二阶微分方程解法

第六节二阶常系数齐次线性微分方程

教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法

教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法

教学过程：

一、二阶常系数齐次线性微分方程

二阶常系数齐次线性微分方程: 方程

y+py+qy=0

称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中p、q均为常数.

如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解, 那么y=C1y1+C2y2就是它的通解.

我们看看, 能否适当选取r, 使y=e rx满足二阶常系数齐次线性微分方程, 为此将y=e rx代入方程

y+py+qy=0

得

(r2+pr+q)e rx=0.

由此可见, 只要r满足代数方程r2+pr+q=0, 函数y=e rx就是微分方程的解.

特征方程: 方程r2+pr+q=0叫做微分方程y+py+qy=0的特征方程. 特征方程的两个根r1、r2可用公式

2

4 2

2,1

q

p

p

r

-

±

+

-

=

求出.

特征方程的根与通解的关系:

(1)特征方程有两个不相等的实根r 1、r 2时, 函数x r e y 11=、x r e y 22=是方程的两个线性无关的解. 这是因为, 函数x

r e

y 11=、x

r e

y 22=是方程的解, 又x r r x

r x r e e e y y )(212121-==不是常数. 因此方程的通解为

x r x r e C e C y 2121+=.

(2)特征方程有两个相等的实根r 1=r 2时, 函数x r e y 11=、x r xe y 12=是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解.

这是因为, x r e y 11=是方程的解, 又

x r x r x

r x r x r x r qxe e xr p e xr r xe q xe p xe 111111)1()2()()()(1211++++=+'+'' 0)()2(121111=++++=q pr r xe p r e x r x r ,

所以x

r xe y 12=也是方程的解, 且

x e xe y y x

r x

r ==1112不是常数. 因此方程的通解为 x r x r xe C e C y 1121+=.

(3)特征方程有一对共轭复根r 1, 2=a

ib 时, 函数y =e (a +ib )x 、y =e (a ib )x 是微分方程的两个

线性无关的复数形式的解. 函数y =e ax cos bx 、y =e ax sin bx 是微分方程的两个线性无关的实数形式的解. 函数y 1

e (a +ib )x 和y 2e (a ib )x 都是方程的解 而由欧拉公式 得

y 1

e (a +ib )x e x (cos x i sin x ) y 2

e (a ib )x

e

x (cos

x

i sin

x )

y 1y 22e x cos x )

(2

1cos 21y y x e x +=βα y 1

y 2

2ie

x sin

x

)

(21sin 21y y i

x e x -=βα

故e ax cos bx 、y 2=e ax sin bx 也是方程解.

可以验证, y 1=e ax cos bx 、y 2=e ax sin bx 是方程的线性无关解. 因此方程的通解为

y =e ax (C 1cos bx +C 2sin bx ). 求二阶常系数齐次线性微分方程y +py

+qy =0的通解的步骤为:

第一步 写出微分方程的特征方程 r 2+pr +q =0

第二步 求出特征方程的两个根r 1、r 2.

第三步 根据特征方程的两个根的不同情况, 写出微分方程的通解. 例1 求微分方程y

-2y

-3y =0的通解.

解 所给微分方程的特征方程为 r 2-2r -3=0, 即(r

1)(r

3)

其根r 1=-1, r 2=3是两个不相等的实根, 因此所求通解为 y =C 1e -x +C 2e 3x . 例2 求方程y

+2y

+y =0满足初始条件y |x =0=4、y

| x =0=-2的特解.

解 所给方程的特征方程为 r 2+2r +1=0, 即(r

1)2

其根r1=r2=1是两个相等的实根, 因此所给微分方程的通解为

y=(C1+C2x)e-x.

将条件y|x=0=4代入通解, 得C1=4, 从而

y=(4+C2x)e-x.

将上式对x求导, 得

y=(C2-4-C2x)e-x.

再把条件y|x=0=-2代入上式, 得C2=2. 于是所求特解为

x=(4+2x)e-x.

例3 求微分方程y-2y+5y= 0的通解.

解所给方程的特征方程为

r2-2r+5=0

特征方程的根为r1=12i r2=12i是一对共轭复根

因此所求通解为

y=e x(C1cos2x+C2sin2x).

n阶常系数齐次线性微分方程: 方程

y(n) +p1y(n-1)+p2 y(n-2) + + p n-1y+p n y=0,

称为n阶常系数齐次线性微分方程, 其中p1, p2 , , p n-1, p n都是常数.

二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式, 可推广到n阶常系数齐次线性微分方程上去.

引入微分算子D及微分算子的n次多项式

L(D)=D n+p1D n-1+p2 D n-2 + + p n-1D+p n

则n阶常系数齐次线性微分方程可记作

(D n+p1D n-1+p2 D n-2 + + p n-1D+p n)y=0或L(D)y0

注D叫做微分算子D0y y D y y D2y y D3y y

D n y y(n)

分析令y e rx则

L(D)y L(D)e rx(r n+p1r n-1+p2 r n-2 + + p n-1r+p n)e rx=L(r)e rx

因此如果r是多项式L(r)的根则y e rx是微分方程L(D)y0的解

n阶常系数齐次线性微分方程的特征方程

L(r)r n+p1r n-1+p2 r n-2 + + p n-1r+p n0

称为微分方程L(D)y0的特征方程

特征方程的根与通解中项的对应:

单实根r对应于一项: Ce rx;

一对单复根r1, 2=a ib对应于两项: e ax(C1cos bx+C2sin bx);

k重实根r对应于k项: e rx(C1+C2x+ +C k x k-1);

一对k重复根r1, 2=a ib 对应于2k项:

e ax[(C1+C2x+ +C k x k-1)cos bx+( D1+D2x+ +D k x k-1)sin bx].

例4 求方程y(4)-2y+5y=0 的通解.

解这里的特征方程为

r4-2r3+5r2=0, 即r2(r2-2r+5)=0,

它的根是r1=r2=0和r3, 4=12i.

因此所给微分方程的通解为

y =C 1+C 2x +e x (C 3cos2x +C 4sin2x ). 例5 求方程y (4)+b 4y =0的通解, 其中b 0.

解 这里的特征方程为 r 4+b 4=0. 它的根为)1(2

2,1i r ±=

β

, )1(2

4,3i r ±-

=β

.

因此所给微分方程的通解为

)2

sin

2

cos

(212

x C x C e

y x

β

β

β

+=)2

sin

2

cos

(432

x C x C e

x

β

β

β

++-.

二、二阶常系数非齐次线性微分方程简介

二阶常系数非齐次线性微分方程: 方程

y +py +qy =f (x )

称为二阶常系数非齐次线性微分方程, 其中p 、q 是常数. 二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程 的通解y =Y (x )与非齐次方程本身的一个特解y =y *(x )之和:

y =Y (x )+ y *(x ).

当f (x )为两种特殊形式时, 方程的特解的求法: 一、 f (x )=P m (x )e lx 型

当f (x )=P m (x )e lx 时, 可以猜想, 方程的特解也应具有这种形式. 因此, 设特解形式为

y *=Q (x )e lx , 将其代入方程, 得等式 Q

(x )+(2l +p )Q

(x )+(l 2+pl +q )Q (x )=P m (x ).

(1)如果l 不是特征方程r 2+pr +q =0 的根, 则l 2+pl +q 0. 要使上式成立, Q (x )应设为m

次多项式:

Q m(x)=b0x m+b1x m-1+ +b m-1x+b m,

通过比较等式两边同次项系数, 可确定b0, b1, , b m, 并得所求特解

y*=Q m(x)e lx.

(2)如果l是特征方程r2+pr+q=0 的单根, 则l2+pl+q=0, 但2l+p0, 要使等式

Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)=P m(x).

成立, Q(x)应设为m+1 次多项式:

Q(x)=xQ m(x),

Q m(x)=b0x m+b1x m-1+ +b m-1x+b m,

通过比较等式两边同次项系数, 可确定b0, b1, , b m, 并得所求特解

y*=xQ m(x)e lx.

(3)如果l是特征方程r2+pr+q=0的二重根, 则l2+pl+q=0, 2l+p=0, 要使等式

Q(x)+(2l+p)Q(x)+(l2+pl+q)Q(x)=P m(x).

成立, Q(x)应设为m+2次多项式:

Q(x)=x2Q m(x),

Q m(x)=b0x m+b1x m-1+ +b m-1x+b m,

通过比较等式两边同次项系数, 可确定b0, b1, , b m, 并得所求特解

y*=x2Q m(x)e lx.

综上所述, 我们有如下结论: 如果f(x)=P m(x)e lx, 则二阶常系数非齐次线性微分方程y

+py+qy =f(x)有形如

y*=x k Q m(x)e lx

的特解, 其中Q m(x)是与P m(x)同次的多项式, 而k按l不是特征方程的根、是特征方程的单根或

是特征方程的的重根依次取为0、1或2. 例1 求微分方程y

-2y

-3y =3x +1的一个特解.

解 这是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且函数f (x )是P m (x )e lx 型(其中P m (x )=3x +1, l =0). 与所给方程对应的齐次方程为

y -2y -3y =0,

它的特征方程为

r 2-2r -3=0.

由于这里l =0不是特征方程的根, 所以应设特解为

y *=b 0x +b 1.

把它代入所给方程, 得

-3b 0x -2b 0-3b 1=3x +1, 比较两端x 同次幂的系数, 得

??

?=--=-1

323

3100

b b b -3b 0=3, -2b 0-3b 1=1.

由此求得b 0=-1, 3

11=b . 于是求得所给方程的一个特解为 3

1*+-=x y . 例2 求微分方程y

-5y

+6y =xe 2x 的通解.

解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程, 且f (x )是P m (x )e lx 型(其中P m (x )=x , l =2). 与所给方程对应的齐次方程为

y -5y +6y =0,

它的特征方程为

r 2-5r +6=0.

特征方程有两个实根r 1=2, r 2=3. 于是所给方程对应的齐次方程的通解为

Y =C 1e 2x +C 2e 3x .

由于l =2是特征方程的单根, 所以应设方程的特解为

y *=x (b 0x +b 1)e 2x .

把它代入所给方程, 得 -2b 0x +2b 0-b 1=x . 比较两端x 同次幂的系数, 得

??

?=-=-0

21

2100

b b b -2b 0=1, 2b 0-b 1=0.

由此求得2

10-

=b , b 1

=-1. 于是求得所给方程的一个特解为

x e x x y 2)12

1(*--=. 从而所给方程的通解为

x x x e x x e C e C y 223221)2(2

1+-+=. 提示

y *=x (b 0x +b 1)e 2x

(b 0x 2+b 1x )e 2x

[(b 0x 2+b 1x )e 2x ][(2b 0x +b 1)(b 0x 2+b 1x )×2]e 2x

[(b 0x 2+b 1x )e 2x ][2b 0

2(2b 0x

b 1)×2(b 0x 2+b 1x )×22]e 2x

y *

5y *6y *[(b 0x 2+b 1x )e 2x ]5[(b 0x 2+b 1x )e 2x ]6[(b 0x 2+b 1x )e 2x ]

[2b 0

2(2b 0x b 1)×2(b 0x 2+b 1x )×22]e 2x 5[(2b 0x +b 1)

(b 0x 2+b 1x )×2]e 2x

6(b 0x 2+b 1x )e 2x [2b 0

4(2b 0x b 1)5(2b 0x +b 1)]e 2x [2b 0x +2b 0b 1]e 2x

方程y

+py

+qy =e lx [P l (x )cos wx +P n (x )sin wx ]的特解形式

应用欧拉公式可得

e lx [P l (x )cos wx +P n (x )sin wx ]

]2)(2)([ i

e e x P e e

x P e x i x i n x i x

i l

x ωωωωλ---++= x i n

l

x i n l e x iP x P e x iP x P )()()]()([21)]()([21ωλωλ-+++-=

x i x i e x P e x P )()()()(ωλωλ-++=,

其中)(21

)(i P P x P n l -=, )(2

1)(i P P x P n l +=. 而m =max{l , n }. 设方程y

+py

+qy =P (x )e (l +iw )x 的特解为y 1*=x k Q m (x )e (l +iw )x ,

则)(1)(*ωλi m k e x Q x y -=必是方程)()(ωλi e x P qy y p y -=+'+''的特解, 其中k 按l

iw 不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1.

于是方程y

+py

+qy =e lx [P l (x )cos wx +P n (x )sin wx ]的特解为

x i m k x i m k e x Q x e x Q x y )()()()(*ωλωλ-++=

)sin )(cos ()sin )(cos ([x i x x Q x i x x Q e x m m x k ωωωωλ-++= =x k e lx [R (1)m (x )cos wx +R (2)m (x )sin wx ]. 综上所述, 我们有如下结论:

如果f (x )=e lx [P l (x )cos wx +P n (x )sin wx ], 则二阶常系数非齐次线性微分方程

y

+py +qy =f (x )

的特解可设为

y *=x k e lx [R (1)m (x )cos wx +R (2)m (x )sin wx ],

其中R (1)m (x )、R (2)m (x )是m 次多项式, m =max{l , n }, 而k 按l +i w (或l -iw )不是特征方程的根或

是特征方程的单根依次取0或1. 例3 求微分方程y

+y =x cos2x 的一个特解.

解 所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程,

且f (x )属于e lx [P l (x )cos wx +P n (x )sin wx ]型(其中l =0, w =2, P l (x )=x , P n (x )=0）. 与所给方程对应的齐次方程为

y +y =0,

它的特征方程为

r 2+1=0.

由于这里l +iw =2i 不是特征方程的根, 所以应设特解为

y *=(ax +b )cos2x +(cx +d )sin2x .

把它代入所给方程, 得

(-3ax -3b +4c )cos2x -(3cx +3d +4a )sin2x =x cos2x . 比较两端同类项的系数, 得 31-=a , b =0, c =0, 9

4=d . 于是求得一个特解为 x x x y 2sin 9

42cos 31*+-=. 提示

y *=(ax +b )cos2x +(cx +d )sin2x . y *=a cos2x

2(ax +b )sin2x +c sin2x +2(cx +d )cos2x

(2cx +a

2d )cos2x +(

2ax

2b

c )sin2x

y *

=2c cos2x 2(2cx +a 2d )sin2x 2a sin2x +2(2ax

2b

c )cos2x

(

4ax

4b

4c )cos2x (

4cx

4a 4d )sin2x

y * y *(3ax 3b

4c )cos2x (

3cx

4a

3d )sin2x

由?

???

?=--=-=+-=-0

340304313d a c c b a 得31-=a , b =0, c =0, 9

4=

d .