中考数学二次函数的综合复习附答案

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）

1．如图，抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0）（OA＜OB），与y轴交于点C，且满足x12+x22﹣x1x2＝13．

（1）求抛物线的解析式；

（2）以点B为直角顶点，BC为直角边作Rt△BCD，CD交抛物线于第四象限的点E，若EC ＝ED，求点E的坐标；

（3）在抛物线上是否存在点Q，使得S△ACQ＝2S△AOC？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．

【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）E 113

+113

+

3）点Q的坐

标为（﹣3，12）或（2，﹣3）．理由见解析.

【解析】

【分析】

（1）由根与系数的关系可得x1+x2＝m，x1?x2＝﹣（m+1），代入x12+x22﹣x1x2＝13，求出m1＝2，m2＝﹣5．根据OA＜OB，得出抛物线的对称轴在y轴右侧，那么m＝2，即可确定抛物线的解析式；

（2）连接BE、OE．根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得出BE＝1

2

CD＝CE．利

用SSS证明△OBE≌△OCE，得出∠BOE＝∠COE，即点E在第四象限的角平分线上，设E点坐标为（m，﹣m），代入y＝x2﹣2x﹣3，求出m的值，即可得到E点坐标；

（3）过点Q作AC的平行线交x轴于点F，连接CF，根据三角形的面积公式可得S△ACQ＝S△ACF．由S△ACQ＝2S△AOC，得出S△ACF＝2S△AOC，那么AF＝2OA＝2，F（1，0）．利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3．根据AC∥FQ，可设直线FQ的解析式为y＝﹣3x+b，将F（1，0）代入，利用待定系数法求出直线FQ的解析式为y＝﹣3x+3，把它与抛

物线的解析式联立，得出方程组

223

33

y x x

y x

?=--

?

=-+

?

，求解即可得出点Q的坐标．

【详解】

（1）∵抛物线y＝x2﹣mx﹣（m+1）与x轴负半轴交于点A（x1，0），与x轴正半轴交于点B（x2，0），

∴x1+x2＝m，x1?x2＝﹣（m+1），

∵x 12+x 22﹣x 1x 2＝13， ∴（x 1+x 2）2﹣3x 1x 2＝13， ∴m 2+3（m +1）＝13， 即m 2+3m ﹣10＝0， 解得m 1＝2，m 2＝﹣5． ∵OA ＜OB ，

∴抛物线的对称轴在y 轴右侧， ∴m ＝2，

∴抛物线的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3； （2）连接BE 、OE ．

∵在Rt △BCD 中，∠CBD ＝90°，EC ＝ED ， ∴BE ＝

1

2

CD ＝CE ． 令y ＝x 2﹣2x ﹣3＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3， ∴A （﹣1，0），B （3，0）， ∵C （0，﹣3）， ∴OB ＝OC ，

又∵BE ＝CE ，OE ＝OE ， ∴△OBE ≌△OCE （SSS ）， ∴∠BOE ＝∠COE ，

∴点E 在第四象限的角平分线上，

设E 点坐标为（m ，﹣m ），将E （m ，﹣m ）代入y ＝x 2﹣2x ﹣3， 得m ＝m 2﹣2m ﹣3，解得m ＝113

2

±， ∵点E 在第四象限， ∴E 113+113

+）； （3）过点Q 作AC 的平行线交x 轴于点F ，连接CF ，则S △ACQ ＝S △ACF ．

∵S△ACQ＝2S△AOC，

∴S△ACF＝2S△AOC，

∴AF＝2OA＝2，

∴F（1，0）．

∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），

∴直线AC的解析式为y＝﹣3x﹣3．

∵AC∥FQ，

∴设直线FQ的解析式为y＝﹣3x+b，

将F（1，0）代入，得0＝﹣3+b，解得b＝3，∴直线FQ的解析式为y＝﹣3x+3．

联立

223

33

y x x

y x

?=--

?

=-+

?

，

解得1

1

3 12

x y =-

?

?

=?，2

2

2

3

x

y

=

?

?

=-

?

，

∴点Q的坐标为（﹣3，12）或（2，﹣3）．

【点睛】

本题是二次函数综合题，其中涉及到一元二次方程根与系数的关系，求二次函数的解析式，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，一次函数图象与几何变换，待定系数法求直线的解析式，抛物线与直线交点坐标的求法，综合性较强，难度适中．利用数形结合与方程思想是解题的关键．

2．如图，已知抛物线y=x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点（A点在B点左侧），与y轴交于点C（0，－3），对称轴是直线x=1，直线BC与抛物线的对称轴交于点D．

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）求直线BC的函数表达式；

（3）点E为y轴上一动点，CE的垂直平分线交CE于点F，交抛物线于P、Q两点，且点P 在第三象限．

①当线段PQ=3

4

AB时，求tan∠CED的值；

②当以点C、D、E为顶点的三角形是直角三角形时，请直接写出点P的坐标．

【答案】（1）抛物线的函数表达式为y =x 2－2x －3．（2）直线BC 的函数表达式为y =x －3．（3）①23．①P 1（122），P 2（1－62

，74）． 【解析】 【分析】

已知C 点的坐标，即知道OC 的长，可在直角三角形BOC 中根据∠BCO 的正切值求出OB 的长，即可得出B 点的坐标．已知了△AOC 和△BOC 的面积比，由于两三角形的高相等，因此面积比就是AO 与OB 的比．由此可求出OA 的长，也就求出了A 点的坐标，然后根据A 、B 、C 三点的坐标即可用待定系数法求出抛物线的解析式． 【详解】

（1）∵抛物线的对称轴为直线x=1，

∴? 221

b

b

a -

?＝＝1 ∴b=-2

∵抛物线与y 轴交于点C （0，-3）， ∴c=-3，

∴抛物线的函数表达式为y=x 2-2x-3； （2）∵抛物线与x 轴交于A 、B 两点， 当y=0时，x 2-2x-3=0． ∴x 1=-1，x 2=3． ∵A 点在B 点左侧， ∴A （-1，0），B （3，0）

设过点B （3，0）、C （0，-3）的直线的函数表达式为y=kx+m ，

则033k m m ＝＝+??-?，

∴13k m ??-?

＝＝

∴直线BC 的函数表达式为y=x-3； （3）①∵AB=4，PQ=

3

4

AB ，

∴PQ=3

∵PQ⊥y轴∴PQ∥x轴，

则由抛物线的对称性可得PM=3

2

，

∵对称轴是直线x=1，∴P到y轴的距离是1

2

，

∴点P的横坐标为?1

2

，

∴P（?1

2，?

7

4

）

∴F（0，?7

4

），

∴FC=3-OF=3-7

4

=

5

4

∵PQ垂直平分CE于点F，

∴CE=2FC=5 2

∵点D在直线BC上，

∴当x=1时，y=-2，则D（1，-2），过点D作DG⊥CE于点G，

∴DG=1，CG=1，

∴GE=CE-CG=5

2

-1=

3

2

．

在Rt△EGD中，tan∠CED=

2

3 GD

EG

＝．

②P1（2，-2），P2（1-

6

2

-

5

2

）．

设OE=a，则GE=2-a，

当CE为斜边时，则DG2=CG?GE，即1=（OC-OG）?（2-a），

∴1=1×（2-a），

∴a=1，

∴CE=2，

∴OF=OE+EF=2

∴F、P的纵坐标为-2，

把y=-2，代入抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3得：或∵点P在第三象限．

∴P

1（-2），

当CD为斜边时，DE⊥CE，

∴OE=2，CE=1，

∴OF=2.5，

∴P和F的纵坐标为：-5

2

，

把y=-5

2

，代入抛物线的函数表达式为y=x2-2x-3得：

∵点P在第三象限．

∴P2（-5

2

）．

综上所述：满足条件为P1（-2），P2（-5

2

）．

【点睛】

本题是二次函数的综合题型，其中涉及到的知识点有抛物线的顶点公式和三角形的面积求法．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．

3．已知，m，n是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根，且|m|＜|n|，抛物线y=x2+bx+c 的图象经过点A（m，0），B（0，n），如图所示．

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为抛物线的顶点为D，求出点C，D的坐标，并判断△BCD的形状；

（3）点P是直线BC上的一个动点（点P不与点B和点C重合），过点P作x轴的垂线，

交抛物线于点M，点Q在直线BC上，距离点P个单位长度，设点P的横坐标为t，△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式．

【答案】（1）2

23y x x =--；（2）C （3，0），D （1，﹣4），△BCD 是直角三角形；

（3）2213

(03)22

13(03)2

2t t t S t t t t ?-+??=??-??＜＜＜或＞

【解析】

试题分析：（1）先解一元二次方程，然后用待定系数法求出抛物线解析式；

（2）先解方程求出抛物线与x 轴的交点，再判断出△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，从而得到结论；

（3）先求出QF=1，再分两种情况，当点P 在点M 上方和下方，分别计算即可． 试题解析：解（1）∵2+430x x +=，∴11x =-，23x =-，∵m ，n 是一元二次方程

2+430x x +=的两个实数根，且|m|＜|n|，∴m=﹣1，n=﹣3，∵抛物线2

23

y x x =--的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），∴10{

3b c c -+==-，∴2

{3

b c =-=-，∴抛物线解析式为

223y x x =--；

（2）令y=0，则2230x x --=，∴11x =-，23x =，∴C （3，0），

∵223y x x =--=2(1)4x --，∴顶点坐标D （1，﹣4），过点D 作DE ⊥y 轴，∵OB=OC=3，∴BE=DE=1，∴△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，∴∠OBC=∠DBE=45°，∴∠CBD=90°，∴△BCD 是直角三角形；

（3）如图，∵B （0，﹣3），C （3，0），∴直线BC 解析式为y=x ﹣3，∵点P 的横坐标为t ，PM ⊥x 轴，∴点M 的横坐标为t ，∵点P 在直线BC 上，点M 在抛物线上，∴P （t ，t ﹣3），M （t ，223t t --），过点Q 作QF ⊥PM ，∴△PQF 是等腰直角三角形，∵2，∴QF=1．

①当点P 在点M 上方时，即0＜t ＜3时，PM=t ﹣3﹣（223t t --）=23t t -+，

∴S=

12

PM×QF=21(3)2t t -+=213

22t t -+，②如图3，当点P 在点M 下方时，即t ＜0或t

＞3时，PM=223t t --﹣（t ﹣3）=23t t -，∴S=12PM×QF=12

（23t t -）=213

22t t -．

综上所述，S=2213 (0

3)22

{13 (03)22

t t t t t t t 或-+<<-．

考点：二次函数综合题；分类讨论．

4．如图，抛物线y=ax 2+bx 过点

B （1，﹣3），对称轴是直线x=2，且抛物线与x 轴的正半轴交于点A ．

（1）求抛物线的解析式，并根据图象直接写出当y≤0时，自变量x 的取值范围； （2）在第二象限内的抛物线上有一点P ，当PA ⊥BA 时，求△PAB 的面积．

【答案】（1）抛物线的解析式为y=x 2﹣4x ，自变量x 的取值范图是0≤x≤4；（2）△PAB 的面积=15． 【解析】 【分析】

（1）将函数图象经过的点B 坐标代入的函数的解析式中，再和对称轴方程联立求出待定系数a 和b ；

（2）如图，过点B 作BE ⊥x 轴，垂足为点E ，过点P 作PE ⊥x 轴，垂足为F ，设P （x ，x 2-4x ），证明△PFA ∽△AEB,求出点P 的坐标，将△PAB 的面积构造成长方形去掉三个三角形的面积． 【详解】

（1）由题意得，322a b b a

+-??

?-??＝＝，

解得14a b -???

＝

＝，

∴抛物线的解析式为y=x 2-4x ， 令y=0，得x 2-2x=0，解得x=0或4， 结合图象知，A 的坐标为（4，0），

根据图象开口向上，则y≤0时，自变量x 的取值范围是0≤x≤4；

（2）如图，过点B 作BE ⊥x 轴，垂足为点E ，过点P 作PE ⊥x 轴，垂足为F ，

设P （x ，x 2-4x ）, ∵PA ⊥BA ∴∠PAF+∠BAE=90°, ∵∠PAF+∠FPA=90°, ∴∠FPA=∠BAE 又∠PFA=∠AEB=90° ∴△PFA ∽△AEB,

∴PF AF AE BE =，即244213x x x --=-， 解得，x= ?1，x=4（舍去） ∴x 2-4x=-5

∴点P 的坐标为（-1，-5），

又∵B 点坐标为（1，-3），易得到BP 直线为y=-4x+1 所以BP 与x 轴交点为（1

4

，0） ∴S △PAB=115

531524

??+= 【点睛】

本题是二次函数综合题，求出函数解析式是解题的关键，特别是利用待定系数法将两条直线表达式解出，利用点的坐标求三角形的面积是关键．

5．如图，抛物线y=﹣（x ﹣1）2+c 与x 轴交于A ，B （A ，B 分别在y 轴的左右两侧）两点，与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为D ，已知A （﹣1，0）．

（1）求点B ，C 的坐标；

（2）判断△CDB 的形状并说明理由；

（3）将△COB 沿x 轴向右平移t 个单位长度（0＜t ＜3）得到△QPE ．△QPE 与△CDB 重叠部分（如图中阴影部分）面积为S ，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围． 【答案】(Ⅰ)B(3，0)；C(0，3)；(Ⅱ)CDB ?为直角三角形；

(Ⅲ)22333(0)22

1933(3)2

22t t t S t t t ?-+<≤??=??=-+<

【解析】 【分析】

（1）首先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后进一步确定点B ，C 的坐标． （2）分别求出△CDB 三边的长度，利用勾股定理的逆定理判定△CDB 为直角三角形． （3）△COB 沿x 轴向右平移过程中，分两个阶段： ①当0＜t≤3

2

时，如答图2所示，此时重叠部分为一个四边形； ②当

3

2＜t ＜3时，如答图3所示，此时重叠部分为一个三角形． 【详解】

解：(Ⅰ)∵点()1,0A -在抛物线()2

1y x c =--+上，

∴()2

011c =---+，得4c =

∴抛物线解析式为：()2

14y x =--+，

令0x =，得3y =，∴()0,3C ； 令0y =，得1x =-或3x =，∴()3,0B . (Ⅱ)CDB ?为直角三角形.理由如下： 由抛物线解析式，得顶点D 的坐标为()1,4. 如答图1所示，过点D 作DM x ⊥轴于点M ，

则1OM =，4DM =，2BM OB OM =-=.

过点C 作CN DM ⊥于点N ，则1CN =，1DN DM MN DM OC =-=-=. 在Rt OBC ?中，由勾股定理得：22223332BC OB OC =+=+=； 在Rt CND ?中，由勾股定理得：2222112CD CN DN =+=+=； 在Rt BMD ?中，由勾股定理得：22222425BD BM DM =+=+=.

∵222BC CD BD +=， ∴CDB ?为直角三角形.

(Ⅲ)设直线BC 的解析式为y kx b =+， ∵()()3,0,0,3B C ，

∴303k b b +=??=?

，

解得1,3k b =-=，

∴3y x =-+，

直线QE 是直线BC 向右平移t 个单位得到，

∴直线QE 的解析式为：()33y x t x t =--+=-++； 设直线BD 的解析式为y mx n =+， ∵()()3,0,1,4B D ， ∴30

4

m n m n +=??

+=?，解得：2,6m n =-=，

∴26y x =-+.

连续CQ 并延长，射线CQ 交BD 交于G ，则3,32G ?? ???

. 在COB ?向右平移的过程中： (1)当3

02

t <≤

时，如答图2所示：

设PQ 与BC 交于点K ，可得QK CQ t ==，3PB PK t ==-. 设QE 与BD 的交点为F ，则：26

3y x y x t

=-+??

=-++?.

解得32x t

y t

=-??

=?，

∴()3,2F t t -.

111

222

QPE PBK FBE F S S S S PE PQ PB PK BE y ???=--=

?-?-? ()2

21113333232222

t t t t t =??---?=-+. (2)当

3

32

t <<时，如答图3所示：

设PQ 分别与BC BD 、交于点K 、点J . ∵CQ t =，

∴KQ t =，3PK PB t ==-.

直线BD 解析式为26y x =-+，令x t =，得62y t =-， ∴(),62J t t -.

11

22

PBJ PBK S S S PB

PJ PB PK ??=-=

?-? ()()()2

11362322

t t t =

---- 219322

t t =-+. 综上所述，S 与t 的函数关系式为：22333022193332

22t t t S t t t ??

?-+<≤ ????

?=?

??

?=-+<< ?????.

6．在平面直角坐标系中，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A 、B 、C ，已知A （﹣1，0），C （0，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图1，P 为线段BC 上一点，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点D ，当△CDP 为等腰三角形时，求点P 的坐标；

（3）如图2，抛物线的顶点为E ，EF ⊥x 轴于点F ，N 是线段EF 上一动点，M （m ，0）是x 轴一个动点，若∠MNC ＝90°，请求出m 的取值范围．

【答案】（1）y ＝﹣x 2+2x +3；（2）点P 的坐标为（1，2）或（2，1）或（3﹣

2,23）5

54

m -

≤≤ 【解析】 【分析】

（1）利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；

（2）由待定系数法即可求得直线BC 的解析式，再设P （t ，3﹣t ），即可得D （t ，﹣t 2+2t +3），即可求得PD 的长，然后分三种情况讨论，求点P 的坐标； （3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列出关系式m ＝（n ﹣32）2﹣5

4

，然后根据n 的取值得到最小值． 【详解】

解：（1）∵抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A 、B 、C ，A （﹣1，0），C （0，3），

∴103b c c --+=??=?

，解得b ＝2，c ＝3．

故该抛物线解析式为：y ＝﹣x 2+2x +3． （2）令﹣x 2+2x +3＝0， 解得x 1＝﹣1，x 2＝3， 即B （3，0），

设直线BC 的解析式为y ＝kx +b ′， 则330b k b ''=??+=?

，

解得：k=-1,b’=3

故直线BC 的解析式为y ＝﹣x +3； ∴设P （t ，3﹣t ）， ∴D （t ，﹣t 2+2t +3），

∴PD ＝（﹣t 2+2t +3）﹣（3﹣t ）＝﹣t 2+3t ， ∵OB ＝OC ＝3，

∴△BOC 是等腰直角三角形， ∴∠OCB ＝45°，

当CD ＝PC 时，则∠CPD ＝∠CDP ， ∵PD ∥y 轴，

∴∠CPD ＝∠OCB ＝45°， ∴∠CDP ＝45°， ∴∠PCD ＝90°，

∴直线CD 的解析式为y ＝x +3，

解2

323y x y x x =+??=-++?得03x y =??=?或1

4x y =??=? ∴D （1，4）， 此时P （1，2）；

当CD ＝PD 时，则∠DCP ＝∠CPD ＝45°， ∴∠CDP ＝90°， ∴CD ∥x 轴，

∴D 点的纵坐标为3，

代入y ＝﹣x 2+2x +3得，3＝﹣x 2+2x +3， 解得x ＝0或x ＝2， 此时P （2，1）；

当PC ＝PD 时，∵PC t ， ∴

＝﹣t 2+3t ，

解得t ＝0或t ＝3，

此时P （3）；

综上，当△CDP 为等腰三角形时，点P 的坐标为（1，2）或（2，1）或（3﹣2，2） （3）如图2，由（1）y ＝﹣x 2+2x +3＝﹣（x ﹣1）2+4， ∴E （1，4），

设N （1，n ），则0≤n ≤4， 取CM 的中点Q （2m ，3

2

）， ∵∠MNC ＝90°，

∴NQ ＝1

2

CM ， ∴4NQ 2＝CM 2，

∵NQ 2＝（1﹣2m ）2+（n ﹣3

2

）2， ∴4[（1﹣

2m ）2+（n ﹣3

2

）2]＝m 2+9， 整理得，m ＝（n ﹣32）2﹣5

4

， ∵0≤n ≤4， 当n ＝

32时，m 最小值＝﹣5

4

，n ＝4时，m ＝5， 综上，m 的取值范围为：﹣

5

4

≤m ≤5．

【点睛】

此题考查了待定系数法求函数的解析式、平行线的性质、二次函数的最值问题、判别式的

应用以及等腰直角三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．

7．如图①，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y=ax 2+bx+3经过点A(-1，0) 、B(3，0) 两点，且与y 轴交于点C

.

（1）求抛物线的表达式；

（2）如图②，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x 轴，并沿x 轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P 、 Q 两点（点P 在点Q 的左侧），连接PQ ，在线段PQ 上方抛物线上有一动点D ，连接DP 、DQ. ①若点P 的横坐标为1

2

-

，求△DPQ 面积的最大值，并求此时点D 的坐标； ②直尺在平移过程中，△DPQ 面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由.

【答案】（1）抛物线y=-x 2+2x+3；（2）①点D （ 31524

，）；②△PQD 面积的最大值为8 【解析】

分析：（1）根据点A 、B 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；

（2）（I ）由点P 的横坐标可得出点P 、Q 的坐标，利用待定系数法可求出直线PQ 的表达式，过点D 作DE ∥y 轴交直线PQ 于点E ，设点D 的坐标为（x ，-x 2+2x+3），则点E 的坐标为（x ，-x+5

4

），进而即可得出DE 的长度，利用三角形的面积公式可得出S △DPQ =-2x 2+6x+

7

2

，再利用二次函数的性质即可解决最值问题； （II ）假设存在，设点P 的横坐标为t ，则点Q 的横坐标为4+t ，进而可得出点P 、Q 的坐标，利用待定系数法可求出直线PQ 的表达式，设点D 的坐标为（x ，-x 2+2x+3），则点E 的坐标为（x ，-2（t+1）x+t 2+4t+3），进而即可得出DE 的长度，利用三角形的面积公式可得出S △DPQ =-2x 2+4（t+2）x-2t 2-8t ，再利用二次函数的性质即可解决最值问题． 详解：（1）将A （-1，0）、B （3，0）代入y=ax 2+bx+3，得：

309330a b a b -+??++?＝＝，解得：1

2

a b -??

?＝＝， ∴抛物线的表达式为y=-x 2+2x+3．

（2）（I ）当点P 的横坐标为-12

时，点Q 的横坐标为72，

∴此时点

P 的坐标为（-

12，74

），点Q 的坐标为（72，-9

4）．

设直线PQ 的表达式为y=mx+n ，

将P （-

12，74

）、Q （72，-9

4）代入y=mx+n ，得：

1

724

792

4m n m n ?-+????+-??＝＝，解得：154m n -?????＝＝，

∴直线PQ 的表达式为y=-x+

5

4

． 如图②，过点D 作DE ∥y 轴交直线PQ 于点E ，

设点D 的坐标为（x ，-x 2+2x+3），则点E 的坐标为（x ，-x+5

4

）， ∴DE=-x 2+2x+3-（-x+5

4）=-x 2+3x+74

， ∴S △DPQ =

12

DE?（x Q -x P ）=-2x 2+6x+72=-2（x-3

2）2+8．

∵-2＜0，

∴当x=32时，△DPQ 的面积取最大值，最大值为8，此时点D 的坐标为（32

，15

4）．

（II ）假设存在，设点P 的横坐标为t ，则点Q 的横坐标为4+t ，

∴点P 的坐标为（t ，-t 2+2t+3），点Q 的坐标为（4+t ，-（4+t ）2+2（4+t ）+3）， 利用待定系数法易知，直线PQ 的表达式为y=-2（t+1）x+t 2+4t+3．

设点D 的坐标为（x ，-x 2+2x+3），则点E 的坐标为（x ，-2（t+1）x+t 2+4t+3）， ∴DE=-x 2+2x+3-[-2（t+1）x+t 2+4t+3]=-x 2+2（t+2）x-t 2-4t ， ∴S △DPQ =

1

2

DE?（x Q -x P ）=-2x 2+4（t+2）x-2t 2-8t=-2[x-（t+2）]2+8． ∵-2＜0，

∴当x=t+2时，△DPQ的面积取最大值，最大值为8．

∴假设成立，即直尺在平移过程中，△DPQ面积有最大值，面积的最大值为8．

点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；（2）（I）利用三角形的面积公式找出S△DPQ=-

2x2+6x+7

2

；（II）利用三角形的面积公式找出S△DPQ=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t．

8．如图甲，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，经过B、C两点的抛物线

y=x2+bx+c与x轴的另一个交点为A，顶点为P．

（1）求该抛物线的解析式；

（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）．

【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；（3）E点坐标为（，）时，△CBE的面积最大．

【解析】

试题分析：（1）由直线解析式可求得B、C坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由抛物线解析式可求得P点坐标及对称轴，可设出M点坐标，表示出MC、MP和PC 的长，分MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，可分别得到关于M点坐标的方程，可求得M点的坐标；

（3）过E作EF⊥x轴，交直线BC于点F，交x轴于点D，可设出E点坐标，表示出F点的坐标，表示出EF的长，进一步可表示出△CBE的面积，利用二次函数的性质可求得其取得最大值时E点的坐标．

试题解析：（1）∵直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，

∴B（3，0），C（0，3），

把B、C坐标代入抛物线解析式可得，解得，

∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；

（2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，

∴抛物线对称轴为x=2，P（2，﹣1），

设M（2，t），且C（0，3），

∴MC=，MP=|t+1|，PC=，

∵△CPM为等腰三角形，

∴有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，

①当MC=MP时，则有=|t+1|，解得t=，此时M（2，）；

②当MC=PC时，则有=2，解得t=﹣1（与P点重合，舍去）或t=7，此时M（2，7）；

③当MP=PC时，则有|t+1|=2，解得t=﹣1+2或t=﹣1﹣2，此时M（2，﹣

1+2）或（2，﹣1﹣2）；

综上可知存在满足条件的点M，其坐标为（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；

（3）如图，过E作EF⊥x轴，交BC于点F，交x轴于点D，

设E（x，x2﹣4x+3），则F（x，﹣x+3），

∵0＜x＜3，

∴EF=﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x，

∴S△CBE=S△EFC+S△EFB=EF?OD+EF?BD=EF?OB=×3（﹣x2+3x）=﹣（x﹣）2+，∴当x=时，△CBE的面积最大，此时E点坐标为（，），

即当E点坐标为（，）时，△CBE的面积最大．

考点：二次函数综合题．

9．如图，已知抛物线的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）。

（1）求直线BC与抛物线的解析式；

（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；

（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为

S2，且S1=6S2，求点P的坐标。

【答案】（1）

（2）

（3）P的坐标为（－1，12）或（6，5）或（2，－3）或（3，－4）

【解析】

【分析】

（1）由B（5，0），C（0，5），应用待定系数法即可求直线BC与抛物线的解析式。（2）构造MN关于点M横坐标的函数关系式，应用二次函数最值原理求解。

（3）根据S1=6S2求得BC与PQ的距离h，从而求得PQ由BC平移的距离，根据平移的性质求得PQ的解析式，与抛物线联立，即可求得点P的坐标。

【详解】

解：（1）设直线BC的解析式为，

将B（5，0），C（0，5）代入，得，得。

∴直线BC的解析式为。

将B（5，0），C（0，5）代入，得，得。

∴抛物线的解析式。

（2）∵点M是抛物线在x轴下方图象上的动点，∴设M。

∵点N是直线BC上与点M横坐标相同的点，∴N。

∵当点M在抛物线在x轴下方时，N的纵坐标总大于M的纵坐标。

∴。