a 〉1时图象
-—-— 图象
（1）当底数大小不定时，必须分“1a >"和“01a <<”两种情形讨论。
（2)指数函数x
y a =与1x
y a ??
= ???
的图象关于y 轴对称。
要点三、指数函数底数变化与图像分布规律
① x y a = ②x y b = ③x y c = ④x y d = 则:0＜b ＜a ＜1＜d ＜c
观察可知，底数越接近1,图象曲线越平缓，底数越远离1，图象曲线越陡，
而且指数函数都过点（0,1）
又即：x ∈（0,+∞)时，x x x x b a d c <<< （底大幂大) x ∈(－∞,0）时,x x x x b a d c >>>（底小幂小）
要点四、指数式大小比较方法
(1）单调性法:化为同底数指数式,利用指数函数的单调性进行比较。 （2）中间量法： (3）分类讨论法 （4）比较法
比较法有作差比较与作商比较两种,其原理分别为：
①若0A B A B ->?>；0A B A B -，或1A
B
<即可． 对数及对数运算
【要点梳理】
要点一、对数概念
1.对数的概念
如果()01b a N a a =>≠，且，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作:log a N=b 。其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数。
要点诠释：
对数式log a N=b 中各字母的取值范围是:a 〉0 且a ≠1， N>0， b ∈R 。 2.对数()log 0a N a >≠，且a 1具有下列性质：
(1)0和负数没有对数，即0N >； （2）1的对数为0，即log 10a =； （3)底的对数等于1，即log 1a a =.
3．两种特殊的对数
通常将以10为底的对数叫做常用对数，N N lg log 10简记作。
以e （e 是一个无理数， 2.7182e =???)为底的对数叫做自然对数, log ln e N N 简记作.
要点二、对数的运算法则
已知()log log 010a a M N a a M N >≠>，且，、 （1) 正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和；
()log log log a a a MN M N =+
(2) 两个正数的商的对数等于被乘数的对数减去除数的对数；
log log log a
a a M
M N N
=- （3) 正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数；
log log a a M M αα=
要点诠释：
(1）利用对数的运算法则时,要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立.如:log 2(—3）（—5)=log 2（-3）+log 2（-5)是不成立的，因为虽然log 2（—3）(—5）是存在的，但log 2（—3）与log 2(—5)是不存在的。
（2)不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来,即下面的等式是错误的： 错误1：log a （M ±N ）=log a M ±log a N ， 错误2： (M·N）=log a M·log a N ，
要点三、对数公式
1．对数恒等式：
log log a b N
a a N a N N
b ?=?=?=?
2．换底公式
同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a 〉0， a ≠1， M 〉0的前提下有:
（1） )(log
log R n M M n a
a n
∈=
令 log a M=b ， 则有a b
=M ， (a b
）n
=M n
，即n
b n M a =)(， 则n a
M b n
log =
所以得出结论：n a
a M M n
log log =.
（2） )1,0(log log log ≠>=
c c a
M
M c c a ，令log a M=b, 则有a b =M ， 则有 )1,0(log log ≠>=c c M a c b c
即M a b c c log log =?， 即a M b c c log log =
，即)1,0(log log log ≠>=
c c a
M
M c c a 当然,细心一些的同学会发现（1)可由（2）推出，但在解决某些问题(1)又有它的灵活性.而且由(2）还可
以得到一个重要的结论：
)1,0,1,0(log 1
log ≠>≠>=
b b a a a
b b a .
对数函数及其性质
【要点梳理】
要点一、对数函数的概念
1．函数y=log a x(a 〉0，a ≠1）叫做对数函数。其中x 是自变量，函数的定义域是()0,+∞,值域为R ． 2．判断一个函数是对数函数是形如log (0,1)a y x a a =>≠且的形式，即必须满足以下条件：
(1）系数为1；
（2)底数为大于0且不等于1的常数； （3）对数的真数仅有自变量x ． 要点诠释： （1）只有形如y=log a x （a>0，a ≠1）的函数才叫做对数函数，像log (1),2log ,log 3a a a y x y x y x =+==+等函数，它们是由对数函数变化得到的,都不是对数函数。
(2）求对数函数的定义域时应注意：①对数函数的真数要求大于零,底数大于零且不等于1；②对含有字母的式子要注意分类讨论. 要点二、对数函数的图象
0＜a ＜1 a ＞1 图象
（1）关于对数式log a N 的符号问题，既受a 的制约又受N 的制约，两种因素交织在一起，应用时经常出错.下面介绍一种简单记忆方法，供同学们学习时参考.
（2）以1为分界点，当a ，N 同侧时,log a N 〉0；当a ，N 异侧时，log a N 〈0。 (3）由于底数的取值范围制约着对数函数图象的升降（即函数的单调性），因此在解与对数函数单调性有关的问题时,必须考虑底数是大于1还是小于1,不要忽略．
2．底数变化与图象变化的规律
在同一坐标系内，a 越接近1，图象越陡，a 越远离1，图象越平缓.这刚好和指数函数的规律相反 所以可以总结出一句话，指数近一缓，对数近一陡。
要点四、反函数
1．反函数的定义
一般地，设函数y=f(x ）(x ∈A)的值域是B ，根据这个函数中x 、 y 的关系，用y 把x 表示出,得到x= g(y ）.若对于y 在B 中的任何一个值，通过x= g （y ） (这时候x= g （y ）里面的y 是自变量，x 是因变量）,x 在A 中都有唯一的值和它对应，那么这个函数x= g （y)（x ∈B ）叫做函数y=f(x ）(x ∈A ）的反函数，记作y=f -1 （x ） 。反函数y=f —1 （x ）的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域
由定义可以看出,函数y=f(x)的定义域A 正好是它的反函数y=f -1 （x ）的值域;函数y=f(x ）的值域B 正好是它的反函数y=f —1 （x)的定义域．
由定义可知：对数就是指数变换而来的，因此对数函数是和它底数相同的指数函数的反函数。变化关系如
右图： 要点诠释:
不是每个函数都有反函数，有些函数没有反函数，如y=x 2
．一般说来，单调函数有反函数． 2．反函数的性质
（1）互为反函数的两个函数的图象关于直线y x =对称．
（2）若函数()y f x =图象上有一点(),a b ，则(),b a 必在其反函数图象上，反之，若(),b a 在反函数图象上，则(),a b 必在原函数图象上．
幂函数及图象变换
【要点梳理】
要点一、幂函数概念
形如()y x R α
α=∈的函数，叫做幂函数，其中x 是自变量， α为常数. 要点诠释：
幂函数必须是形如()y x R α
α=∈的函数,幂函数底数为单一的自变量x ，系数为1，指数为常数.例如：
()2
423,1,2y x y x y x ==+=-等都不是幂函数。
要点二、幂函数的图象及性质
各种幂函数的图象：
（1)x y =; (2）2
1x y =; (3)2
x y =； (4）1-=x y ; （5）3x y =．
要点诠释：
幂函数随着α的取值不同,它们的定义域、性质和图象也不尽相同，但它们有一些共同的性质： （1)所有的幂函数在（0，+∞)都有定义，并且图象都过点（1,1)；
(2)0>α时，幂函数的图象通过原点，并且在区间),0[+∞上是增函数．特别地,当1>α时,幂函数的图象下凸;当10<<α时,幂函数的图象上凸；
(3）0<α时，幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数．在第一象限内，当x 从右边趋向原点时,图象在y 轴右方无限地逼近y 轴正半轴,当x 趋于∞+时,图象在x 轴上方无限地逼近x 轴正半轴． 2。作幂函数图象的步骤如下：
（1)先作出第一象限内的图象；
(2）若幂函数的定义域为(0，+∞)或［0，+∞），作图已完成； 若在(-∞，0）或(—∞，0］上也有意义，则应先判断函数的奇偶性 如果为偶函数，则根据y 轴对称作出第二象限的图象; 如果为奇函数，则根据原点对称作出第三象限的图象。 3。幂函数解析式的确定
（1)借助幂函数的定义，设幂函数或确定函数中相应量的值． （2）结合幂函数的性质，分析幂函数中指数的特征． （3)如函数()a
f x k x =?是幂函数，求()f x 的表达式，就应由定义知必有1k =，即()a
f x x =． 4。幂函数值大小的比较
（1)比较函数值的大小问题一般是利用函数的单调性，当不便于利用单调性时，可与0和1进行比较．常称为“搭桥”法．
(2）比较幂函数值的大小，一般先构造幂函数并明确其单调性,然后由单调性判断值的大小． (3)常用的步骤是：①构造幂函数；②比较底的大小；③由单调性确定函数值的大小．
要点三、初等函数图象变换
基本初等函数包含以下九种函数：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数、幂函数、指
数函数、对数函数、三角函数、耐克函数。
由基本初等函数经过四则运算以及简单复合所得的函数叫初等函数． 如：2()f x x =的图象变换，22(1),1,y x y x =+=+222,||y x y x == （1）平移变换
y =f (x ）→y =f (x ＋a ) 图象左（0a >）、右（0a <）平移 y =f （x ）→y =f （x ）＋b 图象上（b 0>）、下（b 0<）平移
（2）对称变换
y =f （x ) →y =f (－x )， 图象关于y 轴对称 y =f (x ) →y =－f (x ） ， 图象关于x 轴对称 y =f （x ) →y =－f （－x ) 图象关于原点对称 y =f (x )→1()y f x -= 图象关于直线y =x 对称
（3）翻折变换:
y =f (x ） →y =f （|x |)，把y 轴右边的图象保留，然后将y 轴左边部分 关于y 轴对称．（注意：它是一个偶函数）
y =f (x ) →y =｜f (x ）| 把x 轴上方的图象保留，x 轴下方的图象 关于x 轴对称 要点诠释:
（1）函数图象是由基本初等函数的图象经过以上变换变化而来. （2)若f (a －x ）＝f （a ＋x ），则函数y =f （x )的图象关于直线x =a 对称。
指数函数、对数函数、幂函数配置习题
指数幂的概念与运算
1.求下列各式的值:
（1）5242544(3);(2)(10);(3)(3);(4)()a b π----.
2. 求下列各式的值
= =
=
3。用分数指数幂形式表示下列各式(式中a>0）：
（1）2
a a ?;（2）332a a ?；(3）a a ；
4。计算
63425.0031)32(28)6
7
()81(?+?+-?- 指数函数的概念
5．函数2
(33)x
y a a a =-+是指数函数，求a 的值． 6．求下列函数的定义域、值域.
（1）313x x
y =+；(2)y=4x —2x
+1；（3)21139x --；(4)211
x
x y a
-+=（a 为大于1的常数)
指数函数的单调性及其应用
7．讨论函数221()3x x
f x -??= ?
??
的单调性
判断函数的奇偶性
8．判断下列函数的奇偶性：
9。请做出的图象
10。将下列指数式与对数式互化： （1)；(2)
;（3）
；(4)
；（5）
；
利用对数恒等式化简求值
11．求值: 71log 5
7
+
积、商、幂的对数
12。z y x a a a log ,log ,log 用表示下列各式
235
3
(1)log ;(2)log ();(3)log a a a a x y xy x x y z z
换底公式的运用
13。已知18log 9,185b
a ==，求36log 45．
对数运算法则的应用
14。求值 (1) 9
1log 81log 251log 32log 53264??? （2) 7
lg142lg
lg 7lg183
-+- (3))36log 4
3
log 32(log log 42
122++
(4)()248125255log 125log 25log 5(log 8log 4log 2)++++
对数函数的概念
15.下列函数中,哪些是对数函数？ （1）log (0,1)a
y x a a =>≠;
（2）2log 2;y x =+ (3）28log (1)y x =+；
(4)log 6(0,1)x y x x =>≠； （5）6log y x =．
对数函数的定义域
16。 求下列函数的定义域:
(1）2
log a y x =； (2)log (4-)(01)a y x a a =>≠且。
对数函数的单调性及其应用
17. 比较下列各组数中的两个值大小： (1)33log 3.6,log 8.9； (2)0.20.2log 1.9,log 3.5; (3）2log 5与7log 5； （4) 3log 5与6log 4．
(5）log 4.2,log 4.8a a （01a a >≠且）．
函数的奇偶性
18。 判断下列函数的奇偶性.
（1)2-()ln
;2x
f x x
=+ （2)())f x x =. 类型五、反函数
19．求出下列函数的反函数
（1）16
log y x =；（2）1x
y e ??
= ???．
利用函数图象解不等式
20．若不等式2log 0x
a x -<，当10,
2x ??
∈ ???
时恒成立，求实数a 的取值范围． 对数函数性质的综合应用
21．
(1)已知函数2
lg(2)y x x a =++的定义域为R ，求实数a 的取值范围； （2）已知函数2lg(2)y x x a =++的值域为R ，求实数a 的取值范围；
