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二次函数的最值、函数值的范围专题复习讲义(含答案)

二次函数的最值、函数值的范围专题复习讲义（含答案）

——类比各形式，突破给定范围求最值

类型一没有限定自变量的范围求最值

1．函数y ＝－(x ＋1)2＋5的最大值为_______.

2．已知二次函数y ＝3x 2－12x ＋13，则函数值y 的最小值是（）

A ．3

B ．2

C ．1

D ．－1

3．已知函数y ＝x(2－3x)，当x 为何值时，函数有最大值还是最小值？并求出最值．

类型二限定自变量的取值范围求最值

4．函数y ＝x 2＋2x －3(－2≤x ≤2)的最大值和最小值分别是（）

A ．4和－3

B ．－3和－4

C ．5和－4

D ．－1和－4

5．二次函数y ＝－12x 2＋32

x ＋2的图象如图所示，当－1≤x ≤0时，该函数的最

大值是（）

A ．3.125

B ．4

C ．2

D ．0

6．已知0≤x ≤32

，则函数y ＝x 2＋x ＋1（） A ．有最小值34，但无最大值 B ．有最小值34

，有最大值1 C ．有最小值1，有最大值194

D ．无最小值，也无最大值类型三限定自变量的取值范围求函数值的范围

7．从y ＝2x 2－3的图象上可以看出，当－1≤x ≤2时，y 的取值范围是（）

A ．－1≤y ≤5

B ．－5≤y ≤5

C ．－3≤y ≤5

D ．－2≤y ≤1

8．已知二次函数y ＝－x 2＋2x ＋3，当x ≥2时，y 的取值范围是（）

A ．y ≥3

B ．y ≤3

C ．y ＞3

D ．y ＜3

9．二次函数y ＝x 2－x ＋m(m 为常数)的图象如图所示，当x ＝a 时，y ＜0；那么当x ＝a －1时，函数值（）

A ．y ＜0

B ．0＜y ＜m

C ．y ＞m

D ．y ＝m

类型四已知函数的最值，求自变量的取值范围或待定系数的值

10．当二次函数y ＝x 2＋4x ＋9取最小值时，x 的值为（）

A ．－2

B ．1

C ．2

D ．9

11．已知二次函数y＝ax2＋4x＋a－1的最小值为2，则a的值为（）A．3 B．－1 C．4 D．4或－1

12．已知y＝－x(x＋3－a)＋1是关于x的二次函数，当x的取值范围在1≤x≤5时，y在x＝1时取得最大值，则实数a的取值范围是（）A．a＝9 B．a＝5 C．a≤9 D．a≤5

13．在△ABC中，∠A，∠B所对的边分别为a，b，∠C＝70°.若二次函数y＝(a

＋b)x2＋(a＋b)x－(a－b)的最小值为－a

，则∠A＝_______度．

14．已知函数y＝－4x2＋4ax－4a－a2，若函数在0≤x≤1上的最大值是－5，求a的值．

参考答案：

二次函数复习专题讲义

第1-3讲二次函数全章综合提高【知识清单】 ※一、网络框架 ※二、清单梳理 1、一般的，形如2 (0,,,)y ax bx c a a b c =++≠是常数的函数叫二次函数。例如 22221 2,26,4,5963 y x y x y x x y x x =-=+=--=-+-等都是二次函数。注意：系数a 不能为零，,b c 可以为零。 2、二次函数的三种解析式（表达式） 2(0)0=00=0000000y ax a y a y a y a x y x x y x a x y x x y x ?=≠???? ><>???? <<>??最小值最大值概念：形如的函数简单二次函数图像：是过（0,0）的一条抛物线对称轴：轴性质最值：当时，；当时，当时，在对称轴左边（即）,随的增大而减小。在对称轴右边（即）,随的增大而增大。增减性当时，在对称轴左边（即）,随的增大而增大。在对称轴右边（即）,随的增大而减小。二次函数2222(0)004242440=0=440y ax bx c a a a b ac b a a b x a ac b ac b a y a y a a a ???????? ??????????=++≠?><>最小值最大值概念：形如的函数，注意还有顶点式、交点式以及它们之间的转换。开口方向：，开口向上；，开口向下。图像：是一条抛物线顶点坐标：（-,）对称轴：-最值：当时，，当时，一般二次函数性质：当时，在对称轴左增减性：22022b b x y x x y x a a b b a x y x x y x a a ????????????? ?? ?????????????????<>??????????<<>????????????????边（即-）,随的增大而减小。在对称轴右边（即-）,随的增大而增大。当时，在对称轴左边（即-）,随的增大而增大。在对称轴右边（即-）,随的增大而减小。待定系数法求解析式应用与一元二次方程和不等式的关系建立函数模型解决实际问题???? ???? ??????????????????? ?? ????

一元二次方程的应用(专题训练)上课讲义

一元二次方程的应用(专题训练)

一元二次方程的实际应用（1）与数字有关的问题例1 一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数解：练习题一 1．一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方恰好等于这个两位数，则这个两位数是多少？ 2、某两位数的十位数字是082=-x x 的解，则其十位数字是多少；某两位数的个位数字是方程082=-x x 的解，则其个位数是多少？ 3、一个两位数，个位上数字比十位数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这两位数小4，设个位数字为x ，求这个两位数？ 4、一个两位数，个位上的数字是十位数字的平方还多1，若把个位上的数字与十位上的数字对调，所得的两位数比原数大27，求原两位数？ 5、一个三位数，百位上数字为2，十位上数字比个位上数字小3，这个三位数个位、十位、百位上的数字之积的6倍比这个三位数小20，求这个三位数？

例2 三个连续奇数，它们的平方和为251，求这三个数？解：练习题二 1、两个数的和为16，积为48，则这两个正整数各是多少？ 2、若两个连续正整数的平方和为313，则这两个正整数的和是多少？ 3、三个连续正整数中，前两个数的平方和等于第三个数的平方，则这三个数从小到大依次是多少？ 4、三个连续偶数，使第三个数的平方等于前两个数的平方和，求这三个数？ 5、有四个连续整数，已知它们的和等于其中最大的与最小的两个整数的积，求这四个数？

（2）与几何图形面积有关的问题例3 一个直角三角形三边的长是三个连续整数，求这三条边的长和它的面积解：练习题三 1．直角三角形两直角边的比是8：15，而斜边的长等于6.8cm ，那么这个直角三角形的面积等于多少？ 2、直角三角形的面积为6，两直角边的和为7，则斜边长为多少？ 3、用一条长12厘米的铁丝折成一个斜边长是5厘米的直角三角形，则两直角边的长是多少？ 4、一个三角形的两边长为2和4，第三边长是方程0121022=+-x x 的解，则三角形的周长为多少 6、若三角形的三边长均满足方程0862=+-x x ，则此三角形的周长为多少？

二次函数复习讲义(完美)

二次函数最全面的复习讲义学习目标 1．通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义； 2．会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质； 3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴(公式不要求记忆和推导)，并能解决简单的实际问题； 4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解. 知识网络要点一、二次函数的定义一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数. 要点诠释：如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. 二、用待定系数法求二次函数解析式 1.二次函数解析式常见有以下几种形式： (1)一般式：(a，b，c为常数，a≠0)； (2)顶点式：(a，h，k为常数，a≠0)； (3)交点式：(，为抛物线与x轴交点的横坐标，a≠0)．三、 2.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设出二次函数的解析式，如或，或，其中a≠0；第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中．类型一：二次函数的概念 1、下列函数中，是关于x的二次函数的是__________________(填序号)． (1)y＝-3x2；(2)；(3)y＝3x2-4-x3； (4)；(5)y＝ax2+3x+6； (6)．【变式1】下列函数中，是二次函数的是（ ) A. B. C.

中考数学一轮复习知识点+题型专题讲义12 一元二次方程(教师版)

专题12 一元二次方程考点总结【思维导图】

【知识要点】知识点一一元二次方程定义及一般形式概念：等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数式2（二次）的方程，叫做一元二次方程。一般形式： 20(0) ax bx c a ++=≠。其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。【注意】 1）只含有一个未知数； 2）所含未知数的最高次数是2； 3）整式方程。 1．（2019·四川中考模拟）下列方程，是一元二次方程的是（） ①3x2+x=20，②2x2-3xy+4=0，③x2-1 x =4，④x2=0，⑤x2- 3 x +3=0 A．①②B．①④⑤C．①③④D．①②④⑤ 【答案】B 【详解】 ①符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；②含有两个未知数x、y，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程；③方程中含有分式，不符合一元二次方程的定义，不是一元二次方程；④符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；⑤符合一元二次方程的定义，是一元二次方程；综上，是一元二次方程的是①④⑤，故选B. 2．（2019·广西柳州二十五中中考模拟）根据下列表格的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a≠0，a、b、c为常

数）一个解的范围是（） A ．3＜x ＜3.23 B ．3.23＜x ＜3.24 C ．3.24＜x ＜3.25 D ．3.25＜x ＜3.26 【答案】C 【详解】观察表格可知ax 2+bx+c 的值与0比较接近的是-0.02和0.03，相对应的x 的值分别为3.24秘3.25，因此方程ax 2+bx+c=0（a≠0，a 、b 、c 为常数）一个解的范围是3.24＜x ＜3.25；故选C. 3．（2019·广东中考模拟）方程2x 2﹣3x ﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（） A ．3、2、5 B ．2、3、5 C ．2、﹣3、﹣5 D ．﹣2、3、5 【答案】C 【详解】2x 2﹣3x ﹣5=0的二次项系数、一次项系数、常数项分别为2、﹣3、﹣5. 故选C. 4．（2018·湖南中考模拟）下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（） A ．2 2 1 0x x + = B ．20ax bx c ++= C ．()()121x x -+= D ．223250x xy y --= 【答案】C 【详解】 A. 是分式方程，故此选项错误； B. 当a≠0时，是一元二次方程，故此选项错误； C. 是一元二次方程，故此选项正确； D. 是二元二次方程，故此选项错误；故选：C. 5．（2018·湖北中考模拟）下列关于x 的方程中，属于一元二次方程的是（） A ．x ﹣1=0 B ．x 2+3x ﹣5=0 C ．x 3+x=3 D ．ax 2+bx+c=0 【答案】B 【详解】

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【最新整理，下载后即可编辑】二次函数性质二次函数的图象与性质的是二次函数重点内容，而与二次函数的图象与性质密切相关，是图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减范围、对称性。这些内容是中考二次函数重点考查内容，关于这些知识点的考查常以下面的题型出现。一、确定抛物线的开口方向、顶点坐标例1、对于抛物线21(5)33 y x =--+，下列说法正确的是（） A ．开口向下，顶点坐标(53)， B ．开口向上，顶点坐标 (53)， C ．开口向下，顶点坐标(53)-， D ．开口向上，顶点坐标(53)-，二、求抛物线的对称轴例2、二次函数322-+=x x y 的图象的对称轴是直线。三、求二次函数的最值例3、若一次函数(1)y m x m =++的图像过第一、三、四象限,则函数2 y mx mx =-（） A.有最大值4m B.有最大值4m - C.有最小值4 m D.有最小值4m - 四、根据图象判断系数的符号例4、已知函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列结论正确的是（） A ．a ＞0，c ＞0 B ．a ＜0，c ＜0 C ．a ＜0，c ＞0 D ．a ＞0，c ＜0 五、比较函数值的大小例5、若A （1,413y -），B （2,4 5y -），C （3,41y ）为二次函数245y x x =+- 的图象上的三点，则1,y 2,y 3y 的大小关系是( ) A ．123y y y << B ．213y y y << C ．312y y y << D ．132y y y << 六、二次函数的平移

例6、把抛物线2y x =-向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的解析式为（） A. 2(1)3y x =--- B. 2(1)3y x =-+- C. 2(1)3y x =--+ D. 2(1)3y x =-++ 例7将抛物线23x y =绕原点按顺时针方向旋转180°后，再分别向下、向右平移1个单位，此时该抛物线的解析式为（） A.1)1(32---=x y B. 1)1(32-+-=x y C.1)1(32+--=x y D. 1)1(32++-=x y 例8在直角坐标平面内,二次函数图象的顶点为A(1,-4)且过B(3,0). (1) 求该二次函数解析式; (2) 将该函数向右平移几个单位,可使得平移后所得图象经过原点,并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标. （1）把二次函数2339424y x x =-++代成2()y a x h k =-+的形式．（2）写出抛物线2339424y x x =-++的顶点坐标和对称轴，并说明该抛物线是由哪一条形如2y ax =的抛物线经过怎样的变换得到的？（3）如果抛物线2339424 y x x =-++中，x 的取值范围是03x ≤≤，请画出图象，并试着给该抛物线编一个具有实际意义的情境（如喷水、掷物、投篮等）．七、求代数式的值例9、已知抛物线21y x x =--与x 轴的一个交点为(0)m ，，则代数式22008m m -+的值为（）A ．2006 B ．2007 C ．2008 D ．2009 八、求与坐标轴的交点坐标例10、抛物线 y=x 2+x-4与y 轴的交点坐标为．例11、如图是二次函数2)1(2++=x a y 图像的一部分，该图在y 轴右侧与x 轴交点的坐标是。二次函数与一元二次方程二次函数与一元二次方程的关系十分密

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一元二次方程 ●夯实基础例1 已知关于x 的方程22(2)1a x ax x --=-是一元二次方程，求a 的取值范围_________．例2 若一元二次方程222(2)3(15)40m x m x m -+++-=的常数项为零，则m 的值为_________． ●能力提升 1、已知方程2240a b x x x --+=是关于x 的一元二次方程，求a =______、b =______． 2、若方程（m-1）x 2+ x=1是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（） A ．m≠1 B ．m≥0 C ．m≥0且m≠1 D ．m 为任何实数 ●培优训练例3 m 为何值时，关于x 的方程2 ((3)4m m x m x m --+=是一元二次方程．例4已知方程20a b a b x x ab +---=是关于x 的一元二次方程，求a 、b 的值． ●练习 1、m 为何值时，关于x 的方程2 ((3)4m m x m x m -+=是一元二次方程． 2、已知关于x 的方程22(2)1a x ax x --=-是一元二次方程，求a 的取值范围． 3、已知关于x 的方程22()(2)x a ax -=-是一元二次方程，求a 的取值范围． 4、若 2310a b a b x x +--+=是关于x 的一元二次方程，求a 、b 的值． 5、若一元二次方程222(2)3(15)40m x m x m -+++-=的常数项为零，则m 的值为________ ●夯实基础 (1)2269(52)x x x -+=- 21)x -= (3) 211 063 x x +-= (4) 231y += 板块一一元二次方程的定义板块二一元二次方程的解与解法

二次函数专题复习(讲义)(完整资料).doc

【最新整理，下载后即可编辑】二次函数专题复习专题一：二次函数的图象与性质本专题涉及二次函数概念，二次函数的图象性质，抛物线平移后的表达式等.试题多以填空题、选择题为主，也有少量的解答题出现. 考点1.二次函数图象的对称轴和顶点坐标二次函数的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线x=-2b a ，顶点坐标是（-2b a ，2 44ac b a -）. 例1 已知，在同一直角坐标系中，反比例函数5y x =与二次函数22y x x c =-++的图像交于点(1)A m -，．（1）求m 、c 的值；（2）求二次函数图像的对称轴和顶点坐标. 考点2.抛物线与a 、b 、c 的关系抛物线y=ax 2+bx+c 中，当a>0时，开口向上，在对称轴x=-2b a 的左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大；当a<0时，开口向下，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而减小. 例2 已知2 y ax bx =+的图象如图1所示，则y ax b =-的图象一定过（） A ．第一、二、三象限 B ．第一、二、四象限 C ．第二、三、四象限 D ．第一、三、四象限考点3、二次函数的平移当k>0（k<0）时，抛物线y=ax 2+k （a ≠0）的图象可由抛物线y=ax 2向上（或向下）平移|k|个单位得到；当h>0（h<0）时，抛物线y=a （x-h ）2（a ≠0 ）的图图1

象可由抛物线y=ax 2向右（或向左）平移|h|个单位得到. 例3 把抛物线y=3x 2向上平移2个单位，得到的抛物线是（） A.y=3（x+2）2 B.y=3（x-2）2 C.y=3x 2+2 D.y=3x 2-2 专题练习1 1.对于抛物线y=13 -x 2+103 x 163 -，下列说法正确的是（） A.开口向下，顶点坐标为（5，3） B.开口向上，顶点坐标为（5，3） C.开口向下，顶点坐标为（-5，3） D.开口向上，顶点坐标为（-5，3） 2.若抛物线y=x 2-2x+c 与y 轴的交点为（0，-3），则下列说法不正确的是（） A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴是x=1 C.当x=1时，y 的最大值为-4 D.抛物线与x 轴交点为（-1，0），（3，0） 3.将二次函数y=x 2的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得图象的函数表达式是________. 4.小明从上图2所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：①0c <；②0abc >；③0a b c -+>；④230a b -=；⑤40c b ->，你认为其中正确信息的个数有_______.（填序号）专题复习二：二次函数表达式的确定本专题主要涉及二次函数的三种表示方法以及根据题目的特点灵活选用方法确定二次函数的表达式.题型多以解答题为主. 考点1.根据实际问题模型确定二次函数表达式例1、如图1，用一段长为30米的篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度不限）的矩形菜园ABCD ，设AB 边长为x 米，则菜园的面积y （单位：米2）与图2 A B C D 图1 菜园墙

5一元二次方程的应用尖子班讲义

一元二次方程根与系数关系及应用题（讲义）一、知识点睛 1．从求根公式中我们发现12x x +=_______，12x x ?=_________，这两个式子称为_____________，数学史上称为___________．注：使用___________________的前提是_________________． 2．一元二次方程应用题的常见类型有： ①______________；②______________；③______________．增长率型例如：原价某元，经过两次连续降价（涨价）； 1人患了流感，经过两轮传染．经济型例如：“每涨价××元，则销量减少××件”． 3．应用题的处理流程： ① 理解题意，辨析类型； ② 梳理信息，建立数学模型； ③ 求解，结果验证．二、精讲精练 1. 若x 1，x 2是一元二次方程2274x x -=的两根，则x 1+x 2与12x x ?的值分别是（） A ．7错误!未找到引用源。，4 B ．7 2-，2 C ．7 2，2 D ．72 ， -2 2. 若x 1 =2是一元二次方程210x ax ++=的一个根，则该方程的另一个根x 2=_________，a =________． 3. 若关于x 的方程2210x x a ++-=有两个负根，则a 的取值范围是 ____________________． 4. 若关于x 的方程2220x x m +-=的两根之差的绝对值是则m =________． 5. 某商品原售价289元，经过连续两次降价后售价256元．设平均每次降价的百分率为x ，则下面所列方程正确的是（） A ．2289(1)256x -= B ．2256(1)289x -= C ．289(12)256x -= D ．256(12)289x -= 6. 据调查，某市2013年的房价为6 000元/米2，预计2015年将达到8 840元/ 米2，求该市这两年房价的年平均增长率．设年平均增长率为x ，根据题意，所列方程为_______________． 7. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染了________________个人．

2018二次函数复习专题讲义

考点一：二次函数的概念已知点a,8在二次函数y ax 2的图象上，贝U a 的值是（） x 7 6 5 4 3 2 y 27 13 3 3 5 3 B 0,2 ,则y 与x 的函数关系式为（）【针对训练】过 1,0 , 3,0 , 1,2三点的抛物线的顶点坐标是 ___________ 。考点三：二次函数的图像与性质的综合应用（与系数 a,b,c 的关系）【例1】已知二次函数y a （x 1）2 b （a 0）有最小值1,则a 、b 的大小关系为（） A. a b B. a b C. a b D.不能确定【针对训练】1、二次函数y 2x 2 4x 1的最小值是 ___________________ 。 2 2、二次函数y 2（x 1） 3的图象的顶点坐标是（）二次函数【例 1】下列函数中是二次函数的是（ Ay 8x 2 1 B. y 8x 1 C.y - x 3 D.y - 4 x 【例 2】已知函数y 2 (m 2 2m) x m 3m 4 3mx （m 1）是二次函数，则 m 【针对训练】若函数 y (m 2)x m mx 是二次函数，则该函数的表达式为 y 考点二: 待定系数法在求解二次函数解析式中的应用【例1】【例2】 A2 B. 2 C. 2 若二次函数y ax 2 bx c 的 x 与y 的部分对应值如下表， x 1时，y 的值为 A.5 B. 3 C. 13 27 【针对训练】1、过 1,0 3,0 1,2 点的抛物线的顶点坐标是（ A. 1,2 B.(谆 C. 1,5 14 0(2 弓 2、无论 m 为何实数，二次函数 x 2 m 的图象总是过定点（ A.1,3 B.1,0 C. 1,3 1,0 【例3】如图所示，在平面直角坐标系中，二次函数y 2 ax bx c 的图象顶点为A. 2, 2 , 且过点 A. y x 2 2 2 B. y x 2 2 C. y D.y 3

一元二次方程培优专题讲义(最新整理)

数学培优专题讲义：一元二次方程一.知识的拓广延伸及相关史料 1．一元二次方程几种解法之间的关系解一元二次方程有下列几种常用方法:（1）配方法:如，经配方得 2670x x ++=，再直接用开平方法； 2(3)2x +=（2）公式法；（3）因式分解法。这三种方法并不是孤立的，直接开平方法，实际也是因式分解法，解方程，只2670x x ++=要变形为即可，或原方程 22(3)0x +-=经配方化为，再求解时， 2670x x ++=2(3)2x +=还是归到用平方差公式的因式分解法，所以配方法归为用因式分解法的手段。公式法在推导公式过程中用的是配方法和直接开平方法，因此，它还是归到因式分解法，所不同的是，公式法用一元二次方程的系数来表示根，因而可以作为公式。由此可见，对因式分解法应予以足够的重视。因式分解法还可推广到高次方程。 2．我国古代的一元二次方程提起代数，人们自然就把它和方程联系起来。事实上，过去代数的中心问题就是对方程的研究。我国古代对代数的研究，特别是对方程解法的研究有着优良的传统，并取得了重要成果。下面是我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题:”直田积（矩形面积）八百六十四步(平方步),只云阔（宽）不及长一十二步（宽比长少一十二步）,问阔及长各几步？”答:”阔二十四步,长三十六步.” 这里,我们不谈杨辉的解法,只用已学过的知识解决上面的问题. 上面的问题选自杨辉所著的《田亩比类乘除算法》。原题另一个提法是:“直田积八百六十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步?”这个问题同样可以类似求解. 3. 掌握数学思想方法，以不变应万变。本章内容蕴涵了丰富的数学方法，主要有转化思想、类比思想、降次法、配方法等。（1）转化思想我们知道，解方程的过程就是不断地通过变形把原方程转化为与它等价的最简单方程的过程。因此，转化思想就是解方程过程中思维活动的主导思想。在本章，转化无所不在，无处不有，可以说这是本章的精髓和特色之一，其表现主要有以下方面： ①未知转化为已知，这是解方程的基本思路: ②一元二次方程转化为一元一次方程，这是通过将原方程降次达到的: ③特殊转化为一般，一般转化为特殊。例如，通过用配方法解数字系数的一元二次方程归纳出用配方法解一般形式2670x x ++=的一元二次方程的方法，进而得出20ax bx c ++=一元二次方程的求根公式，而用公式法又可以解各种具体的一元二次方程，推导出一元二次方程根与系数的关系。又如，通过设未知数，找出等量关系，列方程，把实际问题转化为解方程问题，等等。掌握转化思想并举一反三，还可以解决很多其他方程问题，如高次方程转化为一元一次或一元二次方程，分式方程转化为整式方程，无理方程转化为有理方程，二元二次方程组转化为二元一次方程组，总之，本章学习的关键之一是学会如何”转化”. 练习: ;222 1 1.510a x x a a -+=+ 是方程的一根,求的值 2421032. a x a ?--=--是方程x 的一根,求a 的值 2 2 42 3101 x x x x x --=-+、若，求的值。（2）类比思想本章多次运用类比找出新旧知识的联系,在新旧知识间进行对比,以利于更快更好地掌握新知识. 如用配方法解一元二次方程时,可类比平方根的概念和意义,列一元二次方程解应用题,可类比列一元一次方程解应用题的思路和一般步骤. 类比思想是联系新旧知识的纽带，有利于帮助我们开阔思路，研究解题途径和方法，有利于掌握新知识、巩固旧知识，学习时应特别重视。

人教版数学九年级上册课程讲义第二十一章：21.2 解一元二次方程-解析版

解一元二次方程知识定位讲解用时：3分钟 A、适用范围：人教版初三，基础一般 B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们要主要学习一元二次方程的求解，重点掌握直接开平方法、因式分解法、配方法以及公式法解一元二次方程，本节的重点是能够根据不同的方程特征选择合适的解法，难点是一元二次方程与其他知识点的结合考查，希望同学们认真学习，熟练使用各种解法，为后面一元二次方程的应用奠定良好基础。知识梳理讲解用时：30分钟

A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根 C．只有一个实数根D．无实数根【答案】D 【解析】考查了直接开平方法解一元二次方程，由原方程得到：（x﹣2019）2=﹣2019， ①（x﹣2019）2≥0， ﹣2019＜0，①该方程无解，故选：D. 讲解用时：2分钟解题思路：先移项，然后利用直接开平方法解方程。教学建议：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程。难度：3 适应场景：当堂例题例题来源：余干县校级期末年份：2019秋【练习1】已知一元二次方程mx2+n=0（m≠0），若方程有解，则必须（）。 A．n=0 B．mn同号C．n是m的整数倍D．mn异号【答案】D 【解析】此题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，

n， mx2+n=0，则mx2=﹣n，即x2=﹣ m ①x2≥0，m≠0，①mn异号，故选：D. 讲解用时：2分钟 n，再解题思路：由mx2+n=0移项得mx2=﹣n，再两边同时除以m，可得x2=﹣ m 根据偶次幂的非负性可得mn异号。教学建议：解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2=a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解。难度：3 适应场景：当堂练习例题来源：海原县校级期中年份：2019秋【例题2】在实数范围内定义运算“①”，其规则为a①b=a2﹣b2，则方程（4①3）①x=13的根为。【答案】x1=6，x2=﹣6 【解析】本题考查的是用直接开平方法解一元二次方程，根据新定义可以列方程：（42﹣32）①x=13，则72﹣x2=13， ∴49﹣x2=13，则x2=36， ①x1=6，x2=﹣6，故答案为：x1=6，x2=﹣6.

2020年中考数学人教版专题复习：二次函数复习讲义·

2020年中考数学人教版专题复习：二次函数复习讲义【知识梳理】（一）本节课知识点 1.二次函数解析式的三种形式一般式:2(0)y ax bx c a b c a =++≠，，是常数，顶点式:2()(0)y a x h k a h k a =?+≠，，是常数，双根式:若抛物线与x 轴有两个交点，交点坐标分别为1(,0)x ，2(,0)x 则 12()()(0)y a x x x x a =??≠ 2.二次函数的图象 ①二次函数图象关于一条平行y 轴的直线对称的抛物线 ②抛物线2(0)y ax bx c a b c a =++≠，，是常数，与y 轴必有一个交点，坐标为（0，c ）；与x 轴交点的个数则是由△=ac b 42?决定的。（二）本节课的重、难点 1．重点：能通过观察函数图象读取相关信息解决问题． 2．难点：用函数观点看方程（组）与不等式（组）. 【典例剖析】例已知二次函数x x y 22 ?=. (1) 把它配成k h x a y +?=2)(的形式. (2) 写出函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴. (3) x 取何值时，函数有最值？是最大值还是最小值？求出最大值或最小值. (4) 求出函数图象与两条坐标轴的交点坐标. (5) 用五点法画出函数图象,并回答:当x 取何值时，y ＞0？y ＜0？ (6) 当x 取何值时，y 随x 的增大而增大？例已知直线721?=x y 与抛物线c bx ax y ++=22，抛物线2y 与y 轴交于点A （0，5），与x 轴交于点B （1，0），C （5，0）两点.

（1）求抛物线的解析式并在同一坐标系中画出直线和抛物线的示意图. （2）结合图象回答: ①02≥y 时,x 的取值范围； ②50<0；②b 0；④2c <3b ；⑤)1)((≠+>+m b am m b a ，其中正确的结论有。例如图，一场篮球赛中，小明跳起投篮，已知球出手时离地面9 20米，与篮圈中心的水平距离为8米，当球出手后水平距离为4米时到达最大高度4米，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈中心距离地面3米。问此球能否投中。