(完整版)必修二立体几何11道经典证明题
1. 如图，三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，侧棱垂直底面，
∠ACB=90°，AC=BC=1
2AA 1，D 是棱AA 1的中点
(Ｉ)证明：平面BDC 1⊥平面BDC
（Ⅱ）平面BDC 1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.
2. 如图5所示，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，//AB CD ，PD AD =，E 是
PB 的中点，F 是CD 上的点且1
2
DF AB =，PH 为△PAD 中AD 边上的高.
（1）证明：PH ⊥平面ABCD ；
（2）若1PH =，2AD =
，1FC =，求三
棱锥E BCF -的体积；
（3）证明：EF ⊥平面PAB .
3. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111A B AC =，D E ，
分别是棱1BC CC ，上的点（点D 不同于点C ），且AD DE F
⊥，为11B C 的中点．
求证：（1）平面ADE ⊥平面11BCC B ； （2）直线1//A F 平面ADE ．
B 1
C B
A
D
C 1
A 1
4. 如图，四棱锥P —ABCD 中，ABCD 为矩形，△PAD 为等腰直角三角形，∠APD=90°，面PAD ⊥面ABCD ，且AB=1，AD=2，E 、F 分别为PC 和BD 的中点．
（1）证明：EF ∥面PAD ； （2）证明：面PDC ⊥面PAD ； （3）求四棱锥P —ABCD 的体积．
5. 在如图所示的几何体中，四边形ABCD 是正方形， MA ⊥平面ABCD ，//PD MA ，E 、G 、F 分别为MB 、PB 、PC 的中点，且2AD PD MA ==.
（I ）求证：平面EFG ⊥平面PDC ；
（II ）求三棱锥P MAB -与四棱锥P ABCD -的体积 之比.
A
D
P
M
F
G
E
6. 如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直。EF//AC ，AB=2,CE=EF=1 （Ⅰ）求证：AF//平面BDE ； （Ⅱ）求证：CF ⊥平面BDF;
7.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，AB=2EF=2，EF ∥AB,EF ⊥FB,∠BFC=90°，BF=FC,H 为BC 的中点，
(Ⅰ)求证：FH ∥平面EDB;
（Ⅱ）求证：AC ⊥平面EDB; （Ⅲ）求四面体B —DEF 的体积；
8. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，E 、F 分别是1A B 、1A C 的中点，点D 在11B C 上，
11A D B C
⊥。求证：（1）EF ∥平面ABC ； （2）平面1A FD ⊥平面11BB C C .
C
F
H
D
F E
图 5
D
G
B
F
C
A
E
图 4
G
E
F A
B
C
D
9.如图4,在边长为1的等边三角形ABC 中,,D E 分别是,AB AC 边上的点,AD AE =,F
是BC 的中点,AF 与DE 交于点G ,将ABF ?沿AF 折起,得到如图5所示的三棱锥
A BCF -,其中22
BC =
. (1) 证明:DE //平面BCF ; (2) 证明:CF ⊥平面ABF ; (3) 当2
3
AD =时,求三棱锥F DEG -的体积F DEG V -.
10.如图,在四棱锥P ABCD
-中,//AB CD ,AB AD ⊥,2CD AB =,平面PAD ⊥底面
ABCD ,PA AD ⊥,E 和F 分别是CD 和PC 的中点,求
证:
(1)PA ⊥底面ABCD ;(2)//BE 平面PAD ;(3)平面BEF ⊥平面PCD
11. （2013年山东卷）如图,四棱锥P ABCD -中,
,AB AC AB PA ⊥⊥,,2AB CD AB CD =∥,
,,,,E F G M N 分别为 ,,,,PB AB BC PD PC 的中点
(Ⅰ)求证:CE PAD ∥平面; (Ⅱ)求证:EFG EMN ⊥平面平面
立体几何经典试题参考答案
1. 【解析】（Ⅰ）由题设知BC ⊥1CC ,BC ⊥AC ，1CC AC C ?=,∴BC ⊥面11ACC A , 又∵1DC ?面11ACC A ，∴1DC BC ⊥,
由题设知0
1145A DC ADC ∠=∠=,∴1CDC ∠=090,
即1DC DC ⊥,
又∵DC BC C ?=, ∴1DC ⊥面BDC , ∵
1DC ?面1BDC ，
∴面BDC ⊥面1BDC ；
（Ⅱ）设棱锥1B DACC -的体积为1V ，AC =1，由题意得，1V =1121132
+???=1
2，
由三棱柱111ABC A B C -的体积V =1，
∴11():V V V -=1:1， ∴平面1BDC 分此棱柱为两部分体积之比为1:1. 2.
【解析】（1）证明：因为AB ⊥平面PAD ，
所以PH AB ⊥。
因为PH 为△PAD 中AD 边上的高， 所以PH AD ⊥。 因为AB AD A =I ，
所以PH ⊥平面ABCD 。
（2）连结BH ，取BH 中点G ，连结EG 。 因为E 是PB 的中点， 所以//EG PH 。
因为PH ⊥平面ABCD ，
所以EG ⊥平面ABCD 。
则1122
EG PH =
=， 111
332
E BC
F BCF V S E
G FC AD EG -?=
?=????=212。 （3）证明：取PA 中点M ，连结MD ，ME 。
因为E 是PB 的中点，
所以1
//
2ME AB =。
B 1 C
B
A
D
C 1
A 1
因为1
//
2DF AB =，
所以//ME DF =
，
所以四边形MEDF 是平行四边形， 所以//EF MD 。 因为PD AD =， 所以MD PA ⊥。
因为AB ⊥平面PAD ， 所以MD AB ⊥。 因为PA AB A =I ，
所以MD ⊥平面PAB ， 所以EF ⊥平面PAB 。
3. 【答案】证明：（1）∵111ABC A B C -是直三棱柱，∴1CC ⊥平面ABC 。
又∵AD ?平面ABC ，∴1CC AD ⊥。 又∵1AD DE CC DE ⊥?，，平面
111BCC B CC DE E =I ，，∴AD ⊥平面11BCC B 。
又∵AD ?平面ADE ，∴平面ADE ⊥平面11BCC B 。
（2）∵1111A B AC =，F 为11B C 的中点，∴111A F B C ⊥。
又∵1CC ⊥平面111A B C ，且1A F ?平面111A B C ，∴11CC A F ⊥。 又∵111 CC B C ?，平面11BCC B ，1111CC B C C =I ，∴1A F ⊥平面111A B C 。 由（1）知，AD ⊥平面11BCC B ，∴1A F ∥AD 。
又∵AD ?平面1, ADE A F ?平面ADE ，∴直线1//A F 平面ADE 4. 如图，连接AC ，
∵ABCD 为矩形且F 是BD 的中点， ∴AC 必经过F
1分
又E 是PC 的中点， 所以，EF ∥AP
2分
∵EF 在面PAD 外，PA 在面内，∴EF ∥面PAD
（2）∵面PAD ⊥面ABCD ，CD ⊥AD ，面PAD I 面ABCD=AD ，∴CD ⊥面PAD ，
D
A
C
B
E
F
又AP ?面PAD ，∴AP ⊥CD
又∵AP ⊥PD ，PD 和CD 是相交直线，AP ⊥面PCD 又AD ?面PAD ，所以，面PDC ⊥面PAD
（3）取AD 中点为O ，连接PO ，
因为面PAD ⊥面ABCD 及△PAD 为等腰直角三角形，所以PO ⊥面ABCD ， 即PO 为四棱锥P —ABCD 的高
∵AD=2，∴PO=1，所以四棱锥P —ABCD 的体积1233
V PO AB AD =
??= 5.
【解析】（I ）证明：由已知MA 平面ABCD ，PD ∥MA ， 所以 PD ∈平面ABCD
又 BC ∈ 平面ABCD ，
因为 四边形ABCD 为正方形，
所以 PD ⊥ BC
又 PD ∩DC=D ， 因此 BC ⊥平面PDC 在△PBC 中，因为G 平分为PC 的中点， 所以 GF ∥BC
因此 GF ⊥平面PDC 又 GF ∈平面EFG ， 所以 平面EFG ⊥平面PDC.
（Ⅱ ）解：因为PD ⊥平面ABCD,四边形ABCD 为正方形，不妨设MA=1， 则 PD=AD=2，AB CD
所以 V p-ABCD =1/3S 正方形ABCD ，PD=8/3 由于 DA ⊥面MAB 的距离
所以 DA 即为点P 到平面MAB 的距离，
三棱锥 Vp-MAB=1/3×1/2×1×2×2=2/3，所以 Vp-MAB ：Ｖp-ABCD=1:4。
6. 证明：（Ⅰ）设AC 于BD 交于点G 。因为EF ∥AG,且EF=1，AG=
1
2
AG=1 所以四边形AGE F 为平行四边形 所以AF ∥EG
因为EG ?平面BDE,AF ?平面BDE, 所以AF ∥平面BDE
（Ⅱ）连接FG 。因为EF ∥CG,EF=CG=1,且CE=1,所以平行四边形CE FG 为菱形。所以CF ⊥EG.
因为四边形ABCD 为正方形，所以BD ⊥AC.又因为平面ACEF ⊥平面ABCD,且平面
A
B
D
P
M F
G
E
ACEF ∩平面ABCD=AC,所以BD ⊥平面ACEF.所以CF ⊥BD.又BD ∩EG=G,所以CF ⊥平面BDE. 7.
(1)
,1//,
21
//,2
////AC BD G G AC EG GH H BC GH AB EF AB EFGH EG FH EG EDB FH EDB
∴∴?∴证：设与交于点，则为的中点，连，由于为的中点，故又四边形为平行四边形，而平面，平面0,.,.
.//,,90,.FB BFG FH FH BF FG H BC FH BC FH ABCD FH AC FH EG AC EG AC BD EG BD G AC EDB
FB BFC BF CDEF BF B DEF BC A ∏⊥∴⊥⊥∴⊥∴⊥∴⊥=∴⊥∴⊥∴⊥∴⊥⊥?=∴⊥⊥∠=∴⊥∴-=Q （）证：由四边形ABCD 为正方形，有AB BC 。
又EF//AB ，EF BC 。而EF ，EF 平面EF AB 又为的中点，。
平面又，又，平面（Ⅲ）解：EF 平面为四面体的高，又2,2
111
**1*2*2.
323
B DEF B BF F
C V BF
-=∴====∴
8.
9. 【答案】(1)在等边三角形ABC 中,AD AE =
AD AE
DB EC ∴
=
,在折叠后的三棱锥A BCF -中
也成立,//DE BC ∴ ,DE ?Q 平面BCF ,
BC ?平面BCF ,//DE ∴平面BCF ;
(2)在等边三角形ABC 中,F 是BC 的中点,所以AF BC ⊥①,
12BF CF ==
.
A
B
C
D
E F
H
Q 在三棱锥A BCF -中
,
2BC =
,222BC BF CF CF BF ∴=+∴⊥②
BF CF F CF ABF ?=∴⊥Q 平面;
(3)由(1)可知//GE CF ,结合(2)可得GE DFG ⊥平面
.
11111113232333F DEG E DFG V V DG FG GF --?∴==????=????= ??
10. 【答案】(I)因为平面PAD⊥平面ABCD,且PA 垂直于这个平面的交线AD 所以PA 垂直底面ABCD.
(II)因为AB∥CD,CD=2AB,E 为CD 的中点 所以AB∥DE,且AB=DE 所以ABED 为平行四边形,
所以BE∥AD,又因为BE ?平面PAD,AD ?平面PAD 所以B E∥平面PAD.
(III)因为AB⊥AD,而且ABED 为平行四边形 所以BE⊥CD,AD⊥CD,由(I)知PA⊥底面ABCD, 所以PA⊥CD,所以CD⊥平面PAD
所以CD⊥PD,因为E 和F 分别是CD 和PC 的中点
所以PD∥EF,所以CD⊥EF,所以CD⊥平面BEF,所以平面BEF⊥平面PCD. 11．略
必修2立体几何复习(知识点+经典习题)
必修二立体几何知识点与复习题 一、判定两线平行的方法 1、平行于同一直线的两条直线互相平行 2、垂直于同一平面的两条直线互相平行 3、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平 行 4、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 5、在同一平面内的两条直线，可依据平面几何的定理证明 二、判定线面平行的方法 1、据定义：如果一条直线和一个平面没有公共点 2、如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，则这条直线和这个平面平行 3、两面平行，则其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 4、平面外的两条平行直线中的一条平行于平面，则另一条也平行于该平面 5、平面外的一条直线和两个平行平面中的一个平面平行，则也平行于另一个平面 三、判定面面平行的方法 1、定义：没有公共点 2、如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两面平行 3 垂直于同一直线的两个平面平行 4、平行于同一平面的两个平面平行 四、面面平行的性质 1、两平行平面没有公共点 2、两平面平行，则一个平面上的任一直线平行于另一平面 3、两平行平面被第三个平面所截，则两交线平行 4、垂直于两平行平面中一个平面的直线，必垂直于另一个平面 五、判定线面垂直的方法 1、如果一条直线和一个平面内的两条相交线垂直，则线面垂直 2、如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于该平面 3、一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面 4、如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直它们交线的直线垂直于另一个平面 5、如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么它们的交线垂直于另一个平面 六、判定两线垂直的方法 1、定义：成? 90角 2、直线和平面垂直，则该线与平面内任一直线垂直 3、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直 4、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直 5、一条直线如果和两条平行直线中的一条垂直，它也和另一条垂直 七、判定面面垂直的方法 1、定义：两面成直二面角,则两面垂直 2、一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这个平面垂直于另一平面 八、面面垂直的性质 1、二面角的平面角为? 90 2、在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面 3、相交平面同垂直于第三个平面，则交线垂直于第三个平面 九、各种角的范围 1、异面直线所成的角的取值范围是：? ≤ < ?90 0θ(]? ?90 , 2、直线与平面所成的角的取值范围是：? ≤ ≤ ?90 0θ[]? ?90 , 3、斜线与平面所成的角的取值范围是：? ≤ < ?90 0θ(]? ?90 , 4、二面角的大小用它的平面角来度量；取值范围是：? ≤ < ?180 0θ(]? ?180 , 十、三角形的心 1、内心：内切圆的圆心，角平分线的交点 2、外心：外接圆的圆心，垂直平分线的交点 3、重心：中线的交点 4、垂心：高的交点 考点一,几何体的概念与性质 【基础训练】 1.判定下面的说法是否正确: (1)有两个面互相平行,其余各个面都是平行四边形的几何体叫棱柱. (2)有两个面平行,其余各面为梯形的几何体叫棱台. 2.下列说法不正确的是（） A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形。 B.同一平面的两条垂线一定共面。 C.过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一平面内。 D.过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直。 【高考链接】 1.设α和β为不重合的两个平面，给出下列命题： （1）若α内的两条相交直线分别平行于β内的两条直线，则α平行于β；（2）若α外一条直线l与α内的一条直线平行，则l和α平行； （3）设α和β相交于直线l，若α内有一条直线垂直于l，则α和β垂直；
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