大学期末离散数学集合论部分练习题2017
《离散数学》集合论部分练习题
班级 学号 姓名
一、填空题
1. 设全集{}{}{},5,2,3,2,1,5,4,3,2,1===B A E 则=B A ，=A ，
=B A ，=-)()(A P B P .
2. 设21,R R 都是集合{}4,3,2,1=A 上的二元关系，其中{}><><><=4,2,2,1,1,11R ，
{}><><><><=2,3,4,2,3,2,4,12R ，则=21R R .
3. 设{}21,,,,,R R d c b a A =是A 上的二元关系，且{}><><><><=d d c b b b a a R ,,,,,,,1，
{}><><><><><=d d b c c b b b a a R ,,,,,,,,,2，则2R 是1R 的 闭包.
4. 设{}c b a A ,,=，R 是A 上的二元关系，且R 的关系矩阵为????
?
?????=110110001)(R M ，则R 的传递
闭包)(R t 的关系矩阵为 .
5．设{}24,12,10,8,6,5,4,3,2=A ，R 是A 上的整除关系，则A 的极大元是 ，极小元是 .
二、选择题
1. 设集合{}{}{}d c C c b a B A ,,,,,2,1===，则=?)(C B A （ ）
（A ）{}><>
(A){}><><><><><><3,3,1,1,0,0
(C){}><><><3,3,,,1,1a a (D){}><><><><0,3,3,,,1,1,0a a
3. 设A ＝{1,2,3,4,5,6}到B ＝{1,2,3}上的关系R ＝{|a ＝b 2}，则dom R 和ran R 分别为（ ）
(A) {<1,2>}和{<1,4>} (B) {<1,4>}和{<1,2>}
(C) {1,4}和{1,2} (D) {<1,2>}和{1,4}
4. 设集合{}c b a A ,,=,A 上的二元关系{}><><=b b a a R ,,,不具备关系的( )性质 (A)传递性 (B)反对称性 (C)对称性 (D)自反性
5. 下列集合{}c b a A ,,=上的二元关系中，不具有传递性的是( ) (A) {}><=b a R , (B) {}><><=c b b a R ,,, (C) {}><><=a a b a R ,,, (D) {}><><=c a b a R ,,,
三、解答题
1. 设{}{}
R x x x B R x x x A ∈>=∈<<=,4,,53，求B A B A B A ⊕-,, .
2. 设{}{}{}4,3,3,2,1,,===C B b a A ，求)()(),(C A B A C B A ??? .
3. 设集合{}4,3,2,1=A ，A
上的二元关系{}2|,+=><=a b b a R ，
{}2/1|,a b a b b a S =∨+=><=，求111)(,,)2(,)1(---S R S R M M M R
S S R .
4. R 是从集合A 到B 的二元关系，写出R 的关系矩阵.
（1）{}{}{}><><><><===3,,2,,2,,1,,3,2,1,,,,c c b a R B d c b a A ； （2）{}{}{}42,,|,,3,2,1,5,4,3,2,1≤+≤∈∈><===b a B b A a b a R B A .
5. 设集合{}d c b a A ,,,=上的二元关系R 的关系矩阵为?????
????
???=10
00
00001101
0001
R M ,求)(),(),(R t R s R r 的关系矩阵，并画出)(),(),(,R t R s R r R 的关系图.
6. 设集合{}5,4,3,2,1,0=A 上的关系
{}
>><<><><><><><><><><><><><><=5,54,5,5,4,4,4,3,3,2,3,1,3,3,2,2,2,1,2,3,1,2,1,1,1,0,0R ，试用关系图验证R 是A 上的等价关系，并求出R 在A 上构成的等价类.
7. 下图是两个偏序集> 图1 图2 （图1中第一行4个点依次为d,e,f,g ; 第二行2个点依次为b,c ; 第一行1个点为a.图2中第一行1个点依次为f ; 第二行4个点依次为b,c,d,e ; 第一行1个点依次为a,g .） 8. 设集合{}{}{}{}{}{}e d c b a d c b a c b a b a b a A ,,,,},,,,,,,,,,,{=，A 在包含关系?下构成一个偏序集?><,A ，试画出?><,A 的哈斯图. 四、证明题 1. 设C B A ,,是给定的任意三个集合，求证：C B A C B A --=-)()( . 2. 设T S R ,,是集合A 上的二元关系，证明：)()()(T R S R T S R =. 第三章集合论基础 1、设A={a,{a},{a,b},{{a,b},c}}判断下面命题的真值。 ⑴{a}∈A T ⑵?({a}? A) F ⑶c∈A F ⑷{a}?{{a,b},c} F ⑸{{a}}?A T ⑹{a,b}∈{{a,b},c} T ⑺{{a,b}}?A T ⑻{a,b}?{{a,b},c} F ⑼{c}?{{a,b},c} T ⑽({c}?A)→(a∈Φ) T 2、证明空集是唯一的。（性质1：对于任何集合A，都有Φ?A。） 证明：假设有两个空集Φ1 、Φ2 ，则 因为Φ1是空集，则由性质1得Φ1 ?Φ2 。 因为Φ2是空集，则由性质1得Φ2 ?Φ1 。 所以Φ1=Φ2 。 3、设A={Φ},B=P(P(A)).问：(这道题要求知道幂集合的概念) a)是否Φ∈B?是否Φ?B? b)是否{Φ}∈B? 是否{Φ}?B? c)是否{{Φ}}∈B? 是否{{Φ}}?B? 解：设A={Φ}，B=P(P(A)) P(A)= {Φ,{Φ}} 在求P(P(A))时，一些同学对集合{Φ,{Φ}}难理解，实际上你就将{Φ,{Φ}}中的元素分别看成Φ=a ,{Φ}=b, 于是{Φ,{Φ}}={a,b} B=P(P(A))=P({a,b}) ={B0, B1 , B2 , B3 }={B00, B01,B10 ,B11}={Φ, {b}, {a}, {a,b}} 然后再将a,b代回即可B=P(P(A))=P({Φ,{Φ}})={Φ,{Φ} ,{{Φ}}, {Φ,{Φ}}} 以后熟悉后就可以直接写出。 a) Φ∈B Φ?B b) {Φ}∈B {Φ} ? B c) {{Φ}}∈B {{Φ}}?B a)、b)、c)中命题均为真。 4、证明A?B ? A∩B=A成立。 证明：A∩B=A ??x(x∈A∩B ?x∈A) ??x((x∈A∩B → x∈A)∧(x∈A→ x∈A∩B)) ??x((x?A∩B∨x∈A)∧(x?A∨x∈A∩B)) ??x((?(x∈A∧x∈B)∨x∈A)∧(x?A∨(x∈A∧x∈B)) ??x(((x?A∨x?B)∨x∈A)∧(x?A∨(x∈A∧x∈B))) ??x(T∧(T∧( x?A∨x∈B))) ??x( x?A∨x∈B)??x(x∈A→x∈B)? A?B 5、(A-B)-C=(A-C)-(B-C) 证明：任取x∈(A-C)-(B-C) ?x∈(A-C)∧x?(B-C) ?(x∈A∧x?C)∧?(x∈B∧x?C) ?(x∈A∧x?C)∧(x?B∨x∈C) ?(x∈A∧x?C∧x?B)∨(x∈A∧x?C∧x∈C) ?x∈A∧x?C∧x?B?x∈A∧x?B∧x?C ?(x∈A∧x?B)∧x?C ?x∈A-B∧x?C?x∈(A-B)-C 所以(A-B)-C=(A-C)-(B-C) 华南理工大学网络教育学院 2014–2015学年度第一学期 《离散数学》作业 （解答必须手写体上传，否则酌情扣分） 1．设命题公式为?Q∧（P→Q）→?P。 （1）求此命题公式的真值表； （2）求此命题公式的析取范式； （3）判断该命题公式的类型。 解：（1）真值表如下： P Q ?Q P →Q ?Q∧（P→Q）?P ?Q∧（P→Q）→?P 0 0 1 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 1 （2）?Q∧（P→Q）→?P??(?Q∧(?P∨ Q)) ∨? P ?( Q∨? (?P∨ Q)) ∨? P ?? ( ?P∨ Q) ∨ (Q∨?P) ?1（析取范式） ?(?P∧? Q) ∨ (?P∧ Q) ∨ (P∧? Q) ∨（P∧ Q）（主析取范式） （3）该公式为重言式 2．用直接证法证明 前提：P∨Q，P→R，Q→S 结论：S∨R 解：（1）?S P (2)Q →S P (3) ? Q (1)(2) (4)P∨ Q P (5)P (3)(4) (6) P → R P (7)R (5)(6) (8)?S→ R （1）（7） 即SVR得证 3．在一阶逻辑中构造下面推理的证明 每个喜欢步行的人都不喜欢坐汽车。每个人或者喜欢坐汽车或者喜欢骑自行车。有的人不喜欢骑自行车。因而有的人不喜欢步行。 令F(x)：x喜欢步行。G(x)：x喜欢坐汽车。H(x)：x喜欢骑自行车。 解：前题：?x (F (x) →?G(x)), ?x (G (x) ∨H (x)) ? x ?H (x) 结论:? x ?F (x) 证：（1）? x ?F (x) p (2) ?H (x) ES(1) (3) ?x (G (x) ∨H (x))P (4)G(c) vH(c)US(3) (5)G(c) T(2,4)I (6)?x (F (x) →?G(x)), p (7)F (c) →?G(c) US(6) (8) ?F (c) T(5,7)I (9)( ? x) ?F (x) EG(8) 4．用直接证法证明： 前提：（?x）（C（x）→W（x）∧R（x）），（?x）（C（x）∧Q（x）） 结论：（?x）（Q（x）∧R（x））。 证： （1）（?x）（C（x）∧Q（x））P (2) C (c) ∧Q（c）ES(1) (3)（?x）（C（x）→W（x）∧R（x））P 离散数学考试（试题及答案） 一、（10分）某项工作需要派A、B、C和D4个人中的2个人去完成，按下面3个条件，有几种派法？如何派？ (1)若A去，则C和D中要去1个人； (2)B和C不能都去； (3)若C去，则D留下。 解设A：A去工作；B：B去工作；C：C去工作；D：D去工作。则根据题意应有：ACD，(B∧C)，CD必须同时成立。因此 (ACD)∧(B∧C)∧(CD) (A∨(C∧ D)∨(C∧D))∧(B∨C)∧(C∨D) (A∨(C∧ D)∨(C∧D))∧((B∧C)∨(B∧D)∨C∨(C∧D)) (A∧B∧C)∨(A∧B∧D)∨(A∧C)∨(A∧C∧D) ∨(C∧D∧B∧C)∨(C∧D∧B∧D)∨(C∧D∧C)∨(C∧ D∧C∧D) ∨(C∧D∧B∧C)∨(C∧D∧B∧D)∨(C∧D∧C)∨(C∧D F∨F∨(A∧C)∨F∨F∨(C∧ D∧B)∨F∨F∨(C∧D∧B)∨F∨(C∧D)∨F (A∧C)∨(B∧C∧ D)∨(C∧D∧B)∨(C∧D) (A∧C)∨(B∧C∧ D)∨(C∧D) T 故有三种派法：B∧D，A∧C，A∧D。 二、（15分）在谓词逻辑中构造下面推理的证明：某学术会议的每个成员都是专家并且是工人，有些成员是青年人，所以，有些成员是青年专家。 解：论域：所有人的集合。()：是专家；()：是工人；()：是青年人；则推理化形式为： (()∧())，()(()∧()) 下面给出证明： (1)() P (2)(c) T(1)，ES (3)(()∧()) P (4)( c)∧( c) T(3)，US (5)( c) T(4)，I (6)( c)∧(c) T(2)(5)，I (7)(()∧()) T(6) ，EG 三、（10分）设A、B和C是三个集合，则AB(BA)。 证明：ABx(x∈A→x∈B)∧x(x∈B∧xA)x(xA∨x∈B)∧x(x∈B∧xA) x(x∈A∧xB)∧x(xB∨x∈A)x(x∈A∧xB)∨x(x∈A∨xB) (x(x∈A∧xB)∧x(x∈A∨xB))(x(x∈A∧xB)∧x(x∈B→x∈A)) (BA)。 四、（15分）设A＝{1，2，3，4，5}，R是A上的二元关系，且R＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>}，求r(R)、s(R)和t(R)。 解 r(R)＝R∪I A＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<1，1>，<2，2>，<3，3>，<4，4>，<5，5>} s(R)＝R∪R－1＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>， <5，2>，<1，2>，<4，2>，<4，3>} R2＝{<2，2>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，1>，<5，5>，<5，4>} R3＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<5，4>} R4＝{<2，2>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，1>，<5，5>，<5，4>}＝R2 t(R)＝R i＝{<2，1>，<2，5>，<2，4>，<3，4>，<4，4>，<5，2>，<2，2>，<5，1>，<5，4>，<5，5>}。 《离散数学》单元测试（集合论） 3.1集合的基本概念 1.设Ａ、Ｂ、Ｃ是集合，确定下列命题是否正确，说明理由。 （1）Ф?Ф （2）Ф∈Ф （3）Ф?{Ф} （4）Ф∈{Ф} （5）如果A∈B与B?C,则A?C （6）如果A∈B与B?C,则A∈C （7）如果A?B与B∈C,则A∈C （8）如果A?B与B∈C,则A?C 2.有n个元素的集合Ａ的幂集ρ(A)的元素个数为多少？求下列集合的幂集合。 （1）Ф （2）{Ф} （3）{Ф,{Ф}} （4）{a,b} （5）{a,b,{a,b}} （6）{1，{1}，2，{2}} 3.2 集合的运算 1.设A，B是两个集合，A={1，2，3}，B={2，3，4}，则B－A= ，ρ（B）－ ρ（A）= 。 2.全集E={a，b，c，d，e}，A={a，d}，B={a，b，e}，C={b，d}，求 ，ρ（A）∩ρ（B） A B C= () = 。 3.下列命题正确的是（）。 A．φ∩{φ}=φB．φ∪{φ}=φC．{a}∈{a，b，c} D．φ∈{a，b，c} 4.确定下列各式的值： Ф∩{Ф}＝ {Ф,{Ф}}－Ф＝ {Ф,{Ф}}－{Ф}＝ 6.证明下列各等式： A∩(B－A)＝Ф A∪(A∩B)＝A 3.3 有穷集合的计数问题 掌握文氏图和容斥原理求解有穷集合的计数问题的方法，并会简单应用。以教材的示例为基础。 第4章 二元关系 4.1二元关系的定义、表示方法与特性 1. A 和B 是任意两个集合，若序偶的第一个元素是A 的一个元素，第二个元素是B 的一个 元素，则所有这样的序偶集合称为集合A 和B 的 ， 记作A ?B ，即A ?B= 。A ?B 的子集R 称为A 到B 的一个 。若|A|=m ， B|=n ，则A 到B 共有 个不同的二元关系。 2. 设集合A ＝{a,b},B ＝{x,y},求笛卡尔乘积A ×B,B ×A,,A ×ρ(B)。 3. 证明： (1) (A ∩B)×C=(A ×C)∩(B ×C) (2) (A ∪B)×C=(A ×C)∪(B ×C) 4. 设A={a,b},B={x,y},则从A 到B 的二元关系共有多少个？请分别列出。 5. 设集合A={a,b,c,d},B={1,2,3},R 是A 到B 的二元关系，R={ 《离散数学》试卷（A 卷） 一、 选择题（共5 小题，每题 3 分，共15 分） 1、设A={1,2,3},B={2,3,4,5},C={2,3},则C B A ⊕?)(为(C )。 A 、{1,2} B 、{2,3} C 、{1,4,5} D 、{1,2,3} 2、下列语句中哪个是真命题 ( A ) A 、如果1+2=3，则4+5=9； B 、1+2=3当且仅当4+5≠9。 C 、如果1+2=3，则4+5≠9； D 、1+2=3仅当4+5≠9。 3、个体域为整数集合时，下列公式（ C ）不是命题。 A 、)*(y y x y x =?? B 、)4*(=??y x y x C 、)*(x y x x =? D 、)2*(=??y x y x 4、全域关系A E 不具有下列哪个性质（ B ）。 A 、自反性 B 、反自反性 C 、对称性 D 、传递性 5、函数612)(,:+-=→x x f R R f 是（ D ）。 A 、单射函数 B 、满射函数 C 、既不单射也不满射 D 、双射函数 二、填充题（共 5 小题，每题 3 分，共15 分） 1、设|A|=4，|P(B)|=32，|P(A ?B)|=128，则|A ?B|=??2???. 2、公式)(Q P Q ?∨∧的主合取范式为 。 3、对于公式))()((x Q x P x ∨?，其中)(x P ：x=1， )(x Q ：x=2，当论域为{0,1,2}时，其真值为???1???。 4、设A ＝{1,2,3,4}，则A 上共有???15????个等价关系。 5、设A ＝{a ，b ，c }，B={1,2},则|B A |= 8 。 三、判断题（对的填T ，错的填F ，共 10 小题，每题 1 分，共计10 分） 1、“这个语句是真的”是真命题。 （ F ） 2、“张刚和小强是同桌。”是复合命题。 （ F ） 3、))(()(r q q p p ∧?∧→?∨是矛盾式。 （ T ） 4、)(T S R T R S R ??????。 （ F ） 5、恒等关系具有自反性，对称性，反对称性，传递性。 （ T ） 6、若f 、g 分别是单射,则g f ?是单射。 （ T ） 7、若g f ?是满射，则g 是满射。 （ F ） 8、若A B ?，则)()(A P B P ?。 （ T ） 9、若R 具有自反性，则1-R 也具有自反性。 （ T ） 10、B A ∈并且B A ?不可以同时成立。 （F ） 四、计算题（共 3 小题，每题 10 分，共30 分） 1、调查260个大学生，获得如下数据：64人选修数学课程，94人选修计算机课程，58人选修商贸课程，28人同时选修数学课程和商贸课程，26人同时选修数学课程和计算机课程，22人同时选修计算机课程和商贸课程，14人同时选修三门课程。问 （１）三门课程都不选的学生有多少？ （２）只选修计算机课程的学生有多少？ 1 离散数学模拟试题Ⅰ 一、单项选择题(本大题共15小题,每题1分,共15分)在每小题列出的四个备选项中只有一个就是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分 1.设 }16{2<=x x x A 是整数且,下面哪个命题为假( A )。 A 、A ?}4,2,1,0{; B 、A ?---}1,2,3{; C 、A ?Φ; D 、A x x x ?<}4{是整数且。 2.设}}{,{,ΦΦ=Φ=B A ,则B －A 就是( C )。 A 、}}{{Φ; B 、}{Φ; C 、}}{,{ΦΦ; D 、Φ。 3.右图描述的偏序集中,子集},,{f e b 的上界为 ( B )。 A 、b,c; B 、a,b; C 、b; D 、a,b,c 。 4.设f 与g 都就是X 上的双射函数,则1)(-g f ο为( C )。 A 、11--g f ο; B 、1)(-f g ο; C 、11--f g ο; D 、1-f g ο。 5.下面集合( B )关于减法运算就是封闭的。 A 、N ; B 、}2{I x x ∈; C 、}12{I x x ∈+; D 、}{是质数x x 。 6.具有如下定义的代数系统>*<,G ,( D )不构成群。 A 、G={1,10},*就是模11乘 ; B 、G={1,3,4,5,9},*就是模11乘 ; C 、G=Q(有理数集),*就是普通加法; D 、G=Q(有理数集),*就是普通乘法。 7.设 },32{I n m G n m ∈?=,*为普通乘法。则代数系统>*<,G 的幺元为( B )。 f 2 A 、不存在 ; B 、0032?=e ; C 、32?=e ; D 、1132--?=e 。 8.下面集合( C )关于整除关系构成格。 A 、{2,3,6,12,24,36} ; B 、{1,2,3,4,6,8,12} ; C 、{1,2,3,5,6,15,30} ; D 、{3,6,9,12}。 9.设},,,,,{f e d c b a V =, },,,,,,,,,,,{><><><><><><=e f e d d a a c c b b a E ,则有向图 >= 离散数学集合论部分测试题 离散数学集合论部分综合练习 本课程综合练习共分3次，分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，这3次综合练习基本上是按照考试的题型安排练习题目，目的是通过综合练习，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次是集合论部分的综合练习。 一、单项选择题 1．若集合A={a，b}，B={ a，b，{ a，b }}，则（）． A．A?B，且A∈B B．A∈B，但A?B C．A?B，但A?B D．A?B，且A?B 2．若集合A＝{2，a，{ a }，4}，则下列表述正确的是( )． A．{a，{ a }}∈A B．{ a }?A C．{2}∈A D．?∈A 3．若集合A＝{ a，{a}，{1，2}}，则下列表述正确的是( )． A．{a，{a}}∈A B．{2}?A C．{a}?A D．?∈A 4．若集合A={a，b，{1，2 }}，B={1，2}，则（）． A．B? A，且B∈A B．B∈ A，但B?A C．B ? A，但B?A D．B? A，且B?A 5．设集合A = {1, a }，则P(A) = ( )． A．{{1}, {a}} B．{?,{1}, {a}} C．{?,{1}, {a}, {1, a }} D．{{1}, {a}, {1, a }} 6．若集合A的元素个数为10，则其幂集的元素个数为（）． A．1024 B．10 C．100 D．1 7．集合A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}上的关系R={ 安徽大学20 09 — 20 10 学年第 1 学期 《离散数学（上）》考试试卷（A 卷） （时间120分钟） 院/系 专业 姓名 学号 题 号 一 二 三 四 五 总分 得 分 一、单选题（每小题2分，共20分） 1. 设A={a,b,c}，A 上二元关系R={〈a,a 〉，〈b,b 〉,〈a,c 〉}，则关系R 的对称闭包S(R)是( ) A.R ∪I A B.R C.R ∪{〈c,a 〉} D.R ∩I A 2. 设X={a,b,c},I x 是X 上恒等关系，要使I x ∪{〈a,b 〉，〈b,c 〉，〈c,a 〉，〈b,a 〉}∪R 为X 上的等 价关系，R 应取( ) A. ｛〈c,a 〉，〈a,c 〉｝ B.{〈c,b 〉，〈b,a 〉} C. {〈c,a 〉，〈b,a 〉} D.{〈a,c 〉，〈c,b 〉} 3. 下列式子正确的是( ) A. ?∈? B.??? C.{?}?? D.{?}∈? 4. 设解释R 如下：论域D 为实数集，a=0, f(x,y)=x-y, A(x,y):x 浙江农林大学暨阳学院 2016 - 2017 学年第 二 学期考试卷答案 课程名称： 离散数学 课程类别： 必修 考试方式： 闭卷 适用专业： 计算机151-152 注意事项：1、本试卷满分100分。 2、考试时间 120分钟。 一、单项选择题（在每小题的四个备选答案中，选出一个正确答案， 并将正确答案的选项填在题后的括号内。每小题2分，共8分） 1. 公式q p p ?→?→)(的类型是 ( C ) A. 重言式 B. 矛盾式 C. 非重言式的可满足式 D. 以上均不对 2. |A |=n , |B |=m , 且m , n >0, 则|B A |= ( D ) A.m 2 B. 2n C. n m D. m n 3. 集合的广义并}},{},,,{},,,{{d a d c a c b a ?= ( B ) A.},,{c b a B.},,,{d c b a C.},,{d c a D.}{a 4. f ：R→R, f (x )=-x 2+2x -1，则f 是 ( D ) A. 单射 B. 满射 C. 双射 D. 以上均不对 系（部） ： 专业班级： 姓名： 学号： 装 订 线 内 不 要 答 题 二、填空题（每小题3分，共36分） 1. 令p:吴颖用功, q:吴颖聪明，吴颖既用功又聪明符号化为__q p ∧_____ 2. 如果2 <1,则23≥的真值为___1___ 3. (q →p ) ∧q →p 的成真赋值为 ___00,01,10,11_ __ 4. (p →?q)→r ? 13567m m m m m ∨∨∨∨的成假赋值为__000,010,100_ 5. 设A 有3个命题变项, 且已知A= m 2∨m 4∨m 5∨m 6，A 的主合取范式为 ___7310M M M M A ∧∧∧= 6. 设D 为人类集合，G(x)：x 用左手写字，则一阶逻辑中命题有人用左手写字符号 化为__)(x xG ?__ _ 7. 给定解释 I 如下： (a) 个体域 D=R (b) 0a = (c) (,),(,)f x y x y g x y x y =+=? (d) (,):F x y x y = 则公式?xF (g (x ,y ),a ) 在I 下的解释为__)0(=??y x x _____ 8. R = {<1,2>, <2,3>, <1,4>, <2,2>}，S = {<1,1>, <1,3>, <2,3>, <3,2>, <3,3>}， 则S ?R = __{1,2,1,4,3,3,3,2}<><><><>__ 9. 设R={<1,2>,<1,3>,<2,2>,<2,4>,<3,2>}, 则R ?{2} = ___}4,2,2,2{><><___ 10. 设R 为A 上的关系, 则有R 的对称闭包s(R)=__ 1-?R R ____ 11. 设G= 北京语言大学网络教育学院 《离散数学》模拟试卷一 注意： 1.试卷保密，考生不得将试卷带出考场或撕页，否则成绩作废。请监考老师负责监督。 2.请各位考生注意考试纪律，考试作弊全部成绩以零分计算。 3.本试卷满分100分，答题时间为90分钟。 4.本试卷分为试题卷和答题卷，所有答案必须答在答题卷上，答在试题卷上不给分。 一、【单项选择题】(本大题共15小题，每小题3分，共45分)在每小题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在答题卷相应题号处。 1、在由3个元素组成的集合上，可以有 ( ) 种不同的关系。 [A] 3 [B] 8 [C]9 [D]27 2、设{}{}1,2,3,5,8,1,2,5,7A B A B ==-=,则（ ）。 [A] 3,8 [B]{}3 [C]{}8 [D]{}3,8 3、若X 是Y 的子集，则一定有（ ）。 [A]X 不属于Y [B]X ∈Y [C]X 真包含于 Y [D]X∩Y=X 4、下列关系中是等价关系的是（ ）。 [A]不等关系 [B]空关系 [C]全关系 [D]偏序关系 5、对于一个从集合A 到集合B 的映射，下列表述中错误的是（ ）。 [A]对A 的每个元素都要有象 [B] 对A 的每个元素都只有一个象 [C]对B 的每个元素都有原象 [D] 对B 的元素可以有不止一个原象 6、设p:小李努力学习，q:小李取得好成绩，命题“除非小李努力学习，否则他不能取得好成绩”的符号化形式为（ ）。 [A]p→q [B]q→p [C]┐q→┐p [D]┐p→q 7、设A={a,b,c},则A 到A 的双射共有（ ）。 [A]3个 [B]6个 [C]8个 [D]9个 离散数学集合论部分综合练习 本课程综合练习共分3次，分别是集合论部分、图论部分、数理逻辑部分的综合练习，这3次综合练习基本上是按照考试的题型安排练习题目，目的是通过综合练习，使同学自己检验学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握。本次是集合论部分的综合练习。 一、单项选择题 1．若集合A={a，b}，B={ a，b，{ a，b }}，则（）． A．A?B，且A∈B B．A∈B，但A?B C．A?B，但A?B D．A?B，且A?B 2．若集合A＝{2，a，{ a }，4}，则下列表述正确的是( )． A．{a，{ a }}∈A B．{ a }?A C．{2}∈A D．?∈A 3．若集合A＝{ a，{a}，{1，2}}，则下列表述正确的是( )． A．{a，{a}}∈A B．{2}?A C．{a}?A D．?∈A 4．若集合A={a，b，{1，2 }}，B={1，2}，则（）． A．B? A，且B∈A B．B∈ A，但B?A C．B ? A，但B?A D．B? A，且B?A 5．设集合A = {1, a }，则P(A) = ( )． A．{{1}, {a}} B．{?,{1}, {a}} C．{?,{1}, {a}, {1, a }} D．{{1}, {a}, {1, a }} 6．若集合A的元素个数为10，则其幂集的元素个数为（）． A．1024 B．10 C．100 D．1 7．集合A={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}上的关系R={ 2017年4月高等教育自学考试《离散数学(二)》试题 课程代码：06094 一、单项选择题(本大题共20小题，每小题2分，共40分) 1．下面给出的句子中不构成命题的是 A ．不要作弊 B ．3+2=9 C ．7是质数 D ．我是男生 2．能使命题P Q →为真的条件是 A ．P 真 B ．Q 假 C ．Q 真 D ．P 真Q 假 3．用P 表示“选张三任班长”，Q 表示“选李四任班长”。则命题“选张三或李四中的 一人任班长”可符号为 A ．P Q ∨ B ．P Q ∧ C ．P Q ?∨ D ．()()P Q P Q ??∧∨∧ 4．P(3,x,y,z)谓词的元数是 A ． 1 B ．4 C ．3 D ．0 5．在公式()X P x ?中，称P 为量词的 A ．论域 B ．辖域 C ．值域 D ．0定义域 6．设谓词F(x)表示x 是实数；Q(x)表示x 能被2整除。则命题“存在能被2整除的实数” 可符号化为 A ．(()())X F x Q x ?∧ B ．(()())X F x Q x ?→ C ．(()())X F x Q x ?→ D ． (()())X F x Q x ?∧ 7．由存在指定规则可得到P(c)结论的公式是 A ．()X P x ? B ．()X P x ? C ．()X P x ?? D ．()X P x ?? 8．下面描述中错误的是 A ．P 是合式公式，则 P ?是合式公式 B ．()X P x ?中x 是约束出现的变元 C ．()X P y ?∧是合式公式 D ．()()X X P x P x ????? 9．只有两个元素的集合其幂集元素个数共有 A ．2 B ．7 C ．8 D ．16 10．设集合M=｛1，2｝，P={2，3}。则有 A ．M P ={2} B ．M P ⊕ =｛1，3｝ C ．M P -={3} D ．M P =｛1，2，3｝ 11．下面给出的集合中，不是{a,b}到{1,2,3}的二元关系的是 A ． {a,2} B ． {(a,2)} C ． {} D ．空集 12．设A={1，2}，B={3，4}，M={(1，3)，(2,4)}是A 到B 的一个二元关系，则M 的关系矩阵第二 《离散数学》模拟试题 一、 填空题（每小题2分，共20分） 1. 已知集合A ={φ，1，2}，则A 得幂集合p （A ）=_____ _。 2. 设集合E ={a , b , c , d , e }, A = {a , b , c }, B = {a , d , e }, 则A ∪B =___ ___， A ∩ B =____ __，A －B =___ ___，～A ∩～B =____ ____。 3. 设A ，B 是两个集合，其中A = {1, 2, 3}, B = {1, 2}，则A －B =____ ___， ρ（A ）－ρ（B ）=_____ _ _。 4. 已知命题公式，则G 的析取范式为 。 5. 设P ：2＋2＝4，Q ：3是奇数；将命题“2＋2＝4，当且仅当3是奇数。”符号化 ，其真值为 。 二、单项选择题（选择一个正确答案的代号填入括号中，每小题4分，共16分。） 1. 设A 、B 是两个集合，A ＝{1,3,4}，B ＝{1,2}，则A －B 为（ ）. A. {1} B. {1, 3} C. {3,4} D. {1,2} 2. 下列式子中正确的有（ ）。 A. φ＝0 B. φ∈{φ} C. φ∈{a,b} D. φ∈φ 3. 设集合X ＝{x , y }，则ρ（X ）＝（ ）。 A. {{x },{y }} B. {φ,{x },{y }} C. {φ,{x },{y },{x , y }} D. {{x },{y },{x , y }} 4. 设集合 A ＝{1,2,3}，A 上的关系 R ＝ {(1,1),(2,2),(2,3),(3,3),(3,2)}， 则R 不具备（ ）. 三、计算题（共50分） R Q P G →∧?=)( 第二篇集合与关系 集合论是现代各科数学的基础，它是德国数学家康托（Geog Cantor, 1845～1918）于1874年创立的，1876～1883年康托一系列有关集合论的文章，对任意元的集合进行了深入的探讨，提出了关于基数、序数和良序集等理论，奠定了集合论深厚的基础，19世纪90年代后逐渐为数学家们采用，成为分析数学、代数和几何的有力工具。 随着集合论的发展，以及它与数学哲学密切联系所作的讨论，在1900年前后出现了各种悖论，使集合的发展一度陷入僵滞的局面。1904～1908年，策墨罗（Zermelo）列出了第一个集合论的公理系统，它的公理，使数学哲学中产生的一些矛盾基本上得到了统一，在此基础上以后就逐渐形成了公理化集合论和抽象集合论，使该学科成为在数学中发展最为迅速的一个分支。 现在，集合论已经成为内容充实、实用广泛的一门学科，在近代数学中占据重要地位，它的观点已渗透到古典分析、泛函、概率、函数论、信息论、排队论等现代数学各个分支，正在影响着整个数学科学。集合论在计算机科学中也具有十分广泛的应用，计算机科学领域中的大多数基本概念和理论几乎均采用集合论的有关术语来描述和论证，成为计算机科学工作者必不可少的基础知识。集合论可作为数学学科的通用语言，一切必要的数据结构都可以利用集合这个原始数据结构而构造出来，计算机科学家或许也可以利用这种方法。 本篇介绍集合论的基础知识，主要内容包括集合及其运算、性质、序偶、关系、映射、函数、基数等。 第2-1章集合及其运算 §2-1-1 集合的概念及其表示 一、集合的概念 “集合”是集合论中的一个原始的概念，因此它不能被精确地定义出来。一般地说，把具有某种共同性质的许多事物，汇集成一个整体，就形成一个集合。构成这个集合的每一个事物称为这个集合的一个成员（或一个元素），构成集合的这些成员可以是具体东西，也可以是抽象东西。例如：教室内的桌椅；图书馆的藏书；全国的高等学校；自然数的全体；程序设计语言C的基本字符的全体等均分别构成一个集合。通常用大写的英文字母表示集合的名称；用小写的英文字母表示元素。若元素a属于集合A记作 04任务_0006 试卷总分：100 测试时间：0 单项选择题 一、单项选择题（共10 道试题，共100 分。） 1. 设有向图（a）、（b）、（c）与（d）如图所示，则下列结论成立的是( )． A. （a）只是弱连通的 B. （b）只是弱连通的 C. （c）只是弱连通的 D. （d）只是弱连通的 2. 设无向图G的邻接矩阵为 ， 则G的边数为( )． A. 1 B. 6 C. 7 D. 14 3. 设无向图G的邻接矩阵为，则G的边数为( )． A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 4. 无向简单图G是棵树，当且仅当( )． A. G连通且边数比结点数少1 B. G连通且结点数比边数少1 C. G的边数比结点数少1 D. G中没有回路． 5. 图G如图三所示，以下说法正确的是 ( ) ． A. {(a, d)}是割边 B. {(a, d)}是边割集 C. {(a, d) ,(b, d)}是边割集 D. {(b, d)}是边割集 6. 若G是一个汉密尔顿图，则G一定是( )． A. 平面图 B. 对偶图 C. 欧拉图 D. 连通图 7. 设G是连通平面图，有v个结点，e条边，r个面，则r= ( )． A. e－v＋2 B. v＋e－2 C. e－v－2 D. e＋v＋2 8. 无向完全图K4是（）． A. 欧拉图 B. 汉密尔顿图 C. 非平面图 D. 树 9. 设图G＝ 离散数学考试试题(A卷及答案） 一、证明题（10分） 1) (P∧Q∧A C)∧(A P∨Q∨C ) (A∧(P Q ))C。P<->Q=(p->Q)合取（Q->p） 证明: (P∧Q∧A C)∧(A P∨Q∨C) (P ∨Q ∨A∨C)∧(A∨P∨Q∨C) ((P ∨Q ∨A)∧(A∨P∨Q))∨C反用分配律 ((P∧Q∧A)∨(A ∧P ∧Q))∨C ( A∧((P∧Q)∨(P ∧Q)))∨C再反用分配律 GAGGAGAGGAFFFFAFAF ( A∧(P Q))∨C (A∧(P Q ))C 2) (P Q)P Q。 证明：(P Q)((P∧Q))(P ∨Q))P Q。 二、分别用真值表法和公式法求(P(Q∨R))∧(P∨(Q R))的主析取范式与主合取范式，并写出其相应的成真赋值和成假赋值（15分）。 主析取范式与析取范式的区别：主析取范式里每个括号里都必须有全部的变元。 主析取范式可由析取范式经等值演算法算得。 GAGGAGAGGAFFFFAFAF 证明： 公式法：因为(P(Q ∨R))∧(P∨(Q R)) (P∨Q∨R)∧(P∨(Q ∧R )∨(Q ∧R)) (P∨Q ∨R)∧(((P∨Q)∧(P ∨R ))∨(Q ∧R ))分配律 (P∨Q∨R)∧(P∨Q ∨Q)∧(P∨Q ∨R)∧(P∨R ∨Q)∧(P∨R ∨R) (P∨Q ∨R)∧(P∨Q ∨R )∧(P ∨Q∨R) M∧5M∧6M使（非P析取Q析取R）为0 4 GAGGAGAGGAFFFFAFAF 所赋真值，即100，二进制为4 GAGGAGAGGAFFFFAFAF 集合论期末复习题 1. 求(())P P φ 答：(()){,{}}P P φφφ= 2. 设||A n =，求|()|P A 答：|()|2n P A = 3. {,{}}________φφφ-=，{,{}}{}________φφφ-= 答：{,{}}φφ，{{}}φ 4. 证明：()()()A B C A B A C ?⊕=?⊕? 证明： () [()()] (~)(~) (~)(~) (~)(~)(~)(~)[()(~~)][()(~~)] [()~()][()~()] [()()][()()] ()() A B C A B C C B A B C C B A B C A C B A B A A B C A C B A C A A B A C A C B A A B A C A C A B A B A C A C A B A B A C ?⊕=?-?-=????=?????=???????????=???????=???????=?-???-?=?⊕? 5. 200人中，有67人学数学，47人学物理，95人学生物，26人学数学和生物，28人学数学和物理，27人学生物和物理，50人三门都不学，问：三门都学的人数和单学一门的人数？ 解：设三门都学的人数和单学数学、物理、生物的人数分别为x ，y1,y2,y3，则如下图： (26)(28)167(27)(28)247(26)(27)395 (26)(27)(28)12350200 x x x y x x x y x x x y x x x x y y y +-+-+=??+-+-+=??+-+-+=??-+-+-+++++=? 求解得到：1132228135342214123269364 y x x y x y y x y y y y x y -==????-=-=?????-==????++-==?? 6. 集合S={0,1,2,3,4,5,6}，R 为S 上的关系。R={离散数学(集合论)课后总结
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