高考数学第一轮复习指数与指数函数
指数与指数函数
★知识梳理 分数指数幂 根式
如果),1(*
∈>=N n n a x n
，那么x 称为a 的n 次实数方根；
式子n
a 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数
方根的性质：当n 为奇数时，n n a =a.当n 为偶数时，n n a =|a|=?
??<-≥).
0(),
0(a a a a
2．分数指数幂
（1）分数指数幂的意义:a n m =n m
a ，a
n
m -=n
m a
1
=n m
a 1
（a ＞0，m 、n 都是正整数，n ＞1）.
（2）有理数指数幂的性质：
),,0,0()(;)(;Q s R r b a b a ab a a a a a r
r r rs s r s r s r ∈∈>>===?+
二、指数函数的图像及性质的应用
①指数函数的定义：一般地，函数y=ax （a ＞0且a≠1）叫做指数函数. ②指数函数的图像
O
x
y
O
x
y
y =a x 11
a > ）
1y =a x (
(0＜a ＜1)
③底数互为倒数的两个指数函数的图像关于y 轴对称.
④指数函数的性质：定义域：R ； 值域：（0，＋∞）；过点（0，1）；即x=0时，y=1. 当a ＞1时，在R 上是增函数；当0＜a ＜1时，在R 上是减函数.
画指数函数y=ax （a ＞0且a≠1）的图像时，应该抓住两点：一是过定点（0，1），二是x 轴 是其渐近线 ★重、难点突破
重点：有理指数幂的定义及性质，指数函数的概念、图像与性质 难点：综合运用指数函数的图像与性质解决问题
重难点：1.指数型函数单调性的判断，方法主要有两种： （1）利用单调性的定义（可以作差，也可以作商）
（2）利用复合函数的单调性判断形如)
(x f a y =的函数的单调性：若1>a ，则)(x f y =的单调增（减）区间，就是)
(x f a y =的单调增（减）区间；若10< (x f a y =的 单调减（增）区间； 2. 指数函数的图像与性质 (Ⅰ) 指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系如图所示,对 应关系为 （1）y=ax ，（2）y=bx ，（3）y=cx ，（4）y=dx 则b a d c <<<<<10 在y 轴右侧,图象从上到下相应的底数由大变小;在y 轴左侧,图象从下到上相应的底数由大变小,即无论在y 轴左侧还是右侧,底数按逆时针方向变大. (Ⅱ) 指数函数的图像x a y =与 )1,0(≠>=-a a a y x 的图象关于y 轴对称 3.指数型的方程和不等式的解法 (Ⅰ)形如 b a b a b a x f x f x f <>=) ()()(,,的形式常用“化同底”转化为利用指数函数的单调性解决，或“取对数”等方法； (Ⅱ)形如02=++C Ba a x x 或)0(02≤≥++C Ba a x x 的形式，可借助于换元法转化为二 次方程或不等式求解。 ★热点考点题型探析 考点1 指数幂的运算 [例1] 计算： 1 2 00.2563 43 3721.5()82(23)() 63-?-+?+?- [解题思路] 根式的形式通常写成分数指数幂后进行运算。 [解析]原式111111 36 33344222()1(2)2(23)()242711033=?+?+?-=+?= 根式的运算是基本运算，在未来的高考中一般不会单独命题，而是与其它知识结合在一起， 比如与二项展开式结合就比较常见 1.（高州中学09届月考）经化简后，)0(6 3 936 9>?a a a 的结果是 [解析] a ；a a a a a a a =?=?=?633 36 3 936 9 2. =-?63 a a [解析] a --; a a a a a a a --=--=--=-?=-?+2 16 13161316 3 )() ()( 考点2 指数函数的图象及性质的应用 题型1：由指数函数的图象判断底数的大小 [例2] 下图是指数函数（1）y=ax ，（2）y=bx ，（3）y=cx ，（4）y=dx 的图像，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是（ ） A ．a b c d <<<<1; B ．b a d c <<<<1； C ．a b c d <<<<1； D ．b a c d <<<<1 [解题思路] 显然,作为直线x=1即可发现a 、b 、c 、d 与1的大小关系 [解析] B;令x=1，由图知1 1 1 1 1b a d c <<<<,即b a d c <<<<1 由指数函数的图象确定底数的大小关系,关键要从具体图象进行分析 题型2：解简单的指数方程 [例3] 方程33131=++-x x 的解是_________ [解题思路]将方程化为最简单的指数方程 [解析]1-；在方程33131=++-x x 的两边同时乘以x 3得1 33113+=++x x x ，从而得131=+x 所以1-=x 解指数方程要观察其特征，在本题中，关键是发现x -+3 1与x 31+的关系： )31(331x x x -+=+ 题型3：利用函数的单调性求函数的值域 [例4] 已知2x x +2 ≤（41 ）x －2，求函数y=2x －2－x 的值域. [解题思路]求函数y=2x －2－x 的值域应利用考虑其单调性 [解析] ∵2 x x +2≤2－2（x －2），∴x2+x≤4－2x ，即x2+3x －4≤0，得－4≤x≤1. 又∵y=2x －2－x 是［－4，1］上的增函数，∴2－4－24≤y≤2－2－1. 故所求函数y 的值域是［－16255，23］. 利用函数的单调性确定其值域是高考热点，关键在于发现函数的单调性 [新题导练] 3．不等式16 2 2 <-+x x 的解集是___________ [解析] )1,2(-；由不等式 162 2 <-+x x 得022<-+x x ，解得12<<-x 4．若直线a y 2=与函数)10(1≠>-=a a a y x 且的图象有两个公共点，则a 的取值范围 是_______. [解析] )21 ,0(；画出函数)10(1≠>-=a a a y x 且的草图知，若直线a y 2=与函数 )1 (1≠ > - =a a a y x且 的图象有两个公共点，则1 2< o，即2 1 < o 5．（广东恩城中学09年模拟）不论a为何正实数,函数 12 x y a+ =-的图象一定通过一定点,则该定点的坐标是_________ [解析] )1,1 (-；因为函数x a y=的图象通过定点)1,0(，故函数12 x y a+ =-的图象一定通过定点 )1,1 (- 6．已知函数 ()()() f x x a x b =-- （其中a b >）的图象如下面右图所示，则函数()x g x a b =+ 的图象是( ) A．B．C．D． [解析] A；由 ()()() f x x a x b =-- 的图象知 1 ,1- < < a o，所以函数()x g x a b =+ 的图象是A 7．若函数 (),() f x g x分别是R上的奇函数、偶函数，且满足()()x f x g x e -=，则)3(f、)0(g、)2(f的大小关系为 [解析] )3( )2( )0(f f g< <；因为) (x f是奇函数，) (x g是偶函数，所以有 ?? ? ? ? = - - = - -x x e x g x f e x g x f ) ( ) ( ) ( ) ( ，得 ) 1 ( 2 1 ) ( x x e e x f- = ，可见 ) (x f在R上是增函数，故)3( )2( )0(f f f< <，又由0 ) ( ) (> = -x e x g x f知) ( ) (x g x f>，因此)0( )0(g f> 所以 )3( )2( )0(f f g< < 考点3 与指数函数有关的含参数问题 [例5] 要使函数y=1+2x+4xa在x∈（－∞，1］上y＞0恒成立，求a的取值范围. [解题思路]欲求a的取值范围,应该由1+2x+4x a＞0将参数a分离,转变为求函数的最值[解析] 由题意，得1+2x+4xa＞0在x∈（－∞，1］上恒成立，即a＞－x x 4 2 1+ 在 x∈（－∞，1］上恒成立.又∵－x x 4 2 1+ =－（2 1 ）2x－（2 1 ）x=－［（2 1 ）x+2 1 ］2+4 1 ， 当x ∈（－∞，1］时值域为（－∞，－43］，∴a ＞－43 [名师指引]①由某个不等式在某个范围内恒成立，求参数的取值范围是高考中的热点,处理的方法往往是通过分离参数, 转变为求函数的最值,但要注意端点的值能否取到； ②指数函数的综合问题常常涉及指数函数的定义域、值域、过定点、单调性、奇偶性、图像特征,要用到数形结合思想、分类讨论思想. ③指数函数是重要的基本初等函数, 高考中既考查双基, 又考查对蕴含其中的函数思想、等价转化、分类讨论等思想方法的理解与运用. 因此应做到能熟练掌握它们的图像与性质并能进行一定的综合运用。 8．已知函数x x x f 2 12)(- =,若0)()2(2≥+t mf t f t 对于]2,1[∈t 恒成立，求实数m 的取 值范围 [解析] [5,)-+∞;当 2211 [1,2],2220,22t t t t t t m ? ???∈-+-≥ ? ???? ?时 即 ()()242121. t t m -≥-- ()22210,21.t t m ->∴≥+Q ()2[1,2],12[17,5], t t ∈∴-+∈--Q 故m 的取值范围是[5,)-+∞ 9．设) (3421lg )(R a a x f x x ∈?++=,如果当)1,(-∞∈x 时)(x f 有意 义,求a 的取值范围. [解析] 3 4a ≥-；当1x <时，12403x x a ++?>恒成立，即1240x x a ++?>恒成立 ∴ 2111 ()()422x x x a --> =-- 令 211()( )()22x x g x =--，则1x <时，022x <<，∴11 2 2x > 22111113()( )()()222244x x x g x =--=-++<-，∴3 4a ≥- [备选例题] （广州六校09届联考）已知函数()22x x a f x =- , 将()y f x =的图象向右平移 两个单位, 得到()y g x =的图象. (1) 求函数()y g x =的解析式; (2) 若函数()y h x =与函数()y g x =的图象关于直线1y =对称, 求函数()y h x =的解析式; [解析] (1) 由题设得 ()g x (2) f x =-2222x x a --=- (2) 设点(,)x y 在()y h x =的图象上, 点 11(,) x y 在()y g x =的图象上, 且与点(,)x y 关于直 线1y =对称, 则112x x y y =?? =-? 2(),2() y g x y g x ∴-=∴=- 即 22()222x x a h x --=-+ . ★抢分频道 基础巩固训练： 1．与函数()2x f x =的图像关于直线y x =对称的曲线C 对应的函数为() g x ，则1()2g 的 值为 （ ） A ；B ．1；C ．1 2；D ．1- [解析] D ；依题意得x x g 2log )(=，所以1 2log )21 (12-==-g 2．已知函数()21,x f x a b c =-<<，且()()()f a f c f b >>，则下列结论中，必成立的 是（ ） A ．0,0,0a b c <<<; B ．0,0,0a b c <≥>; C ．22a c -<; D ．222a c +< [解析] D ；由函数 1 2)(-=x x f 的图象及c b a <<和()()()f a f c f b >>知 10,0<< 3 ()10<<=a x xa y x A B C D [解析] D ；当0>x 时，x x a x xa y ==，又10< x a x xa y -==，又10< 4. 不等式 2 24 1 22x x +-≤ 的解集为 [解析] 13≤≤-x ； 不等式 2 24 1 22x x +-≤ 即为142222--+≤x x ，由函数x y 2=的单调性得 1422-≤-+x x ，解得13≤≤-x 5．（四会中学09届月考）满足条件m 2 m ＞（mm ）2的正数m 的取值范围是_________ [解析] 2>m 或10< m m m m >得m m m m 22 >， 当1>m 时，得m m 22 >，解得2>m ；当10< <，解得10< [解析]解法一：设y=5－|x+1|，则0＜y ≤1，问题转化为方程y2－4y －m=0在（0，1］有实根.设f （y ）=y2－4y －m ，其对称轴y=2，∴f （0）＞0且f （1）≤0，得－3≤m ＜0. 解法二：∵m=y2－4y ，其中y=5－|x+1|∈（0，1］，∴m=（y －2）2－4∈［－3，0） 综合提高训练： 7．已知函数 c bx x x f ++=2 )(，满足)1()1(x f x f --=+-且3)0(=f ，当0≠x 时，试比较)(x b f 与 )(x c f 的大小。 [解析] (1)(1)f x f x -+=--Q ，∴()f x 关于1x =-对称，∴2b =，又 (0)3f c ==， ∴当0x >时，1x x b c <<，∴)(x b f ＜ )(x c f ； 当0x <时，01x x c b <<<，∴)(x b f ＞ )(x c f x o 指数函数与对数函数单元测试（含答案） 一、选择题： 1、已知(10)x f x =，则(5)f =（ ） A 、510 B 、10 5 C 、lg10 D 、lg 5 2、对于0,1a a >≠，下列说法中，正确的是（ ） ①若M N =则log log a a M N =； ②若log log a a M N =则M N =； ③若22log log a a M N =则M N =； ④若M N =则22log log a a M N =。 A 、①②③④ B 、①③ C 、②④ D 、② 3、设集合2 {|3,},{|1,}x S y y x R T y y x x R ==∈==-∈，则S T I 是 （ ） A 、? B 、T C 、S D 、有限集 4、函数22log (1)y x x =+≥的值域为（ ） A 、()2,+∞ B 、(),2-∞ C 、[)2,+∞ D 、[)3,+∞ 5、设 1.50.90.4812314,8,2y y y -??=== ???，则（ ） A 、312y y y >> B 、213y y y >> C 、132y y y >> D 、123y y y >> 6、在(2)log (5)a b a -=-中，实数a 的取值范围是（ ） A 、52a a ><或 B 、2335a a <<<<或 C 、25a << D 、34a << 7、计算()()22lg 2lg52lg 2lg5++?等于（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 8、已知3log 2a =，那么33log 82log 6-用a 表示是（ ） A 、52a - B 、2a - C 、23(1)a a -+ D 、231a a -- 9、若21025x =，则10x -等于（ ） A 、15 B 、15- C 、150 D 、1625 高考数学-指数函数图像和性质及经典例题 【基础知识回顾】 一、指数公式部分 有理指数幂的运算性质 （1）r a ·s r r a a += ),,0(Q s r a ∈>； （2）rs s r a a =)( ),,0(Q s r a ∈>； （3）s r r a a a b =)( ),0,0(Q r b a ∈>>． 正数的分数指数幂的意义 )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 二、指数函数 1.指数函数的概念:一般地，函数)1a ,0a (a y x ≠>=且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R ． 2.指数函数的图象和性质 1．在同一坐标系中画出下列函数的图象： （1）x )31(y = （2）x )2 1 (y = （3）x 2y = （4）x 3y = （5）x 5y = 【指数函数性质应用经典例题】 例1．设a 是实数， 2 ()()21 x f x a x R =- ∈+，试证明：对于任意,()a f x 在R 上为增函数． 证明：设1212,,x x R x x ∈<，则 12()()f x f x -12 22()()2121 x x a a =- --++ 21222121 x x = - ++ 121 22(22)(21)(21) x x x x -=++， 由于指数函数2x y =在R 上是增函数， 且12x x <， 所以1222x x < 即1 2220x x -<， 又由20x >， 得1 1 20x +>，2120x +>， ∴12()()0f x f x -< 即12()()f x f x <， 所以，对于任意,()a f x 在R 上为增函数． 例2.已知函数2 ()1 x x f x a x -=+ +(1)a >， 求证：（1）函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数；（2）方程()0f x =没有负数根． 2.1.1指数与指数幂的运算 （1）根式的概念 ①如果,,,1n x a a R x R n =∈∈>，且n N +∈，那么x 叫做a 的n 次方根．当n 是奇数时，a 的n 次 当n 是偶数时，正数a 的正的n 负的n 次方根用符号表示；0的n 次方根是0；负数a 没有n 次方根． n 叫做根指数，a 叫做被开方数．当n 为奇数时，a 为任意实数；当n 为偶数 时，0a ≥． n a =；当n a =；当n (0)|| (0) a a a a a ≥?==?-∈且1)n >．0的正分数指数幂等于0．② 正数的负分数指数幂的意义是： 1()0,,,m m n n a a m n N a -+==>∈且1)n >．0 的负分数指 数幂没有意义． 注意口诀：底数取倒数，指数取相反数． （3）分数指数幂的运算性质 ① (0,,) r s r s a a a a r s R +?=>∈ ② ()(0,,) r s rs a a a r s R =>∈ ③ ()(0,0,)r r r ab a b a b r R =>>∈ 2.1.2指数函数及其性质 指数函数练习 1．下列各式中成立的一项 （ ） A ．71 7 7)(m n m n = B ．31243)3(-=- C ．4 343 3)(y x y x +=+ D ． 33 39= 2．化简)3 1 ()3)((65 61 3 12 12 13 2b a b a b a ÷-的结果 （ ） A ．a 6 B ．a - C ．a 9- D ．2 9a 3．设指数函数)1,0()(≠>=a a a x f x ，则下列等式中不正确的是 （ ） A ．f (x +y )=f(x )·f (y ) B ．) () (y f x f y x f =-） （ C ．)()] ([)(Q n x f nx f n ∈= D ．)()]([· )]([)(+∈=N n y f x f xy f n n n 4．函数2 10 ) 2()5(--+-=x x y （ ） A ．}2,5|{≠≠x x x B ．}2|{>x x C ．}5|{>x x D ．}552|{>< 2019年高中数学单元测试试题 指数函数和对数函数 （含答案） 学校：__________ 第I 卷（选择题） 请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题 1．若log a 2 ○ 3若(0,1)b a N a a =>≠，则log a N a N =一定成立； ○ 4在同底的条件下，log a N b =与b a N =可以互相转化． 其中，是真命题的是 （ ） A ．○1○2 B ．○2○4 C ．○1○2○3 D ．○1○3○4 6．设函数f (x )＝1－x 2＋log 12(x －1)，则下列说法正确的是 ( ) （A ）f (x )是增函数，没有最大值，有最小值 （B ）f (x )是增函数，没有最大值、最小值 （C ）f (x )是减函数，有最大值，没有最小值 （D ）f (x )是减函数，没有最大值、最小值 第II 卷（非选择题） 请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 7．若关于x 的方程：0212 =--+x x kx 有两个不相等的 实数解，则实数k 的取值范围 . ?? ? ???- 0,21 8．方程x x 28lg -=的根)1,(+∈k k x ，k ∈Z ，则k = ． 9．若2lg （x －2y ）＝lg x ＋lg y ，则x y 的值为 10．求下列函数的定义域： （1）1 2x y =； （2）y = 11．)23(log 2 2 1+-=x x y 的定义域是_______ ． 12．已知函数f (x )=log 2(x 2－a x +3a )，对于任意x ≥2，当△x ＞0时，恒有f (x +△x )＞f (x )， 则实数a 的取值范围是 ▲ ． 13．函数122 x y -=是由函数1()4 x y =经过怎样的变换得到的? 2.9 指数 指数函数 ——指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一 一、明确复习目标 1.理解分数指数幂的概念，掌握有理指数幂的运算性质，能正确进行指数式运算； 2.掌握指数函数的概念、图象和性质，并能灵活运用图象和性质去解决有关问题。 二．建构知识网络 1.幂的有关概念 (1)正整数指数幂)(*∈????=N n a a a a a n n 48476Λ个 零指数幂)0(10 ≠=a a ； 负整数指数幂()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ (2)正分数指数幂()0,,,1m n m n a a a m n N n *=>∈>； (3)负分数指数幂()10,,,1m n m n m n a a m n N n a a -* == >∈> (4)0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义. 2.有理数指数幂的性质： ()()10,,r s r s a a a a r s Q +=>∈ ()()()20,,s r rs a a a r s Q =>∈ ()()()30,0,r r r ab a b a b r Q =>>∈ 3.根式 （1）根式的定义:如果a x n =()1,n n N >∈，那么x 叫做a 的n 次方根，用 n a 表 示, n a 叫做根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。 (2)根式的性质: ①当n 是奇数，a a n n =； 当n 是偶数，?? ?<-≥==0 0a a a a a a n n ②负数没有偶次方根，③零的任何次方根都是零 4.指数函数： （1）定义：y=a x (a >0且a ≠1)，叫指数函数，x 是自变量，y 是x 的函数。 （2）图象： ！ 2．1指数与指数函数习题 一、选择题（12*5分） 1．（ 36 9a ）4（6 3 9a ）4等于（ ） （A ）a 16 （B ）a 8 （C ）a 4 （D ）a 2 2．函数f （x ）=(a 2-1)x 在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ） （A ）1>a （B ）2b,ab 0≠下列不等式（1）a 2 >b 2 ,(2)2a >2b ,(3)b a 1 1<,(4)a 31 >b 31 ,(5)(31)a <(31)b 中恒成立的有（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 5．函数y= 1 21 -x 的值域是（ ） （A ）（-1,∞） （B ）（-,∞0）?（0，+∞） （C ）（-1，+∞） （D ）（-∞，-1）?（0，+∞） 6．下列函数中，定义域为R 的是（ ） （A ）y=5 x -21 （B ）y=( 3 1)1-x . （C ）y=1)2 1(-x （D ）y=x 2 1- 7．下列关系中正确的是（ ） （A ）（21）32<（51）32<（21）31 （B ）（21）31<（21 ）32<（51）32 （C ）（51）32<（21）31<（21）32 （D ）（51）32<（21）32<（2 1 ）31 8．若函数y=3·2x-1 的反函数的图像经过P 点，则P 点坐标是（ ） （A ）（2，5） （B ）（1，3） （C ）（5，2） （D ）（3，1） 9．函数f(x)=3x +5,则f -1 (x)的定义域是（ ） （A ）（０，＋∞） （B ）（５，＋∞） ) 指数函数和对数函数单元测试题 一选择题 1 如果，那么a、b间的关系是【】 A B C D 2 已知，则函数的图象必定不经过【】 A第一象限 B第二象限 C第三象限D第四象限 3 与函数y＝x有相同图象的一个函数是【】 A B，且 C D，且 4 已知函数的反函数为，则的解集是【】 A B C D 5已知函数在上是x的减函数，则a的取值范围是【】 A B C D 6 已知函数的值域是，则它的定义域是【】 A B C D 7已知函数在区间是减函数，则实数a的取值范围是【】 A B C D 8 已知，则方程的实数根的个数是【】 A1 B 2 C 3D 4 9 函数的定义域为E，函数的定义域为F，则【】 A B C D 10有下列命题：（1）若，则函数的图象关于y轴对称；（2）若，则函数的图象关于原点对称；（3）函数与的图 象关于x轴对称；（4）函数与函数的图象关于直线对称。其中真命题是【】 A（1）（2） B（1）（2）（3）C（1）（3）（4） D （1）（2）（3）（4） 二填空题 11函数的反函数是______ 。12 的定义域是______ 。 13 函数的单调减区间是________。 14 函数的值域为R，则实数a的取值范围是__________. 三解答题 1 求下列函数的定义域和值域 （1）（2） 2 求下列函数的单调区间 （1）（2） 3 已知函数 （1）求的定义域；（2）讨论的单调性；（3）解不等式。 4 已知函数 （1）证明：在上为增函数；（2）证明：方程＝0没有负数根。 参考答案 一选择题BADBC BCBDD 二填空题11121314或 三解答题 1 求下列函数的定义域和值域 （1）（2） 定义域定义域 值域值域且 2 求下列函数的单调区间 （1）（2） 减区间，增区间减区间， 3 已知函数 （1）求的定义域；（2）讨论的单调性；（3）解不等式。解（1），又，所以，所以定义域。 （2）在上单调增。 （3），，即 ，所以，所以解集 2 已知函数 （1）证明：在上为增函数；（2）证明：方程＝0没有负数根。 ２．9 指数 指数函数 ——指数函数、对数函数是高考考查的重点内容之一 一、明确复习目标 １.理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质，能正确进行指数式运算; 2.掌握指数函数的概念、图象和性质，并能灵活运用图象和性质去解决有关问题。 二．建构知识网络 １.幂的有关概念 （1)正整数指数幂)(*∈????=N n a a a a a n n 个 零指数幂)0(10 ≠=a a ； 负整数指数幂()1 0,n n a a n N a -*= ≠∈ （2)正分数指数幂()0,,,1m n m n a a a m n N n *=>∈>； （3)负分数指数幂()10,,,1m n m n m n a a m n N n a a -* == >∈> （4)0的正分数指数幂等于0，０的负分数指数幂没有意义. 2.有理数指数幂的性质： ()()10,,r s r s a a a a r s Q +=>∈ ()()()20,,s r rs a a a r s Q =>∈ ()()()30,0,r r r ab a b a b r Q =>>∈ ３．根式 （1)根式的定义:如果a x n =()1,n n N >∈,那么x 叫做a 的n 次方根,用 n a 表示, n a 叫做根式，n 叫根指数，a 叫被开方数。 （2)根式的性质: ①当n 是奇数，a a n n =； 当n 是偶数，?? ?<-≥==0 0a a a a a a n n ②负数没有偶次方根，③零的任何次方根都是零 4．指数函数： （1)定义：y=a x (a >0且a ≠１),叫指数函数,ｘ是自变量，ｙ 是x 的函数。 （2）图象: 指数与指数函数测试题https://www.sodocs.net/doc/b614182152.html,work Information Technology Company.2020YEAR 指数与指数函数测试题 编制：陶业强 审核：高二数学组 一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1、化简11111321684 21212121212-----??????????+++++ ?????????? ?????????，结果是（ ） A 、1 132 112 2-- ? ?- ?? ? B 、 1 132 12-- ??- ?? ? C 、1 32 12-- D 、1321122-??- ??? 2 、44 等于（ ） A 、16a B 、8 a C 、4a D 、2a 3、若1,0a b ><, 且b b a a -+=则b b a a --的值等于（ ） A 、6 B 、2± C 、2- D 、2 4、函数()2()1x f x a =-在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ） A 、1>a B 、2≠，下列不等式（1）22a b >；(2)22a b >；(3) b a 1 1<；(4)1133 a b >；(5)1133a b ???? < ? ????? 中恒成立的有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 8、函数21 21 x x y -=+是（ ） A 、奇函数 B 、偶函数 C 、既奇又偶函数 D 、非奇非偶函数 数学周练试题（三） 一、选择题：（每题5分，共50分） 1、对于0,1a a >≠，下列说法中，正确的是................................（ ） ①若M N =则log log a a M N =； ②若log log a a M N =则M N =； ③若22log log a a M N =则M N =； ④若M N =则22log log a a M N =。 A 、①②③④ B 、①③ C 、②④ D 、② 2、设集合2{|3,},{|1,}x S y y x R T y y x x R ==∈==-∈，则S T 是.......... （ ） A 、? B 、T C 、S D 、有限集 3、函数22log (1)y x x =+≥的值域为.......................................（ ） A 、()2,+∞ B 、(),2-∞ C 、[)2,+∞ D 、[)3,+∞ 4、设1.50.90.4812314,8,2y y y -??=== ???，则....................................（ ） A 、312y y y >> B 、213y y y >> C 、132y y y >> D 、123y y y >> 5、已知3log 2a =，那么33log 82log 6-用a 表示是...........................（ ） A 、52a - B 、2a - C 、23(1)a a -+ D 、2 31a a -- 6、当1a >时,在同一坐标系中, 函数x y a -=与log x a y =的图象是图中的...................（ ） 7、若函数()l o g (01)a f x x a =<<在区间[],2a a 上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为（ ） A B C 、14 D 、12 专题九 指数函数 【高频考点解读】 1.了解指数函数模型的实际背景． 2.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． 3.理解指数幂的概念，理解指数函数的单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点． 4.知道指数函数是一类重要的函数模型． 【热点题型】 题型一 指数函数性质的考查 例1、求下列函数的定义域和值域． (1)y ＝????23－|x ＋1|；(2)y ＝2 x 2x ＋1 ；(3)y ＝. 【提分秘籍】 解决与指数函数的性质问题时应注意 (1)大小比较时，注意构造函数利用单调性去比较，有时需要借助于中间量如0,1判断． (2)与指数函数单调性有关的综合应用问题，要注意分类讨论思想及数形结合思想的应用． 【举一反三】 已知函数f (x )＝ . (1)若a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )有最大值3，求a 的值． 【热点题型】 题型二指数函数的图象及应用 例2、(1)已知函数f(x)＝(x－a)·(x－b)(其中a>b)，若f(x)的图象如图所示，则函数g(x)＝a x＋b的图象是() (2)若曲线|y|＝2x＋1与直线y＝b没有公共点，则b的取值范围是________． 【答案】(1)A(2)[－1,1] 【提分秘籍】 1．与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象． 2．y＝a x，y＝|a x|，y＝a|x|(a>0且a≠1)三者之间的关系： y＝a x与y＝|a x|是同一函数的不同表现形式． 函数y＝a|x|与y＝a x不同，前者是一个偶函数，其图象关于y轴对称，当x≥0时两函数图象相同． 【举一反三】 当a≠0时,函数y=ax+b和y=b ax的图象只可能是下图中的( ) 【热点题型】 题型三分类讨论思想在指数函数中的应用 例3、设a>0且a≠1，函数y＝a2x＋2a x－1在[－1,1]上的最大值是14，求a的值． 指数和指数函数 一、选择题 1．（ 36 9a ）4（6 3 9a ）4等于（ ） （A ）a 16 （B ）a 8 （C ）a 4 （D ）a 2 2.若a>1,b<0,且a b +a -b =22,则a b -a -b 的值等于（ ） （A ）6 （B ）±2 （C ）-2 （D ）2 3．函数f （x ）=(a 2 -1)x 在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ） （A ）1>a （B ）2b,ab 0≠下列不等式（1）a 2 >b 2 ,(2)2a >2b ,(3)b a 1 1<,(4)a 31>b 31 ,(5)(31)a <(31) b 中恒成立的有（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 7．函数y=1 21 2+-x x 是（ ） （A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ）既奇又偶函数 （D ）非奇非偶函数 8．函数y= 1 21 -x 的值域是（ ） （A ）（-1,∞） （B ）（-,∞0）?（0，+∞） （C ）（-1，+∞） （D ）（-∞，-1）?（0，+∞） 9．下列函数中，值域为R + 的是（ ） （A ）y=5 x -21 （B ）y=( 3 1)1-x （C ）y=1)21(-x （D ）y=x 21- 10.函数y=2 x x e e --的反函数是（ ） （A ）奇函数且在R + 上是减函数 （B ）偶函数且在R + 上是减函数 （C ）奇函数且在R +上是增函数 （D ）偶函数且在R + 上是增函数 11．下列关系中正确的是（ ） （A ）（21）32<（51）32<（21）31 （B ）（21）31<（21）32<（51）32 指数函数 一、选择题（共17小题；共85分） 1. 已知 a =(?12)?1 ，b =2?12 ，c =(12)?1 2 ，d =2?1，则此四数中最大的是 ( ) A. a B. b C. c D. d 2. 已知 a = √5?1 2 ，函数 f (x )=a x ，若实数 m ，n 满足 f (m )>f (n ) ，则 m ，n 的关系为 ( ) A. m +n <0 B. m +n >0 C. m >n D. m 指数函数练习题 指数与指数函数练习题 姓名 学号 （一）指数 1、化简［ 3 2 ) 5(-］ 4 3的结果为 （ ） A ．5 B ．5 C ．－5 D ．－5 2、将 3 2 2-化为分数指数幂的形式为 （ ） A ．2 12- B ．3 12- C ．2 1 2-- D ． 6 52- 3. 3 334)2 1 ()21()2()2(---+-+----的值 （ ） A 4 3 7 B 8 C －24 D －8 4(a, b 为正数)的结果是_________． 5、 3 2 1 41()6437 ---+-=__________． 6、 ) 3 1 ()3)((65 613 1212132b a b a b a ÷-=__________。 （二）指数函数 一． 选择题： 1. 函数x y 24-=的定义域为 （ ） A ),2(+∞ B (]2,∞- C (]2,0 D [)+∞,1 2. 下列函数中，在),(+∞-∞上单调递增的是 （ ） A ||x y = B 2 y x = C 3x y = D x y 5.0= 3．某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次（一个分 裂为两个）。经过3个小时，这种细菌由1个可繁殖成（ ） 511 .A 个 512 .B 个 1023 .C 个 1024 .D 个 ax x f =)(x a x g =)(的图 增，则该厂到2010年的产值（单位：万元）是（ ） n a A +1(.％13 ) n a B +1(.％12 ) n a C +1(.％11 ) n D -1(9 10 . ％12 ) 二． 填空题： 1、已知)(x f 是指数函数，且25 5 )23(=-f ，则=)3(f 2、 已知指数函数图像经过点P(1,3)-，则(2)f = 3、 比较大小12 2- 1 3 2- ， 0.32()3 0.22 ()3 ， 0.31.8 1 4、 3 1 1 2 13,32,2-?? ? ??的大小顺序有小到大依 次 为 _________ 。 5、 设10<x x x x a a 成立的x 的集合是 6、 函数 y = 7、 函数 y = 8、若函数1 41 )(++=x a x f 是奇函数，则a =_________ 三、解答题： 第4章单元检测题 一，选择题 1，下列命题中正确的是（ ） A -a 一定是负数 B 若a ＜0则2)(a -=-a C 若a ＜0时,∣a 2∣=-a 2 D a ＜0 2 a a =1 2，把根式a a -为分数指数幂是（ ） A （-a ）2 3 B -（-a ）2 3 C a 2 3 D - a 2 3 3，[（-2）2 ] 21-的结果是（ ） A -2 B -22 C 2 2 D 2 4，下列函数中不是幂函数的是（ ） A y=x B y=x 3 C y=2x D y=x 1- 5，幂函数y=x a 一定过（0,0 ）,（1.1）,（-1,1）,(-1,-1)中的（ ）点 A 1 B 2 C 3 D 4 6，函数y=1-x a 的定义域是（-∞,0］,则a 的取值范围是（ ） A （0,+∞） B （1,+∞） C （0,1） D （-∞,1）∪（1,+∞） 7，已知f(x)的定义域是（0,1）,则f （2x ）的定义域是（ ） A （0,1） B （1,2） C （ 2 1 ,1） D （0,+∞） 9，某人第一年7月1日到银行存入一年期存款m 元，设年利率为r ，到第四年7月1日取回存款（ ） A m （1+r ）3 B m+（1+r ）3 C m （1+r ）2 D m （1+r ）4 10，下列四个指数式①（-2）3 =-8 ② 1n =1 （n R ∈） ③ 32 1-= 3 3 ④ a b =N 可以写出对数式的个数是（ ） A 1 B 2 C 3 D 0 11， 3 2 98log log =( ) A 32 B 1 C 2 3 D 2 12，关于log 102 3 和log 103 2两个实数，下列判断正确的是（ ） A 它们互为倒数 B 它们互为相反数，C 它们的商是D 它们的积是0 13，设5x 10log =25,则x 的值等于（ ） A 10 B ±10 C 100 D ±100 14，已知x=1+2,则log 46 2--x x 等于（ ） A 0 B 21 C 45 D 2 3 15，设lgx 2=lg （12-）-lg （12+）,则x 为（ ） A 12+ B -（12+） C 12- D ±（12-） 16，若log )1()1(++x x =1,则x 的取值勤范围是（ ） A （-1,+∞） B （-1,0）∪（0,+∞） C （-∞,-1）∪（-1,+∞） D R 17，如果log 2 1a ＜1,那么a 的取值范围是（ ） A 0＜a ＜21 B a ＞1 C 0＜a ＜2 1 或a ＞1 D a ＞ 2 1 且a ≠1 18，下列式子中正确的是（ ） A log a ) (y x -=log a x -log a y B y a x a log log =log x a -log y a C y a x a log log =log y x a D log a x -log a y = log y x a 19下列各函数中在区间（0,+∞）内为增函数的是（ ） A y=（ 21）x B y=log x 2 C y=log x 2 1 D y=x 1- 20，若a ＞1在同一坐标系中，函数y=a x -和y=log x a 的图像可能是（ ） 第二章 指数函数与对数函数及函数的应用 一、知识网络 二、课标要求和最新考纲要求 1、指数函数 （1）通过具体实例（如细胞的分裂，考古中所用的14 C 的衰减，药物在人体内残留量的变化等），了解指数函数模型的实际背景； （2）理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算。 （3）理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点； （4）在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型。 2、对数函数 （1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用； （2）通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点； 3、知道指数函数x a y =与对数函数x y a log =互为反函数（a ＞0，a ≠1）。 4、函数与方程 （1）了解函数零点的概念，结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系。 （2）理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。能利用函数的图象和性质判别函数零点的个数. 5、函数模型及其应用 （1）了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。知道直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义。 （2）了解函数模型（如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型）的广泛应用。 （3）能利用给定的函数模型解决简单的实际问题。 三、命题走向 函数是高考数学的重点内容之一，函数的观点和思想方法贯穿整个高中数学的全过程，包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中，选择题、填空题、解答题三种题型中每年都有函数试题，而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势. 考试热点：①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性和函数的图象.②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念，通过对实际问题的抽象分析，建立相应的函数模型并用来解决问题，是考试的热点.③考查运用函数的思想来观察问题、分析问题和解决问题，渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想. 指数函数、对数函数、幂函数是三类常见的重要函数，在历年的高考题中都占据着重要的地位。从近几年的高考形势来看，对指数函数、对数函数、幂函数的考查，大多以基本函数的性质为依托，结合运算推理，能运用它们的性质解决具体问题。为此，我们要熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理。 预测2010年对本节的考查是：1．题型有两个选择题和一个解答题；2．题目形式多以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数来考查函数的性质。同时它们与其它知识点交汇命题，则难度会加大。 2．1指数与指数函数习题 一、选择题（12*5分） 1．（ 36 9a ）4（6 3 9a ）4等于（ ） （A ）a 16 （B ）a 8 （C ）a 4 （D ）a 2 2．函数f （x ）=(a 2-1)x 在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ） （A ）1>a （B ）2b,ab 0≠下列不等式（1）a 2 >b 2 ,(2)2a >2b ,(3)b a 11<,(4)a 31 >b 31 ,(5)(31)a <(31) b 中恒成立的有（ ） （A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个 5．函数y= 1 21 -x 的值域是（ ） （A ）（-1,∞） （B ）（-,∞0）?（0，+∞） （C ）（-1，+∞） （D ）（-∞，-1）?（0，+∞） 6．下列函数中，定义域为R 的是（ ） （A ）y=5 x -21 （B ）y=( 3 1)1-x （C ）y=1)2 1(-x （D ）y=x 21- 7．下列关系中正确的是（ ） （A ）（21）32<（51）32<（21）31 （B ）（21）31<（21）32<（51）32 （C ）（51）32<（21）31<（21）32 （D ）（51）32<（21）32<（2 1）31 8．若函数y=3·2x-1 的反函数的图像经过P 点，则P 点坐标是（ ） （A ）（2，5） （B ）（1，3） （C ）（5，2） （D ）（3，1） 9．函数f(x)=3x +5,则f -1 (x)的定义域是（ ） （A ）（０，＋∞） （B ）（５，＋∞） （C ）（６，＋∞） （D ）（－∞，＋∞） 10．已知函数f(x)=a x +k,它的图像经过点（1，7），又知其反函数的图像经过点（4，0），则函数f(x)的表达式是（ ） 2019 年高中数学单元测试试题指数函数和对数函数 (含答案) 学校： _______ 姓名： _______ 班级：________ 考号： _______ 第I 卷(选择题) 请点击修改第 I 卷的文字说明 一、选择题 1．若 log a2 5 xf (x 1) (1 x) f(x)，则f ( ) 的值是 2 15 A. 0 B. C. 1 D. 22 5．有下列命题： ○1 log a N b(a 0,a 1)与a b N(a 0,a 1)是同一个关系式的两种不同表达形式；○2 对数的底数是任意正数； ○3若a b N(a 0,a 1)，则a logaN N一定成立；○4在同底的条件下，log a N b与a b N 可以互相转化．其中，是真命题的是 ( ) A．○1 ○2 B．○2 ○4 C．○1 ○2 ○3 D．○1 ○3 ○4 6．设函数 f(x)＝1－ x2＋ log1(x－ 1)，则下列说法正确的是 ( ) 2 (A)f(x)是增函数，没有最大值，有最小值 (B)f(x)是增函数，没有最大值、最小值 (C)f(x)是减函数，有最大值，没有最小值 (D)f(x)是减函数，没有最大值、最小值 第II 卷(非选择题) 请点击修改第 II 卷的文字说明 二、填空题 7．若关于 x 的方程：kx 1 2x x2 0有两个不相等的 1 实数解，则实数k的取值范围. 1,0 2 8．方程lg x 8 2x的根x (k,k 1)，k∈Z，则k = ． 9．若 2 lg ( x－2y)＝lg x＋lg y，则y的值为 x 10．求下列函数的定义域： 1 (1) y 2x； ( 2) y 3 x 指数与指数函数 一?填空题 1. 已知f(x)=(a2-1)x是减函数,则a的取值范围是________. 2. (-1.8)0+(1.5)-2× 2 3 3 3 8 ?? ? ?? -(0.01)-0.5+ 3 2 9=________. 3. 指数函数y=? ? ?? ?b a x的图象如图所示,则二次函数y=ax2+bx的顶点横坐 标的取值范围是________. 4. 已知0≤x≤2,则y= 1 2 4325 x x - -?+的最大值为________. 5. 已知函数f(x)=(x-a)(x-b)(其中a>b),若f(x)的图象如图所示,则g(x)=a x+b的图象是________. 6. (2011·新沂一中模拟)已知f(x)= ()1 1,0 2 ,0 x a x a x a x ? -++< ? ? ?≥ ? 是(-∞,+∞)上的减函数,那么实数a的取值范围是________. 7. 若函数f(x)?g(x)分别是R上的奇函数?偶函数,且满足f(x)-g(x)=e x,则有________. ①f(2) 二?解答题 10. 计算 ÷ 3a －73a 13; (2)2 3338-??- ??? +120.002--10(5-2)-1+(2-3)0; (3)已知1 1224m m -+=,求33221122m m m m -- -+的值. 11. 函数f (x )= 2－x x －1 的定义域为集合A ,关于x 的不等式22ax <2a +x (a ∈R )的解集为B , 求使A ∩B =A 的实数a 的取值范围. 12. (2011·丹阳中学期中)设函数f (x )=ka x -a -x (a >0且a ≠1)是奇函数. (1)求k 的值; (2)若f (1)>0,试求不等式f (x 2+2x )+f (x -4)>0的解集; (3)若f (1)=32 ,且g (x )=a 2x +a -2x -2mf (x )在[1,+∞)上的最小值为-2,求m 的值《指数函数和对数函数》测试题和答案解析
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