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A-15利用导数研究函数的性质

一．选择题

1．函数f (x )＝(4－x )e x 的单调递减区间是 ( )． A ．(－∞，4) B ．(－∞，3) C ．(4，＋∞) D ．(3，＋∞)

2. （2015 全国 2 理 12）设函数 f '( x )是奇函数 f ( x )的导函数， f (-1) = 0，当x > 0时，

xf '( x ) - f ( x ) < 0，则使得 f ( x ) > 0成立的x 的取值范围是（）．

A. (-∞,-1) (0,1)

B. (-1,0) (1,+∞)

C. (-∞,-1) (-1,0)

D. (0,1) (1,+∞)

3．函数f (x )的定义域是R ，f (0)＝2，对任意x ∈R ，f (x )＋f ′(x )>1，则不等式e x ·f (x )>e x ＋1的解集为

A ．{x |x >0}

B ．{x |x <0}

C ．{x |x <－1或x >1}

D ．{x |x <－1或0

4．定义在R 上的函数y ＝f (x )满足f (4－x )＝f (x )，(x －2)·f ′(x )<0，若x 14，则

A ．f (x 1)

B ．f (x 1)>f (x 2)

C ．f (x 1)＝f (x 2)

D ．f (x 1)与f (x 2)的大小不确定

5．已知f (x )的定义域为R ，f (x )的导函数f ′(x )的图象如图所示，则( )

A ．f (x )在x ＝1处取得极小值

B ．f (x )在x ＝1处取得极大值

C ．f (x )是R 上的增函数

D ．f (x )是(－∞，1)上的减函数，(1，＋∞)上的增函数

6.【2015高考福建，理10】若定义在R 上的函数()f x 满足()01f =- ，其导函数()f x ' 满足()1f x k '>> ，则下列结论中一定错误的是（）

A ．11f k k ??< ???

B ．111

f k k ??> ?-?? C ．1111f k k ??< ?--?? D ． 111k f k k ??> ?--?? 二、填空题

7．已知函数f (x )＝x 2

(x －a )．若f (x )在(2,3)上单调则实数a 的范围是________；

8．f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调递增函数，满足f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(3)＝1，

当f(x)＋f(x －8)≤2时，x 的取值范围是________．

三、解答题

9．设函数f(x)＝ax3－3x2，(a∈R)，且x＝2是y＝f(x)的极值点，求函数g(x)＝e x·f(x)的单调区间．

10.(12分)已知函数g(x)＝

x·sin θ＋ln x在[1，＋∞)上为增函数，且θ∈(0，π)，f(x)＝mx－

m－1

x－ln x，

m∈R.

(1)求θ的值；

(2)若f(x)－g(x)在[1，＋∞)上为单调函数，求m的取值范围．

11．(13分)设函数f (x )＝ln x ＋a x －1在?

???0，1e 内有极值． (1)求实数a 的取值范围；

(2)若x 1∈(0,1)，x 2∈(1，＋∞)．求证：f (x 2)－f (x 1)>e ＋2－1e

.注：e 是自然对数的底数．

12.【2015高考新课标2，理21】（本题满分12分）

设函数2()mx f x e x mx =+-．

(Ⅰ)证明：()f x 在(,0)-∞单调递减，在(0,)+∞单调递增；

（Ⅱ）若对于任意12,[1,1]x x ∈-，都有12()()1f x f x e -≤-，求m 的取值范围．

1. 解析 f ′(x )＝e x ＋(4－x )·e x ＝e x (3－x )，令f ′(x )<0，由于e x >0，∴3－x <0，解得x >3.

答案 D

2. 答案A

3. 解析构造函数g (x )＝e x ·f (x )－e x ，因为g ′(x )＝e x ·f (x )＋e x ·f ′(x )－e x ＝e x [f (x )＋f ′(x )]－e x >e x －e x ＝0，所以g (x )＝e x ·f (x )－e x 为R 上的增函数，又因为g (0)＝e 0·f (0)－e 0＝1，所以原不等式转化为g (x )>g (0)，解得x >0. 答案 A

4. 解析 ∵f (4－x )＝f (x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝2对称，由(x －2)f ′(x )<0可得函数f (x )在(－∞，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减，∴当x 2>x 1>2时，f (x 1)>f (x 2)；当x 2>2>x 1时，∵x 1＋x 2>4，∴x 2>4－x 1>2，∴f (4－x 1)＝f (x 1)>f (x 2)，综上，f (x 1)>f (x 2)，故选B. 答案 B

5. 解析：由图象易知f ′(x )≥0在R 上恒成立，所以f (x )在R 上是增函数．答案：C

6. 【答案】C

【解析】由已知条件，构造函数()()g x f x kx =-，则''()()0g x f x k =->，故函数()g x 在R 上单调递增，且101k >-，故1()(0)1g g k >-，所以1()111k f k k ->---，11()11

f k k >--，所以结论中一定错误的是C ，选项D 无法判断；构造函数()()h x f x x =-，则''()()10h x f x =->，所以函数()h x 在R 上单调递增，且

10k >，所以1()(0)h h k >，即11()1f k k ->-，11()1f k k >-，选项A,B 无法判断，故选C ．

7解析由f (x )＝x 3－ax 2得f ′(x )＝3x 2－2ax ＝3x ? ????x －

2a 3. 若f (x )在(2,3)上不单调，则有????? 2a 3≠0，

2<2a 3<3，解得：3

. 答案 (－∞，3 ]∪??????92，＋∞，? ??

??3，92 8解析 2＝1＋1＝f(3)＋f(3)＝f(9)，由f(x)＋f(x －8)≤2，可得f[x(x －8)]≤f(9)，因为f(x)是定义在(0，＋∞)上的增函数，所以有x>0，x －8>0，且x(x －8)≤9，解得8

答案：(8,9]

9解 f ′(x )＝3ax 2－6x ＝3x (ax －2)．因为x ＝2是函数y ＝f (x )的极值点．