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【初中】数学竞赛试题及答案汇编

（1998-2018）

1998年全国初中数学竞赛试卷 (1)

1999年全国初中数学竞赛试卷 (6)

2000年全国初中数学竞赛试题解答 (9)

2001年TI杯全国初中数学竞赛试题B卷 (14)

2002年全国初中数学竞赛试题 (15)

2003年“TRULY?信利杯”全国初中数学竞赛试题 (17)

2004年“TRULY?信利杯”全国初中数学竞赛试题 (25)

2005年全国初中数学竞赛试卷 (30)

2006年全国初中数学竞赛试题 (32)

2007年全国初中数学竞赛试题 (38)

2008年全国初中数学竞赛试题 (46)

2009年全国初中数学竞赛试题 (47)

2010年全国初中数学竞赛试题 (52)

2011年全国初中数学竞赛试题 (57)

2012年全国初中数学竞赛试题 (60)

2013年全国初中数学竞赛试题 (73)

2014年全国初中数学竞赛预赛 (77)

2015年全国初中数学竞赛预赛 (85)

2016年全国初中数学联合竞赛试题 (94)

2017年全国初中数学联赛初赛试卷 (103)

2018 年初中数学联赛试题 (105)

1998年全国初中数学竞赛试卷

一、选择题：（每小题6分，共30分）

1、已知a 、b 、c 都是实数，并且c b a >>，那么下列式子中正确的是（）（Ａ）bc ab >（Ｂ）c b b a +>+（Ｃ）c b b a ->-（Ｄ）

c a > 2、如果方程()0012

>=++p px x 的两根之差是1，那么p 的值为（）（Ａ）2（Ｂ）4（Ｃ）3（Ｄ）5

3、在△ABC 中，已知BD 和CE 分别是两边上的中线，并且BD ⊥CE ，BD=4，CE=6，那么△ABC 的面积等于（）（Ａ）12（Ｂ）14（Ｃ）16（Ｄ）18

4、已知0≠abc ，并且

p b

c a c b c b a =+=+=+，那么直线p px y +=一定通过第（）象限（Ａ）一、二（Ｂ）二、三（Ｃ）三、四（Ｄ）一、四 5、如果不等式组???<-≥-0

9b x a x 的整数解仅为1，2，3，那么适合这个不等式组的整数a 、b 的有序数对（a 、b ）共有

（）

（Ａ）17个（Ｂ）64个（Ｃ）72个（Ｄ）81个

二、填空题：（每小题6分，共30分）

6、在矩形ABCD 中，已知两邻边AD=12，AB=5，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD ，PF ⊥AC ，E 、F 分别是垂足，那么PE+PF=___________。

7、已知直线32+-=x y 与抛物线2

x y =相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，那么△OAB 的面积等于___________。 8、已知圆环内直径为acm ，外直径为bcm ，将50个这样的圆环一个接一个环套地连成一条锁链，那么这条锁链拉直后的长度为___________cm 。

9、已知方程(

)

015132832

=+-+--a a x a a x a （其中a 是非负整数），至少有一个整数根，那么a=___________。 10、B 船在A 船的西偏北450处，两船相距210km ，若A 船向西航行，B 船同时向南航行，且B 船的速度为A 船速度的2倍，那么A 、B 两船的最近距离是___________km 。

三、解答题：（每小题20分，共60分）

11、如图，在等腰三角形ABC 中，AB=1，∠A=900，点E 为腰AC 中点，点F

在底边BC 上，且FE ⊥BE ，求△CEF 的面积。

12、设抛物线()4

2122++++=a x a x y 的图象与x 轴

只有一个交点，（1）求

a 的值；（2）求6

18323-+a a 的值。

13、A市、B市和C市有某种机器10台、10台、8台，现在决定把这些机器支援给D市18台，E市10台。已知：从A市调运一台机器到D市、E市的运费为200元和800元；从B市调运一台机器到D市、E市的运费为300元和700元；从C市调运一台机器到D市、E市的运费为400元和500元。

（1）设从A市、B市各调x台到D市，当28台机器调运完毕后，求总运费W（元）关于x（台）的函数关系式，并求W的最大值和最小值。

（2）设从A市调x台到D市，B市调y台到D市，当28台机器调运完毕后，用x、y表示总运费W（元），并求W的最大值和最小值。

解答

1．根据不等式性质，选B．．

2．由△=p2-4＞0及p＞2，设x1，x2为方程两根，那么有x1+x2=-p，x1x2=1．又由

(x1-x2)2=(x1＋x2)2-4x1x2，

3．如图3－271，连ED，则

又因为DE是△ABC两边中点连线，所以

故选C．

4．由条件得

三式相加得2(a+b+c)=p(a+b+c)，所以有p=2或a+b＋c＝0．

当p=2时，y=2x＋2，则直线通过第一、二、三象限．

y=-x-1，则直线通过第二、三、四象限．

综合上述两种情况，直线一定通过第二、三象限．故选B．，

的可以区间，如图3－272．

+1，3×8＋2，3×8＋3，……3×8＋8，共8个，9×8=72(个)．故选C．

6．如图3－273，过A作AG⊥BD于G．因为等腰三角形底边上的任意一点到两腰距离的和等于腰上的高，所以PE＋PF=AG．因为AD=12，AB=5，所以BD=13，所

7．如图3-274，直线y=-2x+3与抛物线y=x2的交点坐标为A(1，1)，B(-3，9)．作AA1，BB1分别垂直于x轴，垂足为A1，B1，所以

8．如图3－275，当圆环为3个时，链长为

当圆环为50个时，链长为

9．因为a≠0，解得

故a可取1，3或5．

10．如图3－276，设经过t小时后，A船、B船分别航行到A1，

A1C=|10-x|，B1C=|10-2x|，

所以

11．解法1如图3－277，过C作CD⊥CE与EF的延长线交于D．因为

∠ABE＋∠AEB=90°，

∠CED＋∠AEB=90°，

所以∠ABE=∠CED．

于是Rt△ABE∽Rt△CED，所以

又∠ECF=∠DCF=45°，所以CF是∠DCE的平分线，点F到CE和CD的距离相等，所以所以

解法2 如图3－278，作FH⊥CE于H，设FH=h．因为

∠ABE＋∠AEB＝90°，

∠FEH+∠AEB=90°，

所以∠ABE=∠FEH，

于是Rt△EHF∽Rt△BAE．因为

所以

12．(1)因为抛物线与x轴只有一个交点，所以一元二次方程

有两个相等的实根，于是

(2)由(1)知，a2=a＋1，反复利用此式可得

a4=(a＋1)2=a2＋2a+1=3a+2，

a8=(3a＋2)2=9a2＋12a＋4=21a＋13，

a16=(21a+13)2=441a2＋546a＋169

＝987a＋610，

a18＝(987a＋610)(a＋1)＝987a2＋1597a＋610

=2584a＋1597．

又

因为a2-a-1=0，所以64a2-64a-65=-1，即

(8a+5)(8a-13)=-1．

所以

a18＋323a－6=2584a＋1597＋323(-8a＋13)=5796．

13．(1)由题设知，A市、B市、C市发往D市的机器台数分别为x，x，18-2x，发往E市的机器台数分别为10-x，10-x，2x-10．于是

W=200x＋300x+400(18-2x)＋800(10-x)+700(10-x)+500(2x-10)

=-800x＋17200．

W=-800x＋17200(5≤x≤9，x是整数)．

由上式可知，W是随着x的增加而减少的，所以当x=9时，W取到最小值10000元；当x=5时，W取到最大值13200元．

(2)由题设知，A市、B市、C市发往D市的机器台数分别为x，y，18-x-y，发往E市的机器台数分别为10-x，10-y，x＋y-10．于是

W=200x+800(10-x)+300y＋700(10-y)+400(18-x-y)+500(x+y-10)

=-500x-300y+17200．

W=-500x-300y+17200，

且

W=-200x-300(x+y)+17200

≥-200×10-300×18＋17200=9800．

当x=10，y=8时，W=9800，所以W的最小值为9800．又

W=-200x-300(x＋y)＋17200

≤-200×0-300×10+17200=14200，

当x=0，y=10时，W=14200，所以W的最大值为14200．

1999年全国初中数学竞赛试卷

一、选择题（本题共6小题，每小题5分，满分30分．每小题均给出了代号为A，B，

C，D的四个结论，其中只有一个是正确的．请将正确答案的代号填在题后的括号里）

1．一个凸n边形的内角和小于1999°，那么n的最大值是（）．

A．11 B．12 C．13 D．14

2．某城市按以下规定收取每月煤气费：用煤气如果不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分按每立方米1.2元收费．已知某用户4月份的煤气费平均每立方米0.88元，那么4月份该用户应交煤气费（）．

A．60元B．66元C．75元D．78元

3．已知，那么代数式的值为（）．

A．B．－C．－D．

4．在三角形ABC中，D是边BC上的一点，已知AC=5，AD=6，BD=10，CD=5，那么三角形ABC的面积是（）．

A．30 B．36 C．72 D．125

5．如果抛物线与x轴的交点为A，B，项点为C，那么三角形ABC的面积的最小值是（）．

A．1 B．2 C．3 D．4

6．在正五边形ABCDE所在的平面内能找到点P，使得△PCD与△BCD的面积相等，并且△ABP为等腰三角形，这样的不同的点P的个数为（）．

A．2 B．3 C．4 D．5

二、填空题（本题共6小题，每小题5分，满分30分）

7．已知，那么x2 + y2的值为．

8．如图1，正方形ABCD的边长为10cm，点E在边CB的延长线上，且EB=10cm，点P在边DC上运动，EP 与AB的交点为F．设DP=xcm，△EFB与四边形AFPD的面积和为ycm2，那么，y与x之间的函数关系式是（0＜x＜10）．

9．已知ab≠0，a2 + ab－2b2 = 0，那么的值为．

10．如图2，已知边长为1的正方形OABC在直角坐标系中，A，B两点在第Ⅰ象限内，OA与x轴的夹角为30°，那么点B的坐标是．

11．设有一个边长为1的正三角形，记作A1（如图3），将A1的每条边三等分，在中间的线段上向形外作正三角形，去掉中间的线段后所得到的图形记作A2（如图4）；将A2的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A3（如图5）；再将A3的每条边三等分，并重复上述过程，所得到的图形记作A4，那么A4的周长是．

12．江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等．如果用两

台抽水机抽水，40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水，16分钟可抽完．如果要在10分钟内抽完水，那么至少需要抽水机台．

三、解答题（本题共3小题，每小题20分，满分60分）

13．设实数s，t分别满足19s2 + 99s + 1 = 0，t2 + 99t + 19 = 0，并且st≠1，求的值．

14．如图6，已知四边形ABCD内接于直径为3的圆O，对角线AC是直径，对角线AC 和BD的交点是P，AB=BD，且PC=0.6，求四边形ABCD的周长．

15．有人编了一个程序：从1开始，交错地做加法或乘法（第一次可以是加法，也可以是乘法）每次加法，将上次的运算结果加2或加3；每次乘法，将上次的运算结果乘2或乘

3．例如，30可以这样得到：

．

（1）（10分）证明：可以得到22；

（2）（10分）证明：可以得到2100 + 297－2．

1999年全国初中数学竞赛答案

一、1．C 2．B 3．D 4．B 5．A 6．D

二、7．10 8．y = 5x + 50 9．10．11．12．6

三、13．解：∵s≠0，∴第一个等式可以变形为：

．

又∵st≠1，

∴，t是一元二次方程x2 + 99x + 19 = 0的两个不同的实根，于是，有

．

即st + 1 =－99s，t = 19s．

∴．

14．解：设圆心为O，连接BO并延长交AD于H．

∵AB=BD，O是圆心，

∴BH⊥AD．

又∵∠ADC=90°，

∴BH∥CD．

从而△OPB∽△CPD．

，

∴CD=1．

于是AD=．

又OH=CD=，于是

AB=，

BC=．

所以，四边形ABCD的周长为．

（1）

．

也可以倒过来考虑：

．

（或者．）

（2）

．

或倒过来考虑：

．

注意：加法与乘法必须是交错的，否则不能得分．

2000年全国初中数学竞赛试题解答

一、选择题（只有一个结论正确）

1、设a ，b ，c 的平均数为M ，a ，b 的平均数为N ，N ，c 的平均数为P ，若a ＞b ＞c ，则M 与P 的大小关系是（）。（A ）M ＝P ；（B ）M ＞P ；（C ）M ＜P ；（D ）不确定。答：（B ）。∵M ＝

3c b a ++，N ＝2b a +，P ＝222c b a c N ++=+，M －P ＝12

b a -+， ∵a ＞b ＞

c ，∴

122c b a -+＞012

2=-+c

c c ，即M －P ＞0，即M ＞P 。

2、某人骑车沿直线旅行，先前进了a 千米，休息了一段时间，又原路返回b 千米（b ﹤a ），再前进c 千米，则此人离

起点的距离S 与时间t 的关系示意图是（）。答：（C ）。因为图（A ）中没有反映休息所消耗的时间；图（B ）虽表明折返后S 的变化，但没有表示消耗的时间；图（D ）中没有反映沿原始返回的一段路程，唯图（C ）正确地表述了题意。 3、甲是乙现在的年龄时，乙10岁；乙是甲现在的年龄时，甲25岁，那么（）。（A ）甲比乙大5岁；（B ）甲比乙大10岁；（C ）乙比甲大10岁；（D ）乙比甲大5岁。答：（A ）。由题意知3×（甲－乙）＝25－10，∴甲－乙＝5。 4、一个一次函数图象与直线y=

45+x 平行，与x 轴、y 轴的交点分别为A 、B ，并且过点（－1，－25）

，则在线段AB 上（包括端点A 、B ），横、纵坐标都是整数的点有（）。（A ）4个；（B ）5个；（C ）6个；（D ）7个。

答：（B ）。在直线AB 上，横、纵坐标都是整数的点的坐标是x ＝－1＋4N ，y ＝－25＋5N ，（N 是整数）．在线段AB

上这样的点应满足－1＋4N ＞0，且－25＋5N≤0，∴

≤N≤5，即N ＝1，2，3，4，5。 5、设a ，b ，c 分别是△ABC 的三边的长，且

b a b

a b a +++=

，则它的内角∠A 、∠B 的关系是（）。（A ）∠B ＞2∠A ；（B ）∠B ＝2∠A ；（C ）∠B ＜2∠A ；（D ）不确定。答：（B ）。由

c b a b a b a +++=

得c

a b

b a +=，延长CB 至D ，使BD ＝AB ，于是CD ＝a+

c ，在△ABC 与△DAC 中，∠C 为公共角，且BC:AC ＝AC:DC ，∴△ABC ∽△DAC ，∠BAC ＝∠D ，∵∠BAD ＝∠D ，∴∠ABC ＝∠D ＋∠BAD ＝2∠D ＝2∠BAC 。

6、已知△ABC 的三边长分别为a ，b ，c ，面积为S ，△A1B1C1的三边长分别为a1，b1,C1面积为S1，且a ＞a1，b ＞b1，c ＞c1则S 与S1的大小关系一定是（）。（A ）S ＞S1；（B ）S ＜S1；（C ）S ＝S1；（D ）不确定。

答：（D ）。分别构造△ABC 与△A1B1C1如下：①作△ABC ∽△A1B1C1，显然，即S ＞S1；②

设，则，S ＝10，，则S1＝

×100＞10，即S ＜S1；③

设，则

，S ＝10，

，则

，S1＝10，即S ＝

S1；因此，S 与S1的大小关系不确定。二、填空题

7、已知：，那么＝________。

答：1。∵，即。∴

。

8、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝8，BC ＝6，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝120°，则梯形ABCD 的面积

等于________。答：66＋6

（平方单位）。作AE 、BF 垂直于DC ，垂足分别为E 、F ，由BC ＝6，∠BCD ＝45°，得AE ＝BF

＝FC ＝6。由∠BAD ＝120°，得∠DAE ＝30°，因为AE ＝6得DE ＝2，AB ＝EF ＝8，DC ＝2

＋8＋6＝14＋

2，∴

。

9、已知关于

的方程

的根都是整数，那么符合条件的整数有________个。

答：5。①当时，；②当时，易知是方程的一个整数根，再由且是整数，知，∴；由①、②得符合条件的整数有5个。

10、如图，工地上竖立着两根电线杆AB、CD，它们相距15米，分别自两杆上高出地面4米、6米的A、C处，向两侧地面上的E、D；B、F点处，用钢丝绳拉紧，以固定电线杆。那么钢丝绳AD与BC的交点P离地面的高度为________米。

答：2.4米。作PQ⊥BD于Q，设BQ＝米，QD＝米，PQ＝米，由AB∥PQ∥CD，得及

，两式相加得，由此得米。即点P离地面的高度为2.4米。（注：由上述解法知，AB、CD之间相距多远，与题目结论无关。）

11、如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点B的坐标为（15，6），直线恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分，那么＝________。

答：。直线通过点D（15，5），故BD＝1。当时，直线通过，

两点，则它恰好将矩形OABC分成面积相等的两部分。

12、某商场经销一种商品，由于进货时价格比原进价降低了6.4％，使得利润率增加了8个百分点，那么经销这种商品原来的利润率是________。

（注：×100％）

答：17％。设原进价为元，销售价为元，那么按原进价销售的利润率为×100％，原进价降低6.4％后，在销售时的利润率为×100％，依题意得：

×100％＋8％＝×100％，解得＝1.17，故这种商品原来的利润率为

×100％＝17％。

三、解答题

13、设是不小于的实数，使得关于的方程有两个不相等的实

数根。

（1）若，求的值。

（2）求的最大值。

解：因为方程有两个不相等的实数根，所以

，∴。根据题设，有。

（1）因为

，即。

由于，故。

（2）

。

设上是递减的，所以当时，取最大值10。故的最大值为10。

14、如上图：已知四边形ABCD外接圆O的半径为2，对角线AC与BD的交点为E，AE＝EC，AB＝2AE，且BD＝23，求四边形ABCD的面积。

解：由题设得AB2＝2AE2＝AE·AC，∴AB:AC＝AE:AB，又∠EAB＝∠BAC，∴△ABE∽△ACB，∴∠ABE＝∠ACB，从而AB＝AD。连结AD，交BD于H，则BH＝HD＝3。

∴OH＝＝1，AH＝OA－OH＝2－1＝1。

∴，∵E是AC的中点，∴，

，∴，∴。

15、一幢33层的大楼有一部电梯停在第一层，它一次最多能容纳32人，而且只能在第2层至第33层中的某一层停一次。对于每个人来说，他往下走一层楼梯感到1分不满意，往上走一层楼梯感到3分不满意。现在有32个人在第

一层，并且他们分别住在第2至第33层的每一层，问：电梯停在哪一层，可以使得这32个人不满意的总分达到最小？最小值是多少？（有些人可以不乘电梯而直接从楼梯上楼）解：易知，这32个人恰好是第2至第33层各住1人。

对于每个乘电梯上、下楼的人，他所住的层数一定大于直接走楼梯上楼的人所住的层数。事实上，设住第s 层的人乘电梯，而住第t 层的人直接走楼梯上楼，。交换两人上楼方式，其余的人不变，则不满意总分不增，现分别

考虑如下：设电梯停在第层。

①当

时，若住第s 层的人乘电梯，而住第t 层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分也为

。

②当

时，若住第s 层的人乘电梯，而住第t 层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为

；交

换两人上楼方式，则这两者不满意总分也为。

③当

时，若住第s 层的人乘电梯，而住第t 层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分为

，前者比后者多

。 ④当时，若住第层的人乘电梯，而住第层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为

；

交换两人上楼方式，则这两者不满意总分为，前者比后者多

。

⑤当

时，若住第

层的人乘电梯，而住第层的人直接走楼梯上楼，则这两者不满意总分为

；交换两人上楼方式，则这两者不满意总分为

，前者比后者多

。

今设电梯停在第

层，在第一层有

人直接走楼梯上楼，那么不满意总分为：

当x ＝27，y ＝6时，s ＝316。

所以，当电梯停在第27层时，这32个人不满意的总分达到最小，最小值为316分。

2001年TI 杯全国初中数学竞赛试题B 卷

选择题（30分）

1、化简)

2(2)

2(223

4++-n n n ，得（）（A ）8121-

+n (B) 1

2+-n (C) 87 (D)4

7 2、如果c b a ,,是三个任意整数，那么

2,2a

c c b b a +++ （）（A ）都不是整数（B ）至少有两个整数（C ）至少有一个整数（D ）都是整数 3、如果b a ,是质数，且,013,0132

=+-=+-m b b m a a 那么

a b +的值为（）

（A ）

22123 （B ）222125或（C ）22125 （D ）222

123

或 4、如图，若将正方形分成k 个全等的矩形，其中上、 1 2

下各横排两个，中间竖排若干个，则k 的值为（） …… （A ）6 （B ）8 （C ）10 （D ）12

3 4 5、如图，若PA=PB ，∠APB=2∠ACB ，AC 与PB 交于点D,且PB=4，PD=3，则AD ?DC 等于（） P

（A ）6 （B ）7 （C ）12 （D ）16 D A B 6、若b a ,是正数，且满足)111)(111(12345b a -+=，则a 和（A ）b a > （B ）b a = （C ）b a < （D ）不能确定填空题（30分） 7、已知：2

323,2

323-+=

+-=

y x 。那么

=+22y

x y 8、若,28,142

=++=++x xy y y xy x 则y x +的值为

9、用长为1，4，4，5的线段为边作梯形，那么这个梯形的面积等于 10、销售某种商品，如果单价上涨m ％，则售出的数量就将减少150

。为了使该商品的销售总金额最大，那么m 的值应该确定为

11、在直角坐标系xOy 中，x 轴上的动点M （x ，0）到定点P （5，5）、Q （2，1）的距离分别为MP 和MQ ，那么

当MP+MQ 取最小值时，点M 的横坐标=x

12、已知实数b a ,满足2

,1b a ab t b ab a --==++且，那么t 的取值范围是解答题（60分）

13、某个学生参加军训，进行打靶训练，必须射击10次。在第6、第7、第8、第9次射击中，分别得了9.0环、8.4环、8.1环、9.3环。他的前9次射击所得的平均环数高于前5次射击所得的平均环数。如果他要使10次射击的平均环数超过8.8环。那么他在第10次射击中至少要得多少环？（每次射击所得环数都精确到0.1环）

14、如图，已知点P 是⊙O 外一点，PS 、PT 是⊙O 的两条切线，过点P 作⊙O 的割线PAB ，交⊙O 于A,B 两点，并交ST 于点C 。求证：

)11(211PB

PA PC +=. P S A

C O T 15、已知：关于x 的方程有实根。求a 取值范围；

若原方程的两个实数根为21,x x ，且11

112211=-+-x x x x ，求a 的值。 ,

2002年全国初中数学竞赛试题

一、选择题（每小题5分，共30分） 1、设a ＜b ＜0，a2＋b2＝4ab ，则

a b

a -+的值为 A 、3 B 、6 C 、2 D 、3

2、已知a ＝1999x ＋2000，b ＝1999x ＋2001，c ＝1999x ＋2002，则多项式a2＋b2＋c2－ab －bc －ca 的值为 A 、0 B 、1 C 、2 D 、3

3、如图，点E 、F 分别是矩形ABCD 的边AB 、BC 的中点，连AF 、CE 交于点G ，则

ABCD

AGCD S S 矩形四边形等于

A 、

65 B 、54

C 、

43 D 、3

2 4、设a 、b 、c 为实数，x ＝a2－2b ＋

3π，y ＝b2－2c ＋3π，z ＝c2－2a ＋3

，则x 、y 、z 中至少有一个值 A 、大于0 B 、等于0 C 、不大于0 D 、小于0

5、设关于x 的方程ax2＋(a ＋2)x ＋9a ＝0，有两个不等的实数根x1、x2，且x1＜1＜x2，那么a 的取值范围是 A 、7

＜a ＜52 B 、a ＞52

C 、a ＜72-

D 、11

-＜a ＜0 6、A1A2A3…A9是一个正九边形，A1A2＝a ，A1A3＝b ，则A1A5等于 A 、2

b a + B 、2

b ab a ++

F G

C 、

()b a +2

D 、a ＋b 二、填空题（每小题5分，共30分）

7、设x1、x2是关于x 的一元二次方程x2＋ax ＋a ＝2的两个实数根，则(x1－2x2)(x2－2x1)的最大值为。

8、已知a 、b 为抛物线y ＝(x －c)(x －c －d)－2与x 轴交点的横坐标，a ＜b ，则b c c a -+-的值为。 9、如图，在△ABC 中，∠ABC ＝600，点P 是△ABC 内的一点，使得∠APB ＝∠BPC ＝∠CPA ，且PA ＝8，PC ＝6，则PB ＝。

10、如图，大圆O 的直径AB ＝acm ，分别以OA 、OA 为直径作⊙O1、⊙O2，并在⊙O 与⊙O1和⊙O2的空隙间作两个等圆⊙O3和⊙O4，

这些圆互相内切或外切，则四边形O1O2O3O4的面积为 cm2。 11、满足(n2－n －1)n ＋2＝1的整数n 有 ___________个。

12、某商品的标价比成本高p%，当该商品降价出售时，为了不亏本，售价的折扣（即降价的百分数）不得超过d%，则d 可以用p 表示为。三、解答题（每小题20分，共60分） 13、某项工程，如果由甲、乙两队承包，522天完成，需付180000元；由乙、丙两队承包，4

3天完成，需付150000元；由甲、丙两队承包，7

2天完成，需付160000元。现在工程由一个队单独承包，在保证一周完成的前提下，哪个队的承包费用最少？

14、如图，圆内接六边形ABCDEF 满足AB ＝CD ＝EF ，且对角线AD 、BE 、CF 交于一点Q ，设AD 与CE 的交点为P 。求证：

ED QD =

（2）求证：2

CE AC PE CP = 15、如果对一切x 的整数值，x 的二次三项式ax2＋bx ＋c 的值都是平方数（即整数的平方）。证明：（1）2a 、2b 、c 都是整数；

（2）a 、b 、c 都是整数，并且c 是平方数；反过来，如果（2）成立，是否对一切的x 的整数值，x 的二次三项式ax2＋bx ＋c 的值都是平方数？

2003年“TRULY?信利杯”全国初中数学竞赛试题

一、选择题（共5小题，每小题6分，满分30分. 以下每道小题均给出了英文代号的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的. 请将正确结论的代号填入题后的括号里. 不填、多填或错填，得零分）

1．若4x －3y －6z=0，x+2y －7z=0(xyz ≠0)，则2

222

22103225z y x z y x ---+的值等于 ( ).

(A) 21-

(B) 2

19- (C) 15- (D) 13- 2．在本埠投寄平信，每封信质量不超过20g 时付邮费0.80元，超过20g 而不超过40g 时付邮费1.60元，依次类推，

每增加20g 需增加邮费0.80元（信的质量在100g 以内）。如果所寄一封信的质量为72.5g ，那么应付邮费 ( ). (A) 2.4元 (B) 2.8元 (C) 3元 (D) 3.2元 3．如下图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（）.

(A)360° (B) 450° (C) 540° (D) 720°

4．四条线段的长分别为9，5，x ，1（其中x 为正实数），用它们拼成两个直角三角形，且AB 与CD 是其中的两条线段（如上图），则x 可取值的个数为（）. (A)2个 (B)3个 (C)4个 (D) 6个

5．某校初三两个毕业班的学生和教师共100人一起在台阶上拍毕业照留念，摄影师要将其排列成前多后少的梯形队阵（排数≥3），且要求各行的人数必须是连续的自然数，这样才能使后一排的人均站在前一排两人间的空挡处，那么，满足上述要求的排法的方案有( ).

(A)1种 (B)2种 (C)4种 (D) 0种二、填空题（共5小题，每小题6分，满分30分） 6．已知31+=x ，那么

=---++2

41212x x x . 7．若实数x ，y ，z 满足41=+

y x ，11=+z y ，3

1=+x z ，则xyz 的值为 . 8．观察下列图形： ① ② ③ ④ 根据图①、②、③的规律，图④中三角形的个数为 .

9．如图所示，已知电线杆AB 直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD 和地面BC 上，如果CD 与地面成45o，∠A=60o CD=4m ，BC=()

2264-m ，则电线杆AB 的长为_______m.

10．已知二次函数c bx ax y ++=2

（其中a 是正整数）的图象经过点A （－1，4）与点B （2，1），并且与x 轴有

两个不同的交点，则b+c 的最大值为 . 三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）

11．如图所示，已知AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，OC 平行于弦AD ，过点D 作DE ⊥AB 于点E ，连结AC ，与DE 交于点P. 问EP 与PD 是否相等？证明你的结论. 解：

（第9

12．某人租用一辆汽车由A 城前往B 城，沿途可能经过的城市以及通过两城市之间所需的时间（单位：小时）如图所示. 若汽车行驶的平均速度为80千米/小时，而汽车每行驶1千米需要的平均费用为1.2元. 试指出此人从A 城出发到B 城的最短路线（要有推理过程），并求出所需费用最少为多少元？解：

13B ．如图所示，在△ABC 中，∠ACB=90°.

（1）当点D 在斜边AB 内部时，求证：AB

AD BC BD CD -=-222.

（2）当点D 与点A 重合时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由. （3）当点D 在BA 的延长线上时，第（1）小题中的等式是否存在？请说明理由.

14B ．已知实数a ，b ，c 满足：a+b+c=2，abc=4. （1）求a ，b ，c 中的最大者的最小值；（2）求c b a ++的最小值.

注：13B 和14B 相对于下面的13A 和14A 是较容易的题. 13B 和14B 与前面的12个题组成考试卷.后面两页 13A 和14A 两题可留作考试后的研究题。

13A ．如图所示，⊙O 的直径的长是关于x 的二次方程0)2(22

=+-+k x k x （k 是整数）的最大整数根. P 是⊙O 外一点，过点P 作⊙O 的切线PA 和割线PBC ，其中A 为切点，点B ，C 是直线PBC 与⊙O 的交点.若PA ，PB ，PC 的长都是正整数，且PB 的长不是合数，求222PC PB PA ++的值. 解：

14A ．沿着圆周放着一些数，如果有依次相连的4个数a ，b ，c ，d 满足不

等式))((c b d a -->0，那么就可以交换b ，c 的位置，这称为一次操作. （1）若圆周上依次放着数1，2，3，4，5，6，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数a ，b ，c ，d ，都有

))((c b d a --≤0？请说明理由.

（2）若圆周上从小到大按顺时针方向依次放着2003个正整数1，2，…，2003，问：是否能经过有限次操作后，对圆周上任意依次相连的4个数

a ，

b ，

c ，

d ，都有))((c b d a --≤0？请说明理由. 解：（1）（2）

2003年“TRULY?信利杯”全国初中数学竞赛试题

参考答案与评分标准

一、选择题（每小题6分，满分30分）

P (第12题图)

(第13A 题图)

1．D

由???=-+=--,072,0634z y x z y x 解得?

??==.2,3z y z x 代入即得.

2．D

因为20×3<72.5<20×4，所以根据题意，可知需付邮费0.8×4=3.2（元）. 3．C

如图所示，∠B+∠BMN+∠E+∠G=360°，∠FNM+∠F+∠A+∠C=360°，而∠BMN +∠FNM =∠D ＋180°，所以 ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=540°.

4．D

显然AB 是四条线段中最长的，故AB=9或AB=x 。

（1）若AB=9，当CD=x 时，2

22)51(9++=x ，53=x ；

当CD=5时，2

22)1(59++=x ，1142-=x ；

当CD=1时，2

22)5(19++=x ，554-=x .

（2）若AB=x ，当CD=9时，2

22)51(9++=x ，133=x ；当CD=5时，2

22)91(5++=x ，55=x ；当CD=1时，2

22)95(1++=x ，197=x .

故x 可取值的个数为6个. 5．B

设最后一排有k 个人，共有n 排，那么从后往前各排的人数分别为k ，k+1，k+2，…，k+（n －1），由题意可知

1002

)

1(=-+

n n kn ，即()[]20012=-+n k n . 因为k ，n 都是正整数，且n ≥3，所以n<2k+（n －1），且n 与2k+（n －1）的奇偶性不同. 将200分解质因数，可知n=5或n=8. 当n=5时，k=18；当n=8时，k=9. 共有两种不同方案. 6．2

. 43

41442141212

222--=-+--=---++x x x x x x ＝234

)31(32

-=-+-。 7．

因为343

71137137111114--+=---

+=-+=-+=+=x x x x

x x z z x z x y x ，所以 37)34()34(4-+-=-x x x x ，解得 2

x . 从而 353237137=-=-=

x z ，5253111=-=-=z y . 于是 13

5223=??=xyz . 8．161.

根据图中①、②、③的规律，可知图④中三角形的个数为 1+4+3×4+432?+433?=1+4+12+36+108=161（个）. 9．26.

如图，延长AD 交地面于E ，过D 作DF ⊥CE 于F.

CF=DF=22m ，

因为∠DCF=45°，∠A=60°，CD=4m ，所以EF=DFtan60°=62（m ）. 因

为

30tan == BE AB ，所以263

=?=BE AB （m ）.

10.－4.

由于二次函数的图象过点A （－1，4），点B （2，1），所以?

??=++=+-,124,

4c b a c b a

解得 ?

?-=--=.23,

1a c a b

因为二次函数图象与x 轴有两个不同的交点，所以042

>-=?ac b ，

0)23(4)1(2>----a a a ，即0)1)(19(>--a a ，由于a 是正整数，故1>a ，

所以a ≥2. 又因为b+c=－3a+2≤－4，且当a=2，b=－3，c=－1时，满足题意，故b+c 的最大值为－4.

三、解答题（共4题，每小题15分，满分60分）

初中数学考试试卷分析82813

初三数学期末考试试卷分析学年第一学期初三年级期末数学质量检测）2013－2012（本次数学质量检测的目的是为了了解初三学生的数学学习状况————他以激励他们投入到今后的数学学习中们所取得的进步和需要进一步改进的方面，掌握的知识学生在学习活动中所获得的经验、初三数学检测试卷特别关注：去。情况；在学习过程中所遇到的困难，以及需要改进的方面等。同时，还关注学生的数学思考、解决问题、情感态度等。一、试题特点．．突出对基础知识与基本技能的考查．按照“课程标准”的要求，对学生基础1知识与基本技能掌握情况是否“达标”进行评估．并提出适当的、有发展性的要求．．各部分内容所占比重应与相应内容在教材中所占课时相适应．2．内容的难易程度要基本类似于教材中的随堂练习、例题，习题中的中等难度3部分，个别难度较高的试题也应当把“难”定位于对知识的理解和应用、对思维水平的考察、对探索规律过程的关注．．考试重点为各章的主体知识和基本技能，繁难运算题较少．4题，目的是为了防止将答题变成一个29两卷，共B、A．题目的数量不大，分5 考查“记忆水平”的活动，给学生

留足思考的时间．．提供有不同思维要求、能力要求的问题串，使所有的学生都有成功的机会，6 又为每一个学生发挥自己的才能留有空间．．关注创新，编制新题，几乎所有的试题都是自编题和改编题，注重所学内容7与现实生活的联系，选取的情境新颖，设问巧妙，目的是创设一个公平、真实的测量环境．二、测试结果．初三数学考试成绩结果如下：低分率优分率及格率人均分人数36.36% 18% 54.5% 69.36 11 每小题的得分率如下： 10 9 8 7 4 6 5 3 2 1 0.94 0.89 0.79 0.83 0.93 0.78 0.96 0.87 0.93 0.70 12 11 20 19 18 17 16 15 14 13 0.80 0.79 0.85 0.78 0.74 0.64 0.81 0.84 0.74 0.83 29 28 27 26 25 24 23 22 21 0.22 0.59 0.67 0.75 0.58 0.64 0.73 0.46 0.59 全卷试题的难度比如下： 8 ∶19∶73容易题∶中档题∶较难题＝从以上可以看到，初三学生在知识的识记、直接运用以及基本运算方面掌握题、第22题、第21得比较好，有关形式运算方面的试题得分率偏低，例如第题；背景相对陌生的试题以及要运用所学知识灵活解决问题的试题的得分率24偏低。三、存在的主要问

2018济南中考数学试卷分析

2018济南中考试卷分析

一、选择题：（本题共12小题，每小题4分，共48分） 1、考点：有理数的乘法。专题：计算题。考纲要求：本题考查了有理数的乘法， 2、考点：简单几何体的三视图。考纲要求：本题考查了三视图的知识 3、考点：科学记数法—表示较大的数。考纲要求：此题主要考查了科学记数法的表示方法．科a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确a的值以及n的值． 4、考点：轴对称和中心对称图形。专题：几何题。考纲要求：了解轴对称和中心对称的基本性质，会找对称轴和对称中心 5、考点：相交线与平行线。考纲要求:理解对顶角、余角、补角等概念，理解平行线的概念和平行线的性质以及证明方法。 6、考点：整式的混合运算；考纲要求：了解整式的性质，掌握合并同类型和去括号的运算，能推导乘法公式，并利用公式进行计算 7、考点：一元一次方程与不等式。考纲要求：此题考查了解一元一次方程的能力，能解一元一次不等式，并求出解集范围 8、考点：反比例函数。考纲要求：本题主要考查了反比例函数变量之间的关系 9、考点：平面直角坐标系。考纲要求：本题考查了平面直角坐标系中，一个图形的顶点坐标沿两个坐标轴方向平移后图形的顶点坐标，并指导对应顶点坐标之间的关系。 10、考点：频数分布直方图。考纲要求：考察了实用频数分布直方图解释数据中蕴含信息的能力 11、考点：圆、扇形和三角形的面积。考纲要求：此题考查了圆形和扇形的面积公式，也考察了轴对称的相关知识点 12、考点：二次函数综合。考纲要求：本题主要考察了二次函数对称轴、最大值和最小值、顶点坐标，说出图像开口方向，画出图像的对称轴和图像与坐标轴交点。二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 13、考点：分解因式。考纲要求：本题主要考查了因式分解计算，要求学生能用提公因式法、公式法进行因式分解 14、考点：概率计算：考纲要求：本题主要考查了根据已知条件运用列表法、画树状图列出简单随机事件所有可能结果，以及指定事件发生的所有可能的结果，了解事件的概率。15、考点：多边形内角和与边的关系。考纲要求：本题考查了多边形边、内角等概念，多边形内角和公式。 16、考点：分式。考纲要求：本题考查的是分式的性质，用到的知识点为：分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分，并求出未知数。 17、考点：一次函数与数形结合。考纲要求：本题主要考查利用一次函数图像解决实际问题的能力 18、考点：多边形综合。考纲要求：探索并证明矩形、三角形的性质定理以及他们的判定定理，还要掌握轴对称图形的性质。三、解答题（本大题共9小题，共78分） 19、（本小题满分6分）考点：实数综合运算，三角函数值。 20、（本小题满分6分）考点：解不等式。考纲要求：能解数字系数一元一次不等式，并能在数轴上表示出解集，会用数轴确定由两个一元一次不等式组成的解集。 21、（本小题满分6分）考点，简单平面几何。考纲要求：掌握平行线的性质定理并加以应用；此题考查了平行线的性质与邻补角的定义．注意两直线平行，同位角相等． 22、（本小题满分8分）考点：一次方程。考纲要求：本题考查的是方程与方程组，要求考生能根据具体问题中的数量关系列出方程，掌握等式的基本性质，能解一元一次方程、可化为一元一次方程的分式方程。

七年级数学竞赛试题及答案

3.如图,在长方形ABCD中,E是AD的中点,F是CE的中点, E a+2000的值不能是(). 1998?1998+1998,b=- 1999?1999+1999 ,c=- 2000?2000+2000 , CF=BC,则长方形ABCD的面积是阴影部分面积的 d+2000,则a,b,c,d的大小关系是( 9.有理数-3,+8,-1 2 ,0.1,0,,-10,5,-0.4中,绝对值小于1的数共有_____个;所有七年级数学竞赛（时间100分钟满分100分）一、选择题：(每小题4分,共32分) 1.(-1)2000的值是(). (A)2000(B)1(C)-1(D)-2000二、填空题：(每题4分,共44分) 1.用科学计数法表示2150000=__________. 2.有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示: 若m=│a+b│-│b-1│-│a-c│-│1-c│,则1000m=_________. A D 2.a是有理数,则11 若△BDF的面积为6平方厘米,则长方形ABCD的面积 6 (A)1(B)-1(C)0(D)-2000 3.若a<0,则2000a+11│a│等于(). (A)2007a(B)-2007a(C)-1989a(D)1989a 是________平方厘米.F 4.a的相反数是2b+1,b的相反数是3a+1,则a2+b2=____.B C 5.某商店将某种超级VCD按进价提高35%,然后打出“九折酬宾,外送50元出租车费” 4.已知a=- 1999?1999-1999则abc=().2000?2000-20002001?2001-2001的广告，结果每台超级VCD仍获利208元,那么每台超级VCD的进价是________. 6.如图,C是线段AB上的一点,D是线段CB的中点.已知图 (A)-1(B)3(C)-3(D)1 5.某种商品若按标价的八折出售,可获利20%,若按原价出售,则可获利() (A)25%(B)40%(C)50%(D)66.7% 6.如图,长方形ABCD中,E是AB的中点,F是BC上的一点,且A D 1 3 ()倍.E 中所有线段的长度之和为23,线段AC的长度与线段CB的A C D B 长度都是正整数,则线段AC的长度为_______. 7.张先生于1998年7月8日买入1998年中国工商银行发行的5年期国库券1000元. 回家后他在存单的背面记下了当国库券于2003年7月8日到期后他可获得的利息数为390元.若张先生计算无误的话,则该种国库券的年利率是________. 8.甲、乙分别自A、B两地同时相向步行,2小时后在中途相遇.相遇后,甲、乙步行速 (A)2(B)3(C)4(D)5 7.若四个有理数a,b,c,d满足 B 1111 a-1997=b+1998=c-1999=)F C 度都提高了1千米/小时.当甲到达B地后立刻按原路向A地返行,当乙到达A地后也立刻按原路向B地返行.甲乙二人在第一次相遇后3小时36分钟又再次相遇,则A、B 两地的距离是_________千米. (A)a>c>b>d(B)b>d>a>c；(C)c>a>b>d(D)d>b>a>c 8.小明编制了一个计算程序.当输入任一有理数,显示屏的结果总等于所输入有理数的平方与1之和.若输入-1,并将所显示的结果再次输入,这时显示的结果应当是(). (A)2(B)3(C)4(D)5 1 3 正数的平方和等于_________. 10.设m和n为大于0的整数,且3m+2n=225. (1)如果m和n的最大公约数为15,则m+n=________. (2)如果m和n的最小公倍数为45,则m+n=________.

2018全国初中数学竞赛试题及参考答案

中国教育学会中学数学教学专业委员会 “《数学周报》杯”2018年全国初中数学竞赛试题答题时注意： 1．用圆珠笔或钢笔作答； 2．解答书写时不要超过装订线； 3．草稿纸不上交. 一、选择题<共5小题，每小题7分，共35分. 每道小题均给出了代号为A ，B ，C ，D 的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的. 请将正确选项的代号填入题后的括号里，不填、多填或错填都得0分） 1．设1a ，则代数式32312612a a a +--的值为( >. .，0y >，且满足3y y x xy x x y ==，，则x y +的值为( >. .