函数、不等式恒成立问题经典总结
函数、不等式恒成立问题解法（老师用）
恒成立问题的基本类型：
类型1：设)0()(2≠++=a c bx ax x f ，(对于任意实数R 上恒成立) （1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00?且a ； （2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00
类型2：设)0()(2≠++=a c bx ax x f （给定某个区间上恒成立）
（1）当0>a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立?????>>-?????<-
?0
)(2020)(2βββαααf a b
a
b f a b 或或， ],[0)(βα∈ ?< )(0)(βαf f （2）当0x x f 在上恒成立?? ?>>?0 )(0 )(βαf f ],[0)(βα∈ ?????<-?0 )(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或 类型3： αα>?∈>min )()(x f I x x f 恒成立对一切 αα>?∈ 类型4： ) ()()()()()()(max min I x x g x f x g x f I x x g x f ∈>?∈>的图象的上方或的图象在恒成立对一切 恒成 一、用一次函数的性质 对于一次函数],[,)(n m x b kx x f ∈+=有： ?? ?<>?>0 )(0 )(0)(,0)(0)(0)(n f m f x f n f m f x f 恒成立恒成立 例1：若不等式)1(122 ->-x m x 对满足22≤≤-m 的所有m 都成立，求x 的范围。 解析：我们可以用改变主元的办法，将m 视为主变元，即将元不等式化为：0)12()1(2 <---x x m ，； 令)12()1()(2 ---=x x m m f ，则22≤≤-m 时，0)( ??<<-0)2(0 )2(f f 即 ?????<---<----0 )12()1(20 )12()1(22 2 x x x x ，所以x 的范围是)231,271(++-∈x 。 二、利用一元二次函数的判别式 对于一元二次函数),0(0)(2R x a c bx ax x f ∈≠>++=有： （1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00?且a ； （2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00 例2：若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围。 解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m ，所以要讨论 m-1是否是0。 （1）当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意； （2）01≠-m 时，只需???<---=?>-0 )1(8)1(0 12 m m m ，所以，)9,1[∈m 。 三、利用函数的最值（或值域） （1）m x f ≥)(对任意x 都成立m x f ≥?min )(； （2）m x f ≤)(对任意x 都成立max )(x f m ≥?。简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。 例3：在?ABC 中，已知2|)(|,2cos )2 4 (sin sin 4)(2 <-++ =m B f B B B B f 且π 恒成立，求实数m 的范围。 解析：由 ]1,0(sin ,0,1sin 22cos )2 4 ( sin sin 4)(2∈∴<<+=++ =B B B B B B B f ππ ，]3,1()(∈B f ，2|)(|<-m B f 恒成立，2)(2<-<-∴m B f ，即? ??+<->2)(2 )(B f m B f m 恒成立，]3,1(∈∴m 例4：（1）求使不等式],0[,cos sin π∈->x x x a 恒成立的实数a 的范围。 解析：由于函]4 3,4[4),4sin(2cos sin π πππ -∈-- = ->x x x x a ，显然函数有最大值2， 2>∴a 。 如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题： （2）求使不等式)2 ,0(4,cos sin π π ∈- ->x x x a 恒成立的实数a 的范围。 解析：我们首先要认真对比上面两个例题的区别，主要在于自变量的取值范围的变化，这样使得 x x y cos sin -=的最大值取不到2，即a 取2也满足条件，所以2≥a 。 所以，我们对这类题要注意看看函数能否取得最值，因为这直接关系到最后所求参数a 的取值。利用这种方法时，一般要求把参数单独放在一侧，所以也叫分离参数法。 四：数形结合法 对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解。 例5：已知恒成立有时当2 1 )(,)1,1(,)(,1,02 <-∈-=≠>x f x a x x f a a x ，求实数a 的取值范围。 解析：由x x a x a x x f <-< -=2 1 21)(22 ，得，在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两个函数分别在x=-1和x=1处相交，则由1 222 1)1(211-=--=-a a 及得到a 分别等于2和0.5，并作出函数 x x y y )21(2==及的图象，所以，要想使函数x a x <-2 1 2在区间)1,1(-∈x 中恒成立，只须x y 2=在 区间)1,1(-∈x 对应的图象在2 12 -=x y 在区间)1,1(-∈x 对应图象的上面即可。当2 ,1≤>a a 只有时才能保证，而2 110≥ < [ ∈a 。 例6：若当P(m,n)为圆1)1(22=-+y x 上任意一点时，不等式0≥++c n m 恒成立，则c 的取值范围是（ ） A 、1221-≤ ≤--c B 、1212+≤≤-c C 、12--≤c D 、12-≥ c 解析：由0≥++c n m ，可以看作是点P(m,n)在直线0=++c y x 的右侧，而点P(m,n)在圆 1)1(22=-+y x 上，实质相当于是1)1(22=-+y x 在直线的右侧并与它相离或相切。 12111|10|0 1022-≥∴??? ??≥+++>++∴c c c ，故选D 。 同步练习 1、设124()lg ,3 x x a f x ++=其中a R ∈，如果(.1)x ∈-∞时，()f x 恒有意义，求a 的取值范围。 分析：如果(.1)x ∈-∞时，()f x 恒有意义，则可转化为1240x x a ++>恒成立，即参数分 离后212(22)4 x x x x a --+>-=-+，(.1)x ∈-∞恒成立，接下来可转化为二次函数区间最值求 解。 解：如果(.1)x ∈-∞时，()f x 恒有意义1240x x a ?++>，对(,1)x ∈-∞恒成立. 212(22)4 x x x x a --+?>-=-+(.1)x ∈-∞恒成立。 令2x t -=，2()()g t t t =-+又(.1)x ∈-∞则1(,)2t ∈+∞()a g t ∴>对1 (,)2 t ∈+∞恒成立，又 ()g t 在1[,)2t ∈+∞上为减函数，max 13()()24t g ==-g ，3 4 a ∴≥-。 2、设函数是定义在(,)-∞+∞上的增函数，如果不等式2(1)(2)f ax x f a --<-对于任意 [0,1]x ∈恒成立，求实数a 的取值范围。 分析：本题可利用函数的单调性把原不等式问题转化为212ax x a --<-对于任意[0,1]x ∈恒成立，从而转化为二次函数区间最值求解。 解： ()f x 是增函数2(1)(2)f ax x f a ∴--<-对于任意[0,1]x ∈恒成立 212ax x a ?--<-对于任意[0,1]x ∈恒成立 210x ax a ?++->对于任意[0,1]x ∈恒成立，令2()1g x x ax a =++-，[0,1]x ∈，所以原 问题min ()0g x ?>，又m i n (0),0()(),2022,2g a a g x g a a >??? =--≤≤?? <-??即2min 1,0()1,2042,2 a a a g x a a a - >???=--+-≤≤?? <-?? 易 求得1a <。 3、 已知当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx 恒成立，求实数a 的取值范围。 方法一）分析：在不等式中含有两个变量a 及x ，本题必须由x 的范围（x ∈R ）来求另一变量a 的范围，故可考虑将a 及x 分离构造函数利用函数定义域上的最值求解a 的取值范围。 解：原不等式4sinx+cos2x<-a+5? 当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx 恒成立max -a+5>(4sinx+cos2x)? 设f(x)=4sinx+cos2x 则22f(x)= 4sinx+cos2x=-2sin x+4sinx+1=-2(sinx-1)+3 3≤ ∴-a+5>3a<2∴ 方法二）题目中出现了sinx 及cos2x ，而cos2x=1-2sin 2x,故若采用换元法把sinx 换元成t,则可把原不等式转化成关于t 的二次不等式，从而可利用二次函数区间最值求解。 解：不等式a+cos2x<5-4sinx 可化为 a+1-2sin 2x<5-4sinx,令sinx=t,则t ∈[-1,1], ∴不等式a+cos2x<5-4sinx 恒成立?2t 2 -4t+4-a>0,t ∈[-1,1]恒成立。 设f(t)= 2t 2-4t+4-a ，显然f(x)在[-1，1]内单调递减，f(t)min =f(1)=2-a,∴2-a>0∴a<2 4、 设f(x)=x 2-2ax+2,当x ∈[-1,+∞)时，都有f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围。 分析：在f(x)≥a 不等式中，若把a 移到等号的左边，则原问题可转化为二次函数区间恒成立问题。 解：设F(x)= f(x)-a=x 2-2ax+2-a. ⅰ)当?=（-2a ）2-4(2-a)=4（a-1)(a+2)<0时，即-2 ⅱ）当?=4（a-1)(a+2) ≥0时由图可得以下充要条件： ??? ??? ? -≤--≥-≥?,1220)1(0a f 即?? ???-≤≥+≥+-,1030)2)(1(a a a a 得-3≤a ≤-2; 综上所述：a 的取值范围为[-3，1]。 5、、当x ∈(1,2)时，不等式(x-1)2 分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，右边为对数函数，故可以采用数形结合借助图象位置关系通过特指求解a 的取值范围。 解：设T 1:()f x =2(1)x -,T 2:()log a g x x =,则T 1的图象为右图所示的抛物线，要使对一切x ∈(1,2), ()f x <()g x 恒成立即T 1的图象一定要在T 2的图象所的下方，显然a>1,并且必须也只 需(2)(2)g f > 故log a 2>1,a>1,∴1 分析：原方程可化成lg(x 2+20x)=lg(8x-6a-3),从而得x 2+20x=8x-6a-3>0,若将等号两边分别构造函数即二次函数y= x 2+20x 与一次函数y=8x-6a-3，则只需考虑这两个函数的图象在x 轴上方恒有唯一交点即可。 解：令T 1：y 1= x 2+20x=（x+10）2-100, T 2：y 2=8x-6a-3,则如图 所示，T 1的图象为一抛物线，T 2的图象是一条斜率为定值8，而截距不定的直线，要使T 1和T 2在x 轴上有唯一交点，则直线必须位于l 1和l 2之间。（包括l 1但不包括l 2) 当直线为l 1时，直线过点（-20，0）此时纵截距为 -6a-3=160,a=6163 -; 当直线为l 2时，直线过点（0，0），纵截距为-6a-3=0，a=2 1-∴a 的范围为[6163 -，2 1-）。 7、对于满足|p|≤2的所有实数p,求使不等式x 2+px+1>2p+x 恒成立的x 的取值范围。 分析：在不等式中出现了两个变量：x 、P,并且是给出了p 的范围要求x 的相应范围，直接从x 的不等式正面出发直接求解较难，若逆向思维把 p 看作自变量，x 看成参变量，则上述问 题即可转化为在[-2，2]内关于p的一次函数函数值大于0恒成立求参变量x的范围的问题。 解：原不等式可化为 (x-1)p+x2-2x+1>0,令 f(p)= (x-1)p+x2-2x+1,则原问题等价于f(p)>0在p∈[-2,2]上恒成立，故有： 方法一： 10 (2)0 x f -< ? ? > ? 或 10 (2)0 x f -> ? ? -> ? ∴x<-1或x>3. 方法二： (2)0 (2)0 f f -> ? ? > ? 即 ?? ? ? ? > - > + - 1 3 4 2 2 x x x 解得： ? ? ? - < > < > 1 1 1 3 x x x x 或 或 ∴x<-1或x>3. 考点2、利用函数的最值求不等式恒成立问题 例3、已知过函数1)(23++=ax x x f 的图象上一点),1(b B 的切线的斜率为－3． （1）求b a ,的值； （2）求A 的取值范围，使不等式1987)(-≤A x f 对于]4,1[-∈x 恒成立； 【解析】（1）()x f '=ax x 232+ 依题意得3,323)1('-=∴-=+==a a f k ()1323+-=∴x x x f ，把),1(b B 代入得1)1(-==f b 1,3-=-=∴b a （2）令063)(2'=-=x x x f 得0=x 或2=x 31232)2(,1)0(23-=+?-==f f 17)4(,3)1(=-=-f f 17)(3],4,1[≤≤--∈∴x f x 要使1987)(-≤A x f 对于]4,1[-∈x 恒成立，则)(x f 的最大值198717-≤A 2004≥∴A 变式训练1、设函数2()()ln ()f x x a x a R =-∈ （Ⅰ）若x e =为()y f x =的极值点，求实数a . （Ⅱ）求实数a 的取值范围，使得对任意(0,3]x e ∈恒有2()4f x e ≤成立（注：e 为 自然对数的底数）. 【解析】（I ）求导得2()()2()ln ()(2ln 1)x a a f x x a x x a x x x -=-+=-+-￠ 因为x e =是()f x 的极值点，所以()0f e =￠ 解得a e =或3a e =． 经检验，符合题意，所以a e =，或3a e = （II ）①当031a 时即1 3 a > 时，由①知，(0,1]x ?时，不等式恒成立，故下 研究函数在(1,3]a 上的最大值， 首先有22(3)(3)ln34ln3f a a a a a a =-=此值随着a 的增大而增大，故应 不等式恒成立问题 一、 教学目标 1、 知识目标；掌握不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法并会运用 2、 能力目标；培养学生分析问题解决问题的能力 3、 情感目标；优化学生的思维品质 二、 教学重难点 1、教学的重点；不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法并会运用 2、教学的难点；不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法的选择 三、 教学方法：高三复习探究课：学生研讨探究----学生归纳小结-----学生巩 固练习----学生变式探究---学生总结 四、 教学过程 1、 引人 高三数学复习中的不等式恒成立问题，涉及到函数的性质、图象, 渗透着换元、化归、数形结合、函数方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，因此备受命题者的青睐，也成为历年高考的一个热点。我们今天这堂课来研究不等式恒成立求参数的取值范围问题的求解方法。引入课题 2、新课 下面我们来看例1例1、对一切实数x ]1,1[-∈，不等式 a x a x 24)4(2-+-+＞0恒成立，求实数a 的取值范围（由学生完成） 由一个基本题得到不等式恒成立问题求参数的范围的求解方法 解法一；分离参数 由原不等式可得：a(x-2) > -x 2+4x-4 ， 又因为x ∈[-1，1] ，x-2∈[-3，-1] a<2-x 又因为x ∈[-1，1]，所以 a<1. 解法二；分类讨论、解不等式 （x-2）[x-(2-a)]>0 当a=0时不等式恒成立 当a<0 时x>2-a 或x<2 不等式恒成立 当a>0时x>2 或x<2-a 所以2-a>1 即a<1 所以a<1时不等式恒成立 解法三；构造函数求最值 设f(x)=x2+(a-4)x+4-2a 当(4-a)/2∈[-1，1]，即a∈[2，6]时 -a2<0 不成立，舍弃； 当a>6时，f(-1)=1-a+4+4-2a>0 a<3 不成立，舍弃； 当a<2时，f(1)=1+a-4+4-2a=1-a>0 a<1 综上得：a<1 解法四；构造方程用判别式韦达定理根的分布 设x2+(a-4)x+4-2a=0 方程无实根或有两实根两根小于-1或两根大于1 △=(a-4)2-4(4-2a)=a2≥0 所以1-(a-4)+4-2a>0且(4-a)/2<-1 或1+(a-4)+4-2a>0 且(4-a)/2>16且a<3 或a<1且a<2, 所以a<1 解法五；数形结合（用动画来演示 a(x-2)>-x2+4x-4 设y=a(x-2) 和y=-x2+4x-4 分别作两函数的图象 函数、不等式恒成立问题解法（老师用） 恒成立问题的基本类型： 类型1：设)0()(2 ≠++=a c bx ax x f ，(对于任意实数R 上恒成立) （1）R x x f ∈>在0)(上恒成立00?且a ； （2）R x x f ∈<在0)(上恒成立00a 时，],[0)(βα∈>x x f 在上恒成立?????>>-?????<- ?0 )(2020)(2βββαααf a b a b f a b 或或， ],[0)(βα∈ 编号：2007-HX-001 不等式恒成立、能成立、恰成立问题 [文档副标题] [日期] 福建省长乐第一中学教科室 [公司地址] 不等式恒成立、能成立、恰成立问题 一、不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值： （1）若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >，?()f x 的下界大于A （2）若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <,()f x 的上界小于A 例1、设f(x)=x 2 -2ax+2,当x ∈[-1,+∞]时，都有f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围。 例2、已知(),22x a x x x f ++= 对任意[)()0,,1≥+∞∈x f x 恒成立,试求实数a 的取值范围; 例 3、R 上的函数()x f 既是奇函数，又是减函数，且当?? ? ??∈2, 0πθ时，有() ()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ恒成立，求实数m 的取值范围. 例4、已知函数)0(ln )(4 4>-+=x c bx x ax x f 在1=x 处取得极值3c --，其中a 、b 为常数. （1）试确定a 、b 的值； （2）讨论函数)(x f 的单调区间； （3）若对任意0>x ，不等式2 2)(c x f -≥恒成立，求c 的取值范围。 2、主参换位法 例5、若不等式a 10x -<对[]1,2x ∈恒成立，求实数a 的取值范围 例6、若对于任意1a ≤，不等式2 (4)420x a x a +-+->恒成立，求实数x 的取值范围 例7、已知函数32 3()(1)132 a f x x x a x = -+++，其中a 为实数．若不等式2()1f x x x a '--+＞对任意(0)a ∈+∞，都成立，求实数x 的取值范围． 3、分离参数法 （1） 将参数与变量分离，即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式； （2） 求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值； （3） 解不等式()max ()g f x λ≥(或()()min g f x λ≤) ，得λ的取值范围。 适用题型：（1） 参数与变量能分离；（2） 函数的最值易求出。 例8、当(1,2)x ∈时，不等式2 40x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 . 不等式恒成立问题基本类型及常用解法 类型1：设f(x)=ax+b f(x) ＞0在x ∈[]n m ,上恒成立? ???0 )(0)( n f m f f(x) ＜0在x ∈[]n m ,上恒成立??? ?0)(0)( n f m f . 例1. 设y=(log 2x)2+(t-2)log 2x-t+1,若t 在[-2,2]上变化，y 恒取正值，求实数x 的取值范围。 例2. 对于 -1≤a ≤1,求使不等式(21)ax x +2<(2 1)12-+a x 恒成立的x 的取值范围。 类型2：设f(x)=ax 2+bx+c (a ≠0) f(x) ＞0在x ∈R 上恒成立?a ＞0 且△＜0; f(x) ＜0在x ∈R 上恒成立?a ＜0 且△＜0. 说明：①.只适用于一元二次不等式 ②.若未指明二次项系数不等于0，注意分类讨论. 例3.不等式3 642222++++x x m mx x ＜1对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围。 类型3：设f(x)=ax 2+bx+c (a ≠0) （1） 当a ＞0时 ① f(x) ＞0在x ∈[]n m ,上恒成立 ??????≤-0)(2 m f m a b 或??????-o n a b m 2或?????≥-0)(2 n f n a b ??????≤-0)(2 m f m a b 或△＜0或?????≥-0 )(2 n f n a b . ② f(x) ＜0在x ∈[]n m ,上恒成立?? ??0)(0)( n f m f . （2） 当a ＜0时 ① f(x) ＞0在x ∈[]n m ,上恒成立? ? ? ?0)(0)( n f m f ② f(x) ＜0在x ∈[]n m ,上恒成立 ??????≤-0)(2 m f m a b 或??????-o n a b m 2或?????≥-0)(2 n f n a b ??????≤-0)(2 m f m a b 或△＜0或?????≥-0 )(2 n f n a b . 说明：只适用于一元二次不等式. 类型4：a ＞f(x) 恒成立对x ∈D 恒成立?a ＞f(x)m ax ， a ＜f(x)对x ∈D 恒成立? a ＜f(x)m in . 说明：①. f(x) 可以是任意函数 ②.这种思路是：首先是---分离变量，其次用---极端值原理。把问题转化为求函数的最值，若f(x)不存 在最值，可求出f(x)的范围，问题同样可以解出。 例4.（2000.上海）已知f(x)=x a x x ++22 ＞0在x ∈[)+∞,1上恒成立，求实数a 的取值范围。 学习过程 一、复习预习 考纲要求： 1．理解导数和切线方程的概念。 2．能在具体的数学环境中，会求导，会求切线方程。 3．特别是没有具体点处的切线方程，如何去设点，如何利用点线式建立直线方程。4．灵活应用建立切线方程与其它数学知识之间的内在联系。 5. 灵活应用导数研究函数的单调性问题 二、知识讲解 1.导数的计算公式和运算法则 几种常见函数的导数：0'=C (C 为常数)；1 )'(-=n n nx x (Q n ∈)； x x cos )'(sin =； x x sin )'(cos -=；1(ln )x x '= ； 1(log )log a a x e x '=， ()x x e e '= ； ()ln x x a a a '= 求导法则：法则1 [()()]()()u x v x u x v x ±'='±'． 法则2 [()()]()()()()u x v x u x v x u x v x '='+', [()]'()Cu x Cu x '= 法则3： ' 2 '' (0)u u v uv v v v -??=≠ ??? 复合函数的导数：设函数()u x ?=在点x 处有导数()x u x ?'='，函数()y f u =在点x 的对应点u 处有导 数()u y f u '='，则复合函数(())y f x ?=在点x 处也有导数，且x u x u y y '''?= 或(())()()x f x f u x ??'='?' 2.求直线斜率的方法（高中范围内三种） (1) tan k α=（α为倾斜角）； (2) 1212 ()() f x f x k x x -= -，两点1122(,()),(,())x f x x f x ； (3)0()k f x '= （在0x x =处的切线的斜率）； 3.求切线的方程的步骤：（三步走） （1）求函数()f x 的导函数()f x '； （2）0()k f x '= （在0x x =处的切线的斜率）； （3）点斜式求切线方程00()()y f x k x x -=-； 4.用导数求函数的单调性： （1）求函数()f x 的导函数()f x '； （2）()0f x '>，求单调递增区间； （3）()0f x '<，求单调递减区间； （4）()0f x '=，是极值点。 考点一 函数的在区间上的最值 【例题1】：求曲线29623-+-=x x x y 在)5,2(上的最值 。 【答案】：最大值为18，最小值为-2. 【解析】:∵根据题意09123'2=+-=x x y ，∴3,121==x x ,由函数的单调性，当11=x ，2=y ， 取得极大值；当32=x ，2-=y ，取得极小值；当5=x ，18=y 。所以最大值为18，最小值为-2. 不等式中恒成立问题的解法 一、判别式法 若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数 ),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有 1）0)(>x f 对R x ∈恒成立? ???00 a ; 2）0)( 不等式恒成立、能成立、恰成立问题分析及应用 一、不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值： （1）若不等式A x f >)(在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上A x f >min )(，即)(x f 的下界大于A （2）若不等式B x f <)(在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上B x f 2、主参换位法 例5.若不等式01<-ax 对[]2,1∈x 恒成立，求实数a 的取值范围. 例6.若对于任意1≤a ，不等式024)4(2>-+-+a x a x 恒成立，求实数x 的取值范围. 例7.已知函数1)1(2 33)(2 3+++-= x a x x a x f ，其中a 为实数．若不等式1)('2+-->a x x x f 对任意),0(+∞∈a 都成立，求实数x 的取值范围． 3、分离参数法 （1）将参数与变量分离，即化为)()(x f g ≥λ（或)()(x f g ≤λ）恒成立的形式； （2）求)(x f 在D x ∈上的最大（或最小）值； （3）解不等式max )()(x f g ≥λ(或min )()(x f g ≤λ)，得λ的取值范围． 适用题型：（1）参数与变量能分离；（2）函数的最值易求出。 例8．当)2,1(∈x 时，不等式042 <++mx x 恒成立，求m 的取值范围. 一元二次不等式恒成立问题专项练习 例题：设函数f (x )＝mx 2－mx －1. (1)若对于一切实数x ，f (x )<0恒成立，求m 的取值范围； (2)对于x ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求m 的取值范围. (3)对于任意m ∈[1,3]，f (x )<－m ＋5恒成立，求实数x 的取值范围. 解： (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立， 若m ＝0，显然－1<0，满足题意； 若m ≠0，则??? m <0， Δ＝m 2＋4m <0，即－4 专题一： 函数与不等式恒成立 （一） 利用判别式 本类型题源自初中，对x ∈R 适用。 例1 若y=lg ［x 2 +（k+2）x+5 4］的定义域为R ，则求k 的取值范围。 解：转化为x 2 +（k+2）x+5 4＞0对x ∈R 恒成立。 ?= （k+2）2-4 ·5 4 ＜0 （k+2）2＜5 ∴k ∈（-2-5，5-2） 练习1若ax 2+x+a ＜0解集为?，求a 范围。 解：转化为ax 2+x+a ≥0解集为R 。 ①a=0，x ≥0（舍） ②a ＞0，?≤0 ∴a ≥12 综合得：a ≥ 12 2 若x ∈R ，sin x 2 +2kcosx-2k-2＜0恒成立,求k 的取值范围。 解：转化为cosx 2-2k cosx+2k+1＞0 ①?＜0 即k ∈（1-2，1+2）成立 ②?=0 即k=1-2，1+2代入得k=1+2 ?＞0 ③ f （1）＞0 得k ＞1+2 k ≥1 综合得①②③：k ＞1-2 （二） 利用变量分离 练习2的另解：2k ＞2cos 1 cos 1 x x +- 令t=cosx-1∈【-2,0】 当cosx-1=0代回原式成立 当t= cosx-1∈【-2,0）时 2k ＞t+ 2t +2 （t+ 2 t +2）最大值为2-22 ∴k ＞1- 2 注：利用变量分离要擅长求各种基本函数的值域，诸如一次函数，二次函数， 反比例函数，耐克函数，幂指对数函数，三角及利用单调性求值域。 练习 1 已知f （x ）= 2x - 12 x ∣∣ 。①若f （x ）=2，求x 的值。②若2t f （2t ）+m f （t ）≥0 对于t ∈【1,2】恒成立，求实数m 的取值范围。（2008上海市高考题19） 解：①x ＜0，f （x ）=0（舍）； x ＞0，f （x ）=2x -1 2 x =2, ∴x=㏒2(12)+ ②t ∈【1, 2】，2,t （2,2t - 212t ）+m （2t - 1 2 t ）≥0 2,t （2,t +1 2 t ）+m ≥0 2,2t +1≥-m ∴m ∈【-5,+∞】 注：去绝对值和对含字母代数式因式分解是基本功。 2 已知二次函数f （x ）=x 2+bx+1（b ∈R ）满足f （-1）= f （3）。x ＞1时f （x ）反 函数为f ,-1（x ），且f ,-1（x ）＞m （m-x ）在x ∈【14,1 2 】恒成立，求实数m 的取值 范围。 解：- 2 b =1 ∴b=-2 ∴f （x ）= x 2-2x+1=（x-1）2 当x ＞1时，f ,-1（x ）= x +1（x ＞0） x +1＞m 2-m x （m+1）x ＞m 2-1 ① m= -1（舍） ② m ＞-1， x ＞m-1 ∴m -1＜12 ∴-1＜m ＜3 2 不等式恒成立问题 “含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。 一、判别式法 若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数),0()(2R x a c bx ax x f ∈≠++=,有 1）0)(>x f 对R x ∈恒成立? ???00a ; 2）0)( 不等式有解和恒成立问题 Prepared on 24 November 2020 不等式有解和恒成立问题 知识点的罗列，文字不宜太多，简洁明了最好） ? 知识点一：不等式恒成立问题 ? 知识点二：不等式有解问题 分析该知识点在中高考中的体现，包含但不仅限于：考察分值、考察题型（单选、填空、解答题）、考察方式：考场难度、和哪些知识点在一起考察，参考中高考真题) 含参不等式的恒成立与有解问题是高考与会考考察不等式的一个重点内容，也是常考的内容，难度中等偏上，考察综合性较强，该知识点在填空选择解答题里都有涉及，经常和函数的最值问题在一起考察，需要同学对典型函数的值域求法有熟悉的掌握。 注意题目的答案，不要展示给学生看，这里答案和解析是帮助老师自己分析的) 一、不等式有解问题 例题：当m 为何值时，2211223 x mx x x +-<-+对任意的x ∈R 都成立 解法1：二次函数法： 移项、通分得： 又22230x x -+>恒成立，故知：2(2)40x m x -++>恒成立。 所以：2(2)160m ?=+-<，得到62m -<< 解法2：分离参数法： 注意到2(2)40x m x -++>恒成立，从而有：224mx x x <-+恒成立，那么： 注意到，在上式中我们用到了这样一个性质： 总结：解决恒成立问题的方法:二次函数法和分离参数法 变式练习：（初三或者高三学生必须选取学生错题或者学生所在地区的中高考真题或者当地的统考题目） 【试题来源】（上海2016杨浦二模卷） 【题目】设函数x x g 3)(=，x x h 9)(=，若b x g a x g x f +++=)()1()(是实数集R 上的奇函数，且0))(2()1)((>?-+-x g k f x h f 对任意实数x 恒成立，求实数k 的取值范围. 【答案】：因为b x g a x g x f +++= )()1()(是实数集上的奇函数，所以1,3=-=b a . )1 321(3)(+-=x x f ，)(x f 在实数集上单调递增. } 11 |{1)5(1)4(} 1 1|{10)3(} 1|{0)2(}1,1 |{0)1(<<>Φ =<<<<>=>< 函数、不等式恒成立问题完整解法 恒成立问题的基本类型： 类型1：设，<1）上恒成立 ；<2）上恒成立。 类型2：设 <1）当时，上恒成立 ， 上恒成立 <2）当时，上恒成立 上恒成立 类型3： 。 类型4： 恒成一、用一次函数的性质 对于一次函数有： 例1：若不等式对满足的所有都成立，求x的范 围。 解读：我们可以用改变主元的办法，将m视为主变元，即将元不等式化为： ，；令，则时， 恒成立，所以只需即，所以x的范围是。 二、利用一元二次函数的判别式 对于一元二次函数有： <1）上恒成立； <2）上恒成立 例2：若不等式的解集是R，求m的范围。 解读：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-1是否是0。 <1）当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意； <2）时，只需，所以，。 三、利用函数的最值<或值域） <1）对任意x都成立； <2）对任意x都成立。简单计作：“大的大于最大的，小的小于最小的”。由此看出，本类问题实质上是一类求函数的最值问题。 例3：在ABC中，已知恒 成立，求实数m的范围。 解读：由 ， ，恒成立，，即 恒成立， 例4：<1）求使不等式恒成立的实数a的范围。 解读：因为函，显然函数有最 大值，。 如果把上题稍微改一点，那么答案又如何呢？请看下题： <2）求使不等式恒成立的实数a的范围。 解读：我们首先要认真对比上面两个例题的区别，主要在于自变量的取值范围的变 化，这样使得的最大值取不到，即a取也满足条件，所以 。 所以，我们对这类题要注意看看函数能否取得最值，因为这直接关系到最后所求参数a的取值。利用这种方法时，一般要求把参数单独放在一侧，所以也叫分离参数法。 四：数形结合法 对一些不能把数放在一侧的，可以利用对应函数的图象法求解。 例5：已知，求实数a的取值范围。 解读：由，在同一直角坐标系中做出两个函数的图象，如果两个函数分别在x=-1和x=1处相交，则由 得到a分别等于2和0.5，并作出函数的图象，所以，要想使函数 在区间中恒成立，只须在区间对应的图象在 在区间对应图象的上面即可。当才能保证，而才可以，所以。 例谈不等式恒成立问题和能成立问题的解题策略 ——谈2008年江苏高考数学试卷第14题 摘要：所有问题均可分成三类：恒成立问题、能成立问题和不成立问题。《例谈不等式恒成立问题和能成立问题》介绍了解决不等式恒成立问题和不等式能成立问题常用的直接法、分离参数法、分类讨论法、数形结合法等，采用了等价转化的处理策略。 关键词：分离参数、分类讨论、数形结合、等价转化，换元，求最值。 2008年江苏高考数学试卷第14题是一道很好的恒成立问题：设函数3()31()f x ax x x R =-+∈若对于任意[]1,1x ∈-都有()0f x ≥成立，则实数a 的值为 。解析如下： 析：将()0f x ≥中的,a x 分离，然后求函数的最值。 解：函数3()31()f x ax x x R =-+∈若对于任意[]1,1x ∈-都有()0f x ≥成立，函数3()31()f x ax x x R =-+∈对于任意[)(]1,0,0,10x x x ∈-∈=及其有()0f x ≥都成立。 若[)1,0x ∈-，33213()310f x ax x a x x =-+≥?≤- +，设1t x =则1t ≤- 3232133(1)t t t x x ∴-+=-+≤-，令323(1)y t t t =-+≤-，则'2360y t t =-+< 323(1)y t t t ∴=-+≤-单调递减，32min 1(1)3(1)4t y y =-==--+-=，4a ∴≤（1） 若(]0,1x ∈，33213()310f x ax x a x x =-+≥?≥- +，设1t x =，则1t ≥ 3232133(1)t t t x x ∴-+=-+≥，令323(1)y t t t =-+≥，则'2363(2)y t t t t =-+=--，当12t ≤≤时'0y ≥，323(1)y t t t =-+≥单调递增；当2t >时'0y <，323(1)y t t t =-+≥单调递减，32max 22324t y y ===-+?=，4a ∴≥（2） 若0x =则a R ∈，()0f x ≥成立（3） 由题意知（1）（2）（3）应同时成立4a ∴= 解题中采取了不等式恒成立问题的处理策略: 1、若f(x)≥a 对x ∈D 恒成立，只须f(x)min (x ∈D)≥a 即可。 2、若f(x)≤a 对x ∈D 恒成立，只须f(x)max (x ∈D)≤a 即可。 恒成立问题常见类型及解法 恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：（1）一次函数型；（2）二次函数型；（3）变量分离型；（4）利用函数的性质求解；（5）直接根据函数的图象求解；（6）反证法求解。 一、一次函数型 给定一次函数()==+y f x kx b (k ≠0),若()=y f x 在[m,n]内恒有()f x >0，则根据函数的 图象（线段）可得①0()0>??>?k f m 或②0()0?k f n ，也可合并成f (m)0f (n)0>??>?， 同理，若在[,]m n 内恒有()0 及二次函数的图象求解。 典例2关于x 的方程9x +(4+a )3x +4=0恒有解，求a 的取值范围。 【解析】方法1（利用韦达定理） 设3x =t,则t>0.那么原方程有解即方程t 2 +(4+a )t+4=0有正根。 1212 Δ0 (4)040 ≥?? ∴+=-+>??=>?g x x a x x ，即2(4a)160a 4?+-≥?<-?，a 0a 8a 4≥≤-?∴?<-?或，解得a ≤-8. 方法2（利用根与系数的分布知识） 即要求t 2 +(4+a )t+4=0有正根。设f(t)= t 2 +(4+a )t+4. 当?=0时，即（4+a ）2 -16=0,∴a =0或a =-8. 当a =0时，f(t)=(t+2)2=0,得t=－2<0，不合题意； 当a =－8时，f(t)=(t-2)2 =0,得t=2>0,符合题意。∴a =-8。 当?>0，即a <-8或a >0时， ∵f(0)=4>0,故只需对称轴4a 02 +->，即a <－4.∴a <－8. 综上可得a ≤－8. 三、变量分离型 若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。 典例3设函数2 ()1f x x =-，对任意2,3x ??∈+∞????，2 4()(1)4()x f m f x f x f m m ??-≤-+ ??? 恒成立，则实数m 的取值范围是 【解析】依据题意得2 2222214(1)(1)14(1)---≤--+-x m x x m m 在3[,)2∈+∞x 上恒定成 立，即2 2213241-≤--+m m x x 在3[,)2∈+∞x 上恒成立。 当32=x 时函数2321=--+y x x 取得最小值53 -， 所以 221543-≤-m m ，即22(31)(43)0+-≥m m ，解得2≤-m 或2 ≥m 。 四、利用函数的性质解决恒成立问题 若函数f(x)是奇(偶)函数，则对一切定义域中的x,f(-x)= －f(x)，(f(-x)=f(x))恒成立；若函数y=f(x)的周期为T ，则对一切定义域中的x,有f(x)=f(x+T)恒成立；若函数 高中数学不等式的恒成立问题不等式恒成立的问题既含参数又含变量，往往与函数、数列、方程、几何有机结合起来，具有形式灵活、思维性强、不同知识交汇等特点. 考题通常有两种设计方式：一是证明某个不等式恒成立，二是已知某个不等式恒成立，求其中的参数的取值范围.解决这类问题的方法关键是转化化归，通过等价转化可以把问题顺利解决，下面我就结合自己记得教学经验谈谈不等式的恒成立问题的处理方法。 一、构造函数法 在解决不等式恒成立问题时，一种最重要的思想方法就是构造适当的函数，即构造函数法，然后利用相关函数的图象和性质解决问题，同时注意在一个含多个变量的数学问题中，需要确定合适的变量和参数，从而揭示函数关系，使问题更加面目更加清晰明了，一般来说，已知存在范围的量视为变量，而待求范围的量视为参数. 例1 已知不等式对任意的都成立，求的取值范围. 解：由移项得:.不等式左侧与二次函数非常相似，于是我们可以设则不等式对满足的 一切实数恒成立对恒成立.当时， 即 解得故的取值范围是. 注：此类问题常因思维定势，学生易把它看成关于的不等式讨论，从而因计算繁琐出错或者中途夭折；若转换一下思路，把待求的x为参数，以为变量，令 则问题转化为求一次函数（或常数函数）的值在内恒为负的问题，再来求解参数应满足的条件这样问题就轻而易举的得到解决了。 二、分离参数法 在不等式中求含参数范围过程中，当不等式中的参数（或关于参数的代数式）能够与其它变量完全分离出来并，且分离后不等式其中一边的函数（或代数式）的最值或范围可求时，常用分离参数法. 例2已知函数（为常数）是实数集上的奇函数，函数 在区间上是减函数. （Ⅰ）若对（Ⅰ）中的任意实数都有在上恒成立，求实数的取值范围. 解：由题意知，函数在区间上是减函数. 在上恒成立 注：此类问题可把要求的参变量分离出来，单独放在不等式的一侧，将另一侧看成新函数，于是将问题转化成新函数的最值问题：若对于取值范围内的任一个数 都有恒成立，则；若对于取值范围内的任一个数都有 恒成立，则. 三、数形结合法 如果不等式中涉及的函数、代数式对应的图象、图形较易画出时，可通过图象、图形的位置关系建立不等式求得参数范围. 例 3 已知函数若不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 不等式恒成立、能成立、恰成立问题 一、不等式恒成立问题的处理方法 1、转换求函数的最值： （1）若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A >，?()f x 的下界大于A （2）若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <,()f x 的上界小于A 例1、设f(x)=x2-2ax+2,当x ∈[-1,+∞]时，都有f(x)≥a 恒成立，求a 的取值围。 例2、已知(),22x a x x x f ++=对任意[)()0,,1≥+∞∈x f x 恒成立,试数a 的取值围; 例3、R 上的函数()x f 既是奇函数，又是减函数，且当 ??? ??∈2,0πθ时，有()()022sin 2cos 2>--++m f m f θθ恒 成立，数m 的取值围. 例4、已知函数)0(ln )(44>-+=x c bx x ax x f 在1=x 处取得极值3c --，其中a 、b 为常数.（1）试确定a 、b 的值； （2）讨论函数)(x f 的单调区间； （3）若对任意0>x ，不等式22)(c x f -≥恒成立，求c 的取值围。 2、主参换位法 例5、若不等式a 10x -<对 []1,2x ∈恒成立，数a 的取值围 例6、若对于任意 1a ≤，不等式2(4)420x a x a +-+->恒成立，数x 的取值围 例7、已知函数323()(1)132a f x x x a x = -+++，其中a 为实数．若不等式2()1f x x x a '--+＞对任意(0)a ∈+∞，都成立，数x 的取值围． 3、分离参数法 （1） 将参数与变量分离，即化为 ()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式； （2） 求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值； （3） 解不等式()max ()g f x λ≥(或()()min g f x λ≤) ，得λ的取值围。 适用题型：（1） 参数与变量能分离；（2） 函数的最值易求出。 例8、当(1,2)x ∈时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值围是 . 例9、已知函数321()33f x ax bx x =+++,其中0a ≠（1）当b a ,满足什么条件时,)(x f 取得极值?（2）已知0>a , 且)(x f 在区间(0,1]上单调递增,试用a 表示出b 的取值围. 4、数形结合 例10 、若对任意x R ∈,不等式||x ax ≥恒成立，则实数a 的取值围是________ 例11、当x ∈(1,2)时，不等式2(1)x -利用函数的最值求不等式恒成立问题
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