2016年漳州市高三毕业班模拟卷（一）

数学(理科)

（满分150分，答题时间120分钟） 第Ⅰ卷（选择题 共60分）

注意事项：

1．本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．

2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．全部答案答在答题卡上，答在本试卷上无效．

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．

第Ⅰ卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的． （1）设集合{}

2340M

x x x =--<，{}50N x x =-≤≤，则M N =I

(A)

(]04, (B)[)04, (C)(]10,- (D)[)10,-

（2）若a b ∈,R ，则“1a b ==”是“复数()

2

i 2i a b +=”的

(A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 （3

）设向量(3=a

，b 为单位向量，且//a b ，则b ＝

(A)(

32，－12)或(－32，12) (B)(32，12

) (C)(－

32，－12) (D)(32，12)或(－32，－1

2

) （4）若变量,x y 满足约束条件1

211x y x y y +≥-??

-≤??≤?

,则3z x y =-的最小值为

(A)－7 (B)－1 (C)1 (D)2

（5）已知双曲线的一个焦点与抛物线2

20x y =的焦点重合,且其渐近线的方程为340x y ±=,则该双

曲线的标准方程为

(A)

221916x y -= (B)221169x y -= (C)22

1916

y x -= (D)

22

1169

y x -= （6）如图所示的程序框图，若输出的41S =，则判断框内应填入的条件是

(A)3?k > (B)4?k > (C)5?k > (D)

6?k >

（7

）已知曲线()sin (0)f x x x w w w =+>的两条相邻的对称轴 之间的距离为

2

p

，且曲线关于点0(,0)x 成中心对称，若0[0,]2

x p

?， 则0x =

(A)12p (B)6p (C)3

p (D)512p

（8）函数2|log |

()2x f x =

（9）某个长方体被一个平面所截，得到几何体的三视图如图所示，

则这个几何体的体积为

(A)4 (B)20

3

(D)8 （10）已知点()1,0M 及双曲线2

213

x y -=的右支上两动点,A B ， 当AMB ∠最大时，它的余弦值为

(A)

12 (B)12

-

(C)

13 (D) 1

3

-

（11）已知等差数列{}n a 的公差0≠d ，且1331

,

,a a a 成等比数列，若11=a ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，

则3

162++n n a S 的最小值为

A ．4

B ．3

C ．2-

D （12）已知函数2

y x =的图象在点(

)2

00

,x x 处的切线为l ，若l 也与函数ln y x =，)1,0(∈x 的图象相切，

则0x 必满足 (A)012x <<

0 (B)01

2x <<1 (C)

22

2

0<

本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)题～第(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)题～第(24)题为选考题，考生根据要求做答．

二、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分． 把答案填在答题卡的相应位置上．

（13）若9()a x x

-的展开式中3

x 的系数是84-，则a = ．

（14）已知数列{}n a 满足13n n a a +=，且9642=++a a a ，则．

（15）欧阳修《油翁》中写到：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而

钱不湿”．可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止．若铜钱是直径为4 cm 的圆，中间有边长为l cm 的正方形孔．若随机向铜钱上滴一滴油（设油滴整体落在铜钱上），则油滴（设油滴是直径为0．2 cm 的球）正好落入孔中（油滴整体落入孔中）的概率是 ．

(16) 已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的球面上．ABC ?是边长为2的正三角形．SC 为球O 的直径．且4SC =．则此棱锥的体积为 ． 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． (17) （本小题满分12分）

如图四边形ABCD 中，a,b,c 为△ABC 的内角A,B,C 的对边，且满足)cos 2()cos 1(B a A b -=+

（Ⅰ）证明：a c b 2=+ （Ⅱ）若2=

=c b ,22==DC DA ,求四边形

ABCD 的

面积．

(18) （本小题满分12分）

某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．

（Ⅰ）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n （单位：枝，n N ∈）的函数解析式．

，整理得下表：

21

（i ）若花店一天购进16枝玫瑰花，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列，数学期望及方

差；

（ii ）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．

(19) （本小题满分12分）

在如图所示的空间几何体中，平面ACD ⊥平面ABC ，2AB BC CA DA DC BE ======，BE 和平面ABC 所成的角为60°，且点E 在平面ABC 上的射影落在ABC ∠的平分线上． （Ⅰ）求证：//DE 平面ABC ；

（Ⅱ）求二面角E BC A --的余弦值． 、

(20)（本小题满分12分）

设椭圆C ：22

221x y a b

+=的离心率12e =，点P 在椭圆C 上，

点P 到椭

圆C 的两个焦点的距离之和是4．

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）若椭圆1C 的方程为()22

2210x y m n m n

+=>>，椭圆2C 的方程为

()22

22

0,1x y m n λλλ+=>≠且，则称椭圆2C 是椭圆1C 的λ倍相似椭圆．已知椭圆2C 是椭圆C 的3倍相似椭圆．若椭圆C 的任意一条切线l 交椭圆2C 于M,N 两点，O 为坐标原点，试研究当切线l 变化时OMN ?面积的变化情况，并给予证明．

(21) （本小题满分12分）

设函数x a x x f ln )()(+=，x e

x x g 2

)(=．已知曲线)(x f y = 在点(1,(1))f 处的切线与直线

02=-y x 平行．

（Ⅰ）若方程()()f x g x =在(,1)k k +（k N ∈）内存在唯一的根，求出k 的值.

（Ⅱ）设函数()min{(),()}m x f x g x =（{},min p q 表示，,p q 中的较小值），求()m x 的最大值． [来源

请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． （22）(本题满分10分)选修4-1：几何证明选讲

如图，AB 是⊙O 的直径，C 、F 是⊙O 上的两点，OC ⊥AB ，过点F 作⊙O 的切线FD 交AB 的延长线

于点D ．连接CF 交AB 于点E ． (Ⅰ)求证：DE 2

=DB?DA ； (Ⅱ)若DB=2，DF=4，试求CE 的长．

B A

C

D

E O

F

（23）(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线1C 的极坐

标方程为3)4p

r q =-，曲线2C 的参数方程为8cos ,(3sin x y q q q

ì=??í

?=??为参数）． (Ⅰ)将曲线1C 的极坐标方程化为直角坐标方程，将曲线2C 的参数方程化为普通方程； (Ⅱ)若P 为2C 上的动点，求点P 到直线:l 32,(2x t t y t

ì=+?

?í?=-+??为参数）的距离的最小值．

（24）(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲

已知()2f x x x a =---．

(Ⅰ)当5a =-时，解不等式()1f x <；

(Ⅱ)若1

()4

f x x ?-

的解集包含[1,2]，求实数a 的取值范围．

2016年漳州市高三毕业班模拟卷（一）数学(理科)

参考答案

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的． （1）答案：C 解析：由题意()14M =-,，[]50N =-,，则M N =I (]10,-．故选C ．

（2）答案：A 解析：由

()2

i 2i a b +=得220a b -=且1ab =，即1a b ==或1a b ==-,所以“1a b ==”是

“1a b ==或1a b ==-”的充分不必要条件．故选A ．

（3）答案：D 解析：由//a b 得λb =a ，又1=b ，则有b = (

32，12)或(－32，－1

2

)．故选D ． （4）答案：A

解析：不等式组1211x y x y y +≥-??

-≤??≤?

表示的平面区域如图，平移直线y ＝3x －z ，

过M (－

2，1)时，z min ＝3×(－2)－1＝－7．故选A ． （5）答案：C

解析：因为双曲线渐近线的方程为340x y ±=,所以该双曲线 可

设为

()22

0916

y x λλ-=≠，又由于该双曲线的一个焦点是()05,，该

双

2

116

x -=．故选C ． （6）答案：B

解析：根据题意，本程序框图中循环体为“直到型”循环结构．第1次循环：22k S ==,第2次循环：

37k S ==,；第3次循环：418k S ==,；第4次循环：441k S ==,，跳出循环，判断框内应填

入的条件是4?k >．故选B ． （7）答案：C 解析：

由()sin 2sin 3

f x x x x p w w w 骣÷

?=+

=+÷?÷?桫，又因为它的两条相邻的对称轴之间的距离为2p ，所以T p =，则()2s i n 23

f x x p 骣÷

?=

+÷?÷?桫．因为曲线关于点0(,0)x 成中心对称，则()023x k k Z p p +

=?，得026k x p p =-，又因为0[0,]2x p ?，所以03

x p

=．故选C ．

（

8）答案：D

解析：用排除法．由于当01,x <<时()f x x =，排除(B)、(C)两项；当1x 3时，()1

f x x

=，排除(A)．故选D ．

（9）答案：D

解析：由三视图可知，该几何体如图所示，其底面为正方形，正

方形的边长为2, 3,1HD BF ==，将相同的两个几何体放在一起，构成一个高为4的长方体，所以该几何体的体积为

1

2

×2×2×4＝8．故选D ．

双曲线相切

2

10k --= 2

k =

∵直线MA 与双曲线相切于点A ，由0D =，解得

理直线BM

AMB 最大

（11）答案：A

解析：依题意，得2

21,n n a n S n =-=，则221689

12311

n n S n n a n n ++==++-+++，再应用均值不等式，

得其最小值为4.故选A ．

（12）答案：D

解析：由函数2y x =，得其导函数2y x '=，则函数2

y x =的图象在点(

)2

00

,x x 处的切线方程为

20002()y x x x x -=-，即2002y x x x =-，

由函数ln y x =，得其导函数1

y x '=

，设切点坐标为11(,)x y ，则切线方程为111

1ln ()y x x x x -=-，即11

1

ln 1y x x x =

+-， 则01

2

10121ln x x x x ?=???-=?

即

2

001ln 2x x +=，x 0∈(1，+∞)， 令g (x )＝x 2

－ln2x －1，x ∈(1，+∞)，则2121

()20x g x x x x

-'=-=

>， ∴g (x )在(1，+∞)上单调递增，

又g (2)＝1－ln22＜0，g (3)＝2－ln23＞0，即g (2)·g (3)＜0，所以2＜x 0＜3，故选D ． 二、填空题：本大题共4题，每小题5分，共20分． 把答案填在答题卡的相应位置上．

（13）答案：1．

解析：9()a

x x

-的通项为()9219r r r r T C a x -+=-?，令923r -=，得3r =，则()3

3

984C a -=- 解得1a =．

（14）答案：5-．

解析：因为a

=3a ，所以数列{a n }是以3为公比的等比数列，而a 5+a 7+a 9= q 3（a 2+a 4+a 6）=9×33=35

，所

（15）答案：

64

361π

． 解析：∵铜钱的面积()2

20.1 3.61S ππ=-=，能够滴入油的图形为边

长为

120.10.8-?=的正方形，面积为0.64，∴0.6464

3.61361P ππ

=

=． （16）答案：

3

． 解析：连接,

OA OB ，易得棱锥O ABC -是边长为2的正四面体，点O 在平面ABC 上的射影是正ABC

?的中心1O ，

在1Rt OO C ?中，12

23O C =

=

， 2OC =

，

1OO ∴==

所以三棱锥的高12h OO ==，

所以2112333

ABC V S h ?=??==

． 三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

（17）解：（Ⅰ）由题意知：)cos 2(sin )cos 1(sin B A A B -=+

∴B A A A B B cos sin sin 2cos sin sin -=+ ∴A B A A B B sin 2)cos sin cos (sin sin =++ ∴A B A B sin 2)sin(sin =++ ∴A C B sin 2sin sin =+ ∴a c b 2=+ (Ⅱ) ∵2==c b 且a c b 2=+，∴△ABC 为等边三角形，

∴2

3

432==?c S ABC

在△ACD 中，43

2cos 22

2=?

-+=DC AD AC AD DC D ，∴4

7sin =D

∴4

7

sin 21=

??=

?D DC DA S ACD ∴四边形ABCD 的面积为4

3

27+=+??ACD ABC S S

（18）解：（Ⅰ）当16n ≥时，16(105)80y =?-=， 当15n ≤时，55(16)1080y n n n =--=-，

得：1080(15),()80(16)n n y n n -≤?=∈?≥?

N ．

（Ⅱ）（i ）X 可取60，70，80．

(60)0.1,(70)0.2,(80)0.7P X P X P X ======

， 2

2

2

160.160.240.744DX =?+?+?=．

（ii ）购进17枝时，当天的利润为

(14535)0.1(15525)0.2(16515)0.161750.5476.4y =?-??+?-??+?-??+??= 因为76.476> 得，应购进17枝．

（19）解：(Ⅰ)由题意知，,ABC ACD V V 都是边长为2的等边三角形，取AC 中点O ，连接,BO DO ，

则,BO AC DO AC ⊥⊥，

又∵平面ACD ⊥平面ABC ，平面ACD ?平面ABC AC = ,DO ACD ?平面， ∴DO ⊥平面ABC ，

作EF ⊥平面ABC ，那么//EF DO ，根据题意，点F 落在BO 上，

∴0

60EBF ∠=，得EF DO ==∴四边形DEFO 是平行四边形，OF DE //∴ ，

∵DE ?平面ABC ∵OF ?平面ABC ∴ DE 平面ABC ． (Ⅱ)解法一：作,BC FG ⊥，垂足为G ，连接EG ，

BC EG EFG BC F FG EF BC EF ABC EF ⊥∴⊥=?⊥∴⊥,,,,平面平面 的平面角就是二面角A BC E EGF --∠∴．

1

,sin 30,2Rt EFG FG FB EF EG ?=?===o 中，

13

13

cos ==∠∴EG FG EFG ，

即二面角A BC FE --的余弦值为13

13

．

解法二：由(I)知DO ⊥平面ABC ．以O 为原点，以向量OA ，OB ，OD

的正方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系xyz o -，

则(1,0,0),1B C E -

可知平面ABC 的一个法向量为1(0,0,1)n =，

设平面BCE 的一个法向量为2(,,)n x y z =u u r

，

则2200

n BE n BC ??=???=??u u r uur u u r uu u r

，可求得2(n =-u u r ， 所以121212

cos ,n n n n n n ?==

?u r u u r

u r u u r u r u u r 1313

又由图知，所求二面角的平面角是锐角， 所以二面角A BC FE --的余弦值为13

13

．

（20）解：（Ⅰ）依题意，2221

24,2,,1,32

a a e c

b a

c ===

∴==-= ， ∴椭圆C 方程为：22

143

x y +=． （Ⅱ）依题意，椭圆C 2方程为：2222

3,143129

x y x y +=+=即． 当切线l 的斜率存在时，设l 的方程为：y kx m =+．

由22

1129y kx m

x y =+???+

=??

得()2223484360k x kmx m +++-=，由0?=得2243m k =+． 设()()1122,,,M x y N x y ，则2121222

8436

,3434km m x x x x k k --+==++ …7分

12MN x x =-== 又点O 到直线l

的距离d =

，∴1

2

OMN S MN d ?=

??= 当切线l 的斜率不存在时，l

的方程为2,x MN =±=

OMN S ?= 综上，当切线l 变化时，OMN ?

面积为定值．

（21）解：（Ⅰ）由题意知，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线斜率为2，所以'(1)2f =，

又'()ln 1,a

f x x x

=+

+所以1a =． ……………3分 设2

()()()(1)ln ,x x h x f x g x x x e

=-=+-

当(0,1]x ∈时，()0h x <．

又2244

(2)3ln 2ln 8110,h e e =-=->-=所以存在0(1,2)x ∈，使0()0h x =．

因为1(2)

'()ln 1,x

x x h x x x e

-=+++ 所以当(1,2)x ∈时，1

'()10h x e

>->，当(2,)x ∈+∞时，'()0h x >，

所以当(1,)x ∈+∞时，()h x 单调递增．

所以1k =时，方程()()f x g x =在(,1)k k +内存在唯一的根．……………8分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，方程()()f x g x =在(1,2)内存在唯一的根0x ，且0(0,)x x ∈时，()()f x g x <，

0(,)x x ∈+∞时，()()f x g x >，所以02

0(1)ln ,(0,](),(,)x

x x x x m x x x x e +∈??

=?∈+∞??． 当0(0,)x x ∈时，若(0,1],()0;x m x ∈≤

若0(1,),x x ∈由1

'()ln 10,m x x x

=++>可知00()();m x m x <≤故0()().m x m x ≤

当0(,)x x ∈+∞时，由(2)

'(),x

x x m x e -=可得0(,2)x x ∈时，'()0,()m x m x >单调递增；(2,)x ∈+∞时，'()0,()m x m x <单调递减．

可知24

()(2),m x m e

≤=且0()(2)m x m <．

综上可得：函数()m x 的最大值为24

e

． (12)

分

（22）解析：

（Ⅰ）证明：连接OF ．

因为DF 切⊙O 于F ，所以∠OFD=90°． 所以∠OFC+∠CFD=90°．

因为OC=OF ，所以∠OCF=∠OFC ． 因为CO ⊥AB 于O ，所以∠OCF+∠CEO=90°． 所以∠CFD=∠CEO=∠DEF ，所以DF=DE ． 因为DF 是⊙O 的切线，所以DF 2=DB?DA ．

所以DE 2=DB?DA ． ……………… 5分 （Ⅱ）解： DF 2=DB?DA ，DB=2，DF=4．

∴DA= 8， 从而AB=6， 则3=OC ．

又由（1）可知，DE=DF=4， ∴BE=2，OE=1． 从而 在COE Rt ?中，1022=+=OE CO CE ． ………………10分

（23）解析：(Ⅰ)由3)4

p

r q =-得8cos 8sin r q q =-+， 所以2

8cos 8sin r r q r q =-+，

故曲线1C 的直角坐标方程为2

2

88x y x y +=-+，即2

2

(4)(4)32x y ++-=，

B A

C D

E O F

由8cos ,3sin x y q q ì=??í?=??

消去参数q 得2C 的普通方程为221649x y +=. (Ⅱ)设(8cos ,3sin )P q q ，直线l 的普通方程为270x y --=， 故点P 到直线l 的距离为

)7d q j =+-（其中43cos ,sin 55j j ==）

， 因此min 0d =，故点P 到直线l 的距离的最小值0．

（24）解析：(Ⅰ) 当5a =-时，不等式()1f x <化为251x x --+<，

当5x ?

时，(2)(5)1x x --++<，无解；

当52x --，又52x -

当2x >时，(2)(5)1x x --+?，恒成立，又2x >，所以2x >． 因此，当5a =-时，解不等式()1f x <的解集为{|2}x x >-．

(Ⅱ) 1

()4

f x x ?

-

1

204

x x a x ?--+-

?． 当[1,2]x ?时，1(2)04x x a x ----+-?，即74

x a -?， 所以74x a

?或7

4

x a ?， 因为1

()4

f x x ?-的解集包含[1,2]，

于是714a +?或724a -?，故34a ?或15

4

a 3．

所以，实数a 的取值范围为315

(,][,)44

-?+? ．