数学归纳法浅谈

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数学归纳法浅谈

作者：孙沛然

来源：《考试周刊》2013年第01期

数学归纳法是一种重要的数学思想方法，利用数学归纳法可以解决一些相对比较复杂的问题。同时，归纳法在数学研究中发挥了重要的作用，它是有着丰富内涵的思想工具，有着其他方法所不能替代的作用。华罗庚先生在《数学归纳法》一书中指出：“数学归纳法正是体现了人的认识从有限到无限的飞跃。”人类为了把握无限到有限的飞跃，离不开数学归纳法。本文从数学归纳法的理论基础着手，阐述了归纳法的原理及其表现形式，继而分析了归纳步骤的证明思路，提出一些粗略的认识，供大家研究探讨。

一、数学归纳法的理论基础

数学归纳法的发现、发展到应用几乎经历了整个数学的发展历程，是一段漫长的历史。16世纪中叶，意大利数学家莫罗利科（F·Maurolycus）对与自然数有关命题的证明进行了深入的研究，明确地提出了“递归推理”这个思想方法。法国数学家R.帕斯卡（Pascal）在他的《论算术三角形》中首次使用数学归纳法，对莫罗利科提出的递归推理思想进行了提炼和发扬。并用其证明了“帕斯卡三角形”口项展开式系数表，中国称为“贾宪共角性”或“杨辉三角形，”等命题。但“数学归纳法”这一名称的提出，最早见于英国数学家A德·摩根1838年所著的《小百科全书》的引言中。他指出“这和通常的归纳程序有极其相似之处”，故赋予它“逐次归纳法”的名称。

虽然数学归纳法早就被提出并广泛应用了，一直以来它的逻辑基础都是不明确的。1889

年意大利数学家皮亚诺（GYeano）建立了自然数的序数理论，将“后继”作为一种不加定义的

基本关系，列举了自然数不加证明的五条基本性质，其中归纳公理便为数学归纳法的逻辑基础。至此，数学归纳法有了严格的逻辑基础，并逐渐演变为一种常用的数学方法。

二、数学归纳法的原理

用数学归纳法证明一个命题时，必须包括下面两个步骤：

第一步：验证当n取第一个值（如n=1）时命题成立；

第二步：假设当n=k（k∈N）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

完成了这两个步骤，就可断定命题对一切自然数都成立。这里的第一步称为奠基步骤，是命题论证的基础：第二步称为归纳步骤，是判断命题的正确性能否从特殊推广到一般的依据。这两个步骤密切相关，缺一不可。如果只有奠基步骤而无归纳步骤，那就属于不完全归纳法，因而论断的普遍性是不可靠的。反之，如果只有归纳步骤而无奠基步骤，那么归纳步骤中的假设（简称归纳假设）就失去依据，从而使归纳步骤的证明失去意义，这一步即使得以证出，其