实变函数期末考试卷A卷
实变函数
一、 判断题（每题2分，共20分）
。
1.若A 是B 的真子集，则必有B A <。 （×）
2.必有比a 小的基数。 （√）
3.一个点不是E 的聚点必不是E 的内点。 （√）
4.无限个开集的交必是开集。 （×）
5.若φ≠E ，则0*>E m 。 （×）
6.
任
何
集
n
R E ?都有外测度。
（√）
7.两集合的基数相等，则它们的外测度相等。 （×）
、
8.可测集的所有子集都可测。 （×） 9.若)(x f 在可测集E 上可测，则)(x f 在E 的任意子集上也可测。（×） 10.)(x f 在E 上可积必积分存在。 （×） 1.设E 为点集，E P ?，则P 是E 的外点.（ × ）
2.不可数个闭集的交集仍是闭集. （ × ）
3.设
{}
n E 是一列可测集,且1,1,2,
,n n E E n +?=则
1
(
)lim ().n n n n m E m E ∞
→∞
==（× ）
~
4.单调集列一定收敛. （√ ）
5.若()f x 在E 上可测,则存在F σ型集,()0F E m E F ?-=,()f x 在F 上连续.（ × ）
二、填空题（每空2分，共20分）
1.设B 是1R 中无理数集，则=B c 。
2.设1,1,,3
1
,21,1R n A ???????= ，则=0A φ ，='A
}0{ 。
3.设 ,2,1,0),1
1
,11(=++-=n n n A n ，则=?∞=n n A 0 )1,1(- ，=?∞=n n A 1
}0{ 。
4.有界变差函数的不连续点构成的点集是 至多可列 集。
5.设E 是]1,0[上的Cantor 集，则mE 0 。
6.设A 是闭集，B 是开集，则B A \是 闭
集。
7.闭区间],[b a 上的有界函数)(x f Rimann 可积的充要条件是 )(x f 是],[b a 上的几乎处处的
连续函数 。
8. Rimann 函数是 Rimann 可积也是Lebesgue 可积的。
《
三、计算题（每题10分，共20分）
1.计算dx nx x n nx R n ?
+∞
→1
03
2
22
1sin 1)(lim 。（提示：使用Lebesgue 控制收敛定
理） 解：设nx x
n nx
x f n 32
22
1sin 1)(+=
),2,1( =n ，则 （1） 因)(x f n 在]1,0[上连续，所以是可测的； （2）]1,0[,0)(lim ∈=∞
→x x f n n ；
（3）因为
—
x
nx nx x n nx nx x n nx 2121sin 12
12
22
13
222
1=≤+≤+)(x F = 显然)(x F 在]1,0[上可积。于是由Lebesgue 控制收敛定理，有
0sin 1)(lim sin 1)(lim 103
222
11
032221=+=+??
∞→∞
→dx nx x n nx L dx nx x n nx R n n
2. 设???
??=为有理数，的无理数；为小于的无理数为大于x x x x x x f ,01,;1,)(2试计算?]
2,0[)(dx x f 。
解：因为有理数集的测度为零，所以
、
2)(x x f = ..e a 于]1,0[， x x f =)( ..e a 于]2,1[。
于是
?
?
?
+=]
2,1[]
1,0[]
2,0[)()()(dx
x f dx x f dx x f
dx x dx x ??+=2
1
1
26
112331=+=
四、证明题（每题8分，共40分）
1. 证明：)\()(\1
1
n n n n A A A A ∞
=∞==
[
证明：)(\1
n n A A ∞
=( A =n n A ∞
=1
c )
)(1
c
n n A A ∞
==
=)(1c
n n A A ∞
=
=)\(1
n n A A ∞
=
2. 设M 是直线上一族两两互不相交的非空开区间组成的集合，证明
M 是至多可列集。
证明：由有理数集的稠密性可知，每一个开区间中至少有一个有理数，从每个开区间中取定一个有理数，组成一个集合A 。因为这些开区间是互不相交的，所以此有理数集A 与开区间组成的集合M 是一一对应的。则A 是有理数集的子集，故至多可列，所以M 也是至多可列集。 3. 证明：若0=*E m ，则E 为可测集。 证明：对任意点集T ，显然成立着
}
)()(c E T m E T m T m ***+≤。
另一方面，因为0=*E m ，而E E T ? ，所以E m E T m **≤)( ，于是)(E T m *0=。又因为c E T T ?，所以)(c E T m T m **≥，从而 )()(c E T m E T m T m ***+≥。
总之，)()(c E T m E T m T m ***+=。故E 是可测集。
4. 可测集E 上的函数)(x f 为可测函数充分必要条件是对任何有理数
r ，集合])([r x f E <是可测集。
一、填空题（每小题2分，共10分）
《
（ D ）1、
()()\\\A B C A B C =成立的充分必要条件是（ ）
A 、A
B ? B 、B A ?
C 、A C ?
D 、C A ?
（ A ）2、设E 是闭区间[]0,1中的无理点集，则（ ）
.A 1mE = .B 0mE = .C E 是不可测集 .D E 是闭集
（ C ）3、设E 是可测集，A 是不可测集，0mE =，则E
A 是（ ）
。
.A 可测集且测度为零 .B 可测集但测度未必为零 .C 不可测集 .D 以上都不对
（ B ）4、设mE <+∞，(){}n f x 是E 上几乎处处有限的可测函数
列，()f x 是E 上几乎处处有限的可测函数，则(){}n f x 几乎处处收敛于()f x 是(){}n f x 依测度收敛于()f x 的（ ）
.A 必要条件 .B 充分条件 .C 充分必要条件 .D 无关条件 （ D ）5、设()f x 是E 上的可测函数，则（ ）
.A ()f x 是E 上的连续函数 .B ()f x 是E 上的勒贝格可积函数
'
.C ()f x 是E 上的简单函数
.D ()f x 可表示为一列简单函数的极限
设()f x 是(,)-∞+∞上的实值连续函数，则对于任意常数a ，
{|()}E x f x a =>是一开集，而{|()}E x f x a =≥总是一闭集。
证明：若00,()x E f x a ∈>则，因为()f x 是连续的，所以存在0δ>，使任意
(,)x ∈-∞∞，
0||()x x f x a δ-<>就有， …………
………………(5分)
即
任
意
00U(,),,U(,),x x x E x E E
δδ∈∈?就有所以是开
集…………………………（10分）
若,n x E ∈且0(),()n n x x n f x a →→∞≥则，由于()f x 连续，
0()lim ()n n f x f x a →∞
=≥，
即0x E ∈，因此E 是闭集。
（1）设2121
(0,),(0,),1,2,
,n n A A n n n
-==求出集列{}n A 的上限集和下限
集 证
明：
lim (0,)n n A →∞
=∞………………………………………………………………………
（5分）
设(0,)x ∈∞，则存在N ，使x N <，因此n N >时，0x n <<，即2n x A ∈，所以x 属于下标比N 大的
一切偶指标集，从而x 属于无限多n A ，得lim n n x A →∞
∈，
又
显然
lim (0,),lim (0,)n n n n A A →∞
→∞
?∞=∞所以………………………………………
…………（7分）
lim n n A φ→∞
=………………………………………………………………………
…………（12分）
若有lim n n x A →∞
∈，则存在N ，使任意n N >，有n x A ∈，因此若21n N
->时，
211
,0,00n x A x n x n -∈<<→∞<≤即令得，此不可能，所以
lim n n A φ→∞
=………………（15分）
（2）可数点集的外测度为零。
证明：证明：设{|1,2,}i E x i ==对任意0ε>，存在开区间i I ，使i i x I ∈，
且||2i i
I ε
=
（8分）
所以
1
i i I E
∞
=?，且
1
||i
i I
ε
∞
==∑，由ε
的任意性得
*0m E =………………………………（15