高中数学课本中的定理、公式、结论的证明
数学课本中的定理、公式、结论的证明
数学必修一
第一章 集合（无） 第二章 函数（无）
第三章 指数函数和对数函数 1．对数的运算性质：
如果 a > 0 ， a 1， M > 0 ，N > 0， 那么
（1）log ()log log a a a MN M N =+；
》
（2）log log -log a
a a M
M N N
=； （3）log log ()n a a M n M n R =∈． 根据指数幂的运算性质证明对数的运算性质
证明：（性质1）设log a M p =，log a N q =，由对数的定义可得 p M a =，q N a =， ∴p q p q MN a a a +=?=， ∴log ()a MN =p q +，
即证得log log log a a a MN M N =+．
证明：（性质2）设log a M p =，log a N q =， 由对数的定义可得 p M a =，q N a =，
）
∴
q p q p
a a
a N M -==， ∴q p N
M
a
-=log ， 即证得log log -log a a a M
M N N
=．
证明（性质3）设log a M p =，由对数的定义可得 p M a =，
∴n np
M a =，
∴log n
a M np =，
即证得log log n
a a M n M =．
—
第四章函数应用（无）
数学必修二
第一章立体几何初步
直线与平面、平面与平面平行、垂直的判定定理与性质定理的证明．
1、直线与平面平行的判定定理
若平面外一条直线与此平面内一条直线平行,则该直线与此平面平行．
2、平面与平面平行的判定定理
&
如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．
3、直线与平面垂直的判定定理
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．
4、平面与平面垂直的判定定理
如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直． 、
证明：设直线l 的方向向量为a,平面βα，的法向量分别为u ，r （建立立体几何问
题与向量之间的联系），
因为β⊥l ，所以a||r ，即a=k r(R k ∈)（把立体几何问题转化为空间向量问题）, 又，α?l 所以a ⊥u ?a ?u=0（把立体几何问题转化为空间向量问题）， 所以k u ?r=0? u ⊥r ?βα⊥（把空间向量的结果转化为几何结论）， 所以平面α与平面β互相垂直，
5、直线与平面平行的性质定理
如果一条直线与一个平面平行，那么过该直线的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行． (
6、平面与平面平行的性质定理
如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．
7、直线与平面垂直的性质定理
如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．
}
另法
】
8、平面与平面垂直的性质定理
如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于他们的交线的直线垂直于另一个平面，
、
:AB MN B AB αβαββα⊥?⊥⊥如图所示已知,=MN,AB 在内，于点。求证：.
、
9三垂线定理及逆定理
BC MN ABC -MN- ABC =90 AB BC AB MN AB ααβαβα⊥∠⊥∴∠∴⊥⊥∴⊥证明：在平面内做直线，则是二面角的
平面角，，，又，
α
y
P(x,y)
另法证明：已知：如图，直线l 与平面α相交与点A ，l 在α上的射影OA 垂直于α∈a a , 求证：l ⊥a
证明： 过P 作PO 垂直于α ∵PO ⊥α ∴PO ⊥a 】
又a ⊥OA ，PO ∩OA=O ∴a ⊥平面POA
∴a ⊥l
（三垂线定理的逆定理）若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线，则它垂直于这条直线在该平面内的投影
第二章 解析几何初步（无）
数学必修三 数学必修四
'
第一章 三角函数 诱导公式
公式：
如图：设α的终边与单位圆（半径为单位长度1的圆）交 于点P(x ，y)，则角-α的终边与单位圆的交点必为 ααcos cos(=-）ααtan tan(-=-）αα-sin sin(=-）
-y)P ′(x ，-y)．由正弦函数、余弦函数的定义，即可得 sin α=y ， cos α=x, sin(-α)=-y, cos(-α)=x, 所以：sin(-α)= -sin α, cos(-α)= cos α ·
由倒数关系和商数关系可以得到有关正切的-α诱导公式，
公式： ααπ-sin sin(=+）
ααπ-cos cos(=+） ααπtan tan(=+） 它刻画了角π+α与角α的正弦值（或余弦值）之间的关
系，这个关系是：以角α终边的反向延长线为终边的角的正弦值
（或余弦值）与角α的正弦值（或余弦值）关系，设角α终边圆交于点P( x ，y)，则角α终边的反向延长线，即π+α角的终边与
单位圆的交点必为P ′(-x ，-y)（如图4-5-1）．
由正弦函数、余弦函数的定义，即可得
sin α=y ， cos α=x, sin(π+α)=-y, cos(π+α)=-x,
所以 :sin(π+α)=-sin α，cos(π+α)=-cos α．
由倒数关系和商数关系可以得到有关正切的诱导公式。 @
相关诱导公式
公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin （2kπ+α）=sinα k ∈z cos （2kπ+α）=cosα k ∈z tan （2kπ+α）=tanα k ∈z
公式二：sin （π+α）=－sinα cos （π+α）=－cosα tan （π+α）=tanα 公式三：sin （－α）=－sinα
公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （π－α）=sinα cos （π－α）=－cosα tan （π－α）=－tanα
公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin （2π－α）=－sinα cos （2π－α）=cosα tan （2π－α）=－tanα —
公式六： π/2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin （π/2+α）=cosα cos （π/2+α）=－sinα tan （π/2+α）=－cotα sin （π/2－α）=cosα cos （π/2－α）=sinα tan （π/2－α）=cotα 第二章 平面向量
1、共线向量定理（p82例3）
内容：如图A,B,C 为平面内的三点，且A,B 不重合，点P 为平面内任一点，若C 在直线
AB 上，则有)1(λλ-+= 证明：由题意，与BA 共线，
BA BC λ=∴
-
)
(,PB PA PB PC
-=-∴-=-=λ
化简为：PB PA PC )1(λλ-+= 2、平面向量基本定理(p83)
内容：如果21,e e 是同一平面内的两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意一向量a ，存在唯一一对实数21,λλ，使得.2211e e a λλ+=
证明：如图过平面内一点O ，作a OC e OB e OA ===,,21，过点C 分别作直线OA 和直线OB 的平行线，交OA 于点M ，交OB 于点N ，有且只有一组实数，使
得OB ON OA OM 21,λλ==
OB OA OC ON OM OC 21λλ+=∴+=
即.2211e e a λλ+=
>
3、平行向量定理（p88）
内容：若两个向量（与坐标轴不平行）平行，则它们相应的坐标成比例；
若两个向量相对应的坐标成比例，则两向量平行， 证明：设b a ,是非零向量，且),(),,(2211y x b y x a ==
若b a //，则存在实数λ使b a λ=，且由平面向量基本定理可知
.)(222211j y i x j y i x j y i x λλλ+=+=+
21x x λ=∴①，21y y λ=② ①-?2y ②2x ?得：01221=-y x y x
若0,021≠≠y y （即向量b a ,不与坐标轴平行）则22
11y x y x =
`
4、余弦定理证明(p93)
内容：在ABC ?中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，则
??
???-+=-+=-+=C ab b a c B ac c a b A bc c b a cos 2cos 2cos 22222
22222
证明：如图在ABC ?中，设b AC a BC c AB ===,,则
a
C
N
B
A
O
e 2e 1
))((2
22
AB
AC AB AC
BC a a
--
===
2
22
2
cos 22AB
A A
B A
C AC AB
AB AC AC +?-=+?-=
A bc c b cos 22
2-+=
同理可证：?????-+=-+=C ab b a c A bc c b a cos 2cos 2222222 所以
??
???-+=-+=-+=C ab b a c B ac c a b A
bc c b a cos 2cos 2cos 22222
22222
5、点到直线距离公式证明（p99）
、
向量法
证：如图,根据定义，点M 到直线 l 的距离是点M 到直线 l 的垂线段的长，如图1，
|
设点M 到直线l 的垂线为 '
l ，垂足为Q ，由 'l l ⊥可知 'l 的斜率为 B
A
'l ∴的方程：
00()B
y y x x A -=
-与l 联立方程组
解得交点2200002222
(,)B x ABy AC A y ABx BC
Q A B A B ----++
2
2
22
20000002222
22
2200002222
2222200000022222222
||()()()()
()()()()()B x ABy AC A y ABx BC PQ x y A B A B
A x ABy AC
B y ABx B
C A B A B A Ax By C B Ax By C Ax By C A B A B A B ----=-+-++------=+++++++++=+=
+++
0022
||
|Ax By C PQ A B ++∴=
+
第三章 三角恒等变形
1、两角差的余弦公式证明cos （α﹣β）=cos αcos β+sin αsin β
证明 ：如图，在平面直角坐标系中，以原点为圆心， 作一单位圆，再以原点为顶点，x 轴非负半轴为始边分别作角α，β，且α＞β．若α，β均为锐角时， 设它们的终边分别交单位圆于点P1（cos α，sin α），P2（cos β，sin β），即有两单位向量
，它们的所成角是α﹣β，
根据向量数量积的性质得： ① 又根据向量数量积的坐标运算得：
=cos αcos β+sin αsin β ②
由①②得 cos （α﹣β）=cos αcos β+sin αsin β ③
【
由诱导公式可证明当α，β均为任意角时③式仍成立， 2、两角和的余弦公式证明
[]
cos()cos ()αβαβ+=--=（略）
3、两角和（差）的正弦公式证明
内容：βαβαβαβαβαβαsin cos cos sin )sin(,sin cos cos sin )sin(-=-+=+
y
x
P
Q
l 1
图'
l
β
απ
βαπβαπβαπβαsin )2
sin(cos )2cos(])2cos[()](2cos[)sin(-+-=--=+-=+βαβαsin cos cos sin +=
;
β
απ
βαπ
βαπ
βαπ
βαsin )2
sin(cos )2cos(])2cos[()](2cos[)sin(---=+-=--=-βαβαsin cos cos sin -=
4、两角和（差）的正切公式证明 内容：
β
αβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=
+，
β
αβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=
-
证明：
=
-+
=-+=++=+βαβ
αβαβαβ
αβ
αβαβαβαβαβαβαβαβαβαcos cos sin sin cos cos cos cos cos cos sin cos cos cos cos sin sin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin()tan(
βαβαtan tan 1tan tan -+
=
+-
=+-=--=-βαβ
αβαβαβ
αβ
αβαβαβαβαβαβαβαβαβαcos cos sin sin cos cos cos cos cos cos sin cos cos cos cos sin sin sin cos cos sin cos cos sin )cos()sin()tan(
βαβαtan tan 1tan tan +-
?
考题（2010四川理19）
○
1证明两角和的余弦公式C :cos()cos cos sin sin αβαβαβαβ++=-； ○
2由C αβ+推导两角和的正弦公式S :sin()sin cos cos sin αβαβαβαβ++=-. 解：①如图，在直角坐标系xOy 内做单位圆O ，并作出角α、
β与-β，使角α的始边为Ox ，交⊙O 于点P 1，终边交⊙O 于P 2；
角β的始边为OP 2，终边交⊙O 于P 3；角-β的始边为OP 1，终边交⊙O 于P 4．则P 1（1，0），P 2（cosα，sinα） ，
P 3（cos （α+β），sin （α+β）），P 4（cos （-β），sin （-β）） 由P 1P 3=P 2P 4及两点间的距离公式，得
[cos （α+β）-1]2+sin 2（α+β）=[cos （-β）-cosα]2+[sin （-β）-sinα]2 展开并整理得：2-2cos （α+β）=2-2（cosαcosβ-sinαsinβ） ∴cos （α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ；
②由①易得cos （π-α）=sinα，sin （π2-α）=cosα
sin （α+β）=cos[
2π-（α+β）]=cos[（2
π
-α）+（-β）] =cos （
2π-α）cos （-β）-sin （2
π
-α）sin （-β） ·
=sinαcosβ+cosαsinβ；
数学必修五
第一章 数列 1、 等差数列通项公式
已知等差数列{n a }的首项为1a ，公差为d ，证明数列{n a }的通项公式为
d
n a a n )1(1-+=
证明：由等差数列的定义可知:
说明：用“叠加法”证明等差数列的通项公式，需要验证对1a 同样成立
2、 ￥
3、
等差数列前n 项和
内容：
{}n a 是等差数列，公差为
d ，首项为1a ，n S 为其前n 项和，则
2)(2)
1(11n n a a n d n n n a S +=-+
=
证明：由题意，
)
)1((.......)2()(1111d n a d a d a a S n -+++++++=①
反过来可写为：)
)1((.......)2()(d n a d a d a a S n n n n n --++-+-+=②
①+②得：2n
S
个
n n a n a n a +++++=111.......
所以，
2)
(1n n a a n S +=
③，
把
d
n a a n )1(1-+=代入③中，得
3、等比数列通项公式
|
已知等比数列{n a }的首项为1a ，公比为q ，证明数列{n a }的通项公式为
-1
n 1q a a n =
类比等差数列通项公式的证明，用“叠乘法”证明
4、 等比数列前n 项和
内容：
{}n a 是等比数列，公比为
q ，首项为1a ，n S 为其n 前项和，则
n S =
??
?
??≠--=--=)1(,1)
1(1)
1(,111q q q a q q a a q na n n
证明：1
12111.......-++++=n n q a q a q a a S ①
n
n q a q a q a q a qS 131211.......++++=②
①—②得：n
n q a a S q 11)1(-=-，
当1≠q 时，n S q q a q q a a n n --=--=1)1(1111 ③把11-=n n q a a 代入③中，得n
S q q
a a n --=11 [
当1=q 时，很明显n S 1na =
所以，n S =
??
?
??≠--=--=)1(,1)
1(1)1(,111q q q a q q a a q na n n
考题（2013陕西文）
17.设S n 表示数列{}n a 的前n 项和.
(Ⅰ) 若{}n a 为等差数列, 推导S n 的计算公式;
(Ⅱ) 若11,0a q =≠, 且对所有正整数n , 有11n
n q S q
-=-. 判断{}n a 是否为等比数列.
解：(Ⅰ) 设公差为d,则d n a a n )1(1-+=
)()()()(2111121121121a a a a a a a a S a a a a S a a a a S n n n n n n n n n
n n ++++++++=???
?++++=++++=---- )2
1
(2)()(2111d n a n a a n S a a n S n n n n -+=+=
?+=?.
（北师大版数学必修五---课本证明方法）
，
(Ⅱ)
1,011≠≠=q q a 由题知，，
n
n n n n n n n n n q q
q q q q q q S S a q q S N n =--=-----=-=?--=∈?++++11111111
111*
，
*2
11
11
N n q a n q
n a n n n n ∈=????≥==--，.
所以,}{n a 数列是首项11=a ,公比1≠q 的等比数列，
2、（2013陕西理）17.设{}n a 是公比为q 的等比数列.
(Ⅰ) 推导{}n a 的前n 项和公式;
(Ⅱ) 设q ≠1, 证明数列{1}n a +不是等比数列.
）
解：(Ⅰ) 分两种情况讨论，
①.}{111111na a a a S a a q n n =+++== 的常数数列，所以是首项为时，数列当 ②n n n n n n qa qa qa qa qS a a a a S q ++++=?++++=≠--1211211 时，当.
上面两式错位相减: .)()()()-11123121n n n n n qa a qa qa a qa a qa a a S q -=--+-+-+=- （
q
q a q qa a S n n n -1)1(.-111-=-=?，
③综上，??
?
??≠--==)
1(,1)
1()1(,
11q q q a q na S n n
（北师大版数学必修五---课本证明方法）
—
(Ⅱ) 使用反证法，
设{}n a 是公比q ≠1的等比数列, 假设数列{1}n a +是等比数列.则
①当1*
+∈?n a N n ，使得=0成立，则{1}n a +不是等比数列，
②当01*
≠+∈?n a N n ，使得成立，则恒为常数=++=++-+1
1
111
111n n n n q a q a a a 1,0111111=≠?+=+?-q a q a q a n n 时当，这与题目条件q ≠1矛盾，
③综上两种情况，假设数列{1}n a +是等比数列均不成立，所以当q ≠1时, 数列{1}n a +不是等比数列，
:
第二章 解三角形 1、正弦定理证明（p45）
内容：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。
即 .sin sin sin C c
B b A a ==
-
已知：在ABC ?中，c b a ,,分别为角C B A ,,的对边，
求证：.sin sin sin C c
B b A a ==
a
b
D
A
B
C
证明：方法1 利用三角形的高证明正弦定理
（1）当?ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ， 根据锐角三角函数的定义，有sin CD b A = =sin CD a B ，
由此，得 sin sin a b A B =
，同理可得
sin sin c
b
C
B =
，
故有 sin sin a
b
A B =
sin c
C =
.从而这个结论在锐角三角形中成立. （2）当?ABC 是钝角三角形时，过点C 作AB 边上的高， 交AB 的延长线于点D ，根据锐角三角函数的定义， 有=∠=∠sin sin CD a CBD a ABC ，sin CD b A = ，
!
由此，得
=
∠sin sin a
b
A
ABC
，同理可得
=
∠sin sin c
b
C
ABC
故有 =
∠sin sin a
b
A
ABC
sin c
C =
.
（3）在ABC Rt ?中，
,sin ,sin c b
B c a A ==
∴c
B b
A a ==sin sin ，
.
1sin ,90=?=C C .sin sin sin C c B b A a ==∴
由(1)(2)（3）可知，在?ABC 中，sin sin a
b
A B
=
sin c
C =
成立.
方法2. 外接圆证明正弦定理
在△ABC 中,已知BC =a ,AC =b ,AB =c,作△ABC 的外接圆,O 为圆心,连结BO 并延长交圆于B′,设BB′=2R.则根据直径所对的圆周角是直角以及同弧所对的圆周角相等可以得到 《
∠BAB′=90°，∠C =∠B′， ∴sin C =sin B′=R
c
B C 2sin sin ='=. ∴
R C
c
2sin =. 同理,可得
R B b
R A a 2sin ,2sin ==. ∴
R C
c
B b A a 2sin sin sin ===. 这就是说,对于任意的三角形,上述关系式均成立,因此,我们得到等式
A
、
B
C
D
b
a
C
c
B b A a sin sin sin =
=. 《
方法3. 向量法证明正弦定理
方法4. 等面积法（略）
2、余弦定理证明（p49）
内容：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦之积的两倍，即
证明：方法1向量法证明
方法2 三角形证明 （过程如下考题）
、
考题（陕西2011年文、理18）
叙述并证明余弦定理，
解 余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角
的余弦之积的两倍，或：在?ABC中，
a,b,c 为A,B,C的对边，有
证法一如图
2
a BC BC
=?()()
AC AB AC AB
=-?-22
2
AC AC AB AB
=-?+
22
2cos
b b
c A c
=-+
[
即2222cos
a b c bc A
=+-
同理可证2222cos
b a
c ac B
=+-2222cos
c a b ab C
=+-
证法二已知?ABC中A,B,C所对边分别为a,b,c,以A为原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系，则(cos,sin),(,0)
C b A b A B c,
2222
(cos)(sin)
a BC
b A
c b A
∴==-+
22222
cos2cos sin
b A b
c A c b A
=-++
同理可证2222cos
b a
c ac B
=+-
)
第三章不等式（无）
22
2
AC AC AB COSA AB
=-?+
222cos
b c bc A
=+-
2222cos
c a b ab C
=+-
数学选修2-1
第一章常用逻辑用语（无）
￥
第二章空间向量与立体几何
1、空间向量基本定理：
2、线面垂直判定定理（p40例1）
如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么该直线与此平面垂直．、