2015年上海春季高考数学真题解析版
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2015年上海市春季高考（学业水平考试）数学试卷
2015.1
一. 填空题（本大题共12题，每题3分，共36分）
1. 设全集为{1,2,3}U =，{1,2}A =，若集合则U C A = ；
2. 计算：
1i
i
+= ；
（其中i 为虚数单位） 3. 函数sin(2)4
y x π
=+
的最小正周期为 ；
4. 计算：22
3
lim 2n n n n
→∞-=+ ； 5. 以(2,6)为圆心，1为半径的圆的标准方程为 ；
6. 已知向量(1,3)a =r ，(,1)b m =-r
，若a b ⊥r r ，则m = ；
7. 函数2
24y x x =-+，[0,2]x ∈的值域为 ；
8. 若线性方程组的增广矩阵为0201a b ?? ???，解为2
1x y =??
=?
，则a b += ； 9. 方程lg(21)lg 1x x ++=的解集为 ； 10. 在9
2
1()x x +
的二项展开式中，常数项的值为 ； 11. 用数字组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为 ；（结果用数值表示） 12. 已知点(1,0)A ，直线:1l x =-，两个动圆均过点A 且与l 相切，其圆心分别为1C 、2C ，
若动点M 满足22122C M C C C A =+u u u u u r u u u u r u u u u r
，则M 的轨迹方程为 ；
二. 选择题（本大题共12题，每题3分，共36分） 13. 若0a b <<，则下列不等式恒成立的是（ ） A.
11
a b
> B. a b -> C. 22a b > D. 33a b <； 14. 函数2
(1)y x x =≥的反函数为（ ）
A. y =(1)x ≥
B. y =(1)x ≤-
C. y =
(0)x ≥ D. y =(0)x ≤
15. 不等式
2301x
x ->-的解集为（ ） A. 3(,)4
-∞ B. 2(,)3
-∞ C. 2(,)(1,)3
-∞+∞U D. 2(,1)3
16. 下列函数中，是奇函数且在(0,)+∞上单调递增的为（ ） A. 2
y x = B. 13
y x = C. 1
y x -= D. 12
y x -
=
17. 直线3450x y --=的倾斜角为（ ） A. 3arctan
4 B. 3arctan 4π- C. 4arctan 3 D. 4arctan 3
π- 18. 底面半径为1，母线长为2的圆锥的体积为（ ）
A. 2π
B.
C.
23
π
D. 3
19. 以(3,0)-和(3,0)为焦点，长轴长为8的椭圆方程为（ ）
A.
2211625x y += B. 221167x y += C. 2212516x y += D. 22
1716
x y += 20. 在复平面上，满足|1|||z z i -=+（i 为虚数单位）的复数z 对应的点的轨迹为（ ） A. 椭圆 B. 圆 C. 线段 D. 直线
21. 若无穷等差数列{}n a 的首项10a >，公差0d <，{}n a 的前n 项和为n S ，则（ ） A. n S 单调递减 B. n S 单调递增 C. n S 有最大值 D. n S 有最小值 22. 已知0a >，0b >，若4a b +=，则（ ）
A. 2
2
a b +有最小值 B. 有最小值
C.
11
a b +有最大值 D. 有最大值
23. 组合数122m m m n n n C C C --++*
(2,,)n m m n N ≥≥∈恒等于（ ） A. 2m n C + B. 12m n C ++ C. 1m n C + D. 1
1m n C ++
24. 设集合21{|10}P x x ax =++>，22{|20}P x x ax =++>，2
1
{|0}Q x x x b =++>， 22{|20}Q x x x b =++>，其中,a b R ∈，下列说法正确的是（ ）
A.对任意a ，1P 是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集
B. 对任意a ，1P 是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集
C. 存在a ，使得1P 不是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集
D. 存在a ，使得1P 不是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集
三. 解答题（本大题共5题，共8+8+8+12+12=48分）
25. 如图，在正四棱柱中1111ABCD A B C D -，1AB =，1D B 和平面ABCD 所成的角的大
小为arctan
4
，求该四棱柱的表面积；
26. 已知a 为实数，函数24
()x ax f x x
++=是奇函数，求()f x 在(0,)+∞上的最小值及取
到最小值时所对应的x 的值；
27. 某船在海平面A 处测得灯塔B 在北偏东30?
方向，与A 相距6.0海里，船由A 向正北方向航行8.1海里到达C 处，这时灯塔B 与船相距多少海里（精确到0.1海里）？B 在船的什么方向（精确到1?
）？
28. 已知点1F 、2F 依次为双曲线22
22:1x y C a b
-=(,0)a b >的左右焦点，126F F =，
1(0,)B b -，2(0,)B b ；
（1）若a =(3,4)d =-u r
为方向向量的直线l 经过1B ，求2F 到l 的距离；
（2）若双曲线C 上存在点P ，使得122PB PB ?=-u u u r u u u u r
，求实数b 的取值范围；
29. 已知函数2
()|22|x f x -=-(R)x ∈；
（1）解不等式()2f x <；
（2）数列{}n a 满足()n a f n =*
(N )n ∈，n S 为{}n a 的前n 项和，对任意的4n ≥，不等式
1
2
n n S ka +
≥恒成立，求实数k 的取值范围；
附加题
一. 选择题（本大题共3题，每题3分，共9分）
1. 对于集合A 、B ，“A B ≠”是“A B A B ?≠I U ”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
2. 对于任意实数a 、b ，2
()a b kab -≥均成立，则实数k 的取值范围是（ ） A. {4,0}- B. [4,0]- C. (,0]-∞ D. (,4][0,)-∞-+∞U
3. 已知数列{}n a 满足413n n n n a a a a ++++=+()n N *
∈，那么（ ）
A. {}n a 是等差数列
B. 21{}n a -是等差数列
C. 2{}n a 是等差数列
D. 3{}n a 是等差数列
二. 填空题（本大题共3题，每题3分，共9分）
4. 关于x 的实系数一元二次方程2
20x px ++=的两个虚数根为1z 、2z ，若1z 、2z 在复平 面上对应的点是经过原点的椭圆的两个焦点，则该椭圆的长轴长为 ；
5. 已知圆心为O ，半径为1的圆上有三点A 、B 、C ，若7580OA OB OC ++=u u u r u u u r u u u r r
，则
||BC =u u u r
；
6. 函数()f x 与()g x 的图像拼成如图所示的“Z ”字形 折线段ABOCD ，不含(0,1)A ，(1,1)B ，(0,0)O ，
(1,1)C --，(0,1)D -五个点，若()f x 的图像关于
原点对称的图形即为()g x 的图像，则其中一个函数 的解析式可以为 ；
三. 解答题（本大题12分）
7. 对于函数()f x 、()g x ，若存在函数()h x ，使得()()()f x g x h x =?，则称()f x 是()g x 的“()h x 关联函数”
（1）已知()sin f x x =，()cos g x x =，是否存在定义域为R 的函数()h x ，使得()f x 是
()g x 的“()h x 关联函数”？若存在，写出()h x 的解析式；若不存在，说明理由；
（2）已知函数()f x 、()g x 的定义域为[1,)+∞，当[,1)x n n ∈+()n *
∈N 时，()f x =
12sin 1n x
n
--，若存在函数1()h x 及2()h x ，使得()f x 是()g x 的
“1()h x 关联函数”，且()g x 是()f x 的“2()h x 关联函数”，求方程()0g x =的解；
参考答案
一. 填空题
1. {3}；
2. 1i -；
3. π；
4. 0.5；
5. 2
2
(2)(6)1x y -+-=； 6. 3； 7. [3,4]； 8. 2； 9. {2}； 10. 84； 11. 320； 12. 2
21y x =-；
二. 选择题
13. D ； 14. A ； 15. D ； 16. B ； 17. A ； 18. D ； 19. B ； 20. D ； 21. C ； 22. A ； 23. A ； 24. A ；
三. 解答题 25. 8；
26. 0a =，2x =，min ()4f x =； 27. 4.2BC ≈海里，南偏东46?
；
28.（1） 3.6d =；（2）2
b ≥ 29.（1）4x <；（2）2514
k ≤； 附加题
1. C ；
2. B ；
3. D ；
4. ；
5.
； 6. ,10
()1,01x x f x x -<
；
7.（1）不存在，定义域不为R ；（2）2
x π
=
；