第二节 圆与方程及直线与圆的位置关系
考点一 圆的方程
1.(2013·重庆,7)已知圆C 1:(x -2)2+(y -3)2=1,圆C 2:(x -3)2+(y -4)2=9,M 、N 分别是圆C 1、C 2上的动点,P 为x 轴上的动点,则|PM |+|PN |的最小值为( )
A .52-4
B.17-1 C .6-2 2 D.17
解析 依题意,设⊙C 1关于x 轴的对称圆为⊙C ′,
圆心C ′为(2,-3), 半径为1,
⊙C 2的圆心为(3,4),半径为3,
则(|PC ′|+|PC 2|)min =|C ′C 2|=52,
∴(|PM |+|PN |)min =(|PC ′|+|PC 2|)min -(1+3)=52-4,选A.
答案 A
2.(2015·新课标全国Ⅰ,14)一个圆经过椭圆x 216+y 24=1的三个顶点,且圆心在x 轴的正半轴上,则该圆的标准方程为________.
解析 由题意知圆过(4,0),(0,2),(0,-2)三点,(4,0),(0,-2)两点的垂直平分线方程为y +1=-2(x -2),
令y =0,解得x =32,圆心为? ????32,0,半径为52.故圆的标准方程为? ??
??x -322+y 2=254.
答案 ? ??
??x -322+y 2=254 3.(2015·江苏,10)在平面直角坐标系xOy 中,以点(1,0)为圆心且与直线mx -y -2m -1=0(m ∈R )相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为________. 解析 直线mx -y -2m -1=0恒过定点(2,-1),由题意,得半径最大的圆的半径r =(1-2)2+(0+1)2= 2.
故所求圆的标准方程为(x -1)2+y 2=2.
答案 (x -1)2+y 2=2
4.(2014·陕西,12)若圆C 的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y =x 对称,则圆C 的标准方程为____________.
解析 因为点(1,0)关于直线y =x 对称点的坐标为(0,1),即圆心C 为(0,1),又半径为1,∴圆C 的标准方程为x 2+(y -1)2=1.
答案 x 2+(y -1)2=1
5.(2011·福建,17)已知直线l :y =x +m ,m ∈R .
(1)若以点M (2,0)为圆心的圆与直线l 相切于点P ,且点P 在y 轴上,求该圆的方程;
(2)若直线l 关于x 轴对称的直线为l ′,问直线l ′与抛物线C :x 2=4y 是否相切?说明理由.
解 法一 (1)依题意,点P 的坐标为(0,m ).
因为MP ⊥l ,所以0-m 2-0
×1=-1, 解得m =2,即点P 的坐标为(0,2).
从而圆的半径r =|MP |=
(2-0)2+(0-2)2=22,
故所求圆的方程为(x -2)2+y 2=8.
(2)因为直线l 的方程为y =x +m ,
所以直线l ′的方程为y =-x -m .
由???y =-x -m ,x 2=4y
得x 2+4x +4m =0. Δ=42-4×4m =16(1-m ).
①当m =1,即Δ=0时,直线l ′与抛物线C 相切;
②当m ≠1时,即Δ≠0时,直线l ′与抛物线C 不相切.
综上,当m =1时, 直线l ′与抛物线C 相切;
当m ≠1时,直线l ′与抛物线C 不相切.
法二 (1)设所求圆的半径为r ,则圆的方程可设为(x -2)2+y 2=r 2.
依题意,所求圆与直线l :
x -y +m =0相切于点P (0,m ),
则???4+m 2=r 2,
|2-0+m |2
=r ,解得???m =2,r =2 2. 所以所求圆的方程为(x -2)2+y 2=8.
(2)同法一.
考点二 直线与圆、圆与圆的位置关系
1.(2015·广东,5)平行于直线2x +y +1=0且与圆x 2+y 2=5相切的直线的方程是( )
A .2x -y +5=0或2x -y -5=0
B .2x +y +5=0或2x +y -5=0
C .2x -y +5=0或2x -y -5=0
D .2x +y +5=0或2x +y -5=0
解析 设所求切线方程为2x +y +c =0,依题有|0+0+c |22+12
=5,解得c =±5,所以所求切线的直线方程为2x +y +5=0或2x +y -5=0,故选D.
答案 D
2.(2015·新课标全国Ⅱ,7)过三点A (1,3),B (4,2),C (1,-7)的圆交y 轴于M 、N 两点,则|MN |=( )
A .2 6
B .8
C .4 6
D .10 解析 由已知,得AB
→=(3,-1),BC →=(-3,-9),则AB →·BC →=3×(-3)+ (-1)×(-9)=0,所以AB
→⊥BC →,即AB ⊥BC ,故过三点A 、B 、C 的圆以AC 为直径,得其方程为(x -1)2+(y +2)2=25,令x =0得(y +2)2=24,解得y 1=
-2-26,y 2=-2+26,所以|MN |=|y 1-y 2|=46,选C.
答案 C
3.(2015·重庆,8)已知直线l :x +ay -1=0(a ∈R )是圆C :x 2+y 2-4x -2y +1=0的对称轴,过点A (-4,a )作圆C 的一条切线,切点为B ,则|AB |=( )
A .2
B .4 2
C .6
D .210
解析 圆C 的标准方程为(x -2)2+(y -1)2=4,圆心为C (2,1),半径为r =2,因此2+a ×1-1=0,a =-1,即A (-4,-1),|AB |=|AC |2-r 2= (-4-2)2+(-1-1)2-4=6,选C.
答案 C
4.(2015·山东,9)一条光线从点(-2,-3)射出,经y 轴反射后与圆(x +3)2+(y -2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为( )
A .-53或-35
B .-32或-23
C .-54或-45
D .-43或-34
解析 圆(x +3)2+(y -2)2=1的圆心为(-3,2),半径r =1.(-2,-3)关于y 轴的对称点为(2,-3).如图所示,反射光线一定过点(2,-3)且斜率k 存在,∴反射光线所在直线方程为y +3=k (x -2),即kx -y -2k -3=0.
∵反射光线与已知圆相切, ∴|-3k -2-2k -3|k 2+(-1)2
=1,整理得12k 2+25k +12=0,解得k =-34或k =-43. 答案 D
5.(2014·江西,9)在平面直角坐标系中,A ,B 分别是x 轴和y 轴上的动点,若以AB 为直径的圆C 与直线2x +y -4=0相切,则圆C 面积的最小值为( ) A.45π B.34π
C .(6-25)π D.54π
解析 由题意可知以线段AB 为直径的圆C 过原点O ,要使圆C 的面积最小,只需圆C 的半径或直径最小.又圆C 与直线2x +y -4=0相切,所以由平面几何知识,知圆的直径的最小值为点O 到直线2x +y -4=0的距离,此时2r =45
,得r =25,圆C 的面积的最小值为S =πr 2=45π. 答案 A
6.(2013·江西,9)过点(2,0)引直线l 与曲线y =1-x 2相交于A ,B 两点,O 为坐标原点,当△AOB 的面积取最大值时,直线l 的斜率等于( ) A.33 B .-33 C .±33 D .- 3
解析 曲线y =1-x 2的图象如图所示,若直线l 与曲线相
交于A ,B 两点,则直线l 的斜率k <0,设l :y =k (x -2),
则点O 到l 的距离d =
-2k k 2+1
. 又S △AOB =12|AB |·d
=12×21-d 2·d
=(1-d 2)·d 2≤1-d 2+d 22=12, 当且仅当1-d 2=d 2,
即d 2=12时,S △AOB 取得最大值. 所以2k 2k 2+1=12, ∴k 2=13,∴k =-33,故选B.
答案 B
7.(2012·天津,8)设m ,n ∈R ,若直线(m +1)x +(n +1)y -2=0与圆(x -1)2+(y -1)2=1相切,则m +n 的取值范围是( )
A .[1-3,1+3]
B .(-∞,1-3]∪[1+3,+∞)
C .[2-22,2+22]
D .(-∞,2-22]∪[2+22,+∞)
解析 ∵直线(m +1)x +(n +1)y -2=0与圆(x -1)2+(y -1)2=1相切, ∴圆心(1,1)到直线的距离为
d =|(m +1)+(n +1)-2|(m +1)2+(n +1)2
=1, 所以mn =m +n +1≤? ??
??m +n 22. 设t =m +n ,则14t 2≥t +1,解得t ∈(-∞,2-22]∪[2+22,+∞).
答案 D
8.(2014·湖北,12)直线l 1:y =x +a 和l 2:y =x +b 将单位圆C :x 2+y 2=1分成长度相等的四段弧,则a 2+b 2=____________.
解析 由题意得,直线l 1截圆所得的劣弧长为π2,则圆心到直线l 1的距离为22,
即|a |2
=22?a 2=1,同理可得b 2=1,则a 2+b 2=2. 答案 2
9.(2014·重庆,13)已知直线ax +y -2=0与圆心为C 的圆(x -1)2+(y -a )2=4相交于A ,B 两点,且△ABC 为等边三角形,则实数a =________. 解析 依题意,圆C 的半径是2,圆心C (1,a )到直线ax +y -2=0的距离等于32×2=3,于是有|1·a +a -2|a 2+1
=3,即a 2-8a +1=0,解得a =4±15. 答案 4±15
10.(2014·江苏,9)在平面直角坐标系xOy 中,直线x +2y -3=0被圆(x -2)2+(y +1)2=4截得的弦长为________. 解析 因为圆心(2,-1)到直线x +2y -3=0的距离d =
|2-2-3|5=35
,所以直线x +2y -3=0被圆截得的弦长为24-95=2555.
答案 2555
11.(2014·新课标全国Ⅱ,16)设点M (x 0,1),若在圆O :x 2+y 2=1上存在点N ,使得∠OMN =45°,则x 0的取值范围是________.
解析 由题意可知M 在直线y =1上运动,设直线y =1与
圆x 2+y 2=1相切于点P (0,1).当x 0=0即点M 与点P 重
合时,显然圆上存在点N (±1,0)符合要求;当x 0≠0时,过
M 作圆的切线,切点之一为点P ,此时对于圆上任意一点N ,
都有∠OMN ≤∠OMP ,故要存在∠OMN =45°,只需∠OMP ≥45°.特别地,当∠OMP =45°时,有x 0=±1.结合图形可知,符合条件的x 0的取值范围为
[-1,1].
答案 [-1,1]
12.(2015·广东,20)已知过原点的动直线l 与圆C 1:x 2+y 2-6x +5=0相交于不同的两点A ,B .
(1)求圆C 1的圆心坐标;
(2)求线段AB 的中点M 的轨迹C 的方程;
(3)是否存在实数k ,使得直线L :y =k (x -4)与曲线C 只有一个交点?若存在,求出k 的取值范围;若不存在,说明理由.
解 (1)圆C 1的标准方程为(x -3)2+y 2=4.
∴圆C 1的圆心坐标为(3,0).
(2)设动直线l 的方程为y =kx .
联立???(x -3)2+y 2=4,y =kx
?(k 2+1)x 2-6x +5=0, 则Δ=36-4(k 2+1)×5>0?k 2<45.
设A ,B 两点坐标为(x 1,y 1),(x 2,y 2),则x 1+x 2=
6k 2
+1. ?AB 中点M 的轨迹C 的参数方程为
?????x =3k 2+1,y =3k k 2+1,? ????-255 (3)联立???x 2-3x +y 2=0,y =k (x -4) ?(1+k 2)x 2-(3+8k )x +16k 2=0. 令Δ=(3+8k )2-4(1+k 2)16k 2=0?k =±34. 又∵轨迹C (即圆弧)的端点? ????53 ,±253与点(4,0)决定的直线斜率为±257. ∴当直线y =k (x -4)与曲线C 只有一个交点时, k 的取值范围为 ? ????-257,257∪??????-34,34. 13.(2013·江苏,17)如图,在平面直角坐标系xOy 中,点A (0,3), 直线l :y =2x -4.设圆C 的半径为1,圆心在l 上. (1)若圆心C 也在直线y =x -1上,过点A 作圆C 的切线,求切 线的方程; (2)若圆C 上存在点M ,使MA =2MO ,求圆心C 的横坐标a 的 取值范围. 解 (1)由题设,圆心C 是直线y =2x -4和y =x -1的交点,解得点C (3,2),于是切线的斜率必存在. 设过A (0,3)的圆C 的切线方程为y =kx +3, 由题意,|3k +1|k 2+1 =1,解得k =0或-34, 故所求切线方程为y =3或3x +4y -12=0. (2)因为圆心在直线y =2x -4上,所以圆C 的方程为 (x -a )2+[y -2(a -2)]2=1. 设点M (x ,y ),因为MA =2MO , 所以x 2+(y -3)2=2x 2+y 2, 化简得x 2+y 2+2y -3=0,即x 2+(y +1)2=4, 所以点M 在以D (0,-1)为圆心,2为半径的圆上.由题意,点M (x ,y )在圆C 上,所以圆C 与圆D 有公共点,则|2-1|≤CD ≤2+1, 即1≤a 2+(2a -3)2≤3. 由5a 2-12a +8≥0,得a ∈R ; 由5a 2-12a ≤0,得0≤a ≤125. 所以点C 的横坐标a 的取值范围为[0,125]. 高考数学平面向量试题汇编 已知O 是ABC △所在平面内一点,D 为BC 边中点,且2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ,那么 ( A ) A.AO OD =u u u r u u u r B.2AO OD =u u u r u u u r C.3AO OD =u u u r u u u r D.2AO OD =u u u r u u u r (辽宁3) 若向量a 与b 不共线,0≠g a b ,且?? ??? g g a a c =a -b a b ,则向量a 与c 的夹角为( D ) A .0 B . π6 C . π3 D . π2 (辽宁6) 若函数()y f x =的图象按向量a 平移后,得到函数(1)2y f x =+-的图象,则向量a =( A ) A .(12)--, B .(12)-, C .(12)-, D .(12), (宁夏,海南4) 已知平面向量(11) (11)==-,,,a b ,则向量13 22 -=a b ( D ) A.(21)--, B.(21)-, C.(10)-, D.(12), (福建4) 对于向量,,a b c 和实数λ,下列命题中真命题是( B ) A .若=0g a b ,则0a =或0b = B .若λ0a =,则0λ=或=0a C .若2 2 =a b ,则=a b 或-a =b D .若g g a b =a c ,则b =c (湖北2) 将π2cos 36x y ??=+ ???的图象按向量π24?? =-- ??? ,a 平移,则平移后所得图象的解析式为 ( A ) A.π2cos 234x y ?? =+- ??? B.π2cos 234x y ?? =-+ ??? C.π2cos 2312x y ?? =-- ??? D.π2cos 2312x y ?? =++ ??? (湖北文9) 设(43)=,a , a 在 b 上的投影为2 ,b 在x 轴上的投影为2,且||14≤b ,则b 为( B ) A .(214), B .227? ?- ???, C .227??- ??? , D .(28), (湖南4) 设,a b 是非零向量,若函数()()()f x x x =+-g a b a b 的图象是一条直线,则必有( A ) A .⊥a b B .∥a b C .||||=a b D .||||≠a b (湖南文2) 若O E F ,,是不共线的任意三点,则以下各式中成立的是( B ) A .EF OF OE =+u u u r u u u r u u u r B .EF OF OE =-u u u r u u u r u u u r C .EF OF OE =-+u u u r u u u r u u u r D .EF OF O E =--u u u r u u u r u u u r (四川7) 设A {a ,1},B {2,b },C {4,5},为坐标平面上三点,O 为坐标原点,若方向 在与→ →→OC OB OA 上的投影相同,则a 与b 满足的关系式为 ( A ) (A)354=-b a (B)345=-b a (C)1454=+b a (D)1445=+b a (天津10) 设两个向量22 (2cos )λλα=+-,a 和sin 2 m m α? ?=+ ?? ? ,b ,其中m λα,,为实数.若2=a b ,则 m λ 的取值范围是( A ) A.[-6,1] B.[48], C.(-6,1] D.[-1,6] (浙江7) 平面解析几何 高考复习知识点 一、直线的倾斜角、斜率 1、直线的倾斜角: (1)定义:在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线l ,如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α,那么α就叫做直线的倾斜角。当直线l 与x 轴重合或平行时,规定倾斜角为0; (2)倾斜角的范围[)π,0。 2、直线的斜率 (1)定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ,即k =α(α≠90°);倾斜角为90°的直线没有斜率; (2)斜率公式:经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212 12 1x x x x y y k ≠--=; (3)直线的方向向量(1,)a k =,直线的方向向量与直线的斜率有何关系? (4)应用:证明三点共线: AB BC k k =。 例题: 例1.已知直线的倾斜角的变化范围为,求该直线斜率的变化范围; 思路点拨:已知角的范围,通过正切函数的图像,可以求得斜率的范围,反之,已知斜率的 范围,通过正切函数的图像,可以求得角的范围? 解析: ∵, ∴ .? 总结升华: 在知道斜率的取值范围求倾斜角的取值范围,或知道倾斜角的取值范围求斜率的取值范 围时,可利用在和上是增函数分别求解.当时,; 当时,;当时,;当不存在时,.反之,亦成立. 类型二:斜率定义 例2.已知△为正三角形,顶点A 在x轴上,A 在边的右侧,∠的平分线在x 轴上,求边与所在直线的斜率. 思路点拨: 本题关键点是求出边与所在直线的倾斜角,利用斜率的定义求出斜率. 解析:? 如右图,由题意知∠∠30°? ∴直线的倾斜角为180°-30°=15 0°,直线的倾斜角为30°,? ∴150°= 30°=? 总结升华: 在做题的过程中,要清楚倾斜角的定义中含有的三个条件①直线向上方向②轴正向③小 第8章 第1节 一、选择题 1.(2010·崇文区)“m =-2”是“直线(m +1)x +y -2=0与直线mx +(2m +2)y +1=0相互垂直”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] m =-2时,两直线-x +y -2=0、-2x -2y +1=0相互垂直;两直线相互垂直时,m(m +1)+2m +2=0,∴m =-1或-2,故选A. 2.(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x -2y -2=0平行的直线方程是( ) A .x -2y -1=0 B .x -2y +1=0 C .2x +y -2=0 D .x +2y -1=0 [答案] A [解析] 解法1:所求直线斜率为12,过点(1,0),由点斜式得,y =12(x -1),即x -2y -1=0. 解法2:设所求直线方程为x -2y +b =0, ∵过点(1,0),∴b =-1,故选A. (理)设曲线y =ax2在点(1,a)处的切线与直线2x -y -6=0平行,则a =( ) A .1 B.12 C .-12 D .-1 [答案] A [解析] y′=2ax ,在(1,a)处切线的斜率为k =2a , 因为与直线2x -y -6=0平行,所以2a =2,解得a =1. 3.点(-1,1)关于直线x -y -1=0的对称点是( ) A .(-1,1) B .(1,-1) C .(-2,2) D .(2,-2) [答案] D [解析] 一般解法:设对称点为(x ,y),则高考数学平面向量试题汇编
平面解析几何-高考复习知识点
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