2012温州市高一摇篮杯数学竞赛试题及解答
2012年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
1．从n 名男生和2名女生中，任选2人参加英语口语比赛，若2人中至少有1名男生的概率为
14
15
，则n 的值为 ( ▲ ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
2．将向量(3,4)a =按向量(1,2)b =平移得到向量c ，则||c = ( ▲ ) A
． B
． C ．5 D
．3．对任意0,
2πθ??
∈ ??
?
,下列不等式正确的是 ( ▲ ) A ．()tan cos tan θθ> B ．()tan tan tan θθ> C ．()cos tan cos θθ< D ．()cos tan cos θθ>
4．在ABC ?中，(1,2),(34),(2,)A B C k ，，若B ∠为锐角，则实数k 的取值范围是( ▲ ) A ．5k > B ．5k <
C ．35k <<
D ．335k k <<<或
5．已知函数()f x 满足(1)2f =，1()
(1)1()
f x f x f x ++=
-(*)x N ∈，则(1)(2)(3)(2012)f f f f ????
的值为 ( ▲ ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．6- 6．已知a R ∈，则函数1
()421(0)x
x f x a x +=+?+≥的最小值是 ( ▲ )
A ．22a +
B ．2
1a -
C ．2
22(1)1(1)a a a a +≤-??->-? D ．21(1)
22(1)a a a a ?-≤-?+>-?
7．已知A 为ABC ?的最小内角，若向量(cos ,1),2sin(),16a A b A π
?
?
==+
??
?
，则a b ?的取值范围是 ( ▲ ) A ．15,22??-
???? B ．15,22??- ??? C ．52,2?????? D ．52,2??
???
8．已知函数3
()f x x x =+，2
()sin (2cos )g x x x =?-，则()()f x g x 、的图像的交点个数为 ( ▲ ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无数个
3 2 1 8 8 3 0 7 6 8 0 (13题图) 9．定义
1231
n
k
n k x
x x x x ==???????∏ ，则
89
1
89
1
(1cos 2)
sin 2k k k k ==-??
∏∏的值为 ( ▲ )
A ．1-
B ．1
C ．89-
D ．89
10．若函数()f x 在定义域内满足(2)(1)()f x f x f x +=+-，有以下命题： ①函数()f x 可以为一次函数； ②函数()f x 的最小正周期一定为6；
③若函数()f x 为奇函数且(1)0f =，则在区间[5,5]-上至少有11个零点； ④若R ω?∈、且0ω≠，则当且仅当2()3
k k Z π
ωπ=+
∈时，
函数()cos()f x x ω?=+满足已知条件. 其中错误．．的是
A ．①②
B ．③④
C ．①②③
D ．①②④ 二、填空题：本大题共7小题，每小题7分，共49分。
11．如图执行右面的程序框图，那么输出的s 值为 ▲ ．
12．函数()|sin |cos sin |cos |f x x x x x =?+?的值域 是 ▲ ．
13．美籍华人林书豪现已成为家喻户晓的NBA 篮球明星， 下图是他在职业生涯前8场首发得分的茎叶统计图， 这些数据的平均值和方差分别为 ▲ ．
(11题图)
14．方程4
44
sin 5sin x x +
=的解集为 ▲ ． 15．设集合[](){}
2
2124log 24x A x B x x x ??=<<=-=????
和，其中符号[]x 表示不大于x
的最大整数，则A B = ▲ ．
16．函数()f x =的最小值为 ▲ ．
17．对于一切实数x ，不等式2
2
2cos 2cos 2x
x
x x θθ?-?≥-恒成立，则θ的取值范围是 ▲ ． 三、解答题：本大题共3小题，共51分． 18．（本题满分16分）已知关于x 的方程2
1204x bx -+=的两根为θsin 和3cos ,(,)44
ππθθ∈. （Ⅰ）求实数b 的值； （Ⅱ）求sin 1cos 1cos sin θθ
θθ
++
-的值.
19．（本题满分17分）设实数19a >，函数()f x =（Ⅰ）当1a =时，判断()f x 的单调性；
（Ⅱ）求实数a 的范围，使得对于区间55?-???
上的任意三个实数r s t 、、，都存在以()()()f r f s f t 、、为边长的三角形.
20．（本题满分18分）函数()f x 的定义域为R ，且满足：
①对于任意的,x y R ∈，(1)()()(1)(1)f x y f x f y f x f y -+=+--； ②()f x 在区间[0,1]上单调递增. 求（Ⅰ）)0(f ；
（Ⅱ）不等式2(1)10f x +-≥的解集.
2012年浙江省温州市摇篮杯高一数学竞赛试题答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
1．从n 名男生和2名女生中，任选2人参加英语口语比赛，若2人中至少有1名男生的概率为
14
15
，则n 的值为 ( ▲ ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】B
【解析】222214
1415
n C n C +-=?=.
2．将向量(3,4)a =按向量(1,2)b =平移得到向量c ，则||c = ( ▲ ) A
． B
． C ．5 D
．【答案】C
【解析】由向量平移的不变性可知(3,4)c =，||5c ∴=. 3．对任意0,
2πθ??
∈ ??
?
,下列不等式正确的是 ( ▲ ) A ．()tan cos tan θθ> B ．()tan tan tan θθ> C ．()cos tan cos θθ< D ．()cos tan cos θθ> 【答案】C
【解析】取=
3π
θ，由1cos
323
π
π
=
<知A 错误；
取tan 2θ=，由tan 202<<知B 错误；
取=
4
π
θ，由tan
14
4
π
π
=>
知D 错误；
由tan 02πθθθ??
><<
??
?
知C 正确. 4．在ABC ?中，(1,2),(34),(2,)A B C k ，，若B ∠为锐角，则实数k 的取值范围是( ▲ ) A ．5k > B ．5k < C ．35k << D ．335k k <<<或
【答案】D 【解析】
B ∠为锐角，0AB B
C ∴?<且A 、B 、C 三点不共线，解得335k k <<<或.
5．已知函数()f x 满足(1)2f =，1()
(1)1()
f x f x f x ++=
-(*)x N ∈，则(1)(2)(3)(2012)f f f f ????
的值为 ( ▲ ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．6-
【答案】C
【解析】
1()
111()(2),(4)(),1()()11()
f x f x f x f x f x f x f x f x ++-
+=
=-∴+=+--
()f x ∴的周期4T = 由已知条件，可求得(2)3f =-，1(3)2f =-
，1(4)3
f =， (1)(2)(3)(4)1f f f f ∴???=，故(1)(2)(3)(2012)1f f f f ????= ．
【另解】由1()
(1)1()
f x f x f x ++=
-(*)x N ∈，联想到两角和的正切公式，
设(1)2tan f θ==，则有(2)tan 4f πθ??=+
???，(3)tan 2f πθ??=+ ???
， 3(4)tan 4f πθ??
=+ ???
，()1(5)tan f a πθ=+=，…
则(1)(2)(3)(4)1f f f f ???=，故(1)(2)(3)(2012)1f f f f ????= ．
6．已知a R ∈，则函数1
()421(0)x
x f x a x +=+?+≥的最小值是 ( ▲ )
A ．22a +
B ．2
1a - C ．2
22(1)1(1)a a a a +≤-??->-? D ．21(1)
22(1)
a a a a ?-≤-?+>-? 【答案】D
【解析】1
22()42
1(2)1x
x x f x a a a +=+?+=+-+，
0x ≥，21x ∴≥，
∴当1a ≤-时，2min ()1f x a =-，
当1a >-时，min ()22f x a =+.
7．已知A 为ABC ?的最小内角，若向量(cos ,1),2sin(),16a A b A π
?
?
==+
??
?
，则a b ?的取值范围是 ( ▲ ) A ．15,22??-
???? B ．15,22??- ??? C ．52,2?????? D ．52,2??
???
【答案】C
【解析】22sin()cos 1cos cos 16
a b A A A A A π
?=+
+=++
1cos 2321sin(2)262
A A A π+=
++=++， 55(0,]2(,][2,]36662
A A a b ππππ∈∴+∈∴?∈.
8．已知函数3
()f x x x =+，2
()sin (2cos )g x x x =?-，则()()f x g x 、的图像的交点个数为 ( ▲ ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．无数个
【答案】A
【解析】3
2
3
()()sin (2cos )sin sin f x g x x x x x x x =?+=-=+ 2
2
(sin )(sin sin 1)0x x x x x x ?-+++=
2
23(sin )[(sin )1]0sin 24
x x x x x x x ?-+++=?=
0x ∴=，0y ∴=，从而()()f x g x 、的图像只有一个交点.
【另解】3
2
3
()()sin (2cos )sin sin f x g x x x x x x x =?+=-=+，
构造函数3()f x x x =+，则()f x 在R 上单调递增，从而sin x x =，
0x ∴=，0y ∴=，从而()()f x g x 、的图像只有一个交点.
9．定义
1231
n
k
n k x
x x x x ==???????∏ ，则
89
1
89
1
(1cos 2)
sin 2k k k k ==-??
∏∏的值为 ( ▲ )
A ．1-
B ．1
C ．89-
D ．89
【答案】B
【解析】
89
89
89
1
89
11
1
(1cos 2)
1cos 2tan 1sin 2sin 2k k k k k k k k k ====-?-?==?=??
∏∏∏∏.
10．若函数()f x 在定义域内满足(2)(1)()f x f x f x +=+-，有以下命题： ①函数()f x 可以为一次函数；
3 2 1
8 8 3 0 7 6 8 0
(13题图)
②函数()f x 的最小正周期一定为6；
③若函数()f x 为奇函数且(1)0f =，则在区间[5,5]-上至少有11个零点； ④若R ω?∈、且0ω≠，则当且仅当2()3
k k Z π
ωπ=+
∈时，
函数()cos()f x x ω?=+满足已知条件. 其中错误．．的是 ( ▲ ) A ．①② B ．③④ C ．①②③
D ．①②④
【答案】D
【解析】由(2)(1)()f x f x f x +=+-，可得(3)(2)(1)()f x f x f x f x +=+-+=-， (6)()f x f x ∴+=，()f x ∴的周期6T =.
而一次函数没有周期，从而①错误；
若()0f x ≡，则()f x 的周期为任意非零实数，从而②错误；
对于③，(0)0,(1)0(2)0(3)0(4)0(5)0f f f f f f ==?=?=?=?=， 又()f x 为奇函数，所以()f x 在区间[5,5]-上至少有11个解，从而③正确； 对于④，当2()3
k k Z π
ωπ=-
∈时，函数也符合已知条件，从而④错误.
二、填空题：本大题共7小题，每小题7分，共
11．如图执行右面的程序框图，那么输出的s 【答案】
99100
【解析】1111
12233499100s =
+++???+
???? 1111199
122399100100
=-+-+???+-=
12．函数()|sin |cos sin |cos |f x x x x x =?+?是 ▲ ． 【答案】[1,1]-
【解析】由函数()|sin |cos sin |cos f x x x x =?+?当x 的终边落在第一象限时,有f (x )=sin2x ∈(0,1]； 当x 的终边落在第二象限时,有f (x )=0；
当x 的终边落在第三象限时,有f (x )=-sin2x ∈[-1,0)； 当x 的终边落在第四象限时,有f (x )=0； 当x 的终边落在两个坐标轴上时,有f (x )=0. 综上所述, f (x )的值域是[1,1]-.
(11题图)
13．美籍华人林书豪现已成为家喻户晓的NBA 篮球明星， 下图是他在职业生涯前8场首发得分的茎叶统计图， 这些数据的平均值和方差分别为 ▲ ． 【答案】25，
223
4
【解析】平均值3828232027262810
258
x +++++++=
=，
方差2
222221(3825)(2825)(2325)(2025)(2725)8
s ?=
-+-+-+-+-? 222223
(2625)(2825)(1025)4
?+-+-+-=?. 14．方程4
4
4sin 5sin x x
+=的解集为 ▲ ． 【答案】|,2x x k k Z π
π??=+
∈???
?
【解析】令4
sin [0,1]t x =∈，则2
540(1)(4)0t t t t -+=?--=，1t ∴=，
4sin 1x ∴=，()2x k k Z π
π∴=+
∈，
∴原方程的解集为|,2x x k k Z ππ??
=+∈????
. 【另解】
444sin 5sin x x +
≥，取等条件是2
sin 1x =，()2
x k k Z ππ∴=+∈，
∴原方程的解集为|,2x x k k Z ππ??
=+∈????
.
15．设集合[](){}
2
2124log 24x A x B x x x ??=<<=-=????
和，其中符号[]x 表示不大于x
的最大整数，则A B = ▲ ．
【答案】{ 【解析】∵
1
244
x <<，22x ∴-<<，[]x ∴的值可取2,1,0,1--.
当[x ]=2-，则22x =，∴x =； 当[x ]=1-，则2
3x =，无解；
当[x ]=0，则24x =，无解. 当[x ]=1，则2
5x =，无解； 综上{}
2A B =-.
16．函数()f x =的最小值为 ▲ ．
【答案】1
【解析】先求定义域(,[2,){0}-∞+∞，易得()()f x f x -=，故()f x 为偶函数，
从而只需考虑()f x 在)
{0}+∞上的最小值，
注意到两个根号内的函数在)+∞上都递增，故()f x 在)+∞上递增，
故min min{(0),1y f f ==．当0x =时取到最小值．
17．对于一切实数x ，不等式2
2
2cos 2cos 2x
x
x x θθ?-?≥-恒成立，则θ的取值范围是 ▲ ． 【答案】2422,33
k k k Z ππ
πθπ+
≤≤+∈ 【解析】222cos 2cos 2x x
x x θθ?-?≥-恒成立2
2(cos 1)(2cos 1)x
x θθ?+≥+恒成立，
当cos 1θ=-时，显然符合题意；
当cos 1θ≠-时，若0x =，显然成立；
当cos 1θ≠-时，若0x ≠，则原命题222cos 1
cos 1
x x θθ+?≥+恒成立，
而220x x >，且当x →-∞时，220x x →，2cos 10cos 1θθ+∴≤+，1
1cos 2
θ∴-<≤-，
从而11cos 2θ-≤≤-
，解得2422,33
k k k Z ππ
πθπ+≤≤+∈. 三、解答题：本大题共3小题，共51分． 18．（本题满分16分）已知关于x 的方程2
1204x bx -+=的两根为θsin 和3cos ,(,)44
ππ
θθ∈. （Ⅰ）求实数b 的值； （Ⅱ）求
sin 1cos 1cos sin θθ
θθ
++
-的值. 解：（Ⅰ）
sin θ，θcos 为方程21
204
x bx -+
=的两根， 则有：220(1)sin cos (2)21sin cos (3)8b b θθθθ?
??=-≥?
?
+=??
?
?=?? ， ---------------------4分
由（2）、（3）有：21
144
b =+，
解得：b =520?=->，
又sin cos )04
π
θθθ+=
+>
，b ∴=---------------------8分
（Ⅱ）sin 1cos 1sin cos 1cos sin 1sin cos θθθθ
θθ
θθ
+++==-+- ---------------------12分
且sin cos )04
π
θθθ-=
->， sin cos θθ∴-=，
sin 1cos 1sin cos
281cos sin 1sin cos θθθθθθθθ+++∴
+=?==+-+-.--------------------16分
19．（本题满分17分）设实数19a >，函数()f x =（Ⅰ）当1a =时，判断()f x 的单调性；
（Ⅱ）求实数a 的范围，使得对于区间????上的任意三个实数r s t 、、，都存在以()()()f r f s f t 、、为边长的三角形.
解：易知()f x 的定义域为(1,1)-，且()f x 为偶函数.
（Ⅰ）当1a =时，()f x =，令t ==，
则关于x 的函数t 在(1,0)-上单调递增，在(0,1)上单调递减，---------------------3分 又定义域为(1,1)-，(0,1]t ∴∈，而1
y t t
=+在(0,1]上单调递减，
由复合函数的单调性可知，()f x 在(1,0)-上单调递减，在(0,1)上单调递增；
---------------------7分
（Ⅱ）令t =21,[,1]3x t ?∈-∴∈???
，1(1)3a y t t t ∴=+≤≤ 从而原问题等价于求实数a 的范围，使得在区间1
[,1]3
上，恒有min max 2y y >.----------10分
（1）当
1193a <≤时，a y t t =+在1
[3
上单调递减，在上单调递增，
min max 1
max{3,1}13
y y a a a ∴==++=+，
由min max 2y y >得77a -<<+11
93
a <≤；.----------12分
（2）当113a <<时，a y t t =+在1
[3
上单调递减，在上单调递增，
min max 11
max{3,1}333
y y a a a ∴==++=+，
由min max 2y y >得
7799a -+<<，从而113
a <<；.----------14分
（3）当1a ≥时，a y t t =+
在1
[,1]3上单调递减， min max 11,3,3y a y a ∴=+=+由min max 2y y >得53a <，从而5
13
a ≤<；.----------16分
综上，15
93
a <<..----------17分
20．（本题满分18分）函数()f x 的定义域为R ，且满足：
①对于任意的,x y R ∈，(1)()()(1)(1)f x y f x f y f x f y -+=+--； ②()f x 在区间[0,1]上单调递增. 求（Ⅰ）)0(f ；
（Ⅱ）不等式2(1)10f x +-≥的解集.
解：（Ⅰ）令0,1x y ==，则(0)2(0)(1)f f f =，所以(0)0f =或1
(1)2
f =
，----------2分 令0,0x y ==，则22(1)[(0)][(1)]f f f =+， 令12x y ==，则
2
1(1)2[()]2
f f =，-------------------------------------------------------4分 若1
(1)2
f =
，则1(0)2f =±，11()22f =±，
因为()f x 在[0,1]上单调递增，所以1
(0)()(1)2
f f f <<，矛盾！
因此(0)0f =，-----------------------------------------------------------------------------------6分 （Ⅱ）2(1)[(1)]f f =，(1)1f =.
令0y =，则(1)()(0)(1)(1)(1)f x f x f f x f f x +=+-=-，
所以()f x 的图像关于直线1x =对称. ---------------------------------------------8分 再证()f x 的图像关于原点对称.
令12x =
，32y =，所以1311(0)()()()()2222
f f f f f =+-，
因为1()(0)02f f >=，所以131
()()()222
f f f -=-=-，
令2y =，有(1)()(2)(1)(1)f x f x f f x f -=+--，
对上式令1
2
x =
，则11()()(1)22f f f -=-，所以(1)1f -=-. ----------------------10分
又因为(2)(0)0f f ==，所以对任意的x R ∈，恒有(1)(1)f x f x -=--， 所以()f x 的图像关于原点对称. ----------------------12分
所以对于任意x R ∈，()(2)(2)(4)(4)f x f x f x f x f x =-=--=--=-， 从而()f x 的最小正周期为4.----------------------14分
这样可以大致描述()f x 的图像（如右）
令1
2,33x y ==
，212()2()()333
f f f =， 因为2
()(0)03
f f >=，所以11()32f =，所以51()32f =.----------------------16分
由2(1)10f x +-≥，可得1
(1)2
f x +≥
. 根据图像，可知1541433
k x k +≤+≤+，k Z ∈， 所以不等式的解集是22
{|44,}33
x k x k k Z -≤≤+∈.----------------------18分