第二十二章 二次根式
知识点一:二次根式的概念
【知识要点】
二次根式的定义: 形如
的式子叫二次根式,其中叫被开方数,只有当是一个非负数时,
才有意义.
【典型例题】
【例1】下列各式1)
22211
,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153
x a a a --+---+, 其中是二次根式的是_________(填序号).
举一反三:
1、下列各式中,一定是二次根式的是( )
A 、
a B 、10- C 、1a + D 、
2
1a
+
2、在a 、2a b 、1x +、2
1x +、3中是二次根式的个数有______个
【例2】若式子
3
x -有意义,则x 的取值范围是. 举一反三:
1、使代数式
4
3
--x x 有意义的x 的取值范围是( ) A 、x>3
B 、x ≥3
C 、 x>4
D 、x ≥3且x ≠4
2、使代数式2
21x x -+-有意义的x 的取值范围是 3、如果代数式
mn
m 1+
-有意义,那么,直角坐标系中点P (m ,n )的位置在( )
A 、第一象限
B 、第二象限
C 、第三象限
D 、第四象限
【例3】若y=5-x +x -5+2009,则x+y=
解题思路:式子
a (a ≥0),50
,50
x x -≥??-≥?5x =,y=2009,则x+y=2014
举一反三:
1、若11x x ---2
()x y =+,则x -y 的值为( )
A .-1
B .1
C .2
D .3
2、若x 、y 都是实数,且y=4x 233x 2+-+-,求xy 的值
3、当a 取什么值时,代数式211a ++取值最小,并求出这个最小值。
已知a 是5整数部分,b 是 5的小数部分,求1
2
a b +
+的值。
若3的整数部分是a ,小数部分是b ,则=-b a 3。
若17的整数部分为x ,小数部分为y ,求y x 1
2+
的值.
知识点二:二次根式的性质
【知识要点】
1. 非负性:a a ()≥0是一个非负数.
注意:此性质可作公式记住,后面根式运算中经常用到. 2. ()()a a a 20=≥.
注意:此性质既可正用,也可反用,反用的意义在于,可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式:a a a =≥()()20 3.
a a a a a a 200==≥-?
?
||()
()
注意:(1)字母不一定是正数.
(2)能开得尽方的因式移到根号外时,必须用它的算术平方根代替.
(3)可移到根号内的因式,必须是非负因式,如果因式的值是负的,应把负号留在根号外. 4. 公式a a a a a a 200==≥-?
?||()
()
与()()a a a 20=≥的区别与联系
(1)a 2表示求一个数的平方的算术根,a 的范围是一切实数. (2)()a 2表示一个数的算术平方根的平方,a 的范围是非负数. (3)a 2和()a 2的运算结果都是非负的.
【典型例题】
【例4】若()2
2340a b c -+-+-=,则=
+-c b a .
举一反三:
1、若0)1(32=++-n m ,则m n +的值为。
2、已知y x ,为实数,且
()02312
=-+-y x ,则y x -的值为( )
A .3
B .– 3
C .1
D .– 1
3、已知直角三角形两边x 、y 的长满足|x 2-4|+652+-y y =0,则第三边长为______.
4、若1
a b -+与
24a b ++互为相反数,则()
2005
_____________
a b -=。
(公式)0()(2≥=a a a 的运用)
【例5】化简:2
1(3)a a -+-的结果为( )
A 、4—2a
B 、0
C 、2a —4
D 、4
举一反三:
1、
在实数范围内分解因式:
2
3x
-= ;4244m m -+=
429__________,222__________x x x -=-+=
2、 化简:
()
3313--
3、
已知直角三角形的两直角边分别为2和5,则斜边长为
(公式?
??<-≥==)0a (a )
0a (a a a 2的应用)
【例6】已知2x <,
A 、2x -
B 、2x +
C 、2x --
D 、2x -
举一反三:
1、
根式
( )
A .-3
B .3或-3
C .3
D .9 2、已知a<0
2a │可化简为( )
A .-a
B .a
C .-3a
D .3a
3、若23a p p
)
A.
52a - B. 12a - C. 25a - D. 21a -
4、若a -3<0,则化简
a
a a -++-4962的结果是( )
(A) -1 (B) 1 (C) 2a -7 (D) 7-2a
5、
化简2
得( )
(A ) 2 (B )44x -+ (C )-2 (D )44x -
6、当a <l 且a ≠0时,化简a a a a -+-2212=.
7、已知0a
<
【例7】如果表示a ,b 两个实数的点在数轴上的位置如图所示,那么化简│a -b │的结果等于
( )
A .-2b
B .2b
C .-2a
D .2a
举一反三:实数a
在数轴上的位置如图所示:化简:
1______a -=.
【例8】
化简1x -2x -5,则x 的取值范围是( )
(A )x 为任意实数 (B )1≤x ≤4 (C ) x ≥1 (D )x ≤1
举一反三:
若代数式2,则a 的取值范围是( )
A.4a ≥
B.
C.24a ≤≤
D.2a =或
4a =
【例9】如果11a 2a a 2=+-+,那么a 的取值范围是( )
o
b a
A. a=0
B. a=1
C. a=0或a=1
D. a ≤1 举一反三:
1、如果2693a a a +
-+=成立,那么实数a 的取值范围是( )
.0.3;.3;.3A a B a C a D a ≤≤≥-≥
2、若
03)3(2=-+-x x ,则x 的取值范围是( )
(A )3>x (B )3 【例10】化简二次根式2 2 a a a +- 的结果是 (A )2--a (B)2---a (C)2-a (D)2--a 1、把二次根式a a -1 化简,正确的结果是( ) A. -a B. --a C. -a D. a 2、把根号外的因式移到根号内:当b >0时,x x b =;a a --11)1(=。 知识点三:最简二次根式和同类二次根式 【知识要点】 1、最简二次根式: (1)最简二次根式的定义:①被开方数是整数,因式是整式;②被开方数中不含能开得尽方的数或因式. 2、同类二次根式(可合并根式): 几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式,即可以合并的两个根式。 【典型例题】 【例11】在根式1) 222;2) ;3);4)275 x a b x xy abc +-,最简二次根式是( ) A .1) 2) B .3) 4) C .1) 3) D .1) 4) 解题思路:掌握最简二次根式的条件。 举一反三: 1、)b a (17,54,b 40,2 1 2,30,a 45222+中的最简二次根式是。 2、下列根式中,不是.. 最简二次根式的是( ) A . 7 B .3 C .12 D .2 3、下列根式不是最简二次根式的是( ) A.21a + B.21x + C. 24 b D.0.1y 4、下列各式中哪些是最简二次根式,哪些不是?为什么? (1)b a 23 (2)23ab (3)22y x + (4) )(b a b a >- (5)5 (6)xy 8 5、把下列各式化为最简二次根式: (1)12 (2) b a 245 (3)x y x 2 【例12】下列根式中能与3是合并的是( ) A.8 B. 27 C.25 D. 2 1 举一反三: 1、下列各组根式中,是可以合并的根式是() A 、318和 B 、 133 和 C 、22 a b ab 和 D 、11a a +-和 2、在二次根式:①12;②32;③3 2 ;④27中,能与3合并的二次根式是。 3、如果最简二次根式 83-a 与a 217-能够合并为一个二次根式, 则a=__________. 知识点四:二次根式计算——分母有理化 【知识要点】 1.分母有理化 定义:把分母中的根号化去,叫做分母有理化。 2.有理化因式: 两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下: ①单项二次根式:利用a a a ?=来确定,如:a a 与,a b a b ++与,b a -与b a -等分别 互为有理化因式。 ②两项二次根式:利用平方差公式来确定。如a b +与a b -,a b a b +-与, a x b y a x b y +-与分别互为有理化因式。 3.分母有理化的方法与步骤: ①先将分子、分母化成最简二次根式; ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式,使分母中不含根式; ③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。 【典型例题】 【例13】 把下列各式分母有理化 (1)48 (2)4337 - (3)11212 (4)13550- 【例14】把下列各式分母有理化 (1)328x x y (2)a b - (3)38x x (4)2 5 2 5 a b b a - 【例15】把下列各式分母有理化: (1)221- (2)5353+- (3)333223 - 举一反三: 1、已知2323x -= +,2323 y +=-,求下列各式的值:(1)x y x y +-(2)22 3x xy y -+ 2、把下列各式分母有理化: (1)()a b a b ≠+ (2) 22 22a a a a +--++- (3)2222 b a b b a b -+++ 小结:一般常见的互为有理化因式有如下几类: ①与 ; ② 与 ; ③与 ; ④ 与 . 知识点五:二次根式计算——二次根式的乘除 【知识要点】 1 ab =a ·b (a ≥0,b ≥0) a · b =ab .(a ≥0,b ≥0) a b =a b (a ≥0,b>0) 4 a b =a b (a ≥0,b>0) 虑字母的取值范围,最后把运算结果化成最简二次根式. 【典型例题】 【例16】化简 (1)916? (2)1681? (3) 1525? (4)229x y (0,0≥≥y x ) (5) 1 2 ×632? 【例17】计算(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) 【例18】化简: (1)364 (2)22649b a )0,0(≥>b a (3)2964x y )0,0(>≥y x (4)25169x y )0,0(>≥y x 【例19】计算:(1)123 (2)3128÷ (3)11416÷ (4)64 8 【例20】能使等式22x x x x =--成立的的x 的取值范围是( ) A 、2x > B 、0x ≥ C 、02x ≤≤ D 、无解 知识点六:二次根式计算——二次根式的加减 【知识要点】 需要先把二次根式化简,然后把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)的系数相加减,被开方数不变。 注意:对于二次根式的加减,关键是合并同类二次根式,通常是先化成最简二次根式,再把同类二次根式合并.但在化简二次根式时,二次根式的被开方数应不含分母,不含能开得尽的因数. 【典型例题】 【例20】计算(1)11327520.53227--+-; (2)12 543102024553457????+-- ? ? ? ???; (3)1111 3275348532 - +-+; (4)113326327284814723247???? -+-+ ? ????? 【例21】(1)224344x y x y x y x y --+--+ (2)a b a b -+ + (3) 32 132********a a a a a a a -+- (4)114a a b b a b ??+-- ? ??? (5)353 8154a a a a a -+ (6)2x y y x xy y x x y +-+++ 知识点七:二次根式计算——二次根式的混合计算与求值 【知识要点】 1、确定运算顺序; 2、灵活运用运算定律; 3、正确使用乘法公式; 4、大多数分母有理化要及时; 5、在有些简便运算中也许可以约分,不要盲目有理化; 【典型习题】 1、a b b a ab b 3)23(235 ÷-?2、 22 (212 +418 -3 48 ) 二次根式 题型一 二次根式的定义 例1、(1)18n -是整数,求自然数n 的值. (2)当x __________时,式子3 1 -x 有意义. 题型二 二次根式有意义的条件 例2、当x 时,二次根式1x +有意义。 例3、已知x 、y 为实数,22991 3 x x y x -+-+=-,求5x+6y 的值. 例4、已知334y x x =-+-+,求23 8163y y xy ++-的值。 例5、已知实数a ,b 在数轴上的位置如图所示: 试化简( ) ( ) 2 2 223 23 2a b a ab b +- ---+ 例6、计算 (1)() 13 218---+ (2) ()211111x x x ??-?- ?-+?? (3)已知a 、b 、c 为正数,d 为负数,化简2 2 22d c ab d c ab +-=______. 例7、化简求值 (1)化简:() 2 2a a b c a b c -++-++ (2)先化简再求值:2 22 11xy x y x y x y ??-÷ ?-+-??,其中21,21x y =+=- (3)若x <y <0,则222y xy x +-+222y xy x ++=( ) (A )2x (B )2y (C )-2x (D )-2y (4)若0<x <1,则4)1(2+-x x -4)1 (2-+x x 等于( ) (A )x 2 (B )-x 2 (C )-2x (D )2x (5)化简a a 3 -(a <0)得( ) (A )a - (B )-a (C )-a - (D )a ( 6)当a <0,b <0时,-a +2ab -b 可变形为( ) (A )2)(b a + (B )-2)(b a - (C ) 2)(b a -+- (D )2)(b a --- 题型四 最简二次根式 例8、(1)下列式子中,属于最简二次根式的是( ) A (2)x 8,3 1 ,29x +都不是最简二次根式.( ) 题型五 二次根式的乘除法 例9、已知(3m ??=-?- ? ??? ,则有( ) A .5<m <6 B .4<m <5 C .-5<m <-4 D .-6<m <-5 例10、计算 (1)(235+-)(235--) (2)(a +b a ab b +-)÷(b ab a ++a ab b --ab b a +)(a ≠b ). 最新浙教版八下二次根式题 型归纳总结 -标准化文件发布号:(9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 最新浙教版八下二次根式题型归纳总结 - 百度文库1、知识框架 1. 二次根式:式子(≥0 )叫做二次根式。 2. 最简二次根式:必须同时满足下列条件: ⑴ 被开方数中不含开方开的尽的因数或因式;⑵ 被开方数中不含分母; ⑶ 分母中不含根式。 3. 同类二次根式: 二次根式化成最简二次根式后,若被开方数相同,则这几个二次根式就是同类二次根式。 4. 二次根式的性质: ( 1 )() 2 = (≥0 );( 2 ) 5. 二次根式的运算: ( 1 )因式的外移和内移:如果被开方数中有的因式能够开得尽方,那么,就可以用它的算术根代替而移到根号外面;如果被开方数是代数和的形式,那么先解因式, ? 变形为积的形式,再移因式到根号外面,反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面. ( 2 )二次根式的加减法:先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式. ( 3 )二次根式的乘除法:二次根式相乘(除),将被开方数相乘(除),所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式. = ·(a≥0 ,b≥0 );(b≥0 , a>0 ). ( 4 )有理数的加法交换律、结合律,乘法交换律及结合律, ? 乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式,都适用于二次根式的运算. 三、例题讲解 1 、概念与性质 例 1 下列各式 1 ),其中是二次根式的是 _________ (填序号). 例 2 、求下列二次根式中字母的取值范围 (1);( 2 ) 例 3 、在根式 1) ,最简二次根式是() A . 1) 2) B . 3) 4) C . 1) 3) D . 1) 4) 例 4 、已知: 例 5 、已知数 a , b ,若=b - a ,则 ( ) A. a>b B. a 《二次根式》分类练习题 欧阳歌谷(2021.02.01) 二次根式的定义: 【例1】下列各 式 其中是二次根式的是_________(填序号). 举一反三: 1、下列各式中,一定是二次根式的是( ) A 、 2、在、、、中是二次根式的个数有 ______个 【例2 有意义,则x 的取值范围是.[来源:学*科* 网Z*X*X*K] 举一反三: 1、使代数式 4 3 --x x 有意义的x 的取值范围是( ) A 、x>3 B 、x ≥3 C 、 x>4 D 、x ≥3且x ≠4 2x 的取值范围是 3、如果代数式 mn m 1+ -有意义,那么,直角坐标系中点P (m ,n )的位置在( ) A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、 第四象限 【例3】若y=5-x +x -5+2009,则x+y= 举一反三: 1 2()x y =+,则 x -y 的值为( ) A .-1 B .1 C .2 D .3 2、若x 、y 都是实数,且y= 4x 233x 2+-+-,求 xy 的值 3、当a 取什么值时,代数式1取值最小,并求出这个最小值。 已知a b 是1 2a b + +的值。 若3的整数部分是a ,小数部分是b ,则=-b a 3。 若 17 的整数部分为x ,小数部分为y ,求 y x 1 2+ 的值. 知识点二:二次根式的性质 【例4】若 ()2 240a c -+-=,则= +-c b a . 举一反三: 1、若 0)1(32=++-n m ,则m n +的值为。 2、已知y x ,为实数,且()0 2312 =-+-y x ,则y x -的值为 ( ) A .3 B .– 3 C .1 D .– 1 3、已知直角三角形两边x 、y 的长满足|x 2 -4|+6 52+-y y =0,则第三边长为______. 4、若 1 a b -+() 2005 _____________ a b -=。 (公式 )0()(2 ≥=a a a 的运用) 二次根式知识总结 一、基本知识点 1.二次根式的有关概念: (1)形如 的 式子叫做二次根式. (即一个 的算术平方根叫做二次根式 二次根式有意义的条件:被开方数大于或等于零 (2)满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式: ①被开方数不含分母;②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式; (3)几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,那么这几个二次根式叫做同类二次根式。 2.二次根式的性质: (1) 非负性 3.二次根式的运算: 二次根式乘法法则 二次根式除法法则 二次根式的加减: (一化,二找,三合并 ) (1)将每个二次根式化为最简二次根式; (2)找出其中的同类二次根式; ( 3)合并同类二次根式。 Ps:类似于合并同类项,关键是把同类二次根式合并。 二次根式的混合运算:原来学习的运算律(结合律、交换律、分配律)仍然适用 0()a ≥0 2(2)(0 )a = ≥ = (0,0)a b = ≥ ≥ (0 0)a b = ≥> (0,0)a b = ≥≥ (0,0)a b = ≥> 二、二次根式的应用 1、非负性的运用 例:1.已知:0+=,求x-y 的值. 2、根据二次根式有意义的条件确定未知数的值 例1 有意义的x 的取值范围 例2.若2)(11y x x x +=-+-,则y x -=_____________。 3、运用数形结合,进行二次根式化简 例:.已知x,y 都是实数,且满足5.011+-+- 题型一二次根式的定义 例1、(1) Vf 斥是整数,求自然数n 的值. 题型二二次根式有意义的条件 例2、当x _________ 时,二次根式VTTT 有意义。 例3、已知x 、y 为实数,y= — ,求5x+6y 的值. x-3 例 4、已知 y =厶-3 + 丁3-x + 4 ,求 +8y + 16-的值。 a b I 鼻 1 ] I 1 ! ] I * ; -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 题型三二次根式的性质与化简 例5、已知实数“ b 在数轴上的位置如图所示: 二次根式 试化简 -2ab + b 2 时, 式子 長 3 有意义. 例6、计算 例7、化简求值 (1) 化简:-\a+b\ + yl^c-ay +|/? + c| 力 G 0 (3)若 x 6)当 a<0, b<0 时,-a+2^b~b 可变形为( ) 题型四最简二次根式 例8、(1)下列式子中,属于最简二次根式的是( (2)届,J |, 7^7都不是最简二次根式.( ) 题型五二次根式的乘除法 例10、计算 (1) ( - y/3 + ^2 ) ( y/5 - V3 - A /2 ) 2 ? (A) - (B)-- x x (5)化简(a<0)得( ) a (A) (B) — 4ci (C) —2x (D) 2x (C) — J_a (D)需 例 A. ) 一5 V m< ~4 D ? 一6 二次根式知识点归纳和题型归类 一、知识框图 二、知识要点梳理 知识点一、二次根式的主要性质: 1.; 2.; 3.; 4.积的算术平方根的性质:; 5.商的算术平方根的性质:. 6.若,则. 知识点二、二次根式的运算 1.二次根式的乘除运算 (1) 运算结果应满足以下两个要求:①应为最简二次根式或有理式;②分母中不含根号. (2) 注意每一步运算的算理; (3) 乘法公式的推广: 2.二次根式的加减运算 先化简,再运算, 3.二次根式的混合运算 (1)明确运算的顺序,即先乘方、开方,再乘除,最后算加减,有括号先算括号里; (2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用. 一. 利用二次根式的双重非负性来解题(0≥a (a ≥0),即一个非负数的算术平方根是一个非负数。) 1.下列各式中一定是二次根式的是( )。 A 、3-; B 、x ; C 、12+x ; D 、1-x 2.x 取何值时,下列各式在实数范围内有意义。 (1) (2)121+-x (3)45++x x (6). (7)若1)1(-=-x x x x , 则x 的取值范围是 (8)若1 313++=++x x x x ,则x 的取值范围是 。 3.若13-m 有意义,则m 能取的最小整数值是 ;若20m 是一个正整数,则正整数m 的最小值是________. 4.当x 为何整数时,1110+-x 有最小整数值,这个最小整数值为 。 5. 若20042005a a a -+-=,则2 2004a -=_____________;若433+-+-=x x y ,则=+y x 6.设m 、n 满足3 29922-+-+-=m m m n ,则mn = 。 8. 若三角形的三边a 、b 、c 满足3442-++-b a a =0,则第三边c 的取值范围是 10.若0|84|=--+-m y x x ,且0>y 时,则( ) A 、10< 二次根式专题 题型一:二次根式的概念 【例题1】 当为实数时,下列各式,,, 属于二次根式的有 ________个. 【练一练】 1. 下列式子中二次根式的个数有 ( ) (1) ;( 2) ;(3) ;(4) ;(5) ;(6) (x >1) A .2个 B .3个 C .4个 D .5个 2. 下列各式① ;② ;③ ;④ ;⑤ ,其中二次根式的个数有 ( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 题型二:二次根式的意义(取值范围) 【例题2】 x 取何值时,下列函数在实数范围内有意义? (1) (2)y=-; 【练一练】 1. 若使二次根式 有意义,则x 的取值范围是 ; 2. 使式子 x 211 -有意义的x 的取值范围为______________________; 3. 代数式x -9有意义时,实数x 的取值范围是__________________; 4. 函数x x y 2 += 的自变量x 的取值范围是_____________________; 5. 函数2 1 -+= x x y 中,自变量x 的取值范围是___________________; 6. 若式子12112+-+-x x 在实数范围内有意义,则x 满足的条件是______________________. x () 2 223,1,,, , x x x x x --y =2+x x 23- 题型三:二次根式的性质()0 ( ) (2 2≥ = =a a a a a,) 【例题2】 1.计算下列各式: (1)(3)(4) 2.已知a,b,c在数轴上如图所示,化简:. 3.已知a、b 都是实数,且b,化简?+1的结果是多少? 【练一练】 1.=________. 若,则______.若=0,则=__________. 2.若,则____________;若,则______________. 3.已知,求的值为____________. 4.若,则化简的结果是__________. 5.已知c b a, ,为三角形的三边,则2 2 2) ( ) ( ) (a c b a c b c b a- + + - - + - += . 2 3 2() 4 --2 (3.14)π -2) 2 5 2 (-2) 2 ( 2a a- - - 22 x x -+- 2 (1) 1 x x - - 二次根式知识点总结 王亚平 1. 二次根式的概念 二次根式的定义: 形如)0(≥a a 的式子叫二次根式,其中a 叫被开方数,只有当a 是一个非负数时, a 才有意义. 2. 二次根式的性质 1. 非负性:)0(≥a a 是一个非负数. 注意:此性质可作公式记住,后面根式运算中经常用到. 2.)0()(2 ≥=a a a 注意:此性质既可正用,也可反用,反用的意义在于,可以把任意一个非负数或非负代数式写成完 全平方的形式:)0()(2 ≥=a a a 3. ? ? ?<-≥==)0() 0(2 a a a a a a 注意:(1)字母不一定是正数. (2)能开得尽方的因式移到根号外时,必须用它的算术平方 根代替. 3. 最简二次根式和同类二次根式 1、最简二次根式: (1)最简二次根式的定义:①被开方数是整数,因式是整式;②被开方数中不含能开得尽方的数或 2、同类二次根式(可合并根式): 几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式,即可以合并的两个根式 4. 二次根式计算——分母有理化 1.分母有理化 定义:把分母中的根号化去,叫做分母有理化。 2.有理化因式: 两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下: ①单项二次根式:利用a a a =?来确定,如:a 与a ,b a +与b a +,b a -与b a -等分别互为有理化因式。 ②两项二次根式:利用平方差公式来确定。如b a +与b a - ,b a + 与 b a - ,y b x a +与y b x a -分别互为有理化因式。 3.分母有理化的方法与步骤: ①先将分子、分母化成最简二次根式; ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式,使分母中不含根式; 5. 二次根式计算——二次根式的乘除 1.积的算术平方根的性质:积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积。 )0,0(≥≥? = b a b a ab 2.二次根式的乘法法则:两个因式的算术平方根的积,等于这两个因式积的算术平方根。 )0,0(≥≥= ? b a ab b a 3.商的算术平方根的性质:商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 。 )0,0(≥≥= b a b a b a 4.二次根式的除法法则:两个数的算术平方根的商,等于这两个数的商的算术平方根。 )0,0(≥≥= b a b a b a 注意:乘、除法的运算法则要灵活运用,在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边,同时还 要考虑字母的取值范围,最后把运算结果化成最简二次根式. 6. 二次根式计算——二次根式的加减 二次根式的被开方数相同时是可以直接合并的,如若不同,需要先把二次根式化成最简二次根式,然后把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)的系数相加减,被开方数不变。 1、判断是否同类二次根式时,一定要先化成最简二次根式后再判断。 2、二次根式的加减分三个步骤: ①化成最简二次根式; ②找出同类二次根式; ③合并同类二次根式,不是同类二次根式的不能合并 二次根式 【知识回顾】 1.二次根式:式子a (a ≥0)叫做二次根式。 2.最简二次根式:必须同时满足下列条件: ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式; ⑵被开方数中不含分母; ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式: 二次根式化成最简二次根式后,若被开方数相同,则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质: (1)(a )2 =a (a ≥0); (2)==a a 2 5.二次根式的运算: (1)因式的外移和内移:如果被开方数中有的因式能够开得尽方,那么,就可以用它的算术根代替而移到根号外面;如果被开方数是代数和的形式,那么先解因式,?变形为积的形式,再移因式到根号外面,反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面. (2)二次根式的加减法:先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式. (3)二次根式的乘除法:二次根式相乘(除),将被开方数相乘(除),所得的积(商)仍作积(商)的被开方数并将运算结果化为最简二次根式. ab =a ·b (a≥0,b≥0); b b a a =(b≥0,a>0). (4)有理数的加法交换律、结合律,乘法交换律及结合律,?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式,都适用于二次根式的运算. 【典型例题】 a (a >0) a -(a <0) 0 (a =0); 1、概念与性质 例1下列各式1)22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153 x a a a --+---+, 其中是二次根式的是_________(填序号). 例2、求下列二次根式中字母的取值范围 (1)x x --+31 5;(2)22)-(x 例3、 在根式1) 222;2);3);4)275x a b x xy abc +-,最简二次根式是( ) A .1) 2) B .3) 4) C .1) 3) D .1) 4) 例4、已知:的值。 求代数式22,211881-+-+++-+-=x y y x x y y x x x y 例5、 (2009龙岩)已知数a ,b ,若2()a b -=b -a ,则 ( ) A. a>b B. a 二次根式小结与复习基础盘点 1.二次根式的定义:一般地,我们把形如a (a ___0)的式子叫做二次根式,“ ”称为二次根式. 定义诠释:(1)二次根式的定义是以形式界定的,如4是二次根式; (2)形如a b (a ≥0)的式子也叫做二次根式; (3)二次根式a 中的被开方数a ,可以是数,也可以是单项式、多项式、分式,但必须满足a ≥0. 2.二次根式的基本性质 (1)a _____0(a ___0);(2) ()2 a =_____(a ___0);(3) a a =2=() () ?? ?0_____ 0_____ a a ; (4=____________(a ___0,b ___0);(5=_____________(a ___0,b ___0). 3.最简二次根式必须满足的条件为:(1)被开方数中不含___;(2)被开方数中所有因式的幂的指数都_____. 4.二次根式的乘、除法则: (1)(a ___0,b ___0);(2)=_______(a ___0,b ___0). 复习提示:(1)进行乘法运算时,若结果是一个完全平方数,则应利用==a a 2 () () ?? ?<-≥00a a a a 进行化 简,即将根号内能够开的尽方的数移到根号外; (2)进行除法运算时,若除得的商的被开方数中含有完全平方数因数,应运用积的算术平方根的性质将其进行化简. 5.同类二次根式:几个二次根式化成______后,如果_____相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式. 6.二次根式的加减法则:二次根式加减时,可以先将二次根式化成_____,然后把_______进行合并. 复习提示:(1)二次根式的加减分为两个步骤:第一步是_____,第二步是____,在合并时,只需将根号外的因式进行加减,被开方数和根指数不变; (2)不是同类二次根式的不能合并,如:53+≠8; (3)在求含二次根式的代数式的值时,常用整体思想来计算. 7.二次根式的混合运算 (1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一致,也是先_,再__,最后__,有括号的先_内的. 复习提示:(1)在运算过程中,有理数(式)中的运算律,在二次根式中仍然适用,有理数(式)中的乘法公式在二次根式中仍然适用; (2)二次根式的运算结果可能是有理式,也可能是二次根式,若是二次根式,一定要化成最简二次根式. 8.二次根式的实际应用 利用二次根式的运算解决实际问题,主要从实际问题中列出算式,然后根据运算的性质进行计算,注意最后的结果有时需要取近似值. 考点1 二次根式有意义的条件 二次根式知识点总结及常见题型 资料编号:20190802 一、二次根式的定义 形如a (a ≥0)的式子叫做二次根式.其中“ ”叫做二次根号,a 叫做被开方数. (1)二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.据此可以确定字母的取值范围; (2)判断一个式子是否为二次根式,应根据以下两个标准判断: ①是否含有二次根号“”; ②被开方数是否为非负数. 若两个标准都符合,则是二次根式;若只符合其中一个标准,则不是二次根式. (3)形如a m (a ≥0)的式子也是二次根式,其中m 叫做二次根式的系数,它表示的是: a m a m ?=(a ≥0); (4)根据二次根式有意义的条件,若二次根式B A -与A B -都有意义,则有B A =. 二、二次根式的性质 二次根式具有以下性质: (1)双重非负性:a ≥0,a ≥0;(主要用于字母的求值) (2)回归性: () a a =2 (a ≥0);(主要用于二次根式的计算) (3)转化性:? ??≤-≥==)0() 0(2a a a a a a .(主要用于二次根式的化简) 重要结论: (1)若几个非负数的和为0,则每个非负数分别等于0. 若02=++C B A ,则0,0,0===C B A . 应用与书写规范:∵02=++C B A , A ≥0,2 B ≥0, C ≥0 ∴0,0,0===C B A . 该性质常与配方法结合求字母的值. (2) ()() ()? ??≤-≥-=-=-B A A B B A B A B A B A 2;主要用于二次根式的化简. (3)()() ?????->?=002 2A B A A B A B A ,其中B ≥0; 该结论主要用于某些带系数的二次根式的化简:可以考虑把二次根号外面的系数根据符号以平方的形式移到根号内,以达到化简的目的. (4)() B A B A ?=22 ,其中B ≥0. 该结论主要用于二次根式的计算. 例1. 式子 1 1-x 在实数范围内有意义,则x 的取值范围是_________. 分析:本题考查二次根式有意义的条件,即被开方数为非负数,注意分母不能为0. 解:由二次根式有意义的条件可知:01>-x ,∴1>x . 例2. 若y x ,为实数,且2 1 11+ -+-=x x y ,化简:11--y y . 分析:本题考查二次根式有意义的条件,且有重要结论:若二次根式B A -与A B -都有意义,则有B A =. 解:∵1-x ≥0,x -1≥0 ∴x ≥1,x ≤1 ∴1=x ∴12 1 2100<=++=y ∴ 11 11 1-=--= --y y y y . 习题1. 如果53+a 有意义,则实数a 的取值范围是__________. 习题2. 若233+-+-=x x y ,则=y x _________. 习题3. 要使代数式x 21-有意义,则x 的最大值是_________. 习题4. 若函数x x y 21-= ,则自变量x 的取值范围是__________. 习题5. 已知128123--+-=a a b ,则=b a _________. 二次根式知识点归纳和题型归类 二、知识要点梳理知识点一、二次根式的主要性质: 鳥<0); [爲工Og叭2“)= 9-0);3^ ★4 L 4. 积的算术平方根的性质:、’、:、「??「〔; E=^a>Of Z>>0) 5. 商的算术平方根的性质:* . 6. 若7 '. 知识点二、二次根式的运算 1. 二次根式的乘除运算 (1) 运算结果应满足以下两个要求:①应为最简二次根式或有理式;②分母中不含根号 (2) 注意每一步运算的算理; 2. 二次根式的加减运算先化简,再运算, 3. 二次根式的混合运算(1)明确运算的顺序,即先乘方、开方,再乘除,最后算加减,有括号先算括号里; (2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用 .利用二次根式的双重非负性来解题 (岛 0 (a > 0),即一个非负数的算术平方根是一个非负数。 ) 1.下列各式中一定是二次根式的是( )。A 、弋3 ; i" 2 2 ?等式 J (X 1) = 1 — x 成立的条件是 _____________ . 3?当x _____________ 时,二次根式 J2x 3有意义. 4. x 取何值时,下列各式在实数范围内有意义。 (2) (4)若 x (x 1) . X I X 1,则x 的取值范围是 _______ ( 5)若X 3 . X 3 ,则x 的取值范围是 ______________________ \ X 1 J x 1 6若J3m 1有意义,则m 能取的最小整数值是 _____________ ;若J 20m 是一个正整数,则正整数m 的最小值是 ___________ 7. 当X 为何整数时, ______________________________________ 10X 1 1有最小整数值,这个最小整数值为 。 8. 若 2004 a V a 2005 a ,则 a 20042= _____________________ ;若 y 4,则 x y _________ m 2 9 . 9 m 2 2 — 9. 设 m 、n 满足 n ,贝V . mn = ________ 。 m 3 10. 若三角形的三边 a b 、c 满足a 2 4a 4 - b 3=0,则第三边c 的取值范围是 ____________________________ 11. 若 |4x 8| x y m 0,且 y0 时,则( ) A 、0 m 1 B 、m 2 C 、m 2 D m 2 二.利用二次根式的性质 a 2=|a|= a (a b ) (即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值 )来解题 u (a 0) a (a 0) 3.若化简| 1-x | - x 2 8x 16的结果为2x-5则( ) 4.已知a , b , c 为三角形的三边,则 (a b c)2 , (b c a)2 . (b c a)2 = 5.当-3 精品文档 二次根式 二次根式: 当 ______________ 时,J x +2 + J 1 —2x 有意义。 若.— 1有意义,则 m 的取值范围是 。 m 1 当x __________ 时,J (1 -X $是二次根式。 在实数范围内分解因式: x 4 —9 = ,x 2 —2j2x+2 = 已知\ I. x - 2 = 2 - x ,则x 的取值范围是 。 化简:X 2—2X , 1 x -1 的结果是 ______________________________ 。 当 w x < 5 时,J (x X j 斗 x -5 = ________________ ° 把a j _*1的根号外的因式移到根号内等于 ______________________ ° 使等式、x 1 x-1 =_x —1「,x , 1成立的条件是 ____________________ 若a —b +1与J a +2b +4互为相反数,则( a — b 『°5 = ______________ 在式子石 d 心戸(y")工2^( X 却 两,J x 2出,x 中,二次根式有( A. 2个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个 若 2 w a w 3, 则 J (2 £ f -J (a d j 等于( ) -H-* 1.2二次根式的乘除 1. 当 a 兰 0,b w 0 时, _________________________ ° 2. 若J 2m 2 和J 33m _2"都是最简二次根式,则 m= ___________ ,n= ______ 3. 计算:\[3 = ___________________ ; J 36 工 9 = _________ ° 4. 计算: (届 _3厉尸73= ____________ ° 5. 长方形的宽为 3 ,面积为2^6,则长方形的长为 ______________ ° 6. 下列各式不是最简二次根式的是( A . , a 2 1 B. . 2x 1 ) ■ 2b D. C. 7.已知xy > 0,化简二次根式 ... 0.1y A . , y B.、丐 8.对于所有实数a,b ,下列等式总能成立的是( ) (T a +V b j=a +b B. J a W a +b C. 扣+2 j A. 10. =a 2 ■ b 2 对于二次根式 x 2 9 ,以下说法中不正确的是( ) A.它是一个非负数 B.它是一个无理数 C.它是最简二次根式 D. a ■ b 2 =a ■ b D.它的最小值为3 A . 5 ~ 2a B. 1 2a c. 2a - 5 D. 2a -1 能使等式 x _ x 成立的x 的取值范围是( ) A. X = 2 B. X - 0 C. x w 2 D. 计算:J(2a -1 $ + J(1 -2a 2 的值是( A . o B. 4a-2 c. 2-4a D. 若? x - y y 2 -4y 4 =0,求 xy 的值。 x_2 ) 2 -4a 或 4a -2 已知a, b 为实数,且叩a ■ ib -1 ":」1 —b =0,求a 2005 —b 2006的值。 11.计算: 1.1 2. 3. 4. 5. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 15. 18. 19. 21. 25. 二次根式的知识点汇总 知识点一: 二次根式的概念 形如()的式子叫做二次根式。 注:在二次根式中,被开放数可以是数,也可以是单项式、多项式、分式等代数式,但必须注意:因为负数没有平方根,所以 是 为二次根式的前提条件,如 , , 等是二次根式,而 , 等 都不是二次根式。 例1.下列式子,哪些是二次根式,哪些不是二次根式:2、33、 1 x 、x (x>0)、0、42、-2、1x y +、 x y +(x ≥0,y?≥0) . 分析:二次根式应满足两个条件:第一,有二次根号“”;第二,被开方数是正数或0. 知识点二:取值范围 1、 二次根式有意义的条件:由二次根式的意义可知,当a ≧0时, 有意义,是二次根式,所以要使二次根式 有意义,只要使被开方数大于或等于零即可。 2、 二次根式无意义的条件:因负数没有算术平方根,所以当a ﹤0时,没有意义。 例2.当x 是多少时,31x -在实数范围内有意义? 例3.当x 是多少时,23x ++1 1 x +在实数范围内有意义? 知识点三:二次根式 ( )的非负性 ( )表示a 的算术平方根,也就是说, ( )是一个非负数,即 0()。 注:因为二次根式()表示a 的算术平方根,而正数的算术平方根是正数,0的算术平方根是0,所以非负 数( )的算术平方根是非负数,即 0( ),这个性质也就是非负数的算术平方根的性质,和绝对值、 偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多,如若 ,则a=0,b=0;若 ,则a=0,b=0;若 ,则a=0,b=0。 例4(1)已知y=2x -2x -,求 x y 的值.(2)1a +1b -=0,求a 2004+b 2004的值 二次根式基础测试题及答案 一、选择题 1.在下列各组根式中,是同类二次根式的是( ) A .2,12 B .2,12 C .4ab ,4ab D .1a -,1a + 【答案】B 【解析】 【分析】 根据二次根式的性质化简,根据同类二次根式的概念判断即可. 【详解】 A 、1223=,2与12不是同类二次根式; B 、122=,2与12 是同类二次根式; C 、4242,ab ab ab b a ==,4ab 与4ab 不是同类二次根式; D 、1a -与1a +不是同类二次根式; 故选:B . 【点睛】 本题考查的是同类二次根式的概念、二次根式的化简,把几个二次根式化为最简二次根式后,如果它们的被开方数相同,就把这几个二次根式叫做同类二次根式. 2.下列计算正确的是( ) A .+= B .﹣=﹣1 C .×=6 D .÷=3 【答案】D 【解析】 【分析】 根据二次根式的加减法对A 、B 进行判断;根据二次根式的乘法法则对C 进行判断;根据二次根式的除法法则对D 进行判断. 【详解】 解:A 、B 与不能合并,所以A 、B 选项错误; C 、原式= ×=,所以C 选项错误; D 、原式= =3,所以D 选项正确. 故选:D. 【点睛】 本题考查二次根式的混合运算:先把二次根式化为最简二次根式,然后进行二次根式的乘除运算,再合并即可.在二次根式的混合运算中,如能结合题目特点,灵活运用二次根式的性质,选择恰当的解题途径,往往能事半功倍. 3.下列计算中,正确的是( ) A .535344= B .1a ab b b ÷=(a >0,b >0) C .5539 335777?= D . ()()22483248324832670÷? +-= 【答案】B 【解析】 【分析】 根据二次根式的乘法法则:a ?b =ab (a≥0,b≥0),二次根式的除法法则:a b =a b (a≥0,b >0)进行计算即可. 【详解】 A 、534 =532,故原题计算错误; B 、 a a b b ÷=1a b ab ?=1b (a >0,b >0),故原题计算正确; C 、559377?=368577?=6857 ,故原题计算错误; D 、()()22483248324832÷? +-=32 ×165=245,故原题计算错误; 故选:B . 【点睛】 此题主要考查了二次根式的乘除法,关键是掌握计算法则. 4.下列式子为最简二次根式的是( ) A . B . C . D . 【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】 解:选项A ,被开方数不含分母;被开方数不含能开得尽方的因数或因式, A 符合题意; 选项B ,被开方数含能开得尽方的因数或因式,B 不符合题意; 二次根式知识点总结及常见题型 资料编号 :20190802一、二次根式的定义 形如 a ( a ≥0)的式子叫做二次根式.其中“”叫做二次根号, a叫做被开方数.(1)二次根式有意义的条件是被开方数为非负数. 据此可以确定字母的取值范围; (2)判断一个式子是否为二次根式, 应根据以下两个标准判断: ①是否含有二次根号“” ; ②被开方数是否为非负数 . 若两个标准都符合, 则是二次根式 ; 若只符合其中一个标准, 则不是二次根式 . ( 3)形如m a(a≥ 0)的式子也是二次根式, 其中m叫做二次根式的系数, 它表示的是 : m a m a ( a ≥0); (4)根据二次根式有意义的条件, 若二次根式A B 与B A 都有意义,则有A B. 二、二次根式的性质 二次根式具有以下性质 : (1)双重非负性 : a ≥0, a ≥0;(主要用于字母的求值) (2)回归性 : 2 a a ( a ≥0);(主要用于二次根式的计算) (3)转化性 : a 2 a(a0) a a(a .(主要用于二次根式的化简) 0) 重要结论 : (1)若几个非负数的和为0, 则每个非负数分别等于0.若 A B 2C0 ,则 A 0, B 0,C 0 . 应用与书写规范 : ∵ A B 2C0 , A ≥0,B2≥0, C ≥0 ∴ A 0, B0, C0 . 该性质常与配方法结合求字母的值. (2) A B 2 A B A B A B ;主要用于二次根式的化简. B A A B A2 B A 0 (3)A B, 其中B≥ 0; A2 B A 0 该结论主要用于某些带系数的二次根式的化简: 可以考虑把二次根号外面的系数根据符号以平方的形式移到根号内, 以达到化简的目的. (4) A B 2 A2 B ,其中B≥0. 该结论主要用于二次根式的计算. 例 1. 式子1在实数范围内有意义,则x的取值范围是 _________. x1 分析 : 本题考查二次根式有意义的条件, 即被开方数为非负数, 注意分母不能为0.解: 由二次根式有意义的条件可知: x10 ,∴ x 1. 例 2.若 x, y 为实数,且y x11 1y1 x,化简 :. 2y1 分析 : 本题考查二次根式有意义的条件, 且有重要结论 : 若二次根式 A B 与 B A 都有意义 , 则有A B . 解: ∵x 1≥ 0,1 x≥ 0 ∴ x ≥1, x ≤1 ∴ x1 ∴ y0011 1 22 y11y 1 . ∴ 1y1 y 习题 1.如果3a 5 有意义,则实数 a 的取值范围是__________.习题 2.若 y x33x 2 ,则 x y_________. 习题 3.要使代数式 12x有意义 ,则x的最大值是 _________. 习题 4.若函数 y 1 2 x ,则自变量x 的取值范围是__________. x 习题 5.已知 b3a1282a 1 ,则 a b_________. 二次根式 教学目标: 1、进一步了解二次根式有意义的条件及其基本性质,熟练化简含二次根式的式子; 2、熟练地进行二次根式的加、减、乘、除混合运算。 教学重点、难点: 1、二次根式的意义及性质; 2、二次根式的混合运算; 3、综合运用二次根式的性质及运算法则化简和计算含二次根式的式子。 一:详细知识要点讲解; 【要点归纳】 1. 二次根式的定义:形如的式子叫二次根式,其中叫被开方数,只有当是 一个非负数时,才有意义. 2. 二次根式的性质: ① ② ③ ④ 3. 二次根式的运算 二次根式的运算主要是研究二次根式的乘除和加减. (1)二次根式的加减: 需要先把二次根式化简,然后把被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)的系数相加减,被开方数不变。 注意:对于二次根式的加减,关键是合并同类二次根式,通常是先化成最简二次根式,再把同类二次根式合并.但在化简二次根式时,二次根式的被开方数应不含分母,不含能开得尽的因数. (2)二次根式的乘法: (3)二次根式的除法: 注意:乘、除法的运算法则要灵活运用,在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边,同时还要考虑字母的取值范围,最后把运算结果化成最简二次根式.(4)二次根式的混合运算: 先乘方(或开方),再乘除,最后加减,有括号的先算括号里面的;能利用运算律或乘法公式进行运算的,可适当改变运算顺序进行简便运算. 注意:进行根式运算时,要正确运用运算法则和乘法公式,分析题目特点,掌握方法与技巧,以便使运算过程简便.二次根式运算结果应尽可能化简.另外,根式的分数必须写成 假分数或真分数,不能写成带分数.例如不能写成. (5)有理化因式: 一般常见的互为有理化因式有如下几类: ①与;②与; ③与;④与. 说明:利用有理化因式的特点可以将分母有理化. 【难点指导】 1、如果是二次根式,则一定有;当时,必有; 2、当时,表示的算术平方根,因此有;反过来,也可以将一个非负数写成的形式; 3、表示的算术平方根,因此有,可以是任意实数; 4、区别和的不同: 中的可以取任意实数,中的只能是一个非负数,否则无意义. 5、简化二次根式的被开方数,主要有两个途径: (1)因式的内移:因式内移时,若,则将负号留在根号外.即:.(2)因式外移时,若被开数中字母取值范围未指明时,则要进行讨论.即: 6、二次根式的比较: (1)若,则有;(2)若,则有. 说明:一般情况下,可将根号外的因式都移到根号里面去以后再比较大小. 知识点1.二次根式的定义 形如()0 a的式子叫二次根式,其中a叫被开放数。 a ≥二次根式考试题型汇总62639
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