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福建省漳州市2016届高三毕业班高考理科数学模拟(一)

2016年漳州市高三毕业班模拟卷(一)

数学(理科)

(满分150分,答题时间120分钟) 第Ⅰ卷(选择题 共60分)

注意事项:

1.本试题分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.

2.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置. 3.全部答案答在答题卡上,答在本试卷上无效.

4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题

目要求的. (1)设集合{}

2340M

x x x =--<,{}50N x x =-≤≤,则M N =I

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(A)

(]04, (B)[)04, (C)(]10,- (D)[)10,-

(2)若a b ∈,R ,则“1a b ==”是“复数()

2

i 2i a b +=”的

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (3

)设向量(3=a

,b 为单位向量,且//a b ,则b =

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(A)(

32,-12)或(-32,12) (B)(32,12

) (C)(-

32,-12) (D)(32,12)或(-32,-1

2

) (4)若变量,x y 满足约束条件1

211x y x y y +≥-??

-≤??≤?

,则3z x y =-的最小值为

(A)-7 (B)-1 (C)1 (D)2

(5)已知双曲线的一个焦点与抛物线2

20x y =的焦点重合,且其渐近线的方程为340x y ±=,则该双

曲线的标准方程为

(A)

221916x y -= (B)221169x y -= (C)22

1916

y x -= (D)

22

1169

y x -= (6)如图所示的程序框图,若输出的41S =,则判断框内应填入的条件是

(A)3?k > (B)4?k > (C)5?k > (D)

6?k >

(7

)已知曲线()sin (0)f x x x w w w =+>的两条相邻的对称轴 之间的距离为

2

p

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,且曲线关于点0(,0)x 成中心对称,若0[0,]2

x p

?, 则0x =

(A)12p (B)6p (C)3

p (D)512p

(8)函数2|log |

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()2x f x =

(9)某个长方体被一个平面所截,得到几何体的三视图如图所示,

则这个几何体的体积为

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(A)4 (B)20

3

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(D)8 (10)已知点()1,0M 及双曲线2

213

x y -=的右支上两动点,A B , 当AMB ∠最大时,它的余弦值为

(A)

12 (B)12

-

(C)

13 (D) 1

3

-

(11)已知等差数列{}n a 的公差0≠d ,且1331

,

,a a a 成等比数列,若11=a ,n S 为数列{}n a 的前n 项和,

则3

162++n n a S 的最小值为

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A .4

B .3

C .2-

D (12)已知函数2

y x =的图象在点(

)2

00

,x x 处的切线为l ,若l 也与函数ln y x =,)1,0(∈x 的图象相切,

则0x 必满足 (A)012x <<

0 (B)01

2x <<1 (C)

22

2

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0<

本卷包括必考题和选考题两部分.第(13)题~第(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答.第(22)题~第(24)题为选考题,考生根据要求做答.

二、填空题:本大题共4题,每小题5分,共20分. 把答案填在答题卡的相应位置上.

(13)若9()a x x

-的展开式中3

x 的系数是84-,则a = .

(14)已知数列{}n a 满足13n n a a +=,且9642=++a a a ,则.

(15)欧阳修《油翁》中写到:“(翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以杓酌油沥之,自钱孔入,而

钱不湿”.可见“行行出状元”,卖油翁的技艺让人叹为观止.若铜钱是直径为4 cm 的圆,中间有边长为l cm 的正方形孔.若随机向铜钱上滴一滴油(设油滴整体落在铜钱上),则油滴(设油滴是直径为0.2 cm 的球)正好落入孔中(油滴整体落入孔中)的概率是 .

(16) 已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上.ABC ?是边长为2的正三角形.SC 为球O 的直径.且4SC =.则此棱锥的体积为 . 三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分12分)

如图四边形ABCD 中,a,b,c 为△ABC 的内角A,B,C 的对边,且满足)cos 2()cos 1(B a A b -=+

(Ⅰ)证明:a c b 2=+ (Ⅱ)若2=

=c b ,22==DC DA ,求四边形

ABCD 的

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面积.

(18) (本小题满分12分)

某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理.

(Ⅰ)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y (单位:元)关于当天需求量n (单位:枝,n N ∈)的函数解析式.

,整理得下表:

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21

(i )若花店一天购进16枝玫瑰花,X 表示当天的利润(单位:元),求X 的分布列,数学期望及方

差;

(ii )若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由.

(19) (本小题满分12分)

在如图所示的空间几何体中,平面ACD ⊥平面ABC ,2AB BC CA DA DC BE ======,BE 和平面ABC 所成的角为60°,且点E 在平面ABC 上的射影落在ABC ∠的平分线上. (Ⅰ)求证://DE 平面ABC ;

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(Ⅱ)求二面角E BC A --的余弦值. 、

(20)(本小题满分12分)

设椭圆C :22

221x y a b

+=的离心率12e =,点P 在椭圆C 上,

点P 到椭

圆C 的两个焦点的距离之和是4.

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(Ⅰ)求椭圆C 的方程;

(Ⅱ)若椭圆1C 的方程为()22

2210x y m n m n

+=>>,椭圆2C 的方程为

()22

22

0,1x y m n λλλ+=>≠且,则称椭圆2C 是椭圆1C 的λ倍相似椭圆.已知椭圆2C 是椭圆C 的3倍相似椭圆.若椭圆C 的任意一条切线l 交椭圆2C 于M,N 两点,O 为坐标原点,试研究当切线l 变化时OMN ?面积的变化情况,并给予证明.

(21) (本小题满分12分)

设函数x a x x f ln )()(+=,x e

x x g 2

)(=.已知曲线)(x f y = 在点(1,(1))f 处的切线与直线

02=-y x 平行.

(Ⅰ)若方程()()f x g x =在(,1)k k +(k N ∈)内存在唯一的根,求出k 的值.

(Ⅱ)设函数()min{(),()}m x f x g x =({},min p q 表示,,p q 中的较小值),求()m x 的最大值. [来源

请考生在(22)、(23)、(24)三题中任选一题作答.注意:只能做所选定的题目.如果多做,则按所做第一个题目计分,做答时,请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑. (22)(本题满分10分)选修4-1:几何证明选讲

如图,AB 是⊙O 的直径,C 、F 是⊙O 上的两点,OC ⊥AB ,过点F 作⊙O 的切线FD 交AB 的延长线

于点D .连接CF 交AB 于点E . (Ⅰ)求证:DE 2

=DB?DA ; (Ⅱ)若DB=2,DF=4,试求CE 的长.

B A

C

D

E O

F

(23)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线1C 的极坐

标方程为3)4p

r q =-,曲线2C 的参数方程为8cos ,(3sin x y q q q

ì=??í

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?=??为参数). (Ⅰ)将曲线1C 的极坐标方程化为直角坐标方程,将曲线2C 的参数方程化为普通方程; (Ⅱ)若P 为2C 上的动点,求点P 到直线:l 32,(2x t t y t

ì=+?

?í?=-+??为参数)的距离的最小值.

(24)(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲

已知()2f x x x a =---.

(Ⅰ)当5a =-时,解不等式()1f x <;

(Ⅱ)若1

()4

f x x ?-

的解集包含[1,2],求实数a 的取值范围.

2016年漳州市高三毕业班模拟卷(一)数学(理科)

参考答案

一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题意要求的. (1)答案:C 解析:由题意()14M =-,,[]50N =-,,则M N =I (]10,-.故选C .

(2)答案:A 解析:由

()2

i 2i a b +=得220a b -=且1ab =,即1a b ==或1a b ==-,所以“1a b ==”是

“1a b ==或1a b ==-”的充分不必要条件.故选A .

(3)答案:D 解析:由//a b 得λb =a ,又1=b ,则有b = (

32,12)或(-32,-1

2

).故选D . (4)答案:A

解析:不等式组1211x y x y y +≥-??

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-≤??≤?

表示的平面区域如图,平移直线y =3x -z ,

过M (-

2,1)时,z min =3×(-2)-1=-7.故选A . (5)答案:C

解析:因为双曲线渐近线的方程为340x y ±=,所以该双曲线 可

设为

()22

0916

y x λλ-=≠,又由于该双曲线的一个焦点是()05,,该

2

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116

x -=.故选C . (6)答案:B

解析:根据题意,本程序框图中循环体为“直到型”循环结构.第1次循环:22k S ==,第2次循环:

37k S ==,;第3次循环:418k S ==,;第4次循环:441k S ==,,跳出循环,判断框内应填

入的条件是4?k >.故选B . (7)答案:C 解析:

由()sin 2sin 3

f x x x x p w w w 骣÷

?=+

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=+÷?÷?桫,又因为它的两条相邻的对称轴之间的距离为2p ,所以T p =,则()2s i n 23

f x x p 骣÷

?=

+÷?÷?桫.因为曲线关于点0(,0)x 成中心对称,则()023x k k Z p p +

=?,得026k x p p =-,又因为0[0,]2x p ?,所以03

x p

=.故选C .

8)答案:D

解析:用排除法.由于当01,x <<时()f x x =,排除(B)、(C)两项;当1x 3时,()1

f x x

=,排除(A).故选D .

(9)答案:D

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解析:由三视图可知,该几何体如图所示,其底面为正方形,正

方形的边长为2, 3,1HD BF ==,将相同的两个几何体放在一起,构成一个高为4的长方体,所以该几何体的体积为

1

2

×2×2×4=8.故选D .

双曲线相切

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2

10k --= 2

k =

∵直线MA 与双曲线相切于点A ,由0D =,解得

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理直线BM

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AMB 最大

(11)答案:A

解析:依题意,得2

21,n n a n S n =-=,则221689

12311

n n S n n a n n ++==++-+++,再应用均值不等式,

得其最小值为4.故选A .

(12)答案:D

解析:由函数2y x =,得其导函数2y x '=,则函数2

y x =的图象在点(

)2

00

,x x 处的切线方程为

20002()y x x x x -=-,即2002y x x x =-,

由函数ln y x =,得其导函数1

y x '=

,设切点坐标为11(,)x y ,则切线方程为111

1ln ()y x x x x -=-,即11

1

ln 1y x x x =

+-, 则01

2

10121ln x x x x ?=???-=?

2

001ln 2x x +=,x 0∈(1,+∞), 令g (x )=x 2

-ln2x -1,x ∈(1,+∞),则2121

()20x g x x x x

-'=-=

>, ∴g (x )在(1,+∞)上单调递增,

又g (2)=1-ln22<0,g (3)=2-ln23>0,即g (2)·g (3)<0,所以2<x 0<3,故选D . 二、填空题:本大题共4题,每小题5分,共20分. 把答案填在答题卡的相应位置上.

(13)答案:1.

解析:9()a

x x

-的通项为()9219r r r r T C a x -+=-?,令923r -=,得3r =,则()3

3

984C a -=- 解得1a =.

(14)答案:5-.

解析:因为a

=3a ,所以数列{a n }是以3为公比的等比数列,而a 5+a 7+a 9= q 3(a 2+a 4+a 6)=9×33=35

,所

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(15)答案:

64

361π

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. 解析:∵铜钱的面积()2

20.1 3.61S ππ=-=,能够滴入油的图形为边

长为

120.10.8-?=的正方形,面积为0.64,∴0.6464

3.61361P ππ

=

=. (16)答案:

3

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. 解析:连接,

OA OB ,易得棱锥O ABC -是边长为2的正四面体,点O 在平面ABC 上的射影是正ABC

?的中心1O ,

在1Rt OO C ?中,12

23O C =

=

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, 2OC =

1OO ∴==

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所以三棱锥的高12h OO ==,

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所以2112333

ABC V S h ?=??==

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. 三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

(17)解:(Ⅰ)由题意知:)cos 2(sin )cos 1(sin B A A B -=+

∴B A A A B B cos sin sin 2cos sin sin -=+ ∴A B A A B B sin 2)cos sin cos (sin sin =++ ∴A B A B sin 2)sin(sin =++ ∴A C B sin 2sin sin =+ ∴a c b 2=+ (Ⅱ) ∵2==c b 且a c b 2=+,∴△ABC 为等边三角形,

∴2

3

432==?c S ABC

在△ACD 中,43

2cos 22

2=?

-+=DC AD AC AD DC D ,∴4

7sin =D

∴4

7

sin 21=

??=

?D DC DA S ACD ∴四边形ABCD 的面积为4

3

27+=+??ACD ABC S S

(18)解:(Ⅰ)当16n ≥时,16(105)80y =?-=, 当15n ≤时,55(16)1080y n n n =--=-,

得:1080(15),()80(16)n n y n n -≤?=∈?≥?

N .

(Ⅱ)(i )X 可取60,70,80.

(60)0.1,(70)0.2,(80)0.7P X P X P X ======

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, 2

2

2

160.160.240.744DX =?+?+?=.

(ii )购进17枝时,当天的利润为

(14535)0.1(15525)0.2(16515)0.161750.5476.4y =?-??+?-??+?-??+??= 因为76.476> 得,应购进17枝.

(19)解:(Ⅰ)由题意知,,ABC ACD V V 都是边长为2的等边三角形,取AC 中点O ,连接,BO DO ,

则,BO AC DO AC ⊥⊥,

又∵平面ACD ⊥平面ABC ,平面ACD ?平面ABC AC = ,DO ACD ?平面, ∴DO ⊥平面ABC ,

作EF ⊥平面ABC ,那么//EF DO ,根据题意,点F 落在BO 上,

∴0

60EBF ∠=,得EF DO ==∴四边形DEFO 是平行四边形,OF DE //∴ ,

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∵DE ?平面ABC ∵OF ?平面ABC ∴ DE 平面ABC . (Ⅱ)解法一:作,BC FG ⊥,垂足为G ,连接EG ,

BC EG EFG BC F FG EF BC EF ABC EF ⊥∴⊥=?⊥∴⊥,,,,平面平面 的平面角就是二面角A BC E EGF --∠∴.

1

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,sin 30,2Rt EFG FG FB EF EG ?=?===o 中,

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13

13

cos ==∠∴EG FG EFG ,

即二面角A BC FE --的余弦值为13

13

解法二:由(I)知DO ⊥平面ABC .以O 为原点,以向量OA ,OB ,OD

的正方向为x 轴,y 轴,z 轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系xyz o -,

则(1,0,0),1B C E -

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可知平面ABC 的一个法向量为1(0,0,1)n =,

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设平面BCE 的一个法向量为2(,,)n x y z =u u r

则2200

n BE n BC ??=???=??u u r uur u u r uu u r

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,可求得2(n =-u u r , 所以121212

cos ,n n n n n n ?==

?u r u u r

u r u u r u r u u r 1313

又由图知,所求二面角的平面角是锐角, 所以二面角A BC FE --的余弦值为13

13

(20)解:(Ⅰ)依题意,2221

24,2,,1,32

a a e c

b a

c ===

∴==-= , ∴椭圆C 方程为:22

143

x y +=. (Ⅱ)依题意,椭圆C 2方程为:2222

3,143129

x y x y +=+=即. 当切线l 的斜率存在时,设l 的方程为:y kx m =+.

由22

1129y kx m

x y =+???+

=??

得()2223484360k x kmx m +++-=,由0?=得2243m k =+. 设()()1122,,,M x y N x y ,则2121222

8436

,3434km m x x x x k k --+==++ …7分

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12MN x x =-== 又点O 到直线l

的距离d =

,∴1

2

OMN S MN d ?=

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??= 当切线l 的斜率不存在时,l

的方程为2,x MN =±=

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OMN S ?= 综上,当切线l 变化时,OMN ?

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面积为定值.

(21)解:(Ⅰ)由题意知,曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为2,所以'(1)2f =,

又'()ln 1,a

f x x x

=+

+所以1a =. ……………3分 设2

()()()(1)ln ,x x h x f x g x x x e

=-=+-

当(0,1]x ∈时,()0h x <.

又2244

(2)3ln 2ln 8110,h e e =-=->-=所以存在0(1,2)x ∈,使0()0h x =.

因为1(2)

'()ln 1,x

x x h x x x e

-=+++ 所以当(1,2)x ∈时,1

'()10h x e

>->,当(2,)x ∈+∞时,'()0h x >,

所以当(1,)x ∈+∞时,()h x 单调递增.

所以1k =时,方程()()f x g x =在(,1)k k +内存在唯一的根.……………8分

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,方程()()f x g x =在(1,2)内存在唯一的根0x ,且0(0,)x x ∈时,()()f x g x <,

0(,)x x ∈+∞时,()()f x g x >,所以02

0(1)ln ,(0,](),(,)x

x x x x m x x x x e +∈??

=?∈+∞??. 当0(0,)x x ∈时,若(0,1],()0;x m x ∈≤

若0(1,),x x ∈由1

'()ln 10,m x x x

=++>可知00()();m x m x <≤故0()().m x m x ≤

当0(,)x x ∈+∞时,由(2)

'(),x

x x m x e -=可得0(,2)x x ∈时,'()0,()m x m x >单调递增;(2,)x ∈+∞时,'()0,()m x m x <单调递减.

可知24

()(2),m x m e

≤=且0()(2)m x m <.

综上可得:函数()m x 的最大值为24

e

. (12)

(22)解析:

(Ⅰ)证明:连接OF .

因为DF 切⊙O 于F ,所以∠OFD=90°. 所以∠OFC+∠CFD=90°.

因为OC=OF ,所以∠OCF=∠OFC . 因为CO ⊥AB 于O ,所以∠OCF+∠CEO=90°. 所以∠CFD=∠CEO=∠DEF ,所以DF=DE . 因为DF 是⊙O 的切线,所以DF 2=DB?DA .

所以DE 2=DB?DA . ……………… 5分 (Ⅱ)解: DF 2=DB?DA ,DB=2,DF=4.

∴DA= 8, 从而AB=6, 则3=OC .

又由(1)可知,DE=DF=4, ∴BE=2,OE=1. 从而 在COE Rt ?中,1022=+=OE CO CE . ………………10分

(23)解析:(Ⅰ)由3)4

p

福建省漳州市2016届高三毕业班高考理科数学模拟(一)

r q =-得8cos 8sin r q q =-+, 所以2

8cos 8sin r r q r q =-+,

故曲线1C 的直角坐标方程为2

2

88x y x y +=-+,即2

2

(4)(4)32x y ++-=,

B A

C D

E O F

由8cos ,3sin x y q q ì=??í?=??

消去参数q 得2C 的普通方程为221649x y +=. (Ⅱ)设(8cos ,3sin )P q q ,直线l 的普通方程为270x y --=, 故点P 到直线l 的距离为

)7d q j =+-(其中43cos ,sin 55j j ==)

福建省漳州市2016届高三毕业班高考理科数学模拟(一)

, 因此min 0d =,故点P 到直线l 的距离的最小值0.

(24)解析:(Ⅰ) 当5a =-时,不等式()1f x <化为251x x --+<,

当5x ?

时,(2)(5)1x x --++<,无解;

当52x --,又52x -

当2x >时,(2)(5)1x x --+?,恒成立,又2x >,所以2x >. 因此,当5a =-时,解不等式()1f x <的解集为{|2}x x >-.

(Ⅱ) 1

()4

f x x ?

-

1

204

x x a x ?--+-

?. 当[1,2]x ?时,1(2)04x x a x ----+-?,即74

x a -?, 所以74x a

?或7

4

x a ?, 因为1

()4

f x x ?-的解集包含[1,2],

于是714a +?或724a -?,故34a ?或15

4

a 3.

所以,实数a 的取值范围为315

(,][,)44

-?+? .

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