古典概型

古典概型

一、教学目标

1.知识与技能：

(1)通过试验理解基本事件的概念和特点；

(2)通过具体实例分析，抽离出古典概型的两个基本特征，并推导出古典

概型下的概率计算公式；

(3)会求一些简单的古典概率问题。

2.过程与方法：经历探究古典概型的过程，体验由特殊到一般的数学思

想方法。

3.情感与价值：用具有现实意义的实例，激发学生的学习兴趣，培养学

生勇于探索，善于发现的创新思想。

二、教学重、难点

教学重点：理解古典概型的概念，利用古典概型求解随机事件的概率。

教学难点：如何判断一个试验是否为古典概型，弄清在一个古典概型中基本事件的总数和某随机事件包含的基本事件的个数。

三、教学策略

由身边实例出发，让学生在不断的矛盾冲突中，通过“老师引导”，“小组讨论”，“自主探究”等多种方式逐渐形成发现问题，解决问题的思想。

四、教学用具

多媒体课件，硬币，骰子。

五、教学过程

（一）[温故知新]

1.频率与概率

2.互斥事件与对立事件

不能同时发生的两个事件为互斥事件；

不能同时发生且必有一个发生的两个事件为对立事件

3.概率的加法公式

（二）[情景设置]

有一本好书,两位同学都想看。甲同学提议掷硬币：正面向上甲先看，反面向上乙先看。乙同学提议掷骰子：三点以下甲先看，三点以上乙先看。这两种方法是否公平？

☆处理：通过生活实例，快速地将学生的注意力引入课堂。提出公平与否实质上是概率大小问题，切入本堂课主题。

（三）[探究新知]

一、基本事件

思考1：甲同学掷一枚质地均匀的硬币,观察可能出现哪几种结果？

乙同学掷一枚质地均匀的骰子,观察可能出现的点数有哪几种结果？ 定义：一次试验中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。

基本事件的特点：(1)任何两个基本事件是互斥的;

(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和。 例1、 从字母a 、b 、c 、d 任意取出两个不同字母的试验中，有哪些基本事件？

分析：为了得到基本事件，我们可以按照某种顺序把所有可能的结果都列出来。（树状图）

变式练习1： 一个袋中装有红、黄、蓝、绿四个大小形状完全相同的球，从中一次性摸出三个球，其中有多少个基本事件？

A={红、黄、蓝} B={红、蓝、绿} C={红、黄、绿} D={黄、蓝、绿}

二、古典概型

思考:从基本事件角度来看,上述两个试验有何共同特征？

共同的特征：(1)试验中所有可能出现的基本事件的个数有限；

(2)每个基本事件出现的可能性相等。

将具有这两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型.

☆处理：引导学生观察、分析、总结这两个试验的共同点，培养他们从具体到抽象、从特殊到一般的数学思维能力。在提问时明确思考的角度，让学生的思维直指概念的本质，避免不必要的发散。 {,}A a b ={,}B a c ={,}C a d ={,}D b c ={,}

E b d ={,}

F c d = 所求的基本事件共有6个：

设计意图：让学生通过身边实例更加形象、准确的把握古典概型的两个特点，突破如何判断一个试验是否是古典概型这一教学难点。

三、古典概型概率公式

问：在古典概型下，随机事件出现的概率是多少？

思考1、在掷一颗骰子的实验中：求P（“出现5点或6点”）=？

事件A={出现5点或6点}中有2个互斥的基本事件“出现5点”、“出现6点”。所以P（出现5点或出现6点）=P（“出现5点”）+P（出现6点）

=1/6+1/6=2/6

思考2、在掷一颗骰子的实验中：求P{出现偶数点}=？

事件B={出现偶数点}中有3个互斥的基本事件“出现2点”、“出现4点”和“出现6点”。

所以P（“出现偶数点”）=P（“出现2点”）＋P（“出现4点”）＋P（“出现6点”）=3/6。

思考3、由上你能概括古典概型的概率计算公式吗？

古典概型的概率计算公式：

例2.单选题是标准化考试中常用的题型，一般是从A、B、C、D四个选项中选择一个准确答案．如果考生掌握了考查的内容，他可以选择惟一正确的答案．假设考生不会做，他随机地选择一个答案，问他答对的概率是多少？

分析:解决这个问题的关键在于本题什么情况下可以看成古典概型。如果考生掌握了所考察的部分或全部知识,这都不满足古典概型的第2个条件—等可能

性，因此，只有在假定考生不会做,随机地选择了一个答案的情况下，才为古典概型。

解:因为考生不会做,所以这是一个古典概型。

基本事件共4个:选A,选B,选C,选D,正确答案只有1个。

由古典概型概率计算公式得P("答对")=

题后小结：

求古典概型概率的步骤：

（1）判断试验是否为古典概型；（2）列出所有基本事件，求n；

（3）列出满足事件A的基本事件，求m；（4）代入公式求概率.

（四）巩固练习：

先后抛掷两颗骰子，求：（1）点数之和为6的概率；（2）出现两个4点的概率。（五）[课堂小结]

1、基本事件的两个特征：

2、古典概型的两个特征:

3、古典概型计算任何事件A的概率计算公式:

（六）[板书设计]

古典概型

1.基本事件的概念：

2.基本事件的特征：

3.古典概型的特征：

4.古典概型的计算公式：

2021届高考数学一轮基础反馈训练：第九章第2讲 古典概型

基础知识反馈卡·9.2 时间：20分钟 分数：60分 一、选择题(每小题5分，共30分) 1．在40根纤维中，有12根的长度超过30 mm ，从中任取一根，取到长度超过30 mm 的纤维的概率为( ) A.3040 B.1240 C.1230 D ．以上都不对 2．(2018年湖南长沙模拟)某中学要从师生推荐的参加讲课比赛的3名男教师和2名女教师中，任选2人参加讲课比赛，则选取的2人恰为一男一女的概率为( ) A.25 B.35 C.13 D.23 3．同时抛掷3枚质地均匀的硬币，出现均为正面的概率是( ) A.18 B.38 C.78 D.58 4．从甲、乙、丙三人中任选两名代表，甲被选中的概率为( ) A.12 B.13 C.23 D ．1 5．若有2位老师，2位学生站成一排合影，则每位老师都不站在两端的概率是( ) A.112 B.16 C.14 D.12 6．(2019年云南部分学校联考)袋中共有7个球，其中3个红球、2个白球、2个黑球．若从袋中任取3个球，则所取3个球中至多有1个红球的概率是( ) A.435 B.3135 C.1835 D.2235 二、填空题(每小题5分，共15分) 7．有一个质地均匀的正四面体木块，4个面分别标有数字1,2,3,4.将此木块在水平桌面上抛两次，则两次看不到的数字都大于2的概率为________． 8．(2019年广东广州模拟)在一个袋内装有同样大小、质地的五个球，编号分别为1、2、3、4、5，若从袋中任意取两个，则编号的和是奇数的概率为________(结果用最简分数表示)． 9．(2016年上海)某食堂规定，每份午餐可以在四种水果中任选两种，则甲、乙两同学各自所选的两种水果相同的概率为________． 三、解答题(共15分) 10．(2018年河北三市联考)袋子中装有大小相同的5个小球，分别有2个红球、3个白球．现从中随机抽取2个小球，求这2个小球中既有红球也有白球的概率．

《古典概型》教学设计教材分析

《古典概型》教学设计 教材分析 古典概型是概率中最基本、最常见而又最重要的类型之一．这节内容是在一般随机事件的概率的基础上，进一步研究等可能性事件的概率．教材首先通过一些熟悉的例子，归纳出古典概型的特征，进而给出古典概型的定义，这里渗透了从特殊到一般的思想．这节课的重点内容是古典概型的概念，难点是利用古典概型的概念求古典概率． 教学目标 1. 通过实例对古典概型概念的归纳和总结，使学生体验知识产生和形成的过程，培养学生的抽象概括能力． 2. 理解古典概型的概念，能运用所学概念求一些简单的古典概率，并通过实例归纳和总结出概率的一般加法公式． 3. 通过对古典概型的学习，使学生进一步体会随机事件概率的实际意义． 任务分析 这节内容在学生已理解随机事件概率的基础上，由具体的例子抽象出古典概型的概念．在这里，一个试验是否为古典概型是难点，故要通过具体例子总结古典概型的两个共同特征，特别要注意反例的列举． 教学设计 一、问题情境

1. 掷一颗骰子，观察出现的点数．这个试验的基本事件空间Ω＝｛1，2，3，4，5，6｝．它有6个基本事件．由于骰子的构造是均匀的，因而出现这６种结果的机会是均等的，均为 ． 2. 一先一后掷两枚硬币，观察正反面出现的情况．这个试验的基本事件空间Ω＝｛（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）｝．它有4个基本事件．因为每一枚硬币“出现正面”与“出现反面”的机会是均等的，所以可以近似地认为出现这4种结果的机会是均等 的，均为． 3. 在适宜的条件下“种下一粒种子观察它是否发芽”．这个试验的基本事件空间为Ω＝｛发芽，不发芽｝，而这两种结果出现的机会一般是不均等的． 二、建立模型 1. 讨论以上三个问题的特征 在这里，教师可引导学生从试验可能出现的结果上以及每个结果出现的可能性上讨论．

古典概型学案(二)

古典概型（二） 周次编号时间班级主备人审核人 一、目标引领 1.熟练掌握古典概型的两个特点 2.能用古典概型的概率公式求解概率问题 二、问题与例题 1.知识复习 （1）基本事件 （2）古典概型 2.例题讲解 例3 同时掷两个骰子，计算： （1）一共有多少种不同的结果？ （2）其中向上的点数之和是5的结果又多少种？ （3）向上的点数之和是5的概率是多少？ 总结：（1）确定基本事件个数，个数比较少时可以一一列举； （2）如右图所示的图像可以直观的解决该问题，在解题时注意应用 变式训练：试用上图解决以下问题： 同时掷两个骰子，计算： （1）两数之和是3的倍数的概率是多少？ （2）两数之和不低于10的概率是多少？ （3）两书之和是质数的概率是多少？ （4）点数之和是多少时概率最大？最大概率是多少？

例4假设银行卡的密码由4个数字组成，每个数字可以是0,1,2，…，9十个数字中的任意一个。假设一个人完全忘了自己的储蓄卡密码，问他到自动取款机上随即试一次密码就能取到钱的概率是多少？ 总结：求古典概型的步骤： （1） 判断是否为古典概型 （2） 列举所有的基本事件的总结果数n （3） 列举事件A 所包含的事件数m （4） 计算n m (A) P 变式训练：某口袋内装有大小相同的5只球，其中3只白球，2只黑球，从中一次摸出2只球. （1）共有多少个基本事件？ （2）摸出的2只球都是白球的概率是多少？ 例5某种饮料每箱装有6听，如果其中有2听不合格，问质检人员从中随机抽出2听，检测出不合格产品的概率是多大？

总结：（1）注意区别互斥事件和对立事件； （3）求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所有事件转化为彼此互斥事件的和;二是先去求对立事件的概率，进而再求所有事件的概率 变式训练：一枚硬币练掷三次，求出现正面向上的概率 三、目标检测 1、一枚硬币连掷两次，恰好出现一次正面的概率是（） A 0.5 B0.25 C 0.75 D 0 2、从分别写有ABCDE的5张卡片中任取两张，两字母恰好相连的概率（） A 0.2 B 0.4 C 0.3 D 0.7 3、甲乙两人做出拳游戏(锤子,剪刀,布),求: (1)平局的概率是_________; (2)甲赢的概率是_______. 4从标有1,2，3，…，7的七个大小相同小球中抽取一个球，记下它上面的数字，放回后再取出一个小球，记下它上面的数字，然后把两个小球上的数字相加，求取出两球上的数字之和大于11或者能被4整除的概率 四、课后反思

概率论文---古典概型浅析

浅析古典概型 1018202班于春旭1101800214 经过一学期的概率论与数理统计的学习，从最开始的随机事件与概率到多维随机变量，再到数理统计，参数估计。对于概率的一些基本知识已经有所掌握。那么回过头来，让我们去分析一下概率论中最为基础的也是最为贴近平时生活的一种概型，古典概型。 所谓古典概型是一种概率模型。古典概率讨论的对象局限于随机试验所有可能结果为有限个等可能的情形，即基本空间由有限个元素或基本事件组成，其个数记为n，每个基本事件发生的可能性是相同的。若事件A包含m个基本事件，则定义事件A发生的概率为p（A）=m/n，也就是事件A发生的概率等于事件A所包含的基本事件个数除以基本空间的基本事件的总个数，这是P.-S.拉普拉斯的古典概率定义，或称之为概率的古典定义。历史上古典概率是由研究诸如掷骰子一类赌博游戏中的问题引起的。计算古典概率，可以用穷举法列出所有基本事件，再数清一个事件所含的基本事件个数相除，即借助组合计算可以简化计算过程。 例如：掷一次硬币的实验（质地均匀的硬币），只可能出现正面或反面，由于硬币的对称性，总认为出现正面或反面的可能性是相同的；如掷一个质地均匀骰子的实验，可能出现的六个点数每个都是等可能的；又如对有限件外形相同的产品进行抽样检验，也属于这个模型。是概率论中最直观和最简单的模型；概率的许多运算规则，也首先是在这种模型下得到的。一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型。 相较于其他概型，古典概型有以下特点：1、实验的样本空间只包括有限个元素；2、实验中每个基本事件发生的可能性相同。 求古典概型的概率的基本步骤：（1）算出所有基本事件的个数n；（2）求出事件A包含的所有基本事件数m；（3）代入公式P(A)=m/n，求出P（A）。 古典概率模型是在封闭系统内的模型，一旦系统内的某个事件的概率在其他概率确定前被确定，其他事件概率也会跟着发生改变。概率模型会由古典概型转变为几何概型。 除开以上的基础内容外，关于古典概型，可以做一些的简单案例解析，以便与我们更好地理解。 众所周知，古典概型起源于赌博，所以有许多经典问题都十分生活化。而且有些问题的解题思路灵活，方法十分直观简单，这也正是古典概型的魅力所在。以下是几个例子：1．分赌本问题 最初吸引数学家研究赌博问题的就是分赌本问题：甲、乙两人赌技相同，各出赌注500元。约定：谁先胜三局，则谁拿走全部1000元。现在赌了三局，甲两胜一负，因故要中止赌博，问这1000元要如何分才公平？ 这个问题在当时持续了很长一段时间没有得到解决，且众说纷纭。有人认为按已胜的局数分，即甲拿2/3，乙拿1/3，但仔细分析，这样分是不合理的，因为设想再继续赌下去，结果无非是以下四种：甲甲，甲乙，乙甲，乙乙。把已赌过的三局与此对照，可以看出，对前三个结果，都是甲先胜三局，因而得1000元，只在最后一个结果中乙才得1000元，在赌技相同的情况下，这四个结果出现的可能性相等，即甲、乙最终获胜的可能性之比为3:1（或甲最终获胜的概率为3/4，乙最终获胜的概率为1/4），所以全部赌本按这个比例来分，即甲分750元，乙分250元才算公平合理。 这个例子告诉我们，看问题不能只看表面，而应深入地分析，才能揭开问题的本质。

古典概型的应用

古典概型在现实生活中的应用 摘要：概率论是从数量侧面研究随机现象规律性的数学学科，它的理论和方法几乎渗透到自然科学的各个领域。古典概型在概率论中占有相当重要的地位，它的内容比较简单，应用却很广泛。本文深入理解古典概型中的一些基本概念和基本问题，概括了它的解析方法，最后列举了几种它在现实生活中的应用。掌握古典概型中的基本规律，有助于发展思维的灵活性和创造性，提高分析问题和解决问题的能力。 关键词：古典概型；概率；应用；生活 Abstract: The probability theory is a branch of mathematics which studies the law of random phenomenon from the aspect of quantity, whose theories and methods almost seep into each realm of natural science. The classical probability models play a very important role in the whole probability theory. Although its contents are not quite sophisticated, they are used extensively. In this paper, we probe the basic concepts and basic problems of classical probability models deeply, and summarize the analytical methods. Finally, we list some application examples in the real life. Mastering the basic laws is helpful to develop the flexibility and creativity of thinking and improve the capability of analyzing. Key words: classical probability models; probability; apply; life 1 引言 古典概型，也称等可能概型，是概率论发展初期的主要研究对象，这说明了它是概率论的重要组成部分，也体现了它在实际生活中的客观价值。古典概型概括了很多实际问题，有着广泛的应用。在日常生活中，我们会经常碰到一些事情不能决定，有些道理不好解释，这就需要专业知识来帮助我们。所以在平时我们要学会把一些问题归类，建立相关的模型去解决或解释它们，以起到事半功倍的效果。 2 古典概型的概念及特点

57讲随机事件的概率、古典概型、条件概率分析

第5讲随机事件的概率 一、复习目标： （1）事件的分类与关系；（2）概率与频率的关系与区别。 二、知识梳理与应用举例 1、事件的分类：①随机事件；②必然事件；③不可能事件 在一次试验中，一定会发生的事件称为必然事件，一定不会发生的事件称为___________，可能发生也可能不发生的事件称为__________，其中__________和__________统称为确定事件． 例1、下列事件：①连续掷一枚硬币，两次都出现正面朝上；②异性电荷，相互吸引；③某人开车通过10个路口都将遇到绿灯；④若0 a为实数，则。 a 是随机事件的是____________. 练习1．给出下列四个命题： ①“当x∈R时，sin x＋cos x≤1”是必然事件；②“当x∈R时，sin x＋cos x≤1”是不可能事件；③“当x∈R时，sin x＋cos x<2”是随机事件；④“当x∈R时，sin x＋cos x<2”是必然事件；其中正确的命题个数是() A．0B．1C．2D．3 2、频率与概率的关系: 频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，但是频率是随机的，而_____是一个确定的值，通常人们用概率来反映随机事件发生的可能性的大小．有时也用____来作为随机事件概率的估计值． m 两者联系：在相同的条件下，大量重复进行同一试验，事件A发生的频率 n 总在某个常数附近摆动，这时就把这个常数叫做事件A的概率，记作P(A). ①概率的取值范围是____________； ②必然事件的概率P(A)=________；③不可能事件的概率P(A)=______. （2）区别：①事件的频率是_________的；②事件的概率是________的。 例2：某篮球运动员在同一条件下进行投篮练习，结果如下表所示：

北师大版(2019)数学必修第一册：7.2.2 古典概型的应用 学案

古典概型的应用 【第一学时】 【学习目标】 1．理解从不同的角度考虑可以建立不同的概率模型． 2．能够建立概率模型来解决简单的实际问题． 【学习重难点】 正确理解掌握古典概型及其概率公式，古典概型中计算比较复杂的背景问题． 【学习过程】 一、基础知识·梳理 建立不同的古典概型： 一般地，在解决实际问题中的古典概型时，对同一个古典概型，把什么看作一个________(即一次试验的结果)是人为规定的，也就是从不同的______去考虑，只要满足以下两点： ①试验中所有可能出现的基本事件只有______个，每次试验只出现其中的一个结果； ①每个试验结果出现的可能性______． 就可以将问题转化为不同的________来解决，所得可能结果越____，那么问题的解决就变得越______． 【做一做1】从甲、乙、丙三名学生中选出两名班委，其中甲被选中的概率为()． A．1 2B． 1 3C． 2 3D．1 【做一做2】在两个袋中，分别装有写着0,1,2,3,4,5六个数字的6张卡片，今从每个袋中各任取一张卡片，求两数之和等于7的概率，对本题给出的以下两种不同的解法，你认为哪种解法正确？为什么？ 解法一：因两数之和共有0,1,2,3，…，9,10十一种不同的结果，所以和为7的概率P＝1 11. 解法二：因从每个袋中任取一张卡片，可组成6×6＝36(种)有序卡片对，其中和为7的卡 片对为(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)四种，所以P＝4 36＝ 1 9.

二、合作探究 题型一：概率模型的构建 【例题1】任取一个正整数，求该数的平方的末位数字是1的概率． 反思：同一个古典概型问题由于考虑的角度不同，其解法繁简差别较大，因此，在选取样本空间时，务必抓住欲求事件的本质，而把其他无关的因素抛开，以简化求解过程．题型二：构建不同的概率模型解决问题 【例题2】袋中装有除颜色外其他均相同的6个球，其中4个白球、2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率： （1）A：取出的两球都是白球； （2）B：取出的两球一个是白球，另一个是红球． 分析：求出基本事件的总数，及A，B包含的基本事件的个数，然后套用公式． 反思：用列举法把古典概型试验的基本事件一一列举出来，然后求出其中的m、n，再利 用公式P（A）＝m n求出事件A的概率，这是一个形象、直观的好方法，但列举时必须按照某 种顺序，以保证做到不重复、不遗漏． 题型三：易错辨析 【例题3】有1号、2号、3号三个信箱和A，B，C，D四封信，若4封信可以任意投入信箱，投完为止，其中A信恰好投入1号或2号信箱的概率是多少？

2021高三统考北师大版数学一轮：第11章第2讲 古典概型

课时作业 1.(2019·新疆乌鲁木齐第三次质检)从1,2,3,4,5,6中任意取出两个不同的数，其和为7的概率为() A.2 15 B. 1 5 C.4 15 D. 1 3 答案 B 解析从1,2,3,4,5,6中任意取出两个不同的数，共有15种不同的取法，它们分别是{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15种．从1,2,3,4,5,6中任意取出两个不同的数，它们的和为7，则不同的取法为{1,6}，{2,5}，{3,4}，共3种，故所求的概率为1 5 ，故选B. 2.(2019·安徽江淮十校最后一卷)《易经》是我国古代预测未来的著作．其中有同时抛掷三枚古钱币观察正反面来预测未知，则抛掷一次时出现两枚正面一枚反面的概率为() A.1 8 B. 1 4 C.3 8 D. 1 2 答案 C 解析抛掷三枚古钱币出现的基本事件共有{正正正}，{正正反}，{正反正}，{反正正}，{正反反}，{反正反}，{反反正}，{反反反}，共8种，其中出现两正一反的基本事件共3种，故概率为3 8.故选C. 3．(2019·山东潍坊三模)五行学说是华夏民族创造的哲学思想，是华夏文明重要组成部分．古人认为，天下万物皆由金、木、水、火、土五类元素组成．如图，分别是金、木、水、火、土彼此之间存在的相生相克的关系．若从5类元素中任选2类元素，则2类元素相生的概率为()

A.1 2 B. 1 3 C. 1 4 D. 1 5 答案 A 解析从金、木、水、火、土中任取2类，包含的基本事件为金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土，共10种，其中2类元素相生的基本事件包含木火、火土、水木、金水、土金，共5种，所以2类元素相生 的概率为5 10＝1 2 ，故选A. 4.(2019·湖南六校联考)某店主为装饰店面打算做一个两色灯牌，从黄、白、蓝、红4种颜色中任意挑选2种颜色，则所选颜色中含有白色的概率是() A.2 3 B. 1 2 C.1 4 D. 1 6 答案 B 解析从黄、白、蓝、红4种颜色中任意选2种颜色的所有基本事件有{黄白}，{黄蓝}，{黄红}，{白蓝}，{白红}，{蓝红}，共6种．其中包含白色的基本事件有 3种，所以选中的颜色中含有白色的概率为1 2 ，故选B. 5.(2019·湖南雅礼中学模拟二)甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人，则甲、乙将贺年卡都送给丁的概率为() A.1 2 B. 1 3 C.1 4 D. 1 5 答案 C 解析甲、乙两人各写一张贺年卡随意送给丙、丁两人中的一人共有4种情况，包含(甲送给丙、乙送给丁)、(甲送给丁，乙送给丙)、(甲、乙都送给丙)、(甲、乙都送给丁)．其中甲、乙将贺年卡都送给丁的情况只有一种，其概率是1 4 ，故选

古典概型的特点及应用

古典概型的特点及应用 古典概型的两大特点：1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2）每个基本事件出现的可能性相等； 古典概型的概率计算公式：P （A ）=总的基本事件个数 包含的基本事件个数A ； 一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件,通常此试验中的某一事件A 由几个基本事件组成.如果一次试验中可能出现的结果有n 个,即此试验由n 个基本事件组成,且所有结果出现的可能性都相等,那么每一基本事件的概率都是 n 1.若某个事件A 包含的结果有m 个,那么事件A 的概率P （A ）=n m . 例1.一栋楼房有六个单元，李明和王强住在此楼内，试求他们住在同一单元的概率． 解：李明住在这栋楼的情况也有6种，王强住在这栋楼的情况也有6种．所以他们同住在这栋楼的情况共6×6=36(种）．由于每种情况的出现的可能性相等．设事件A 表示“李明和王强住在此楼的同一单元内”，而事件A 所含的结果有6种．所以P(A)=61366=.所以李明和王强住在此楼的同一单元的概率为6 1． 点评：王强和李明住哪个单元的可能性是一样的，王强住一单元，李明可能住一至六单元的任何一单元，有6种情况；王强住二单元，李明可能住一至六单元任何一单元，依此类推，共有36种情况，即36个基本事件，并且每个基本事件的发生都是等可能的，属古典概型. 例2.甲，乙两人做出拳游戏（锤子，剪刀，布）． 求：(1)平局的概率；(2)甲赢的概率；(3)乙赢的概率． 解：甲有3种不同的出拳方法，每一种出法是等可能的，乙同样有等可能的3种不同的出拳方法.一次出拳游戏共有3×3=9种不同的结果，可以认为这9种结果是等可能的．所以该游戏（试验）是古典概型，它的基本事件总数为9.平局的含义是两人出法相同，例如都出了锤．甲赢的含义是甲出锤且乙出剪，甲出剪且乙出布，甲出布且乙出锤这3种情况．乙赢的含义是乙出锤且甲出剪，乙出剪且甲出布，乙出布且甲出锤这3种情况．设平局为事件 A ，甲赢为事件 B ，乙赢为事件C.容易得到图. (1)平局含3个基本事件(图中的△），P(A)= 3193=．（2）甲赢含3个基本事件（图中的⊙),P(B) = 3193=．(3)乙赢含3个基本事件（图中的※），P(C)=3 193=. 点评：用列举法把古典概型的基本事件一一列举出来，然后求出其中指定事件包含的基本事件数，再用公式求出指定事件的概率，注意列举时要不重不漏． 例3．从含有两件正品a 1，a 2和一件次品b 1的三件产品中，每次任取一件，每次取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率。 解析：每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的基本事件有6个，即（a 1，a 2）和，（a 1，b 2），（a 2，a 1），（a 2，b 1），（b 1，a 1），（b 2，a 2）。其中小括号内左

高中数学_古典概型教学设计学情分析教材分析课后反思

《古典概型》教学设计 (一)教学内容 本节课选自《普通高中课程标准实验教科书》人教A版必修3第三章第二节《古典概型》，教学安排是2课时，本节课是第一课时。 (二)教学目标 1. 知识与技能： (1) 通过试验理解基本事件的概念和特点； (2) 通过具体实例分析，抽离出古典概型的两个基本特征，并推导出古典概型下 的概率计算公式； (3) 会求一些简单的古典概率问题。 2. 过程与方法：经历探究古典概型的过程，体验由特殊到一般的数学思想方法。 3. 情感与价值：用具有现实意义的实例，激发学生的学习兴趣，培养学生勇于探索，善于发现的创新思想。 (三)教学重难点 重点：理解古典概型的概念，利用古典概型求解随机事件的概率。 难点：如何判断一个试验是否为古典概型，弄清在一个古典概型中基本事件的总数和某随机事件包含的基本事件的个数。 (四) 教学用具 多媒体课件，硬币，骰子。 (五)教学过程 [复习回顾] (1)首先回顾概率加法公式：当事件A与B互斥或对立时的概率公式 （2）回顾前几节课对概率求取的方法：大量重复试验 (2)由随机试验方法的不足之处引发矛盾冲突：我们需要寻求另外一种更为简单易行的方式，提出建立概率模型的必要性。 [探究新知] 一、基本事件 思考：试验1:掷一枚质地均匀的硬币,观察可能出现哪几种结果？ 试验2:掷一枚质地均匀的骰子,观察可能出现的点数有哪几种结果？ 定义：一次试验中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。

☆处理：围绕对两个试验的分析，提出基本事件的概念。类比生物学中对细胞的研究，过渡到研究基本事件对建立概率模型的必要性。 思考：掷一枚质地均匀的骰子 (1)在一次试验中，会同时出现“1点”和“2点”这两个基本事件吗？ (2)随机事件“出现点数小于3”与“出现点数大于3”包含哪几个基本事件？ 掷一枚质地均匀的硬币 (1)在一次试验中，会同时出现“正面向上”和“反面向上”这两个基本事件吗？ (2)“必然事件”包含哪几个基本事件？ 基本事件的特点：(1)任何两个基本事件是互斥的; (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和。 ☆处理：引导学生从个性中寻找共性，提升学生发现、归纳、总结的能力。设计随机事件“出现点数小于3”与“出现点数大于3”与课堂引入相呼应，也为后面随机事件概率的求取打下伏笔。 二、古典概型 思考:从基本事件角度来看,上述两个试验有何共同特征？ 古典概型的特征：(1)试验中所有可能出现的基本事件的个数有限； (2)每个基本事件出现的可能性相等。 ☆处理：引导学生观察、分析、总结这两个试验的共同点，培养他们从具体到抽象、从特殊到一般的数学思维能力。在提问时明确思考的角度，让学生的思维直指概念的本质，避免不必要的发散。 师生互动：由学生和老师各自举出一些生活实例并分析是否具备古典概型的两个特征。 (1)向一个圆面内随机地投射一个点,如果该点落在圆内任意一点都是等可能的,你认为这一试验能用古典概型来描述吗？为什么？ 三、求解古典概型 思考:古典概型下,每个基本事件出现的概率是多少?随机事件出现的概率又如何计算？ (1) 基本事件的概率 试验1:掷硬币

2021届高考数学一轮复习训练第2讲古典概型

第2讲 古典概型 1．(2018年新课标Ⅱ)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30＝7＋23.在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是( ) A.112 B.114 C.115 D.118 2．(2019年广东中山模拟)袋子里有3个白球，4个黑球，5个红球，某人一次抽取3个球，若每个球被抽到的机会均等，则该人抽到的球颜色互异的概率是( ) A.14 B.13 C.27 D.311 3．(2014年陕西)如图X9-2-1，从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为( ) 图X9-2-1 A.15 B.25 C.35 D.45 4．某商场进行购物摸奖活动，规则是：在一个封闭的纸箱中装有标号分别为1,2,3,4,5的五个小球，每次摸奖需要同时取出两个球，每位顾客最多有两次摸奖机会，并规定：若第一次取出的两球号码连号，则中奖，摸奖结束；若第一次未中奖，则将这两个小球放回后进行第二次摸球．若与第一次取出的两个小球号码相同，则为中奖．按照这样的规则摸奖，中奖的概率为( ) A.45 B.1925 C.2350 D.41100 5．在平面直角坐标系中，从下列五个点：A (0,0)，B (2,0)，C (1,1)，D (0,2)，E (2,2)中任取三个，这三点能构成三角形的概率是( ) A.25 B.35 C.45 D ．1 6．齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中各随机选一匹进行一场比赛，则田忌马获胜的概率为( ) A.13 B.14 C.15 D.16 7．(多选)甲、乙、丙三人在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门．若同学甲必选物理，则下列说法正确的是( ) A ．甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件 B ．甲的不同的选法种数为15 C ．已知乙同学选了物理，乙同学选技术的概率是16 D ．乙、丙两名同学都选物理的概率是949 8．(多选)设集合M ＝{2,3,4}，N ＝{1,2,3,4}，分别从集合M 和N 中随机取一个元素m 与n .记“点P (m ，n )落在直线x ＋y ＝k 上”为事件A k (3≤k ≤8，k ∈N *)，若事件A k 的概率最大，

浅析我的教学反思与课堂改进

浅析我的教学反思与课堂改进 【摘要】新课程把教师的教学反思作为教学改革的一项重要措施提出来，这是一个很值得关注和研究的问题，本文就笔者自身教学实践对教学反思的概念、意义，及内容与改进方法进行了探讨，笔者认为，数学教学反思是指个体对自身数学教学观念与行为的认识、监控和调节。 【关键词】高中数学；教学反思；改进措施 对一名高中数学教师来说不仅要上好每一堂课，还要对教材进行加工，对教学过程以及教学的结果进行反思，因为数学教育不仅仅关注学生的学习结果，更关注结果是如何发生，发展的。 一、教学反思的概念 教学反思是指“教师以自己的教学活动为思考对象，对自己所做出的行为、决策以及由此产生的结果进行审视和分析的过程，”现代教育最重要的特征就是张扬人的主体性，提倡个性的发展，充分发挥每个人的主观能动性及特长，以期取得最大的效益和最高的发展，因此社会、学校对教师提出了更高的要求，这种要求不仅体现在对教师专业知识的追求上，更重要的体现 在对教师的综合素质，教学效益的要求上。 二、教学反思的意义 教学反思是一种非常有益的思维活动，它一方面是对自己在教学中的正确行为予以肯定，不断地积累经验；另一方面又是自己同自己“过不去”挑自己的刺，找出在教学实践中与教学新理念不相吻合的甚至和教学新理念相违背的做法，进行自我批评，并且予以改正，通过不断完善自己的教学行为使自己以后的教学方法更加完美。 三、教学反思内容与改进 （一）教学大纲吃不透，教学目标不明确 我从事高中数学教学工作十多年，教材做了改版，有些教学内容要求也有所改动，自己并未及时熟读大纲，导致无效教学甚至负效教学，比如有次开课讲“古典概型的概率”，是在文科班，现在文科只需熟练地运用列举法计数就可以了，但是做练习时出现数据稍大一些题目，自己一时图快就会用排列组合的知识，讲过后自己就感觉效果不好，下课后我们教研组长就对我说了这幺几点：1.本节知识点的要求就是会用列举法计数，大纲吃不透；2.讲排列组合计数冲

古典概型

古典概型教学设计 一、教材分析 1、教材地位、作用 本节课的内容选自《普通高中课程标准实验教科书数学必修3（A）版》第三章中的第3.2.1节古典概型。它安排在随机事件的概率之后，几何概型之前，学生还未学习排列组合的情况下教学的。古典概型是一种特殊的数学模型，也是一种最基本的概率模型，在概率论中占有相当重要的地位,是学习概率必不可少的内容，同时有利于理解概率的概念，有利于计算一些事件的概率，能解释生活中的一些问题。因此本节课的教学重点是理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率。 2、学情分析 学生基础一般，但师生之间，学生之间情感融洽，上课互动氛围良好。他们具备一定的观察，类比，分析，归纳能力，但对知识的理解和方法的掌握在一些细节上不完备，反映在解题中就是思维不慎密，过程不完整。 二、教学目标 1、知识与技能目标 ⑴理解等可能事件的概念及概率计算公式；⑵能够准确计算等可能事件的概率。 2、过程与方法 根据本节课的知识特点和学生的认知水平，教学中采用探究式和启发式教学法，通过生活中常见的实际问题引入课题，层层设问，经过思考交流、概括归纳，得到等可能性事件的概念及其概率公式，使学生对问题的理解从感性认识上升到理性认识。 3、情感态度与价值观 概率问题与实际生活联系紧密，学生通过概率知识的学习，可以更好的理解随机现象的本质，掌握随机现象的规律，科学地分析、解释生活中的一些现象，初步形成实事求是的科学态度和锲而不舍的求学精神。 三、重点、难点 重点：理解古典概型的概念及利用古典概型求解随机事件的概率。

难点：如何判断一个试验是否是古典概型，分清在一个古典概型中某随机事件包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数。 四、教学过程 采用如下流程： 1、创设情境提出问题 师：在考试中遇到不会做的选择题同学们会怎么办？在你不会做的前提下，蒙对单选题容易还是蒙对不定项选择题容易？这是为什么？ 【设计意图】通过这个同学们经常会遇到的问题，引导学生合作探索新知识，符合“学生为主体，老师为主导”的现代教育观点，也符合学生的认知规律。随着新问题的提出，激发了学生的求知欲望，使课堂的有效思维增加。 2、抽象思维形成概念 师：考察试验一“抛掷一枚质地均匀的骰子”，有几种不同的结果，结果分别有哪些？ 生：在试验中随机事件有六个，即“1点”、“2点”、“3点”、“4点”、“5点”和“6点”。 师：我们把上述试验中的随机事件称为基本事件，它是试验的每一个可能结果。 师：考察试验二“抛掷一枚质地均匀的硬币”有哪些基本事件？ 生：在试验中基本事件有两个，即“正面朝上”和“反面朝上”。 师：那基本事件有什么特点呢？ 问题：（1）在“抛掷一枚质地均匀的骰子”试验中，会同时出现“1点”和“2点”这两个基本事件吗？ （2）事件“出现偶数点”包含了哪几个基本事件？ 由如上问题，分别得到基本事件如下的两个特点： （1）任何两个基本事件是互斥的；

关于古典概型开题报告

学科代码：070101 学号：10 贵州师范大学求是学院本科毕业论文（设 计） 开题报告 关于古典概型的研讨 学生姓名： 指导教师： 专业：数学与应用数学 年级：2010级 2013年10 月11 日

求是学院本科毕业论文（设计）开题报告 学院：专业：数学与应用数学年级：2010级课题名称 英文The Discussion of Classical Probability Type Problem 中文关于古典概型的研讨 学生姓名学号 指导教 师姓名 职称 学位 教授 开题报告内容： 1.Purpose/研究目的 古典概型在概率的学习中的占据着重要地位,通过对古典概型的讨论可以有助于直观的理解概率论中的许多基本概念。 2.Contents/研究内容 通过解析古典概型的概念以及古典概型的特点，这篇文章主要从三个方面讨论古典概型的相关问题：学习古典概型的的意义、古典概型的解析方法、古典概型的运用。 3.Significance/研究意义 研究现状：在古典概型中，一般都用排列组合公式来解决概率问题，这样给学生的感觉是概率的计算难做、难懂。再者，概率知识贴近生活，理应更容易学习才是。可是，学生在学习概率时往往出现很多辨析的难点。 研究价值：通过准确理解古典概型的多方面知识，我们由浅入深学习古典概型，养成学习古典概型的兴趣，并且在日常生活中得到有效的运用。 4.Approach and methodology/研究方法 文献法、个案研究法、经验总结法、问卷调查法 5.Work plan/工作计划 第一周：制作问卷调查表并发放（以电子邮件形式），查找相关文献，写出自己的个人相关经验； 第二周：整理所得资料，据资料写出论文三级提纲； 第三、四周：写论文。 第五周：论文审核、修改、定稿。

2019版高考数学一轮复习题组训练第12章 第2讲古典概型与几何概型(含最新模拟题) Word版含答案

第二讲古典概型与几何概型 题组求古典概型的概率 .[天津分][文]有支彩笔(除颜色外无差别),颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这支彩笔中任取支不同颜色的彩笔,则取出的支彩笔中含有红色彩笔的概率为() . . . . .[全国卷Ⅰ分][文]为美化环境,从红、黄、白、紫种颜色的花中任选种花种在一个花坛中,余下的种花种在另一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是() . . . . .[全国卷Ⅲ分][文]小敏打开计算机时,忘记了开机密码的前两位,只记得第一位是中的一个字母,第二位是中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是() . . . . .[北京分][文]从甲、乙等名学生中随机选出人,则甲被选中的概率为() .... .[ 新课标全国Ⅰ分][文]如果个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这个数为一组勾股数.从中任取个不同的数,则这个数构成一组勾股数的概率为() .... .[湖北分][文]随机掷两枚质地均匀的骰子,它们向上的点数之和不超过的概率记为,点数之和大于的概率记为,点数之和为偶数的概率记为,则() <<<<<<<< .[四川分][文]从中任取两个不同的数字,分别记为,则为整数的概率是. .[新课标全国Ⅱ分][文]甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝种颜色的运动服中选择种,则他们选择相同颜色运动服的概率为. .[山东分][文]某旅游爱好者计划从个亚洲国家和个欧洲国家中选择个国家去旅游. (Ⅰ)若从这个国家中任选个,求这个国家都是亚洲国家的概率; (Ⅱ)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选个,求这个国家包括但不包括的概率.

.[山东分][文]某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次,每次转动后,待转盘停止转动时,记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为.奖励规则如下: 图 ①若≤,则奖励玩具一个;②若≥,则奖励水杯一个;③其余情况奖励饮料一瓶. 假设转盘质地均匀,四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动. (Ⅰ)求小亮获得玩具的概率; (Ⅱ)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小,并说明理由. 题组几何概型的概率计算 .[全国卷Ⅱ分][文]某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待秒才出现绿灯的概率为() . . . . .[ 山东分][文]在区间[]上随机地取一个数,则事件“≤()≤”发生的概率为() . . . . .[湖北分][文]在区间[]上随机取两个数,记为事件“≤”的概率为事件“≤”的概率,则() <<<<.<<<< .[江苏分][文]记函数()的定义域为.在区间[]上随机取一个数,则∈的概率是. .[重庆分][文]在区间[]上随机地选择一个数,则方程有两个负根的概率为. .[福建分][文]如图,在边长为的正方形中随机撒粒豆子,有粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为.

浅议古典概型中的抽样问题

浅议古典概型中的抽样问题 靖江市第一中学 侯琰 摘 要：古典概型是最基本的一种概率模型。在概率这一章中，古典概型占有很重要的地位。古典概型与实际问题联系紧密，案例千变万化，而解决古典概型最基本的思想是列举。本文针对古典概型中易错的放回与不放回，有序与无序问题进行探讨，从而归纳总结出解决古典概型中抽样问题的思想方法和解题技巧。 关键词：古典概型 抽样方法 列举 放回 不放回 有序 无序 苏教版数学3的古典概型，是在随机事件的概率之后，几何概型之前的情况下教学的。古典概型起着承前启后的作用，所以在概率论中占有相当重要的地位。 在“随机事件的概率”这一节中，已经提出了用频率近似估计概率的这种方法。而这种方法必须依赖大量的重复试验，操作起来并不实际，而古典概型的提出，避免了这个问题，而且得到的是概率精确值。 古典概型（Classical probability model ）必须满足条件： ① 所有基本事件有限个 ② 每个基本事件发生的可能性都相等 如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个n ，则每一个基本事件发生的概率都是n 1 ，如果某个事件A 包含了其中的m 个等可能的

基本事件，则事件A 发生的概率为 ()n m A P =， 由计算公式可以看出解决古典概型的关键是求出基本事件的总数n 和事件A 包含的基本事件个数m ，一般有画韦恩图、列表格、画树形图等列举方法。 古典概型的案例千变万化，列举是基本思想，有的题目看似简单，但因学生概念理解不透、审题不清常常造成错解。因此如能配合分类分步、排列组合的思想，解决问题可事半功倍。 古典概型中的放回与不放回，有序与无序是学生比较出错的问题。数学3的各章知识前后相辅相成，是比较连贯的。“算法”一章主讲完成一件事情的方法与步骤，“概率”则主讲完成一件事情的方法种数；“统计”一章中介绍的三种抽样方法均属于不放回抽样,“概率”这章则更进一步探讨放回与不放回抽样的概率问题。（结构如图） 根据是否放回，抽样方法可以分成两类：①是一类；②③是一类。（是否放回的关键是看“被抽取的个体有无可能被重复抽取”。） 根据是否有序，抽样方法可以分成两类：①②是一类；③是一类。（“有序”问题常出现的字眼：“依次”“逐次”“顺次”。放回抽样，一抽一放，必然有顺序，所以属于“有序”问题。凡“有序”问题，因为关键在于“按步骤完成事情”，所以用分步的思想来求总的基本事件n 、事件A 的基本事件m 。而组合问题，不讲究次序，一般带有放回抽样（有序）① 抽样方法 不放回抽样 排列（有序）② 组合（无序）③

浅析如何有效提高高中文科生的数学教学

浅析如何有效提高高中文科生的数学教学 发表时间：2011-07-27T15:34:50.780Z 来源：《少年智力开发报》2011年第40期供稿作者：马玉华[导读] 案例四：学习“复习函数的定义域” 时教师首先让学生自己独立尝试，为什么写函数解析式，必须要带小尾巴。溧阳市戴埠高级中学马玉华 学生数学认知的“发生”和“形成”具有一定的规律性，要使数学教学有效，教师首先要遵循这些规律，使教学流程的推进与学生认知活动的展开合拍共振。如何才能达到合拍共振呢？关键是教师要找准每个教学流程中起核心作用的“发生点”，将这些核心点做深做透，从而最大程度地促进有效教学的发生。 一、有效的情境导入———制造“冲突点” 有价值的数学教学情境应该是在生动的情境中蕴含着一些有思考力度的数学问题，即能让学生“触景生思”，这是评价数学情境是否有效的核心要素。如果教师呈现的情境，学生只是停留在其表面，不能进入数学实质性的领域，感觉不到数学问题的存在或者无法挖掘出与所学知识相关的数学问题，那么这种情境在数学教学中是毫无意义的。因此，教师在创设数学教学情境时，应该把激活数学思维放在首位，而激活思维的最有效手段是引起学生的思维冲突，使他们产生认知不平衡。 案例一：一位教师教学“古典概型”，在导入环节创设了这样一个情境：“四川曾有媒体报道某彩民中奖后接受记者采访时宣称，自己潜心研究概率，经过精密计算，得出了中特等奖的号码。学会了概率学，真的能够保证自己中大奖吗？”面对这个情境，学生认知上产生了冲突，激起了强烈的求知欲望，在教师引导下，他们展开了寻找中奖的探索活动，在探索过程中思考其中蕴含的数学规律，学生的思维闸门被打开了。 二、有效的独立尝试———设计“启发点” 学生的“动”是以教师的“启”为前提的，教师在学生独立学习之前适当引导，能够为学生的学习活动指引方向，扫清障碍，避免“瞎子过河”。具体的方法是：教师可以给学生提供一个基于问题思考的“数学自学提纲”，启发学生进行初步的独立探索，为下一步开展合作交流或进一步的合作探究奠定基础。 案例二：教学“第一轮复习函数性质章节”一课，教师编拟如下自学提纲：学生先从小题训练思考，边做边建构数学知识体系，同时教师要求学生根据这些问题看书自学，进行圈点勾画，教师进行巡视，了解学生哪些自己可以得出，哪些还有困难，为后面有针对性的学习找准起点。让学生带着要求、问题去回归课本，不仅可以引导学生在重点、关键地方多分析、多思考、多动手、多动脑，而且可以帮助学生自觉地把握教材的重点，找到难点，提高独立学习质量。 三、有效的互动交流———捕捉“共鸣点” 有效的互动交流要求互动双方既要提高自己数学信息传输的质量和效率，又要同时关注对方反馈信息的内容和形式，并将之作为进一步改进和调整数学信息传输活动与方式的重要依据，保证交流活动的针对性和有效性，这其中数学教师将起到主导作用。为此，数学教师要以组织者、引导者、合作者、促进者的身份充分捕捉学生的数学心声、点拨学生的探究思路、助燃学生的探索热情，使互动双方达成共识，形成“共鸣”。 案例三：一位教师教学“求函数的最值”，在学生独立尝试后，在教师的引领下，通过互动交流生成了丰富的成果。生1说：“画个函数图像就好”，生2马上补充道：“我还有一种方法，就是运用导数法”，生3站起来说：“我认为函数的单调性也可以试试”，这时生4“简单的函数求最值图像法做好，我认为该题最优解应该是它；而其他方法是解决最值问题的常规思路，也要熟练掌握，并能知识迁移”。经过一番热烈的交流、讨论，学生思维产生了“碰撞”，大脑形成了“共鸣”，大大丰富了分析问题方法的多样化。最后，教师小结：“只要你们自己开动脑筋想出来的办法，都是好办法，在解决问题时，哪一种方法对你最方便，你就选用哪一种方法。” 四、有效的提炼概括———促成“内化点” 教师还应该安排一个环节对学生的学习结果作必要的提炼概括，将学生零散的数学观点进行理论升华，揭示出更深层次的内涵，从而将学生所学知识内化到已有的数学认知结构中去。教师具体可从两方面入手：一是从学生多而杂的数学方法中引导他们提炼出其中合理的、简便的方法，以利于今后的进一步学习；二是在学生讨论的基础上把他们的思维概括起来，用数学语言揭示出本质特征。 案例四：学习“复习函数的定义域” 时教师首先让学生自己独立尝试，为什么写函数解析式，必须要带小尾巴。接着教师组织学生在小组里就“函数的概念” 进行对话交流，谈谈自己对函数概念的理解，通过再次辨析学生内化“函数的定义域”的数学含义，使学生对这些知识点有一个完整而理性的认识。 五、有效的应用拓展———挖掘“深化点” 当学生通过各种活动建立数学模型之后，教师接着要进行解释与应用。这是由数学知识转化为能力的过程，主要利用学习效果的反馈和强化，巩固并加深对数学知识的理解，实现知识和方法的有效迁移，更重要的是要为学生提供一个再创造、再发展的机会，培养思维的灵活性和创造性。因此，教师要深入地研究数学教材，挖掘学生自主训练的“深化点”，根据教材的编排特点和前后联系适时地为学生提供材料，引导学生积极主动地思维，自觉地发现其中蕴含的数学规律，从而在数学练习中促进有效学习的“发生”。 六、有效的回顾小结———激活“反思点” 只有学会反思，学生才能在探索数学知识的过程中真正成为数学学习的主人，即自觉管理、调控自己的数学学习活动，不断了解自己的数学学习过程和特点，改进自己的数学学习策略和方法，提高学习效率，最终达到有效地实现对当前所学数学知识意义建构的目的。因此，数学教师要在课堂上给学生提供一个对自己的数学学习活动进行回顾反思的机会，重点是提炼解决问题、获取新知的数学思想方法和有效策略，使学生对数学思想方法和学习策略有所领悟，并自觉地将这些思想方法和策略应用于后续学习之中，实现知识与方法的有效迁移，不断提高主动获取数学新知、解决问题的能力。 总之，数学有效教学是一项系统工程，它牵涉到的因素很复杂，需要探索的领域也很多，但只要我们在数学有效教学的“发生点”上做足文章，就能抓住一节数学课的灵魂，进而更好地驾驭新课程的数学课堂。就能够从根本上解决高中文科学生数学学习的困惑，从而大幅度上提高他们的数学能力。2500