数学分析中极限的求法综述

数学分析中极限的求法综述

摘要:本文主要归纳了数学分析中求极限的十四种方法, 1：利用两个准则

求极限, 2:利用极限的四则运算性质求极限, 3:利用两个重要极限公式求极限, 4：利用单侧极限求极限，5：利用函数的连续性求极限, 6：利用无穷小量的性质求极限, 7：利用等价无穷小量代换求极限, 8：利用导数的定义求极限, 9：利用中值定理求极限, 10：利用洛必达法则求极限, 11：利用定积分求和式的极限,12：利用级数收敛的必要条件求极限, 13：利用泰勒展开式求极限, 14：利用换元法求极限。

关键词: 夹逼准则, 单调有界准则, 无穷小量的性质, 洛必达法则, 中

值定理, 定积分, 泰勒展开式, 级数收敛的必要条件.

极限是数学分析的基础，数学分析中的基本概念来表述，都可以用极限来描述。如函数y ＝f(x)在0x x =处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二重积分，三重积分的定义，无穷级数收敛的定义，都是用极限来定义的。极限是研究数学分析的基本公具。极限是贯穿数学分析的一条主线。学好极限是从以下两方面着手。1：是考察所给函数是否存在极限。2：若函数否存在极限，则考虑如何计算此极限。本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下，如何去求极限进行综述。

1：利用两个准则求极限。

(1)夹逼准则：若一正整数 N,当n>N 时，有n x ≤n y ≤n z 且lim lim ,n n x x x z a →∞→∞==则有 lim n x y a →∞= .

利用夹逼准则求极限关键在于从n x 的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列{}n y 和 {}n z ，使得n n n y x z ≤≤。

例[1]

n x =

+

求n x 的极限

解：因为n x 单调递减，所以存在最大项和最小项

.......n x ≥

+

=

.......n x ≤

+

=

n x ≤≤

又因为1

x x ==

lim 1

n x x →∞

=

（2）：单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。

利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限。

例：[1] 证明下列数列的极限存在，并求极限。

123,n y y y y a a a a ====+++

+

证明：从这个数列构造来看

n y 显然是单调增加的。用归纳法可证。

又因为23,n y y y === 所以得

21n n y a y -=+. 因为前面证明n y 是单调增加的。 两端除以 n y

得

1n n

a

y y <

+

因为1n y y ≥=

则n a y ≤,

从而11

n a

y +≤

1n y ≤≤

即 n y 是有界的。根据定理{}n y 有极限，而且极限唯一。

令 lim n n y l

→∞= 则 21lim lim()

n n n n y y a -→∞

→∞

=+

则2

l l a =+. 因为 0,n y >

解方程得

l =

所以

lim n n y l →∞

==

2：利用极限的四则运算性质求极限

极限的四则运算性质：1：两收敛数列的和或积或差也收敛且和或积或差的极限等于极限和的或积或差。 2：两收敛数列且作除数的数列的极限不为零，则商的极限等于极限的商。通常在这一类型的题中，一般都含有未定式不能直接进行极限的四则运算。首先对函数施行各种恒等变形。例如分之，分母分解因式，约去趋于零但不等于零的因式；分之，分母有理化消除未定式；通分化简；化无穷多项的和（或积）为有限项。

例；求极限

(1)22

11

lim 21x x x x →---

(2)3

x →

(3)31

13lim(

)11x x x →--++

(4) 已知

111

,1223

(1)n x n n =

+++

??-?求lim n n x

→∞

解：(1) 2211lim 21x x x x →---＝1(1)(1)lim (1)(21)

x x x x x →+--+＝

11lim 21x x x →++＝23

(2)3

2lim 3x

x →-＝

x →x →＝1

4 (3)31

13

lim(

)11x x x →--++

＝2312lim 1x x x x →---+＝21(1)(2)lim (1)(1)

x x x x x x →-+-+-+＝212lim 1x x x x →---+＝-1

(4) 因为

11

1

,

1223

(1)n x n n =

+++

??-?

111111

111122334411n n n

=-+-+-+-

-

+---11n =-

所以 1

lim lim(1)1

n n n x n →∞→∞=-=

3：利用两个重要极限公式求极限

两个极限公式 (1) 0sin 1

lim

lim sin 1x x x x x x →→∞==

(2)1

01lim(1)lim(1)x

x x x x e

x →∞→+=+=

在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可以利用公式。

例：求下列函数的极限[4]

(1)

230lim lim cos cos cos cos

2222n n n x x x

x →→∞??

??????????

(2)22lim(1)m m n m →∞- 解：(1)

23

cos cos cos cos

2222n x x x x

＝

231

sin cos cos cos cos

sin 222222sin 2n n

n x x x

x x

x x

＝

1

sin 2sin 2n

n

x

x

23

lim cos cos cos cos

2222n n x x x

x

→∞

＝

1 lim

sin 2sin 2

n n n

x

x →∞

sin =

lim 2sin

2n n n x x →∞

＝sin x

x

230lim lim cos cos cos cos

2222n x n x x x x →→∞?????????

???＝0lim x →sin x

x ＝1

(2) 2

2lim(1)m m n m →∞-

＝222

2

2

()2

lim(1)m n m n m

m n

m --

→∞-＝22

2

2

()2

lim(1)m n m

n m n

m --→∞

-

＝0

e ＝1

4：利用单侧极限求极限

这种方法使用于求分段函数在分段点处的极限，首先必须考虑分段点的左、右极限，如果左、右极限都存在且相等，则函数在分界点处的极限存在，否则极限不存在。

例：

x>0 x 021sin ,()1,x f x x

x ?

?=??+≤? 求 f(x)在x=0的左右极限 解：0

1

lim sin x x x +

→?＝1 01

lim sin x x x -

→?＝1

00

lim ()lim ()1x x f x f x +

-

→→==

0lim ()1

x f x →=

5：利用函数的连续性求极限

这种方法适用于求复合函数的极限。如果 u=g(x) 在点0x 连续 g(0x )=0u ,

而y=f(u)在点0x 连续，那么复合函数y=f(g(x))在点0x 连续。即

0lim (())(())(lim ())

x x x x f g x f g x f g x →→==也就是说，极限号

lim

x x →可以与符号f 互换顺

序。

例：求1

lim ln(1)x

x x →∞

+ 解：令 y ＝lnu, u ＝

1

(1)x

x + 因为 lnu 在点 01

lim ln(1)x x u e

x →∞=+= 处连续 所以 1

lim ln(1)x

x x →∞

+ ＝1ln lim(1)x x x →∞?

?+???

? ＝ln e ＝1

6：利用无穷小量的性质求极限：

无穷小量的性质：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量。如果

lim ()0

x x f x →=,g(x)在某区间0000(,),(,)x x x x δδ-+有界，那么0lim ()()0x x f x g x →?=.

这种方法可以处理一个函数不存在但有界，和另一个函数的极限是零的极限的乘积的问题。

例：求sin lim

x x

x →∞

解： 因为 sin 1x ≤ 1lim

0x x →∞=

所以 sin lim

x x

x →∞＝0

7：利用等价无穷小量代换求极限：

等价无穷小量：当1

y z →时，称y,z 是等价无穷小量：记为 y z 在求极限

过程中，往往可以把其中的无穷小量，或它的主要部分来代替。但是，不是乘除的情况，不一定能这样做。

例：求

43

03

lim (sin )2x x x x →+

解：

sin 2

2x x

∴4303lim (sin )2x x x x →+＝43

03lim ()

2x x x x →+＝4330lim 8x x x x

→+＝8

8：利用导数的定义求极限

导数的定义：函数f(x)在0x 附近有定义，,x ?则00()()y f x x f x =+-

如果

000

0()()lim

lim x x f x x f x y

x x →→+-=存在，则此极限值就称函数 f(x)在点 0x 的

导数记为 /

0()f x .即

/0000

()()

()lim

x f x x f x f x x →+-=在这种方法的运用过程中。

首先要选好f(x)。然后把所求极限。表示成f(x)在定点0x 的导数。

例：求 2

lim()22x x ctg x

ππ

→

-?

解：取f(x)= 2tg x .则

2

22

11

lim()222lim 2(2)2lim 22x x x x ctg x tg x tg x tg x x πππ

ππππ→

→

→-?==-?--

＝2

()()

2lim

2x f x f x ππ

π→

--＝

/1()2f π＝21(2sec 2)2x x π=

＝12

9：利用中值定理求极限：

1：微分中值定理：若函数 f(x) 满足 (i ) 在 [],a b 连续 .(ii )在(a,b)可导；则在(a,b)内至少存在一点ξ，使

/()()

()f b f a f b a ξ-=

-

例[2]：求30sin(sin )sin lim

x x x

x →-

解： []sin(sin )sin (sin )cos (sin )x x x x x x x θ-=-??-+ ()01θ<<

30sin(sin )sin lim

x x x

x →-

＝[]

3

(sin )cos (sin )lim

x x x x x x x θ→-??-+

＝

20cos 1cos 0lim

3x x x →-?

＝0sin lim

6x x

x →-

＝1

6-

2：积分中值定理：设函数f(x) 在闭区间 [],a b 上连续;g(x) 在[],a b 上不变号且可积，则在[],a b 上至少有一点ξ使得()()()()b

b

a

a

f x

g x f g x dx

ξ?=???

()a b ξ≤≤

例：求 40

lim sin n n xdx

π

→∞

?

解： 40

lim sin n n xdx

π

→∞

?

＝lim (0)4n

n six π

ξ→∞??-

04πξ?

?≤≤ ?

??

＝lim(sin )4n

n π

ξ→∞

0=

10：洛必达法则求极限：

洛必达法则只能对00或∞

∞型才可直接使用，其他待定型必须先化成这两种

类型之一，然后再应用洛必达法则。洛必达法则只说明当 //

()lim ()f x g x 等于 A 时，那么

()lim ()f x g x 也存在且等于A. 如果//()lim ()f x g x 不存在时，并不能断定()

lim

()f x g x 也不存在，只是这是不能用洛必达法则，而须用其他方法讨论

()lim

()f x g x 。

例[1]：(1) 求0ln sin lim

ln sin x mx

nx →

(2)求0lim x

x x +→

解：(1) 由0

limlnsin limlnsin x x mx nx →→==-∞

所以上述极限是∞

∞待定型

0ln sin lim

ln sin x mx nx →＝0cos sin lim cos sin x m mx nx n nx mx →???＝0sin lim

sin x m nx

n mx →?＝1

(2) 0lim x

x x +

→它为0

0型

由对数恒等式可得ln x x x

x e =

0lim x

x x +

→=0lim ln x x x

e

→+

00ln lim ln lim

1

x x x

x x x +

+→→?==

0lim x

x x +

→＝0

1e =

11：利用定积分求和式的极限

利用定积分求和式的极限时首先选好恰当的可积函数f(x)。把所求极限的和式表示成f(x)在某区间 [],a b 上的待定分法（一般是等分）的积分和式的极限。

例：求2222221lim 12(1)n n n

n

n n n n n →∞??++++

??+++-??

解：由于

222222112(1)n n

n

n n n n n ++++

+++-

＝22

2111

111211111n n n n n ??

????+++??---??????+++?? ? ?

?????????

可取函数 f(x)＝2

11x +区间为[]0,1上述和式恰好是

21

()1f x x =+ 在 []0,1上n 等分的积分和。

所以

2222221lim 12(1)n n n

n

n n n n n →∞??++++

??+++-??

＝lim n →∞

22

2111

111211111n n n n n ??

????+++??---??????+++?? ? ? ?????????

＝1

2

011dx x +?

＝4π

12：利用级数收敛的必要条件求极限

利用级数收敛的必要条件：若级数1

n

n μ

∞

=∑收敛，则()0n n μ→→∞运用这个

方法首先判定级数

1

n

n μ

∞

=∑收敛，然后求出它的通项的极限

例：[]2 求()2lim

!n

n n n →∞

解：设

()

2

!n

n n a n =

则

[]()2

112!(1)lim lim (1)!n n n

n n n

n a n a n n ++→∞→∞

+=?+

=11

lim

(1)1

n

n n n →∞?++ =0<1

由比值判别法知1

n

n a

∞

=∑收敛

由必要条件知

()

2

lim

!n

n n n →∞

＝0

13：利用泰勒展开式求极限

泰勒展开式：若 f(x)在x=0点有直到n+1 阶连续导数,那么

()()///

2

()()(0)(0)()

2!

!n n n f x f x f x f f x x x R x n =+++

++

()1

1

()()(1)!n n n f R x x

n ξ++=+ (其中ξ在0与1之间)

例：[]1 2

2

40

cos lim

x x x e

x -

→-

解：泰勒展开式24

4cos 10()

2!4!x x x x =-++

2

2

2242

110()

22!2x x x e

x -????

=+-+-+ ? ?????

于是cos x -22

x e

-＝4

410()

12x x -

+ 所以2

2

40

cos lim

x x x e

x -→-＝0

lim

x →4

4410()

12x x x -

+＝112-

14：换元法求极限：

当一个函数的解析式比较复杂或不便于观察时，可采用换元的方法加以变形，使之简化易求。

例：[3] 求11lim

ln x x x x x →-

解：令 1x

t x =- 则 ln ln(1)x t =+

11lim ln x x x x x →-＝0lim

ln(1)

t t t →+＝

01

lim

ln(1)t t t →+＝1

本文对极限的求法作了一下小结,归纳了14种求极限的基本方法.对一般的极限用上面的方法可以求出来,复杂一点的可能要综合几种方法才能求出.关键是“运用之妙,存孚一心”.

参考文献：

[1] 陈传璋，金福临编，数学分析（上下册）第二版，高等教育出版社 [2] 蔡子华主编，2005年数学复习大全（经济类），现代出版社

[3] 冯丽珠，变形法求极限的变法技巧 ，武汉职业技术学院学报，2003年3月，35-36 [4] 李小光，求极限的若干技巧，西安航空技术高等专科学校学报，2002年3月，20-21

求极限的方法总结

学号：0 学年论文 求极限的方法总结 Method of Limit 学院理学院专业班级 学生指导教师（职称） 完成时间年月日至年月日

摘要 极限的概念是高等数学中最重要、最基本的概念之一。许多重要的概念如连续、导数、定积分、无穷级数的和及广义积分等都是用极限来定义的。因此掌握好求极限的方法对学好高等数学是十分重要的。但求极限的方法因题而异，变化多端，有时甚至感到变幻莫测无从下手，通过通过归纳和总结，我们罗列出一些常用的求法。本文主要对了数学分析中求极限的方法进行一定的总结，以供参考。 关键词：极限洛必达法则泰勒展开式定积分无穷小量微分中值定理

Abstract The concept of limit is the most important mathematics,one of the most basic important concepts such as continuity,derivative,definite integral,infinite series and generalized integrals and are defined by the mater the methods the Limit learn mathematics integrals and are defined by the limit varies by title,varied,anf sometimes even impossible to start very unpredictable,and summarized through the adoption,we set out the requirements of some commonly used this paper,the mathematical analysis of the method of seeking a certain limit a summary for reference. Keyword:Limit Hospital's Rule Taylor expansion Definite integral Infinitesimal Mean Value Theorem

《数学分析》中关于极限概念教学的一点探讨

《数学分析》中关于极限概念教学的一点探讨 作者：张彩霞 来源：《科技创新导报》2011年第12期 摘要:在初学数学分析时,共有二十八种极限概念,这些极限概念是数学分析的基础,学生对各种极限概念的理解程度直接影响到对这门课程学习的成败。教师在教学过程中要引导学生将各种极限概念的定性描述准确地转化为定量描述,并能深刻理解,逐渐灵活运用。 关键词:数学分析极限概念教学 中图分类号:G6 文献标识码:A 文章编号:1674-098X(2011)04(c)-0147-02 《数学分析》课程是大学数学系一门重要的基础课,对这门课程学习的好坏,直接影响到学生思维能力的形成及对后续课程的接受能力。学生从高中刚入大学,学习内容从原来的具体到抽象、从离散到连续、从有限到无限,使学生感到《数学分析》很难,特别是刚开始接触各种极限概念的定量描述,理解起来很吃力.而数学分析这门课程就其自身而言,有着理论上的严密性和前后的连贯性,极限概念是数学分析的基石,学生对各种极限概念的理解程度直接影响到对这门课程学习的成败。本人在教学过程中,深刻体会到关于极限概念教学的重要性。 在初学数学分析时,就有二十八种极限概念(包括正常极限和非正常极限),教师在教学过程中的任务是引导学生将这二十八种极限概念从定性描述准确地转化为定量描述。并使学生对各种极限概念的定量描述能深刻理解,逐渐灵活运用。 1 正常极限概念 1.1 数列极限概念 数列极限的概念是最开始要学习的极限概念,如果学生对这个概念能准确理解的话,对于理解接下来要学习的函数极限概念就容易多了,所以对数列极限概念的教学至关重要。 首先观察数列:: 特征:当无限增大时,无限接近于 此时称该数列收敛于0,或称0为该数列的极限。 “无限增大”和“无限接近”是对数列变化性态的一种形象描述,是定性的说明,而不是定量的描述,这在数学上无法进行严谨地论证。所以我们要定量地描述该数列的特征。

高等数学求极限的常用方法

高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i ）数列{} 的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ）A x x f x A x f x =+∞ →=-∞ →?=∞ →lim lim lim )()( (iii) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 （v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 ) (lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （i ）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通 项之后，就能变成(i)中的形式了。即)(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0 ∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即e x f x g x g x f ) (ln )()()(=， 这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞?0”型未定式。 3.泰勒公式(含有x e 的时候，含有正余弦的加减的时候）

高等数学求极限的常用方法附例题和详解完整版

高等数学求极限的常用 方法附例题和详解 HUA system office room 【HUA16H-TTMS2A-HUAS8Q8-HUAH1688】

高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在： （i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即 “一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ） A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii)A x x x x A x f x x =→=→? =→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则 （v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理） （vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 )(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下：

1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （i ）“ 00”“∞ ∞ ”时候直接用 (ii)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了 无穷小的倒数形式了。通项之后，就能变成(i)中的形式了。即 )(1)()()()(1)()()(x f x g x g x f x g x f x g x f ==或；) ()(1 )(1 )(1 )()(x g x f x f x g x g x f -=- (iii)“00”“∞1”“0∞”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即 e x f x g x g x f ) (ln )()()(=，这样就能把幂上的函数移下来了，变成“∞?0”型未定式。 3.泰勒公式(含有x e 的时候，含有正余弦的加减的时候） 12)! 1(!!21+++++++=n x n x x n e n x x x e θ ； cos=221242)! 22(cos )1()!2()1(!4!21+++-+-+-+-m m m m x m x m x x x θ

数学分析中求极限的方法总结

数学分析中求极限的方法总结 1 利用极限的四则运算法则和简单技巧 极限的四则运算法则叙述如下： 定理１.１: (1 (2（３)若B ≠ （(5）[] 0lim ()lim () n n n x x x x f x f x →→??==A ???? （n 为自然数) i 由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商. 例1。 求225 lim 3 x x x →+-的极限 解:由定理中的第三式可以知道 ()()22222 lim 55lim 3lim 3x x x x x x x →→→++=-- 22 2 2 2 lim lim5 lim lim3x x x x x x →→→→+= + 2259 23+ ==-- 例２． 求3 x →

33 22 x x →→ = 3 x→ = 1 4 = 式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式，直接求极限即可例３。已知() 111 1223 1 n x n n =+++ ??-?, 解：观察 11 =1 122 - ? 111 = 2323 - ? 因此得到() 111 12231 n x n n =+++ ??-? 1111111 1 22 11 n n n =-+-+-+- -- 所以 1 lim lim11 n n n x n →∞→∞ ?? =-= ? ?? 2 利用导数的定义求极限 导数的定义：函数f(x) 如果 ()( ) 00 lim lim x x f x x f x y x x ?→?→ +?- ? = ?? 存在， 则此极限值就称函数f(x) () 'f x。 即

高等数学求极限的14种方法(完整资料).doc

【最新整理，下载后即可编辑】 高等数学求极限的14种方法 一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ， （1）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ； （2）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2. 极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和0x x →的极限。 要特别注意判定极限是否存在在： （1）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即 “一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （2）A x x f x A x f x =+∞ →=-∞ →?=∞ →lim lim lim )()( (3) A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (4) 单调有界准则 （5）两边夹挤准 （夹逼定理/夹逼原理） (6) 柯西收敛准则（不需要掌握）。极限)(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件。是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当 二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．． 时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f （x ）、g （x ）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况： （1）“0 0”“∞ ∞”时候直接用 (2)“∞?0”“∞-∞”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成

关于高等数学方法与典型例题归纳

关于高等数学方法与典 型例题归纳 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】

2014年山东省普通高等教育专升本考试 2014年山东专升本暑期精讲班核心讲义 高职高专类 高等数学 经典方法及典型例题归纳 —经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务 —理工类专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其 自动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程 2013年5月17日星期五 曲天尧 编写 一、求极限的各种方法 1．约去零因子求极限 例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。 【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限 例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；

(2) ???? ???=<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1 3．分子(母)有理化求极限 例3：求极限)13(lim 22+-++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030+-+-=+-+→→ 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．． 是解题的关 键 4．应用两个重要极限求极限 两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重 要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。 例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 +，最后凑指数部分。 【解】22 212 12112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→

高等数学-求极限的各种方法

求极限的各种方法 1．约去零因子求极限 例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。 【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限 例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方； (2) ???? ??? =<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1ΛΛ 3．分子(母)有理化求极限 例3：求极限)13(lim 22+-++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。 【解】1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 01 32lim 2 2 =+++=+∞ →x x x

例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030 +-+-=+-+→→ 41 sin tan lim 21sin tan lim sin 1tan 11 lim 30300 =-=-+++=→→→x x x x x x x x x x x 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限 两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ， 第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。 例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 + ，最后凑指数部分。 【解】22 212 12112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→ 例6：(1)x x x ??? ??-+∞→211lim ；(2)已知82lim =??? ??-++∞→x x a x a x ，求a 。 5．用等价无穷小量代换求极限 【说明】 (1)常见等价无穷小有： 当0→x 时,~)1ln(~arctan ~arcsin ~tan ~sin ~x x x x x x +1e x -, ()abx ax x x b ~11,2 1~ cos 12-+-； (2) 等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式．． ；

高等数学中极限问题的解法详析

数学分析中极限的求法 摘要:本文主要归纳了数学分析中求极限的十四种方法, 1：利用两个准则 求极限, 2:利用极限的四则运算性质求极限, 3:利用两个重要极限公式求极限, 4：利用单侧极限求极限，5：利用函数的连续性求极限, 6：利用无穷小量的性质求极限, 7：利用等价无穷小量代换求极限, 8：利用导数的定义求极限, 9：利用中值定理求极限, 10：利用洛必达法则求极限, 11：利用定积分求和式的极限,12：利用级数收敛的必要条件求极限, 13：利用泰勒展开式求极限, 14：利用换元法求极限。 关键词: 夹逼准则, 单调有界准则, 无穷小量的性质, 洛必达法则, 中 值定理, 定积分, 泰勒展开式, 级数收敛的必要条件. 极限是数学分析的基础，数学分析中的基本概念来表述，都可以用极限来描述。如函数y ＝f(x)在0x x =处导数的定义，定积分的定义，偏导数的定义，二重积分，三重积分的定义，无穷级数收敛的定义，都是用极限来定义的。极限是研究数学分析的基本公具。极限是贯穿数学分析的一条主线。学好极限是从以下两方面着手。1：是考察所给函数是否存在极限。2：若函数否存在极限，则考虑如何计算此极限。本文主要是对第二个问题即在极限存在的条件下，如何去求极限进行综述。 1：利用两个准则求极限。 (1)夹逼准则：若一正整数 N,当n>N 时，有n x ≤n y ≤n z 且lim lim ,n n x x x z a →∞→∞==则 有 lim n x y a →∞ = . 利用夹逼准则求极限关键在于从n x 的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列{ } n y 和 { } n z ，使得n n n y x z ≤≤。 例[1] 222111 ....... 1 2 n x n n n n = + ++++ 求n x 的极限 解：因为n x 单调递减，所以存在最大项和最小项

数学分析求极限的方法

求极限的方法 具体方法 ⒈利用函数极限的四则运算法则来求极限 定理1①：若极限)(lim 0 x f x x →和)(lim x g x x →都存在，则函数)(x f ±)(x g ，)()(x g x f ? 当0x x →时也存在且 ①[])()()()(lim lim lim 0 .0 x g x f x g x f x x x x x →→→±=± ②[])()()()(lim lim lim 0 x g x f x g x f x x x x x x →→→?=? 又若0)(lim 0 ≠→x g x x ，则 ) () (x g x f 在0x x →时也存在，且有 )()()() (lim lim lim 0 x g x f x g x f x x x x x x →→→= 利用极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如 ∞ ∞、00 等情况，都不能直接用四则运算法则，必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌握饮因式分解、有理化运算等恒等变形。 " 例1：求24 22 lim ---→x x x 解：原式=()()()022 22lim lim 22 =+= -+-- - →→x x x x x x ⒉用两个重要的极限来求函数的极限 ①利用1sin lim =→x x x 来求极限 1sin lim 0 =→x x x 的扩展形为： 令()0→x g ，当0x x →或∞→x 时，则有

()()1sin lim 0=→x g x g x x 或()()1sin lim =∞ →x g x g x 例2：x x x -→ππ sin lim 解：令t=x -π.则sinx=sin(-π t)=sint, 且当π→x 时0→t 故 1sin sin lim lim 0 ==-→→t t x x t x ππ ~ 例3：求() 11 sin 21 lim --→x x x 解：原式=()()()()()()()211sin 1111sin 1221 21lim lim =--?+=-+-+→→x x x x x x x x x ②利用e x x =+∞→)1 1(lim 来求极限 e x x =+∞ →)1 1(lim 的另一种形式为e =+→α α α1 )1(lim .事实上，令 .1 x =α∞→x .0→?α所以=+=∞ →x x x e )11(lim e =+→ααα1 0)1(lim 例4: 求x x x 1 )21(lim +→的极限 解：原式=221 210)21()21(lim e x x x x x =?? ?+????+→ 利用这两个重要极限来求函数的极限时要仔细观察所给的函数形式只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能够运用此方法来求极限。一般常用的方法是换元法和配指数法。 ⒊利用等价无穷小量代换来求极限 所谓等价无穷小量即.1) () (lim =→x g x f x x 称)(x f 与)(x g 是0x x →时的等价无穷小量，记作)(x f )(~x g .)(0x x →.

高等数学求极限的16种方法

高等数学求极限的16种方法 首先说下我的感觉，假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的重要性。 为什么第一章如此重要？各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面 首先对极限的总结如下 极限的保号性很重要就是说在一定区间内函数的正负与极限一致 1 极限分为一般极限，还有个数列极限，（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种） 2解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？）1 等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记 （x趋近无穷的时候还原成无穷小） 2落笔他法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法） 首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！ 必须是 X趋近而不是N趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件 （还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！！） 必须是 0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！ 当然还要注意分母不能为0 落笔他法则分为3中情况 1 0比0 无穷比无穷时候直接用 2 0乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了 3 0的0次方1的无穷次方无穷的0次方 对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候 LNX趋近于0） 3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意！！！！）

数学分析中求极限的方法总结

数学分析中求极限的方 法总结 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】

数学分析中求极限的方法总 结 1 利用极限的四则运算法则和简单技巧 极限的四则运算法则叙述如下： 定理：如果0 x x lim f x =,lim g x =x x →→A B （）（） （1）[]0 lim ()()lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→±=±=A ±B （2）[]0 x x lim f x g x =lim f x)lim ()x x x x g x →→→??=A?B （）（）（ （3）若B ≠0 （4）0 x lim c ()lim ()x x x f x c f x c →→?=?=A （5） [] 0lim ()lim ()n n n x x x x f x f x →→??==A ????（n 为自然数） 上述性质对于,,x x x →∞→+∞→-∞也同样成立i 由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。 例1. 求225 lim 3x x x →+-的极限 解：由定理中的第三式可以知道 例2. 求3 2 lim 3x x →-的极限 式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式，直接求极限即可 例3. 已知 ()1111223 1n x n n = +++ ??-?，求lim n n x →∞ 解： 观察 11 =112 2- ? 111=2323-?

因此得到 ()1111223 1n x n n = +++ ??-? 所以 1lim lim 11n n n x n →∞→∞ ?? =-= ??? 2 利用导数的定义求极限 导数的定义：函数f(x)在0x 附近有定义，χ??，则 如果 存在， 则此极限值就称函数f(x)在点0x 的导数记为 () 0'f x 。 即 在这种方法的运用过程中，首先要选好f(x)。然后把所求极限都表示成f(x)在定点0 x 的导数。 例4. 3 利用两个重要极限公式求极限 两个极限公式： （1 （2）1lim 1x x e x →∞ ?? += ??? 但我们经常使用的是它们的变形： （1，

数学分析3.4两个重要的极限

第三章函数极限(下载后可解决看不到公式的问题) 4 两个重要的极限 一、证明：=1. 证：∵sinx

∴=e. 注：e的另一种形式：=e. 证：令a=，则当a→0时，→∞，∴==e. 例3：求. 解：==e2. 例4：求. 解：==. 例5：求. 解：<→e(n→∞)，又当n>1时有 =≥→e(n→∞，即→0). 由迫敛性定理得：=e.

习题 1、求下列极限： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9)；(10). 解：(1)==2； (2)==··=0； (3)== -1； (4)=·=1； (5)=== ====； (6)令arctan x=y，则x=tany，且x→0时，y→0， ∴===1； (7)==1； (8)==·2sin a =··2sin a= sin2a； (9)==8=8； (10)=== 2、求下列极限：

高数求极限的16种方法(超经典)高彦辉总结

L .+'''+.+'''+. + 天天快乐+ '+. .+' "+.+" 爱 爱爱 爱祝爱 爱愿爱 爱你爱 爱永爱 爱远爱 爱被爱 爱爱爱 爱包爱 爱围爱 爱爱 爱爱 爱爱 爱 漂亮吧!送给你,希望你会幸福一生,梦想成真！ 高数中求极限的16种方法 假如高等数学是棵树木得话，那么极限就是他的根，函数就是他的皮。树没有跟，活不下去，没有皮，只能枯萎，可见这一章的重要性。

为什么第一章如此重要？各个章节本质上都是极限，是以函数的形式表现出来的，所以也具有函数的性质。函数的性质表现在各个方面。首先，对极限的总结如下: 极限的保号性很重要，就是说在一定区间内函数的正负与极限一致。 1 .极限分为一般极限，数列极限（区别在于数列极限时发散的，是一般极限的一种） 2.解决极限的方法如下：（我能列出来的全部列出来了！！！！！你还能有补充么？？？） 1 等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用但是前提是必须证明拆分后极限依然存在）e的X次方-1 或者（1+x）的a次方-1等价于Ax 等等。全部熟记（x趋近无穷的时候还原成无穷小） 2 LHopital 法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）首先他的使用有严格的使用前提！！！！！！必须是X趋近而不是N 趋近！！！！！！！（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件（还有一点数列极限的n当然是趋近于正无穷的不可能是负无穷！）必须是函数的导数要存在！！！！！！！！（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导，直接用无疑于找死！！）必须是0比0 无穷大比无穷大！！！！！！！！！ 当然还要注意分母不能为0LHopital 法则分为3中情况 1 0比0 无穷比无穷时候直接用2 0乘以无穷无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成1中的形式了 3 0的0次方1的无穷次方无穷的0次方对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有3种形式的原因，LNx两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于0 当他的幂移下来趋近于无穷的时候LNX趋近于0）3泰勒公式(含有e的x次方的时候，尤其是含有正余旋的加减的时候要特变注意！！！！）E的x展开sina 展开cos 展开ln1+x展开对题目简化有很好帮助4面对无穷大比上无穷大形式的解决办法取大头原则最大项除分子分母！！！！！！！！！！！看上去复杂处理很简单！！！！！！！！！！5无穷小于有界函数的处理办法面对复杂函数时候， 尤其是正余旋的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了！！！6夹逼定理（主要对付的是数列极限！） 这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。7等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q绝对值符号要小于1）8各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限）可以使用待定系数法来拆分化简函数9求左右求极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下，xn的极限与xn+1的极限时一样的，应为极限去掉有限项目极限值不变化10 2 个重要极限的应用。这两个很重要！！！！！对第一个而言是X趋近0时候的sinx与x比值。第2个就如果x趋近无穷大无穷小都有对有对应的形式（地2个实际上是用于函数是1的无穷的形式）（当底数是1 的时候要特别注意可能是用地2 个重要极限）11 还有个方法，非常方便的方法 就是当趋近于无穷大时候不同函数趋近于无穷的速度是不一样的！！！！！！！！！！！！！！！x的x次方快于x！快于指数函数快于幂数函数 快于对数函数（画图也能看出速率的快慢）!!!!!!当x趋近无穷的时候他们的比值的极限一眼就能看出来了12 换元法是一种技巧，不会对模一道题目而言就只需要换元，但是换

数学分析中求极限的方法总结

数学分析中求极限的方法 总结 This model paper was revised by the Standardization Office on December 10, 2020

数学分析中求极限的方法总结 1 利用极限的四则运算法则和简单技巧 极限的四则运算法则叙述如下： 定理：如果0 x x lim f x =,lim g x =x x →→A B （）（） （1）[]0 lim ()()lim ()lim ()x x x x x x f x g x f x g x →→→±=±=A ±B （2）[]0 x x lim f x g x =lim f x)lim ()x x x x g x →→→??=A?B （）（）（ （3）若B ≠0 （4）0 x lim c ()lim ()x x x f x c f x c →→?=?=A （5）[]00lim ()lim ()n n n x x x x f x f x →→??==A ????（n 为自然数） 上述性质对于,,x x x →∞→+∞→-∞也同样成立i 由上述的性质和公式我们可以看书函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。 例1. 求225 lim 3x x x →+-的极限 解：由定理中的第三式可以知道 例2. 求3 x →的极限

式子经过化简后就能得到一个只有分母含有未知数的分式，直接求极限即可 例3. 已知 ()1111223 1n x n n = +++ ??-?，求lim n n x →∞ 解： 观察 11=112 2-? 111=2323- ?因此得到 ()1111223 1n x n n = +++ ??-? 所以 1lim lim 11n n n x n →∞→∞ ?? =-= ??? 2 利用导数的定义求极限 导数的定义：函数f(x)在0x 附近有定义，χ??，则 如果 存在， 则此极限值就称函数f(x)在点0x 的导数记为 () 0'f x 。 即 在这种方法的运用过程中，首先要选好f(x)。然后把所求极限都表示成f(x)在定点 x 的导数。

高数数学极限总结

函数极限总结 一．极限的产生 极限理论是研究关于极限的严格定义、基本性质和判别准则等问题的基础理论。 极限思想的萌芽可以追溯到古希腊时期和中国战国时期，但极限概念真正意义上的首次出现于沃利斯的《无穷算数》中，牛顿在其《自然哲学的数学原理》一书中明确使用了极限这个词并作了阐述。但迟至18世纪下半叶，达朗贝尔等人才认识到，把微积分建立在极限概念的基础之上，微积分才是完善的，柯西最先给出了极限的描述性定义，之后，魏尔斯特拉斯给出了极限的严格定义（ε-δ和ε-N 定义）。 从此，各种极限问题才有了切实可行的判别准则，使极限理论成为了微积分的工具和基础。[1] 二．极限知识点总结 1. 极限定义 函数极限：设函数f(x)在点的x 0某一去心邻域内有定义，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数 ，使得当x 满足不等式 时，对应的函数值 都满足不等式： 那么常数A 就叫做函数f(x)?当x →x 0时的极限，记作。[2] 单侧极限：?.左极限：或 ?.右极限：或 定理： 函数当时极限存在的充分必要条件是左、右极限各自存在且相 δ<<|x -x |00ε <-|)(|A x f A x f x x =→)(lim 0 A x f x x =- →)(lim )()(左→→x A x f A x f x x =+ →)(lim )()(右→→x A x f A x f x f A x f x x ==? =+-→)()()(lim 0 )(x f 0x x →

等 即。 2. 极限概念 函数极限可以分成以的极限为例，f(x) 在点x 0以A 为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x 满足不等式 时，对应的函数值f(x)都满足不 等式：|f(x)-A|<ε，那么常数A 就叫做函数f(x)当 x →x 。时的极限。 函数极限具有唯一性、局部有限性、局部保号性[2] 3. 存在准则 有些函数的极限很难或难以直接运用极限运算法则求得，需要先判定。下面介绍几个常用的判定数列极限的定理。 准则Ⅰ.如果数列，及满足以下条件： （1）从某项起，即，当时，有； （2）；， 那么数列的极限存在，且 准则Ⅰ＇如果（1）当（或）时， （2） ，， 那么存在，且等于。 夹逼定理：（1）当时，有??成立 （2） ?,那么，极限存在，且等于A 【准则Ⅰ，准则Ⅰ′合称夹逼定理】 )()()(lim 0 00x f x f x f x x →+-==0,,,x x x x x →-∞→+∞→∞→0x x →{}n x {}n y {}n z +∈?N n 00n n >n n n z x y ≤≤a y n x =∞→lim a z n x =∞ →lim {}n x a x n x =∞ →lim ),(0r x U x ο ∈M x >||)()()(x h x f x g ≤≤A x g x x x =∞→→)(lim ) (0 A x h x x x o =∞→→)(lim ) ()(lim ) (0 x f x x x ∞→→A ),(x 0r x U ο ?()0x f

数学分析求极限的方法

求极限的方法 具体方法 ⒈利用函数极限的四则运算法则来求极限 定理1①：若极限)(lim 0 x f x x →和)(lim x g x x →都存在，则函数)(x f ±)(x g ，)()(x g x f ? 当0x x →时也存在且 ①[])()()()(lim lim lim 0 .00 x g x f x g x f x x x x x →→→± = ± ②[])()()()(lim lim lim 0 x g x f x g x f x x x x x x →→→?= ? 又若0)(lim 0 ≠→x g x x ，则 ) ()(x g x f 在0x x →时也存在，且有 ) ()() ()(lim lim lim x g x f x g x f x x x x x x →→→= 利用极限的四则运算法则求极限，条件是每项或每个因子极限存在，一般所给的变量都不满足这个条件，如 ∞ ∞、 0等情况，都不能直接用四则运算法则， 必须要对变量进行变形，设法消去分子、分母中的零因子，在变形时，要熟练掌握饮因式分解、有理化运算等恒等变形。 例1：求2 42 2 lim --- →x x x 解：原式=()() ()022 22lim lim 2 2 =+= -+-- - →→x x x x x x ⒉用两个重要的极限来求函数的极限 ①利用1sin lim =→x x x 来求极限 1sin lim =→x x x 的扩展形为： 令()0→x g ，当0x x →或∞→x 时，则有 ()() 1sin lim =→x g x g x x 或()() 1sin lim =∞ →x g x g x

数学分析-数列极限

第二章 数列极限 §1 数列极限概念 教学目的与要求： 使同学们理解数列极限存在的定义，数列发散的定义，某一实数不是数列极限的定义；掌握用数列极限定义证明数列收敛发散的方法。 教学重点，难点： 数列极限存在和数列发散定义的理解；切实掌握数列收敛发散的定义，利用数列收敛或发散的定义证明数列的收敛或发散性。 教学内容： 一、课题引入 1°预备知识：数列的定义、记法、通项、项数等有关概念。 2°实例：战国时代哲学家庄周著《庄子·天下篇》引用一句话“一尺之棰， 日取其半，万古不竭。”将其“数学化”即得，每天截后剩余部分长度为（单位尺） 21，221，321，……，n 21 ，…… 或简记作数列：? ?????n 21 分析：1°、? ?? ???n 21随n 增大而减小，且无限接近于常数0； 2 二、数列极限定义 1°将上述实例一般化可得：

对数列{}n a ，若存在某常数a ，当n 无限增大时，a n 能无限接近常数a ，则称 该数为收敛数列，a 为它的极限。 例如：? ?? ???n 1， a=0； ??? ? ??-+n n )1(3， a=3; {}2 n ， a 不存在，数列不收敛； {}n )1(-， a 不存在，数列不收敛； 2°将“n 无限增大时”，数学“符号化”为：“存在N ，当n ＞N 时” 将“a n 无限接近a ”例如对? ?? ? ??-+n n )1(()3以3为极限，对ε= 10 1 3)1(3--+ =-n a a n n =10 11π n 只需取N=10，即可 3°“抽象化”得“数列极限”的定义 定义：设{}n a 是一个数列，a 是一个确定的常数，若对任给的正数ε，总存在 某一自然数N ，使得当n ＞N 时，都有 a a n -＜ε 则称数列{}n a 收敛于a ，a 为它的极限。记作 a a n n =∞ →lim ｛(或a n →a,(n →∞)) 说明 （1）若数列{}n a 没有极限，则称该数列为发散数列。 （2）数列极限定义的“符号化”记法：a a n n =∞ →lim ? ε ?＞0，?N ，当n （3）上述定义中ε的双重性：ε＞0是任意．．