毕设之人口增长模型讲解

毕业设计——

人口增长模型及其应用

孙建锋第一章绪论

1.研究背景

2.国内外研究现状

3.人口概念介绍

第二章人口增长模型的概述

1.马尔萨斯模型（人口指数增长模型）

2.Logistic模型（人口阻滞增长模型）

3.年龄移算法模型

4.Leslie人口增长模型

5.灰色GM（1，1）预测模型

6.人口发展方程

7.各模型的优缺点对比

第三章基本人口预测

1.出生人数的预测

2.死亡人数的预测

3.分年龄分性别人口数预测

4.人口总数预测

第四章人口实例预测

1.数据准备

2.模型应用与求解

3.结果分析

4.结论及相关建议

第一章绪论

1.1研究背景

人口问题是联系社会经济发展最基本、最复杂问题，受到世界各国诸多领域的关注.就人口规模的发展而言存在极大地差异，如，某些发展中国家人口生育率过高；而某些发达国家的生育率过低，甚至为负増长，这些现象会引发一系列社会经济问题，如，失业、老龄化，进而影响社会稳定.人口问题事关国计民生，是影响经济社会发展全局的重大问题。以人为本的科学发展观必然要求我们在一切发展序列中首先关注人口发展，中国人口发展在中国经济社会发展框架中具有绝对优先的工具价值和目的意义。

人口发展对一个国家经济、社会协调和可持续发展具有重要影响。发现人口问题、制定相应政策、采取合适措施对人口发展进行调节，是政府保证经济社会协调和可持续发展的重要内容。

众所周知，人口众多是我国基本的国情，人口问题一直以来就是中国经济发展的绊脚石，中国是人口第一大国，固然有地大物博，资源丰富的美誉，但按人口数量平均下来，也就成了人均占有量不足的基本国情。中国在世纪之交的2000年进行了全国第五次人口普查，国家许多重大社会、政治，经济问题的研究都要依据人口的数量。为此，进行人口预测是有效地控制人口发展与资源关系不可缺少的手段之一，同时也是人口决策的重要依据.对人口进行预测，做到人口有计划地发展不仅能有效地处理好人类与资源的关系，而且对于经济发展的预测，各个生态专项规划及制定建设决策都有重要的借鉴意义，也是我国经济稳定、高效、

协调发展的保证。准确地预测未来人口发展趋势，制定合理的人口规划和人口布局方案具有重大的理论意义和实用意义。

1.2国内外研究现状

国内：

建国以来，不同时期人们所关心问题的重点自然也不同.对人口研究而言，不同时期也表现出了不同的特征.建国初期，人口政策鼓励多生多育.在这样的环境下，人口呈现出高增长，低死亡现象，与此同时，有人口研究人员开始担心人口如此长时问发展下去的后果，原北京大学校长，经济学家马寅初先生提出了“新人口论”。1957年7月15日，《人民日报》发表了马寅初的《新人口论》。早在1957年2月最高国务会议第11次扩大会议上，马寅初对人口问题就提出了一些看法。他认为：人多固然是一个极大的资源，但也是一个极大的负担，如果不加控制任其盲目增长，势必严重影响国名经济的发展和人民生活的提高。但是这种预想在当时并未受到重视.70年代中期，人口的过快增长导致人口数量的急剧上升，阻碍了社会经济的发展，政府和国际社会开始关注人口问题，投入大量的人力和物力，积极推动了人口问题的研究.70年代末，我国学者、著名的控制论专家宋健等提出了一套新的人口预测模型——人口发展方程。这套预测模型，具有对预测变量的设置更加合理、预测参数因素的考虑更加周密以及易于推广应用的优点。所以，这套模型是当今国内最为流行和被广泛应用的一套人口预测模型，其在国外也产生了很大的影响。之后，灰色系统理论创始人邓聚龙将其灰色系统理论应用于人口预测提出了灰色GM（1,1）预测模型。后期，根据当下的人口状况制定相关的人口政策，实施人口控制，实行计划生育，提倡少生优生，重视人口质量.在科学研究领域，人口问题也得到了高度重视，各个学科开始涉

足人口问题，产生了很多的研究报告和学术论文，在这个时期，人口研究刊物的在量上有了一个新的飞跃，人口研究达到了一个新的高峰.

90年代初期，人口增长速度逐渐恢复到正常水平，政府和国际骤减了在人口研究上的资金，导致人口研究因资金的缺乏而再次陷入低谷，但仍有部分的研究人员坚守在这个领域，为人口研究带来了新的希望.随着经济的发展，人口方面所呈现出的问题也随之不断的变化.在我国，人口老龄化和人口流动问题日趋严重，对我国的经济发展产生了重大的影响.目前，在一些地方已经开始实施“鼓励生二胎”的政策，此外，流动人口问题也引起了很多研究人员的深入探讨，渐

渐地从定性分析深入到了定量求解.现阶段，人口研究面临着多种问题和挑战：人口学理论建设依然落后，人力和资金的投入不足；人口学研究方法不能满足到下的发展需求；人口学在应用性发展方向上迷失，使得相关的人口学应用研究模糊了人口学；人口学学科机构与队伍多变不稳，且人口学学科教材建设依然缓慢.

国外：

早在1798年，英国经济学家马尔萨斯在研究百余年的人口统计时发现：单位时间内人口的增长量与当时人口总数是成正比的。由此提出了著名的人口指数增长模型。1838年，荷兰生物学家Verhaust针对于马尔萨斯模型中存在的缺陷提出了人口的Logistic增长模型，即人口阻滞增长模型。第二次世界大战之后，人口问题在全球范围内表现出了共同的特征：人口死亡率大大降低，人口翻番的时间急剧缩短，人口年增长量达到了一个空前值.全球性的人口急剧增长现象日益凸显，人们不得不开始对人口问题进行历史性的探索.在之后的一段时间各国在人口研究方面兴起了很大的浪潮，大量的论文、著作也相继发表出版.美

国著名人口统计学家、数理人口学家和社会学家内森凯菲茨首次提出并应用于人口预测的Keyfitz 矩阵方程预测方法。由此，内森凯菲茨在国际上被誉为是把矩阵方程应用于人口预测的第一位学者。1945年，另一位学者莱斯利在凯菲茨矩阵预测模型的基础上作出了一些改进而提出了Leslie 人口增长模型。1964年，英国出现了研究人口史与社会结构的剑桥学派，他们的研究范围不仅仅包括恢复人口数字的实况、出生、婚姻和死亡的趋向，而且还将家庭、乡村、城镇地区阶级中的人口分布情况也讨论在内，给人口研究带来了新的研究理念，成为了区域人口研究的先例.十九世纪80年代，外国人口史朝着广度和深度两个方面迅速发展.主要体现在研究范围扩大，提出并采用了新的方法，发展方向有了新的变化，农村人口的大规模迁移，城市人口、各地区之间的移民、工人阶级的就业、中产阶级的发展、上层人士的更新等社会新问题，都成为了人口研究的新课题.

1.3人口概念介绍

第二章 人口增长模型的概述

2.1 马尔萨斯模型

模型的基本假设如下：人口的增长率是一常数，在单位时间内人口的增长与当时的人口成正比。

设在t 时刻，人口数量为x （t ），人口的增长率为r （r>0),在t=0时刻，人口数

为0x 。由此得到微分方程 ()?????==0

0x x rx

dt dx

其解为 ()rt e x t x 0=

马尔萨斯根据200年以前的数据得到的这个结论，在当时很长一段时间几乎是正确的，其主要原因是初始数据0x 较小，在当前的情况下，这个模型已经不再适应人口的增长规律。

可以利用该模型来估计单种群增长的情况，特别是在种群增长的初期，这个模型有一定的适用性。

2.2 Logistic 模型（阻滞增长模型）

考虑环境的制约作用，模型假设如下：人口的增长率随着人口的数量的增加而下降。

不妨设人口的增长率表示成与人口数量x 有关的线性函数，记作：

()sx r x r -= 当x=0 时，r （0）=r 称为固有增长率。令N 为最大的人口数量。所以当x=N 时，r （N ）=0。由此得到 N r s =，即 ()??

? ??

-=N x r x r 1 将r （x ）代入方程

()?????==00x x rx dt dx

得到Logistic 模型：()?????=??

? ??-=001x x x

N x r dt dx 其中N x 可解释为已消耗的资源比例，剩余资源N

x

-1体现了环境阻力的大小，所以该模型也称为阻滞增长模型。方程的解为： ()rt e x N N t x -???

? ??-+=

110

2.3 年龄移算法模型

年龄移算法，是指以各个年龄组的实际人口数为基数，按照一定的存活率进行逐年递推来预测人口的方法。 年龄移算法模型的基本表达式为：

()()x x x S t p t p ?=++11 当x=0,1,2，......，w-1时，上面模型可具体描述为：

()()()()()()()()?????

?????=+?=+?=+?=+---2

212

231120011............111w w w S t p t p S t p t p S t p t p S t p t p 式中：()11++t p x 为预测年度t+1年x+1岁的人口数；()t p x 为预测基年x 岁的实际人口数；()11+-t p w 为预测年度最高年龄组之预测人口数；x S 为x 岁的存活率，

x x m S -=1，x m 为x 岁的死亡率。上式所描述的年龄移算法模型，又称年龄移算模型块。模型块中每一行的预测关系都很明确，即：预测年度一岁组人数，是由预测基年的0岁组人口数乘上0岁组人口存活率而来；预测年度2岁组人口数是由预测基年1岁组人口数乘上1岁组人口存活率而来；以此类推，就可以把预测年度的人口数从最低年龄到最高年龄组逐一推算出来。

但是，年龄移算法有一个特点，其移算结果中，预测年度总是要少一个初始年龄组的人口数。具体表现为：当按一岁一组预测时，即差0岁组的人口数。由此特点，其移算结果中，预测年度的预测人口数尚不能得到完整的计算。鉴于此，在使用年龄移算法时，其预测初始年度人口数，需要另作专门的计算处理。 关于预测年度初始年龄组人口数的计算：（下面我们按单年龄分组，并以女性人口为例进行计算）

预测年度0岁组人口数的计算公式为：

()∑???=+21

00

1ααδx x F F F f W S t P

式中：F S 00为女婴出生当年存活率，F

S 00=年末0岁组女婴人口数/当年女婴出生

人数；F δ为女婴出生比，一般F δ=0.485；x W 为x 岁之育龄妇女人数；x f 为x 岁年龄组的生育率；21,αα为女性生育年龄的上下限，一般取1α=15，2α=49 。 由此即可得到预测年度0岁组人口数。

2.4 Leslie 人口增长模型

在短时期内男女性别比通常是不会发生变化的，因此讨论总人口的发展变化趋势与只讨论女性人口数量的变化情况意义是相同的。

在该模型中，我们将人口年龄离散化，大小等间隔地分成h 个年龄组，相应地，将时间离散化为时段，每十年为一个时段。

记时段k 第i 个年龄组的女性人口总数为()x k i ，0,1,2

k

=

则有： (1)()11

h

x k b x k i i i +=∑=，其中该年龄组的女性生育率（该年龄组的女

性在1个时段内的平均生育数量）为b i ，该年龄组的死亡率为d i ，则相应的存

活率为1s d i i =-，在稳定的环境下存活率1s d i i =-与生育率b i

基本上是不随时

间的变化而改变的，，因此我们将存活率1s d i i =-与生育率b i 看作是常数。则人口的变化情况满足以下条件：

第k+1时段，第一个年龄组的女性人口数量是时段k 各个年龄段生育的人口数之和，即

(1)()11

h

x k b x k i i i +=∑= （1）

时段k+1第i+1个年龄段的女性人口数量是k 时段第i 个年龄组存活下来的女性人口数量，即

(1)(),1,2,1

x k s x k i

h i i i +==+ （2）

记时段k 女性人口数量按年龄组的分布向量为

()((),(),,()129T X k x k x k x k = （3）

综合上述（1）（2）（3）得：(1)()X k LX k +=

其中由出生率和存活率构成的Leslie 矩阵为

12890001000200008b b b b s L s

s ??

? ?

?= ? ? ? ??

?

当矩阵L 和按照年龄组的初始分布向量(0)X 已知时，可以预测任意时段k 的女性人口按年龄组的分布情况：

()(0),0,1,2,

k X k L X k ==

2.5 灰色GM （1,1）预测模型

GM （1，1）模型是GM （1，N ）模型的特例，是一个单变量的模型，对数据样本无过份的要求，也不需要的典型的分布规律，可用于预测模型的计算。 灰色模型的预测过程如下：考虑有原始数据列：

()()()()()()

(){}

n x ........2x 1x x 0000 = 在建立模型前对数据进行预处理，通常采用对序列()0x 作一次累加生成处理得到新数据列：

()

()

()()

()()

(){}n x ........2x 1x

x

1111 = 其中()

()()()∑==i

1

m 0

1m x i x

定义()1x 的灰导数为：()()()()()()()1110--==i x i x i x i d

GM （1,1）模型是一个包含单变量的一阶微分方程构成的动态模型： ()()()()b i az i x =+10 （i=1,2,3......n) 其中()()i z 1是()()i x 1的紧邻均值生成序列，即

()()()()()()15.05.0111-+=i x i x i z ，（i=2,3......n) 建立以下的白化形式的微分方程

()u ax dt

dx 1=+

白化形式的微分方程的解为

()()()()()

a

u e a u -1x t x -at 01+=

式中a 称为发展系数，a 的有效区间为（-2,2）；b 称为内生控制灰数；得参数列

为α= ??

?

???u a 。利用最小二乘法，方程的参数a,u 由下式求得：

α=()

N T T Y B B B 1

-u a =??

????

式中B 为累加生成矩阵，N Y 为向量，二者的构造为 ：

()()()

()()()()()()()

()()()()()

???????

?

?

?

?

???????????????+++=......n x 1-n x 21-. .. ..

.1.................3x 2x 21-1.................2x 1x 21-111111B ()()()()()()[]

n x x x Y n 000,......3,2=

将时间响应函数离散化，求得方程的解

()()()()()

a u

e a u -1x 1i x -ak 01+=+

()()()()()()i x i x i x 11011-+=+

2.6 人口发展方程模型

连续型人口发展方程模型： 考虑年龄在

[)

r r r ?+,内的人从时刻t 到时刻

t

t ?+，有的活着，有的死亡，活着

的人的年龄成为[)

t r r t r ?+?+?+,，死亡的人数为

()()t

r t r p t r ??,,μ。于是有：

()()()()t

r t r p t r r t t t r p r t r p ??=??+?+-?,,,,μ

其中：

()()m r r r F

t r p ≤≤??=

0,，称为年龄密度函数；()t r F ,称为连续可微的人口

分布函数；()

t r ,μ表示t 年中年龄为r 的人的死亡率；

m

r 为人类所能活到的最高

年龄。

上式两边约去

r

?即为：

()()()()()()t r p t r t t r p t t r p t t t r p t t t r p ,,,,,,μ-=?-?++??+-?+?+

故当时间增长t ?，年龄也增长t

?时，即r t ?=?，令0→?=?r t 得 ()()()()

t r p t r t t r p r t r p ,,,,μ-=??+??

为从上述方程求得人口密度函数p(r,t),还必须有初始条件和边界条件，即：

()()()()??

?--=--=婴儿的出生率初始密度函数

t f t p r p r p ,00,0 因此连续的人口发展方程为

()()

()()()()()()()????????

?=≥=≤≤=-=??+??0

,0,,00,0,,,,,0t r p t t f t p r

r r p r p t r p t r t t r p r t r p m m μ

这个方程的求解很复杂，但在理想情况下可以认为死亡率与时间无关，即可视为

()()

r t r μμ=,，此时求解该方程可得：

()()()()()??

?????>?-≤≤?-=---r t e r t f r t e t r p t r p r

r

t

r ds s ds

s ,0,,0

μμ 从而可知任意时刻各年龄的人口数为：

()()ds

t s p t r F r

?=0

,,

上面讨论的人口发展方程是连续性的，即年龄r 和时间t 都是连续变化的，这种模型在理论分析中往往比较方便，但不适合作数值计算。在定量分析中，为了利用计算机求解人口方程，必须把r 和t 离散化。

离散人口发展模型：

第t 年i 周岁的人活到第t+1年成为i+1周岁的人数为：

()()()

t x t s t x i i i =++11 ，i=0,1,2,...,m-1;k=0,1,2...

其中；()

t i x 表示第t 年满i 周岁不到i+1周岁的人数；()

t s i 表示第t 年i 周岁人口

的存活率。

第t 年出生的人数为：

()()()()

∑==2

1

00i i i i i i t x t t b t x λ （1）

其中；()

t i λ表示第t 年i 岁人口的女性比；

()

t b i 表示第t 年i 岁女性的平均生育

率；()

t x 00表示第t 年出生的人数。第k 年婴儿成活的人数为：

()()()

t x t s t x 00000?=，其中：

()

t s 00表示第t 年婴儿的成活率。第t+1年为1岁的人数为：

()()()()

t x t s t s t x 0000011=+ 令生育率

()()()

t h t t b i i ?=β，其中

()

t h i 为i

岁妇女的生育模式函数，且()12

1

=∑=i i i i t h ，其数学表达式为：

()()?????≤>-?Γ=---1

11212

20

11ααααααλλ

ααe h n n n x

则有

()()

∑==2

1

i i i i t b t β，即表示第t 年所有育龄妇女平均生育数，即总和生育率。

于是式（1）为：()()()()()()()()()

∑∑====+2

1

2

1

'00011i i i i i i i i i i i t x t b t t x t t b t s t s t x βλ

其中：

()()()()()

t t h t s t s t b i i i λ000'=

根据上面的讨论，引入向量()()()()[]

T

m t x t x t x t X ,......,,21=，则综合上两式可得到人

口发展方程的离散形式： ()()()()()()

t X t B t t X t A t X ??+?=+β1

其中：

()()()()0

...0

.......

0...

000...000...00121t s t s t s t A m -=

()()()0

00000000000000''21

t b t b t B i i =

2.7 各模型的优缺点：

马尔萨斯模型：该模型简单易懂，便于计算。但由于自然环境和资源的制约，该模型在当前环境缺乏适用性。且模型预测的只是总体数量，缺乏全面性。

年龄移算法：是人口预测中一种最基本的预测方法，在理论和技术上又是一种最基础的预测方法，许多重要的人口预测模型都是根据年龄移算法的原理建立的。具有原理严谨、方法简便易行的优点，在人口预测实践中被得到广泛借鉴和应用。

人口发展方程：对预测变量的设置更加合理、预测参数因素的考虑更加周密以及易于推广应用。其预测内容更加全面充实，对各个年龄段男女性人口数都作出了预测。是当今国内最为流行和被广泛应用的一套人口预测模型。

Logitic阻滞增长模型：能够很好地从宏观角度来预测人口的增长趋势，简单明了，避免了大量烦杂的计算。而且由模型所得到的数据完全能够满足一般统计资料的要求。但是正是由于它的简单性，没有充分考虑各个方面的影响，预测结果比较单一，不能进行全方位的预测，因此模型缺乏一定的说服性；

Leslie增长模型：

第三章基本人口预测

人口预测的内容应当遵循如下一些规则：具有描述未来人口的基本特征和人口变动特征；具有计算分析指标所要求具备的计算的因子条件；具有分析研究的

可开发性。根据上述基本要求，人口预测的内容应包括出生人数预测、死亡人数预测、分年龄分性别人数预测和总人口数预测。因为有了这几项基本预测，就可以在此基础上，计算出许多人口统计的分析指标。诸如：未来人口出生率、死亡率、生育率、老龄人口系数、人口负担系数和人口性别比等。由此，即可满足对未来人口的总体特征和对相关领域进行深层次开发性研究的需要。

3.1 出生人数预测

意义：出生人数是影响人口增长变动的基本因素。一定时期内人口总量规模的大小与这个时期人口的出生量规模有着直接的关系。因为人口与控制最终是通过对人口的出生水平的控制来实现的，所以一定时期内人口的出生趋势也就成为研究整个人口发展趋势及其相应对策的基本出发点和依据。

一定时期内人口的出生状况，取决于两个基本要素：第一，育龄妇女人数；第二，平均每个育龄妇女所能生育的小孩数。后者是预测模型中的重要参数，是一个可调的变量。因此，出生人数的预测就是对未来时期育龄妇女人数的预测。 育龄妇女人数预测：

育龄妇女是女性中一个特定年龄段的人口群体。一般指15~49岁年龄段的女性人口，故只要预测15~49岁年龄段的女性人数即可。下面我们应用年龄移算法对其进行预测。 预测模型基本表达式：

()()()()F x

x F x x x x S t W m t W t W t W ?=?-=++11 当x=14,15，......，48时可描述为：

()()()()()()()()??

??

??????=+?=+?=+?=+F

F F F

S t W t W S t W t W S t W t W S t W t W 4848491616171515161414151............111 其中：()11++t W x 表示预测年度x+1岁时的育龄妇女人数； ()t W x 表示预测基年x 岁育龄妇女之实际人数；

F

x m 表示x 岁女性人口死亡率；

F x S 表示x 岁女性人口存活率。 出生人数预测：

有了预测期内各个年度的育龄妇女按龄人数分布，只需考虑并确定出育龄妇女的生育水平，即可对预测年度的出生人数进行预测。一定时期内的出生人数同育龄妇女人数及其生育水平有如下关系： ∑=?=49

15x x x f W B

式中：B 为出生人数；x W 为x 岁的育龄妇女人数；x f 为x 岁育龄妇女之生育率。 其中，年龄别生育率x f 是出生人数预测中的一个重要的参数，其性质上是一个可以调整的或者可以控制的参变量。因此，当在育龄妇女人数一定规模的条件下，年龄别生育率x f 的不同确定，将直接关系到预测年度人口出生水平的高与低。所以，对年龄别生育率x f 的不同选择，亦就形成有相应的出生人数预测方法。一般有实际生育率法和修正生育率法两类。 （1）实际生育率

是指将当前的实际生育率x f 直接纳入预测模型进行预测的方法。该预测的目的在于回答某一人口如果按照某一实际生育率水平进行生育，这个人口在未来年度

的出生人数将可能达到某一实际规模，以为权衡社会经济的发展提供可资参考的信息。

（2）修正生育率

是指依据人口控制目标要求而对实际生育率水平加以修正来进行预测的方法。其前提是在当前生育率水平不能适应未来社会经济发展水平要求而提出的。这就要求必须根据人口控制目标的不同方案，对实际生育率加以修正与调整，然后纳入人口预测模型进行测算。

其处理方法为：

某年龄目标生育率=（实际年龄别生育率*目标总和生育率）/实际总和生育率式中，目标总和生育率为控制目标条件要求下的生育率水平。根据目标生育率的预测结果，即体现着某一目标生育率水平条件下的预测结果。

3.2 死亡人数预测

基本思想:人口死亡现象会直接引起人口总体的数量发生变动。而人口总体又是由按年龄、分性别构成的一个复杂整体，因此，由人口死亡现象所引起的人口数量变动在各个不同年龄间和性别间也就有着差异。然而，由于死亡因素而使各个年龄组人口数变动的特征是一致的，即当在封闭条件下，除0岁组外每一个年龄组人口数只有绝对减少的变动。根据这一特点，对于同一年龄组的人口数，在不同的时间条件下，如今年x岁年龄组的人口数到下一年进入x+1岁年龄组的时间条件下所引起的人口数的变动之差，即可由此得到相应的死亡人数的预测和计量。从而，得到下面一个重要结论：x岁年龄组的死亡人数等于这个年龄组同其

相邻的x+1岁年龄组的人口数之差。这就是死亡人数预测的基本理论依据。 基本模型：根据上述理论即可得到死亡人数预测模型的如下描述：

()()()()()()

()()()()()()()()()??????????

?+-=++-=++-=++-=++-=++---11 (121111111111322211100)

000t p t p t D t p t p t D t p t p t D t p t p t D t p t B t D w w w 又根据年龄移算法已知：

()()()()x

x x S t p t p S t B t p ?=+?=++111000

于是上式可以整理为如下预测模型：

()()()()()()

()()()()()()()()()

??????????

?-?=+-?=+-?=+-?=+-?=+---111222111000

000011............11111111w w w S t p t D S t p t D S t p t D S t p t D S t B t D 式中：()100+t D 为出生当年过程中死亡人数；()1+t D x 为预测年度x 岁的死亡人数；()t B 为预测年度之出生人数；00S 为出生当年的存活率；x S 为x 岁人口之存活率；()t p x 为t 年x 岁的人口数。

3.3 按龄人口数预测

意义：是指为获取未来时期一个完整的年龄分布的人口预测。又由于人口预测通常是分性别进行的，所以，按年龄人口数预测又是分年龄分性别的人口数预测。

人口的年龄构成和性别构成状况，不仅在人口学研究中具有重要意义，而且同社会经济实践有着极为密切的关系。因此，有了完整的分年龄分性别人口预测数据资料，就为关于人口与社会经济问题的多方面研究提供了条件。所以，分年龄分性别人口数预测也就成为人口预测中最重要最基本的人口预测。下面我们用人口发展方程来进行预测。 预测步骤：

（1）计算生育模式函数x H 由人口发展方程模型知：

()()?????≤>-?Γ=---1

11212

20

11ααααααλλ

ααe H n n n x

现给出为满足其计算量需要的有关变量： 生育峰值年龄25max =X 岁

模式参变量

1

=λ

育龄妇女生育年龄下限15

1=α，育龄妇女生育年龄

49

,......,18,17,16=α 于是根据

2

1max -+=n X α，其对应变量

12

2152521max =+-=+-=αX n

120

!122

=???

??-=Γn n

()???

??≤>-?=-11

15-5015120

1αααααα）

（e H x

（2）计算预测期头一年度的出生人数()t B

人口增长模型的确定

题目：人口增长模型的确定 摘要 人口问题已成为当前世界上最普遍关注的问题之一，人口增长规律的发现以及人口增长的预测问题对一个国家制定长远的发展规划有着非常重要的意义。本文分别使用了马尔萨斯人口指数增长模型和阻滞增长模型，以美国1790-1980年间每隔10年的人口数量为依据，对接下来的每隔十年进行了预测五次人口数量。通过对比我们可以发现阻滞增长模型在预测准确度方面要明显优于原始的马尔萨斯人口指数增长模型。 关键词：人口增长；马尔萨斯人口指数增长模型；阻滞增长模型；人口预测

一、问题重述 1.1 问题背景 1790-1980年间美国每隔10年的人口记录如下表所示。 表1 人口记录表 1.2 问题提出 我们需要解决以下问题： 1.试用以上数据建立马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，并对接下来的每隔十年预测五次人口数量，并查阅实际数据进行比对分析。 2.如果数据不相符，再对以上模型进行改进，寻找更为合适的模型进行预测，并对两次预测结果进行对比分析。 3.查阅资料找出中国人口与表1同时期的人口数量，用以上建立的两个模型进行人口预测与分析。 二、问题分析 首先，我们运用Matlab 软件绘制出1790到1980年的美国人口数据图，如图1。 17801800182018401860188019001920194019601980 050 100 150 200 250

图1 1790到1980年的美国人口数据图 从图表中我们可以清晰地看到人口数在1790—1980年是呈增长趋势的，而且我们很容易发现上述图表和我们学过指数函数的图表有很大的相似性，所以我们很自然想到建立指数模型。因此我们首先建立马尔萨斯模型，马尔萨斯生物总数增长定律指出：在孤立的生物群体中，生物总数N的变化率与生物总数成正比。 三、问题假设 为简化问题，我们做出如下假设： （1）在模型中预期的时间内，人口不会因发生大的自然灾害，突发事件或战争而受到大的影响； （2）所给出的数据具有代表性，能够反映普遍情况； （3）一段时间内我国人口死亡率不发生大的波动； （4）在查阅的资料与文献中，所得数据可信； （5）假设人口净增长率为常数。 四、变量说明 在此，对本文所使用的符号进行定义。 表2 变量说明 符号符号说明 N(0)起始年人口容纳量 N(t)t年后人口容纳量 t年份 r增长率 五、模型建立 5.1 问题一：马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型 设：t表示年份（起始年份t=0），r表示人口增长率，N(t)表示t年后的人口数量。 当考察一个国家或一个很大地区的人口时，N(t)是很大的整数。为了利用微积分这一数学工具，将N(t)视为连续、可微函数。记初始时刻(t=0)的人口为N(0)，人口增长率为r，r是单位时间内N(t)的增量与N(t)的比例系数。根据r是常数的基本假设，于是N(t)满足如下的微分方程： dN(t)/dt=r*N(t) (5-1) 由这个线性常系数微分方程容易解出: N(t)=N(0)e rt(5-2) 表明人口将按指数规律无限增长(r>0)。将以t年为单位，上式表明，人口以e r为公

数学建模人口模型

摘要 以2010年11月1日零时为标准时点，中国大陆31个省、自治区、直辖市和现役军人的人口共13.397亿。13亿是一个忧虑的数字。13亿人要吃饭、要穿衣、要上学、要就业、要住房……，消费的需求乘以13亿，就是一个庞大的数目，而我国的耕地、水资源、森林以及矿产资源本来就稀缺，再除以13亿，就少得可怜。平均每人耕地面积只有1.4亩，水资源只相当于世界人均水平的1/4…….、 中国是世界上人口最多的发展中国家，人口多，底子薄，人均耕地少，人均占有资源相对不足，是我国的基本国情，人口问题一直是制约中国经济发展的首要因素。当前中国的人口存在着最为明显的三大特点：（1）人口基数大，人口数量的控制难度仍很大。（2）人口整体素质不高，特别是县域及以下农村人口素质普遍偏低。（3）人口结构不合理，城乡差别、地区差别和人口素质差别很大。 人口数量、质量和年龄分布直接影响一个地区的经济发展、资源配置、社会保障、社会稳定和城市活力。在我国现代化进程中，必须实现人口与经济、社会、资源、环境协调发展和可持续发展，进一步控制人口数量，提高人口质量，改善人口结构。对此，单纯的人口数量控制（如已实施多年的计划生育）不能体现人口规划的科学性。政府部门需要更详细、更系统的人口分析技术，为人口发展策略的制定提供指导和依据。 我国是世界第一人口大国，地球上每九个人中就有二个中国人，在20世纪的一段时间内我国人口的增长速度过快，如下表： 有效地控制人口的增长，不仅是使我国全面进入小康社会、到21世纪中叶建成富强民主文明的社会主义国家的需要，而且对于全人类社会的美好理想来说，也是我们义不容辞的责任。 长期以来，对人口年龄结构的研究仅限于粗线条的定性分析，只能预测年龄结构分布的大致范围，无法用于分析年龄结构的具体形态。随着对人口规划精准度要求的提高，通过数学方法来定量计算各种人口指数的方法日益受到重视，这就是人口控制和预测。 我国人口问题已积重难返，对我国人口进行准确的预测是制定合理的社会经济发展规划

数学建模logistic人口增长模型

数学建模l o g i s t i c人口 增长模型 集团档案编码：[YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08]

Logistic 人口发展模型 一、题目描述 建立Logistic 人口阻滞增长模型 ，利用表1中的数据分别根据从1954年、1963年、1980年到2005年三组总人口数据建立模型，进行预测我国未来50年的人口情况.并把预测结果与《国家人口发展战略研究报告》中提供的预测值进行分析比较。分析那个时间段数据预测的效果好并结合中国实情分析原因。 二、建立模型 阻滞增长模型（Logistic 模型）阻滞增长模型的原理：阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。阻滞作用体现在对人口增长率r 的影响上，使得r 随着人口数量x 的增加而下降。若将r 表示为x 的函数)(x r 。则它应是减函数。于是有： 0)0(,)(x x x x r dt dx == （1） 对)(x r 的一个最简单的假定是，设)(x r 为x 的线性函数，即 ) 0,0()(>>-=s r sx r x r （2）

设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量m x ，当m x x =时人口不再 增长，即增长率0)(=m x r ，代入（2）式得 m x r s = ，于是（2）式为 )1()(m x x r x r -= （3） 将（3）代入方程（1）得： ?? ? ??=-=0 )0()1(x x x x rx dt dx m （4） 解得： rt m m e x x x t x --+= )1( 1)(0 （5） 三、模型求解 用Matlab 求解，程序如下： t=1954:1:2005; x=[60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756]; x1=[60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988]; x2=[61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756]; dx=(x2-x1)./x2; a=polyfit(x2,dx,1); r=a(2),xm=-r/a(1)%求出xm 和r x0=61.5; f=inline('xm./(1+(xm/x0-1)*exp(-r*(t-1954)))','t','xm','r','x0');%定义函数 plot(t,f(t,xm,r,x0),'-r',t,x,'+b'); title('1954-2005年实际人口与理论值的比较')

(完整word版)数学实验报告 曲线拟合人口增长模型及其数量预测

开课学院、实验室：数统学院DS1407 实验时间 ： 2012 年 5 月 3 日 课程 名称 数学实验 实验项目 名 称 人口增长模型及其数量预 测 实验项目类型 验证 演示 综合 设计 其他 指导 教师 龚劬 成 绩 √ 实验目的 [1] 学习由实际问题去建立数学模型的全过程； [2] 训练综合应用数学模型、微分方程、函数拟合和预测的知识分析和解决实际问题； [3] 应用matlab 软件求解微分方程、作图、函数拟合等功能，设计matlab 程序来求解其中的数学模 型； [4] 提高论文写作、文字处理、排版等方面的能力； 通过完成该实验，学习和实践由简单到复杂，逐步求精的建模思想，学习如何建立反映人口增长规律的数学模型，学习在求解最小二乘拟合问题不收敛时，如何调整初值，变换函数和数据使优化迭代过程收敛。 应用实验（或综合实验） 一、实验内容 从1790—1980年间美国每隔10年的人口记录如表综2.1所示： 表综2.1 年 份 1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 人口(×106 ) 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 年 份 1860 1870 1880 1890 1900 1910 1920 人口(×106) 31.4 38.6 50.2 62.9 76.0 92.0 106.5 年 份 1930 1940 1950 1960 1970 1980 人口(×106) 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 用以上数据检验马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，根据检验结果进一步讨论马尔萨斯人口模型的改进，并利用至少两种模型来预测美国2010年的人口数量。 二、问题分析 1：Malthus 模型的基本假设是：人口的增长率为常数，记为 r 。记时刻t 的人口为x (t ），（即x (t ）为模型的状态变量）且初始时刻的人口为x 0，于是得到如下微分方程： ?????==0 )0(d d x x rx t x 2：阻滞增长模型（或Logistic 模型） 由于资源、环境等因素对人口增长的阻滞作用，人口增长到一 定数量后，增长率会下降，假设人口的增长率为x 的减函数，如设r(x)=r(1-x/x m )，其中r 为固有增长率(x 很小时)，x m 为人口容量（资源、环境能容纳的最大数量），于是得到如下微分方程：

数学建模人口模型人口预测

关于计划生育政策调整对人口数量、结构及其影响的研究 【摘要】 本文着重于讨论两个问题：1、从目前中国人口现状出发，对于中国未来人口数量进行预测。2、针对深圳市讨论单独二胎政策对未来人口数量、结构及其对教育、劳动力供给与就业、养老等方面的影响。 对于问题1从中国的实际情况和人口增长的特点出发，针对中国未来人口的老龄化、出生人口性别比以及乡村人口城镇化等，提出了Logistic、灰色 预测、等方法进行建模预测。 首先，本文建立了Logistic阻滞增长模型，在最简单的假设下，依照中国人口的历史数据，运用线形最小二乘法对其进行拟合，对2014至2040年的人口 数目进行了预测， 得出在2040年时，中国人口有14.32亿。在此模型中，由于并没有考虑人口的年龄、出生人数男女比例等因素，只是粗略的进行了预测，所以只对中短期人口做了预测，理论上很好，实用性不强，有一定的局限性。 然后，为了减少人口的出生和死亡这些随机事件对预测的影响，本文 建立了GM(1,1) 灰色预测模型，对2014至2040年的人口数目进行了预测，同时还用2002 至2013年的人口数据对模型进行了误差检验，结果表明，此模型的精度较高，适合中长期的预测，得出2040年时，中国人口有14.22亿。与阻滞增长模型相同，本模型也没有考虑年龄一类的因素，只是做出了人口总数的预测，没有进一步深入。 对于问题2针对深圳市人口结构中非户籍人口比重大，流动人口多这一特点，我们采用了灰色GM(1,1)模型，通过matlab对深圳市自2001至2010年的数据进行拟合，发现其人口变化近似呈线性增长，线性相关系数高达0.99,我们就 此认定其为线性相关并给出线性方程。同理，针对其非户籍人口，我们进行matlab 拟合发现，其为非线性相关，并得出相关函数。并做出了拟合函数 X(t+1)= 17255.&041 977 - 1 653 1.2 对于新政策的实施，我们做出了两个假设。在假设只有出生率改变的情况， 人口呈现一次函数线性增加。并拟合出一次函数Y =17965.0 e0.0327356 t-17372.5 ；在假设人口增长率增长20%时，做出了预测如果单独二胎政策实施，到2021 年, 深圳市常住人口数将会到达1137.98千万人。 关键词：GM(1,1)灰色模型Logistic阻滞增长模型线性拟合非线性拟 合 【目录】 一、问题重述 ------------------------------------------------------------- （4） 二、符号定义与说明-------------------------------------------------------- （4） 三、模型假设 ------------------------------------------------------------- （4） 四、问题分析及模型建立及求解 A、问题一:1、问题背景 -------------------------- --------------------- （5）

人口增长数学模型

软件学院 人口增长模型数学建模报告 专业：软件工程 班级：卓越131班 学号：201370044120 学生姓名：郭俊成 指导教师：于志云 2015 年11 月12 日 题目：计划生育政策调整对人口数量、结构及其影响的研究

摘要 本论文针对2007年国家人口发展战略研究课题组发布的《国家人口发展战略研究报告》中关于“计划生育实施以来，全国少生了4亿多人，使世界60亿人口日推迟4年”的论述做了研究。论文根据计划生育实施之前1949-1980年的人口普查数据，使用最小二乘法拟合并建立灰色预测模型，利用数学软件，预测出了如果未实行计划生育现今中国人口的数量，从而对研究报告中“少生4亿”的结论产生质疑。 同时，本论文针对2006年全国老龄工作委员会发布的《中国人口老龄化发展趋势预测研究报告》中关于“2051年，中国老年人口规模将达到峰值4.37亿，老龄化水平基本稳定在31%左右”的论述做了研究，根据近几年的人口老龄化程度、老龄人口比重、老龄人口数量、死亡率的变化等诸多因素，建立阻滞增长模型(Logistic模型)，预测40年到70年的老龄人口数量和老龄化率，验证了报告中的关于老龄人口数目持续增加、数目庞大、老龄化严重的预测。 论文基于近期的计划生育调整、“单独二孩”政策的逐步实施、城镇化所导致的人口迁移等现象，结合江苏省的实际情况，利用差分方程模型、LESLIE矩阵，分析新政策对江苏人口数量的影响。论文从出生率着手，重点研究了新政策对江苏省14岁以下儿童、60岁以上老人的影响，分析了儿童和老人数量的变化对人口结构、教育改革、养老的直接影响作用。 关键字 单独二孩、人口老龄化、Logistic 模型、差分方程模型、LESLIE模型 一、问题描述

数学建模logistic人口增长模型

Logistic 人口发展模型 一、题目描述 建立Logistic 人口阻滞增长模型 ，利用表1中的数据分别根据从1954年、1963年、1980年到2005年三组总人口数据建立模型，进行预测我国未来50年的人口情况.并把预测结果与《国家人口发展战略研究报告》中提供的预测值进行分析比较。分析那个时间段数据预测 表1 各年份全国总人口数（单位：千万） 二、建立模型 阻滞增长模型（Logistic 模型）阻滞增长模型的原理：阻滞增长模型是考虑到自然资源、环境条件等因素对人口增长的阻滞作用，对指数增长模型的基本假设进行修改后得到的。阻滞作用体现在对人口增长率r 的影响上，使得r 随着人口数量x 的增加而下降。若将r 表示为x 的函数)(x r 。则它应是减函数。于是有： )0(,)(x x x x r dt dx == （1） 对)(x r 的一个最简单的假定是，设)(x r 为x 的线性函数，即 ) 0,0()(>>-=s r sx r x r （2） 设自然资源和环境条件所能容纳的最大人口数量m x ，当 m x x =时人口不再增长，即增 长率 )(=m x r ，代入（2）式得 m x r s = ，于是（2）式为

)1()(m x x r x r -= （3） 将（3）代入方程（1）得： ?? ???=-=0 )0() 1(x x x x rx dt dx m （4） 解得： rt m m e x x x t x --+= )1( 1)(0 （5） 三、模型求解 用Matlab 求解，程序如下： t=1954:1:2005; x=[60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756]; x1=[60.2,61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988]; x2=[61.5,62.8,64.6,66,67.2,66.2,65.9,67.3,69.1,70.4,72.5,74.5,76.3,78.5,80.7,83,85.2,87.1,89.2,90.9,92.4,93.7,95,96.259,97.5,98.705,100.1,101.654,103.008,104.357,105.851,107.5,109.3,111.026,112.704,114.333,115.823,117.171,118.517,119.85,121.121,122.389,123.626,124.761,125.786,126.743,127.627,128.453,129.227,129.988,130.756]; dx=(x2-x1)./x2; a=polyfit(x2,dx,1); r=a(2),xm=-r/a(1)%求出xm 和r x0=61.5; f=inline('xm./(1+(xm/x0-1)*exp(-r*(t-1954)))','t','xm','r','x0');%定义函数 plot(t,f(t,xm,r,x0),'-r',t,x,'+b'); title('1954-2005年实际人口与理论值的比较')

数学建模中国人口模型

数学建模论文 论文题目：中国人口的预测模型 学院：理学院 专业：数学与应用数学 姓名：陈保锋 学号：200812010117 2010 年5月9日

目录 一摘要 (3) 二问题的提出 (3) 三问题分析 (3) 四模型假设 (4) 五符号说明 (4) 六模型建立 (5) 模型一 (5) 模型建立 (5) 模型求解 (5) 模型二 (7) 模型建立 (7) 模型求解 (8) 七模型检验 (9) 九参考文献 (10) 【1】赵静但琦数学建模与数学实验（第3版）高等教育出版社 2008.1 (10) 【3】张德丰数值分析与应用国防工业出版社 2007.1 (11) 【5】马正飞数学计算方法与软件的工程应用化学工业出版社 2002.12 (11)

一摘要 日益增长的人口数量导致了资源短缺，环境恶化。通过对1978年到2008年的全国人口数量的统计数据，建立两个数学模型：指数模型，阻滞模型。模型通过假设条件，根据假设建立合理的模型，以及MATLAB对数据的处理，并且运用数据拟合求模型的解r，最后通过求的的r预测中国未来十年内的人口变化规律，从而可以合理的有计划的利用资源，使环境和资源实现可持续发展。 关键词：人口模型中国人口数量 二问题的提出 人口问题是当今世界的三大问题之一，人口的剧烈增长导致资源日益短缺，环境日益恶化，认识和了解人口数量的变化规律，做出较准确的估测，从而有效地控制人口增长以及合理有效地开发能源和环境保护，通过1978年到2008年的人口数据变化的规律，对2010年到2020年全国人口数量做出合理的预测。 三问题分析 通过对数据的观察，运用MATLAB的画图功能，可以看出随着时间增长，人口数量也在急剧增长，而且图像与指数模型吻合，所以不妨假设人口模型符合指数模型，建立第一个数学模型。但是通过对指数模型和实际数据的比对，发现指数模型在1978年到2003年间与实际

leslie人口增长模型模型

l e s l i e人口增长模型 模型 Company Document number：WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998

人口增长预测模型 摘要 本文建立了我国人口增长的预测模型，对各年份全国人口总量增长的中短期和长期趋势作出了预测，并对人口老龄化、人口抚养比等一系列评价指标进行了预测。最后提出了有关人口控制与管理的措施。 模型Ⅰ：建立了Logistic人口阻滞增长模型，利用附件2中数据，结合网上查找补充的数据，分别根据从1954年、1963年、1980年到2005年三组总人口数据建立模型，进行预测，把预测结果与附件1《国家人口发展战略研究报告》中提供的预测值进行分析比较。得出运用1980年到2005年的总人口数建立模型预测效果好，拟合的曲线的可决系数为。运用1980年到2005年总人口数据预测得到2010年、2020年、2033年我国的总人口数分别为亿、亿、亿。 模型Ⅱ：考虑到人口年龄结构对人口增长的影响，建立了按年龄分布的女性模型（Leslie模型）：以附件2中提供的2001年的有关数据，构造Leslie矩阵，建立相应 Leslie模型；然后，根据中外专家给出的人口更替率，构造Leslie矩阵，建立相应的 Leslie模型。 首先，分别预测2002年到2050年我国总人口数、劳动年龄人口数、老年人口数（见附录8），然后再用预测求得的数据分别对全国总人口数、劳动年龄人口数的发展情况进行分析，得出：我国总人口在2010年达到亿人，在2020年达到亿人，在2023年达到峰值亿人；预测我国在短期内劳动力不缺，但须加强劳动力结构方面的调整。 其次，对人口老龄化问题、人口抚养比进行分析。得到我国老龄化在加速，预计本世纪40年代中后期形成老龄人口高峰平台，60岁以上老年人口达亿人，比重达%；65岁以上老年人口达亿人，比重达%；人口抚养呈现增加的趋势。 再次，讨论我国人口的控制，预测出将来我国育龄妇女人数与生育旺盛期育龄妇女人数，得到育龄妇女人数在短期内将达到高峰，随后又下降的趋势的结论。 最后，分别对模型Ⅰ与模型Ⅱ进行残差分析、优缺点评价与推广。 关键词 Logistic人口模型 Leslie人口模型人口增长预测 MATLAB软件

人口指数增长模型

《数学模型》实验报告 实验名称：如何预报人口的增长成绩：___________ 实验日期： 2009 年 4 月 22 日 实验报告日期： 2009 年 4 月 26 日 一、实验目的 预报人口的增长变化规律,作出较准确的预报，为以后有效的控制人口增长提供依据，为设计型实验。 二、实验内容 根据统计资料得出的人口增长率不变的假设，建立人口指数增长模型。利用微积分数学工具视x(t)为连续可微函数，记t=0时人口为x0,人口增长率为常数r, 变有dx/dt=rx,x(0)=x0,解出x(t)=x0*exp(rt)。 三、实验环境 MATLAB6.5 四、实验步骤 为了用数据进行线形最小二乘法的计算，故将x(t)=x0*exp(rt)两边取对数可得lnx(t)=lnx0*exp(rt), lnx(t)=lnx0+rt,另y=lnx(t),a= lnx0,所以可得y= rt+a。 根据所提供的数据用MATLAB函数p=polyfit（t,x,1）拟合一次多项式，然后用画图函数plot(t,x,’+’,t,x0*exp(rt),’-’),画出实际数据与计算结果 之间的图形，看结果如何。 利用1790-1900年的数据进行试验，程序如下： t=linspace(0,11,12); x=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0]; p=polyfit(t,log(x),1); r=p(1) x0=exp(p(2))

plot(t,x,'+',t,x0*exp(r*t),'-') 利用1790-2000年的数据进行试验，程序如下： t=linspace(0,21,22); x=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0,92.0,106 .5,123.2,131.7,150.7,179.3,204.0,226.5,251.4,281.4]; p=polyfit(t,log(x),1); r=p(1) x0=exp(p(2)) plot(t,x,'+',t,x0*exp(r*t),'-') 五、实验结果 以1790年至1900年的数据拟合y= rt+a，用软件计算可得r=0.2743/10年,x0=4.1884，下图为拟合的图象: 以1790年至2000年的数据拟合y= rt+a，用软件计算可得r=0.2022/10年，x0=6.0450,下图为拟合的图象:

基于人口增长模型的数学建模(DOC)

数学建模论文 题目：人口增长模型的确定专业、姓名： 专业、姓名： 专业、姓名：

人口增长模型 摘要 随着人口的增加，人们越来越认识到资源的有限性，人口与资源之间的矛盾日渐突出，人口问题已成为世界上最被关注的问题之一。问题给出了1790—1980年间美国的人口数据，通过分析近两百年的美国人口统计数据表，得知每10年的人口数的变化。预测美国未来的人口。对于问题我们选择建立Logistic模型(模型2)现实中，影响人口的因素很多，人口也不能无限的增长下去，Logistic 模型引进常数N 表示自然资源和环境所能承受的最大人口数，因而得到了一个贝努利方程的初值问题公式，从实际效果来看，这个公式较好的符合实际情况的发展，随着时间的递增，人口不是无限增长的，而是趋近于一个数，这个即为最大承受数。我们还同时对数据作了深入的探讨，作数据分析预测，通过观测比较选择一个比较好的拟合模型（模型3）进行预测。预测接下来的每隔十年五次人口数量，分别为251.4949， 273.5988 ， 293.4904 ， 310.9222 325.8466。关键词：人口预测Logistic模型指数模型

一、问题重述 1790-1980年间美国每隔10年的人口记录如下表所示。 表1 人口记录表 年份1790 1800 1810 1820 1830 1840 1850 1860 1870 1880 人口(?106) 3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 年份1890 1900 1910 1920 1930 1940 1950 1960 1970 1980 人口(?106) 62.9 76.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 试用以上数据建立马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，并对接下来的每隔十年预测五次人口数量，并查阅实际数据进行比对分析。 如果数据不相符，再对以上模型进行改进，寻找更为合适的模型进行预测。 二、问题分析 人口预测是一个相当复杂的问题，影响人口增长除了人口数与可利用资源外，还与医药卫生条件的改善，人们生育观念的变化等因素有关…….可以采取几套不同的假设，做出不同的预测方案，进行比较。 人口预测可按预测期长短分为短期预测 (5年以下)、中期预测(5～20年)和长期预测(20～50年)。在参数的确定和结果讨论方面，必须对中短期和长期预测这两种情况分开讨论。中短期预测中所用的各项参数以实际调查所得数据为基础，根据以往变动趋势可较准确加以估计，推算结果容易接近实际，现实意义较大。 三、问题假设 1.在模型中预期的时间内，人口不会因发生大的自然灾害、突发事故 或战争等而受到大的影响； 2.假设美国人口的增长遵循马尔萨斯人口指数增长的规则 3.假设人口增长不受环境最大承受量的限制 四、变量说明

人口增长模型的确定

人口增长模型的确定 Prepared on 22 November 2020

题目：人口增长模型的确定 摘要 人口问题已成为当前世界上最普遍关注的问题之一，人口增长规律的发现以及人口增长的预测问题对一个国家制定长远的发展规划有着非常重要的意义。本文分别使用了马尔萨斯人口指数增长模型和阻滞增长模型，以美国1790-1980年间每隔10年的人口数量为依据，对接下来的每隔十年进行了预测五次人口数量。通过对比我们可以发现阻滞增长模型在预测准确度方面要明显优于原始的马尔萨斯人口指数增长模型。关键词：人口增长；马尔萨斯人口指数增长模型；阻滞增长模型；人口预测

一、问题重述 问题背景 1790-1980年间美国每隔10年的人口记录如下表所示。 表1 人口记录表 问题提出 我们需要解决以下问题： 1.试用以上数据建立马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型，并对接下来的每隔十年预测五次人口数量，并查阅实际数据进行比对分析。 2.如果数据不相符，再对以上模型进行改进，寻找更为合适的模型进行预测，并对两次预测结果进行对比分析。 3.查阅资料找出中国人口与表1同时期的人口数量，用以上建立的两个模型进行人口预测与分析。 二、问题分析 首先，我们运用Matlab软件绘制出1790到1980年的美国人口数据图，如图1。 图1 1790到1980年的美国人口数据图 从图表中我们可以清晰地看到人口数在1790—1980年是呈增长趋势的，而且我们很容易发现上述图表和我们学过指数函数的图表有很大的相似性，所以我们很自然想

到建立指数模型。因此我们首先建立马尔萨斯模型，马尔萨斯生物总数增长定律指出：在孤立的生物群体中，生物总数N的变化率与生物总数成正比。 三、问题假设 为简化问题，我们做出如下假设： （1）在模型中预期的时间内，人口不会因发生大的自然灾害，突发事件或战争而受到大的影响； （2）所给出的数据具有代表性，能够反映普遍情况； （3）一段时间内我国人口死亡率不发生大的波动； （4）在查阅的资料与文献中，所得数据可信； （5）假设人口净增长率为常数。 四、变量说明 在此，对本文所使用的符号进行定义。 表2 变量说明 符号符号说明 N(0) 起始年人口容纳量 N(t) t年后人口容纳量 t 年份 r 增长率 五、模型建立 问题一：马尔萨斯(Malthus)人口指数增长模型 设：t表示年份（起始年份t=0），r表示人口增长率，N(t)表示t年后的人口数量。

数学建模 之 人口模型

数学建模 ———关于人口增长的模型

摘要：本文讨论了人口的增长问题，并预测出了2010、2020年的美国人口。首 先，我们给出了两种预测方法：第一，在假定人口增长率不变的情况下，建立指数增长模型；第二，假定人口增长率呈线性下降的情况下，建立阻滞增长模型。对两种模型的求解，我们引入了微分方程。其次，为了选择一种较好的预测方法，我们分别对两种模型进行了检验和讨论。先列图表对预测值与真实值进行比较，然后定性的对模型进行讨论，最后一个阶段选择绝对误差、均方差和相关系数对两个模型的优劣进行定量的评价，选出最好的预测方法。 一、 问题的提出： 人口问题是当前世界上人们最关心的问题之一，认识人口数量的变化规律，做出较为准确的预报，是有效控制人口增长前提，现根据下表给出的近两百 模型一（指数增长模型） 1、模型的提出背景：我们对所给的数据进行了认真仔细的分析之后，对其进行处理：将年份进行编号（i X ），人口数量计为（i Y ），以i X 为横坐标，以i Y 为纵坐标，建立直角坐标系。然后将表格中所给的数据绘在直角坐标系中附表A ，我们发现这些点大体呈指数增长趋势固提出此模型。 附图A

2、基本假设：人口的增长率是常数 增长率——单位时间内人口增长率与当时人口之比。 故假设等价于：单位时间人口增长量与当时人口成正比。 设人口增长率为常数r 。时刻t 的人口为X(t),并设X(t)可微，X(0)=X O 由假设，对任意△t>0 ，有 )() ()(t rx t t x t t x =?-?+ 即：单位时间人口增长量=r ×当时人口数 当△t 趋向于0时，上式两边取极限，即： o t →?lim )() ()(t rx t t x t t x =?-?+ 引入微分方程： )1( )0()(0 ??? ??==x x t rx dt dx 3、模型求解： 从（1）得 rdt x dx = 两边求不定积分： c rt x +=ln ∵t=0时0x x =，∴C x =0 ln rt e x rt x x 00ln ln ln =+= ∴rt e x t x 0 )(= (2) 当r>0时.表明人口按指数变化规律增长. 备注； r 的确定方法： 要用（4.2）式来预测人口,必须对其中的参数r 进行估计: 十年的增长率307.0ln 9.33 .5==r ,359.1307.0=e ,则(2)式现为: t t x )359.1(9.3)(?= 4、结论：由上函数可预测得:2010的人口为x(22):

人口增长的预测(数学建模论文

关键字：人口数平衡点方程模型运动预测曲线稳定增长人口 一题目： 请在人口增长的简单模型的基础上。 " （1）找到现有的描述人口增长，与控制人口增长的模型； " （2）深入分析现有的数学模型，并通过计算机进行仿真验证； " （3）选择一个你们认为较好的数学模型，并应用该模型对未来20年的某一地区或国家的人口作出有关预测； " （4）就人口增长模型给报刊写一篇文章，对控制人口的策略进行论述。 二摘要： 本次建模是依照已知普查数据，利用Logistic模型，对中国人口的增长进行预测。首先假设人口增长符合Logistic模型，即引入常数，用来表示自然环境条件所能容许的最大人口数。并假设净增长率为，即净增长率随着人口数N（t）增长而减小，当N(t) 时，净增长率趋于零。按照这个假设，。用参数＝3.0,r=0.0386, =1908, =14.5。画出N=N(t)的图像，作为人口增长模型的一种近似。 做微分方程解的定性分析，求出N=N(t)的驻点和拐点，按照函数作图方法列出定性分析表，作出相轨迹的运动图。当初始人口<时，方程的解单调递增到地趋向，这意味着如果使用Logistic模型描述人口增长，则人口发展地总趋势是渐增到最大人口数，因此可作为人口的预测值，也称谓平衡点。 用导数做稳定分析，为判断平衡点是否为稳定，可在平面上绘制f(x)的图象，然后像函数绘图那样，用导数进行定性分析，通过图看出人口数N(t)按时间是递增的，当人口数未达到饱和状态的时候，将逐渐地趋向，这意味着是稳定的平衡点。按该模型，未来人口的数量将随着时间的演化，从初始状态出发达到极限状态，这样就给出了人口的未来预测。 三问题的提出 1． Malthus模型 英国统计学家Malthus（1766－1834）发现人口增长率是一个常数。设t时刻人口为N（t），因为人口总数很大，可近似把N（t）当作连续变量处理。Malthus的假设是：在人口的自然增长过程中，净相对增长率（出生率减去死亡率）是常数，即单位时间内人口的增长量与人口总数成正比。根据这个假设有： , (1.1) 这是一个最简单的可分离变量方程，用符号微分方程求解器desolve容易求得方程的解为：

人口增长模型综述

人口增长模型综述 一、引言 当前中国的人口正在以一个较快的速度增长，随着人口的增长，环境和社会的压力正在不断的加大，然而，环境的承载能力是有限的，人口不可能无限制的，故人口最后会趋于一个稳定的数字。世界上大多数国家的人口年龄结构，都是随着人口转变以及社会经济发展，逐渐从年轻型、成年型到老年型转变的。西方发达国家的人口转变是伴随着工业化和现代化逐步深化的渐进过程，经历了大约150多年的时间。我国则是在经济不发达的条件下进行的，且明显带有人为的痕迹，经历着更加迅速的人口转变，人口年龄结构也发生了比较快的变化，即从相对年轻型人口结构，直接转变为相对老年化的人口结构。因此，对于人口的未来趋势的预测将变得尤为重要，产业、服务、环境等方面都依赖于人员，只有对未来人口的发展趋势进行准确的把握，才能够及时地对社会各个部门进行调控，以缓解人口对于社会环境的压力！利用数学建模的知识建立人口增长模型，进而才能够得到较为准确的未来的人口数据。 然而，何为人口增长模型？人口增长模型[1]就是通过人口现状及对影响人口发展的各种因素的假设，对未来人口的规模、结构、变动和趋势所做的测算。当前人口老龄化，人口出生率以及人口死亡率等问题已经成为人口问题的焦点问题，同时，对于一个城市或国家的人口预测还必须考虑到移民率等。 二、中国人口增长研究的现状[6] 新中国成立60年来，中国人口发展经历了两个不同的时期：一是实行计划生育政策之前，人口发展处于无计划、自发的高增长时期；二是实行计划生育政策之后，人口发展逐步走向有计划、可控制的平稳增长时期。这两个不同发展时期的区别，不仅表现在出生率、死亡率的变化上，而且还表现在人口发展模式的转变，以及人口年龄结构的变化上。 现如今，中国面临着严峻的人口压力，我们的国家虽然地大物博，然而人均资源占有量确实相当的稀少，因此，解决人口增长问题已经变得迫在眉睫。中国是世界上人口最多的发展中国家，人口多，底子薄，人均耕地少，人均占有资源相对不足，是我国的基本国情，人口问题一直是制约中国经济发展的首要因素。人口数量、质量和年龄分布直接影响一个地区的经济发展、资源配置、社会保障、社会稳定和城市活力。在我国现代化进程中，必须实现人口与经济、社会、资源、环境协调发展和可持续发展，进一步控制人口数量，提高人口质量，改善人口结构。对此，单纯的人口数量控制（如已实施多年的计划生育）不能体现人口规划的科学性。政府部门需要更详细、更系统的人口分析技术，为人口发展策略的制定提供指导和依据。长期以来，对人口年龄结构的研究仅限于粗线条的定性分析，只能预测年龄结构分布的大致范围，无法用于分析年龄结构的具体形态。随着对人口规划精准度要求的提高，通过数学方法来定量计算各种人口指数的方法日益受到重视，这就是人口控制和预测。 当前我国对于人口增长预测的模型主要考虑到了环境所能接受的最大数量，人口出生率，人口死亡率，人口老龄化，以及平均寿命等因素对于未来人口的增长所带来的影响。其中人口老龄化是最近几年中国人口发展出现的新问题。 一般来说，当前普遍是通过莱斯利模型，马尔萨斯模型为基础模型，对其中

2007年全国数学建模大赛A题中国人口增长预测与控制题目和论文赏析(1)(1)

中国人口增长预测与控制 摘要 近年来，中国人口最突出的特点是：老龄化加速、出生人口性别比持续增高和乡村人口城镇化。针对这些特点，建立各个影响因素的数学模型，最后建立中国人口的增长模型。 对于问题一，首先将人口增长的预测问题转化为对出生率、死亡率和城镇乡转移率的预测。通过原题附录3数据的分析研究，发现影响人口增长的主要因素可以归结为出生率、死亡率和城镇乡转移率，并依此建立了不同参数随时间变化的递推数学模型，讨论了各个参数对人口增长的影响。其次，分别拟合死亡率和生育率、城镇乡转移率对年龄的分布。建立了差分数学模型，将死亡率、生育率与城镇乡转移率的预测归结到总和死亡率、总和生育率与城镇乡总和转移率的预测，由于概率分布是相对稳定的，模型参数整体健壮。对中短期的预测而言，总和死亡率、生育率和转移率的变化是近似线性的；对长期的预测，采用SI和SIS模型来描述其非线性变化，其模型的控制参数变化体现了国家人口政策的控制力度，结果表明模型具有长期可控性。 对于问题二，采用所建模型对0—90岁人口做出中短期和长期预测。2006-2030年总人口逐年增加，2006年为13.062亿，2007年为13.109亿，2008年为13.158亿，2010年为13.3亿，2023年达到高峰期13.829亿，以后开始下降趋于平缓，到2030年为13.805；乡城转移率逐年增加，短期线性变化，2006年为0.454，2007年为0.471，2008年为0.490，2010年为0.526，长期由非线性模型描述，到2030年，城乡比例为0.901；整体老龄化程度增大，2006年为0.129，2007年为0.134，2008年为0.139，2010年为0.150，到2030年为0.325，在农村老龄化尤其严重，可以确定为地区间的迁移。同时在做长期预测时，不同的国家策略导致不同的人口状况(见图[26-30])，得到的结论可以作为国家制定人口方针的建议。 对于问题三，指出模型的优缺点。通过求解经典的Logistic模型和Leslie模型，并将所得结果与本文模型结果比较，发现本文模型具有易操作性、可控性、健壮性等优点；主要缺点是在短期预测时准确度稍差。 关键词：人口控制差分模型预测拟和Leslie模型Logistic方程 一、问题重述 中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。2007 年初发布的《国家人口发展战略研究报告》(附录1) 还做出了进一步的分析。关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。附录2就是从《中国人口统计年鉴》上收集到的部分数据。试从中国的实际情况和人口