北京市燕山区2015届九年级上学期期末考试数学试题

燕山地区2014—2015学年度第一学期九年级期末考试 数 学 试 卷 2015年1月

考 生 须 知

1．本试卷共8页，共五道大题，25道小题，满分120分。考试时间120分钟。 2．答题纸共6页，在规定位置准确填写学校名称、班级、姓名和学号。 3．试题答案一律书写在答题纸上，在试卷上作答无效。 4．考试结束，请将答题纸交回，试卷和草稿纸可带走。

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

下面各题均有四个选项，其中只有一个．．．．是符合题意的，请将符合题意的答案代号写在答题纸的相应位置上．

1．观察下列图形，是中心对称图形的是

A ．

B ．

C ．

D ．

2．某校举办中学生汉字听写大会，准备从甲、乙、丙、丁4套题中随机抽取一套题对选手进行训练，则抽中甲套题的概率是

A ．41

B ．31

C ．2

1 D ．1

3．右图是某几何体的三视图，该几何体是

A

．圆锥

B ．圆柱

C ．棱柱

D ．正方体

4．已知△ABC ∽△DEF ，相似比为1∶2，△ABC 的周长为4，则△DEF 的周长为

A ．2

B ．4

C ．8

D ．16 5．如图，点A ，B ，C 均在⊙O 上，∠ACB ＝35°，则∠AOB 的度数为

A ．20°

B ．40°

C ．60°

D ．70°

6．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝2，则cos B 的值是 A ．55 B ．5

5

2 C ．21

D ．2

7．某蔬菜生产基地在气温较低时，用装有恒温系统的大棚

O C

B

A

A C

B

18

12

2

y (℃)

x (时)

C

B

O A

初四数学期末试卷第1页（共8页）

俯视图

左视图

正视图

栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种．如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后，大棚内温度y (℃)随时间x (小时)变化的函数图象，其中BC 段是双曲线)0(≠=

k x

k

y 的一部分，则当x ＝16时，大棚内的温度约为 A ．18℃ B ．15.5℃ C ．13.5℃ D ．12℃ 8．如图，在Rt △OAB 中，∠AOB ＝90°，OA ＝4，OB ＝3． ⊙O 的半径为2，点P 是线段AB 上的一动点，过点P 作 ⊙O 的一条切线PQ ，Q 为切点．设AP ＝x ，PQ 2＝y ， 则y 与x 的函数图象大致是

A ．

B ．

C ．

D ． 二、填空题（本题共16分，每小题4分） 9．若y x 54=，则y

x

＝ ． 10．已知反比例函数)0(≠=

k x

k

y 的图象在其每一分支上，y 随x 的增大而减小，则此反比例函数的解析式可以是 ．（注：只需写出一个正确答案即可） 11．如图，小明在打网球时，要使球恰好能打过

网，且落点恰好在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h 为 米．(已知网高为0.8米，击球点到网的水平距离为3米)

12．在函数)0(8

>=

x x

y 的图象上有点P 1，P 2，P 3，…，P n ，P n +1，它们的横坐标依次为1，2，3，…，n ，n +1．过点P 1，P 2，P 3，…，P n ，P n +1分别作x 轴、y 轴的垂线段，构成如图所示的若干个矩形，

P

O

B A

Q

h 米

0.8米

3米

4米

5

5

12

O

x

y

5

5

12

O

x

y

y

x

O 12

5

5

5

5

12O

x

y

P 5P 4

S 1

S 2

P 3

P 1

P 2S 3

(56)

34

21O x

y

将图中阴影部分的面积从左至右依次记为1S ，2S ，3S ，…，n S ，则点P 1的坐标为 ；2S ＝ ；n S ＝ ． （用含n 的代数式表示）

三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．计算：2sin45°－tan60°·cos30°．

[来源:]

14．如图，点D 是△ABC 的边AC 上的一点，AB 2＝AC ·AD ．

求证：△ADB ∽△ABC ．

15．如图，正比例函数y=2x 与反比例函数)0(≠=k x

k

y 的图象的一个交点为A (2，m )． 求m 和k 的值．

16．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC 的三个顶点均在格点上，点A ，B ，

C 的坐标分别为(0，1)，(1，－1)，(5，1)． （1）直接写出点B 关于原点的对称点

D 的坐标； （2）将△ABC 绕点C 顺时针旋转90o得到△A 1B 1C ．请

y

x

O

1

1

A

初四数学期末试卷第3页（共8页）

D

C

A

B

O

5

342

x

y

1B

A

C

在网格中画出△A 1B 1C ，并直接写出点A 1和B 1的坐标．

17．如图，在半径为6cm 的⊙O 中，圆心O 到弦AB 的距离OE 为3cm ．

（1）求弦AB 的长；

（2）求劣弧AB ⌒的长．

18．在燕房线地铁施工期间，交管部门在施工路段设立了矩形路况警示牌（如图所示）．已

知立杆AB 的高度是3米，从路侧点D 处测得路况警示牌顶端C 点和底端B 点的仰角分别是60°和45°，求路况警示牌宽BC 的值．（精确到0.1米） （参考数据：2≈1.41，3≈1.73）

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19．如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 交于点F ，点E 是BD 上一点，且∠BAC ＝∠

BDC ＝∠DAE ．

（1）求证：△ABE ∽△ACD ；

（2）若BC ＝2，AD ＝6，DE ＝3，求AC 的长．

地 铁 施 工请绕道慢行

C

A

B D A

B

C

D

E

F E O

A

B

20．根据某网站调查，2014年网民们最关注的热点话题分别有：消费、教育、环保、反腐

及其它共五类．根据调查的部分相关数据，绘制的统计图表如下：

科*网]

根据以上信息解答下列问题：

（1）请补全条形统计图并在图中标明相应数据；

（2）若北京市约有2100万人口，请你估计最关注环保问题的人数约为多少万人？[来源:Z_xx_https://www.sodocs.net/doc/b18478853.html,]

（3）在这次调查中，某单位共有甲、乙、丙、丁四人最关注教育问题，现准备从这四

人中随机抽取两人进行座谈，则抽取的两人恰好是甲和乙的概率为 ．

21．如图，AB 为⊙O 的直径，直线l 与⊙O 相切于点C ，过点A 作AD ⊥l

于点D ，交⊙O 于点E ． （1）求证：∠CAD ＝∠BAC ；[来源:Z&xx&https://www.sodocs.net/doc/b18478853.html,]

（2）若sin ∠BAC ＝5

3

，BC ＝6，求DE 的长．

22．阅读下面材料：

小辉遇到这样一个问题：如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 在边BC 上，∠DAE ＝45°．若BD ＝3，CE ＝1，求DE 的长． 反腐20%

消费30%

环保10%

教育25%

其他15%网民关注的热点问题情况统计图 反腐

140

280

210

420

其他教育环保消费

人数（万人）

热点问题

420350280

210140700

关注各类热点问题的网民人数统计图

l

E

D A

O

B

C

初四数学期末试卷第5页（共8页）

图1

A

B

C D E 图2

F

A

B

C D

E 图3

E

F

D

A

B

C

小辉发现，将△ABD 绕点A 按逆时针方向旋转90o，得到△ACF ，连接EF （如图2），由图形旋转的性质和等腰直角三角形的性质以及∠DAE ＝45°，可证△FAE ≌△DAE ，得FE ＝DE ．解△FCE ，可求得FE (即DE )的长．

请回答：在图2中，∠FCE 的度数是 ，DE 的长为 ． 参考小辉思考问题的方法，解决问题：

如图3，在四边形ABCD 中，AB ＝AD ，∠B ＋∠D ＝180°．E ，F 分别是边BC ，CD 上的点，且∠EAF ＝

2

1

∠BAD ．猜想线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系并说明理由．

五、解答题（本题共22分，第23、24题每题7分，第25题8分） 23．已知关于x 的方程012

=-+-k kx x .

（1）求证：当2>k 时，方程总有两个不相等的实数根；

（2）若二次函数)2(12>-+-=k k kx x y 的图象与x 轴交于A ，B 两点（A 在B 的左侧），

与y 轴交于点C ，且tan ∠OAC ＝4，求该二次函数的解析式；

（3）已知点P （m ，0）是x 轴上的一个动点，过点P 作垂直于x 轴的直线交（2）中的

二次函数图象于点M ，交一次函数q px y +=的图象于点N ．若只有当51<

24．在正方形ABCD 中，点E ，F ，G 分别是边AD ，AB ，BC 的中点，点H 是直线BC 上一

点．将线段FH 绕点F 逆时针旋转90o，得到线段FK ，连接EK ．

1

1

O

x

y

G E

F

C D B

A

H

图3

K

G

E F

C D B

A

H

图2

G E F

C D B

A

图1

（1）如图1，求证：EF ＝FG ，且EF ⊥FG ；

（2）如图2，若点H 在线段BC 的延长线上，猜想线段BH ，EF ，EK 之间满足的数量

关系，并证明你的结论．

（3）若点H 在线段BC 的反向延长线上，请在图3中补全图形并直接写出线段BH ，

EF ，EK 之间满足的数量关系．

25．在平面直角坐标系xOy 中，对于任意三点A ，B ，C ，给出如下定义：

若矩形的任何一条边均与某条坐标轴平行，且A ，B ，C 三点都在矩形的内部或边界上，则称该矩形为点A ，B ，C 的外延矩形．点A ，B ，C 的所有外延矩形中，面积最小的矩形

O x

y

D 1

D 2

B 3

A 3D 3

C A B A 2

B 2

A 1

B 1

C 2

C 1

称为点A ，B ，C 的最佳外延矩形．例如，右图中的矩形1111D C B A ，2222D C B A ，333CD B A 都是点A ，B ，C 的外延矩形，矩形333CD B A 是点A ，B ，C 的最佳外延矩形． （1）如图1，已知A (－2，0)，B (4，3)，C (0，t )．

①若2=t ，则点A ，B ，C 的最佳外延矩形的面积为 ； ②若点A ，B ，C 的最佳外延矩形的面积为24，则t 的值为 ； （2）如图2，已知点M (6，0)，N (0，8)．P (x ，y )是抛物线542++-x x y ＝上一

点，求点M ，N ，P 的最佳外延矩形面积的最小值，以及此时点P 的横坐标x 的取值范围；

（3）如图3，已知点D (1，1)．E (m ，n )是函数)0(4

>=

x x

y 的图象上一点，矩形OFEG 是点O ，D ，E 的一个面积最小的最佳外延矩形，⊙H 是矩形OFEG 的外接圆，请直接写出⊙H 的半径r 的取值范围．[来源:]

数学试卷参考答案与评分标准 2015年1月

一、选择题（本题共32分，每小题4分）

B ．A ．B ．

C ．

D ．B ．C ．A ． 二、填空题（本题共16分，每小题4分）

y

x

O

1

1

B

A 图1

图3

O

x

y

H G D

E F

图2

1

1O x

y

N

M

9．

45 10．x y 1-= )0(<=k x

k

y （答案不唯一）

11．1.4 12．(1，8)；

34；)

1(8

+n n ． 三、解答题（本题共30分，每小题5分） 13．解：原式＝2

3

3222?

-?

……………………………………3分 ＝12

3-

＝21

-． ……………………………………5分

14．证明：∵AB 2＝AC ·AD ，

∴

AC AB ＝AB

AD

． ……………………………………2分 又∵∠A ＝∠A ， ……………………………………4分 ∴△ADB ∽△ABC ． ……………………………………5分 15．解：将点A (2，m )的坐标代入y=2x 中，得

m ＝2×2，即m ＝4． ……………………………………2分 ∴A (2，4)． ……………………………………3分

将点A (2，4)的坐标代入x

k

y =，得 k ＝2×4，即k ＝8． ………………5分 16．解：（1）D (－1，1)； ………………2分

（2）画出△A 1B 1C ，如图； ………………3分 A 1(5，6)，B 1(3，5)． ………………5分 17．解：（1）∵AB 为⊙O 的弦，OE ⊥AB 于E ，

∴AE ＝BE ＝

2

1

AB ． ……………………………………1分 在Rt △AOE 中，OA ＝6，OE ＝3，

∴AE ＝22OE OA -＝2236-＝27＝33， ………………2分 ∴AB ＝2AE ＝36． ……………………………………3分

（2）由（1）知，在Rt △AOE 中，∠AEO ＝90°，OA ＝6，OE ＝3， ∴cos ∠AOE ＝

OA OE

＝2

1， ∴∠AOE ＝60°，

∴∠AOB ＝2∠AOE ＝120°， ……………………………………4分 ∴AB

⌒的长l ＝180

6

120?π＝π4． ……………………………………5分

O 5342x y 1B

A B

1

C

A 1

-1-1

18．解：由题意，

在Rt △ABD 中，∠DAB ＝90°，∠ADB ＝45°，AB ＝3米，

∴AD ＝AB ＝3米， ……………………………………2分 又∵Rt △ACD 中，∠DAC ＝90°，∠ADC ＝60°，

∴AC ＝AD ·tan ∠ADC ＝3·tan60°＝33米， ………………4分 ∴BC ＝AC －AB ＝33－3≈2.2米． ………………5分 即路况警示牌宽BC 的值约为2.2米． 四、解答题（本题共20分，每小题5分） 19．（1）证法一：∵∠BAC ＝∠DAE ，

∴∠BAC ＋∠CAE ＝∠DAE ＋∠CAE ，

即∠BAE ＝∠CAD ． ……………………………………1分 又∵∠BAC ＝∠BDC ，∠BFA ＝∠CFD ，

∴180°－∠BAC －∠BFA ＝180°－∠BDC －∠CFD ，

即∠ABE ＝∠ACD ． ……………………………………2分 ∴△ABE ∽△ACD ． ……………………………………3分 证法二：∵∠BAC ＝∠DAE ， ∴∠BAC ＋∠CAE ＝∠DAE ＋∠CAE ，

即∠BAE ＝∠CAD ． ……………………………………1分 又∵∠BEA ＝∠DAE ＋∠ADE ，∠ADC ＝∠BDC ＋∠ADE ，

∠DAE ＝∠BDC ，

∴∠AEB ＝∠ADC ． ……………………………………2分 ∴△ABE ∽△ACD ． ……………………………………3分 (2)∵△ABE ∽△ACD ，∴AC AB ＝AD

AE ． 又∵∠BAC ＝∠DAE ，

∴△ABC ∽△AED ， ……………………………………4分 ∴

DE BC ＝AD

AC

， ∴AC ＝AD DE BC ?＝63

2

?＝4． ……………………………………5分 20．（1）补全条形统计图如图； ………………2分

（2）2100×10%＝210万人； ………………4分

（3）61． ………………5分 21．（1）证明：连接OC ，[来源:]

∵CD 为⊙O 的切线，

∴OC ⊥CD ， ……………………………………1分

350

反腐140280210

420其他教育环保消费 人数

（万人）

热点问题

420350

280210

140

70

l

E D A

O

B

C

∵AD ⊥CD ，∴OC ∥AD ， ∴∠CAD ＝∠ACO ． 又∵OC ＝OA ， ∴∠ACO ＝∠OAC ，

∴∠CAD ＝∠OAC ，

即∠CAD ＝∠BAC ． ……………………………………2分 （2）解法一：过点B 作BF ⊥l 于点F ，连接BE ， ∵AB 为⊙O 的直径，∴∠AEB ＝90°， 又AD ⊥l 于点D ，

∴∠AEB ＝∠ADF ＝∠BFD ＝90°， ∴四边形DEBF 是矩形，

∴DE ＝BF ． ……………………………………3分

∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°，

∴∠ACD ＋∠BCF ＝90°．

∵∠ADC ＝90°，∴∠ACD ＋∠CAD ＝90°， ∴∠BCF ＝∠CAD ． ∵∠CAD ＝∠BAC ，

∴∠BCF ＝∠BAC ． ……………………………………4分

在Rt △BCF 中，BC ＝6，

sin ∠BCF ＝BC BF ＝sin ∠BAC ＝53

， ∴BF ＝BC 5

3＝518

，

∴DE ＝BF ＝5

18

． ……………………………………5分

解法二：连接CE ，

∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ACB ＝90°． ∵A ，B ，C ，E 四点共圆， ∴∠AEC ＋∠ABC ＝180°． 又∵∠AEC ＋∠DEC ＝180°，

∴∠DEC ＝∠ABC ，

∴Rt △CDE ∽Rt △ACB ， ……………………………………3分 ∴

BC DE ＝AC

CD

． 在Rt △ABC 中，sin ∠BAC ＝AB BC ＝5

3

，BC ＝6， ∴AB ＝

BC 3

5

＝10，∴AC ＝22BC AB ＝8． 在Rt △ADC 中，∵∠DAC ＝∠BAC ，

l

F E D A O

B

C

l

E

D

A O B

C

∴sin ∠DAC ＝

AC CD ＝sin ∠BAC ＝53

， ∴CD ＝AC 53＝5

24

． ……………………………………4分

∴DE ＝AC BC CD ?＝8

6524

?＝518． ……………………………………5分

22．90°；10． ……………………………………2分

猜想：EF =BE ＋FD ； ……………………………………3分 理由如下：

如图，将△ABE 绕点A 按逆时针方向旋转，使AB 与AD 重合，得到△ADG ， ∴BE ＝DG ，AE ＝AG ，∠DAG ＝∠BAE ，∠B ＝∠ADG ， ∵∠B ＋∠ADC ＝180°，∠B ＝∠ADG ，

∴∠ADG ＋∠ADC ＝180°，即点F ，D ，G 在同一条直线上． ∵∠EAF ＝

2

1

∠BAD ， ∴∠GAF ＝∠DAG ＋∠DAF ＝∠BAE ＋∠DAF ＝∠BAD －∠EAF ＝∠EAF ， 即∠GAF ＝∠EAF ． ……………………………………4分

在△AEF 和△AGF 中，??

?

??∠∠AF AF GAF EAF AG AE ＝，＝，＝

∴△AEF ≌△AGF ， ∴EF ＝FG ．

∵FG ＝DG ＋FD ＝BE ＋DF ，

∴EF ＝BE ＋FD ． ……………………………………5分

五、解答题（本题共22分，第23题8分，第24、25题每小题7分）

23．（1）证明：∵)1(14)(2-??--=?k k ＝2)2(-k ， ………………1分

又∵2>k ，∴02>-k ，

∴0)2(2

>-k ，即0>?，

∴当2>k 时，方程总有两个不相等的实数根． ………………2分 （2）解：∵)2(12

>-+-=k k kx x y 与x 轴交于A 、B 两点，

∴令0y =，有210x kx k -+-=，

解得 1=x ，或1-=k x ． ………………3分 ∵2>k ，点A 在点B 的左侧，

E

F

D G

A

B

C C

B 5A

1O

x

y

P M

N

∴A (1，0)，B (1-k ，0)． ∵抛物线与y 轴交于点C ，

∴C (0，1-k )． ……………………………………4分 在Rt △AOC 中，tan ∠OAC ＝OA OC ＝1

1

-k ＝4， 解得5=k ．

∴抛物线的解析式为452+-=x x y ． ……………………………………5分 （3）依题意并结合图象可知，一次函数的图象与二次函数的图象交点的横坐标分别为

1和5，由此可得交点坐标为(1，0)和(5，4)． ………………6分 将交点坐标分别代入一次函数解析式q px y +=中，得

???+=+q p q p 54,0＝， 解得??

?-1

,1＝＝

q p ， ∴一次函数的解析式为1-=x y ． ……………………………………7分 24．（1）证明：∵正方形ABCD ，E ，F ，G 分别是边AD ，AB ，BC 的中点，

∴AE ＝AF ＝FB ＝BG ，∠A ＝∠B ＝90°，

∴△AEF ≌△BGF ， ……………………………………1分 ∴EF ＝FG ，∠AFE ＝∠BFG ＝45°，

∴∠EFG ＝180°－∠AFE －∠BFG ＝90°，即EF ⊥FG ． ………………2分 （2）BH ＝

2

2

EF ＋EK ； ……………………………………3分 证明：将线段FH 绕点F 逆时针旋转90o，得到线段FK ， ∴FH ＝FK ，∠HFK ＝90°， ∴∠KFE ＋∠EFH ＝90°，

∵∠EFG ＝90°，∴∠HFG ＋∠EFH ＝90°， ∴∠KFE ＝∠HFG ， 在△EFK 和△GFH 中，

FK ＝FH ，∠KFE ＝∠HFG ，EF ＝FG ，

∴△EFK ≌△GFH ， ……………………………………4分 ∴EK ＝GH ．

∵△BFG 是等腰直角三角形，∴BG ＝

2

2

FG ， ∴BH ＝BG ＋GH ＝

22FG ＋EK ＝2

2EF ＋EK ，

即BH ＝

2

2

EF ＋EK ．

……………………………………5分

（3）补全图形如图； ……………………………………6分

BH ＝EK －2

2

EF ． ……………………………………7分

25．（1）①18； ……………………………………1分

②4=t 或1-=t ； ……………………………………3分 （2）如图，过M 点作x 轴的垂线与过N 点垂直于y 轴的直线交于点Q ，则当点P 位

于矩形OMQN 内部或边界时，矩形OMQN 是点M ，N ，P 的最佳外延矩形，且面积最小．

∵S 矩形OMQN ＝OM ·ON ＝6×8＝48，

∴点M ，N ，P 的最佳外延矩形面积的最小值为48．………………4分

抛物线542++-x x y ＝与y 轴交于点T (0，5)． 令0y =，有0542

＝++-x x ， 解得 1-=x （舍），或5=x ． 令8=y ，有8542＝++-x x ， 解得 1=x ，或3=x ．

∴10≤≤x ，或53≤≤x ． ……………………………………6分 （3）2

17

2≤

≤r ． ……………………………………8分 说明：各解答题的其他正确解法请参照以上标准按分步给分的原则酌情评分．

y

x

O 1

1

J R

S N M

T

Q

K P

K G E F C D B

A H