概率1

概率

填空题（每空格3分，共30分）

1．设C B A 、、是3个随机事件，则事件“A 、B 、C 都不发生”，用C B A 、、表示为 ；

2．设随机变量X 服从二项分布),(p n B ，则

=EX

DX

； 3．设随机变量X 的分布律为() ,2,1,0!

)(=?==k k a k X P k

λ，其中0>λ为已知常数，

则常数a 为 ；

4．若事件C B A 、、相互独立，且25.0)(=A P ，5.0)(=B P ，4.0)(=C P ，则

)(C B A P = ；

5．设随机变量X 在()1,0服从均匀分布，则X

e Y =的概率密度为 ；

6．设随机变量X 的分布律为

则12+X 的分布律为 ；

7．随机变量X 、Y 的相关系数XY ρ定义为 ；

8．若b a ,为常数，X 的方差为)(X D ，则=+)(b aX D ； 9．设n X X X ,,,21 是来自正态总体(

)2

,~σμN X 的样本，2S 为样本方差，则()

2S E 为 ；

10．设n X X X ,,,21 是来自总体),(~2σμN X 的样本，且2σ未知，用样本检验假设0H ：

0μμ=时，采用统计量是 。

二、判断题：若对回答“对”；若错回答“错”。（每小题2分，共20分）

1．设C B A 、、表示3个事件，则_

_______

C B A ABC =； （ ） 2．n X X X ,,,21 是来自于总体),(2

σμN 的样本，则∑==

n

i i

X

n

1

1~),(2σμn n N 分布；

3．若(

)2

,~σ

μN X ，则()()σμ==X D X E ,；（ ）

4．设{}∞+-∞=Ω＜＜x x |，{}20|＜x x A ≤=，{}31|＜x x B ≤=，则B A 表示{}10|＜＜x x ；

（ ）

5．若事件A 与B 互斥，则A 与B 一定相互独立；（ ） 6．对于任意两个事件B A 、，必有=B A B A ；（ ） 7．在5次独立重复试验中，事件A 发生了2次，则()5

2

=

A P ；（ ） 8．设随机变量ξ的方差1=ξD ，且βαξη+=（α、β为非零常数），则ηD 为βα+2

； 9.两个相互独立的随机变量Y X ,的方差分别为4与2；则()2823=-Y X D （ ）

10．设总体)1,(~μN X ， 1X ,2X ,3X 是来自于总体的样本，则321?X X X ++=μ

是μ的 无偏估计量。（ ） 三、计算题（共35分）

1．一袋中有5只乒乓球，编号为1、2、3、4、5，在其中同时任取3只，以X 表示取出的三只球中的最大号码，写出随机变量X 的分布律。（7分） 2．设)4,2(~N X ，试求X 的概率密度)(x f 。（5分）

3．已知在10个晶体管中有2个次品，在其中取两次，每次随机地取一只，作不放回地抽样。求下列事件的概率：（1）二只都是正品；（2）二只都是次品。（6分）

4．已知随机变量)1,3(~-N X ，)1,2(~N Y ，且X 与Y 相互独立，设随机变量72+-=Y X Z ，试求Z 的密度函数。

（7分） 5．从正态总体(

)

2

64.3，

N 中抽取容量为n 的样本n X X X ,,,21 。如果要求其样本均值 ∑==n

i i X n X 1

__

1位于区间()4.5,4.1内的概率不小于95.0，问样本容量n 至少应取多大？。（10

分）

附标准正态分布表：

()?

∞

--

=

Φz

t dt e z 2221π

四、证明题（15分）

若三个事件C B A 、、相互独立，则B A 与C 独立。 参考答案：

一、填空题（每空格3分，共30分）

1．_

__C B A ；2. p -1 3.λ

-=e a 4. 0.775 5.()??

???<<=，其他，011

e y y y

f Y

6．

7.()()()

Y D X D Y X Cov xy ,=

ρ；8.)(2

X D a 9.2

σ 10.

S

X n )

(0μ-

二、判断题（每小题2分，共20分）4. 对6. 对 三、计算题（共35分）

1．解： {}10133522

===C C X P -------------{}103

435

23===C C X P ----- {}10

6535

24=

=

=C C X P - 故X 的分布律为

----------------------------------------------1分

2. 解：因为随机变量X 服从正态分布，所以它的密度函数具有如下形式：

)(21)(22)(+∞<<-∞=

--

x e

x f x σμσ

π； （3分）

进而，将2,2==σμ代入上述表达式可得所求的密度函数为：

),(221)(8

)2(2

+∞-∞∈=

--

x e

x f x π

。 （2分）

3.解：（1）设两次都是正品的事件为21A A ，，

()()()45

28

9710812121=

?=

=A A P A P A A P ---------------------------------------------------------3分 （2）设两次都是次品的事件为21B B ，，

()()()45

1

9110212121=

?=

=B B P B P B B P --------------------------------------------------------3分 4. 解：因为随机变量)1,3(~-N X ，)1,2(~N Y ，且X 与Y 相互独立，所以利用正态随

机变量的可加性（或再生性）可知72+-=Y X Z 仍服从正态分布；-----------------（3分） 又因为

5141)(4)()(,072237)(2)()(=?+=+==+?--=+-=Y D X D Z D Y E X E Z E 由此可知所求的概率密度为)10exp(101

)(2

z z f Z -=

π

。 ）5.解：以__

X 表示该样本均值，则 ()1,0~6

4

.3__

N n X ---从而有 ??????

????

????<-=??

?

???????<-=??????????<-<-=??????????<<6264

.324.324.324.54.1__

______n n X P X P X P X P 95.0132≥-????

??Φ=n -故975.03≥???

?

??Φn 由此得96.13

≥n

即()57.34396.12≈?≥n 所以n 至少应取35。四、证明题（15分）

证明：因为C B A 、、相互独立，所以

)()()(C P A P AC P =； （2分） )()()(C P B P BC P =； （2分） )()()()(C P B P A P ABC P =； （2分）

从而，我们可得

)

()()]()()()()[()()()()()()()()

()()()())((B A P C P B P A P B P A P C P C P B P A P C P B P C P A P ABC P BC P AC P BC AC P C B A P =-+=-+=-+==

由独立性的定义可知：B A 与C 独立。 （9分）

古典概率

第二课时 古典概率 2．理解古典概型； 3．了解几何概型； 4．了解互斥事件及其发生的概率。 二 复习要求 在具体情境中了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进而知道概率的统计定义的意义以及概率和频率的区别；了解互斥事件、对立事件的概念，能判断两个事件是否是互斥事件，是否是对立事件，了解互斥事件的概率加法公式，了解两对立事件概率之和为1的结论，会用相关公式进行简单概率计算；理解古典概型及其计算公式，会用枚举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率；体会几何概型的几何意义，理解几何概型的概率计算公式，并能运用其解决一些简单的几何概型的概率计算问题。 在复习这一部分内容时，要能把这一章中所蕴含的主要思想方法贯穿于平常的教学实践中去，如利用树形图去确定基本事件数中的数形结合思想，利用互斥事件去求概率中的分类讨论思想，把实际问题转化为几何概型去求解中的转化与化归的思想，以达到培养学生数学思维的目的。 三 重难注意点 1．概率与频率，概率的频率定义是和一定的实验相联系的，频率反映了一个随机事件发生的频繁程度，频率是随机的，随着实验次数的改变而改变，而概率是确定的，是客观存在的，与实验的次数无关。概率是频率的稳定值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性大小。 2．互斥事件与对立事件，判断事件是互斥还是对立，应主要抓住定义，不可能同时发生的事件称为互斥事件，必有一个要发生的两互斥事件称为对立事件，互斥事件是对立事件的必要而不充分条件，将所给事件转化为互斥事件和对立事件去处理，体现了化整为零，正难则反的思想。 3．古典概型，判断一个试验是否为古典概型，主要看试验结果的两个特征，一是有限 性，二是等可能性，在利用古典概型计算公式 ()n m A P =时，应首先完成古典概型的判断，而后进行相关计算，其中n 是试验所包含的所有基本事件数，m 是事件A 包含的基本事件数。 4．几何概型，判断一个概型是否为几何概型，主要看三个特征，一是试验结果的无限性，二是试验结果的等可能性，三是可以转化为求某个几何图形的测度的问题。在几何概型中，一个随机事件A 发生应理解为取到区域D 内的某个指定区域d 中的点，

机器学习 —— 概率图模型(推理：决策)

Koller 教授把决策作为一种单独的模块进行讲解，但我认为，决策和推理本质上是一样的，都是在假设已知CPD或者势函数的情况下对模型给出结论。 1、决策==逐利 决策的基本思想很intuitive，并且非常有用。在赌博行为中，最后获得的钱与硬币的正反，赌注的大小有关。硬币的正反显然是随机变量，而赌注的大小却是决策量。显而易见的是，决策的最终目的是使得某个期望最大化。再举一个视觉中的例子，对于双目配准算法而言，左相机对应右相机的像素可以认为是随机变量。但是否将两个像素配在一起却可以认为是一个决策（假设像素一一对应，如果甲配了乙就不能配丙了，希望配准的最终结果是尽可能正确的）。故决策的数学表达为： 其中，P(X|A)表示在给定决策下，随机变量X的概率。U(x,a)表示给定决策下，x发生所获得的收益。简单的决策如图所示：

2、决策的方法 显然从上面的分析可知，我们要做的决策就是使得期望最大化的那个。换一个角度来看，如果每次的决策都是未知的，决策取决于已知信息，决策影响最终结果，如果决策也是随机变量，我们应该把获利最多的那个决策组作为我们所需采取的决策库。换而言之，凡事应有a,b,c三策，不同的策略对应不同的情况。显然，我们所需要采取的策略取决于已知的信息（Action的父节点）。而策略组本身就是一个随机变量。 如图所示，如果变量真实值无法观测，只能通过一个传感器（survey）来进行推测时，决策应该取决于S的值。S的值又和其所有父节点（M）的值相关。MEU表示所选择的策略。

显然，我们需要P(S)deta(F|S)U(F,M)，然后P(S)需要对P(M,S)进行边际获得。故表达式如上。带入数据发现

概率图模型研究进展综述

软件学报ISSN 1000-9825, CODEN RUXUEW E-mail: jos@https://www.sodocs.net/doc/b710244083.html, Journal of Software,2013,24(11):2476?2497 [doi: 10.3724/SP.J.1001.2013.04486] https://www.sodocs.net/doc/b710244083.html, +86-10-62562563 ?中国科学院软件研究所版权所有. Tel/Fax: ? 概率图模型研究进展综述 张宏毅1,2, 王立威1,2, 陈瑜希1,2 1(机器感知与智能教育部重点实验室(北京大学),北京 100871) 2(北京大学信息科学技术学院智能科学系,北京 100871) 通讯作者: 张宏毅, E-mail: hongyi.zhang.pku@https://www.sodocs.net/doc/b710244083.html, 摘要: 概率图模型作为一类有力的工具,能够简洁地表示复杂的概率分布,有效地(近似)计算边缘分布和条件分 布,方便地学习概率模型中的参数和超参数.因此,它作为一种处理不确定性的形式化方法,被广泛应用于需要进行 自动的概率推理的场合,例如计算机视觉、自然语言处理.回顾了有关概率图模型的表示、推理和学习的基本概念 和主要结果,并详细介绍了这些方法在两种重要的概率模型中的应用.还回顾了在加速经典近似推理算法方面的新 进展.最后讨论了相关方向的研究前景. 关键词: 概率图模型;概率推理;机器学习 中图法分类号: TP181文献标识码: A 中文引用格式: 张宏毅,王立威,陈瑜希.概率图模型研究进展综述.软件学报,2013,24(11):2476?2497.https://www.sodocs.net/doc/b710244083.html,/ 1000-9825/4486.htm 英文引用格式: Zhang HY, Wang LW, Chen YX. Research progress of probabilistic graphical models: A survey. Ruan Jian Xue Bao/Journal of Software, 2013,24(11):2476?2497 (in Chinese).https://www.sodocs.net/doc/b710244083.html,/1000-9825/4486.htm Research Progress of Probabilistic Graphical Models: A Survey ZHANG Hong-Yi1,2, WANG Li-Wei1,2, CHEN Yu-Xi1,2 1(Key Laboratory of Machine Perception (Peking University), Ministry of Education, Beijing 100871, China) 2(Department of Machine Intelligence, School of Electronics Engineering and Computer Science, Peking University, Beijing 100871, China) Corresponding author: ZHANG Hong-Yi, E-mail: hongyi.zhang.pku@https://www.sodocs.net/doc/b710244083.html, Abstract: Probabilistic graphical models are powerful tools for compactly representing complex probability distributions, efficiently computing (approximate) marginal and conditional distributions, and conveniently learning parameters and hyperparameters in probabilistic models. As a result, they have been widely used in applications that require some sort of automated probabilistic reasoning, such as computer vision and natural language processing, as a formal approach to deal with uncertainty. This paper surveys the basic concepts and key results of representation, inference and learning in probabilistic graphical models, and demonstrates their uses in two important probabilistic models. It also reviews some recent advances in speeding up classic approximate inference algorithms, followed by a discussion of promising research directions. Key words: probabilistic graphical model; probabilistic reasoning; machine learning 我们工作和生活中的许多问题都需要通过推理来解决.通过推理,我们综合已有的信息,对我们感兴趣的未 知量做出估计,或者决定采取某种行动.例如,程序员通过观察程序在测试中的输出判断程序是否有错误以及需 要进一步调试的代码位置,医生通过患者的自我报告、患者体征、医学检测结果和流行病爆发的状态判断患者 可能罹患的疾病.一直以来,计算机科学都在努力将推理自动化,例如,编写能够自动对程序进行测试并且诊断 ?基金项目: 国家自然科学基金(61222307, 61075003) 收稿时间:2013-07-17; 修改时间: 2013-08-02; 定稿时间: 2013-08-27

概率的古典定义及其计算

12．2．2 概率的古典定义及其计算 定义 如果随机试验具有如下特征： （1）事件的全集是由有限个基本事件组成的； （2）每一个基本事件在一次试验中发生的可能性是相同的； 则这类随机试验称为古典概型． 定义 在古典概型中，如果试验的基本事件总数为n ，事件A 包含的基本事件个数为m ，那么事件A 发生的概率为P （A ）=n m 。 这个定义叫做概率的古典定义。它同样具备概率统计定义的三个性质。 例1 从1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数字中，随机地取出一个数字，求这个数字是奇数的概率。 解 设A={取出的是一个奇数}，则基本事件总数为n=9，事件A 包含了5个基本事件（抽到1，3，5，7，9），即m=5，所以，P （A ）=9 5=n m 。 例2 在10个同样型号的晶体管中，有一等品7个，二等品2个，三等品1个，从这10个晶体管中任取2个，计算： （1）2个都是一等品的概率； （2）1个是一等品，1个是二等品的概率。 解 基本事件总数为从10个晶体管中任取2个的组合数，故n=210C =45。 （1）设A={取出2个都是一等品}，它的种数m=27C =21，其概率为P （A ）=15 74521==n m ； （2）设B={取出2个，1个是一等品，1个是二等品}，它的种数m=1217C C =14，所以 P （B ）=45 14=n m 。 例3 储蓄卡上的密码是一组四位数号码，每位上的数字可以在0到9这10个数字中选取，问： （1）使用储蓄卡时如果随意按下一组四位数字号码，正好按对这张储蓄卡的密码的概率是多少？ （2）某人没记准储蓄卡的密码的最后一位数字，他在使用这张储蓄卡时如果随意按下密码的最后一位数字，正好按对密码的概率是多少？ 解 （1）由于储蓄卡的密码是一组四位数字号码，且每位上的数字有从0到9这10中取法，这种号码共有410组。又由于是随意按下一组四位数字号码，按下其中哪一组号码的可能性都相等，可得正好按对这张储蓄卡的密码的概率1P =4 101。 （2）按四位数字号码的最后一位数字，有10中按法，由于最后一位数字是随意按的，按下其中各个数字的可能性相等，可得按下的正好是密码的最后一位数字的概率10 12=P 。 课堂练习：习题12.2 1—4 订正讲解 12．3．1 概率的加法公式 1．互斥事件概率的加法公式

概率图模型中的推断

概率图模型中的推断 王泉 中国科学院大学网络空间安全学院 2016年11月

?推断问题回顾 ?精确推断：信念传播 –信念传播算法回顾 –信念传播在HMM中的应用?近似推断：吉布斯采样–吉布斯采样算法回顾 –吉布斯采样在LDA中的应用

?推断问题回顾 ?精确推断：信念传播 –信念传播算法回顾 –信念传播在HMM中的应用?近似推断：吉布斯采样–吉布斯采样算法回顾 –吉布斯采样在LDA中的应用

?已知联合概率分布 P x 1,?,x n ，估计 –x Q 问题变量；x E 证据变量；x Q ∪x E =x 1,?,x n P R =1 P R =0 0 P R =1G =1= ? P B =0.001 P E =0.002 P A B ,E =0.95 P A B ,?E =0.94 P A ?B ,E =0.29 P A ?B ,?E =0.001 P J A =0.9 P J ?A =0.05 P M A =0.7 P M ?A =0.01 P B =1E =0,J =1=? P x Q x E =x Q ,x E x E

?已知联合概率分布 P x 1,?,x n ，估计 –x Q 问题变量；x E 证据变量；x Q ∪x E =x 1,?,x n P x Q x E =x Q ,x E x E 观测图片 y i 原始图片 x i y ?=argmax P y x 朴素贝叶斯 x ?=argmax P x y 图像去噪

?精确推断：计算P x Q x E的精确值 –变量消去 (variable elimination) –信念传播 (belief propagation) –计算复杂度随着极大团规模的增长呈指数增长，适用范围有限?近似推断：在较低的时间复杂度下获得原问题的近似解–前向采样 (forward sampling) –吉布斯采样 (Gibbs sampling) –通过采样一组服从特定分布的样本，来近似原始分布，适用范围更广，可操作性更强

【免费下载】1古典概率典型题解

概率论与数理统计典型题解第一章 随机事件与概率典型题解 1．个人随机地围一圆桌而坐，求甲、乙两人相邻而坐的概率．n 解 令{甲、乙两人相邻而坐}，设想圆桌周围有这个位置，A =1,2,,n n 由于该问题属于圆排列问题，所以不妨认为甲坐1号位置，那么发生当且仅A 当乙坐2号或号位置，从而n 1,2,()2, 2.1n P A n n =??=?>?-?2．甲、乙两人掷均匀硬币，其中甲掷次，乙掷次，求甲掷出正面的1n +n 次数大于乙掷出正面次数的概率．解 令{甲掷出正面的次数大于乙掷出正面次数}，A ={甲掷出反面的次数大于乙掷出反面次数}，B =由硬币的均匀性知，，容易看出，，由此可知()()P A P B =,A B S AB ==? ．1()2P A =3．某班有个学生，上体育课时老师发给每人一根绳子进行跳绳练习，N 跳了10分钟后把绳子放在一堆，进行别的练习，后来每人又随机拿了一根绳子进行练习，问至少有一个学生拿到自己原先使用的绳子的概率． 解 令{第个学生拿到自己原先使用的绳子}（）， i A =i 1,2,,i N = {至少有一个学生拿到自己原先使用的绳子}，A =则111()()()()N N i i i j i i j N i P A P A P A P A A =≤<≤===-+∑∑ 1121()(1)()N i j k N i j k N P A A A P A A A -≤<<≤-+-∑ 12311111(1)(1)(1)(2)!N N N N N N C C C C N N N N N N N -=-+-+---- ．11111(1)2!3!!N N -=-+-+- 4．若事件与互不相容，且，证明：．A B ()0P B ≠(|)()/()P A B P A P B =设备高中资料试卷布置情况置。

概率图模型介绍与计算

概率图模型介绍与计算 01 简单介绍 概率图模型是图论和概率论结合的产物，它的开创者是鼎鼎大名的Judea Pearl,我十分喜欢概率图模型这个工具，它是一个很有力的多变量而且变量关系可视化的建模工具，主要包括两个大方向：无向图模型和有向图模型。无向图模型又称马氏网络，它的应用很多，有典型的基于马尔科夫随机场的图像处理，图像分割，立体匹配等，也有和机器学习结合求取模型参数的结构化学习方法。严格的说他们都是在求后验概率:p(y|x)，即给定数据判定每种标签y的概率，最后选取最大的后验概率最大的标签作为预测结果。这个过程也称概率推理(probabilistic inference）。而有向图的应用也很广，有向图又称贝叶斯网络(bayes networks),说到贝叶斯就足以可以预见这个模型的应用范围咯，比如医疗诊断，绝大多数的机器学习等。但是它也有一些争议的地方，说到这就回到贝叶斯派和频率派几百年的争议这个大话题上去了，因为贝叶斯派假设了一些先验概率，而频率派认为这个先验有点主观，频率派认为模型的参数是客观存在的，假设先验分布就有点武断，用贝叶斯模型预测的结果就有点“水分”，不适用于比较严格的领域，比如精密制造，法律行业等。好吧，如果不遵循贝叶斯观点，前面讲的所有机器学习模型都可以dismiss咯，我们就通过大量数据统计先验来弥补这点“缺陷”吧。无向图和有向图的例子如（图一）所示： 图一(a)无向图（隐马尔科夫）(b)有向图 概率图模型吸取了图论和概率二者的长处，图论在许多计算领域中扮演着重要角色，比如组合优化，统计物理，经济等。图的每个节点都可看成一个变量，每个变量有N个状态（取值范围），节点之间的边表示变量之间的关系，它除了

条件概率1

例1： 根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率309，下雨的概率为3011，既吹东风又下雨的概率为308.试求在吹东风 的条件下下雨的概率. 例2: （1）10个球有6个红球和4个白球，不放回地依次摸出2个球，在第一次摸出红球的条件下，第二次也摸出红球的概率是 ； （2）盒中装有6件产品，其中4件一等品，2件二等品，从中不放回地取两次，每次取1件，已知第二次取得一等品，则第一次取得的是二等品的概率是 ； 例2： （1）有一批种子的发芽率为90.，出芽后的幼苗成活率为80.，在这批种子中，

随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为； （2）某项射击游戏规定：选手先后对两个目标进行射击，只有两个目标都射中才能过关.某选手射中第一个目标的概 0.，继续射击，射中第二个目标的率为8 0.，则这个选手过关的概率概率为5 是； （3）袋中装有形状、大小完全相同的5个球，其中黑球3个、白球2个.从中依次取出2个球，则所取出的两个都是白的概率； （4）已知1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出1个球放入2号箱中，然后从2号箱中随机地取出1个球，则两次都取到红球的概率是；

例4： （1）设某光学仪器厂制造的透镜，第一次下落时打破的概率为21 ，若第一次落下时未打破，第二次落下时打破的概率为107 ，若前两次落下时未打破，第三次下落时打破的概率为109 ，试求透镜落下三次而未打破的概率； （2）8个人抽签，其中只有1张电影票，7张空票，求每个人抽到电影票的概率； （3） （傅立叶模型）已知一个罐中盛有m 个白球，n 个黑球.现从中任取一只，记下颜色后放回，并同时加入与被取球同色球a 个.试求接连取球3次，3次均为黑球的概率.

1条件概率

§2.2.1条件概率 知识点 1.条件概率：对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，记作“)(A B P ”。 2.由事件A 和B 所构成的事件D ，称为事件A 和B 的交（或积），记作 3.条件概率计算公式：)(A B P 数发生的条件下基本事件在包含的基本事件数发生的条件下在A B A =包含的基本事件数 包含的基本事件数A B A = 总数 包含的基本事件数总数包含的基本事件数A B A =)()(A P B A P = )0)((>A P 一 问题分析 问题1：抛掷红、蓝两颗骰子，设事件=A “蓝色骰子的点数为3或6”，事件=B “两颗骰子的点数之和大于8”，求： （1）事件A 发生的概率； （2）事件B 发生的概率； （3）已知事件A 发生的情况下，事件再B 发生的概率。 问题2：三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取，思考： （1） 三名同学中奖的概率各是多少？是否相等？ （2） 若已知第一名同学没有中奖，那么第二名同学中奖的概率各是多少？ （3） 在（1）和（2）中第二名同学中奖的概率是否相等？为什么？ 二 典型例题分析 例1：抛掷一颗骰子,观察出现的点数 =A {出现的点数是奇数}＝}531{，，，=B {出现的点数不超过3}＝}3,2,1{，若已知出现的点数不超过3，求出现的点数是奇数的概率。 例2：一个家庭中有两个小孩。假定生男、生女是等可能的，已知这个家庭有一个是女孩，问这时 另一个小孩是男孩的概率是多少？ 例3：甲、乙两地都位于长江下游，根据一百多年的气象记录，知道甲、乙两地一年中雨天占的比例分别为20％和18％，两地同时下雨的比例为12％，问： （1） 乙地为雨天时甲地也为雨天的概率是多少？ （2） 甲地为雨天时乙地也为雨天的概率是多少？ 例4: 某险种的基本保费为a （单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：

古典概率综合测试卷 (1)

2014届高一数学期末复习概率专题 、、三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号，某月的产例1：一汽车厂生产A B C 量如下表(单位:辆): 按类型分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,其中有A类轿车10辆. （1）求z的值 （2）用分层抽样的方法在C类轿车中抽取一个容量为5的样本.将该样本看成一个总体,从中任取2辆,求至少有1辆舒适型轿车的概率; （3）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下:9.4, 8.6, 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2.把这8辆轿车的得分看作一个总体,从 中任取一个数,求该数与样本平均数之差的绝对值不超过0.5的概率. 例2：甲、乙两艘轮船驶向一个不能同时停泊两艘轮船的码头，它们在一昼夜内任何时刻到达是等可能的． （1）如果甲船和乙船的停泊时间都是4小时，求它们中的任何一条船不需要等等码头空出的概率； （2）如果甲船的停泊时间为4小时，乙船的停泊时间是2小时，求它们中的任何一条船不需要等待码头空出的概率．

一、选择题 1．从装有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ） A ．至少有一个黒球与都是黒球 B ．至少有一个黒球与都是黒球 C ．至少有一个黒球与至少有1个红球 D ．恰有1个黒球与恰有2个黒球 2．在长为1的线段上任取两点，则这两点之间的距离小于 12的概率为（ ） A ．14 B ．12 C ．34 D ．78 3.在一个袋子中装有分别标注数字1，2，3，4，5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（ ） A ．310 B ．15 C ．110 D ．112 4.（2012广东高考）从个位数和十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是（ ） 4 . 9A 1.3B 2.9C 1.9 D 5.（2012湖北高考）如图，在圆心角为直角的扇形OAB 中，分别 以OA OB 、为直径做两个半圆，在扇形OAB 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ） 2 .1A π- 11.2B π- 2.C π 1.D π 6.（2012北京高考）设不等式组0202 x y ≤≤??≤≤?表示的平面区域为D .在区域D 内随机取一个 点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率为（ ） .4A π 2.2B π- .6C π 4.4 D π- 7.（2011海南高考）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（ ） 1.3A 1.2B 2.3 C 3.4 D 8.（09山东）在区间[,]22ππ- 上随机取一个数x ，cos x 的值介于0到21之间的概率为( ). A.31 B.π2 C.21 D.32 9.(2007湖北理)连掷两次骰子得到的点数分别为m 和n ，记向量()m n ，a =与向量 (11)=-，b 的夹角为θ，则0θπ??∈ ?2?? ，的概率是（ ） A ．512 B ．12 C ．712 D ．56

条件概率(教案)

2．2．1条件概率 寿阳县第一职业中学` 付慧萍 教学目标： 知识与技能：通过对具体情景的分析，了解条件概率的定义。 过程与方法：掌握一些简单的条件概率的计算。 情感、态度与价值观：通过对实例的分析，会进行简单的应用。 教学重点：条件概率定义的理解 教学难点：概率计算公式的应用 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教具：多媒体 教学设想：引导学生形成“自主学习”与“合作学习”等良好的学习方式。 教学过程： 一、复习引入： 探究: 三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取,问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小. 若抽到中奖奖券用“Y ”表示，没有抽到用“Y”，表示，那么三名同学的抽奖结果共有三种可能：Y Y Y，Y Y Y和Y Y Y．用B 表示事件“最后一名同学抽到中奖奖券”, 则B 仅包含一个基 本事件Y Y Y．由古典概型计算公式可知，最后一名同学抽到中奖奖券的概率为 1 () 3 P B=. 思考:如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券，那么最后一名同学抽到奖券的概率又是多少？ 因为已知第一名同学没有抽到中奖奖券，所以可能出现的基本事件只有Y Y Y和Y Y Y．而“最后一名同学抽到中奖奖券”包含的基本事件仍是Y Y Y.由古典概型计算公式可知．最后一名同学抽到中奖 奖券的概率为1 2 ，不妨记为P（B|A ) ，其中A表示事件“第一名同学没有抽到中奖奖券”. 已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最后一名同学抽到中奖奖券的概率呢？ 在这个问题中，知道第一名同学没有抽到中奖奖券，等价于知道事件A 一定会发生，导致可能出现的基本事件必然在事件A 中，从而影响事件B 发生的概率，使得P ( B|A ）≠P ( B ) . 思考:对于上面的事件A和事件B，P ( B|A）与它们的概率有什么关系呢？ 用Ω表示三名同学可能抽取的结果全体，则它由三个基本事件组成，即Ω=｛Y Y Y, Y Y Y,Y Y Y｝．既然已知事件A必然发生，那么只需在A={Y Y Y, Y Y Y}的范围内考虑问题，即只有两个基本事件Y Y Y和Y Y Y．在事件A 发生的情况下事件B发生，等价于事件A 和事件B 同时发生，即AB 发生．而事件AB 中仅含一个基本事件Y Y Y，因此 (|) P B A=1 2 = () () n AB n A .

古典概率的四种解法

例 袋中有3只白球2只黑球,从中随意取出2个球,求事件A：“取出两球是一个白球一个黑球”的概率. 解： 方法一（有序法）：将5只球编号为1，2，3，4，5. 如果两球是依次取出，那么基本事件是一有序的结果，每两个有序数组(编号)构成一个基本事件，所以样本空间 S={12，13，14，15，23，24，25，34，35，45， 21，31，41，51，32，42，52，43，53，54} 由乘法原理可知：||. 5420S =×=事件A 所含的基本事件是：先从3个白球中任取一个，而后在2个黑球中取一个；和先从2个黑球中取一个，而后在3个白球中任取一个. 所以事件 A={14，15，24，25，34，35， 41，51，42，52，43，53} 由乘法原理、加法原理可知||322312A =×+×=. 由古典概率的定义可知：||123()||205 A P A S ===. 方法二(无序法)：将5只球仍编号为1，2，3，4，5. 如果两球是一次取出，那么基本事件是一个无序的结果，每两个数（两个号码）就构成一个基本事件，基本事件相当于从5个不同数中任取2个的一个组合，所以样本空间 S={12，13，14，15，23，24，25，34，35，45} 由组合的定义可知：2554||102 S C ×===. 事件A 包含的基本事件是：相当于有两只手同时取球（一只手在3个白球堆里取，一只手在2个黑球堆里取）放在一起的结果，所以事件 A={14，15，24，25，34，35} 由乘法原理可知. 1132||326A C C ==×=由古典概率的定义可知：||63()||105 A P A S ===. 方法三（全排列法）： 题目中所叙述的取球方法是从5个有区别的球中任取2个，考虑2个球的颜色，它等价于：将5个有区别的球随意排成一行，考虑前2个位置的颜色. 把每一个全排列结果作为一个基本事件，那么基本事件发生的可能性都一样. 此时样本空间 S={12345，13245，14235，"，54321 } 由排列的定义可知：. 55||5!S P ==

7.1.1 条件概率

第七章 随机变量及其分布 7.1 条件概率与全概率公式 7.1.1 条件概率 基础过关练 题组一 利用定义求条件概率 1.(2020山东日照第一中学高三上期中)根据历年气象统计资料,某地四月份吹东风的概率为7 30 ,既吹东风又下雨的概率为1 10 .则该地四月份在吹东风的条件下,下雨 的概率为( ) A.3 11 B.3 7 C.7 11 D.1 10 2.(2020广东顺德高三第三次教学质量检测)已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8,超过2年的概率为0.6,若一个这种元件使用到1年时还未失效,则这个元件使用寿命超过2年的概率为( ) A.0.75 B.0.6 C .0.52 D.0.48 3.(2020辽宁沈阳实验中学高三上月考)每场足球比赛的时间为90分钟,若比赛过程中体力消耗过大,则运动员腿部会发生抽筋现象,无法继续投入到比赛之中.某足球运动员在比赛前70分钟抽筋的概率为20%,比赛结束前20分钟抽筋的概率为50%.若某场比赛中该运动员已经顺利完成了前70分钟的比赛,那么他能顺利完成90分钟比赛的概率为( ) A.4 5 B.3 10 C.5 8 D.2 5

4.(2020东北三省哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学三校高三第一次联合模拟考试)近年来,新能源汽车技术不断推陈出新,新产品不断涌现,在汽车市场上影响力不断增大.动力蓄电池技术作为新能源汽车的核心技术,它的不断成熟也是推动新能源汽车发展的主要动力.假定现在市售的某款新能源汽车上,车载动力蓄电池充放电循环次数达到2 000次的概率为85%,充放电循环次数达到2 500次的概率为35%.若某用户的自用新能源汽车已经经过了2 000次充电,那么该用户的车能够充电2 500次的概率为. 题组二由样本点数求条件概率 5.已知6个高尔夫球中有2个不合格,每次任取1个,不放回地取两次.在第一次取到合格高尔夫球的条件下,第二次取到不合格高尔夫球的概率为( ) A.3 5B.2 5 C.2 3 D.3 10 6.(2020福建南平高级中学高二下期中)同时抛掷一颗红骰子和一颗蓝骰子,观察向上的点数,记“红骰子向上的点数小于4”为事件A,“两颗骰子的点数之和等于7”为事件B,则P(B|A)=( ) A.1 2B.1 3 C.1 4 D.1 6 7.(2020山东烟台高二下期中)甲、乙、丙3位大学毕业生去4个工厂实习,每位毕业生只能选择其中的一个工厂实习,设“3位大学毕业生去的工厂各不相同”为事件A,“甲独自去一个工厂实习”为事件B,则P(A|B)= ( ) A.2 3B.1 3 C.3 4 D.5 8 8.(2020山东济宁高三二模)已知n是一个三位数,若n的十位数字大于个位数字,百位数字大于十位数字,则称n为递增数.已知a,b,c∈{0,1,2,3,4},设事件A为

概率图模型理论及应用教学大纲

教学大纲 统计推理和学习（Statistical Inference and Learning）是信号处理、模式识别、通信系统等工程应用中处理不确定性的一个重要方法。新兴的（概率）图模型是概率论与图论相结合的产物，为各种统计推理和学习提供了一个统一的灵活框架。 本课程介绍图模型基本理论，包括：图论相关知识，图模型上条件独立性，有向图模型（贝叶斯网络）、无向图模型（马尔可夫随机场），图模型的统计推理算法，图模型的学习算法（参数学习和结构学习）等，以及图模型在语音识别、图像处理、计算机视觉、通信信道编码（Turbo-coding）等应用中的具体实例。具体包括如下内容：第一章引言 统计推理和学习的概念 第二章图模型 图论相关知识（简介） 图模型上条件独立性（d-separation，Bayes ball） 有向图模型（贝叶斯网络），无向图模型（马尔可夫随机场） 在图模型框架下介绍： 多元高斯模型、 主成分分析（PCA）、 混合分布（Mixtures）、 因子分析（FA）、 隐马尔科夫模型（HMM） 第三章图模型上的推理（Inference） 图论知识深入：簇（Cliques）、可分解图（Decomposable graph），连接树（Junction tree），规范化（Moralization），三角化（Triangulation）等概念 Junction Tree算法 对HMM的前向-后向算法、Viterbi算法，线性动态系统的Kalman滤波的统一描述 1

第四章图模型的参数学习（Parameter Learning） 完整数据下的最大似然（ML）参数估计 不完整数据（Incomplete Data）下的ML参数估计（EM算法） 完整数据下的贝叶斯学习 不完整数据下的贝叶斯学习 第五章图模型的结构学习（Structure Learning） 模型选取准则，包括最小描述长度（Minimum Description Length，MDL），贝叶斯信息准则（Bayesian Information Criterion，BIC）等 结构EM算法（Structural EM） 结构的贝叶斯学习 第六章图模型的应用选讲 图模型在语音识别应用中的实例 图模型在图像处理应用中的实例 图模型在计算机视觉应用中的实例 图模型在通信信道编码（Turbo-coding）应用中的实例 （前面各章中配合理论的讲解，相应有应用实例的介绍。） 2

条件概率

条件概率、乘法公式、独立性 前面讲到随机事件时，讲到随机事件是在一定条件S下，进行随机试验而可能发生或可能不发生的事件．当我们计算事件A的概率P(A)时，假如除了条件S外，不再加上其它条件的限制，我们称此种概率为无条件的概率。然而在许多实际问题中，还存在着要求一个事件B在某一事件A差不多发生的条件下的概率．我们称它条件的概率。 一．【例1】设箱中有100件同型产品。其中70件(50件正品，20件次品)来自甲厂， 30件(25件正品， 5件次品)来自乙厂。现从中任取一件产品。 (1)求取得甲厂产品的概率； (2)求取得次品的概率； (3)已知取得的是甲厂产品，求取得的是次品的概率。 分析：为了直观，我们将产品情况列成表

上面的问题，可用古典概率计算法求得。 解： 则（1）（2）， ，， （3）在“已知取得的是甲厂产品”这一条件下任取一件产品，实际上是从甲厂70件产品(50件正品，20件次

品)中任取一件。这时样本空间只含70个差不多事件(是 原的样本空间的一部分)。由古典概率知： 为了给出条件概率的数学定义，我们对{例1}的条件概率问题进行分析： 即有 二。条件概率：设A,B是条件S下的两个随机事件，P(A)＞ 0，则称在事件4发生的条件下事件B发生的概率为条件概率, 且

【例 1】从带有自标号1， 2， 3，4，5，6的六个球中，任取两个，假如用A表示事件“取出的两球的自标号的和，为6”，用B表示事件“取出的两球的自标号都处偶数”，试求：

【例】 φ =，解；（ⅰ）∵ABφ 三．概率的乘法公式：

乘法公式：两个事件A、B之交的概率等于中任一个事件(其概率不为零)的概率乘以另一个事件在已知前一个事件发生下的条件概率。即 【例2】盒中有10件同型产品。其中8件正品， 2件次品，现从盒中无放回地连取2件，求第一次、第 二次都取得正品的概率。

古典概率计算中的若干方法

摘要：通过介绍古典概率的计算方法，使学生在解题过程中能正确分析题意，运用适当的方法获得准确的答案，从而提高分析问题和解决问题的能力。应用古典概率知识分别对抽签问题、方案决策问题、购物问题、线路设计问题进行了概率分析，旨在说明概率的实际应用。 关键词：古典概率；排列组合； Abstract: This paper introduces calculations of classical probability that cause students to correctly analyze the question in the solution process and acquire the accurate answer via an appropriate method. Therefore, in so doing, students' ability to analyze and solve problems can be improved. Application of classical probability knowledge to draw respectively, decision making problems, shopping, circuit design problems on the probability analysis, aims to show that the probability of practical application. Keywords: classical probability；permutation and combination

条件概率公式

条件概率公式 条件概率： 设A、B是两个事件，在A事件发生的条件下，B事件发生的概率，其中P（A）>0。说明A事件发生的概率大于0,表示A事件是必然发生的。记为：P(B|A)=P(AB)/P(A) 。 注意事件A作为条件，分母必定是条件概率，所以A事件的概率必定在分母上，分子P(AB)表示事件A与B相交的概率，记作P(A∩B)。 举例说明：将一枚硬币抛两次，观察正反面，正面记H,反面记T. 样本空间Ω=（HH, HT,TH,TT） 设事件A：至少一次为正面，即事件A=（HH,HT,TH） 设事件B：两次为同一面，即事件B=（HH,TT） 求事件A发生条件下，事件B发生的概率？即求P(B|A)。 （例子来自浙大版概率与统计第四版） 从已知条件可知，总样本Ω为4个，A事件有3个，B事件有2个。 所以可以直接求出A的概率与B的概率。即P(A)=3/4 , A事件与B事件相交事件只有一个即HH。 即P(AB)=1/4.有公式1可知 P(B|A)=P(AB)/P(A)=（1/4）/（3/4）=1/3. 1.2 乘法公式：把式1条件概率公式P(B|A)=P(AB)/P(A)

把P(AB)相交概率移到式子左边，把P(B|A)条件概率移动式子右边。即得到乘法公式。如式P(AB)=P(B|A) P(A)。 全概率公式： 在条件概率中引入(A∩B)积事件的概念。积事件概率表示相交事件的概率只有在A与B事件同事发生情况下才会发生。P(A∩B)表示A和B相交的概率。而在全概率公式中将引入∪和事件概念. 有个小窍门，其实可以把积事件理解为数字电路的与门、把和事件理解为数字电路的或门。比如样本空间S，可以划分样本B1，B2...B6组成，即S=（B1∪B2∪ (6)

古典概率和排列组合

计数的基本方法：乘法原理和加法原理 乘法原理：完成一个事件分为n 个步骤，每个步骤之间没有关联，即都是独立的，假如第k 个步骤有k m 种方法，那么总的方法数就有1n k k m =∏。 加法原理：如果步骤之间有相关性，不独立。考虑两个步骤。第一个步骤有m 种方法，而对应第k 个方法，第二个步骤有k m 种方法，那么完成事件的方法数有 1 m k k m =∑。 下面以放球入盒模型为例来说明排列组合问题：有n 个球，m 个盒子，把球放入盒中有各种不同的方法，对于每一种给定的放球方式，可能的结果有多少？。 排列 盒子将认为总是可区分，即已编号，而球分可区分和不可区分两种。 放球方式1（球可区分，依次不可重复）：依次放入每一个球，每个盒子中只能放一个，共有多少种不同的结果？此时，当然必须n m ≤。 则第一个球有m 种放入方法，第二个球有1m -种，依此类推，第n 个球有1m n -+种，总可能结果有! (1)(1)()! m m m m n m n ?-? ?-+= -个。 放球方式2（球可区分，依次可重复）：依次放入每一个球，每个盒子可重复放入球，则总的可能结果有：n m 个。 放球方式3（球不可区分，依次不可重复）：依次放入每一个球，每个盒子中只能放一个，但只要放球的盒子编号相同，球的编号不同时，仍视为同一种结果。 由此，相当于在m 个盒子中，选出n 个盒子，可能的结果数记为n m C 。称为组合 数。事实上，放球方式1可分为两个步骤：选取n 个要放入球的盒子，在把n 个 球放入每个盒中，可能结果数为!n m n C 。所以与方式2比较得：! !()! n m m C n m n =-。 放球方式4（球不可区分，依次可重复）：每个盒子允许有多个球。由于球不加区分，如果每个盒中的球数相同，则将被视为同一个结果。为此，图示如下。有两个球，放入三个盒子中，结果1

1古典概率典型题解

概率论与数理统计典型题解 第一章 随机事件与概率典型题解 1．n 个人随机地围一圆桌而坐，求甲、乙两人相邻而坐的概率． 解 令A ={甲、乙两人相邻而坐}，设想圆桌周围有1,2,,n 这n 个位置，由于该问题属于圆排列问题，所以不妨认为甲坐1号位置，那么A 发生当且仅当乙坐2号或n 号位置，从而 1,2,()2 , 2.1 n P A n n =?? =?>? -? 2．甲、乙两人掷均匀硬币，其中甲掷1n +次，乙掷n 次，求甲掷出正面的次数大于乙掷出正面次数的概率． 解 令A ={甲掷出正面的次数大于乙掷出正面次数}， B ={甲掷出反面的次数大于乙掷出反面次数}， 由硬币的均匀性知，()()P A P B =，容易看出，,A B S AB ==? ，由此可知 1()2 P A = ． 3．某班有N 个学生，上体育课时老师发给每人一根绳子进行跳绳练习，跳了10分钟后把绳子放在一堆，进行别的练习，后来每人又随机拿了一根绳子进行练习，问至少有一个学生拿到自己原先使用的绳子的概率． 解 令i A ={第i 个学生拿到自己原先使用的绳子}（1,2,,i N = ）， A ={至少有一个学生拿到自己原先使用的绳子}， 则 1 11 ()()()()N N i i i j i i j N i P A P A P A P A A =≤<≤=== -+∑∑ 1 121()(1) ()N i j k N i j k N P A A A P A A A -≤<<≤-+-∑ 1 2 3 1 111 1(1) (1) (1)(2) ! N N N N N N C C C C N N N N N N N -=-+-+---- 1 1111(1) 2! 3! ! N N -=-+-+- ． 4．若事件A 与B 互不相容，且()0P B ≠，证明：(|)()/()P A B P A P B =． 证明 由于A 与B 互不相容，则AB A =，而()0P B ≠，故