优化设计的数学基础

第二章 优化设计的数学基础

优化设计中绝大多数是多变量有约束的非线性规划问题，即是求解多变量非线性函数的极值问题。由此可见，优化设计是建立在多元函数的极值理论基础上的，对于无约束优化问题为数学上的无条件极值问题，而对于约束优化问题则为数学上的条件极值问题。本章主要叙述与此相关的数学基础知识。

第一节 函数的方向导数与梯度

一、函数的方向导数

一个二元函数()21,x x F 在点()

02010,x x X 处的偏导数，即函数沿坐标轴方向的变化率定义为：

而沿空间任一方向S 的变化率即方向导数为：

方向导数与偏导数之间的数量关系为

依此类推可知n 维函数()n x x x F ,,,21 在空间一点()

002010,,,n x x x X 沿S 方向的方向导数为

二、函数的梯度 函数()X F 在某点X 的方向导数表明函数沿某一方向S 的变化率。—般函数在某一确定点沿不同方向的变化率是不同的。为求得函数在某点X 的方向导数为最大的方向，引入梯度的概念。

仍以二元函数()21,x x F 为例进行讨论，将函数沿方向S 的方向导数写成如下形式

令：

图2-1 二维空间中的方向

图2-2 三维空间中的方向

称为()21,x x F 在点X 处的梯度()X F grad ，而同时设S 为单位向量

于是方向导数可写为：

此式表明，函数()X F 沿S 方向的方向导数等于向量()X F ?在S 方向上的投影。且当()()1,cos =?S X F ，即向量()X F ?与S 的方向相向时，向量()X F ?在S 方向上的投影最大，其值为()X F ?。这表明梯度()X F ?是函数()X F 在点X 处方向导数最大的方向，也就是导数变化率最大的方向。

上述梯度的定义和运算可以推广到n 维函数中去，即对于n 元函数()n x x x F ,,,2

1 ，其梯度定义为

由此可见，梯度是一个向量，梯度方向是函数具有最大变化率的方向。即梯度()X F ?方向是函数()X F 的最速上升方向，而负梯度()X F ?-方向则为函数()X F 的最速下降方向。

例2-1 求二元函数()2214x x F π

=X 在[]T 1,10=X 点沿

???===44211πθπθS 和???===6

3212πθπθS 的方向导数。 解：()()()????????????=????????????????=?2121214

2x x x x F x F F ππX X X ，将[]T 1,10=X 代入可得

()?????

???????=?42ππX F ，因此

而

这说明同一函数在不同方向上的方向导数不同，其变化率也不同。函数()X F 由0

X 出发，沿S 1方向的变化率大于沿S 2方向的变化率。所以，函数()X F 沿S 1方向增长得较快。

第二节 凸集、凸函数与凸规划

如果函数在整个可行域中有两个或两个以上的极值点，则称每一个极值点为局部极值点。在整个可行域中，函数值最小的点为全域极值点。为求得全域极值点，以获得最好的可行设计方案，就需要进一步讨论局部最小点和全域最小点的关系，因而涉及到凸集、凸函数及凸规划问题。

一、凸集

设D 为n 维欧氏空间内的一个集合，如果D 内任意两点X 1和X 2的连线整个都包围在D 内，即对于任意实数（10≤≤α），点()D X X ?-+211αα，则称这种集合为凸集，如图2-3a 所示，否则为非凸集，如图2-3b 、c 所示。凸集满足以下性质：若D 是一个凸集，是一个实数，则集合D 仍为凸集；若D 与F 均为凸集，则其和

（或并）还是凸集；任何一组凸集的积（或交）还是凸集。

二、凸函数

设D 为E n 中的一凸集，()X F 为定义在D 上的一个函数，若对于任意实数（10≤≤α）和D 内任意两点X 1和X 2，恒有

则()X F 为D 上的凸函数；若式中不等号反向，则为凹函数。

凸函数的几何意义如图2-4

所示。若()X F 在区间[]b a ,内为

凸函数，则曲线上任意两点A 、B

间（与X 1和X 2相对应）所连成直

线上的点K ’总不会落在这两点间

曲线的下方，即大于相应点K 的

函数值。 因而，若()X F 为凸函数，则－()X F 为凹函数；线性函数既可视为凸函数，又可视为凹函数。

凸函数的性质：

1）设取()X F 为定义在凸集D 的凸函数，则对于任意正实数

，

图2-3 凸集a ）与非凸集b ）、c ）

图2-4 凸函数的几何含义

函数()X F 在D 上也是凸函数；

2）设()X 1F 、()X 2F 为定义在凸集D 上的凸函数，则函数()()()X X X 21F F F +=在D 上也是凸函数：

3）若函数()X F 在n 维欧氏空间E n 一阶可微，则对于任意2121,X X X X ≠∈n E ，()X F 为凸函数的充分必要条件为(其证明

可参见教材p. 26) ()()()[]()12112X X X X X -?+≥T

F F F 图2-5所示为一维函数情况，

其凸函数的几何意义在于函数曲线

永远在切线的上面。若()X F 是凸

集D 上的凸函数，并且在D 内有极

小点，则极小点是唯一的。最优化

方法中很多结论都是以函数具有凸

性为前提的。

三、凸规划

对于约束优化问题

式中，若()X F 、()X u g 、u ＝1，2，…，n 均为凸函数，则称此问题为凸规划。

凸规划的性质：

1）可行域(){}n u g u ,,2,1,0 =≤X X 为凸集。

2）凸规划问题的任何局部最优解都是全局最优解。

图2-5 一维凸函数

3）若()X F 可微，则*

X 为凸规划问题的最优解的充分必要条件是：对于D ∈X ，都满足

（该式表明在*X 的邻域内的所有点的目标函数值均大于*X 处的值）

但在实际应用中，要证明一个线性规划问题是否为凸规划，一般比较困难，有时甚至比求解一个优化问题还要麻烦得多，尤其对一些工程问题，由于其数学模型的性态都比较复杂，更难以实现。因此，在优化设计的求解时，就不必花精力进行求证，而通常是从几个初始点出发，看它是否能收敛于同一点上，否则从求得的几个方案中，选取相对较好的方案，作为最优设计的结果，也就是从局部最优解的比较中来选取全局的最优解。

第三节 无约束优化问题的极值条件

优化问题的几何表达只能形象地给出最优解的有关概念，而最优解数值的求得，还得靠必要的定量计算来达到。这种运算的理论依据

是函数的极值理论，因而有必要对其有关概念作必要的回顾和介绍。

多元目标函数的表达形式往往十分复杂，为了便于讨论，需用简单的函数作局部逼近，使其简化。用泰勒展开式求目标函数在某点邻近的近似表达式，则是常用的方法。

一、多元函数的泰勒展开式

一元函数()X F 在X k 点的泰勒展开式为

而多元函数()X F 在X k 点的泰勒展开式为

式中，()i k

x F ??X 为函数在X k 点处对x i 的偏导数；()j i k x x F ???X 2为函数在X k 点处对x i 、x j 的二阶偏导数；x i 、x j 分别表示变量X 的第i 和j 个分量；n 为变量的个数。

若用向量矩阵表示，可写为：

因此，多元函数()X F 在X k 点的泰勒展开式可用向量矩阵形式表达为

其中，

为()X F 在X k 点的一阶偏导数的列向量，称为梯度；

为()X F 在X k 点的二阶偏导数矩阵，由于函数的二次连续性，它是一个n ×n 阶的对称方阵，统称为函数()X F 在点X k 的海色（Hessian ）矩阵。

在优化设计中，目标函数取到自变量（设计变量）的二次函数表

达式已足够准确（这称为目标函数的平方近似表达式），因为数学上己证明：对于非标准球面或椭球抛物面的一般非线性目标函数（即高次函数），在其极值点附近的等值线簇仍为同心椭圆簇，即目标函数在极值点附近是二次函数。此外，二次函数的某些特征还为一些高效寻优方法的建立提供了理论依据，因此要重视二次函数。这样，对多元函数的泰勒展开式只取前三项就可以，记为如下形式：

二、无约束优化问题的极值条件

从高等数学可知，一元函数存在极值点的必要和充分条件是：函

数的一阶导数()()0'==??x F x

x F （即找到驻点）和二阶导数()

()0''22≠=??x F x

x F 。当()0''x F 时为极小。 类似地，对于n 元函数()()n x x x F F ,,,21 =X 的无约束极值问

题

点*X 为一个局部极值点的充分必要条件是：

1）一阶导数向量()0=?*X F ，即()n i x F i

,,2,10 ==??*

X ； 2）二阶导数矩阵，即海色矩阵()*?X F 2为正定或负定，即

为正定或负定，且当()*X H 为正定时*X 为极小点；当()

*X H 为负定时*

X 为极大点。（其证明可参见教材p. 20～22）

判断矩阵A 正定或负定的方法是检验其各阶顺序主子式，若各阶顺序主子式均大于0，如下：

则A 为正定矩阵；若各阶顺序主子式行列式值正负号交替出现，则为负定矩阵。若不满足正负定矩阵条件则为不定矩阵，则不可采用上述方法计算极值。

例2-2 求函数()744,21222121+--+=x x x x x x F 的极值。

解：根据极值的必要条件求驻点

得到驻点[]T 4,2=*X

再根据极值的充分条件，判断此点是否为极值点。由于

其各阶主子式均大于0，即()

*X H 为正定，故[]T 4,2=*X 为极小点，

极小值为()13-=*X F 第四节 约束优化问题的极值条件

求解约束优化问题

求解上述问题的实质是在所有的约束条件所形成的可行域内，求得目标函数的极值点，即约束最优点。由于约束最优点不仅与目标函数本身的性质有关，还与约束函数的性质有关，因此约束条件下的优化问题比无约束条件下的优化问题更为复杂。

库恩-塔克（Kuhn-Tucker ）条件（简称K-T 条件）是非线性规划领域中最重要的理论成果之一，通常借助库恩－塔克条件来判断和检验约束优化问题中某个可行点是否为约束极值点，即将K-T 条件作为确定一般非线性规划问题中某点是否为极值点的必要条件，对于凸规划问题，K-T 条件同时也是一个充分条件。但是如何判别所找到的极值点是全域最优点还是局部极值点，至今还没有一个统一而有效的判别方法。

K-T 条件可阐述为：

若*X 是一个局部极小点，则该点的目标函数梯度()*?X F 可表示

成诸约束面梯度()*?X u g 和()*?X v h 的线性组合的负值，即

式中，q 为设计点处的不等式约束面数；j 为设计点处的等式约束面数；()q u u ,,2,1 =λ、()j v v ,,2,1 =λ为非负值的乘子，也称为拉格朗日乘子。式中，在点*

X 处不起作用的约束条件()X u g 对应的义u λ一定为零，只有当某一约束()X u g 在点*

X 为起作用约束时，u λ才可以不为零。如果是约束最优解，则必然满足上式。

对凸规划问题而言，K-T 条件不仅是确定约束极值点的必要条件，同时也是充分条件。凸规划问题有唯一的K-T 点，但它所对应的拉格朗日乘子不一定是唯—的。

K-T 条件的几何意义在于：如果*

X 是一个局部极小点，则该点的目标函数梯度()*?X F 应落在该点诸约束面（所有起作用的约束条

件）梯度()*?X u g 和()*?X v h 在设计空间所组成的锥角范围内。如图2-6所示，图2-6a 中设计点*X 不是约束极值点，图2-6b 的设计点*X 是约束极值点。（其求证可参见教材p. 32）

图2-6 K-T 条件的几何意义

a ）设计点*X 不是约束极值点；

b ）设计点*X 是约束极值点

现在通过图2-7所示的二维问题说明上述几何意义。图2-7表示

在设计点k X 处有两个约束，且目标函数及约束条件均为凸函数的情

况。图2-7a 中，k X 点处目标函数的负梯度为()k F X ?-，两约束函

数的梯度分别为()k g X 1?、()k g X 2?，此时()k F X ?-位于()

k g X 1?和()k g X 2?组成的锥角Γ之外，这样在k X 点附近的可行域内存在目标

函数比()k F X 更小的设计点，故点k X 不能成为约束极值点。图2-7b

中，k X 点处的目标函数负梯度()k F X ?-位于锥角Γ之内，则在该点

附近邻域内任何目标由数值比

()k F X 更小的设计点都在可行域之外，因而k

X 是约束极值点，它必然满足K-T 条件：

K-T 条件主要应用于约束极值问题的数值解法中，用以检验设计点k

X 是否为约束极值点或局部最优点，并用以判断和消除那些不再

起作用的约束条件，以保证在迭代中维持正确的起作用约束集合，对图2-7 约束极值点存在的条件

a ）设计点k X 不是约束极值点；

b ）设计点k X 是约束极值点

于目标函数和约束函数是凸函数的情况，符合K-T 条件的点一定是全域最优点。

例2-3 对于约束极值问题

试运用K-T 条件验证点[]T

0,2=*X 为约束极值点。 解：图2-8给出了出了()01=X g 、()02=X g 和()03=X g 所确定的可行域，同时给出了()X F 的几条等值线。

（1）计算*

X 点的各个约束函数值

图2-8 例2-3图

可见，在*

X 处起作用的约束函数是()X 1g 和()X 2g ； （2）求相关函数在*

X 点的梯度

（3）将梯度代入K-T 方程，求拉格朗日乘子

即：

1和2均为非负，满足K-T 条件，因此

[]T 0,2=*X 为约束极值点。同时，由于()X F 是凸函数，可行域是凸集，因此点*X 也是全域最优点。

2009《应用数学基础》考试题

《应用数学基础》考试题（2010.1.11） 学院 姓名 学号 一、填空题（10?3分=30分；直接将答案写在答题纸上，注意写清楚题号） 1.若z z -=，则=)Re(z ；2.=i i ；3.=-? =1 ||2 2010 4z i z z ；4. Res =]0,sin [4 2z z ； 5.函数),(),()(y x iv y x u z f +=在iy x z +=可导，则=')(z f ； 6. =-? =dz z z z 2 ||3 ) 1(sin π ；7.1 3 +-z i z 在0=z 展成泰勒级数的收敛域为 ；8.z e w =将直线1=x 映射成 ；9.傅氏变换)()]([ωF t f F =，则=)]([at f F ；其中a 为非零常数；10.拉氏变换=][3t L ，且其收敛域为 。 二、计算题（10?6分=60分；要求写出主要计算步骤） 1.求c b a ,,的值，使)2()(2222y xy cx i by axy x z f +++++=在复平面上处处解析； 2.求dz z z z z ?=--2 ||) 1(12，沿正向；3.把 2 ) 1(z z +展成z 的幂级数，并指出收敛域；4. 将 ) 1(2 +z z e z 在1||0<z 映成1||= +--a e a a F t ω ）； 10.用留数方法，求拉氏变换) 1(1)(2 += s s s F 的逆变换。 三、证明题（2?5分=10分；任选其中两题） 1.利用复数的几何意义证明：三角形内角和等于π； 2.试证：z e z z Im sin Im ≤≤； 3.设函数)(z f 在1≤z 上解析，且1)(≤z f ，试证：1)0(≤'f ，进一步证明，这个结论是最优的； 4.设0z 是函数)(z p 的k 级零点，且是)(z q 的1+k 级零点（0≥k 是整数），令) () ()(z q z p z f = ，试证：Res []) () ()1(),(0) 1(0) (0z q z p k z z f k k ++= 。

中考数学基础训练1

中考数学基础训练1 时刻:30分钟你实际使用分钟 班级姓名学号成绩一、精心选一选 1．图（1）所示几何体的左视图 ．．．是（ B ） 2．一对热爱运动的夫妇，让他们刚满周岁的小孩拼排3块分别写有“20”、“08”、“北京”的字块．假如小孩将字块横着正排，则该小孩能够排成“2018北京”或“北京2018”的概率是（ C ） Ａ． 1 6 Ｂ． 1 4 Ｃ． 1 3 Ｄ． 1 2 3．一名宇航员向地球总站发回两组数据：甲、乙两颗行星的直径分别为4 6.110 ?千米和4 6.1010 ?千米，这两组数据之间（ A ） Ａ．有差别 Ｂ．无差别 Ｃ．差别是4 0.00110 ?千米 Ｄ．差别是100千米 4．如图，把直线l向上平移2个单位得到直 线l′，则l′的表达式为（D） Ａ． 1 1 2 y x =+ Ｂ． 1 1 2 y x =- Ｃ． 1 1 2 y x =--Ｄ． 1 1 2 y x =-+ 5．汽车以72千米/时的速度在公路上行驶，开向安静的山谷，驾驶员揿一下喇叭，4秒后听到回响，这时汽车离山谷多远？已知空气中声音的传播速度约为340米/秒．设听到回响时，汽车离山谷x米，依照题意，列出方程为（ A ） Ａ．24204340 x+?=?Ｂ．24724340 x-?=? Ｃ．24724340 x+?=?Ｄ．24204340 x-?=? 6．某公园打算砌一个形状如图（1）所示的喷水池，后来有人建议改为图（2）的形状，且外圆的直径不变，喷水池边沿的宽度、高度不变，你认为砌喷水池的边沿（ C ） Ａ．图（1）需要的材料多 Ｂ．图（2）需要的材料多

Ｃ．图（1）、图（2）需要的材料一样多 Ｄ．无法确定 7．如图，等腰梯形ABCD 下底与上底的差恰好等于腰长，DE AB ∥．则DEC ∠等于（ B ） Ａ．75° Ｂ．60° Ｃ．45° Ｄ．30° 8．如图是一台54英寸的大背投彩电放置在墙角的俯视图．设DAO α=∠，彩电后背AD 平行于前沿BC ，且与BC 的距离为60cm ，若100cm AO =，则墙角O 到前沿BC 的距离OE 是（ A ） Ａ．()60100sin cm α+ Ｂ．()60100cos cm α+ Ｃ．()60100tan cm α+ Ｄ．以上答案都不对 二、细心填一填 9．某农场购置了甲、乙、丙三台打包机，同时分装质量相同的棉花，从它们各自分装的棉花包中随机抽取了10包，测得它们实际质量的方差分别为 222S 11.05S 7.96S 16.32===乙甲丙，，．能够确定 乙 打包机的质量最稳固． 10．如图，照相时为了把近处的较高物体照下来，常常保持镜头中心不动，使相机旋转一定的角度，若A 点从水平位置顺时针旋转了30?，那么B 点从水平位置顺时针旋转了__30____度． 图（1） 图（2） 第6题 第8题 第10题 第11题 A D C E B 第7题

(完整版)初一数学能力测试题

初一数学能力测试题（1） 班级______姓名______ 一． 填空题 1、将下列数分别填入相应的集合中：0、0.3、— 2、21- 、1.5、32、5 12-、+100 整数集合{ …} 非负数集合{ …} 2、早晨的气温是－2℃，中午上升了10℃，半夜又下降了8℃，则半夜的气温是________0C 3、—2与—3的和是_________；－4与－6的差是__________ 4、最小的正整数是________,绝对值最小的数是___________ 5、_______的相反数是0；_________的绝对值是它身；________平方是它本身 6、一个数的平方等于1，则这个数是________ 7、如果—a =—3，则a=_________；如果|a —3|＝0，则a ＝______ 8、计算－|－2|＝__________；—(—2)2=__________ 9、绝对值大于2而小于5的所有数是__________________ 10、比较大小：—2_______—3 3 1____21-- 11、在数轴上点A 表示—2，点B 离点A 五个单位，则点B 表示___________ 12、|a|=2，|b|=3，且a>b ，则=b a ___________ 二．选择题 1、下列说法正确的是（ ） A 、比负数大是正数 B 、数轴上的点表示的数越大，就离开原点越远 C 、若a>b ，则a 是正数，b 是负数 D 、若a>0，则a 是正数，若a<0，则a 是负数 2、下列说法：①正数的绝对值是正数；②两个数比较，绝对值大的反而小；③任何一个数的绝对值都不会是小于0的数；④任何一个整数的绝对值都是自然数 其中说法正确的有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 3、下列说法正确的是（ ） A 、在有理数加法或减法中，和不一定比加数大，被减数不一定比减数大 B 、减去一个数等于加上这个数 C 、两个数的差一定小于被减数 D 、两个数的差一定小于被减数 4、一个数的立方等于它本身，这个数是 ( ) A 、0 B 、1 C 、－1，1 D 、－1，1，0 5、下列各式中，不相等的是 ( ) A 、(－3)2和－32 B 、(－3)2和32 C 、(－2)3和－23 D 、|－2|3和|－23| 6、(－1)200＋(－1)201＝( ) A 、0 B 、1 C 、2 D 、－2 7、下列说法正确的是（ ）

优化设计方案数学基础

第二章 优化设计的数学基础 优化设计中绝大多数是多变量有约束的非线性规划问题，即是求解多变量非线性函数的极值问题。由此可见，优化设计是建立在多元函数的极值理论基础上的，对于无约束优化问题为数学上的无条件极值问题，而对于约束优化问题则为数学上的条件极值问题。本章主要叙述与此相关的数学基础知识。 第一节 函数的方向导数与梯度 一、函数的方向导数 一个二元函数()21,x x F 在点() 02010,x x X 处的偏导数，即函数沿坐标轴方向的变化率定义为： 而沿空间任一方向S 的变化率即方向导数为：

方向导数与偏导数之间的数量关系为 依此类推可知n 维函数()n x x x F ,,,21 在空间一点() 002010,,,n x x x X 沿S 方向的方向导数为 二、函数的梯度 函数()X F 在某点X 的方向导数表明函数沿某一方向S 的变化率。—般函数在某一确定点沿不同方向的变化率是不同的。为求得函数在某点X 的方向导数为最大的方向，引入梯度的概念。 仍以二元函数()21,x x F 为例进行讨论，将函数沿方向S 的方向导数写成如下形式 令： 图2-1 二维空间中的方向 图2-2 三维空间中的方向

称为()21,x x F 在点X 处的梯度()X F grad ，而同时设S 为单位向量 于是方向导数可写为： 此式表明，函数()X F 沿S 方向的方向导数等于向量()X F ?在S 方向上的投影。且当()()1,cos =?S X F ，即向量()X F ?与S 的方向相向时，向量()X F ?在S 方向上的投影最大，其值为()X F ?。这表明梯度()X F ?是函数()X F 在点X 处方向导数最大的方向，也就是导数变化率最大的方向。 上述梯度的定义和运算可以推广到n 维函数中去，即对于n 元函数()n x x x F ,,,2 1 ，其梯度定义为 由此可见，梯度是一个向量，梯度方向是函数具有最大变化率的方向。即梯度()X F ?方向是函数()X F 的最速上升方向，而负梯度()X F ?-方向则为函数()X F 的最速下降方向。 例2-1 求二元函数()2214x x F π =X 在[]T 1,10=X 点沿 ???===44211πθπθS 和???===6 3212πθπθS 的方向导数。 解：()()()????????????=????????????????=?2121214 2x x x x F x F F ππX X X ，将[]T 1,10=X 代入可得

低年级数学基础训练1 40

班级姓名学号 166 + 7 = 213 + 105 = 98 - 37 = 17 + 179 = 225 - 216 = 61 + 179 = 120 + 9 = 283 + 122 = 24 + 113 = 171 + 267 = 269 + 259 = 163 - 147 = 54 + 205 = 198 - 123 = 212 - 116 = 22 + 238 = 179 + 241 = 195 - 167 = 66 + 57 = 266 - 207 = 285 - 1 = 212 - 203 = 108 - 8 = 187 - 144 = 115 + 2 = 104 + 81 = 38 - 29 = 43 + 19 = 114 + 50 = 16 + 51 = 104 - 76 = 46 - 39 = 48 + 82 = 11 + 90 = 96 - 84 = 115 + 63 = 56 - 32 = 71 + 115 = 97 - 51 = 53 + 115 = 109 - 54 = 81 - 66 =

班级姓名学号 63 - 20 = 64 + 108 = 30 + 109 = 79 - 41 = 68 + 14 = 88 - 87 = 101 - 48 = 86 + 84 = 53 + 74 = 52 + 1 = 58 - 41 = 101 - 50 = 112 + 73 = 110 - 99 = 38 - 12 = 61 - 34 = 27 + 77 = 103 - 19 = 90 - 19 = 90 + 85 = 61 - 9 = 118 - 9 = 11 + 88 = 75 - 43 = 60 + 82 = 84 - 51 = 37 + 13 = 102 - 35 = 103 + 77 = 105 - 96 = 65 - 43 = 14 + 92 = 19 + 33 = 76 - 6 = 4 + 23 = 48 + 85 = 72 - 65 = 76 + 46 = 79 - 47 = 63 - 20 = 90 - 45 = 41 + 46 =

小学五年级下册数学综合能力测试题

小学五年级下册数学综合能力测试题 一、我会填了。 1.把ｍ个1/3+1/3+1/3改写成乘法算式是（），当ｍ＝35时，算式的结果为（） 2.自然数1的倒数是（）；0的倒数是（）。 3.将两个棱长为10厘米的正方体拼成一个长方形，长方形的体积是（），表面积是（） 4.绿色小分队参加植树活动，共植树400棵，有10棵没有成活，这批树的成活率是（）死亡率是（）。 5.一组数据：42，44，44，46，48，48，48，50，51，51，56这组数据的中位数是（），众数是（）。 二、解方程。 ①ｘ－0.8ｘ＝22 ②（1＋70％）ｘ＝340 三、我会解决问题了。 1.李阿姨在菜市场买了2袋米（每袋35.40元）、14.80元的牛肉、6.70元的蔬菜和1 2.80元的鱼。李阿姨带了100元，够吗？如果够，应找回多少钱？如果不够，应添加多少钱？_____________________________________ 2.制作一个长30㎝，宽和高都是20㎝的长方体灯笼框架，至少需要多少厘米长的木条？ _____________________________________

3.小明的妈妈在家电超市买了一台打八折的彩电，用了2240元，过了几天，这种彩电以七五折出售，这时买一台这样的彩电要花多少钱？ _____________________________________ 4.一件雕塑的底座是用混凝土浇注成的棱长2.6米的正方体。教师范读的是阅读教学中不可缺少的部分，我常采用范读，让幼儿学习、模仿。如领读，我读一句，让幼儿读一句，边读边记；第二通读，我大声读，我大声读，幼儿小声读，边学边仿；第三赏读，我借用录好配朗读磁带，一边放录音，一边幼儿反复倾听，在反复倾听中体验、品味。 我国古代的读书人,从上学之日起,就日诵不辍,一般在几年内就能识记几千个汉字,熟记几百篇文章,写出的诗文也是字斟句酌,琅琅上口,成为满腹经纶的文人。为什么在现代化教学的今天,我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生,竟提起作文就头疼,写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在1978年就尖锐地提出:“中小学语文教学效果差,中学语文毕业生语文 水平低,……十几年上课总时数是9160课时,语文是2749课时,恰好是30%,十年的时间,二千七百多课时,用来学本国语文,却是大多数不过关,岂非咄咄怪事!”寻根究底,其主要原因就是腹中无物。特别是写议论文,初中水平以上的学生都知道议论文的“三要素”是论点、论据、论证,也通晓议论文的基本结构:提出问题――分析问题――解决问题,但真正动起笔来

初三数学基础训练题1

初三数学中考训练题（五） 1.计算： ()102121138121-??? ??+-+++ 2. 16的平方根是 3.分式112+-x x 的值为零，则=x 4.等腰三角形的两边是6cm 和9cm ，则周长是 5.若直角三角形的斜边长10，那么它的重心与外心之间的距离是 6.函数112++=x x y 的定义域是 ，若1 13)(-+=x x x f 则=)4(f 7.相切两圆的圆心距是5cm ，其中一个圆的半径是3cm ，则另一圆的半径是 8.在一陡坡上前进40米，水平高度升高9米，则坡度=i 9.把抛物线32 -=x y 向右平移2个单位后，所得抛物线顶点是 10.设m 、n 是方程0122=--x x 的两个根，那么=+n m 11 11.方程38151622=??? ??++??? ?? +x x x x 设y x x =+1原方程可变形关于y 的整式方程是 12.如图弓形ACB 所在圆的半径是5， C 弦AB=8，则弓形的高CD 是 A D B 13.若正多边形的中心角是0 36，则这个正多边形的边数是 14.分式方程01112=-+-x x x 的根是 15.分解因式=+--2221a ax x 16.数据5，-3，0，4，2的中位数是 方差是 17.不等式组 52+x ≤()23+x 的解集是 21-x ＜3x 18.已知四边形ABCD 中，AB//CD ，AB=BC 请填上一个适当的条件 使得四边形ABCD 是菱形。 19.已知一次函数b kx y +=过点()1,1-与()4,2，则y 的值随x 的增大而 20.两个相似三角形的周长之比是1∶9，则它们的面积之比是 21.市现有人口约一千七百万，用科学记数法表示是 22.在边长为2的菱形ABCD 中，045=∠B AE 为BC 边上的高，将△ABE 沿AE 所在直线翻折 后得△AB ′E ，那么△AB ′E 与四边形AECD 重叠部分的面积是 23.已知222=-x x 代简求值()()()()()133312 --+-++-x x x x x

新人教版六年级下册数学水平能力测试卷

新人教版六年级下册数学水平能力测试卷 一、填空 1、3.08千克=（）千克（）克 43.6毫升=（）升 2、一个小数的百分位上的数字是最小的合数，百位上的数字是最小的质数，其余位上的数都是0，这个数写作（），保留一位小数是（）。 3、把4米长的铁丝平均分成5段，每段长是这根铁丝的（）/（），其中的3段是这根铁丝的（）/（），每段长（）/（）米，也就是1米的（）/（）。 4、王师傅23 小时织了米长的毯子，1小时织（）米，织1米需（）小时。 5、菜籽的出油率是30%，3000千克菜籽可榨油（）千克，要榨油5100千克需要菜籽（）千克。 6、挖一个长50米，宽40米，深2米的长方体蓄水池，占地面积是（）平方米，如果在它的四壁和底面抹水泥，抹水泥的面积是（）平方米，最多能容纳（）立方米的水。 7、一个圆柱体和一个圆锥体的底面积和高都相等，已知它们体积之和是48立方分米，圆柱的体积是（）。 8、一张长方形纸的长是8分米，宽是6分米，把它剪成一个最大的圆，这个圆的面积是（）平方分米。 9、3个完全相同的正方体拼成一个长方体后，长方体的表面

积比原来3个正方体表面积的总和减少了12平方厘米，长方体的体积是（）立方厘米。 二、判断。正确的画，错误的画。 1、一个棱长为6分米的正方体的体积和表面积相等。（） 2、27 的分子和分母同时加上4，这个分数的大小不变。（） 3、244=6,24是倍数，6是约数。（） 4、不相交的两条直线就叫做互相平行。（） 5、甲数比乙数少40%，则甲数与乙数的比是3:5。( ) 6、如果一个圆柱体与一个长方体的底面积和高都相等，那么它们的体积也一定相等。（） 三、选择 1、等腰三角形一定是（）三角形。 ①锐角三角形 ②直角三角形 ③钝角三角形 ④以上都有可能 2、需要清楚地表示出各部分数量跟总数之间的关系时，应选用（）。 ①统计表 ②条形统计图 ③折线统计图 ④扇形统计图

小学数学六年级基础训练(1)

小学数学六年级基础训练（1） 1．看上图填空。（单位：厘米） r=（）cm r=（）cm r=（）cm d=（）cm d=（）cm d=（）cm 长方形的周长是（）cm 2．一个车轮的直径为50cm，车轮转动一周，大约前进（）m。 3．当圆规两脚间的距离为5厘米时，画出圆的周长是（）厘米。 4．一个圆的半径扩大2倍,它的周长扩大( )倍,面积扩大( )倍。 5．一个环形的外圆直径是10cm,内圆直径是8cm,它的面积是( )cm2。 6.用一根12.56分米的铁丝弯成一个圆形铁环（接口处不计），铁环的直径 是（）分米，面积是（）平方分米。 7．圆的周长计算公式是：（）或（）圆的面积计算公式是：（）。 1、一袋面粉，用去40%，还剩下（）%，剩下的比用去的多（）%。 2、一条水渠，长a米，已经修了80%，修了（）米，还剩下（）米。 3、行同一条路，小丽要10分钟，小华要8分钟，小丽的速度比小华慢（）%。 4、一个数的75%是24，这个数是（）。 5、一根木料用去40%后还剩下1.5米，这根木料原长（）米。 6、将12克盐融入108克水中，含盐率为（）%。 7、最大的一位数比最小的两位数小（）%。最小的两位数比最大的一位数大（）%。 三、应用： 1、六年一班男生有24人，恰好是女生的5 6 ，六年一班有学生多少人？ 2、一筐苹果的3 5 是18千克，吃去这筐苹果的 1 4 ，吃去多少千克？ 3、一根铁丝长8米，用去了25%，还剩多少米？

4．多少比60多20%？50比少37.5%？ 四.解下列方程（共18分） （1） 30%X=120 （2） X+0.2X=240 （3）X+130%X=460 （3）20X=－X+7

应用数学基础试题库(三年制高职适用)

《应用数学基础》试题库(三年制高职适用) 第8章空间解析几何与多元函数微积分简介 8.1.1(单项选择题)空间直角坐标系中的点A(1,-2,3)位于第( )卦限. A. 二 B. 四 C. 六 D. 八(难度:A;水平:b) 8.1.2(单项选择题)向量a=5i+2j-3k的模为( ). A. 6 B. 4 C. 38 D. (难度:B;水平:a) 8.1.3(单项选择题)点M(-1,2)是平面区域{(x,y)|x-y+10}的( ). A. 内点 B. 外点 C. 边界点 D. 其它点(难度:C;水平:c) 8.1.4(单项选择题)极限( ). A. 0 B. 1 C. π D. (难度:B;水平:b) 8.1.5(单项选择题)函数的极大值点为( ). A. (0,0) B. (0,1) C. (1,0) D. (-1,0) (难度:D;水平:d) 8.2.1(填空题)在空间直角坐标系中,三个坐标平面上的点的坐标分别为. (难度:A;水平:a) 8.2.2(填空题)空间一点P(4,3,-5)与原点的距离为.(难度:B;水平:b) 8.2.3(填空题)平面2x -7y + 3 = 0的特殊位置是. (难度:A;水平:b) 8.2.4(填空题)由圆x 2+y 2=1及x轴所围的上半闭区域用集合表示为. (难度:C;水平:c) 8.2.5(填空题)由y0z平面上的椭圆绕z轴旋转一周所形成 的旋转曲面的方程为. (难度:B;水平:b) 8.2.6(填空题)极限. (难度:B;水平:b) 8.2.7(填空题)设点(x0,y0)是二元函数z =f (x,y)的驻点,且A= fxx(x0,y0),B= fxy(x0,y0),C= fyy(x0,y0). 则当时,点(x0,y0)是极值点. (难度:A;水平:a) 8.2.8(填空题)二元复合函数关于y的偏导数为 . (难度:D;水平:d) 8.3.1(判断题)点P(-3,0,0)位于x轴上.( ). (难度:A;水平:b) 8.3.2(判断题)平面4x+3y-z-5=0的法向量为(3,-1,-5).( ). (难度:B;水平:b) 8.3.3(判断题)函数的所有间断点为(0,1)与(1,0).( ). (难度:C;水平:c) 8.3.4(判断题)函数z=5x2y-4xy2关于x的偏导数为zx=2xy.( ). (难度:A;水平:a) 8.4.1(计算与解答题)已知,求. (难度:A;水平:a) 8.4.2(计算与解答题)求函数的定义域. (难度:A;水平:b) 8.4.3(计算与解答题)求极限. (难度:A;水平:a) 8.4.4(计算与解答题)求函数的偏导数. (难度:B;水平:b) 8.4.5(计算与解答题)已知函数,求. (难度:B;水平:b) 8.4.6(计算与解答题)设,求.(难度:C;水平:c) 8.4.7(计算与解答题)求函数的极值. (难度:C;水平:c) 8.4.8(计算与解答题)求函数在约束条件下可能 的极值点. (难度:D;水平:d) 8.5.1(应用题) 克服行驶阻力后汽车前进的 驱动力使汽车产生了加速度a.汽车 质量为m.车轮半径为r. 建立车轮

二年级下册数学试题-基础训练题(1)(无答案)人教版

二年级下基础训练题 班级：姓名：学号： （一） 一、口算。 5×4＝ 72÷8＝ 4÷4＝ 54÷6＝ 24÷6＝ 62-28＝ 90+800＝ 800+200＝ 76+23＝ 48-29＝ 33-25＝ 590-60＝ 二、相信自己，我会填！ 1．18÷6＝（）被除数是（），除数是（），商是（），乘法口诀是（）。 2．时针旋转一圈是（）小时，分针旋转一圈是（）分钟。 3．比直角小的角是（）角，（）角比直角大。 4．根据“七八五十六”写出两道除法算式：、。5．2070读作：（），五千零一写作：（）。

6．2805中，“2”在（）位上，表示2个（），“8”在（）位上，表示“8”个（），（）在个位上，表示（）个一。 7．与3000相邻的两个数分别是（）和（）。 8．最大的三位数是（），最小的三位数是（）。 9．5个同学共做了30个风车，平均每人做（）个。 10．一个数的最高位是千位，它是一个（）位数。 （二） 一、想一想，选一选。（把正确答案的序号填在括号里） 1、582和128的和大约是（）。 A、700 B、600 C、460 2、有6只小兔，如果每只吃3个萝卜，一共需要（）个萝卜。 A、9 B、2 C、18 3、24÷6读作：（）。 A、24除6 B、24除以6 C、6除以24

4、由4、8、 5、0、组成最大的四位数是（）。 A、4058 B、4580 C、8540 5、下面的数中，一个零也不读的是（）。 A、5040 B、5004 C、5400 二、我是聪明的小判官。（对的在括号里打“√”，错的打“×”。） 1、3080是由3个千和8个百组成的。（） 2、一瓶可口可乐重50千克。（） 3、在除法里，除得的结果叫做差。（） 4、一千克铁比一千克棉花重。（） 5、5与3相加得8，5和3相乘得15 （）

四年级数学能力测试

四年级数学能力测试 一、填空。（2---9题每空4分，共64分） 1、按规律填数。（每空2分，20分） （1）2，5，14，41，（）、（） （2）95，47，23，11，（），（）。 （3）3，3，9，6，27，9，（），（）。 （4）1，3，6，8，16，18，（），（）。 （5）（8，6）、（16，3）、（24，2）、（12，□）。 （6）（17，16）、（14，10）、（13，4）、（□，2） 2、□+□+△=16，□+△+△=14，△=（），□=（）。 3、在□÷5＝□……□，要使商和余数相同，被除数可以是（）。 4、数学竞赛共出了20题，做对一题得6分，做错1题倒扣3分，小明共得57分，他做对了（）题。 5、修一条长3600米的隧道，已经修了30天，还剩1200米没修，平均每天修（）米。 6、一筐水果，连筐重150千克，吃去一半水果后，连筐还重80千克，筐里原有水果（）千克，筐重（）千克。 7、对于数a,b定义运算“△”为a△b=(a+3)×(b-5)，那么6△7=（）。 8、甲乙丙丁四人量身高，甲比乙高6厘米，丙比丁矮4厘米，乙比丁高1厘米，（）最高，最高的比最矮的高（）厘米。 9、小华考试，语文、数学、英语三门平均94分，语文、数学平均96分，小华的英语考了（）分。

二、应用题。 1、甲乙两堆石子，甲堆有200吨，乙堆有120吨，用一辆载重5吨的汽车把石子从甲堆运到乙堆，要运几次后两堆石子就一样多？（6分） 2、妈妈上班坐车，下班走路，在路上共用90分钟，如果往返都走路，要140分钟，如果往返都坐车要多少分钟？（6分） 2、西瓜有180千克，比苹果的3倍少12千克，比梨子的2倍多30千克，三种水果共多少千克？（6分） 4、张、王、李三家合用一个炉灶，他们烧的柴同样多，张家出了5担柴，李家出了4担柴，王家因无柴出了18元，张家得几元，李家得几元？（8分） 5、下列算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表0—9中不同的数字，这些汉字各代表哪些数字？（10分）卒= （） 兵炮马卒车= ( ) + 兵炮车卒兵= （） ---------------------------- 炮= （） 车卒马兵卒马= （）

应用数学基础分章习题答案 第二章

第二章 一、判断 1. 正规矩阵的最小多项式无重零点. ( ) 2. 酉矩阵的最小多项式无重零点. ( ) 3. 若 A ?n ′n 可对角化, 则其特征多项式必无重零点. ( ) 4. 设A 是4阶正规矩阵, A 的特征值是1, 1, 2, 2。则A 的最小多项式 ()(1)(2)?λλλ=--. ( ) 5. 设A 是3阶正规矩阵, A 的特征值是3, 2, 2。则A 的第3个不变因子 23)2)(3()(--=λλλd . ( ) 6. 设A 是4阶正规矩阵, A 的特征值是1, 1, 2, 2。则A 的第3个不变因子 3()(1)(2)d λλλ=--. ( ) 7. 若 A ? m ′n ，则 A H A 的特征值必为非负实数. ( ) 8. 设 A ?n ′n ，若 A H =A ,则对任意的 x ?n ,x H Ax 均为实数. ( ) 9. 若满足02=+E A ，则A 可对角化. ( ) 10. 若满足E A A 22=+，则A 可对角化. ( ) 11. 正规矩阵n n C A ?∈是酉矩阵的充要条件是A 的特征值都是实数. ( ) 12. 若A A H =，则R A ∈)(σ. ( ) 13. 若A 为正规矩阵，则其对应于不同特征值的特征向量是正交的. ( ) 二、填空 1．设 A ?4′4, 且 d 4(l )=(l -1)(l -2), 则 A 3-4A 2+5A -2E = . 2. 设 A =[a ij ]5′5为酉矩阵， B =A -1，记 B =[b ij ]n ′n ，则 b ij 2 =i ,j =15? . 3．设 A ?4′4为正规矩阵，其特征值为1、1、2、4，则 A 的最小多项式为 . 4．设A 为正规矩阵，其特征值为1、3、3. 若B A ~，则B E -λ的最后一个不变因子为 .

优化设计七年级下册数学全部答案.doc

学习好资料欢迎下载 5.1 相交线 学前温故1、两方无2、180°新课早知1、邻补角2、对顶角 3、∠ BOD ∠AOC和∠ BOD 4、相等 5、C 轻松尝试应用 1 ～ 3 CAC 4、15°5、∠ AOF 和∠ BOE 6 、解：因为∠ AOD与∠ BOC是对顶角 所以∠ AOD=∠BOC 又因为∠ AOD+∠BOC=220°所以∠ AOD=110°而∠ AOC与∠ AOD是邻补 角 则∠ AOC+∠AOD=180°所以∠ AOC=70° 智能演练能力提升 1 ～ 3 CCC 4、 10° 5、对顶角邻补角互为余角 6 、 135°40°7、 90° 8、不是9、解： 因为 OE平分∠ AOD, ∠ AOE=35°, 所以∠ AOD=2∠ AOE=70°由∠ AOD与∠ AOC是邻补角，得∠ AOC=180°- ∠ AOD=110°因此∠ COE =∠AOE+∠ AOC=35° +110°=145° 10 、2 6 12 n(n-1) 4046132 5.1.2 垂线学前温故90°新课早知 1、垂直垂线垂足 2、 D BE CD C 3、一条垂线段 4、 B 5、 垂线段的长度6、 D 轻松尝试应用 1～3 DBD 4、∠ 1 与∠ 2 互余 5 、30°6、解：由对顶角相等，可知∠ EOF=∠BOC=35°, 又因为 OG⊥ AD, ∠FOG=30°, 所以∠ DOE=90° - ∠ FOG-∠EOF=90°-30 °-35 ° =25° 智能演练能力提升1～3 AAB 4 、①④ 5 、解:如图. 6、 解：因为 CD⊥ EF, 所以∠ COE=∠ DOF=90 °因为∠ AOE=70° , 所以∠ AOC=90° -70 ° =20° , ∠ BOD=∠ AOC=20° , 所以∠ BOF=90°- ∠BOD=90°-20 °=70°因为 OG平分∠ BOF,所以∠ BOG=0.5× 70°=35° , 所 以∠ BOG=35°+20°=55° 7、解（ 1）因为 OD平分∠ BOE,OF平分∠ AOE,所以∠ DOE=1/2∠BOE,∠EOF=1/2∠AOE, 因为∠ BOE+∠AOE=180° , 所以∠ DOE+∠EOF=1/2∠ BOE+1/2∠ AOE=90° , 即∠ FOD=90°, 所以 OF⊥OD (2) 设∠ AOC=x,由∠ AOC: ∠ AOD=1:5,得∠ AOD=5x. 因为∠ AOC=∠ AOD=180°, 所以 x+5x=180 °, 所以 x=30°. 所以∠ DOE=∠ BOD=∠AOC=30°. 因为∠ FOD=90°, 所以∠ EOF=90°-30 °=60° 8、 D 9 解: (1)如图所示: (2)如图所示 :

中考数学基础训练题及答案1.doc

2019-2020 年中考数学基础训练题及答案 1 班级 姓名 学号 成绩 一、精心选一选 1．图（ 1）所示几何体的左视图 是（ B ） ．．． 图（ 1） A B C D 2．一对酷爱运动的夫妇，让他们刚满周岁的孩子拼排 3 块分别写有“ 20”、“ 08”、“北 京”的字块．假如小孩将字块横着正排，则该小孩能够排成“ 2008 北京”或“北京 2008” 的概率是（ C ） Ａ． 1 Ｂ． 1 Ｃ． 1 Ｄ． 1 6 4 3 2 3 ．一名宇航员向地球总站发回两组数据：甲、乙两颗行星的直径分别为 6.1 104 千米和 6.10 104 千米，这两组数据之间（ A ） y Ａ．有差别 Ｂ．无差别 l ′ 4 Ｃ．差别是 0.001 104 千米 l 3 Ｄ．差别是 100 千米 2 1 4．如图，把直线 l 向上平移 2 个单位得到直 O 线 l ′ l ′ 2 1 x ，则 的表达式为（ D ） 1 2 Ａ． y x 1 3 2 4 Ｂ． y 1 x 1 2 1 1 Ｃ． y 1 Ｄ． y 1 x x 2 2 5．汽车以 72 千米 /时的速度在公路上行驶，开向寂静的山谷， 驾驶员揿一下喇叭， 4 秒后听 到回响，这时汽车离山谷多远？已知空气中声音的传播速度约为 340 米 /秒．设听到回响时， 汽车离山谷 x 米，根据题意，列出方程为（ A ） Ａ． Ｃ． 2x 4 20 4 340 2x 4 72 4 340 Ｂ． Ｄ． 2x 4 72 4 340 2x 4 20 4 340 6．某公园计划砌一个形状如图（ 1）所示的喷水池，后来有人建议改为图（ 2）的形状，且 外圆的直径不变，喷水池边沿的宽度、高度不变，你认为砌喷水池的边沿（ C ） Ａ．图（ 1）需要的材料多 Ｂ．图（ 2）需要的材料多 Ｃ．图（ 1）、图（ 2）需要的材料一样多

小学数学教师能力测试及答案

小学数学教师能力测试及 答案 篇一：小学数学教师教学能力测试试题 小学数学教师教学能力测试试题 （2006年） 一、课程理念。（每空1分，计20分） 1.当前的数学课程改革中，将小学数学的内容分为数、空间与图形、 统计与概率、实践与综合运用四个领域。教材中“确定位置”属于统计与概率 领域的内容；“分数的基本性质”属于数与代数领域的内容。举出一个目前国标本苏教版低年级段教材中属于“实践与综合应用”领域的教学内容：。 2.在《数学课程标准（实验稿）》中，对义务教育阶段数学课程目标明确提出：学生要能够“具有初步的创新精神精神和实践能力，在情感态度和一般能力方面都得到充分发展”。并从知识与技能、数学思考、解决问题 和情感态度等四个方面对义务教育阶段数学课程的总目

标进行了具体阐述。 3.义务教育阶段的数学课程应突出体现现实生活性和体验性，实现“人人学有价值的数学”、 “ ”、“”。 4.评价是数学课程改革的一个重要方面，我们应建立评价目标多元、评价方法多样的评价体系。 二、教学评点。（每题10分，计20分） 阅读下面两则教学案例，用自己对教学的理解来进行简单评点。 １.教学二年级“认识乘法” 上课一开始，教者出示一个像动画片一样的精彩画面——“动物园的一角”。教师让学生观察画面并提问“你发现了什么？”学生经过观察后纷纷发言。 生1：我发现这儿真好玩！有小动物，有大树、房子、白云、河流、小桥。 生2：我发现小河的水还在不停地流呢！ 生3：我发现小河里还有鱼儿在游呢！ 生4：我发现小兔们在开心地跳动着。 生5：我发现小鸡的头还在一动一动的，它们是在啄米呢还是在吃虫子呢？ 生6：我发现小桥上有两只小白兔，它们是要到桥这边来呢还是要到桥那边去呢？

七年级优化设计答案(数学下册)

七年级优化设计答案（数学下册） 5.1相交线 学前温故1、两方无2、180°新课早知1、邻补角2、对顶角3、∠BOD ∠AOC和∠BOD 4、相等5、C 轻松尝试应用 1～3 CAC 4、15°5、∠AOF 和∠BOE 6、解：因为∠AOD与∠BOC是对顶角 所以∠AOD=∠BOC 又因为∠AOD+∠BOC=220°所以∠AOD=110°而∠AOC与∠AOD是邻补角 则∠AOC+∠AOD=180°所以∠AOC=70° 智能演练能力提升 1～3 CCC 4、10°5、对顶角邻补角互为余角 6、135°40°7、90°8、不是9、解：因为OE平分∠AOD, ∠AOE=35°, 所以∠AOD=2∠AOE=70°由∠AOD与∠AOC是邻补角，得∠AOC=180°-∠AOD=110°因此∠COE =∠AOE+∠AOC=35°+110°=145° 10、2 6 12 n(n-1) 4046132 5.1.2垂线学前温故90°新课早知1、垂直垂线垂足2、D BE CD C 3、一条垂线段4、B 5、垂线段的长度6、D 轻松尝试应用1～3 DBD 4、∠1与∠2互余 5、30°6、解：由对顶角相等，可知∠EOF=∠BOC=35°,又因为OG⊥AD, ∠FOG=30°,所以∠DOE=90°-∠FOG-∠EOF=90°-30°-35°=25° 智能演练能力提升1～3 AAB 4、①④ 5、解:如图.

6、 解：因为CD⊥EF, 所以∠COE=∠DOF=90 °因为∠AOE=70°,所以∠AOC=90°-70°=20°, ∠BOD=∠AOC=20°,所以∠BOF=90°-∠BOD=90°-20°=70°因为OG平分∠BOF,所以∠BOG=0.5×70°=35°, 所以∠BOG=35°+20°=55° 7、解（1）因为OD平分∠BOE,OF平分∠AOE, 所以∠DOE=1/2∠BOE, ∠EOF=1/2∠AOE, 因为∠BOE+∠AOE=180°, 所以∠DOE+∠EOF=1/2∠BOE+1/2∠AOE=90°,即∠FOD=90°, 所以OF⊥OD (2)设∠AOC=x,由∠AOC: ∠AOD=1:5,得∠AOD=5x. 因为∠AOC=∠AOD=180°,所以x+5x=180°, 所以x=30°. 所以∠DOE=∠BOD=∠AOC=30°. 因为∠FOD=90°,所以∠EOF=90°-30°=60° 8、D 9解:(1)如图所示:

中考数学基础训练_1

中考基础训练（2） 一、填空题：（每小题2分，共24分） 1．12-的相反数是 . 2． 函数21+=x y 中，自变量x 的取值范围是 . 3．我们知道，1纳米=10—9米，一种花粉直径为35000纳米，那么这种花粉的直径用科学记数法可记 为 米. 4．已知y 是x 的一次函数，下表列出了部分对应值，则m= . 5.如图，A 、B 、C 为⊙0上三点，∠ACB＝20○ ,则∠BAO 的度数为 °. 6. 如图，△ABC 的外接圆的圆心坐标为 . 7．如图，用一张长方形纸条折成一个图形，如果∠2=60°，那么∠1= °. 8.若分式方程1-x x x m -1=2无解，则m= . 9．如图，用同样规格的黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察图形并解答下列问题.在第n 个 图中，共有 白块瓷砖。（用含n 的代数式表示）. 10.在平面直角坐标系中，以点P （3，4）为圆心，r 为半径的圆与两坐标轴恰有四个公共点，则r 的值或范围是 . 11．如图，在△ABC 中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边上一动点，则ECED 的最小值是 . 12．如图的平面直角坐标系中有一个正六边形ABCDEF ，其中C ．D 的坐标分别为（1，0）和（2， 0）．若在无滑动的情况下，将这个六边形沿着x 轴向右滚动，则在滚动过程中，这个六边形的顶 点A ．B ．C ．D ．E 、F 中，会过点（2013，2）的是点 ．

二、选择题（每小题3分，共15分） 13．下列运算正确的是 A ．3362a a a += B ．325a a a ?= C ．632a a a ÷= D ．()()224416a b a b b a --+=- 14．若∠A 的余角为60°，则sinA 等于 A ．12 B ．22 C ．32 D ． 1 15．若一个圆锥的母线长是它底面圆半径的2倍，则它的侧面展开图的圆心角等于 A ．120 B ．135 C ．150 D ．180 16．已知点A 是双曲线3y x =在第一象限上的一动点，连接AO 并延长交另一分支于点B ，以AB 为一边作等边三角形ABC ，点C 在第四象限，随着点A 的运动，点C 的位置也不断的变化，但始终在 一函数图象上运动，则这个函数的解析式是 A ．1y x =- （x>0） B ．3y x =- （x>0） C ． 9y x =- （x>0） D ．33y x =-（x>0） 17．已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图所示，有下列结论：①240b ac ->； ②0abc >；③80a c +>；④930a b c ++<．其中，正确结论的个数是 A.1 B .2 C. 3 D. 4 三、解答题（共计81分）

小学数学三年级数学计算能力测试卷

三年级数学计算能力测试卷 一、口算题：每题2分，共60分 765－104＝356＋144＝835－134＝1000－524＝5×800＝ 20－2×7＝4×6－20＝46＋4×7＝50－5×8＝600×9＝ 9＋18÷6＝3×9＋15＝45＋15÷3＝35÷5－1＝210÷3＝ 48÷（8－2）＝100－（72＋28）＝（99－78）÷3＝87÷(21－20) ＝ 687×(1－1) ＝(54－53) ×234＝70×8＝6×30＝200÷5＝ 240÷8＝□÷2＝60 □×2＝24 □÷3＝12 900÷3＝□×3＝60 二、竖式计算：每题2分，共22分 962－804＝532＋168＝256×3＝243×6＝407－138＝205×4＝ 250×6＝568＋739＝251＋369＋142＝400－245＋517＝738－560－120＝ 三、脱式计算：每题3分，共18分 32＋17×3 850－（256＋280）78＋600÷3 420÷（25－19）（48＋52）÷5 84÷4－20 三年级数学计算能力测试卷 一、口算题：每题2分，共60分 765－104＝356＋144＝835－134＝1000－524＝5×800＝ 20－2×7＝4×6－20＝46＋4×7＝50－5×8＝600×9＝ 9＋18÷6＝3×9＋15＝45＋15÷3＝35÷5－1＝210÷3＝ 48÷（8－2）＝100－（72＋28）＝（99－78）÷3＝87÷(21－20) ＝ 687×(1－1) ＝(54－53) ×234＝70×8＝6×30＝200÷5＝ 240÷8＝□÷2＝60 □×2＝24 □÷3＝12 900÷3＝□×3＝60 二、竖式计算：每题2分，共22分 962－804＝532＋168＝256×3＝243×6＝407－138＝205×4＝ 250×6＝568＋739＝251＋369＋142＝400－245＋517＝738－560－120＝ 三、脱式计算：每题3分，共18分 32＋17×3 850－（256＋280）78＋600÷3 420÷（25－19）（48＋52）÷5 84÷4－20