物理极值问题的求解方法

物理极值问题的求解方法

随着教改的不断深入，物理教学更加结合实际，物理习题的题型不断拓宽。在中学物理竞赛及高考试卷中都出现了一些具有一定难度的求极值问题。求极值的一般方法是用导数求解。但中学生还没有学过关于异数的数学知识。本专题将分若干小专题，分别介绍符合中学生数学基础的解决极值问题的方法。

一、几何法求极值

在初中几何中我们曾经学过“点到直线的距离以垂线为最短。”此结论对于求极小值问题，是一条捷径。

例1.如图1-1所示，船A从港口P出发去拦截正以速度υ0

沿直线航行的船B 。P与B所在航线的垂直距离为a，A起

航时与B船相距为b，b>a 。如果略去A船起动时的加速

过程，认为它一起航就匀速运动。则A船能拦截到B船的

最小速率为多少？

分析与解：分析本题是两个运动物体求它们之间的相对位置的问题。若以地球为参照系，两个物体都运动，且运动方向不一致，它们之间的相对位置随时间变化的关系比较复杂，一时不容易做出正确的判断与解答。但如果把参照系建立在某一运动的物体上，（如B上）由于以谁为参照系，就认为谁不动，此题就简化为一个物体，（如A）在此运动参照系的运动问题了。当然解一个物体的运动问题比解两个物体都运动的问题自然容易多了。

以B为参照系，B不动，在此参照系中A将具有向左的分速

度υ0，如图1-2所示。在此参照系中A只要沿着PB方向就

能拦截到B 。应用“点到直线的距离以垂线为最短”的

结论。过O点作PB的垂线，交PB于E点，OE即为A船对地的

速度的最小值υA，在△AOE中

∵υA=υ0Sinθ 而

∴

，由于灵活运用了几何知识，使较为复杂的问题，变为简单的几何问题了。

例2.如图1-3所示，重为G的物体与水平地面的动摩擦因数为μ，欲以一个拉力F使物体沿地面匀速前进。问F与水平地面的夹角θ为何值时最省力？这个最小拉力是多大？

分析与解：画出物体的受力分析图，如图1-4所示。物体受到四个力的作用。有重力G、拉力F、地面的支持力N及地面对物体的滑动摩擦力f，其中f=Nμ。这四个力为共点力，合力为零。可将N与f合成为一个力N′，N与f的作用将被N′等效，N′与N、f的关系满足平行四边形法则。再画出物体受N′、G、F的力的矢量三角形，如图1-5所示。N′的方向如图，应用“点到直线的距离以垂线为最短”的结论。过B点作N′的垂线交N′于C点，则BC的长度即表示最小作用力F min，由于F min与水平面夹角为θ,

∴∠CAB=∠θ F min=Gsinθ

由图1-6可知，

即

θ=arctanμ

几何法一般用于求极小值问题，其特点是简单、直观，把物体运动的较为复杂的极值问题，转化为简单的几何问题去解，便于学生掌握。

三、用一元二次方程判别式求解极值问题

在中学代数中曾学过，对于一个一元二次方程，当它的判别式B2-

4AC≥0时，此方程有实数解。若我们在解物理习题时能选择适当的物理量作为未知量。使其成为一个一元二次方程，巧妙地利用判别式可解决极值问题。

例1.一个质量为m的电子与一个静止的质量为M的原子发生正碰，碰后原子获得一定速度，并有一定的能量E被贮存在这个原子内部。求电子必须具有的最小初动能是多少？

分析与解：设电子碰前的速度为υ1，碰后的速度为

，静止的原子被碰后的速度为

。

由动量守恒定律有

(1)

由能量守恒有

(2)

在以上两个方程中，有三个未知数，υ1、

、

，一般的同学认为少一个方程，难以求解。但由（1）式解出

代入（2）

可得：

进一步整理可得：(M+m)m

-2m2υ1

+(m-M)mυ12+2ME=0

此式是关于

的一元二次方程，因电子碰后的速度

必为实数，所以此方程的判别式B2-4AC≥0 即

4m4

-4(M+m)m[(m-M)m

+2ME]≥0

根据上式整理可得：

所以电子必须具有的最小的初动能是

例2.如图2-1所示，顶角为2θ的光滑圆锥，置

于磁感应强度大小为B，方向竖直向下的匀强

磁场中，现有一个质量为m，带电量为+q的小

球，沿圆锥面在水平面作匀速圆周运动，求小

球作圆周运动的轨道半径。

分析与解：小球在运动时将受重力mg，圆锥面

对球的弹力N，及洛仑兹力f的作用，如图2-2

所示。设小球作匀速圆周运动的轨道半径为

R，速率为υ。

由正交分解可得

联立（1）、（2）试可得

上式有υ、R两个未知量，似乎不可解，但因为是求极值问题，可用一元二次方程判别式求解。因为υ有实数解，由B2-4AC≥0

即

∴小球作圆周运动的最小半径为

例3.在掷铅球的运动中，如果铅球出手时距地面的高度为h，速度为

υ0，求υ0与水平方向成何角度时，水平射程最远？并求此最大的水平射程X max。

分析与解：以出手点为坐标原点，可分别列出水平方向与竖直方向的位移方程。

上式为关于tgθ的一元二次方程。若tgθ存在实数解，则判别式B2-4AC≥0

即

解出结果后，我们可联系实际进行如下验证。设出手高度h=0, 则

θ=45°。这就是我们过去曾经知道的一个物体做斜抛运动，当θ=45°时其射程最远。

高中物理中的临界与极值问题

高中物理中的临界与极值问题 宝鸡文理学院附中何治博 一、临界与极值概念所谓物理临界问题是指各种物理变化过程中，随着条件的逐渐变化，数量积累达到一定程度就会引起某种物理现象的发生，即从一种状态变化为另一种状态发生质的变化（如全反射、光电效应、超导现象、线端小球在竖直面内的圆周运动临界速度等），这种物理现象恰好发生（或恰好不发生）的过度转折点即是物理中的临界状态。与之相关的临界状态恰好发生（或恰好不发生）的条件即是临界条件，有关此类条件与结果研究的问题称为临界问题，它是哲学中所讲的量变与质变规律在物理学中的具体反映。极值问题则是指物理变化过程中，随着条件数量连续渐变越过临界位置时或条件数量连续渐变取边界值（也称端点值）时，会使得某物理量达到最大（或最小）的现象，有关此类物理现象及其发生条件研究的问题称为极值问题。临界与极值问题虽是两类不同的问题，但往往互为条件，即临界状态时物理量往往取得极值，反之某物理量取极值时恰好就是物理现象发生转折的临界状态，除非该极值是单调函数的边界值。因此从某种意义上讲，这两类问题的界线又显得非常的模糊，并非泾渭分明。 高中物理中的临界与极值问题，虽然没有在教学大纲或考试说明中明确提出，但近年高考试题中却频频出现。从以往的试题形式来看，有些直接在题干中常用“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”……等

词语对临界状态给出了明确的暗示，审题时，要抓住这些特定的词语发掘其内含的物理规律，找出相应的临界条件。也有一些临界问题中并不显含上述常见的“临界术语”，具有一定的隐蔽性，解题灵活性较大，审题时应力图还原习题的物理情景，周密讨论状态的变化。可用极限法把物理问题或物理过程推向极端，从而将临界状态及临界条件显性化；或用假设的方法，假设出现某种临界状态，分析物体的受力情况及运动状态与题设是否相符，最后再根据实际情况进行处理；也可用数学函数极值法找出临界状态，然后抓住临界状态的特征，找到正确的解题方向。从以往试题的内容来看，对于物理临界问题的考查主要集中在力和运动的关系部分，对于极值问题的考查则主要集中在力学或电学等权重较大的部分。 二、常见临界状态及极值条件解答临界与极值问题的关键是寻找相关条件，为了提高解题速度，可以理解并记住一些常见的重要临界状态及极值条件： 1.雨水从水平长度一定的光滑斜面形屋顶流淌时间最短——屋面倾角 为0 45 2.从长斜面上某点平抛出的物体距离斜面最远——速度与斜面平行时 刻 3.物体以初速度沿固定斜面恰好能匀速下滑（物体冲上固定斜面时恰 好不再滑下）—μ=tgθ。 4.物体刚好滑动——静摩擦力达到最大值。

高中物理必修一常考题型+例题及答案讲课稿

高中物理必修一常考题型 一、直线运动 1、xt图像与vt图像 2、纸带问题 3、追及与相遇问题 4、水滴下落问题（自由落体） 二、力 1、滑动摩擦力的判断 2、利用正交分解法求解 3、动态和极值问题 三、牛顿定律 1、力、速度、加速度的关系； 2、整体法与隔离法 3、瞬时加速度问题 4、绳活结问题 5、超重失重 6、临界、极值问题 7、与牛顿定律结合的追及问题 8、传送带问题 9、牛二的推广 10、板块问题 11、竖直弹簧模型

一、直线运动 1、xt图像与vt图像 2014生全国（2） 14.甲乙两汽车在一平直公路上同向行驶。在t=0到t=t1的时间内，它们的v-t图像如图所示。 在这段时间内 A.汽车甲的平均速度比乙大 B.汽车乙的平均速度等于 22 1v v C.甲乙两汽车的位移相同 D.汽车甲的加速度大小逐渐减小，汽车乙的加速度大小逐渐增大 2016全国（1） 21.甲、乙两车在平直公路上同向行驶，其v-t图像如图所示。已知两车在t=3s时并排行驶，则 A.在t=1s时，甲车在乙车后 B.在t=0时，甲车在乙车前7.5m C．两车另一次并排行驶的时刻是t=2s D.甲、乙两车两次并排行驶的位置之间沿公路方向的距离 为40m 2、纸带问题 【2012年广州调研】34．（18分）(1) 用如图a所示的装置“验证机械能守恒定律”①下列物理量需要测量的是__________、通过计算得到的是_____________（填写代号）A．重锤质量B．重力加速度 C．重锤下落的高度 D．与下落高度对应的重锤的瞬时速度②设重锤质量为m、打点计时器的打点周期为T、重力加速度为g．图b是实验得到的一条纸带，A、B、C、D、E为相邻的连续点．根据测得的s1、s2、s3、s4写出重物由B点到D点势能减少量的表达式__________，动能增量的表达式__________．由于重锤下落时要克服阻力做功，所以该实验的动能增量总是__________（填“大于”、“等于”或“小于”）重力势能的减小量

关于初中物理极值题的分析

初中物理关于极值题的分析 育才学校陈玺 现在初中物理考试题中有关极值计算和分析题正在出现，许多学生和教师面对此类题会感到困难、或束手无策；因极值问题必用数学工具，而有些数学工具需高中才学到，若无高中数学知识基础，如何用初中的数学知识来解决呢？则需掌握一些初中数学推导技巧，才能在遇到极值问题时，较好地解决这类问题。现以九年级统考试题出现的极值题为例来讲。 （2019年遵义市第一学期九年级学业水平监测理科综合试题卷）第37.如图 所示电路中，电源电压一定，R 1，R 2 为定值电阻，R为滑动变阻器，已知R 2 =7Ω. 当S、S 2闭合，S 1 断开，滑动变阻器滑片P在b端时，电流表示数为0.4A；当S、 S 1闭合，S 2 断开，滑片P在b端时，电流表示数为0.6A；当S、S 1 闭合，S 2 断开， 滑片P在中点时，电流表的示数为1.0A. （1）当S、S 2闭合，S 1 断开，滑动变阻器滑片P在端时，求电阻R 2 通电1min产 生的热量； （2）求电源电压； （3）在S 1、S 2 不同时闭合的前提下，开关分别于何种状态、滑动变阻器接入电 路的阻值多大时，滑动变阻器消耗的功率最大？此时滑动变阻器消耗的功率是多少？ 解:(1)当S、S 2闭合，S 1 断开，滑动变阻器滑片P在b端时， 电流表示数为0.4A，R 2 与串联， Q=I 12R 2 t=(0.4A)2×7Ω×60s= 67.2J （2）当S、S 2 闭合，S1断开，滑动变阻器滑片P在b端时, R 2与串联，I 1 =0.4A 总 Ω·······( 1 ) 当S、S 1闭合，S 2 断开，滑片P在滑动变阻器b端时, R 1与串联，I 2 =0.6A 总 (2) 当S、S 1闭合，S 2 断开，滑片P在中点时R 1 与串联, I 3 =1.0A 总 (3) 解①②③方程组可得 R 1=2Ω， R ab =8Ω， U 总 =6V （3）R 1与串联对比R 2 与串联，当R1与串联时，通过的电流大， 其两端的电压也大，功率也大；滑动变阻器消耗的功率为

高中物理中的极值问题

物理中的极值问题 武穴育才高中 刘敬 随着高考新课程改革的深入及素质教育的全面推广，物理极值问题成为中学物理教学的一个重要内容，作为对理解、推理及运算能力都有很高要求的物理学科，如何提高提高学生思维水平，运用数学知识解决物理问题的能力，加强各学科之间的联系，本文筛选出典型范例剖析，从中进行归纳总结。 极值问题常出现如至少、最大、最短、最长等关键词，通常涉及到数学知识有：二次函数配方法，判别式法,不等式法，三角函数法,求导法,几何作图法如点到直线的垂线距离最短,圆的知识等等。 1．配方法：a b ac a b x a c bx ax 44)2(2 22 -++=++ 当a ＞0时，当2b x a =-时，y min =a b a c 442- 当a ＜0时当2b x a =-时，y max =a b a c 442- 2.判别式法：二次函数令0≥?，方程有解求极值. 3.利用均值不等式法：ab 2b a ≥+ a=b 时， y min =2ab 4.三角函数法：θθcos sin b a y +==)sin(22θ?++b a 当090=+θ?，22max b a y += 此时，b a arctan =θ 也可用求导法：b a b a y arctan 0sin cos ==-='θθθ，得令 5.求导法：对于数学中的连续函数，我们可以通过求导数的方式求函数的最大值或最小值.由二阶导数判断极值的方法．某点一阶导数为0，二阶导数大于0，说明一阶导数为增函数，判断为最小值；反之，某点一阶导数为0，二阶导数小于0，说明一阶导数为单调减函数，判断此点为最大值． 6.用图象法求极值 通过分析物理过程所遵循的物理规律，找到变量之间的函数关系，作出其图象，由图象求极值。 7.几何作图法 研究复合场中的运动，可将重力和电场力合成后，建立直角坐标系，按等效重力场处理问题。 研究力和运动合成和分解中，可选择合适参考系，将速度及加速度合成，结合矢量三角形处理问题。 例1.木块以速度v 0=12m ／s 沿光滑曲面滑行，上升到顶部水平的跳板后飞出，求跳板高度h 多大时， 木块飞行的水平距离s 最大?最大水平距离s 是多少?(g=10 m ／s 2)。 解：2202121mv mgh mv =+, vt s =得：22022020)4()4(22)2(g v h g v g h gh v s --=-=

高中物理：极值法知识点

高中物理：极值法知识点 数学的极值问题，主要是解决数学函数关系及其定义域的问题，这是由数学条件所制约的。 但是物理极值与数学极值有明显的区别。物理极值，实质是针对某一物理现象的动态范围、发展变化趋势及其极限，这是由物理条件所制约的。物理极值，经常表现为物理约束条件下的最大或最小值，这与数学极值有本质的区别。 就思维表现看，求极值过程是归纳和演绎综合运用过程。在错综复杂的变化条件中，要归纳出一般的状态表现，又要在此基础上，经演绎推理，寻求特殊的极端模型。这也是建立理想化模型，也要理想化。 显然，解极值过程是综合运用几种常规的思维方法的高层次的思维过程。另一方面，解极值过程，需要借助一些初等数学手段，靠扎实的数学基础。从所应用的数学手段来看，求极值可与为下列几种方法： （一）利用分式的性质求极值 [例1] 物体A放在水平面上，作用在A上的推力F与水平方向成30o角，如图示。使A作匀速直线运动。试问，当物体A与水平面之间的摩擦系数μ为多大时，不管F增大到多大，都可以使A在水平面上，作匀速直线运动? 解：A受力如图所示，由已知，A处于平衡状态，有：Fcosα=fFcos30o=μ（G+Fsin30o）， 得F=由已知当公式的分母为零，即F→∞的匀速运动时sin30o－μcos30o=0时得μ=tg30o=0.58，则F→∞，此时都可以使A在水平面上作匀速直线运动。

（二）利用一元二次方程求根公式求极值 有些问题，通过分析列关系式，最后整理出关于一个未知量的一元二次方程。它的根就可能是要求的极值。这种方法应用是很普遍的。 （三）利用一元二次方程判别式△=b2－4ac≥O求极值 [例2] 一个质量为M的圆环，用细线悬挂着。将两个质量为m的有孔的小珠套在环上，且可沿环无摩擦滑动，如图（a）所示。今将两小珠从环的顶端由静止开始释放。证明，当m> M时，圆环能升起。 证明：取小球为研究对象，受力如图（a）。由牛顿第二定律，得所mgcosθ+N=由机械能守恒定律，得mgR（1－cosθ）=由此二式得N=2mg－3mgcosθ （1）上式中，N>0，即cosθ<以环为研究对象，受力图如（b），在竖直方向，由牛顿第二定律，有T+2N’cosθ—Mg=Ma当环恰好能上升时，a=0，可得2N’cosθ=Mg （3） 将（1）代入（3）式中，其中N’为（a）图中N的反作用力。有 2（2mg－3mgcosθ）cosθ=Mg即6mcos2θ－4mcosθ+M=0 （4）（4）式是关于cosθ的一元二次方程。cosθ为实数，则△≥0，即（4m）2－4

动力学中的临界极值问题的处理讲课教案

动力学中的临界极值问题的处理

动力学中临界极值问题的处理及分析 物理学中的临界和极值问题牵涉到一定条件下寻求最佳结果或讨论其物理过程范围的问题，此类问题通常难度较大技巧性强，所涉及的内容往往与动力学、力学密切相关，综合性强。在高考命题中经常以压轴题的形式出现，临界和极值问题是每年高考必考的内容之一。 一．解决动力学中临界极值问题的基本思路 所谓临界问题是指当某种物理现象（或物理状态）变为另一种物理现象（或另一物理状态）的转折状态叫临界状态．可理解成“恰好出现”或“恰好不出现”．某种物理现象转化为另一种物理现象的转折状态称为临界状态。至于是“出现”还是“不出现”，需视具体问题而定。极值问题则是在满足一定的条件下，某物理量出现极大值或极小值的情况。临界问题往往是和极值问题联系在一起的。 解决此类问题重在形成清晰的物理图景，分析清楚物理过程，从而找出临界条件或达到极值的条件，要特别注意可能出现的多种情况。动力学中的临界和极值是物理中的常见题型，同学们在刚刚学过的必修1中匀变速运动规律、共点力平衡、牛顿运动定律中都涉及到临界和极值问题。在解决临办极值问题 注意以下几点：○1临界点是一个特殊的转换状态，是物理过程发生变化的转折点，在这个转折点上，系统的一些物理量达到极值。○2临界点的两侧，物体的受力情况、变化规律、运动状态一般要发生改变，能否用变化的观点正确分析其运动规律是求解这类题目的关键，而临界点的确定是基础。○3许多临界问题 常在题目的叙述中出现“恰好”、“最大”、“至少”、“不相撞”、“不脱离”……等词句对临界问题给出了明确的暗示，审题是只要抓住这些特定词语 其内含规律就能找到临界条件。○4有时，某些临界问题中并不包含常见的临界 术语，但审题时发现某个物理量在变化过程中会发生突变，如运动中汽车做匀 减速运动类问题，则该物理量突变时物体所处的状态即为临界状态。○5临界问 题通常具有一定的隐蔽性，解题灵活性较大，审题时应力图还原习题的物理情 景，抓住临界状态的特征，找到正确的解题方向。○6确定临界点一般用极端分 析法，即把问题（物理过程）推到极端，分析在极端情况下可能出现的状态和满足的条件。解题常用的思路用矢量法、三角函数法、一元二次方程判别式法或根据物理过程的特点求极值法等。 二．匀变速运动规律中与临界极值相关问题的解读 在质点做匀变速运动中涉及到临界与极值的问题主要有“相遇”、“追及”、“最大距离”、“最小距离”、“最大速度”、“最小速度”等。 【例1】速度大小是5m/s的甲、乙两列火车，在同一直线上相向而行。当它们相隔2000m时，一只鸟以10m/s的速度离开甲车头向乙车头飞去，当到达乙车车头时立即返回，并这样连续在两车间来回飞着。问： （1）当两车头相遇时，这鸟共飞行多少时间？

高考物理复习第二章相互作用微极值问题备考练习题

17 极值问题 [方法点拨] (1)三力平衡下的极值问题，常用图解法，将力的问题转化为三角形问题，求某一边的最短值．(2)多力平衡时求极值一般用解析法，由三角函数、二次函数、不等式求解．1．(2018·姜堰中学月考)如图1所示，用细线相连的质量分别为2m、m的小球A、B在拉力F作用下，处于静止状态，且细线OA与竖直方向的夹角保持θ＝30°不变，则拉力F的最小值为( ) 图1 A.33 2 mg B. 23＋1 2 mg C.3＋2 2 mg D. 3 2 mg 2.如图2所示，质量均为m＝10 kg的A、B两物体放在粗糙的水平木板上，中间用劲度系数为k＝5×102 N/m的弹簧连接，刚开始时A、B两物体处于平衡状态，弹簧的压缩量为Δx＝ 5 cm.已知两物体与木板间的动摩擦因数均为μ＝ 3 2 ，重力加速度g＝10 m/s2，设最大静摩 擦力等于滑动摩擦力．现将木板的右端缓慢抬起，木板形成斜面，在木板缓慢抬起过程中，以下说法正确的是( ) 图2 A．A先开始滑动，A刚开始滑动时木板的倾角θ＝30° B．A先开始滑动，A刚开始滑动时木板的倾角θ＝60° C．B先开始滑动，B刚开始滑动时木板的倾角θ＝30° D．B先开始滑动，B刚开始滑动时木板的倾角θ＝60° 3．如图3所示，在水平板左端有一固定挡板，挡板上连接一轻质弹簧．紧贴弹簧放一质量为 m的滑块，此时弹簧处于自然长度．已知滑块与水平板的动摩擦因数为 3 3 (最大静摩擦力与 滑动摩擦力视为相等)．现将板的右端缓慢抬起使板与水平面间的夹角为θ，最后直到板竖直，此过程中弹簧弹力的大小F随夹角θ的变化关系可能是( )

图3 4.如图4所示，质量为M的滑块a，置于水平地面上，质量为m的滑块b放在a上．二者接触面水平．现将一方向水平向右的力F作用在b上．让F从0缓慢增大，当F增大到某一值时，b相对a滑动，同时a与地面间摩擦力达到最大．已知a、b间的动摩擦因数为μ1，a 与地面之间的动摩擦因数为μ2，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则μ1与μ2之比为( ) 图4 A.m M B. M m C. m M＋m D. M＋m m 5.(2018·兴化一中质检)如图5所示，质量均为m的木块A和B，用一个劲度系数为k的竖直轻质弹簧连接，最初系统静止，现在用力缓慢拉A直到B刚好离开地面，则这一过程A上升的高度为( ) 图5 A.mg k B. 2mg k C.3mg k D. 4mg k 6.如图6所示，质量为M的斜劈倾角为θ，在水平面上保持静止，当将一质量为m的木块放在斜面上时正好匀速下滑．如果用与斜面成α角的力F拉着木块沿斜面匀速上滑．

极值法解决物理问题(优.选)

正确使用极值法解决物理问题 在平时的教学中，常遇到“极值”问题，但多数教师都是通过数学方法进行分析.不仅要求学生具有较好的物理基础，更需具有较高的数学应用能力，如果教师能教给学生灵活运用物理的思想和方法去解决问题，这对提升学生的物理思维和物理素养不无裨益. 一、中考原题 如图1 所示，两个完全相同的量筒里分别盛有质量 相等的水和酒精，A 、B 两点到量筒底部的距离相等，则A 、B 两点受到液体的压强A p 和B p 的大小关系是( ). A. A B p p > B. A B p p < C. A B p p = D.无法比较 学生1(常规法):假设液体的总重力都为G ，液体密度分别为A 和B ，且A B >，量筒的横截面积均为S ,A 、B 两点距量筒底的距离都为h ，图2中，A 、B 两点以上液体的重力，即阴影部分液体的重力分别为A G 和B G ，则 A A A A A A G G F G G gSh G p gh S S S S S ρρ--=====-下① B B B B B G G F G G gSh G p gh S S S S S ρρ--=====-B 下 ② 由①②两式及A B ρρ>得A B p p <. 学生2(极值法): A 、B 两点距底部的距离相同，具有随意性，可假设A 、B 两点在甲容器的液面高度上(如图3)，此时0,A p =0B p >，所以A B p p <. 从以上两种方法可以看出，在解决物理问题时，当一个物理量或物理过程发生变化时，运用“极值法”对其变量作合理的延伸，把问题推向极端，往往会使问题化难为易，达到“事

半功倍”的效果.那么如何正确使用极值法呢? 二、极值法正确使用过程分析 如图4所示，甲、乙两个质量相等的均匀实心正方体放在水平地面上，已知铜的密度大于铁的密度，若沿水平方向分别截去体积相等的部分，则剩余部分对水平面的压强p 甲和p 乙的大小关系是( ) A. p p >乙甲 B. p p <乙甲 C. p p =乙甲 D.都有可能 极值法:假设将甲全部消去，则剩余部分对水平面的压强p 甲=0和0p >乙，因此，该题选择B.事实果真如此吗? 假设G G G ==乙甲，边长分别为a 和b ，且a a b <，密度分别为甲和乙，且ρρ>乙甲截去的体积均为V ，则剩余部分对水平面的压强222G gV g G p V a a a ρρ-==-甲甲甲③, 222G gV g G p V b b b ρρ-==-乙乙乙④,由22G G a b >,22g g a b ρρ>乙甲，画出③④两式的压强一截去体积图像如图6所示. 由图6来看，当截去一定的体积时，剩余部分对水平面的压强p 甲和p 乙有可能相同(M 点)，即由③④两式相等2222g g G G V V a a b b ρρ-=-乙甲，解得2222 ()G b a V gb ga ρρ-=-乙甲.当截去的体积2222()G b a V gb ga ρρ-<-乙甲时，p p >乙甲.当截去的体积2222()G b a V gb ga ρρ-=-乙甲时，p p =乙甲.当

高中物理中的极值专题

物理中的极值问题 1．物理中的极值问题： 物理试题常出现如：至少、最大、最短、最长等物理量的计算，这类问题就属于极值问题。其处理是高考试题中是常见的，本专题以此作为重点，试图找出处理该问题的一般方法。 2．物理中极值的数学工具： （1）y=ax 2 +bx+c 当a ＞0时，函数有极小值 y m in =a b a c 442 - 当a ＜0时，函数有极大值 y m ax =a b a c 442 - （2）y= x a +b x 当ab =x 2 时，有最小值 y m in =2ab （3）y=a sin θ+b cos θ=22b a + sin （)θ?+ 当θ?+=90°时，函数有最大值。 y m ax =22b a + 此时，θ=90°-arctan a b （4）y =a sin θcon θ= 21a sin2θ 当θ=45°时，有最大值：y m ax =2 1a 3．处理方法： （1）物理型方法： 就是根据对物理现象的分析与判断，找出物理过程中出现极值的条件，这个分析过程，既可以用物理规律的动态分析方法，也何以用物理图像发热方法（s-t 图或v-t 图）进而求出极值的大小。该方法过程简单，思路清晰，分析物理过程是处理问题的关键。 （2）数学型方法： 就是根据物理现象，建立物理模型，利用物理公式，写出需求量与自变量间的数学函数关系，再利用函数式讨论出现极值的条件和极值的大小。 4．自主练习 1．如图所示，在倾角为300的足够长的斜面上有一质量为m 的物体，它受到沿斜面方向的力F 的作用。力F 可按图（a ）、（b ）（c ）、（d ）所示的四种方式随时间变化（图中纵坐标是F 与mg 的比值，力沿斜面向上为正）。已知此物体在t =0时速度为零，若用v 1、v 2 、v 3 、v 4分别表示上述四种受力情况下物体在3秒末的速率，则这四个速率中最大的是（ ） A 、v 1 B 、v 2 C 、v 3 D 、v 4 2．一枚火箭由地面竖直向上发射，其v ~t 图像如图所示，则 A ．火箭在t 2—t 3时间内向下运动 B ．火箭能上升的最大高度为4v 1t 1 v v 12

中学物理中极值问题解法种种

中学物理中极值问题解法种种 卢小柱 极值问题是中学物理中一类内容丰富、难度较大和技巧性较强的物理问题.它要求学生的基础知识和基本技能较熟练,并有较强的综合分析问题和解决问题的能力,以及能熟练地运用数学知识解答物理问题.下面对常见的极值问题的解法作一归纳,以供参考. 1.配方法 若题中物理量的变化规律可表示为二次函数y=ax 2+bx+c 的形式,则经配方有 y=a(x+b a 2)2+442ac b a -.若a>0,则当x=-b a 2时,y 有极小值y min =442 ac b a -;若a<0,则当x=- b a 2时,y 有极大值y max =442 ac b a -. 例1 甲、乙两辆汽车同方向行驶,甲在乙前50m 处以速度20m/s 作匀速直线运动, 乙车的初速度为4m/s,加速度为8m/s 2.试问什么时候甲车在前时,两车相距最远?最远距离是多少? 解: 设运动时间为ts,由运动学公式有 甲的位移为s 1=20t, 乙的位移为s 2=4t+4t 2 两车相距?s=s 1+50-s 2=50+20t -4t -4t 2=-4t 2+16t+50=-4(t -2)2+66 当t=2s 时, ?s 有极大值为 ?s max =66m. 例2 如图1所示的电路中,电源内阻为r,电动势为ε,则当变阻器电阻R 为何值时,电源输出功率最大? 解: 电源输出功率为P=I 2R=(εR r +)2R=ε2222R R Rr r ++ 分母配方后得:P= ε2 2 4(/)R r R r -+ 故当R r R =/,即R=r 时,分母最小,P 最大.P max =ε2 4r . 2.判别式法 若物理量的变化关系为二次函数,或者通过巧妙的变换能使物理量出现二次项,则可利用判别式?=b 2-4ac 来求解.当?≥0时有实根,?=0时取极值. 例3 火焰与光屏之间的距离是L,在它们中间放有一个凸透镜,其焦距为f.试证明,要使火焰在光屏上成清晰像,则L 至少要为4f. 证明:设物距为u,像距为v,则u+v=L ……① 由成像公式有:111 u v f += ……② 由①②得:u 2-Lu+Lf=0 故要成实像,则必须?=L 2-4Lf ≥0,解得L 最小为4f. 例4 如图2所示,顶角为2α的光滑圆锥置于磁感应强度为B 、方向竖直向下的匀强磁场中.现有一质量为m 、带电量为+Q 的小球沿圆锥面在水平面内作匀速圆周运动,求小球作圆周运动的最小半径. 解: 小球受力如图,建坐标.由圆周运动知识得

极值法在物理解题中的应用

极值法在物理解题中的应用 极值法又称为极端假设法，在数学教学里面是很有效的解题方法，将数学解题思想运用到物理的解题过程中，可以使物理解题变得更加简单快捷，简化了解题过程，使解题思路变得更加清晰，为考试赢得了时间. 例1如图1甲所示的电路，电源电压保持不变.闭合开关S，调节滑动变阻器，两电压表的示数随电路中电流变化的图线如图1乙所示.根据图线的信息可知：电源电压为，电阻R1的阻值为Ω. 解析首先这是一条串联电路，串联电路中有一个重要的性质就是串联分压U1∶U2=R1∶R2，R2是一只滑动变阻器，运用极值法，当P在最左端的时候，R2接入电路的阻值为0，其两端的电压也就为0，此时电路中的电流最大，从而确定乙图中的乙为R2对应的图线，此时的最大电流为0.6 A，图线甲所对应则代表R1，其对应的电压为6 V，电阻则为10 Ω；同样我们再次运用极值法，当滑片P在最右端的时候，总电阻取得最大值，电路中的电流则取得最小值0.2 A，此时总电阻为30 Ω，R2最大阻值为20 Ω.

将极值法与图象巧妙的结合，建立一一对应的关系，让学生很容易找到极值法所对应的极值点，帮助我们确定图象中各个数据点的意义与关系，从而找到我们所需要的信息，使得学生的思维更加清晰明朗，增强了学生解题的信心与勇气，激发了学生学习的热情和兴趣. 例2如图2所示，电源电压保持6 V不变.电流表的量程为0～0.6 A.电压表量程0～3 V，定值电阻R1的规格为“10 Ω0.5 A”，滑动变阻器R2的规格为“20 Ω 1 A”.闭合开关，为了保证电路安全，求滑动变阻器接入电路的取值范围？ 解析首先我们要知道“保证电路安全”的含义，即用电器、仪表、电源等所有的一切都要在允许的范围内工作，不能超过量程或被烧坏.由题意可得，粗看本题中电流的极值是0.5 A，而不是电流表的最大量程0.6 A，很多学生知道取极值，也知道不能取0.6 A，就一下子取了0.5 A，但是在本题中，当电流取0.5 A 时，电压表的电压为5 V，显然超过了电压表的量程3 V，这是不符合保护电路安全的要求的，所以本题中应取电压表的极值3 V，带入计算，此时电流取得的最大值只能是0.3 A，从而求出电路中的最小电阻为20 Ω，得出滑动变阻器的阻值范围为10 Ω～20 Ω.

物理学中的极值问题研究

琼州学院QIONGZHOU UNIVERSITY 2016 届本科毕业论文 物理学中的极值问题研究 学院：电子信息工程学院 专业：物理学 学生姓名：张通 班级：2012级学号：11213007 指导教师姓名：冯浩职称：副教授 日期： 琼州学院教务处 二○一三年六月制

2016 届本科生毕业论文说明书物理学中的极值问题研究 2016 年4 月

物理学中的极值问题研究 摘要 在物理中常常会遇到一些极值问题,例如两物体发生完全非弹性碰撞时动能损失最大,负载电阻等于电源内阻时电源输出功率最大,实验中滑动触头在电桥电阻丝中点附近时实验误差最小等等.至于在物理习题中,则极值问题更是比比皆是.可见,极值问题是物理中无法避开的问题.其解决极值问题的方法有很多，极值问题就是如果没有某种极大或极小的法则，那么宇宙根本不会发生任何事情——欧拉。所谓极值问题，就是在一定条件下求最佳结果所要满足的极值条件。其解决极值问题的方法有两种：其一利用数学方法其二常用的物理方法。在本文中笔者将通过这两种方法进行研究极值问题。并对物理学中的极值问题应用展开探讨。关键字：极值问题物理学

Research on extremum problem in physics ABSTRACT Inphysicsoftenencountersomeextremumproblems,suchastwoobjectscompletelyi nelasticcollisionoccurskineticenergyloss,thebiggestloadresistanceisequaltothepowers upplywhentheinternalresistancepowersupplypoweroutput,thelargestexperimentinsli dingcontactbridgeresistancewirewhennearthemidpointoftheexperimenterrorminimu m,etc.Asforinphysicalexercises,theextremevalueproblemiscommon.Visible,extremeva lueproblemisunabletoavoidproblemsinphysics.Therearemanywaystothesolutiontothe problemofextremumextremumproblemisthatwithoutsomesortofmaximumorminimu mrule,thentheuniversesimplywon'thappenanything-euler.Theso-calledextremumprob lems,isundercertainconditionsforbestresultstosatisfythiscondition.Themethodtosolve theproblemofextremevaluehastwokinds:oneisusingthemethodofmathematicalandph ysicalmethods.Inthisarticletheauthortostudythetwomethodsbyextremumproblems.A nddiscussionofextremevalueproblemofphysicsapplication. Keywords：Theextremumproblem，sphysics

初中物理电学极值题--版.docx

初中物理知识点汇总 ---- 电学极值题为了使电表不致被损坏，滑动变阻器接入电路的阻值不九年级物理：极值型 1. 两只定值电阻，甲标有“ 10Ω 1A ”，乙标有“ 15Ω”，把它们串联得小于多少 在同一电路中，电路中允许通过的最大电流为A，两端允许 加的最大电压 为V．若把它们并联接入电路，允许加的最大电压是 A, 通过的最大电流是A。 2.两个电阻，分别标有“ 3V,”和” 6V, ”字样。将它们串联后接入路使 用，电路中电流不能超过A，两端允许加的最大电压是V； 它们并联后接入电路使用，电路两端的允许加的最大电压是V,电路中的最大电流 是 A 。 3.如右图，电源电压为 18V，R2是 0~50Ω的变阻 器，合上 S 后， A 表示数为， V 表示数为 5V， 求 （1）R1和变阻器接入电路中部分的电阻是多少。4.如右图示电源电压为 9V，R1=3Ω，滑动变阻器 R2的变化范围为 0~20Ω，如果电流表采用0~量程，电压表采用 0~3V量程，为了不使电流表、电压表损坏求滑动变阻器R2的取值范围。 （2）如果 A 表的量程是 0~，V表的量程是 0~15V，

5.如图所示电路中，电源电压 U＝，且保持不变，定值电阻 R1＝5Ω，变阻器 R2最大阻值为20Ω，电流表量程为0～， 电压表量程为 0～3V。为保护电表，变阻器接入 电路的阻值范围是 6.如图所示， R1=5Ω，R2为 0～20Ω的滑动变阻器电流表的量程为 0～，电压表的量程为 0～3V，电源电压为。为了使两表都能安全使用， （1）对变阻器连入电路的阻值应在什么范围内变化 （2）电流表和电压表的变化范围是多少

高中物理-动力学中的临界和极值问题

高中物理-动力学中的临界和极值问题 在应用牛顿运动定律解决动力学问题时，会出现一些临界或极值条件的标志： 1．若题目中出现“恰好”“刚好”等字眼，明显表示过程中存在临界点． 2．若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明过程中存在着“起止点”，而这些“起止点”往往就对应临界状态． 3．若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明过程中存在着极值，而极值点往往是临界点． 4．若题目要求“最终加速度”“稳定加速度”等即是求收尾加速度或收尾速度． 一、接触与分离的临界条件 物体分离的临界条件是相互作用力由原来的不为零变为零．因此解答此类问题，应该对原状态下研究对象的受力和运动状态进行分析，由牛顿第二定律或平衡条件列方程，令其中相互作用的弹力为零解得临界状态的加速度，以临界加速度为依据分析各种状态下物体的受力情况及运动状态的变化． 质量为m 、半径为R 的小球用长度也 为R 的轻质细线悬挂在小车车厢水平顶部的A 点，现观察到小球与车顶有接触，重力加速度为g ，则下列判断正确的是( ) A ．小车正向右做减速运动，加速度大小可能为3g B ．小车正向左做减速运动，加速度大小可能为3 3 g C ．若小车向右的加速度大小为23g ，则车厢顶部对小球的弹力为mg D ．若细线张力减小，则小球一定离开车厢顶部 [解析] 如图所示，小球恰好与车顶接触的临界状态是车顶对小球的弹力恰为零，故临界加速度a 0＝g tan θ，由线长等于小球半径可得，θ＝60°，a 0＝3g .小球与车顶接触时，小车具有向右的加速度，加速度大小a ≥3g ，A 、B 项错；当小车向右的加速度大小a ＝23g 时，ma F N ＋mg ＝tan θ，解得F N ＝mg ，C 项正确；细线张力F T ＝ma sin θ， 小球与车顶接触 的临界(最小)值F Tmin ＝2mg ，当张力的初始值F T >2mg 时，张力减小时只要仍大于或等于临界值，小球就不会离 开车厢顶部，D 项错误． [答案] C 二、绳子断裂与松弛的临界条件 绳子所能承受的张力是有限的，绳子断与不断的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是F T ＝0. 如图所示，小车内 固定一个倾角为θ ＝37°的光滑斜面，用一根平行于斜面的细线系住一个质量为m ＝2 kg 的小球，取g ＝10 m/s 2，sin 37°＝0.6， cos 37°＝0.8，则： (1)当小车以a 1＝5 m/s 2的加速度向右匀加速运动时，细线上的拉力为多大？ (2)当小车以a 2＝20 m/s 2的加速度向右匀加速运动时，细线上的拉力为多大？ [解析] 本题中存在一个临界状态，即小球刚好脱离斜面的状态，设此时加速度为a 0，对小球受力分析如图甲所示．将细线拉力分解为水平x 方向和竖直y 方向两个分力， 则得到 F cos θ＝ma 0 F sin θ－mg ＝0 a 0＝g tan θ＝403 m/s 2. (1)a 1＝5 m/s 2

知识讲解 物理学中的极值问题与极端法

物理学中的极值问题与极端法 编稿：李传安 审稿：张金虎 【高考展望】 物理学中的临界和极值问题牵涉到一定条件下寻求最佳结果或讨论其物理过程范围的问题，此类问题通常难度较大技巧性强，所涉及的内容往往与运动学、动力学、电磁学密切相关，综合性强。在高考命题中经常以压轴题的形式出现，临界和极值问题是每年高考必考的内容之一。 【知识升华】 物理极值问题，就是求某物理量在某过程中的极大值或极小值。物理极值问题是物理学中的一个重要内容，涉及的知识面广，综合性强。在科学领域中，数学因为其众所周知的准确而成为研究者们最广泛用于交流的语言。如果在解决这些问题时能与数学知识灵活地整合，运用适合的方法，将会拓展解决物理问题的思路，提高运用数学知识解决物理问题的能力。所谓临界问题是指当某种物理现象（或物理状态）变为另一种物理现象（或另一物理状态）的转折状态叫临界状态．可理解成“恰好出现”或“恰好不出现”．某种物理现象转化为另一种物理现象的转折状态称为临界状态。至于是“出现”还是“不出现”，需视具体问题而定。临界问题往往是和极值问题联系在一起的。 【方法点拨】 求解极值问题的方法可分为物理方法和数学方法．物理方法包括：（1）利用临界条件求极值；（2）利用问题的边界条件求极值；（3）利用矢量图求极值；（4）用图像法求极值。数学方法包括：（1）用三角函数求极值；（2）用二次方程的判别式求极值；（3）用不等式的性质求极值；（4）利用二次函数极值公式求极值。一般而言，物理方法直观、形象，对构建模型及动态分析等能力要求较高，而用数学方法求极值思路严谨，对数学能力要求较高。 多数极值问题，并不直截了当地把极值或临界值作为题设条件给出，而是隐含在题目中，要求学生在对物理概念、规律全面理解的基础上，仔细审题，深入细致地分析问题，将隐含的题设条件——极值挖掘出来，把极值问题变成解题的中间环节。 【典型例题】 类型一、利用二次函数极值公式（或配方法）求极值 二次函数2 y ax bx c =++有如下知识： （1）若0a >、2b x a =-时，y 有极小值2min 44ac b y a -=； （2）若0a <、2b x a =-时，y 有极大值2max 44ac b y a -=。 例1、A 、B 两车停在同一点，某时刻A 车以2m/s 2的加速度匀加速开出，3s 后B 车同 向以3m/s 2的加速度开出。问：B 车追上A 车之前，在启动后多长时间两车相距最远，距离是多少？ 【思路点拨】速度相等是追及问题的临界点，速度相等两车相距最远。这里利用二次函数极值公式求最大距离，分别写出两车的位移公式，相减即为所求（A 车在前，A 车的位移减B 车的位移）。 【答案】27米 【解析】设A 启动t 秒两车相距最远，

物理中的时间极值问题

物理中的时间极值问题 在实际的运动问题中，经常会涉及两地间怎样运动时间最短的问题。本文通过几例加以讨论。 例1给一间新房盖屋顶，为使屋脊上的雨滴以最短的时间淌离屋顶，设雨滴沿屋顶淌下时，可看作沿光滑的斜面由静止滑下，则所盖屋顶的倾角为（） A.30° B.45° C.60° D.75° 解析：雨滴在屋顶上的运动示意图如图所示，设倾角为θ，房宽为L，则屋顶的斜坡长为x= =.对雨滴受力分析可知，雨滴受重力和屋顶的支持力两个力作用.由牛 顿第二定律可得，a=gsinθ，由x=at2，可得t== =，显然当θ=45°时，时间最短. 例2 一平直的传送带以速率v=2m/s匀速运行，传送带把A处的工件运送到B处，A、B相距L=10m。从A处把工件轻轻放到传送带上，经过时间t=6s能传送到B处。如果提高传送带的运行速率，工件能较快地从A处传送到B处。要让工件用最短时间从A处传送到B处，说明并计算传送带的运行速率至少应多大？ 解：工件放到A端受传送带恒定的滑动摩擦力作用做匀加速运动，速度由0增大到v；再随传送带一起匀速运动到B外。 工件加速运动时间为t 1 ，位移 3/4 工件加速运动时间为t 2，位移s 2 =vt 2 其中v=at 1，t 1 ＋t 2 =t，s 1 ＋s 2 =L 解得 a=1 m/s2 提高传送带速率为v′(v′＞v)时，工件加速运动所受滑动摩擦力不变、a不变、加速时间延长，由A到B的时间缩短，工件由A到B一直处于加速运动时所用时间最短。 设最短时间为t′，则，

所以 1加速度确定，最大速度没有限制的运动问题。 例1汽车由甲地从静止出发，沿平直公路驶向乙地。汽车先以加速度做1a 匀加速运动，然后做匀速运动，最后以加速度2a 做匀减速运动，到乙地恰好停下。已知甲、乙两地相距为s ，那么要使汽车从甲地到乙地所用时间最短，汽车应做怎样的运动?并定量算出最短时间及相应的最大速度。 解析：根据v －t 图象如图所示，四边形OABC 的面积表示甲乙两地距离s ，OA 、BC 线的斜率表示汽车加速、减速的加速度a 1、a 2，OC 线段表示汽车从甲地到乙地所用时间t ，要使t 最短，s 、a 1、a 2不变，须使BC 沿t 轴负向平移，AB 沿v 轴正向平移，得到三角形OA ＇C ＇，即汽车先加速运动，后减速运动，中间无匀速运动的过程，行驶的时间最短。 设加速时间为t 1，减速时间为t 2，最大速度为v ， 由分析可知 )t t (2v s ,t a t a v 212211+= ==， 故 ) a t a t (2t a s 211111+=， 12121a )a a (s a 2t += 2 12121122 2 1211121min a a s )a a (2)a a (a s a 2a a a a t a t t t t += ++=+ =+= 所以最短时间为2 121a a s )a a (2+ 例3要求摩托车由静止开始在尽量短的时间内走完一段直道,然后驶入一段半圆形的弯道,但在弯道上行驶时车速不能太快,以免因离心作用而偏出车道.求摩托车在直道上行驶所用的最短时间.有关数据见表格.

初中物理电学极值题--最新版

初中物理知识点汇总----电学极值题 九年级物理：极值型 1.两只定值电阻，甲标有“10Ω 1A”，乙标有“15Ω 0.6A”，把它们串联在同一电路中，电路中允许通过的最大电流为 A，两端允许加的最大电压 为 V．若把它们并联接入电路，允许加的最大电压是 A, 通过的最大电流是 A。 2.两个电阻，分别标有“3V,0.5A”和”6V,0.3A”字样。将它们串联后接入路使 用，电路中电流不能超过 A，两端允许加的最大电压是 V；它们并联后接入电路使用，电路两端的允许加的最大电压是 V,电路中的最大电流是 A。 3.如右图，电源电压为18V，R 2 是0~50Ω的变阻 器，合上S后，A表示数为0.5A，V表示数为5V，求 （1）R 1 和变阻器接入电路中部分的电阻是多少。 （2）如果A表的量程是0~0.6A，V表的量程是0~15V， 为了使电表不致被损坏，滑动变阻器接入电路的阻值不 得小于多少？ 4.如右图示电源电压为9V，R 1=3Ω，滑动变阻器R 2 的变化范围为0~20Ω，如果电流表采用0~0.6A量程，电压表采用0~3V量程，为了不使电流表、电压表 损坏求滑动变阻器R 2的取值范围。 5.如图所示电路中，电源电压U＝4.5V，且保持不变，定值电阻R1＝5Ω，变阻器R2 最大阻值为20Ω，电流表量程为0～0.6A，电压表量程为0～3V。为保护电表， 变阻器接入电路的阻值范围是 6.如图所示，R 1 =5Ω，R 2 为0～20Ω的滑动变阻器电流表的量程为0～0.6A，电压表 的量程为0～3V，电源电压为4.5V。为了使两表都能安全使用， （1）对变阻器连入电路的阻值应在什么范围内变化？ （2）电流表和电压表的变化范围是多少？