空间几何体的表面积与体积
空间几何体的表面积与体积
、基础知识
①几何体的侧面积是指（各个）侧面面积之和，而表面积是侧面积与所有底面面积之和.
②圆台、圆柱、圆锥的转化
当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥，由此可得：
2
、常用结论
几个与球有关的切、接常用结论
（1）正方体的棱长为a，球的半径为R，
①若球为正方体的外接球，则2R＝3a；
②若球为正方体的内切球，则2R＝a；
［答案］ (1)B (2)A ［ 题组训练 ］
1．(2019 ·武汉部分学校调研 )一个几何体的三视图如图所示，则它的表面积为 ( )
③若球与正方体的各棱相切，则 2R ＝ 2a.
(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为 a ， b ， c ，外接球的半径为 R ，则 2R ＝
a 2＋
b 2＋
c 2.
(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为 3∶1.
考点一 空间几何体的表面积
［典例 ］ (1)(2018 全·国卷Ⅰ )已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O 1，O 2，过直线 O 1O 2 的平面截该圆柱所得的截面是面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为 (
A ．12 2π C ．8 2π
B ．12π D ．10π
(2)(2019 沈·阳质检 )某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是 ()
A ．4＋ 4 2 C ．8＋4 2
8
D.8
3
［解析］ (1)设圆柱的轴截面的边长为 x ，
则 x 2＝8，得 x ＝2 2，
∴S 圆柱表＝2S 底＋S 侧＝2×π×( 2)2＋ 2π× 2×2 2
＝12π故.选 B.
(2)由三视图可知该几何体是一个四棱锥，记为四棱锥 P-ABCD ，如
图所示，其中 PA ⊥底面 ABCD ，四边形 ABCD 是正方形，且 PA ＝2，
AB
＝2，PB ＝2 2，所以该四棱锥的侧面积 S 是四个直角三角形的面积和，
4＋4 2，故选 A.
即 S ＝2× 12×2×2＋21×2×
A ．
28
C ．20＋4 5 解析：选 B 如图，三视图所对应的几何体是长、宽、高分别为
2,2,3 的长方体去掉一个三棱柱后的棱柱 ABIE -DCMH ，则该几何体的
S ＝(2×2)×5＋ 12×1×2 ×2＋2×1＋2× 5＝24＋2 5.故选
表面积
B.
2． (2018 ·郑州第二次质量预测 )某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是 （）
A ． C ． 20＋ 2π
24＋（2－ 2） π B ．24＋（ 2－1） π
D ．20＋（ 2＋1） π
1、
D ．20＋2 5
A．4π
4π
C.43π
(2)(2018 天·津高考)如图，已知
正方体ABCD-A1B1C1D1 的棱长为1，
则四棱锥A1-BB1D1D
的体积为
［解析］
(1)直接法
由题意知该几何体的直观图如图所示，该几何体为圆柱的一部分，设底面扇形
的圆心角为α，由tan α＝13＝ 3 ，得α＝
3
π，故底面面积为21× 3π× 22＝
2
3
π
几何体的体积为23π× 3＝2π.
(2)法一：直接法
连接A1C1 交B1D1 于点E，则A1E⊥B1D1，A1E⊥BB1，则A1E⊥平
面BB1D1D ，
所以A1E 为四棱锥A1-BB1D1D 的高，且A1E＝
矩形BB1D1D 的长和宽分别为2，1，
1 2 1 故V A1-BB1D1D ＝
1
3×(1× 2)× 22＝31.
法二：割补法
连接BD1，则四棱锥A1-BB1D1D 分成两个三棱锥B-A1DD 1与B- A1B1D 1，
11
所以V
A1-BB1D1D ＝V
B-A1DD1
＋V
B-A1B1D1
＝
3
×
2
×1×1×
[答案] (1)B (2)13D．π
1＋1×1×1× 1×1＝1.
3 2 3
[ 题组训练]
解析：选 A 三棱锥B1-ABC1的体积等于三棱锥A-B1BC1的体积，三棱锥A-B1BC1的高为23，底面积为12，故其体积为31× 21× 23＝123.
2 2
3 2 2 12
2. 割补法某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是
3 直接法一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
1. 等体积法如图所示，已知三棱柱ABC-A1B1C1 的所有棱长均为
AA1⊥底面ABC，则三棱锥B1-ABC1 的体积为( )
A.
3
12 B.
.6
.12 D.
()
A．13
C．15
B．14
D．16
解析：选 C 所求几何体可看作是将长方体截去两个三棱柱得
到的几何体，在长方体中还原该几何体，如图中ABCD-A′B′C′D
所示，长方体的长、宽、高分别为4,2,3，两个三棱柱的高为2，底
面是两直角边长分别为 3 和 1.5 的直角三角形，故该几何体的体积V
＝4×2×3－2×
13
2×3×2× 2＝15，故选 C.
得半球半径为 2，从而该几何体的体积为 1×12×1＋1× 4π
× 2 3＝1＋ 2π
2 3 2 3 2 3 6
考点三 与球有关的切、接问题
考法 （一 ） 球与柱体的切、接问题
［典例 ］ （2017 ·江苏高考 ）如图，在圆柱 O 1O 2 内有一个球 O ，该球与圆柱的
上、 底面及母线均相切．记圆柱 O 1O 2的体积为 V 1，球 O 的体积为 V 2，则 V1的值是
［解析］ 设球 O 的半径为 R ，因为球 O 与圆柱 O 1O 2的上、
[答案 ] 32
考法 （二 ） 球与锥体的切、接问题
［典例］ （2018 全·国卷Ⅲ ）设 A ，B ，C ，D 是同一个半径为 4 的球的球面上四点，△ ABC 为等边三角形且其面积为 9 3，则三棱锥 D-ABC 体积的最大值为 （ ）
A ． 12 3
B ． 18 3
C ．24 3
D ．54 3
［解析］ 由等边△ ABC 的面积为 9 3，可得 43AB 2＝9 3，所以 AB ＝6，所以等边△ ABC
3
的外接圆的半径为 r ＝ 3 AB ＝2 3.设球的半径为 R ，球心到等边△ ABC 的外接圆圆心的距 离为 d ，则 d ＝ R 2－r 2＝ 16－ 12＝2.所以三棱锥 D-ABC 高的最大值为 2＋4＝6，所以三棱 锥
D-ABC 体积的最大值为 31× 9 3×6＝18 3.
3
［答案 ］ B
［题组训练 ］
12
A.
3＋3
π
B.13＋ 32
C.13＋ 62π
D ．1＋ 62
6
解析： 选 C 由三视图知，四棱锥是底面边长为 1，高为 1 的正四棱锥，结合三视图可
底面及母线均相切，所以
圆柱的底面半径为 R 、高为 2R ，所以
V V 12
＝ πR 2·
2R 43
3πR 3
3 2.
1．（2018 福·建第一学期高三期末考试 ）已知圆柱的高为 2，底面半径为 3，若该圆柱的
两个底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的表面积等于
16 B. 3π
()
A ．4π 32 C.3π
D ．16π
解析：选 D 如图，由题意知圆柱的中心 O 为这个球的球心， 于是，球的半径 r ＝OB ＝ OA 2＋ AB 2＝ 12＋ 3 2＝2. 故这个球的表面积 S ＝4πr 2＝16π故.选 D.
2．三棱锥 P-ABC 中， AB ＝BC ＝ 15，AC ＝6，PC ⊥平面 ABC ，PC ＝2，则该三棱锥的
外接球表面积为 _______
解析：由题可知，△ ABC 中 AC 边上的高为 15－32＝ 6，球心 O 在底面 ABC 的投影 即为△ ABC 的外心 D ，设 DA ＝DB ＝DC ＝x ，所以 x 2＝32＋（ 6－x ）2，解得 x ＝546，所以
R 为三棱锥外接球的半径 ），所以外接球的表面积 S ＝4πR
83 2
答案：
83 2
[课时跟踪检测 ]
1．（2019 ·深圳摸底 ）过半径为 2 的球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所
得截面的面积与球的体积的比值为 （ ）
A. 9 32
B. 9 16
C.38
.3
.
16
解析：选 A 由题意知所得截面为圆，设该圆的半径为 r ，则 22＝12＋r 2，所以 r 2＝3，
所以所得截面的面积与球的体积的比值为
π×3
＝ 9，故选 A. 4 3 32 43π×2
3 32
2．如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为 () R
2＝ x 2＋
83
883
(其中