(1)

函数与导数复习（1）

学习目标：理解基本函数的性质（函数值，定义域，值域，单调性，奇偶性，周期性，图像性质）理解导数的几何意义导数公式运算法则，利用导数求单调性和极值。 一、概念回顾

二、重点难点分析

1、函数的零点和极值点

2、利用导数求函数的单调性

3、函数的图像（对称性和特殊点，构造函数解决问题） 三、例题精选

1.函数12

1()()2

x

f x x =-的零点个数为（ ） A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3 2．设函数()2

ln f x x x

=

+，则（ ） A ．1

2x =

为()f x 的极大值点 B ．1

2

x =

为()f x 的极小值点 C ．2x =为()f x 的极大值点 D ．2x =为 ()f x 的极小值点

【解析】()22212

'x f x x x x

-=-

+=，令()'0f x =，则2x =． 当2x <时，()22212

'0x f x x x x -=-+=<；

当2x >时，()22212

'0x f x x x x

-=-+=>．

即当2x <时，()f x 是单调递减的；当2x >时，()f x 是单调递增的． 所以2x =是()f x 的极小值点．故选D ． 3.已知函数()ln (), 2.71828x

x k

f x k e e

+=

=L 为常数是自然对数的底数，曲线()y f x =在点()()11f ，处的切线与x 轴平行。

()k Ⅰ求的值；()()f x Ⅱ求的单调区间；

()()()()()()2,.0,1.

g x xf x f x f x x g x e -''=><+Ⅲ设其中为的导函数 证明：对任意考点：导数，几何意义，单调性。

解：（Ⅰ）

()()()()()()()ln +=

,1ln ,0,,1,.10, 1.

x

x x k

f x e

kx x x

f x x xe

y f x f x x f k --'=∈+∞='==由得 由于曲线在处的切线与轴平行所以 因此

（Ⅱ）

()()()()()()()()()()()()()()()()()1

1ln ,0,,1ln ,0,,

0,1,0;1,,0.

0,

0,1,0;

1,,0.

0,11,.

x x

f x x x x x xe

h x x x x x x h x x h x e x f x x f x f x '=

--∈+∞=--∈+∞∈>∈+∞<>'∈>'∈+∞<+∞由Ⅰ得令当时当时又所以 因此 的单调增区间为，单调减区间为

（Ⅲ）

因为 ()()=,g x xf x ' 所以 ()()()1

=

1--ln ,0+.x g x x x x x e

∈∞， 由（Ⅱ） ()1ln ,h x x x x =--

求导得 ()()

2ln 2ln ln ,h x x x e -'=--=--

所以 当()

()()20,,0,x e h x h x -'∈>时函数单调递增； 当()

()()2,+,<0,.x e h x h x -'∈∞时函数单调递减 所以 当()()()

-2-20,+,=1+.x h x h e e ∈∞≤时 又 当()1

0,,01,x

x e ∈+∞<<时 所以 当()()()22

10,,1,1.x x h x e g x e e

--∈+∞<+<+时即 综上所述结论成立。

4．（本小题满分12分） 已知函数3

21()3

f x x x ax =

++． （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；

（Ⅱ）设()f x 有两个极值点12,x x ，若过两点11(,())x f x ，22(,())x f x 的直线l 与x 轴的交点在曲线()y f x =上，求a 的值。

【命题意图】本试题考查了导数在研究函数中的运用。第一问就是三次函数，通过求解导数求解单调区间。另外就是运用极值概念，求解参数值的运用。

解：（1）依题意可得2

()2f x x x a '=++

当440a ?=-≤即1a ≥时，2

20x x a ++≥恒成立，故()0f x '≥，所以函数()f x 在R 上

单调递增；

当440a ?=->即1a <时，

2()20

f x x x a '=++=有两个相异实根

122112

x x --=

=--=-+12x x <

故由2

()20f x x x a '=++>?(,1x ∈-∞-或(1)x ∈-+∞，此时()

f x 单调递增

由2

()2011f x x x a x '=++

综上可知

当1a ≥时，()f x 在R 上单调递增；当1a <时，()f x 在(,1x ∈-∞-上单调递增，

在(1)x ∈-++∞单调递增，在(11---+单调递减。 （2）由题设知，12,x x 为方程()0f x '=的两个根，故有

2211221,2,2a x x a x x a <=--=--

因

此

322211111111111111112122()(2)(2)(1)33333333

a f x x x ax x x a x ax x ax x a ax a x =++=--++=+=--+=--

同理222()(1)33

a

f x a x =--

因此直线l 的方程为2(1)33

a

y a x =--

设l 与x 轴的交点为0(,0)x ，得02(1)

a

x a =

-

而2232

203

1()()()(12176)32(1)2(1)2(1)24(1)

a a a a f x a a a a a a =++=-+---- 由题设知，点0(,0)x 在曲线()y f x =的上，故0()0f x =，解得0a =或23a =或3

4

a = 所以所求a 的值为0a =或23a =

或3

4

a =。 【点评】试题分为两问，题面比较简单，给出的函数比较常规，这一点对于同学们来说没有难度，但是解决的关键还是要看导数的符号对函数单调性的影响，求解函数的单调区间。第二问中，运用极值的问题，和直线方程的知识求解交点，得到参数的值。

5．（2012年江苏省16分）若函数)(x f y =在0x x =处取得极大值或极小值，则称0x 为函数)(x f y =的极值点。

已知a b ，是实数，1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点． （1）求a 和b 的值；

（2）设函数()g x 的导函数()()2g x f x '=+，求()g x 的极值点；

（3）设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，，求函数()y h x =的零点个数． 【答案】解：（1）由32()f x x ax bx =++，得2()32f'x x ax b =++。 ∵1和1-是函数32()f x x ax bx =++的两个极值点，

∴ (1)32=0f'a b =++，(1)32=0f'a b -=-+，解得==3a b -0，。 （2）∵ 由（1）得，3()3f x x x =- ，

∴()()2

3()()2=32=12g x f x x x x x '=+-+-+，解得123==1=2x x x -，。 ∵当2x <-时，()0g x <'；当21'， ∴=2x -是()g x 的极值点。

∵当21时，()0g x >'，∴ =1x 不是()g x 的极值点。 ∴()g x 的极值点是－2。

（3）令()=f x t ，则()()h x f t c =-。

先讨论关于x 的方程()=f x d 根的情况：[]2, 2d ∈-

当=2d 时，由（2 ）可知，()=2f x -的两个不同的根为I 和一2 ，注意

到()f x 是奇函数，∴()=2f x 的两个不同的根为一和2。

当

2d <时，∵(1)=(2)=20f d f d d >----，

(1)=(2)=20f d f d d <----- ，

∴一2 , －1，1 ，2 都不是()=f x d 的根。 由（1）知()()()=311f'x x x +-。

① 当()2x ∈+∞，

时，()0f'x > ，于是()f x 是单调增函数，从而()(2)=2f x >f 。

此时()=f x d 在()2+∞，

无实根。 ② 当()1 2

x ∈，时．()0f'x >，于是()f x 是单调增函数。 又∵(1)0f d <-，(2)0f d >-，=()y f x d -的图象不间断， ∴()=f x d 在（1 , 2 ）内有唯一实根。

同理，()=f x d 在（一2 ，一I ）内有唯一实根。

③ 当()1

1x ∈-，时，()0f'x <，于是()f x 是单调减两数。 又∵(1)0f d >--， (1)0f d <-，=()y f x d -的图象不间断， ∴()=f x d 在（一1，1 ）内有唯一实根。

因此，当=2d 时，()=f x d 有两个不同的根12x x ，满足12=1 =2x x ，

；当2d < 时

()=f x d 有三个不同的根315x x x ，，，满足2 =3, 4, 5i x

。 现考虑函数()y h x =的零点：

( i ）当=2c 时，()=f t c 有两个根12t t ，，满足12==2t t 1，

。 而1()=f x t 有三个不同的根，2()=f x t 有两个不同的根，故()y h x =有5 个

零点。

( 11 ）当2c <时，()=f t c 有三个不同的根345t t t ，，，满足

2 =3, 4, 5i t

而() =3,() 4, = 5i f x t i 有三个不同的根，故()y h x =有9 个零点。

综上所述，当=2c 时，函数()y h x =有5 个零点；当2c <时，函数()

y h x =有9 个零点。

【考点】函数的概念和性质，导数的应用。

【解析】（1）求出)(x f y =的导数，根据1和1-是函数)(x f y =的两个极值点代入列方程组求解即可。

（2）由（1）得，3()3f x x x =-，求出()g x '，令()=0g x '，求解讨论即可。 （3）比较复杂，先分=2d 和2d <讨论关于x 的方程()=f x d 根的情况；再考虑函数()y h x =的零点。 练习（8）函数2

1ln 2

y x x =

-的单调递减区间为 （A ）（-1,1] （B ）（0,1] （C.）[1，+∞） （D ）（0，+∞） 【命题意图】本题主要考查利导数公式以及用导数求函数的单调区间，属于中档题。 【解析】211

ln ,,00,02y x x y x y x x x x

''=-∴=->∴

9．设定义在R 上的函数()f x 是最小正周期为2π的偶函数，()f x '是()f x 的导函数．当x ∈[0,π] 时，0＜

()f x ＜1； 当x ∈（0，π） 且2

x π≠

时 ，()()

2

x f x π

'-

＞0 ．则函数()sin y f x x =-在[-2π，2π] 上的零点个数为（ Ｂ ） A ．2 B ．4 C ．5 D ． 8

【答案】Ｂ

【解析】由当x ∈（0，π） 且x ≠

2

π

时 ，()()02x f x π'->，知

0,()0,()2x f x f x π??'∈

'∈> ???

，时,为增函数

又[]0,x π∈时，0＜f (x )＜1，在R 上的函数f (x )是最小正周期为2π的偶函数，在同一坐标系中作出sin y x =和()y f x =草图像如下，由图知y=f(x)-sinx 在[-2π，2π] 上的零点个数为4个.

【点评】本题考查函数的周期性、奇偶性、图像及两个图像的交点问题.

6（本小题满分12分）

已知函数()sin()(,0,0

2

f x A x x R

π

ω?ωω

=+∈><<的部分图像如图5所示.

（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；

（Ⅱ）求函数()()()

1212

g x f x f x

ππ

=--+的单调递增区间.

【解析】（Ⅰ）由题设图像知，周期

1152

2(),2

1212

T

T

πππ

πω

=-=∴==.

因为点

5

(,0)

12

π

在函数图像上，所以

55

sin(2)0,sin()0

126

A

ππ

??

?+=+=

即.

又

5545

0,,=

26636

πππππ

???π

<<∴<+<+

Q从而，即=

6

π

?.

又点0,1

（）在函数图像上，所以sin1,2

6

A A

π

==，故函数f（x）的解析式为

()2sin(2).

6

f x x

π

=+

（Ⅱ）

()2sin22sin2

126126

g x x x

ππππ

????

????

=-+-++

? ?

????

????

????

2sin22sin(2)

3

x x

π

=-+

13

2sin22(sin22)

22

x x x

=-+

x

y

o

2π

2π

-

1

1-

sin

y x

=

()

y f x

=

sin 22x x =

2sin(2),3

x π

=-

由222,2

3

2

k x k π

π

π

ππ-

≤-

≤+

得5,.12

12

k x k k z π

π

ππ-

≤≤+

∈ ()g x ∴的单调递增区间是5,,.1212k k k z ππππ?

?-+∈???

?

【点评】本题主要考查三角函数的图像和性质.第一问结合图形求得周期

1152(),1212T πππ=-=从而求得22T

π

ω==.再利用特殊点在图像上求出,A ?，从而求出f

（x ）的解析式；第二问运用第一问结论和三角恒等变换及sin()y A x ω?=+的单调性求得. 练习2．函数()cos2f x x x =在区间[0,2π]上的零点的个数为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．5

7．已知定义在区间[0,2]上的函数 ()y f x =的图象如图所示，

则(2)y f x =--的图象为

1. 函数)4

sin()(π-=x x f 的一个零点是（ ）

A ．4

π

=

x B ．2

π

=

x C ．4

π

-

=x D ．2

π

-

=x

考点：三角函数的对称性。 难度：中。

分析：本题考查的知识点为三角函数的性质，熟记三角函数的对称轴的公式即可。 解答：令)(24Z k k x ∈+=

-

ππ

π

，

则)(4

3Z k k x ∈+=ππ,

当1-=k 时，4

π

-

=x 。

练习3．（本小题满分12分）

设函数22()sin cos cos f x x x x x ωωωωλ=+?-+()x ∈R 的图象关于直线πx =对

第6题图

A

B

C

D

称，其中ω，λ为常数，且1

(,1)2

ω∈.

（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；

（Ⅱ）若()y f x =的图象经过点π

(,0)4，求函数()f x 的值域.

练习4．（本小题满分14分）

设函数()(1) (0)n f x ax x b x =-+>，n 为正整数，a ，b 为常数. 曲线()y f x =在(1,(1))f 处的切线方程为1x y +=. （Ⅰ）求a ，b 的值；

（Ⅱ）求函数()f x 的最大值； （Ⅲ）证明：1()e

f x n <

.

18．解：（Ⅰ）因为22()sin cos cos f x x x x x ωωωωλ=-+?+

cos 22x x ωωλ=-+π

2sin(2)6

x ωλ=-+.

由直线πx =是()y f x =图象的一条对称轴，可得π

sin(2π)16ω-=±，

所以ππ2ππ()62k k ω-

=+∈Z ，即1

()23

k k ω=+∈Z ． 又1

(,1)2ω∈，k ∈Z ，所以1k =，故56ω=.

所以()f x 的最小正周期是

6π

5

. （Ⅱ）由()y f x =的图象过点π(,0)4，得π

()04

f =，

即5πππ

2sin()2sin 6264

λ=-?-=-=，即λ=.

故5π

()2sin()36

f x x =-()f x 的值域为[22---.

22．解：（Ⅰ）因为(1)f b =，由点(1,)b 在1x y +=上，可得11b +=，即0b =.

因为1()(1)n n f x anx a n x -'=-+，所以(1)f a '=-.

又因为切线1x y +=的斜率为1-，所以1a -=-，即1a =. 故1a =，0b =. （Ⅱ）由（Ⅰ）知，1()(1)n n n f x x x x x +=-=-，1()(1)(

)1

n n

f x n x x n -'=+-+. 令()0f x '=，解得1n x n =+，即()f x '在(0,)+∞上有唯一零点01

n x n =+. 在(0,

)1

n

n +上，()0f x '>，故()f x 单调递增；