西南科技大学2011年高等数学中期考试题(含答案) (1)
2010级高等数学（下）半期考试暨数学竞赛试卷
一、单项选择题（每题３分，共15分） 1、 设()()0000,,,x y f x y f x y ''都存在，则（ ）
（A ）(),f x y 在()00,x y 处连续。 (B) (),f x y 在()00,x y 处可微。 （C ）()0
0lim ,x x f x y →存在。 （D ）
()()
()000,,lim
,x y x y f x y →存在。
2、设D
是第二象限的一个有界闭区域，且01y <<。记
13
23
32
123,,D
D
D
I yx d I y x d I y x d σσσ===??????。123,,I I I 的大小顺序是（ ）
（A ）123I I I ≤≤ (B) 213I I I ≤≤ （C ）312I I I ≤≤ （D ）321I I I ≤≤
3、已知()()
2
x ay dx ydy x y +++是全微分表达式，则a =（ ） （A ）1- (B) 0 （C ）1 （D ）2
4、设曲线L 为圆周92
2=+y x ，顺时针方向，则?=-+-L dy x x dx y xy )4()22(2( )
(A) 0 (B) 2π (C) 6π (D) π18
5、已知2
2
4z x y =--上点P 处的切平面平行于平面221x y z ++=，则P 点的坐标是（ ）
(A) ()1,1,2- (B) ()1,1,2 (C) ()1,1,2- (D) ()1,1,2-- 二、填空题（每题３分，共15分）
1、已知D 是长方形域：;01a x b y ≤≤≤≤，且()1D
yf x d σ=??
，则()b
a
f x dx =?（ ）
2、设平面曲线L 为
: y =则曲线积分
()2
2L
x
y ds +?=（ ）
3
、曲线=1z x ??=???
(处的切线与y 轴的倾角为（ ）
４、
函数(
ln u x =在点()1,0,1A 处沿点A 指向()3,2,2B -方向的方向导数是
（ ）
５、螺旋线cos ,sin ,x a y a z b θθθ===在点(),0,0a 处的切向量为（ ） 三、解答题（每题7分，共49分） １、求极限
()(
)
,0,0lim
x y → ２、设(
)
2
2
,z f xy x y
=+，求2,z z x x y
?????，其中(),f u v 具有二阶偏导数。 ３、设(),z f x y =由方程0z y x
z y x xe ----+=所确定，求dz
4、计算2
1
1
20
y x
I dx x e dy -=?
?
5、计算()2
5I xy
z dxdydz Ω
=
+???，
其中Ω
是由z =()0,0z h R h =>>所围成的闭区域。 6、
计算D
I =
，其中D
是由曲线y a =-()0a >和直线
y x =-围成
7、在过点()0,0O 与(),0A π的曲线族sin (0)y a x a =>中，求一条曲线L ，使沿该曲线从O 到A 得积分
()()3
12L
y dx x y dy +++?的值最小。
三、证明题（共21分）
1、求函数(),,ln ln 3ln f x y z x y z =++在球面2
2
2
2
5x y z r ++=(0,0,0)x y z >>>上
的最大值，并证明对任何正数,,a b c 成立不等式5
3
275a b c abc ++??≤ ???
。
（10分） 2、 计算224L xdy ydx
I x y -=
+?，其中L 是以()1,0为中心，R 为半径的圆周（1R ≠）取逆时
针方向。（11分）
2010—2011第二学期《高等数学》半期考试参考答案与评
分细则
一、单项选择题（每题３分，共15分） 1、C 2、C 3、D 4、D 5、B 二、填空题（每题３分，共15分） 1、2 2、π 3、
6
π
4、12
5、{}0,,a b
三、解答题（每题7分，共49分）
１、求极限
()()
,0,0lim
x y →
解：令2
2
+x y t =，则0t +
→…………3分
原式＝0
1lim t t +
→1
2
=………………4分 ２、设(
)
22
,z f xy x y
=+，求2,z z
x x y
?????，其中(),f u v 具有二阶连续偏导数。 解：
122z
yf xf x
?''=+?…………3分 [][]2111
122122222z
f y xf yf x xf yf x y
?'''''''''=++++??[]()
22111221242+f xy f f x y f '''''''=+++…4分
３、设(),z f x y =由方程0z y x
z y x xe ----+=所确定，求dz
解：将方程两端微分可得：
()0z y x dz dy dx d xe ----+=………………3分
()()()111z y x
z y x
z y x z y x xe
dz xe
e dx xe dy --------+=+-++
()()
111z y x
z y x
x e dz dx dy xe ----+-=
++………………4分
4、计算2
1
1
20
y x I dx x e dy -=?
?，求
解：2
1
20
y
y I dy x e dx -=
?
?………………3分
=
213013y y e dy -?=1016t
te dt -?=1216e ??- ???
………………4分 5、计算()2
5I xy z dxdydz Ω
=
+???，其中Ω
是由z =()0,0z h R h =>>所围成的闭区域。
解：由于Ω关于yoz 平面对称， 故I zdxdydz Ω
=
???………………3分
=
z
h
D dz zdxdy ?
??20h
Rz z dz h π??
= ????224h R π=………………4分
6、计算D
I
=
，其中D 是由曲线y a =-()0a >和直线
y x =-围成
解：利用极坐标求解，0:4
02sin D r a πθθ?
-≤≤?
??
≤≤-?………………3分 2
2sin 0
4a I d θ
πθ--=??
22
1162a π??
=- ???
………………4分 7、在过点()0,0O 与(),0A π的曲线族sin (0)y a x a =>中，求一条曲线L ，使沿该曲线从O 到A 得积分()()3
12L
y dx x y dy +++?的值最小。
解：()()()33
3
41sin 2sin cos 43
a I a a x x a x a x dx a π
π??=+++=+-???
………………4分
()2440I a a '=-=得1a =，()
1
1
880a a I a a
==''==>，
故在1a =取最小值，相应的曲线为sin y x =。………………3分 三、证明题（共21分）
1、求函数(),,ln ln 3ln f x y z x y z =++在球面2
2
2
2
5x y z r ++=(0,0,0)x y z >>>上
的最大值，并证明对任何正数,,a b c 成立不等式5
3275a b c abc ++??≤ ???
。
（10分） 证明：作拉格朗日函数; ()()
2222,,ln ln 3ln 5L x y z x y z x y z r λ=++-++-,
得驻点()
,r r ，
()()
5max ,ln f f r r ==，………………5分
()
5
222
2
53ln ln 3ln ln ,5x y z x y z xyz ?
++++≤≤??
()
5
2222
3275x y z xyz ??++≤ ???
，故5
3
275a b c abc ++??≤ ???………………5分
3、 计算224L xdy ydx
I x y -=
+?，其中L 是以()1,0为中心，R 为半径的圆周（1R ≠）取逆时
针方向。（11分） 解：因为2222
,44y x
P Q x y x y -=
=++，除原点()0,0外，,P Q 都有连续一阶偏导数，且
()
22
22244P Q y x y x x y ??-==??+………………3分 （1） 若1R <，由格林公式可得0I =………………4分 （2） 若1R >，作足够小的椭圆1:cos ,sin 2
L x y ε
θεθ=
=，取逆时针方向，由格林公
式可得1222244L L xdy ydx xdy ydx
I x y x y π--=
==++??………………4分