边界截断的声学斗篷设计及其声散射特性研究

边界截断的声学斗篷设计及其声散射特性研究

田华文，温激鸿，蔡 力

（国防科技大学装备综合保障技术重点实验室，长沙 410073）

摘要：文章针对理想声学斗篷最内层材料参数存在奇异（无穷大或零）的问题，在分析现有变换声学理论的坐标变换方程基础上，考虑对坐标变换方程的边界处进行截断，进而设计新变换下的声学斗篷。仿真计算结果表明，它减小了斗篷最内层材料参数变化的范围，而对斗篷隐身效果（声散射）影响很小。该研究有利于降低声学斗篷的工程制造难度，对斗篷理论走向实践提供参考。

关键词：边界截断；坐标变换；声学斗篷；声学超材料

中图分类号：O422.5 文献标识码： A

1 引 言

近年来，以声子晶体、声学超材料为代表的新型声学功能材料的研究成为物理学、声学及振动与噪声控制领域的热点。它们所具有的弹性波带隙、声波局域、负弹性常数、负密度等特性在高精密机械隔振、潜艇消声瓦、声呐等减振降噪及声学器件研究领域具有潜在的广阔应用前景。利用声学超材料实现声隐身斗篷是其中的前沿课题之一，它通过控制声波弯曲绕过目标后又恢复原传播方向的方式，使得目标不对入射声波产生散射来达到隐身的效果，为水下装备的声隐身设计及弹性波的声振控制提供了全新的思路。

声学斗篷的概念源自电磁隐身斗篷。2006年Pendry 等人[1]提出：在数学上通过某种坐标变换方程将虚拟空间(',',')r z θ映射到一个新的物理空间(,,)r z θ中去时，电磁波方程在形式上会保持不变。利用这种方法，就得到了可以实现对电磁波传播方向进行任意弯曲的电磁材料坐标变换设计理论，接着再利用超材料就可以实现这一设计。按照这种思路，让探测电磁波束在目标物体前打一个漂亮的“香蕉球”曲线绕过物体，然后恢复绕射前的传播路径继续传播，就可以实现科幻小说中隐身斗篷般透明化隐身效果。该理论的可行性很快就在微波波段得到实验验证[2]。由于声波与电磁波的相似性，仅一年后电磁波坐标变换理论就拓展到声波领域[3-4]，由此诞生了变换声学理论和声学隐身斗篷的概念。

理想声隐身斗篷由具有各向异性密度，且随半径按一定规律变化的声学超材料构成，这对材料的要求十分苛刻。Torrent 等[5]证明了用声子晶体制备各向异性声学超材料的可行性，并设计了由两种各向同性材料交叠组成的声学超材料，在理论上实现了声学斗篷对材料参数的上述要求。Zhang 等[6] 利用周期分布的亥姆霍兹共振腔构造声学斗篷进行测试，首次通过实验验证了声学隐身斗篷的可行性及有效性。然而，由理想坐标变换方式得到的斗篷设计参数在其最内层存在奇异（无穷大或零）。这对声学斗篷的超材料结构设计、制备等都提出了极高的要求。

为解决上述问题，本文提出了一种截断边界的坐标变换方法。即，将坐标变换的起点从'0r =变

为'r h =Δ。通过变换方程将'h r b Δ<<的虚拟空间映射到物理空间a r b <<，而将0'r h <<Δ的空间忽略不计。推导了该坐标变换方式下的声学斗篷材料参数分布函数，设计了基于该坐标变换方式的多层介质声学斗篷，利用有限元软件COMSOL 对此设计进行了建模与仿真计算，结果表明：此设计中材料参数不出现奇异且对声学斗篷的隐身效果影响很小。本文的研究结果为声学斗篷的实际制备提供了参考价值。

2 坐标变换方程的边界截断

基于坐标变换的斗篷隐身原理就是通过一个坐标变换方程将虚拟空间(',',')r z θ映射到一个新

的物理空间(,,)r z θ中去，该虚拟空间中的均匀介质在新的空间下将变为非均匀的、各向异性的，

而原空间中的直线传播的波在新空间中即为弯曲传播。通过超材料的设计实现该坐标变换后的非均匀介质，这样的介质则可以实现波的弯曲控制。

Pendry 等[1]提出的二维圆柱形斗篷的线性坐标变换方程为： (')',0'''b a r g r r a r b b z z θθ??==+<

(1) 其中a ，b 分别为斗篷的内外半径。斗篷所需要的材料参数分布可以通过计算坐标变换方程的雅克比矩阵来得到[1, 7]，其计算式为：

1

('/)((')/')1/('/)((')/')r r r z

z r r g r r r r g r r θθεμεμεεμ?==????==??==??? (2) 其中r ε、

θε、z ε分别为此二维电磁斗篷随斗篷半径r 在径向、切向和z 轴方向的相对介电常数，r μ、θμ、z μ分别为斗篷随半径r 的径向、切向和z 轴方向的相对磁导率。将(1)式带入(2)式可得线性坐

标变换下，电磁斗篷所需要的材料参数分布为： 2,()r r z z r a r r a r b r a b r a b a r θθεμεμεμ??==???==<

(3) Cummer 和Schurig [4] 将变换光学理论由电磁波领域拓展到声波领域。

在二维柱坐标TE 模式下，通过变换方程形式后，麦克斯韦方程组可以与声压场方程组建立等价关系，因此两方程组的解可以

通用。二者之间的变量替换关系为：

1[,,,,,][,,,,,]r r z r r z p v v E H H φφφφρρλμμε???? (4) 由此就可以得到在与电磁斗篷相同的线性坐标变换方程变换下，二维柱坐标TE 模式的声学隐身斗

篷各向异性的质量密度和标量的体积弹性模量随斗篷半径r 的分布规律为： 2(r b b b r r a r a a r b r b a r b r a φρρρρλλ?=?????=<

(5) 其中r ρ、φρ分别为圆柱形斗篷在半径r 处的径向和切向的质量密度，λ为斗篷材料的体积弹性模

量。b ρ、b λ分别为斗篷周围流体的密度和体弹性模量。观察上式易知，当r a →时，r ρ→∞，

0φρ→，λ→∞。这就是上文所述的材料参数奇异问题。

要在一定频段内实际实现上述极端的材料参数是非常困难的。因此本文考虑对于虚拟空间

0'r b <<，坐标变换并不从'0r =点开始变换，而是取一个极小值h Δ，将'h r b Δ<<的空间映射到a r b <<，对于0'r h <<Δ的空间忽略不计。这时，坐标变换方式变为： (')','''b a b a r g r r a h h r b b h b h z z θθ???==+?ΔΔ<

(6) 将(1)式称作理想坐标变换，式(6)称为截断边界的坐标变换。两种变换下'r 与r 的映射关系比较如图1所示：

从原理上说，理想坐标变换下新空间中r a =的

圆对应于原坐标系中'0r =一点，这意味着将斗篷中

的整个区域压缩为一个点，从而斗篷中的任何物体不

对外部入射波产生散射。采用截断边界的坐标变换中，

斗篷中的区域在坐标变换过程中不是被压缩成一个

点，而是'r h <Δ的区域，在h Δ较小时，该区域对外

部入射波的散射不明显，可以在保持声隐身性能的同

时，避免斗篷内层材料参数的奇异问题。

将(6)式带入(2)式，并依据(4)式提供的变量替换关

系，就可以得到截断边界的坐标变换下声学隐身斗篷

所需要的新的材料参数分布：

2(),()()()()r b b b h b r ab r h b h br ab r h b h br a r b h b r a b r b h b h br ab r h φρρρρλλ?Δ??=+Δ?Δ???+Δ?Δ??=<

(7) 观察上式，当r a →时，()()r b b h a b a h ρρ?Δ→?Δ，()()b b a h b h a φρρ?Δ→?Δ，()()b b a a b h h

λλ?→?ΔΔ。这就解决了理想变换下斗篷最内层材料参数奇异问题。在实际制造斗篷过程中，可以通过调节h Δ的大小在降低斗篷完美隐身效果与减小斗篷最内层材料参数的变化幅度二者之间做取舍，找到最优值。

3 声学斗篷的建模与声散射特性计算

本文采用Torrent 和Sánchez-Dehesa [5]给出的方法来构建斗篷模型。即，将一层层厚为d 的各项

异性声学超材料用两层层厚相等但材料不同的各向同性声学材料来等效。这种等效方法与斗篷所基于的坐标变换方程是无关的。两种各向同性材料的密度和等效声速随斗篷半径r 变化的规律可用下

式来计算：

1122121()()()()/()()()r b r r c r r r c r c r ρρρρρ?=??=???=??=?

(7) 其中1()r ρ、2()r ρ分别为两种各向同性材料的密度，1()c r 、2()c r 分别为两材料的等效声速。原线性变换下，按此方法等效后得到的两种各向同性材料参数随r 变化的规律为[5]：

1122121()()()/()()()b b b r r r a b a r c r c b r a r r c r c r ρρρρρ?+=?????=????=?=?

(8) 将(7)式带入(8)式就可得到新变换下两种各向同性材料的声学材料参数随斗篷半径r 的分布情况：

122121()()/()()b b r r c r c r ρρρρ?=??????=?=? (9)

接下来利用有限元软件COMSOL 建立二维声学斗篷模型。取斗篷内半径1a m =，外半径2b m =，斗篷离散层数25N =，每层又是由1、2两种等厚度材料各一层交替组成的，即

12/20.02d d d m ===。取变化量0.01100

b a h m ?Δ==，入射平面波幅值1b p Pa =。斗篷外为空气，密度3

1.25/b kg m ρ=，声速343/b c m s =。取入射平面波频率200f Hz =。将(8)式和(9)式直

接输入到COMSOL 软件的材料参数定义命令行中，

材料参数的离散化由软件自行完成。原变换和新变换下声学斗篷的声散射特性计算结果如图2所示。

(a) (b)

(c) (d)

图 2 两种变换下斗篷声散射特性计算结果：

(a)、(b)分别为理想和边界截断的坐标变换下斗篷外总声压场分布；

(c)、(d)分别为理想和边界截断的坐标变换下斗篷外绝对压力场分布

由图2可以看出，两种坐标变换下斗篷隐身效果的差异极小。总声压场的幅值二者在数量上相差不足1%。从绝对压力场来看，原变换下声场绝对压力变化范围为0.93~1.06Pa 。新变换下声场绝对压力变化范围为：0.90~1.10Pa 。两者的绝对压力场幅值最大不超过入射波幅值的4%。因此，可以近似的认为引入极小量h Δ并不影响斗篷的隐身效果。然而，随着h Δ的引入，斗篷最内层材料参数发生了变化。将模型数据代入式(7)，可以得到截断边界的坐标变换下斗篷内层材料参数为： 199r b ρρ=、0.005b φρρ=、50.25b λλ=。按照本文的方法，就在基本不影响斗篷隐身效果的前提下，解决了斗篷最内层材料参数的奇异问题。

4结论

本文针对理想声学斗篷最内层材料参数存在奇异（无穷大或零）的问题，在分析坐标变换理论

Δ，设计了新的坐标变换的基础上，对声学斗篷的坐标变换方程进行了边界截断。通过引入截断量h

Δ解决了斗篷最内层材料参数的奇异问题，同时对声学斗篷方程。数值计算结果表明，引入截断量h

Δ的大小来控制声学斗篷的声隐身效果及其最内层材料参隐身效果影响很小。另外，可以通过调节h

数的数值。本文的研究结果对声学斗篷的实际制造具有参考价值。

参考文献

[1]Pendry J B, Schurig D, Smith D R. Controlling Electromagnetic Fields[J]. Science, 2006, 312: 1780-1782.

[2]Schurig D, Mock J J, Justice B J, et al. Metamaterial Electromagnetic Cloak at Microwave Frequencies[J]. Science,

2006, 314: 977-980.

[3]Chen H, Chan C T. Acoustic cloaking in three dimensions using acoustic metamaterials[J]. Applied Physics Letters,

2007, 91: 183518.

[4]Cummer S A, Schurig D. One path to acoustic cloaking[J]. New Journal of Physics, 2007, 9: 45.

[5]Torrent D, Sánchez-Dehesa J. Acoustic cloaking in two dimensions: a feasible approach[J]. New Journal of Physics,

2008, 10: 63015.

[6]Zhang S, Xia C, Fang N. Broadband Acoustic Cloak for Ultrasound Waves[J]. Physical Review Letters, 2011, 106:

24301.

[7]Xu X, Feng Y, Zhao L, et al. Designing the coordinate transformation function for non-magnetic invisibility

cloaking[J]. Journal of Physics D: Applied Physics, 2008, 41: 215504.