几何非线性有限元分析课件(2)

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第8章 几何非线性有限元分析

8.2 几何非线性问题的表达格式 虚位移原理（虚功原理）：()

t t

t t

t t

t t

ij t t ij V

e dV W

τδ+?+?+?+?+?=

?

()

()

t t

t t

t t

t t

t t

t t

t t

k k k k S

V

W t u dV f u dV

δδ+?+?+?+?+?+?+?=

+

?

?

,,11()()(

)

2

2

j i t t ij t t i j t t

j i t t

t t

j

i

u u e u u x

x δδδ+?+?+?+?+???=

+

=

+

?

?

虚功原理的初始参考构型表示形式：

(

)t t

t t

t t

ji ij V

S dV W

δε+?+?+?=

?

2

为了便于求解：将应力和应变分解成：

00

t t

t

j

i

j

i j i S

S S +?=

+

从t 到t t +?时刻引起的应力增量

0t t

t

ji ji ji εεε+?=+ 从t 到t t +?时刻引起的应变增量

0(

)()t t

ji ji δεδε+?=

将应变增量进一步分解：000ij ij ij e εη=+

00,0,0,0

,0

,0,

1()2t

t ij

i

j

j i k

j

k i k

j

k i

e u u u u u u =+++ 0

,0,12

ij k j k i

u u η=

00

00

0()()()t

t t

t ji ij ji ij ji ij V

V

V

S dV S dV W S e dV

δεδηδ+?+

=

-

?

?

?

3

平衡方程的线性化

（1） 物理方程的线性化：000ij ijkl kl S D ε=

对于弹性材料，该关系式准确的。如果是小变形，则有

ijkl ijkl D D =

材料的弹性常数张量。

（2） 求解格式的进一步线性化：

00

000

000

000000()()()[()()()]ji ij ijkl kl ij V

V

ijkl kl ij V

ijkl kl ij kl ij kl ij V

S dV D dV D e dV

D e e dV

δεεδεεδδηηδηδη=

=

+++?

??

?

4

带入虚功方程，

00

00

0()()()t t t

t ji ij ji ij ji ij V

V

V

S dV S dV W S e dV

δεδηδ+?+

=

-

?

?

?

可获得用位移和应变表示的虚功方程：

000

00

0()()()t t t

t ijkl kl ij ji ij ji ij V

V

V

D e e dV S dV W S e dV

δδηδ+?+

=

-

?

?

?

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8.3 有限元求解方程及解法

一．有限元方程： 静力问题：

按照一般的有限元法的基本思想，将结构离散成有限单元，每个单元中，选择相应的形函数，将节点坐标、位移等相应的量，通过形状函数与单元的节点上的坐标值、位移相联系。

坐标：0

1(,,)n

k i k

i

k x N

x

ξηζ==

∑，

1n

t

t k i k

i

k x N

x

==

∑，

1

n

t t k i k

i

k x N

x

+?==

∑

位移：

1

(,,)n

t

k i k

i

k u N

u

ξηζ==

∑，

1

n

k i k

i

k u N

u

==

∑

6

代入虚功原理：

000

0010

00

1

1

()(){}

[][][]{}{}[]{}e

e

N e

ijkl kl ij ijkl kl ij V V e N e

N e

T

t T

t T

t

L L L

V e e D e e dV D e e dV

u B D B u dV u K u δδδδδδ====

=

=

∑?

?

∑∑?

00

[][][][]e

t t T

t L L L V K B D B dV

=

?

，0

00

1[][][]t t t L L L K K K =+

00,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,000011()211()()[]{}([][]){}2

2

t

t

ij

i j j i k j k i k j k i t

t

t

t

t

i j j i k j k i k j k i L L L e u u u u u u u u u u u u B u B B u =+++=

++

+==+

00

000

0[][][][]e

t t T

t L L L V K B D B dV

=

?

7

01000010100001001[]([][][][][][][][][])e

t

t T t t T t t T t

L L L L L L L V K B D B B D B B D B dV

=

++?

{}{}t t

T

W u Q δ+?=

00

1

?(){}{},

{}[]{}N e

t T

t t t

T

ji ij L

V

e S e dV u F F B S δδ===

∑?

011022033023031012?{}(,,,,,)

t t t t t t T S S S S S S S =

00

1

(){}

[]{}

N e

t T

t ji ij N L V

e S dV u K u δηδδ==

∑?

，

8

0000[][][][]e

t

t T t t

N L N L N L V K B S B dV =

?

00

,0,0

0000011()(

)(

)

2

2

1111)2222k

k

ij k j k i j i

k k k k j i

j

i j i i j

u u u u x x u u u u u u u u x x x x x x x x δηδδδδδδT

T

??==

???????????????????

???

=

+

=+????????????????????????????

312123,000000[](,,)(,,){}[]{}

i i i i i i i u u u u N u u u u N u x x x x x x T T

????????====?????????

? 0

00

000

,0,00

11()22{}[][]{}t

t

t ji ij ji ji j

i i j t t

ij i ij j i j u u u u S S S x x x x u u S u N S N u x x δηδδδδT T T T T ?????????????

???

=+????????????????????

??

??

????

????==??????????

??

9

,1,2,3[]([],[],[])t T B N N N T T T

=

经过集成后，可获得有限元控制方程：

?([][]){}{}{}t

t L NL K K u Q F +=-

该方程是一个非线性方程组。其非线性体现在刚度系数矩阵上。在时间步中，刚度矩阵是切线模量。这与物理非线性问题是相同的。

另一方面，右端项?{}F 与待求的位移增量{u}相关。这也造成了非线性。

求解方法：可采用求解物理非线性问题的方法求解。

二．用于几何非线性的单元及单元矩阵和向量的举例：

（见教材）

三．有限元方程的解法

基本思想：在每个时间步中，采用非线性方程的求解方法，进行迭代求解。这些方法包括：直接迭代法；N－R方法等。

因此，几何非线性问题的求解包括两层迭代（循环）；

外层循环（迭代）：对时间步迭代（荷载增量步）

内层循环：求解各时间步倒出的非线性方程，通过迭代求解该时间步后的相应。

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四．平衡路径的追踪方法：弧长法

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8.4 稳定性问题

初始稳定性问题（初始屈曲等）

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稳定性控制方程（屈曲方程）

非线性方程：0

?([][]){}{}{}t

t L NL

K K u Q F +=- 稳定性问题：在一定的荷载条件下，结构处于平衡状态。在荷载不增加的条件下，是否存在另一状态？

从数学上说，如果位移{u}对应平衡状态，在荷载不变的条件下，位移有一个小的扰动，是否也能够处于平衡状态？

?([][]){}{}{}t

t L NL K K u u Q F ++?=-

也就是：00([][]){}0t t

L N L K K u +?=，是否有非零解？

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注意：非线性刚度矩阵0

[]t N L K 是由初始内力形成的刚度矩阵。初始内力的大小与外荷载相关。如果讨论的是初始屈曲问题，则初始内力与外荷载成正比。例如，梁的屈曲问题，则内力与轴向荷载p 成正比。此时，00

[][]t t N L N L K p K =。

失稳条件：0000

det([][])det([][])0t t t t L N L L N L K K K p K +=+= 求解上述方程，可求出失稳荷载。

有限元非线性计算特点

有限元非线性计算特点 文章通过几个典型的工程计算模型，分析比较有限元线性与非线性计算结果，阐释了有限元非线性计算的特点及优点。 标签：工程计算；线性；非线性 1 引言 有限元单元法已成为强有力的数值解法来解决工程中遇到的大量问题，其应用范围从固体到流体，从静力到动力，从力学问题到非力学问题，有限元的线性分析已被广泛采用。但对于许多航空工程中遇到的问题，如进气道等，仅仅采用线性求解是不真实的，而采用非线性计算将更符号实际情况。本文借助MSC/NASTRAN有限元分析程序，对于典型的工程计算模型分析比较线性与非线性计算结果，从而给出非线性计算相对于线性计算的优点及特点。 2 有限元非线性计算的特点及优点 为了明确有限元非线性计算结果与线性计算结果的差异，更好的展现有限元非线性计算的特点，本节将借助于有限元分析软件MSC/NASTRAN，对一受外载的矩形薄板根据不同的边界条件，进行非线性及线性静力分析，通过分析比较计算结果，说明有限元非线性静力计算中的一些特点。 2.1 非线性与线性计算结果随载荷的变化 首先，给出薄板尺寸、载荷。 模型尺寸：薄板尺寸为500×500×1.5mm。 载荷：受法向气动压力（pressure），气动压力由小到大变化依次为0.01MPa、0.02MPa、0.04MPa、0.08MPa、0.16MPa。 取薄板中央节点位移、应力及薄板边缘中部节点位移，比较线性计算结果和非线性计算结果。在分别进行有限元线性及非线性分析后，给出位移、应力及支反力结果随载荷的变化曲线。图1、图3、图5分别为采用限元线性计算得到的参考点的位移、应力及支反力变化曲线；图2、图4、图6分别为采用有限元非线性计算得到的参考点的位移、应力及支反力变化曲线。 由圖1、3、5可见，采用线性静力分析后，参考点位移、应力、支反力均随载荷增加而线性增大，位移、应力、支反力与载荷呈明显的线性关系，这是线性静力分析的特点。对于本例，可以预言，在其它条件不变的情况下，计算出一套载荷下的结果，就可以按照线性关系求出压力载荷下的位移、应力及支反力结果。

非线性有限元分析

轨道结构的非线性有限元分析 姜建华 练松良 摘 要 实际轨道结构受载时的力学行为,属于典型的非线性力学问题。钢轨垫层刚度、钢轨抗扭刚度和扣件扣压力的大小是影响轨距扩大的主要因素。根据非线性有限元接触理论,建立了能准确反映扣件、钢轨与垫层的拧紧接触,以及受载车轮与钢轨侧向滑动接触的力学计算模型;并研究计算了不同扣件压力下,由于受载车轮与钢轨侧向滑动接触引起的轨距扩大问题。 关键词 轮轨关系,扣件压力,非线性弹性力学,有限元分析 1 引言 实际工程中常见的非线性问题一般可以归纳为三类:材料非线性、几何非线性以及边界条件非线性。材料非线性问题是由于材料的非线性本构关系所引起的,例如材料的弹塑性变形,材料的屈服和硬化等;几何非线性问题是由于结构的位移或变形相当大,以至必须按照变形后的几何位置来建立平衡方程;边界条件非线性问题是指边界条件随位移变化所引起的非线性问题。通常情况下,我们所遇到的非线性问题多数是上述三类非线性问题的组合[1,2]。 实际轨道结构受载时的力学行为,属于典型的非线性力学问题。比如基于轮轨接触的材料非线性、几何非线性及边界条件非线性问题,以及扣件、钢轨、垫层三者间相互作用时所表现的边界条件非线性行为等。所以,机车车辆在轨道结构上行驶时引起的力学现象是相当复杂的。以往在研究轨道各部分应力应变分布规律时,通常采用连续弹性基础梁理论或连续点支承,偶尔简单考虑扣件的作用和弹性垫层的使用。不管用哪一种支承方式建立模型,都由于这样那样的假设而带有一定程度的近似性。所以,如何利用现代力学理论的最新成果以及日益发展的计算机技术,根据轨道结构的具体情况,建立更为完整更为准确的轨道结构计算模型,为轨道设计部门提供更加可靠的设计依据或研究思路,已十分必要。 本文提出了用非线性有限元理论研究轮轨系统和轨道结构的思路。作为算例之一,本文将根据非线性有限元理论,建立能准确反映扣件、钢轨与垫层的拧紧接触,以及受载车轮与钢轨侧向滑动接触的力学计算模型。 2 轨道结构的有限元接触模型 对于非线性问题,不管是材料非线性、几何非线性,还是边界条件非线性,总是最终归结为求解一组非线性平衡方程及其控制方程。例如用位移作为未知数进行有限元分析时,最后可得到一组平衡方程及其控制方程为 : 图1 轮轨系统的对称性模型简图 [K(u)]{u}={R}(1) (u)= (u)(2)其中:{u}为节点位移列阵;{R}为节点载荷列阵; [K(u)]为总体刚度矩阵; (u)为边界条件。它们 36 姜建华:同济大学工程力学系,副教授、博士,上海200092

非线性有限元方法及实例分析

非线性有限元方法及实例分析 梁军 河海大学水利水电工程学院，南京（210098） 摘 要：对在地下工程稳定性分析中常用的非线性方程组的求解方法进行研究，讨论了非线性计算的迭代收敛准则，并利用非线性有限元方法分析了一个钢棒单轴拉伸的实例。 关键词：非线性有限元，方程组求解，实例分析 1引 言 有限单元法已成为一种强有力的数值解法来解决工程中遇到的大量问题，其应用范围从固体到流体，从静力到动力，从力学问题到非力学问题。有限元的线性分析已经设计工具被广泛采用。但对于绝大多数水利工程中遇到的实际问题如地下洞室等，将其作为非线性问题加以考虑更符合实际情况。根据产生非线性的原因，非线性问题主要有3种类型[1]： 1．材料非线性问题（简称材料非线性或物理非线性） 2．几何非线性问题 3．接触非线性问题（简称接触非线性或边界非线性） 2 非线性方程组的求解 在非线性力学中，无论是哪一类非线性问题，经过有限元离散后，它们都归结为求解一个非线性代数方程组[2]： ()()()00 021212211=… …==n n n n δδδψδδδψδδδψΛΛΛ （1.1） 其中n δδδ,,,21Λ是未知量，n ψψψ,,,21Λ是n δδδ,,,21Λ的非线性函数，引用矢量记 号 []T n δδδδΛ21＝ （1.2） []T n ψψψψΛ21= （1.3） 上述方程组（1.1）可表示为 ()0=δψ （1.4） 可以将它改写为 ()()()0=?≡?≡R K R F δδδδψ （1.5） 其中()δK 是一个的矩阵，其元素 是矢量的函数，n n ×ij k R 为已知矢量。在位移有限 元中，δ代表未知的结点位移，()δF 是等效结点力，R 为等效结点荷载，方程()0=δψ表示结点平衡方程。 在线弹性有限元中，线性方程组

非线性有限元分析

非线性有限元分析 1 概述 在科学技术领域，对于许多力学问题和物理问题，人们已经得到了它们所应遵循的基本方程（常微分方程或偏微分方程）和相应的定解条件（边界条件）。但能够用解析方法求出精确解的只是少数方程性质比较简单，并且几何形状相当规则的问题。对于大多数工程实际问题，由于方程的某些特征的非线性性质，或由于求解区域的几何形状比较复杂，则不能得到解析的答案。这类问题的解决通常有两种途径。一是引入简化假设，将方程和几何边界简化为能够处理的情况，从而得到问题在简化状态下的解答。但是这种方法只是在有限的情况下是可行的，因为过多的简化可能导致误差很大甚至是错误的解答。因此人们多年来一直在致力于寻找和发展另一种求解途径和方法——数值解法。特别是五十多年来，随着电子计算机的飞速发展和广泛应用，数值分析方法已成为求解科学技术问题的主要工具。 已经发展的数值分析方法可以分为两大类。一类以有限差分法为代表，主要特点是直接求解基本方程和相应定解条件的近似解。其具体解法是将求解区域划分为网格，然后在网格的结点上用差分方程来近似微分方程，当采用较多结点时，近似解的精度可以得到改善。但是当用于求解几何形状复杂的问题时，有限差分法的精度将降低，甚至发生困难。 另一类数值分析方法是首先建立和原问题基本方程及相应定解条件相等效的积分提法，然后再建立近似解法并求解。如果原问题的方程具有某些特定的性质，则它的等效积分提法可以归结为某个泛函的变分，相应的近似解法实际上就是求解泛函的驻值问题。诸如里兹法，配点法，最小二乘法，伽辽金法，力矩法等都属于这一类方法。但此类方法也只能局限于几何形状规则的问题，原因在于它们都是在整个求解区域上假设近似函数，因此，对于几何形状复杂的问题，不可能建立合乎要求的近似函数。 1960年，R.W.CLOUGH发表了有限单元法的第一篇文献“The Finite Element Method in Plane Stress Analysis”，这同时也标志着有限单元法（FEM）的问世。有限单元法的基本思想是将连续的求解区域离散为一组有限个，且按一定方式相互联接在一起的单元的组合体。由于单元能按不同的联结方式进行组合，且单元本身又可以有不同形状，因此可以模型化几何形状复杂的求解域。并且可以利用在每一个单元假设的近似函数来分片地表示全求解域上待求的未知场函数，从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。 现已证明，有限单元法是基于变分原理的里兹法的另一种形式，从而使里兹法分析的所有理论基础都适用于有限单元法，确认了有限单元法是处理连续介质问题的一种普遍方法。利用变分原理建立有限元方程和经典里兹法的主要区别是有限单元法假设的近似函数不是在全求解域而是在单元上规定的，而且事先不要求满足任何边界条件，因此可以用来处理很复杂的连续介质问题。 在短短四十余年的时间里，有限单元的分析方法已经迅速地发展为适合于使用各种类型计算机解决复杂工程问题的一种相当普及的方法。如今，有限元广泛地应用于各个学科门类，已经成为工程师和科研人员用于解决实际工程问题，进行科学研究不可或缺的有力工具。有限单元法的应用围已由弹性力学平面问题扩展到空间问题，板壳问题，由静力平衡问题扩展到稳定问题，动力问题和波动问题。分析的对象从弹性材料扩展到塑性，粘弹性，粘塑性和复合材料等，从固体

有限元分析法英文简介

The finite element analysis Finite element method, the solving area is regarded as made up of many small in the node connected unit (a domain), the model gives the fundamental equation of sharding (sub-domain) approximation solution, due to the unit (a domain) can be divided into various shapes and sizes of different size, so it can well adapt to the complex geometry, complex material properties and complicated boundary conditions Finite element model: is it real system idealized mathematical abstractions. Is composed of some simple shapes of unit, unit connection through the node, and under a certain load. Finite element analysis: is the use of mathematical approximation method for real physical systems (geometry and loading conditions were simulated. And by using simple and interacting elements, namely unit, can use a limited number of unknown variables to approaching infinite unknown quantity of the real system. Linear elastic finite element method is a ideal elastic body as the research object, considering the deformation based on small deformation assumption of. In this kind of problem, the stress and strain of the material is linear relationship, meet the generalized hooke's law; Stress and strain is linear, linear elastic problem boils down to solving linear equations, so only need less computation time. If the efficient method of solving algebraic equations can also help reduce the duration of finite element analysis.

有限元分析英文文献

The Basics of FEA Procedure有限元分析程序的基本知识 2.1 Introduction This chapter discusses the spring element, especially for the purpose of introducing various concepts involved in use of the FEA technique. 本章讨论了弹簧元件，特别是用于引入使用的有限元分析技术的各种概念的目的 A spring element is not very useful in the analysis of real engineering structures; however, it represents a structure in an ideal form for an FEA analysis. Spring element doesn’t require discretization (division into smaller elements) and follows the basic equation F = ku. 在分析实际工程结构时弹簧元件不是很有用的;然而,它代表了一个有限元分析结构在一个理想的形式分析。弹簧元件不需要离散化(分裂成更小的元素)只遵循的基本方程F = ku We will use it solely for the purpose of developing an understanding of FEA concepts and procedure. 我们将使用它的目的仅仅是为了对开发有限元分析的概念和过程的理解。 2.2 Overview概述 Finite Element Analysis (FEA), also known as finite element method (FEM) is based on the concept that a structure can be simulated by the mechanical behavior of a spring in which the applied force is proportional to the displacement of the spring and the relationship F = ku is satisfied. 有限元分析(FEA),也称为有限元法(FEM)，是基于一个结构可以由一个弹簧的力学行为模拟的应用力弹簧的位移成正比,F = ku切合的关系。 In FEA, structures are modeled by a CAD program and represented by nodes and elements. The mechanical behavior of each of these elements is similar to a mechanical spring, obeying the equation, F = ku. Generally, a structure is divided into several hundred elements, generating a very large number of equations that can only be solved with the help of a computer. 在有限元分析中,结构是由CAD建模程序通过节点和元素建立。每一个元素的力学行为类似于机械弹簧,遵守方程,F =ku。一般来说,一个结构分为几百元素,生成大量的方程,只能在电脑的帮助下得到解决。 The term ‘finite element’ stems from the procedure in which a structure is divided into small but finite size elements (as opposed to an infinite size, generally used in mathematical integration).“有限元”一词源于一个结构分为小而有限大小元素的过程(而不是无限大小,通常用于数学集成) The endpoints or corner points of the element are called nodes. 元素的端点或角点称为节点。 Each element possesses its own geometric and elastic properties. 每个元素拥有自己的几何和弹性。

第9章 非线性问题的有限单元法

第9章非线性问题的有限单元法 9.1 非线性问题概述 前面章节讨论的都是线性问题，但在很多实际问题中，线弹性力学中的基本方程已不能满足，需要用非线性有限单元法。非线性问题的基本特征是变化的结构刚度，它可以分为三大类：材料非线性、几何非线性、状态非线性。 1. 材料非线性(塑性, 超弹性, 蠕变) 材料非线性指的是材料的物理定律是非线性的。它又可分为非线性弹性问题和非线性弹塑性问题两大类。例如在结构的形状有不连续变化（如缺口、裂纹等）的部位存在应力集中，当外载荷到达一定数值时该部位首先进入塑性，这时在该部位线弹性的应力应变关系不再适用，虽然结构的其他大部分区域仍保持弹性。 2. 几何非线性(大应变, 大挠度, 应力刚化) 几何非线性是有结构变形的大位移引起的。例如钓鱼杆，在轻微的垂向载荷作用下，会产生很大的变形。随着垂向载荷的增加，杆不断的弯曲，以至于动力臂明显减少，结构刚度增加。 3. 状态非线性(接触, 单元死活) 状态非线性是一种与状态相关的非线性行为。例如，只承受张力的电缆的松弛与张紧；轴承与轴承套的接触与脱开；冻土的冻结与融化。这些系统的刚度随着它们状态的变化而发生显著变化。 9.2 非线性有限元问题的求解方法 对于线性方程组，由于刚度方程是常数矩阵，可以直接求解，但对于非线性方程组，由于刚度方程是某个未知量的函数则不能直接求解。以下将简要介绍借助于重复求解线性方程组以得到非线性方程组解答的一些常用方法。 1.迭代法 迭代法与直接法不同，它不是求方程组的直接解，而是用某一近似值代人，逐步迭代，使近似值逐渐逼近，当达到允许的规定误差时，就取这些近似值为方程组的解。 与直接法相比，迭代法的计算程序较简单，但迭代法耗用的机时较直接法长。它不必存贮带宽以内的零元素，因此存贮量大大减少，且计算中舍入误差的积累也较小。以平面问题 为例，迭代法的存贮量一般只需直接法的14左右。在求解非线性方程组时，一般采用迭代 法。 2. 牛顿—拉斐逊方法 ANSYS程序的方程求解器计算一系列的联立线性方程来预测工程系统的响应。然而，非线性结构的行为不能直接用这样一系列的线性方程表示。需要一系列的带校正的线性近似来求解非线性问题。 一种近似的非线性救求解是将载荷分成一系列的载荷增量，即逐步递增载荷和平衡迭代。它可以在几个载荷步内或者在一个载荷步的几个子步内施加载荷增量。在每一个增量的

有限元方法课件

第1讲 抛物问题有限元方法 1、椭圆问题有限元方法 考虑椭圆问题边值问题： （1） ()? ??Ω?∈=Ω ∈=?-x u x x f u ,0, 问题（1）的变分形式：求()Ω∈1 0H u 使满足 （2） ()()()Ω∈?=1 , ,,H v v f v u a ()v u a ,的性质，广义解的正则性结果。 区域Ω的剖分，矩形剖分，三角剖分，剖分规则，正则剖分条件，拟一致剖分条件。 剖分区域上分片k 次多项式构成的有限元空间()Ω?1 0H S h 。 h S 的逼近性质，逆性质： ∞≤≤≤≤≤≤-+-+p k k m u Ch u I u p k m k p m h 1,1,0,,11, h h p m h q n p n l m q l h S v l m q p v Ch v ∈?≤∞≤≤≤---,,,1,), 0(max , 这里，h h S u I ∈为u 的插值逼近。 问题（2）的有限元近似：求h h S u ∈使满足 （3） ()()h h h h h S v v f v u a ∈?=, ,, （3）的解唯一存在，且满足f M u h ≤1 。 （3）的解()()∑== N i i i h x u x u 1φ所满足的矩阵方程（离散方程组）形式： ()()N j f u a j N i i j i Λ,2,1, ,,1 ==∑=φφφ （4） f u K ? ?= 刚度矩阵()() N N j i a K ?=φφ,的由单元刚度矩阵组装而成。 -1H 模误差分析：由（2）－（3）可得

（5） h h h h S v v u u a ∈?=-,0),( 由（5）可首先得到 ()()11 21 ,,u I u u u M u I u u u a u u u u a u u r h h h h h h h --≤--=--≤- 则得到 （6） 1,1 11 ≥≤-≤-+k u Ch u I u C u u k k h h 2L －模误差分析 设21 0H H w I ∈ 满足 h h u u C w w in u u w -≤=Ω-=?-Ω ?2, 0,, 用h u u -与此方程做内积，由（5）式和插值逼近性质得到 ()()w u u A u u w A u u h h h ,,2 -=-=- ()h h h h h h h u u u u Ch w u u Ch w I w u u C w I w u u A --≤-≤--≤--=1 2 1 11, 再利用-1H 模误差估计结果，得到 （7） 1,1 11 ≥≤-≤-++k u Ch u u Ch u u k k h h 最优阶误差估计和超收敛估计概念。 当()t u u =与时间相关时（为抛物问题准备），由（5）式得 （8） h h h t h S v v u u a ∈?=-,0),)(( 利用（7），类似分析可得 （9） ()()1,1 11 ≥≤-+-++k u Ch u u h u u k t k t h t h 2、抛物问题半离散有限元方法 考虑抛物型方程初边值问题： （10） ()()()()()()()()??? ? ???Ω∈=Ω??∈=Ω?∈=?-??x x u x u T x t x u T x t x t f u t u ,,0,0,,0,0,, ,0 （10）的变分形式：求 ()())()0(, ],0(:01 0x u u H T t u =Ω→ 使满足 （11） ()()()()Ω∈?=+1 , ,,,H v v f v u a v u t

有限元分析作业报告 英文版

有限元分析及应用上机实验报告 学院：机电工程学院 专业：机械工程 班级：硕士1606班 姓名：钱树生 学号：163712160 指导教师：李毅波 日期：2016.12.02

1.Question Fig.1.Schematic diagram of herringbone roof truss. Question:The geometric dimensions of the chevron roof is shown in Fig.1,you should analyze it by statics，as a result you should give the displacement and axial force and axial force diagram of the deformation diagram. Conditions:The ends of the roof truss were fixed,the sectional area of the truss is 0.01m2,elastic modulus is2.0×1011 N/m2,poisson's ratio is 0.3. 2.The software used ANSYS Finite element software(APDL 15.0) 3.Solving process Point1 was choosed as the Coordinate point, horizontal to the right was the X axis，the upright direction is choosed as the Yaxis to create a coordinate system. The nodes was numberedas shown in Figure 1，node 1 and node 5 was fixed，and the force on node 6,7,8was is 1k N，the direction is opposite to the Y-axis 3.1 The preparatory work before analysis （1）Specify the new file name. Select Utility>Menu> File>Change Jobname, then pop-up the dialog box Change Jobname,inputthe the working file name ‘2D-sp’ in the Enter New Jobname, click OK to finish the difinition, as shown in Fig.2. Fig.2.The difinition of working file name. （2）Specify a new title.Select Utility>Menu>File>Change Title，then pop-up the dialog box Change Title,inputthe the file name ‘2D-sp pro’ in the Enter New Title,click OK to finish the difinition, as shown in Fig.3.

非线性有限元分析(学习总结报告)

非线性有限元 博士研究生专业课课程报告

目录 第一章绪言 (1) 1.1 非固体力学非线性问题的分类[1] (1) 1.2 非线性问题的分析过程[1] (2) 1.3 非线性有限元分析的基本原理 (2) 1.4 钢筋混凝土非线性分析的特点、现状及趋势 (3) 第二章非线性方程组的数值解法 (4) 2.1逐步增量法[3,4,5] (4) 2.2迭代法[3,4,5] (6) 2.3收敛标准 (8) 2.3.1.位移收敛准则 (8) 2.3.2.不平衡力收敛准则 (8) 2.3.3.能量收敛准则 (9) 2.4结构负刚度的处理[4,5] (9) 第三章材料的本构关系 (13) 3.1 钢筋的本构关系 (13) 3.1.1 单向加载下的应力应变关系 (13) 3.1.2 反复加载下的应力应变关系 (14) 3.2 混凝土的本构关系 (14) 3.2.1 单向加载下的应力应变关系 (14) 3.2.2 重复加载下的应力应变关系 (14) 3.2.3 反复加载下的应力应变关系 (14) 3.3 恢复力模型的分类 (14) 3.4 恢复力的获得方法 (15) 第四章非线性有限元在结构倒塌反应中的应用 (17) 4.1 钢筋混凝土结构倒塌反应研究现状 (17) 4.2 钢筋混凝土的有限元模型 (17) 4.2.1分离式模型 (18) 4.2.2组合式模型 (19) 4.2.3整体式模型 (20) 4.3 倒塌反应中RC结构有限元分析方法的选择 (20) 4.3.1隐式有限单元法 (21) 4.3.2显式有限单元法 (22) 4.4 钢筋混凝土框架结构的倒塌反应分析 (22) 4.4.1基于隐式有限单元法的倒塌分析 (22) 4.4.2 基于显式有限单元法的倒塌分析 (23) 4.5显式有限法在倒塌反应分析中的问题 (24)

第2章有限元分析基础

第2章有限元法基础 第1节有限单法的形成 一、有限元法的形成 在工程技术领域内，经常会遇到两类典型的问题。其中的第一类问题，可以归结为有限个已知单元体的组合。例如，材料力学中的连续梁、建筑结构框架和桁架结构。我们把这类问题，称为离散系统。尽管离散系统是可解的，但是求解这类复杂的离散系统，要依靠计算机技术；第二类问题，通常可以建立它们应遵循的基本方程，即微分方程和相应的边界条件。例如弹性力学问题、热传导问题和电磁场问题等。由于建立基本方程所研究的对象通常是无限小的单元，这类问题称为连续系统。尽管已经建立了连续系统的基本方程，由于边界条件的限制，通常只能得到少数简单问题的精确解答。对于许多实际的工程问题，还无法给出精确的解答。为解决这个困难，工程师们和数学家们提出了许多近似方法。 在寻找连续系统求解方法的过程中，工程师和数学家从两个不同的路线得到了相同的结果，即有限元法。有限元法的形成可以追溯到二十世纪50年代，来源于固体力学中矩阵结构法的发展和工程师对结构相似性的直觉判断。从固体力学的角度来看，桁架结构等标准离散系统与人为地分割成有限个分区后的连续系统在结构上存在相似性。 1956年M.J.Turner，R.W.Clough，H.C.Martin，L.J.Topp在纽约举行的航空学会年会上介绍了一种新的计算方法，将矩阵位移法推广到求解平面应力问题。他们把结构划分成一个个三角形和矩形的“单元”，利用单元中近似位移函数，求得单元节点力与节点位移关系的单元刚度矩阵。 1954—1955年，J.H.Argyris在航空工程杂志上发表了一组能量原理和结构分析论文。1960年，Clough在他的名为“The finite element in plane stress analysis”的论文中首次提出了有限元（finite element）这一术语。 数学家们则发展了微分方程的近似解法，包括有限差分方法、变分原理和加权余量法。 在1963年前后，经过J.F.Besseling，R.J.Melosh，R.E.Jones，R.H.Gallaher，T.H.Pian（卞学磺）等许多人的工作，认识到有限元法就是变分原理中Ritz近似法的一种变形，发展了用各种不同变分原理导出的有限元计算公式。 1965年O.C.Zienkiewicz和Y.K.Cheung（张佑启）发现只要能写成变分形式的所有场问题，都可以用与固体力学有限元法的相同步骤求解。 1969年B.A.Szabo和G.C.Lee指出可以用加权余量法特别是Galerkin法，导出标准的有限元过程来求解非结构问题。 我国的力学工作者为有限元方法的初期发展做出了许多贡献，其中比较著名的有：陈伯屏（结构矩阵方法），钱令希（余能原理），钱伟长（广义变分原理），胡海昌（广义变分原理），冯康（有限单元法理论）。遗憾的是，从1966年开始的近十年期间，我国的研究工作

非线性问题有限元分析

【问题描述】如图I所示的模型，纵向尺寸均为100mm，水平尺寸均为30mm，圆角半径均为10mm，模型厚度为4mm。 图I 本例中所使用的模型 【要求】在ANSYS Workbench软件平台上，通过改变材料属性，分别对该模型进行线性材料静力分析以及非线性材料的静力分析，并加以对比。 1.分析系统选择 （1）运行ANSYS Workbench，进入工作界面，首先设置模型单位。在菜单栏中找到Units下拉菜单，依次选择Units>Metric（kg,mm,s,℃，mA，N,mV）命令。 （2）在左侧工具箱【Toolbox】下方“分析系统”【Analysis Systems】中双击“静力结构分析”【Static Structural】系统，此时在右侧的“项目流程”【Project Schematic】中会出现该分析系统共7个单元格。相关界面如图1所示。

图1 Workbench中设置静力分析系统

2.输入材料属性 （1）在右侧窗口的分析系统A中双击工程材料【Engineering Data】单元格，进入工程数据窗口。 （2）我们首先进行的是线性材料问题，选用系统默认的结构钢作为材料即可。 （3）可以看见，系统本身默认结构钢【Structural Steel】已在备选材料窗口中，在此不必再另行选择，直接单击【Project】选项卡回到项目流程界面即可。 3.导入几何模型 （1）双击分析系统A中的“几何”【Geometry】单元格。 （2）找到菜单栏中的文件【File】选项，依次选择【File】>【Import External Geometry File】，在弹出的对话框中找到模型文件“non-linear.igs”并打开。 （3）单击工具栏中的【Generate】选项，即选项，确认生成导入的模型。导入完成后的模型如图2所示。 （4）至此，模型导入步骤完成。 图2 导入的模型

非线性有限元基础

1 §1.2 线性有限元的回顾 线性有限元的理论虽然不是本课程的重点，而线性有限元法是非线性有限元法的基础；非线性有限元法又是线性有限元法的发展。因为非线性问题的求解通常是采用分段线性化的思想，使其成为一系列的线性问题。因此有必要首先回顾线性有限元的一些基本内容。主要是线性有限元的基本理论和方法，以及当前应用最广的等参元理论。 固体力学的理论（材力、弹力、结构力学，无论是线性还是非线性）是建立在本构方程、几何（运动）方程以及平衡方程三方面方程的基础上的，由此导出的控制方程的解是满足上述充分、必要条件的唯一解，而且是反映了结构真实受载后的运动状态（变形）。在结构分析中许多情况下，本构和几何方程可以处理成线性，使控制方程线性化，求解也大大简化，同时可达到工程上的精度要求，这就是线性有限元的基本理论。 §1.2.1 线性本构关系（广义虎克定律） 影响结构材料性能有诸多因素（应力、应变、变形率、温度、湿度、时效等），而通常建立本构方程时仅考虑应力、应变两个物理参数，认为两者成线性关系的经典的弹性理论，即著名的虎克定律。 各向同性材料的Hooke 定律 ij ijkl kl D σε= 或 ij ijkl kl C εσ= ()1其中ijkl D 和ijkl C 分别为弹性阵和柔度阵。 由剪应力互等定理，弹性阵()99ijkl D ?独立材料参数的个数由81个减少为21个。进而对于正交异性的材料参数为9个独立的参数，对于各向同性材料： 01121, 2,322(1) ,e i j i j i j E G G E d dS d i j νν εσδ -+= += = ()2 仅有两个独立的材料常数，即E 和ν，其中E 为弹性模量，ν为泊松比。 §1.2.2线性几何方程（小变形情况） 线性（小变形）关系： ()(){}1 ,,2 ij T U U U i j j i ε+=?= ()3 位移边界条件：u S 边界上 U U = 其中U 为位移向量， U 为边界u S 上的指定位移，()T ?为微分算子。 实际结构可根据它们的几何特点，将三维问题简化为二维问题，这里主要有：平面应力、平面应变和轴对称状态。 1）平面应力（薄壁结构） 外力仅作用在平面内，两表面无外力作用（离心力作用下圆盘）两表面应力分量（且在整个厚度方向上），yz σ=xz σ=zz σ=0，而xx σ、yy σ、xy σ沿厚度均匀分布。 按Hooke 定律，

车架有限元分析英文翻译

附件9： 华南理工大学广州汽车学院 本科生毕业设计（论文）翻译 英文原文名FINITE ELEMENT ANALYSIS AND OPTIMIZATION OF A HEA VY TRUCK FRAME 中文译名重型货车汽车车架的有限元分析及优化设计 系别汽车系 专业班级车辆六班 学生姓名马俊 指导教师李利平 填表日期2012年5月4日 二00 年月

英文原文版出处： 译文成绩：指导教师（导师组）签名： 译文： 重型货车汽车车架的有限元分析及优化设计 摘要 本文针对某重型汽车厂载货汽车车架在实际使用过程中出现的破坏等现象，利用美国大型有限元分析软件ANSYS对其进行静、动态分析，找出车架破坏的主要原因，并提出结构改进方案，通过对各方案的分析对比，提出合理的结构改进，对改进后的结构进行优化设计，最后根据优化结果生产样车，进行试验验证。本文所取得的主要研究成果如下。 对车架及平衡悬架进行有限元仿真。根据车架结构特点，采用壳单元建立车架的有限元模型。采用弹簧单元COMBIN14和刚性杆单元MPC184，利用节点耦合的办法来模拟平衡架与车架的连接，目前有关模拟平衡悬架的报道还不多见。 通过对车架在各种工况下的静态分析，得出载荷作用下车架的四个大应力区，这些区域与车架在实际使用过程中曾发生过破坏的位置相吻合。对车架进行动态特性分析得出车架的各阶段固有频率及振型。确定了路面不平度及发动机的激励频率范围，计算在此激励下车架的响应，得出大应力点在外界激励时其应力响应幅值较大的结论。 在分析车架破坏的主要原因基础上，提出改进车架结构的若干方案，通过对各方案进行分析对比，得出通过增高车架纵梁的高度以及加长车架长度

基于非线性有限元法的弹簧刚度分析

基于非线性有限元法的弹簧刚度分析 摘要本文以铁路车辆三大件式转向架用螺旋弹簧为研究对象。传统的弹簧的垂向和横向刚度分析一般采用经验公式来计算，这在线弹性范围不会存在问题。而实际工作中，弹簧运动过程往往存在大的变形，属于非线性的范畴，所以本文要研究其在非线性范围内有限元计算结果和传统经验公式的对比，以便于指导设计研究。 关键词非线性；有限元；弹簧；横向刚度；垂向刚度 前言 螺旋弹簧在铁路车辆三大件式转向架中起着垂向支撑和减震的双重作用，是三大件式转向架必不可少的组成部分之一，其刚度的大小和匹配关系着整个转向架的动力学性能，因此对弹簧刚度的研究有着非常重要的意义。 弹簧刚度作为弹簧的主要参数之一，在以往的设计中往往是按照经验公式对其轴向刚度和横向刚度进行计算，在线性阶段该方法也许不会有什么问题，可是当弹簧变形到一定程度的时候会出现弹簧自接触的问题，即弹簧由于变形而发生了自身的一部分与另一部分接触，此时的弹簧参数已经由类线性参数变成了非线性参数，而按照经验公式则无法判断何时弹簧进入非线性，所以弹簧的设计仅仅依靠经验公式会存在一定的风险。由于有限元软件的普及[1]，本文将使用有限元的方法对弹簧刚度进行分析，从而更进一步提高刚度计算的精度。 1 研究对象 本次分析使用的模型為某型转向架上的一种弹簧，该弹簧所用材料为60SiMnAT，有效圈数为5.5圈，线径24mm，中径115mm，剪切模量为78.5GPa，自由高252mm。其材料属性如下表。 2 研究方法 按照刚度的定义，即结构抵抗变形的能力，也就是产生单位位移所需要的力，其单位为N/mm。在进行弹簧横向刚度和轴向刚度的分析时，弹簧的两个端面与接触面之间做刚性接触处理，并假定在整个过程中上下支撑面保持平行，对弹簧进行强迫位移分析，并取得每一个位移值对应的支反力，从而求得其刚度曲线。分析采用UGNX软件，分析假想图如下。 3 结果及分析 根据分析结果可以得到如下轴向支反力与轴向位移关系图、轴向刚度与轴向位移关系图、横向刚度与轴向位移关系图等。

有限元分析软件ANSYS命令流中英文对照

有限元分析软件ANSYS命令流中文说明 Command VSBV, NV1, NV2, SEPO, KEEP1, KEEP2 —Subtracts volumes from volumes，用于2个solid相减操作，最终目的是要nv1-nv2=?通过后面的参数设置，可以得到很多种情况：sepo项是2个体的边界情况，当缺省的时候，是表示2个体相减后，其边界是公用的，当为sepo的时候，表示相减后，2个体有各自的独立边界。keep1与keep2是询问相减后，保留哪个体？当第一个为keep时，保留nv1,都缺省的时候，操作结果最终只有一个体，比如：vsbv,1,2,sepo,,keep,表示执行1-2的操作，结果是保留体2，体1被删除，还有一个1-2的结果体，现在一共是2个体（即1-2与2），且都各自有自己的边界。如vsbv,1,2,,keep,,则为1-2后，剩下体1和体1-2，且2个体在边界处公用。同理，将v换成a及l是对面和线进行减操作！ mp,lab, mat, co, c1,…….c4 定义材料号及特性 lab: 待定义的特性项目（ex,alpx,reft,prxy,nuxy,gxy,mu,dens） ex: 弹性模量 nuxy: 小泊松比 alpx: 热膨胀系数 reft: 参考温度 reft: 参考温度 prxy: 主泊松比 gxy: 剪切模量 mu: 摩擦系数

dens: 质量密度 mat: 材料编号（缺省为当前材料号） co: 材料特性值，或材料之特性，温度曲线中的常数项 c1-c4: 材料的特性-温度曲线中1次项，2次项，3次项，4次项的系数 定义DP材料： 首先要定义EX和泊松比：MP，EX，MAT，…… MP，NUXY，MAT，…… 定义DP材料单元表（这里不考虑温度）：TB，DP，MAT 进入单元表并编辑添加单元表：TBDATA，1，C TBDATA，2，ψ TBDATA，3，…… 如定义：EX=1E8，NUXY=0.3，C=27，ψ=45的命令如下： MP，EX，1，1E8 MP，NUXY，1，0.3 TB，DP，1 TBDATA，1，27 TBDATA，2，45这里要注意的是，在前处理的最初，要将角度单位转化到“度”，即命令：*afun,deg VSEL, Type, Item, Comp, VMIN, VMAX, VINC, KSWP Type，是选择的方式，有选择（s）,补选（a），不选(u)，全选(all)、反选（inv）等,其余方

有限单元法作业非线性分析 程序

几何非线性大作业荷载增量法 和弧长法程序设计 一、几何非线性大作业（Newton-Raphson法） 用荷载增量法（Newton-Raphson法）编写几何非线性程序： （1）用平面梁单元，可分析平面杆系 （2）算例：悬臂端作用弯矩。悬臂梁最终变形形成周长为悬臂梁长度的圆。 1.1 Newton-Raphson算法基本思想 图1.1 Newton-Raphson算法基本思想

1.2 悬臂梁参数 基本参数：L=2m, D=0.03m, A=7.069E-4m2, I=3.976E-08m4 ,E=2.0E11N/m2 图1.2 悬臂梁单元信息 将悬臂梁分成10个单元，如图1.2所示 2.1 MATLAB输入信息 材料信息单元信息 约束信息（0为约束，1为放松）荷载信息（FX,FY,M）

节点信息 2.2 求解过程 梁弯成圆形：理论弯矩M=EIY"=24981.944N.m ,直径为0.642m 运用ABAQUS和MATLAB进行求解对比： 图1.3 加载图 图1.4 ABAQUS变形图

图1.5 MATLAB变形曲线 ABAQUS和MATLAB变形对比，最终在理论荷载作用下都弯成了一个圆，其直径为0.64716m，与理论值相对比值为：（0.64716-0.642）/0.642=0.00804.非常接近。 2.3 加载点荷载位移曲线 图1.5 加载点Y方向的荷载位移曲线

加载点的最大竖向位移分别为1.4525m和1.45246m，相对比值（1.4525-1.45246）/1.45246=2.75395E-05。完全相同，说明MATLAB的计算结果很好。