复数与复变函数

第一章复数与复变函数

(Complex number and function of the complex variable)

第一讲

授课题目：§1.1复数

§1.2 复数的三角表示

教学内容：复数的概念、复数的四则运算、复平面、复数的模和辐角、复数的三角不等式、复数的表示、复数的乘方与开方.

学时安排：2学时

教学目标：1、掌握复数的乘方、开方运算及它们的几何意义

2、切实理解掌握复数的辐角

3、掌握复数的表示

教学重点：复数的乘方、开方运算及它们的几何意义

教学难点：复数的辐角

教学方式：多媒体与板书相结合.

P思考题：1、2、3.习题一：1-9

作业布置：

27

板书设计：一、复数的模和辐角

二、复数的表示

三、复数的乘方与开方

参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.

2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高

等教育出版.

课后记事：1、基本掌握复数的乘方、开方运算

2、不能灵活掌握复数的辐角（要辅导）

3、能灵活运用复数的三角表示进行复数的运算

教学过程：

引言

复数的产生和复变函数理论的建立

1、1545年，意大利数学家Cardan在解三次方程时，首先产生了负数开平方的思想.后来，数学家引进了虚数，这在当时是不可接受的.这种状况随着17、18世纪微积分的发明和给出了虚数的几何解析而逐渐好转.

2、1777年，瑞士数学家Euler建立了系统的复数理论，发现了复指数函数和三角函数之间的关系，创立了复变函数论的一些基本定理，并开始把它们应用到水力学和地图制图学上.用符号i表示虚数单位，也是Euler首创的.

3、19世纪，法国数学家Cauchy、德国数学家 Riemann 和Weierstrass经过努力，建立了系统的复变函数理论，这些理论知直到今天都是比较完善的.

4、20世纪以来，复变函数理论形成了很多分支，如整函数与亚纯函数理论、解析函数的边值问题、复变函数逼近论、黎曼曲面、单叶解析函数论等等，并广泛用于理论物理、弹性物理和天体力学、流体力学、电学等领域.

5、复变函数课程主要任务为研究复变数之间的相互依赖关系.其中许多概念、理论和方法是实变函数在复变函数领域内的推广和发展，在学习过程中要注意它们相似之处和不同之处的比较.

第一章 复数与复变函数

§1.1 复数

(Complex number)

一、 复数的概念（The concept of complex ）

1、称iy x +为复数，其中R y x ∈,，1-=i 是虚数单位；通常记为iy x z +=；

2、x 和y 分别称为z 的实部和虚部，分别记作z x Re =，z y Im =；

3、纯虚数：若,0,0≠=y x 称),(R y x iy x z ∈+=为纯虚数；当0Im ≠z ，那么iy x z +=称为虚数；当0Im =z 时，那么x z =就是一个实数；

4、两个复数相等：复数111iy x z +=和222iy x z +=相等是指它们的实部与虚部分别相等.

5、共轭复数：称实部相同而虚部互为相反数的两个复数为共轭复数.记z 的共轭复数为z .设复数iy x z +=，则称iy x -为复数z 的共轭复数（Conjugate ），记作iy x z -=

注1：两个虚数之间不能比较大小.

例如，设0>i ，则i i i ?>?0，即01<-，矛盾.

注2：000i +=

二、复数的四则运算（Complex number arithmetic ） 设111ib a z += 222ib a z += 则

)

()()()(2121221121b b i a a ib a ib a z z ±+±=+±+=±)()())((12212121221121b a b a i b b a a ib a ib a z z ++-=++= 22

22211222222121221121))()(b a b a b a i b a b b a a ib a ib a z z +-+++=++=（02≠z ） 容易验证下列公式： (1) 2121z z z z ±=±， (2) 2121z z z z ?=?， (3) ()0)(22

121≠=z z z z z ， (4) )Im(2),Re(2z i z z z z z =-=+，

2222)(Im )(Re z z y x z z +=+=， (5) 2Re z z z +=, i z z z Im 2-=，(6) ()

z z =. 显然，复数的运算满足交换律、结合律和分配律.

复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为C .

三、复平面（Complex plane ）

作映射：),(:2y x iy x z R C α+=→，则在复数集与平面2R 之间建立了一个1-1对应.在直角坐标系中，横坐标轴上的点表示实数，X 轴称为实轴，纵坐标轴上的点表示纯虚数，Y 轴称为虚轴；把实轴和虚轴决定的整个坐标平面我们称为复平面（Complex plane ）或Z 平面.

注3 复平面一般称为z -平面，w -平面等.

§1.2 复数的三角表示

(The representation of complex number)

一、复数的模和辐角（Complex modulus and Argument ） 如图: 复数iy x z +=用向量op 来表示.向量的长度称为复数iy x z +=的模，记作：22||y x z +=；

向量与正实轴之间的夹角称为复数iy x z +=的辐角（Argument ），记作：z Arg .

由于任意非零复数有无限多个辐角，用arg z 表示符合条件 arg z ππ-<≤的一个角，称为复数iy x z +=主辐角（Main Argument ）.即z Arg 的主值，于是

ΛΛ,2,1,02arg Arg ±±=+=k k z z π 此时有Argz z Arg z z -==. z z z =2

注4 当0=z 时辐角无意义. 当0≠z 时，有如下关系（arg z ππ-<≤，

arctan 22y x π

π-<<）

??????????<<π-≥<π+>=π>>=≠;

,,arctan ;,,arctan ;,,;,,arctan arg 0000002000y x y y x x y y x y x x y z z 当当当当

x

例1 求)43-(Arg )2(Arg i i +-及

解

二、复数模的三角不等式（Plural triangle inequality ） 关于两个复数1z 与2z 的和与差的模，有下列不等式：

（1）||||||2121z z z z +≤+；（2）||||||||2121z z z z -≥+；

（3）||||||2121z z z z +≤-；（4）||||||||2121z z z z -≥-；

（5）|||Im ||,||Re |z z z z ≤≤；（6）z z z =2||.

例2 设1z ，2z 是两个复数，求证：

),Re(2||||||212221221z z z z z z -+=-

证明 ()()

2121221z z z z z z --=- 22π<<π-x y arctan 其中22222Arg()arg()i i k π-=-+πk 222arctan +-=),2,1,0(24Λ±±=+-=k k πππk i i 2)43arg()43Arg(++-=+-ππ++-=k 234arctan )

,2,1,0(34arctan )12(Λ±±=-+=k k π

()2122212

121222112212221Re 2z z z z z z z z z z z z z z z z -+=--+=---=

三、复数的三角表示（Representation of complex numbers ）

1、复数的点表示（Plural Point ）

复数iy x z +=对应有序实数对()y x ,，另一方面，在 平面直角坐标系中点()y x P ,也对应有序实数对()y x ,，因此复数iy x z +=可用点()y x P ,来表示.复数z 与点z 同义

2、复数的向量表示（Complex vector that ）

我们已经知道复数iy x z +=等同于平面中的向量，所以，复数iy x z +=可用向量来表示，

3、复数的三角表示（Complex triangle that ）

设0≠z 的复数，复数z 的模为r ，θ是复数z 的任意一个辐角，则

)sin (cos θθi r z +=,

上式右端称为复数z 的三角表示.

注5：一个复数的三角表示不是唯一的

例3 写出复数i +1的三角表示

解 因为()41arg 21π

=+=+i i ，所以

??? ?

?+=+4sin 4cos 21ππi i 也可以表示为

??

? ??+=+49sin 49cos 21ππi i 例4 设()θθsin cos i r z +=求复数

z 1的三角表示 解 因为()θθsin cos ,,12i r z r z z z z -===，所以

()()()[]θθθθ-+-=-=sin cos 1sin cos 11i r

i r z 4、复数的指数表示（Said plural index ）

由欧拉公式θθθ

sin cos i e i +=，可得复数 )sin (cos θθi r z +=的指数表示θ

i re z =

例5 将复数 化为指数式 解

四、用复数的三角表示作乘除法（With the complex triangle that make multiplication and division ）

利用复数的三角表示，我们表示复数的乘法与除法：设1z ，2z 是两个非零复数，则有

()

10cos sin i ??

?π-+<≤222122222222222222222cos sin sin sin cos sin sin cos sin cos sin sin i i i i e π??????????π?π??

??- ???

-+=+??=+??????????=-+- ? ?????????=

)sin (cos ||1111θθi z z += )sin (cos ||2222θθi z z += 则有

)]sin()[cos(||||21212121θθθθ+++=i z z z z

有||||||2121z z z z =，2121)(Argz Argz z z Arg +=，后一个式子应理解为集合相等.

同理，对除法有

)]sin()[cos(21212

121θθθθ-+-=i z z z z 即2

121||z z z z =，2121)(Argz Argz z z Arg -=，后一个式子也应理解为集合相等.

五、复数的乘方与开方（Involution and evolution of complex numbers ）

1、复数的乘方（A power complex ）

设复数()θθsin cos i r z +=，则对正整数n

()θθn i n r z n n sin cos += （1） 当1=r 时，即

()θθθθn i n i n sin cos sin cos +=+ （2）

（2）式称为棣莫弗（De Moivre ）公式

2、复数的开方（Evolution of complex numbers ） 开方是乘方的逆运算，设z w n =，则称复数w 为复数z 的z n 次方根.记作

n n

z z w ==1 （0≠z ）

令()θθsin cos i r z += ()??ρsin cos i w +=

于是就有 ()=+n n i ??ρsin cos ()θθsin cos i r +

由此推出 ()ΛΛ,2,1,021,1±±=+=

=k k n r n πθ?ρ

故得 ()())]21sin()21[cos(||1πθπθk n

i k n z z w n n

+++== ΛΛ,2,1,0±±=k （3） 当1.,2,1,0-=n k Λ时，w 有n 个互不相同的值.（3）可写成

()())]21sin()21[cos(||1πθπθk n

i k n z z w n n +++== 1,,2,1,0-=n k Λ （4） 例6 求4)1(i +的所有值 解：由于)4

sin 4(cos 21ππi i +=+，所以有 )]24

(41sin )24(41[cos 2)1(84ππππk i k i +++=+ )]2

16sin()216[cos(2)1(84ππππk i k i +++=+3,2,1,0=k .

例7 解方程0)3(32=---i iz z

i i z i i z i i i i z i iz z 21)42(21,1)22(212

)2(32)3(4930

)3(3212+-=+-=+=+=-±=-+-±=

=---解 内容小结

1、复数的概念（iy x z +=）

2、复数的四则运算

3、复平面

4、复数的模和辐角

5、复数的三角不等式

6、复数的表示法（代数表示、三角表示、指数表示）

7、复数的乘方与开方

22||y x z +=Λ

Λ,2,1,02arg Arg ±±=+=k k z z π()cos sin n n n n n z z z r n i n Argz nArgz θθ?=?=+??=??()())]sin()[cos(||πθπθk n i k n z z w n n 21211+++==Λ

Λ,2,1,0±±=k

2 1

§1.3 平面点集的一般概念§1.4复球面与无穷大

§1.5 复变函数

开集与闭集、区域、平面曲线、复球面、复变函数的概念、复变函数的极限与连续、一致连续性、有界闭区域E上连续函数的性质.

1、了解复平面上点集的一般概念

2、理解复球面与复平面的关系

3、充分理解关于单值函数、多值函数的概念

4、理解复变函数的极限与连续性的概念

复变函数的概念、极限与连续

无穷大与复球面

讲授法多媒体与板书相结合

P习题一：10-16

28

一、复球面与无穷大

二、复变函数的概念、极限与连续

三、有界闭区域E上连续函数的性质

[1] 《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社.

[2] 《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高等教育出版社.

1、基本掌握复变函数的极限运算

2、能够理解关于单值函数、多值函数的概念

3、基本理解复球面与复平面的关系

第二讲

授课题目：§1.3 平面点集的一般概念

§1.4复球面与无穷大

§1.5 复变函数

教学内容：开集与闭集、区域、平面曲线、复球面、复变函数的概念、复变函数的极限与连续、一致连续性、有界闭区域E上连

续函数的性质.

学时安排：2学时

教学目标：1、了解复平面上点集的一般概念

2、理解复球面与复平面的关系

3、充分理解关于单值函数、多值函数的概念

4、理解复变函数的极限与连续性的概念

教学重点：复变函数的概念、极限与连续

教学难点：无穷大与复球面

教学方式：多媒体与板书相结合

P习题一：10-16

作业布置：

28

板书设计：一、复球面与无穷大

二、复变函数的概念、极限与连续

三、有界闭区域E上连续函数的性质

参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育

出版社.

2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高

等教育出版.

课后记事：1、基本掌握复变函数的极限运算

2、能够理解关于单值函数、多值函数的概念

3、基本理解复球面与复平面的关系

教学过程：

§1.3 复平面上点集的一般概念

(Elementary conception of point set in complex plane)

一、开集与闭集（Open set and closed set ）

设0, 0>∈δC z ，点集

},,|| |{0C z z z z ∈<-δ

称为点0z 的δ邻域，记作),(0δz U

注1：),(r a U },,|| |{0C z z z z ∈≤-=δ设C z C G ∈?0,，

(1)若0>?δ，使得G z U ?),(0δ，则称0z 为G 的内点（Interior point ）；

(2)若G z U ?>?),(,00δδ中既有属于G 的点，又有不属于

G 的点，则称0z 为G 的边界点（Boundary points ）

； 集G 的全部边界点所组成的集合称为G 的边界（Border ），记为G ?；

(3)若0>?δ，使得}{),(00z G z U =?δ，则称0z 为G 的孤立点（Outlier ）；

注2：G 的孤立点（Outlier ）一定是G 的边界点（Boundary points ）

如果G 的所有点都是它的内点，那么称G 为开集；

如果0>?δ，使得),0(δU G ?, 则称G 是有界集（Bounded set ），否则称G 是无界集；

例1 圆盘),(0δz U 是有界开集；

例2 集合}|||{0r z z z G =-=是以0z 为心，半径为r 的圆周，

G 是圆盘),(0r z U 和闭圆盘),(0r z U 的边界.

例3 复平面、实轴、虚轴是无界集，复平面是无界开集. 例4 点集}||0|{0δ<-<=z z z G 是去掉圆心的圆盘.圆心0z 是点集G 的边界点.它是G ?的孤立点，

二、区域（Region ）

复平面C 上的点集D 是一个区域，如果满足：

（1）D 是开集；

（2）D 是连通的，即D 中任意两点可以用完全属于D 的折线连起来.

换句话说：区域就是连通的开集

区域D 内及其边界上全部点所组成的点集称为闭区域（Closed area ）.记作G

例5 点集=G }3Re 2|{<

例6 点集=G }3)arg(2|{<-

2)arg(=-i z 及3)arg(=-i z .

三、平面曲线（Plane curve ）

设()())(,)(b t a t iy t x t z z ≤≤+==如果())(Re t z t x =和())(Im t z t y =都在闭区间],[b a 上连续，则称点集]},[|)({b a t t z ∈为一条连续曲线（Continuous curve ）.

如果对],[b a 上任意不同两点1t 及2t ，但不同时是],[b a 的端

点，我们有)()(21t z t z ≠，那么上述点集称为一条简单连续曲线（Simple continuous closed curve ），或约当曲线（Jordan curve ）.若还有)()(b z a z =，则称为一条简单连续闭曲线（Simple continuous closed curve ），或约当闭曲线（Jordan closed curve ）.

约当定理（Jordan Theorem ）：任意一条约当闭曲线把整个复平面分成两个没有公共点的区域：一个有界的称为该区域的内部，一个无界的称为该区域的外部.他们都是以该闭曲线为边界.

光滑曲线（Smooth curve ）：如果())(Re t z t x =和

())(Im t z t y =都在闭区间],[b a 上连续，且有连续的导函数，在

],[b a 上，()()0)('≠'+'=t y i t x t z ，则称集合]},[|)({b a t t z ∈为一条光滑曲线（Smooth curve ）；类似地，可以定义分段光滑曲线. 由有限条光滑曲线连接而成的连续曲线成为逐段光滑曲线.

设D 为复平面上的区域，若在D 内无论怎样划简单闭曲线，其内部仍全含于D ，则称D 为单连通区域（Simply connected region ）.否则，称为多连通区域（Multi-connected region ）

例7 集合}3||2|{<-

§1.4复球面与无穷大

1、复球面 （Complex sphere ）

在点坐标是),,(u y x 的三维空间中，把XOY 面看作就是z 平面.考虑单位球面S ：1222=++u y x

取定球面在原点O （南极）与z 平面相切，过原点O 作一垂直于z 平面的直线与球面交于一点)1,0,0(N 称为北极.作连接 )1,0,0(N 与z 平面上的点()0,,y x A 的直线, 即复平面上的点()0,,y x A 都对应球面上的点.反过来也成立.那么)1,0,0(N 与复平面上的哪一点对应？

约定: 在复平面上有一个理想的点, 称之为无穷远点, 其投影为)1,0,0(N . （下图形是错的）

2、无穷大（Infinity ）

我们称上面的映射为球极投影.对应于球极投影为N ，我们引入一个新的非正常复数无穷远点∞，称}{∞?C 为扩充复平面（Extended complex plane ），记为∞C ，与它对应的球面称为复球面（Complex sphere ）；.

关于新“数” 无穷大（Infinity ）∞，作如下几点规定

(x A

复数与复变函数

第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100 z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π= -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2 321+- （D ）i 2 1 23+- 3．复数)2 ( tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2 sin()2[cos( sec θπ θπ θ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos( sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则2 2z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ） z z z z 222=- （C ） z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设 y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的 轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向 量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ） i -3 （D ） i +3 ７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数

复变函数试题与答案

第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+= 11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3 )2(π = +z arc ，6 5)2(π = -z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2 123+- 3．复数)2 ( tan πθπ θ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2 sin()2 [cos(sec θπ θπθ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπ θπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos(sec θπθπθ+++-i （D ）)]2 sin()2[cos(sec θπ θπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则2 2z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 22 2=- （C ）z z z z 22 2≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点),(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转 3 π ，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为 i 31-，则原向量对应的复数是（ ） （A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3

７．使得2 2 z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +- 43 （B ）i +43 （C ）i -4 3 （D ）i --43 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232= -+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ） 22 1 =+-z z （B ）433=--+z z （C ） )1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44--（B ）i 44+（C ）i 44-（D ）i 44+- 13．0 0) Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i -（C ）等于0（D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ） （A ）),(y x u 在),(00y x 处连续（B ）),(y x v 在),(00y x 处连续 （C ）),(y x u 和),(y x v 在),(00y x 处连续（D ）),(),(y x v y x u +在),(00y x 处连续

第1章复数与复变函数-难题解答

第一章 复数与复变函数 §习题 2．设12,,...,n z z z 是任意n 个复数，证明：1 1 ||||n n k k k k z z ==≤∑∑，并给出不等式中等号成立 的条件. （提示：可以用数学归纳法证明.等号成立的条件是12,,...,n z z z 线性相关）. 3(Re Im )Re Im . z z z z z +≤≤+ 证明：设z a ib =+，则Re z a =，Im z b =，||z = .由题2知， z a bi a b ≤+=+ 故22 22 2222 2 22||2 2 22 a a b b a b a b a b ab z +++++= = +≤+=， (Re Im )Re Im . z z z z z +≤≤+ 4．若12||,0z z λλ=>，证明：21212||z z z z λλ-=-. 证明：不妨设2 2 2 21210.z z z z λ≠= 则2 2 2 2212122 121 112z z z z z z z z z z z z λλ-=-=-=- 即有21212||z z z z λλ-=-成立. 5．设|a |<1，证明：若|z|=1，则 11z a az -=-. 证明：由1z =得1zz = 故11z a z azz z az az -=-=-=-

即证之. 6．设|a |<1，|z|<1.证明： 11z a az -<-. 证明：提示：（ 11z a az -<-?2222||2Re ||12Re ||||;z az a az a z -+<-+ 而2 2 2 2 2 2 1||||||||(1||)(1||)0;a z a z a z --+=-->） 7．设12,,...,n z z z ，12,,...,n ωωω是任意2n 个复数，证明复数形式的Lagrange 等式： 2 2 2 2 1 1 1 1()(),n n n k j j j j j j k j j j j k n z z z z ωωωω===≤<≤=- -∑∑∑∑ 并由此推出Cauchy 不等式： 22 2 1 11 n n n j j j j j j j z z ω ω===???? = ??? ???? ??? ∑∑∑. 证明：提示（记1212......n n z z z A ωωω?? = ??? ， 1112'2212...det det()0.........n n n n z z z z z AA z ωωωωωω?? ? ?? ? =≥ ? ??? ? ??? ， 2 det det ||j k j j j k k j j k k k z z z z z z ωωωωωω?? ??=- ? ? ? ????? ，则原式=2 10k j j k j k n z z ωω≤<≤-≥∑.(1) 另外，2111 112 22212 11...det det .........n n j j j j j n n n n j j j n j j n z z z z z z z z z ωωωωωωωωω====???? ? ??? ? ? = ? ? ??? ? ? ? ? ?? ??∑∑∑∑ 2 2 2 1 1 1 ()()0n n n j j j j j j j z z ωω ====- ≥∑ ∑∑.（2） 由（1）=（2）可得证.

第一章复数与复变函数

第一章复数与复变函数 (Complex number and function of the complex variable) 第一讲 授课题目：§1.1复数 §1.2 复数的三角表示 教学内容：复数的概念、复数的四则运算、复平面、复数的模和辐角、复数的三角不等式、复数的表示、复数的乘方与开方. 学时安排：2学时 教学目标：1、掌握复数的乘方、开方运算及它们的几何意义 2、切实理解掌握复数的辐角 3、掌握复数的表示 教学重点：复数的乘方、开方运算及它们的几何意义 教学难点：复数的辐角 教学方式：多媒体与板书相结合. P思考题：1、2、3.习题一：1-9 作业布置： 27 板书设计：一、复数的模和辐角 二、复数的表示 三、复数的乘方与开方 参考资料：1、《复变函数》，西交大高等数学教研室，高等教育出版社. 2、《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》，高 等教育出版. 课后记事：1、基本掌握复数的乘方、开方运算 2、不能灵活掌握复数的辐角（要辅导） 3、能灵活运用复数的三角表示进行复数的运算

教学过程：

引言 复数的产生和复变函数理论的建立 1、1545年，意大利数学家Cardan在解三次方程时，首先产生了负数开平方的思想.后来，数学家引进了虚数，这在当时是不可接受的.这种状况随着17、18世纪微积分的发明和给出了虚数的几何解析而逐渐好转. 2、1777年，瑞士数学家Euler建立了系统的复数理论，发现了复指数函数和三角函数之间的关系，创立了复变函数论的一些基本定理，并开始把它们应用到水力学和地图制图学上.用符号i表示虚数单位，也是Euler首创的. 3、19世纪，法国数学家Cauchy、德国数学家 Riemann 和Weierstrass经过努力，建立了系统的复变函数理论，这些理论知直到今天都是比较完善的. 4、20世纪以来，复变函数理论形成了很多分支，如整函数与亚纯函数理论、解析函数的边值问题、复变函数逼近论、黎曼曲面、单叶解析函数论等等，并广泛用于理论物理、弹性物理和天体力学、流体力学、电学等领域. 5、复变函数课程主要任务为研究复变数之间的相互依赖关系.其中许多概念、理论和方法是实变函数在复变函数领域内的推广和发展，在学习过程中要注意它们相似之处和不同之处的比较.

第一章-复数与复变函数

复变函数教案 2012—2013学年度第二学期 任课教师郭城 课程名称复变函数 采用教材高教三版（钟玉泉编） 周课时数 4 数统学院数学教育专业2010 年级1班

引言 数学从产生、有发展到现在，已成为分支众多的学科了，复变函数是其中一个非常重要的分支。以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论，简称函数论。 我们知道，在解实系数一元二次方程ax2+bx+x=O(a≠o1时，如果判别式b2-4 ac

第一章 复数与复变函数

第一章 复数与复变函数 第一节 复数 1．复数域 每个复数z 具有x iy +的形状，其中x 和R y ∈，1-=i 是虚数单位；x 和y 分别称为z 的实部和虚部，分别记作z x Re =，z y Im =。 复数111iy x z +=和2 22iy x z +=相等是指它们的实部与虚部分别相等。 如果0Im =z ，则z 可以看成一个实数；如果0Im ≠z ，那么z 称为一个虚数；如果0Im ≠z ，而0Re =z ，则称z 为一个纯虚数。 复数的四则运算定义为： )2 1()21()22()11(b b i a a ib a ib a ±+±=+±+)1 221()2121()22)(11(b a b a i b b a a ib a ib a ++-=++ ()()11121221122222()222222 a i b a a b b a b a b i a ib a b a b ++-=++++ 复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域，记为C 。 2．复平面 C 也可以看成平面2R ，我们称为复平面。 作映射：),(:2y x iy x z R C +=→，则在复数集与平面2R 之建立了一个1-1对应。 横坐标轴称为实轴，纵坐标轴称为虚轴；复平面一 般称为z -平面，w -平面等。 3．复数的模与辐角 复数z x iy =+可以等同于平面中的向量。向量的长度称为复数的模，定 (,) x y

义为：||z 向量与正实轴之间的夹角称为复数的辐角，定义为： Arg arctan 2y z i x π=+（k Z ∈）。 复数的共轭定义为：z x iy =-； 复数的三角表示定义为：||(cos sin )z z Argz i Argz =+； 复数加法的几何表示： 设1 z 、2z 是两个复数，它们的加法、减法几何意义是向量相加减，几何意义如下图： 关于两个复数的和与差的模，有以下不等式： （1）、||||||1212z z z z +≤+；（2）、||||||||1212 z z z z +≥-； （3）、||||||1212z z z z -≤+；（4）、||||||||1212 z z z z -≥-； （5）、|Re |||,|Im |||z z z z ≤≤；（6）、2||z zz =； 例1．1试用复数表示圆的方程： 22()0a x y bx cy d ++++= （0a ≠） 其中a,b,c,d 是实常数。 解：方程为 0azz z z d ββ+++=，其中1()2 b i c β=+。 2z

复变函数论第一章复数与复变函数

引言 复数理论的产生、发展经历了漫长而又艰难的岁月．复数是16世纪人们在解代数方程时引入的． 1545年，意大利数学物理学家H Cardan （卡丹）在所著《重要的艺术》一书中列出将10分成两部分，使其积为40的问题，即求方程(10)x x -的根，它求出形式的根为 5+525(15)40--=． 但由于这只是单纯从形式上推广而来引进，并且人民原先就已断言负数开平方是没有意义的．因而复数在历史上长期不能为人民所接受．“虚数”这一名词就恰好反映了这一点． 直到十八世纪，,D Alembert （达朗贝尔）：L Euler （欧拉）等人逐步阐明了复数的几何意义与物理意义，建立了系统的复数理论，从而使人民终于接受并理解了复数． 复变函数的理论基础是在十九世纪奠定的，主要是围绕..A L Cauchy （柯西），K Weierstrass （魏尔斯特拉斯）和B Riemann （黎曼）三人的工作进行的． 到本世纪，复变函数论是数学的重要分支之一，随着它的领域的不断扩大而发展成庞大的一门学科，在自然科学其它（如空气动力学、流体力学、电学、热学、理论物理等）及数学的其它分支（如微分方程、积分方程、概率论、数论等）中，复变函数论都有着重要应用． 第一章 §1 复数 教学目的与要求：了解复数的概念及复数的模与辐角； 掌握复数的代数运算复数的乘积与商﹑幂与根运算. 重点：德摩弗()DeMoiVre 公式. 难点：德摩弗()DeMoiVre 公式. 课时：2学时. 1． 复数域 形如z x iy =+或z z yi =+的数，称为复数，其中x 和y 均是实数，称为复数z 的 实部和虚部，记为Re x z =，Im y z = i =，称为虚单位． 两个复数111z x iy =+，与222z x iy =+相等，当且仅当它们的实部和虚部分别对应相等，即12x x =且12y y =虚部为零的复数可看作实数，即0x i x +=，特别地，000i +=，因此，全体实数是全体复数的一部分． 实数为零但虚部不为零的复数称为纯虚数，复数x iy +和x iy -称为互为共轭复数，记

复数与复变函数

第一讲 复数及复变函数 1.复数的基本概念 R ∈+=y x y i x z , , ． 其中：x 称为复数z 的实部，y 称为复数z 的虚部．分别记为： Im , Re z y z x ==． 设两个复数222111 , y i x z y i x z +=+=，我们规定 212121 , y y x x z z ==?=． 当00 , 0i y x +==时称为复数零，仍用0表示． a ．复数的运算 设222111 , y i x z y i x z +=+=，则 b ．复数的模与幅角 复数集C 与平面点集R ，和平面中从原点发出的向量一一对应．所以我们将不加区别地使用． 容易证明，复数的加减法(1.1)与向量的加减法(平行四边形)法则相吻合． 复数与平面上的点一一对应，所以我们可用平面坐标表示复数．y i x z +=的坐标为()y x , ．这样，平面上的点可以表示复数了．这个复化后的平面我们称之为复平面，仍用C 表示．x 轴称为实轴，y 轴称为虚轴． 设y i x z +=，称 为z 的模，而复向量z 与x 轴正向的夹角称为复数z 的幅角，记为 π2 Arg k z +=θ， 其中θ为z 的主幅角，ππ≤<-θ，记为z arg ． 由此 Z ∈+=k k z z ,2arg Arg π． (1.2) c ．复数的三角表示 设非零复数z 的模r z = ，幅角πk z 2 Arg +=θ，其中θ为主幅角．则 θθsin ,cos r y r x ==． 若记θθθsin cos e i i +=，则 θθθi r i r y i x z e )sin (cos =+=+=． (1.3)

复变函数试题与答案

第一章 复数与复变函数 一、 选择题 1．当i i z -+=11时，5075100z z z ++的值等于（ ） （A ）i （B ）i - （C ）1 （D ）1- 2．设复数z 满足3)2(π =+z arc ，6 5)2(π=-z arc ，那么=z （ ） （A ）i 31+- （B ）i +-3 （C ）i 2321+- （D ）i 2123+- 3．复数)2( tan πθπθ<<-=i z 的三角表示式是（ ） （A ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++i （B ）)]2 3sin()23[cos(sec θπθπθ+++i （C ）)]23sin()23[cos( sec θπθπθ+++-i （D ）)]2sin()2[cos(sec θπθπθ+++-i 4．若z 为非零复数，则22z z -与z z 2的关系是（ ） （A ）z z z z 222≥- （B ）z z z z 222=- （C ）z z z z 222≤- （D ）不能比较大小 ５．设y x ,为实数，yi x z yi x z +-=++=11,1121且有1221=+z z ，则动点) ,(y x 的轨迹是（ ） （A ）圆 （B ）椭圆 （C ）双曲线 （D ）抛物线 ６．一个向量顺时针旋转3 π，向右平移３个单位，再向下平移１个单位后对应的复数为i 31-，则原向量对应的复数是（ ）

（A ）2 （B ）i 31+ （C ）i -3 （D ）i +3 ７．使得22z z =成立的复数z 是（ ） （A ）不存在的 （B ）唯一的 （C ）纯虚数 （D ）实数 ８．设z 为复数，则方程i z z +=+2的解是（ ） （A ）i +-43 （B ）i +43 （C ）i -43 （D ）i --4 3 ９．满足不等式 2≤+-i z i z 的所有点z 构成的集合是（ ） （A ）有界区域 （B ）无界区域 （C ）有界闭区域 （D ）无界闭区域 10．方程232=-+i z 所代表的曲线是（ ） （A ）中心为i 32-，半径为2的圆周 （B ）中心为i 32+-，半径为２的圆周 （C ）中心为i 32+-，半径为2的圆周 （D ）中心为i 32-，半径为２的圆周 11．下列方程所表示的曲线中，不是圆周的为（ ） （A ）22 1=+-z z （B ）433=--+z z （C ）)1(11<=--a az a z （D ）)0(0>=-+++c c a a z a z a z z 12．设,5,32,1)(21i z i z z z f -=+=-=，则=-)(21z z f （ ） （A ）i 44-- （B ）i 44+ （C ）i 44- （D ）i 44+- 13．0 0)Im()Im(lim 0z z z z x x --→（ ） （A ）等于i （B ）等于i - （C ）等于0 （D ）不存在 14．函数),(),()(y x iv y x u z f +=在点000iy x z +=处连续的充要条件是（ ）

复变函数简单总结

对于某些专业的工科学生，学习复变函数是非常有意义的。 复变函数的记号是w＝f（z）。 从几何的角度上看，复变函数是一个复平面上的点集到另一个复平面上的一个映射。 在直角坐标系复平面上，自变量记作z＝x＋iy，函数值记作w＝u＋iv。那么复变函数w＝f（z）就等价于两个二元函数u=u（x，y）,v=v（x，y），即一个复变函数的映射，等同于两个二元实函数的映射。 在物理学或力学中，可以用复变函数来建立“平面场”的数学模型，例如在流体力学中，平面流速场的速度分布可用复函数 V＝V（z）＝Vx（x，y）＋i Vy （x，y）来表示，其中，Vx（x，y）和Vy（x ，y）是坐标轴方向的速度分量（不是偏导数记号），V（z）则称为复速度。 在静电学中，平面静电场也可以用复函数 E（z）＝Ex（x，y）＋i Ey（x，y）来表示，Ex（x，y）和 Ey（x，y）是坐标轴方向的场强分量，E（z）称为复场强。 对于理科的物理专业，以及工科与流体力学、电工电子学有关的各类专业，“复变函数与数学物理方法”课程（也有分为两门的，甚至三门的，即积分变换）都是很基础的一门课程。 复变函数泛谈 首先，复变函数以复数为中心进行一系列讨论和分析，而复数的独特之处在于它的虚部，也就是虚数部分；之前对虚数域的认识，完全在于一个虚字。而对于复变产生的意义，书中是这样给出的：由于解代数方程的需要，人们引出了复数。 复数的出现，使得基本运算中的开方运算不再存在无解情况，n此多项式也不再存在增根，这为人类在某些逻辑领域的运算提供了帮助。 复数的集合——复平面是一个二维平面，但却并非我们所在的三维世界中的任何一个二维平面。可以说复平面在现实世界中完全找不到具体的一一对应，是一个纯粹缔造出来的二维平面。 而就在最近我弄清了两个概念：数学与科学。结论为：数学不是科学。数学不属于科学的范畴，是一种逻辑学，作为工具的学科；而科学则是理论的集合。哪怕是假命题如地心说，也是科学。而区别一个学科是否是科学的，则需要另一门学科作为其判定依据：证伪学。最终令我信服秉洁说的一个理论是：可被证明或证伪的属于科学；而数学，是不可被证伪的。这一定程度上说明了数学是一门形而上学的学科，甚至包括几何学在内。而在数学当中，在我看来复数领域的形而上学兴则更加突出。 曾见过有人在论述形而上学时拿虚数和量子理论作为例证。我也曾一度认为量子理论中无观察者的不可知的事物量子状态可以用虚数来表示。当然现在看来，这是一种很浅薄的想法。就好比将着名的佯谬——薛定谔的猫的生死与否映射到复数域上。我曾看到有人对此作过一个类似性形而上学的证明，若将猫的生死，即铀的衰变与否映射到复数域上，那么为了对应铀的衰变概率分布的均匀，不妨将其对应到一队共轭复数上。当观察者出现，猫的生死被确定，不确定性即消失，那么其映射的复数的不存在性也应该消失，即将复数反映到实数域上，相应的运算即取模，可知共轭复数的模是相等的，这与确定后猫的生死的不同是矛盾的。当然，这种简单的推理本身便不甚科学。但结论应为正解：不确定不等于不存在，二者不可相互映射。

复数与复变函数

复变函数教案 2012—2013学年度 第二学期 任课教师 郭 城 课程名称 复 变 函 数 采用教材 高教三版（钟玉泉编） 周课时数 4 数统 学院 数学教育 专业 2010 年级1班 引言 数学从产生、有发展到现在，已成为分支众多的学科了，复变函数是其中一个非常重要的分支。以复数作为自变量的函数就叫做复变函数，而与之相关的理论就是复变函数论。解析函数是复变函数中一类具有解析性质的函数，复变函数论主要就研究复数域上的解析函数，因此通常也称复变函数论为解析函数论，简称函数论。 我们知道，在解实系数一元二次方程ax 2+bx+x=O(a ≠o1时，如果判别式b 2-4 ac

系，于是就引进了虚数，使实数域扩大到复数域。但最初，由于对复数的有关概念及性质了解不清楚，用它们进行计算又得到一些矛盾，因而，长期以来，人们把复数看作不能接受的“虚数”。 直到十七世纪和十八世纪，随着微积分的发明与发展，情况才逐渐有了改变。另外的原因，是这个时期复数有了几何的解释，并把它与平面向量对应起来解决实际问题的缘故。复变函数论产生于十八世纪。1774年，欧拉在他的一篇论文中考虑了由复变函数的积分导出的两个方程。而比他更早时，法国数学家达朗贝尔在他的关于流体力学的论文中，就已经得到了它们。因此，后来人们提到这两个方程，把它们叫做“达朗贝尔一欧拉方程”。到了十九世纪，上述两个方程在柯西和黎曼研究流体力学时，作了更详细的研究，所以这两个方程也被叫做“柯西一黎曼条件”。关于复数理论最系统的叙述，是由瑞士数学家欧拉(Euler)作出的。他在1777年系统地建立了复数理论，发现了复指数函数和三角函数之间的关系，创立了复变函数论的一些基本定理，并开始把它们用到水力学和地图制图学上，用符号“i”作为虚数的单位，也是他首创的。此后，复数才被人们广泛承认和使用。 在复数域内考虑问题往往比较方便，例如，一元n次方程在复数域内恒有解。这就是着名的代数学基本定理，它用复变函数来解决是非常简洁的。又如，在实数域内负数的对数无意义，而在复数域内我们就可以定义负数的对数。 复变函数论的全面发展是在十九世纪，就像微积分的直接扩展统治了十八世纪的数学那样，复变函数这个新的分支统治了十九世纪的数学。当时的数学家公认复变函数论是最丰饶的数学分支，并且称为这个世纪的数学享受，也有人称赞它是抽象科学中最和谐的理论之一。在十九世纪，复变函数的理论经过法国数学家柯西(Cauchy)、德国数学家黎曼(Riemann)和维尔斯特拉斯(Weierstrass)

复数与复变函数题库

一．复数与复变函数 ㈠选择 1.包含了单位圆盘|z|<1的区域是（ ） A.Re z<-1 B.Re z<0 C.Re z<1 D.Im z<0 2.arg(2-2i)=（ ） A.4 3π- B.4 π- C. 4π D.43π 3.复数方程z=3t+it 表示的曲线是（ ） A.直线 B.圆周 C.椭圆 D.双曲线 4.设z=x+iy ，则|e 2i+2z |=（ ） A.e 2+2x B.e |2i+2z| C.e 2+2z D.e 2x 5.下列集合为无界多连通区域的是（ ） A.0<|z-3i|<1 B.Imz>π C.|z+ie|>4 D. π<<π2z arg 2 3 6.复数i 25 8-2516z =的辐角为（ ） A ． arctan 2 1 B ．-arctan 2 1 C ．π-arctan 2 1 D ．π+arctan 2 1 7.方程1Rez 2=所表示的平面曲线为（ ） A ． 圆 B ．直线 C ．椭圆 D ．双曲线 8.复数)5 isin -5 -3(cos z π π =的三角表示式为（ ） A ．)54isin 543(cos -ππ＋ B ．)54 isin ,543(cos ππ－ C ．)54isin ,543(cos ππ＋ D ．)5 4 isin ,543(cos -ππ－ 9.下列复数中，位于第Ⅱ象限的复数是（ ） A.1+i B.1-i C.-1+i D.-1-i 10.下列等式中，对任意复数z 都成立的等式是（ ） A.z· z =Re(z·z ) B. z· z =Im(z·z ) C. z· z =arg(z·z ) D. z· z =|z| 11.不等式4z arg 4 π < <π -所表示的区域为（ ） A.角形区域 B.圆环内部 C.圆的内部 D.椭圆内部 12.设复数z 满足ππ 6 5 )2arg(,3)2arg(=-= +z z ，那么=z ( )

1.复数与复变函数

《复变函数》(西安交大 第四版) 第一章 复数与复变函数 §1．复数及其代数运算 复数： iy x z +=， 1-= i ——虚数单位． )Re(z x =——实部， )Im(z y =——虚部． 两复数相等是指实部、虚部分别相等．复数间不能比较大小． 复数的代数运算：, 111y i x z += 222 y i x z +=． 加法：)( )(212121y y i x x z z +++=+； 减法：)( )(212121 y y i x x z z -+-=-； 乘法： )(x )(2112212121y x y i y y x x z z ++-=?； 除法： 0)(z , 222 22 211222 2 2 21212 2212 1≠+-+++= =y x y x y x i y x y y x x z z z z z z ． 复数的运算满足交换律、结合律和分配律． 共轭复数： iy x z +=， iy x z -=． 满足： (1) 212121212121z z z , ,z z z z z z z z z = ???? ???=±=±； (2) z z =； (3) 2 2 y x z z +=?； (4) x z z 2=+， y i z z 2=-． 例1．设 i i i z -- -= 1 31，求 )Im( ),Re(z z 与 z z ? ． 解：i i i i i i i i i i z 21 23232 3)1)(1() 1( 3) ( ))(1(-=??? ??+--=+-+- ---= ， 2 3)Re(= z ， 2 1)Im(-= z ， 2 54 14 9 = + = z z ． §2．复数的几何表示 1．复平面 平面上建立直角坐标系xoy ，这样 (1) ) ,( y x iy x z ???→←+=应 对一一． x 轴——实轴， y 轴——虚轴． 两轴所在平面称为复平面． (2) 复数 iy x z +=可用从原点指向点 (x, y ) 的向量表示． z 的摸： 2 2 y x r z += =． 2 2 z z z z ==． 辐角：当 0≠z 时，向量 z 与x 轴正向的交角θ， 记 θ =Argz ． x y A r g z tg =)(．

第一章 复数与复变函数

复变函数与积分变换 参考用书 《复变函数与积分变换》, 华中科技大学数学系, 高等教育出版社, 2003. 6 《复变函数与积分变换学习辅导与习题全解》, 华中科大, 高等教育出版社 《复变函数》, 西安交通大学高等数学教研室, 高等教育出版社, 1996. 5 第一章复数与复变函数 一. 目的要求 1 熟练掌握复数的各种表示法及其运算 2 深刻理解复变函数的概念；理解区域、复平面、扩充复平面、简单曲线及概念。 3 了解复变函数的极限与连续。 二. 主要内容 1 复数的五种表示法[（a,b）、a+ib、向量、三角形式、指数形式]及其运算。 2 复数的模、辐角、共轭复数及简单运算。 3 # 复数在几何中的应用。 4 棣莫拂公式和复数的n次方根。 5 平面点集，区域（单连通，复连通），曲线（连续曲线、简单曲线），复平面。 6 无穷远点，Δ复球面，扩充复平面。 7 复变函数概念，*几何意义，极限与连续。 重点：复数的表示法及其运算，复变函数的概念。 难点：单连通域，复连通域，*复变函数的几何意义。 内容提要: 复变函数就是自变量为复数的函数, 本章先学习复数的概念、性质与运算,然后再引入平面上的点集、复变函数极限、连续. 本章中的许多概念在形式上与微积分学中一些基本概念有相似之处, 可以把它们看作微积分学中相应的概念及定理在复数域中的推广. 1. 1 复数 1. 2 复数的三角表示 1. 3 平面点集的一般概念 1. 4 无穷大与复球面 1. 5 复变函数 本章小结 思考题

第一节 复数 一、复数的基本概念 定义1: 设x 与y 都是实数, 称x iy +为复数, 记为: z x iy =+ 称x 为z 的实部(Real ), 记Re z x = 称y 为z 的实部(Imaginary), 记Im z y = 例如 : ,z i = 则Re Im 1z z == 特别地, 当0y =时, 则z x =为实数; 当0x =且0y ≠时, 则z iy =, 称为纯虚数; 定义2: 设两复数111z x iy =+与222z x iy =+, 则121212z z x x y y =?==，即 1212Re Re ,Im Im z z z z == 二、复数的代数运算 1. 复数的和、差、积、商 设两复数111z x iy =+与222z x iy =+, 则: 和与差: 121212()(z z x x i y y ±=+±+) 积: 1212121221()()z z x x y y i x y x y ?=-++ 商: 112122112 2222222222 ()(),0z x x y y x y x y i z z x y x y +-=+≠++ . 2. 共扼复数及性质 定义3: 设复数z x iy =+, 则称复数x iy -为z 的共轭复数, 记做z . 重要性质: () 11 1212121222222(1),,(2)(3)(Re )(Im )(4)2Re ,2Im z z z z z z z z z z z z z z zz z z z z z z z z i z ???±=+== ? ???? ?? =??=+=??+=-=?? 例1. 计算复数 3223i i -+

1第一章 复变函数习题及解答

第一章 复变函数习题及解答 1.1 写出下列复数的实部、虚部；模和辐角以及辐角的主值；并分别写成代数形式，三角形式和指数形式．(其中为实常数) （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6） 答案 （1）实部－1；虚部 2；辐角为 ；主辐角为；原 题即为代数形式；三角形式为 ；指数形式为． （2）略为 （3）略为 （4）略为 （5）略为： （6）该复数取两个值 略为 1.2 计算下列复数 1） ；2）； 答案 1）；2） ； 1.3计算下列复数 （1 （2 ； 答案 （ 1） （2） 1.4 已知 的实部和虚部． 【解】 令 ，即 为实数域(Real).平方得到 ,,R α θ1-ππ2(cos isin )33-1cos i sin αα-+1i e +i sin R e θ i 4π 2π,0,1,2, 3k k +=±±4π 34π4π2(cos isin )33+4πi 32e 5πi 35π5π 2[cos sin ], 233i e +i arctan[tan(/2)][2sin()]2c e αα i ;(cos1isin1) ee e +cos(sin )isin(sin )R R θθ+i i isin ),arctan(1isin ),πarctan(1θθ θθθθθθ+=+=+() 10 3i 1+-()3 1i 1+-3512i 512+-() 13π/42k π i 6 3 2e 0,1,2k +=(/62/3) i n e ππ+x i ,(,) p q p q R =+∈,p q

，根据复数相等，所以 即实部为 虚部为 说明 已考虑根式函数是两个值，即为值． 1.5 如果 试证明对于任何复常数有 【证明】 因为 ，所以 1.6 如果复数是实系数方程的根，则 一定也是该方程的根． 证 因为，，… ，均为实数，故，，… ，．且 ，故由共轭复数性质有： ．则由已知．两端取共轭得 即 ．故也是之根． 注 此题仅通过共轭的运算的简单性质及实数的共轭为其本身即得证．此结论说明实系数多项式的复零点是成对出现的．这一点在代数学中早已被大家认识．特别地，奇次实系数多项式至少有一个实零点． 1.7 证明：,并说明其几何意义． 1.8 若 ，试求的值. 【解】 因为 2212()2i x p q xy +=-+22 1,(p q pq p x q x ?-=??=??=±==±+,x ±±||1,z =,a b | |1 az b bz a +=+||1,11/z zz z z =∴=∴=1 () ()1||||||||||||1()az b az b az b z az b az b z bz a bz a z z bzz az b az b az +++++=====+++++b a i +()01110=++++=--n n n n a z a z a z a z P b a i -0a 1a n a 00a a =11a a =n n a a =()() k k z z =()() z P z P =()0i ≡+b a P ()() 00i i =≡+=+b a P b a P ()0i ≡-b a P b a i -()0=z P 2222 1 21212||||2(||||)z z z z z z ++-=+(1)(1)n n i i +=-n 22 224444(1)2(cos sin )2(cos sin ) (1)2(cos sin )2(cos sin )n n n n n n n n n n n n i i i i i i ππππππππ+=+=+-=-=-