一元二次方程的根与系数的关系(一)
一元二次方程根与系数的关系的知识内容主要是以前一单元中的求根公式为基础的。教材通过一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的求根公式得出一元二次方程根与系数的关系,以及以数x 1、x 2为根的一元二次方程的求方程模型。然后是
通过4个例题介绍了利用根与系数的关系简化一些计算的知识。例如,求方程中的特定系数,求含有方程根的一些代数式的值等问题,由方程的根确定方程的系数的方法等等。
根与系数的关系也称为韦达定理(韦达是法国数学家)。韦达定理是初中代数中的一个重要定理。这是因为通过韦达定理的学习,把一元二次方程的研究推向了高级阶段,运用韦达定理可以进一步研究数学中的许多问题,如二次三项式的因式分解,解二元二次方程组;韦达定理对后面函数的学习研究也是作用非凡。
通过近些年的中考数学试卷的分析可以得出:韦达定理及其应用是各地市中考数学命题的热点之一。出现的题型有选择题、填空题和解答题,有的将其与三角函数、几何、二次函数等内容综合起来,形成难度系数较大的压轴题。
通过韦达定理的教学,可以培养学生的创新意识、创新精神和综合分析数学问题的能力,也为学生今后学习方程理论打下基础。
(二)重点、难点
一元二次方程根与系数的关系是重点,让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系,并用语言表述,以及由一个已知方程求作新方程,使新方程的根与已知的方程的根有某种关系,比较抽象,学生真正掌握有一定的难度,是教学的难点。
学情分析1.学生已学习用求根公式法解一元二次方程,。
2.本课的教学对象是九年级学生,学生对事物的认识多是直观、形象的,他们所注意的多是事物外部的、直接的、具体形象的特征,
3.在教学初始,出示一些学生所熟悉和感兴趣的东西,结合一元二次方程求根公式使他们在现代化的教学模式和传统的教学模式相结合的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系。
(三)教学目标
1、知识目标:要求学生在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系式,
能运用根与系数的关系由已知一元二次方程的一个根求出另一个
根与未知数,会求一元二次方程两个根的倒数和与平方数,两根之
差。
2、能力目标:通过韦达定理的教学过程,使学生经历观察、实验、猜想、证明
等数学活动过程,发展推理能力,能有条理地、清晰地阐述自己的
观点,进一步培养学生的创新意识和创新精神。
3、情感目标:通过情境教学过程,激发学生的求知欲望,培养学生积极学习数
学的态度。体验数学活动中充满着探索与创造,体验数学活动中的
成功感,建立自信心。
二、设计理念
根据教材内容和本人研究的课题《初中数学问题引探教学实验研究》,在教学中渗透新课标的精神,注重过程数学,注重创新教学,注重问题意识,关注学生的学习兴趣和经验,让学生主动参与学习活动,主动探索并获取知识,教师是组织者、引导者、参与者。
三、教法与学法
(一)教法
1、充分以学生为主体进行教学,让学生多实践,从实践中反思过程,让学生经历韦达定理的发生发展过程,并从中体验成功的乐趣。
2、采用“实践(练习)——观察——发现——猜想——证明”的过程教学。引导学生发现问题,师生共同解决问题。
3、分小组讨论交流,多渠道信息反馈。
4、问题引探,启发诱导,进行创新教学。
(二)学法指导
1、引导学生实践、观察、发现问题、猜想并推理。
2、指导学生掌握思考问题的方法及解决问题的途径。
3、指导学生熟练掌握根与系数的关系,并将应用问题和规律归类。
四、课时划分及教学过程
(一)课时划分
共分3课时
第一课时
1、根与系数的关系。
2、根与系数的关系的应用。
(1)求已知方程的两根的平方和、倒数和、两根差。
第二课时
1、已知两数求作新方程。
2、由已知两根和与积的值或式子,求字母的值。
第三课时
方程判别式、根与系数的关系的综合应用。
第一课时一元二次方程根与系数的关系(1)
一、教学目标
1、理解掌握一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根x
1,x
2
与系数a、b、c之间
的关系。
2、能根据根与系数的关系式和已知一个根的条件下,求出方程的另一根,以及方程中的未知数。
3、会求已知方程的两根的倒数和与平方和、两根的差。
4、在推导过程中,培养学生“观察——发现——猜想——证明”的研究问题的思想与方法。
二、重难点
根与系数的关系是重点,由于式子的抽象性,两根之和等于一次项系数除以二次项系数的相反数中的符号是学生理解和掌握的难点。
三、教学过程
(一)问题引探
问题1.在方程ax2+bx+c=0中,a的取值决定什么?b2-4ac的取值呢?同学们可知道a、b、c的取值与一元二次方程ax2+bx+c=0的根还有其它关系?今天我们进一步研究一元二次方程的这种关系。
问题2.一元二次方程有几种解法?(直接开平方法,配方法,公式法,因式分解法。)
问题3.解一元二次方程的公式是什么,方程x2-5x+6=0,并先指出a、b、c 各是多少,然后再解方程,计算两根的和与积,你能发现什么结论(现象)?问题4.解下列方程:(自己动手解)
(1)x2-7=0 (2)x2-4x+3=0
(3)x2+x-3=0 (4)3x2+5x+3=0
并根据问题2和以上的求解填写下表
(1)x2-7=0 x
1+x
2
=________ x
1
x
2
=________
(2x2-4x+3=0 x
1+x
2
=________ x
1
x
2
__________
(3)x2+x-3=0 x
1+x
2
= _________ x
1
x
2
= __________
(4)3x2+5x+3=0 x
1+x
2
= ________ x
1
x
2
= _________
请观察上表,你能发现两根之和、两根之积与方程的系数之间有什么关系吗?
问题5.请根据以上的观察发现进一步猜想:方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根
x 1,x
2
与a、b、c之间的关系:x
1
+x
2
=______,x
1
x
2
= ______ .
问题6.你能证明上面的猜想吗?请证明,并用文字语言叙述说明。
分小组讨论以上的问题,并作出推理证明。
若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根为
则x
1
+x
2
=______+______=______
x
1
x
2
=______·______ =______
即:如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两根是x
1
,x
2
,那么x
1
+x
2
= ,x
1
x
2
= 由此得出一元二次方程的根与系数的关系;还可以让学生用自己的语言表述
这种关系,来加深理解和记忆。
这个关系是一个法国数学家韦达发现的,所以也称之为韦达定理。
说明:1、本设计采用“实践——观察——发现——猜想——证明”的过程,使学生既动手又动脑,且又动口,教师引导启发,避免注入式地讲授一元二次方程根与系数的关系,体现学生的主体学习特性,培养了学生的创新意识和创新精神。
2、本设计遵循由特殊到一般,从实践到理论(即从感性认识上升到理性认识)的认知规律。
3、本设计注重了学生的反思过程,使学生将知识系统化、格式化。
(二)尝试发展
试一试:根据根与系数的关系写出下列方程的两根之和与两根之积(方程两根为
x 1,x
2
、k是常数)
(1)x2-6x+15=0 (2)x2+5x+9= 0
(3)5x2+x-2=0 (4)5x2+kx-6=0 (此试一试作为巩固知识而用)
尝试题1、已知方程6x2+kx-5=0的一个根为2,求它的另一个根及k的值。
组织学生自己分析解决,然后在草稿本上练习。
尝试题2、已知方程x2+ax-6=0的两根为x
1、x
2
,求a的值
尝试题3、已知方程x2-3x+c=0的一个根为2,求它的另一个根及c的值
尝试题4、已知方程x2+ax+b=0的两根为2和3,则a =______,b=______ 。
若两根互为相反数,则a =______,b=______ 。
尝试题5、利用根与系数的关系,求一元二次方程x2-5x+6=0的两个根为x
1,x
2
求(1)x
12+ x
2
2(2)x
1
2+ x
2
2+ x
1
x
2;
(3)倒数和
讨论:解上面问题的思路是什么?
得出:x
12+ x
2
2=( x
1
+x
2
)2-2 x
1
x
2;
(将平方和、倒数和转化为两根和与积的代数
式)
(三)归纳小结
本课主要研究了什么?1、方程的根是由系数决定的。2、a≠0时,方程ax2+bx+ c=0是一元二次方程。3、a≠0,且b2-4ac≥0时,方程ax2+bx+c=0的根为x
1、2
则x
1+x
2
=______,x
1
x
2
=______ 。
4、方程根与系数关系的有关应用。
(1)已知一根求另一根及k的值;(2)求有关代数式的值。
(四)布置作业:完成导学案练习
(五)板书设计(略
一元二次方程根与系数的关系的教学反思
本节课通过情景设置,激发起学生的好奇心和求知欲,在此推动下,引领学生展开探究活动,并将探究根与系数的关系进行探究,这样处理基于如下的原因,使得每一位学生都能参与探究,学生的认知能力总是有所差异的,给予学生一个适度的梯度探究空间,在循序渐进的教学原则下,通过“特例探究——一般猜证——深化理解”的教学设计,由“实验——猜想——再实验——再猜想”的探究过程,使学生感悟认识事物的规律是由特殊到一般,由具体到抽象的思维过程,学生在这样的氛围下,会感到新知是旧知的自然延伸和自然流露,对于学生而言,既经历了一次探究性学习,又得到了一次思想方法的涵育和能力提升的机会。
总之,在整个教学设计中,充分发挥了教师主导、学生主体的作用,通过学生自身体验过程、探究发现,激发学生获得求知的欲望;通过发现、猜想、证明的过程,使学生感受数学研究的方法与思想。学习例题、习题中渗透的数学的思想,以此为载体,充分发挥其素质教育的功能,培养起学生的发散性思维和探究能力。
课题解实系数一元二次方程 教学目标: 1.掌握在复数集内解一元二次方程和解二项方程的方法;使学生掌握含有未知数 的解法. 2.教学过程中,渗透数学转化思想及方程的思想,提高学生灵活运用数学知识解题的能力;培养学生严谨的逻辑思维. 3.通过对实系数一元二次方程在实数范围内求解和在复数范围内求解的比较,认识到任何事物都是相对的,而不是绝对的这一辩证唯物主义的观点. 教学重点与难点: 个复数相等的充分必要条件的运用. 教学过程: 一、引入新课 问题一:方程x2+1=0在复数范围内有没有解,解集是什么? 因为-1=i2,则原方程化为x2-i2=0,即(x+i)(x-i)=0.所以原方程解集为{i,-i}.问题二:方程ax2+bx+c=0(a,b,c是实数)在复数范围内解集是什么? 当Δ=b2-4ac>0时,方程有两个不相等的实根,解集为 二、讲授新课 引导思考:方程x2+1=0中,Δ=-4<0,上述结论对吗? 解为: 无意义.此时方程的解集为 1、实系数一元二次方程ax2+bx+c=0在复数范围内解的情况为: 当Δ≥0时有实根; 当Δ<0时,有一对共轭的虚根. 例1 、在复数集上解方程x2-4x+5=0
i i x ac b ±=±=<-=-2244,0442所以 解: 例2 已知实系数一元二次方程2x 2+ax +b=0的一个根为2i-3,求a ,b 的值. 解:2x 2+ax +b=0一根为2i-3,另一根为-3-2i .由韦达定理知: b=(2i-3)(-2i-3)=9+16=25, a=2i-3+(-2i-3)=-6. 我们上面解决了实系数一元二次方程求解问题.对于至少有一个系数是虚数的一元二次方程应该如何解? 例3 求方程x 2-2ix-5=0的解. 解:将方程左端配方,得(x-i )2-4=0,即(x-i )2=4.解得x-i=±2,即x 1=2+i ,x 2=-2+i . 练习P22 1、2、3 2、二项方程:形如),0,,,0(N n a C b a b ax n ∈≠∈=+的方程,任何一个二项方程都可以化为)(C c c x n ∈=的形式,都可以用复数的开方来求根. 例4、在复数集上解方程x 5=32. ??? ??+=+===+=+=54sin 54cos 2)5 2sin 52(cos 22 4,3,2,1,0),5 2sin 52(cos 2) 0sin 0(cos 323215ππππππi x i x x k k i k x i x 即:所以解:原方程就是 ??? ??+=+=58sin 58cos 2)56sin 56(cos 254ππππi x i x 这个方程的根的几何意义是复平面内的五个点,这些点均匀分布在以原点为圆心,以2为半径的圆上.
一元二次方程根与系数的关系(附答案) 评卷人得分 一.选择题(共6小题) 1.已知关于x的一元二次方程3x2+4x﹣5=0,下列说法正确的是() A.方程有两个相等的实数根B.方程有两个不相等的实数根 C.没有实数根D.无法确定 · 2.关于x的一元二次方程x2+2x﹣m=0有实数根,则m的取值范围是()A.m≥﹣1 B.m>﹣1 C.m≤﹣1 D.m<﹣1 3.关于x的一元二次方程x2+3x﹣1=0的根的情况是() A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根 C.没有实数根D.不能确定 4.设x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根,则x12+x22的值是()A.2 B.4 C.5 D.6 5.若α、β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根,则α+β的值为()A.﹣5 B.5 C.﹣2 D. 6.已知关于x的方程x2﹣4x+c+1=0有两个相等的实数根,则常数c的值为()》 A.﹣1 B.0 C.1 D.3 评卷人得分 二.填空题(共1小题) 7.若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a=0(a≠0)的两个不等实数根分别为p,q,且p2﹣pq+q2=18,则的值为.
评卷人· 得分 三.解答题(共8小题) 8.已知关于x的方程x2﹣(2k+1)x+k2+1=0. (1)若方程有两个不相等的实数根,求k的取值范围; (2)若方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长,且k=2,求该矩形的对角线L 的长. 9.已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0. (1)若该方程的一个根为1,求a的值; (2)求证:不论a取何实数,该方程都有两个不相等的实数根. · 10.已知关于x的一元二次方程(x﹣m)2﹣2(x﹣m)=0(m为常数). (1)求证:不论m为何值,该方程总有两个不相等的实数根; (2)若该方程一个根为3,求m的值. 11.已知关于x的一元二次方程x2﹣x+a﹣1=0. (1)当a=﹣11时,解这个方程; (2)若这个方程有两个实数根x1,x2,求a的取值范围; (3)若方程两个实数根x1,x2满足[2+x1(1﹣x1)][2+x2(1﹣x2)]=9,求a的值.12.已知x1,x2是关于x的一元二次方程4kx2﹣4kx+k+1=0的两个实数根.(1)是否存在实数k,使(2x1﹣x2)(x1﹣2x2)=﹣成立若存在,求出k的值;若不存在,说明理由; (2)求使+﹣2的值为整数的实数k的整数值; : (3)若k=﹣2,λ=,试求λ的值. 13.已知关于x的方程(k+1)x2﹣2(k﹣1)x+k=0有两个实数根x1,x2. (1)求k的取值范围;
中考数学辅导之—一元二次方程根与系数之间关系 从暑假开始,我们系统学习了一元二次方程解法及一元二次根判别式和一元二次方程根与系数之间关系.本次,我们全面复习前面所学内容,下次,我们将学习几何中第六章解直角三角形. 一、基本内容 1.一元二次方程含义:含有一个未知数,且未知数次数最高是2整式方程叫一元二次方程. 2.一般形式:ax 2+bx+c=0(a ≠0) 3.解法: ①直接开平方法:形如x 2=b(b ≥0)和(x+a)2=b(b ≥0)形式可直接开平方.如(3x-1)2=5两边开平方得: 513±=-x 513±=x 3 51,35121-=+=∴x x ②配方法:例:01232=--x x 解:1232=-x x 31322=- x x 9 13191322+=+-x x 94)31(2=-x 3 231±=-x 3231±=x 3 1,121-==∴x x 此类解法在解一元二次方程时,一般不用.但要掌握,因为很多公式推导用这种方法. ③公式法:)0(2)0(02≥??±-=≠=++a b x a c bx ax 的求根公式是 ④因式分解法:方程右边为零.左边分解成(ax+b)(cx+d)形式,将一元二次方程转化成ax+b=0,cx+d=0形式,变成两个一元一次方程来解. 4.根判别式:△=b 2-4ac b 2-4ac>0 方程有两个不相等实根. b 2-4ac=0 方程有两个相等实根. b 2-4ac<0 方程无实根. b 2-4a c ≥0 方程有实根. 有三种应用: ①不解方程确定方程根情况. ②利用方程根条件(如有两个不相等实根,无实根,有实根等) 利用Δ建立不等式求m 或k 取值范围. ③证明Δ必小于零,或Δ必大于零来证明方程无实根或一定有实根,将Δ化成完全平方式,叙述不论m(或k)无论取何值,一定有Δ>0或Δ<0来证.
复数范围内实系数一元二次方程(19题)(答案) 1 、若实系数一元二次方程的一个根是13+,则这个方程可以是 228039 x x -+= . 2、复数集内分解221x x ++= 2(x x - 3、已知1x 与2x 是方程: 20(0)ax bx c a ++=≠在复数集中的两根,则下列等式成立的是( C ) (A) 1x 与2x 共轭 (B) 240b ac ?=-≥ (C)1212,b c x x x x a a +=-=, (D)12||x x -=212214)(x x x x -+ 4、判断下列命题的真假,并说明理由; (1)在复数范围内,方程20(,,ax bx c a b c ++=∈R ,且0)a ≠总 有两个根.( √ ) ) (2)若12i +是方程20x px q ++=的一个根,则这个方程的另 一个根是12i -.( ? ) (3)若方程20x px q ++=有两个共轭虚根,则p 、q 均为实数.( √) 5、已知复数z ,解方程3i 13i z z -?=+. 解:设i()z x y x y =+∈R ,,则方程可化为(3)(3)i 13i x y y x -+-=+. 由复数相等,有3133x y y x -=??-=?,,解得543.4 x y ?=-????=-??,. ∴53i 44z =--. 6、适合方程20z z i --=的复数z 12 i 7、适合方程2560z z -+=的复数z ; | 若z R ∈,则25602,32,3z z z z z z -+=?==?=±=± 若z 为虚数, 设(,,0)z a bi a b R b =+∈≠ ,则2()60a bi +-= 222226026020a b a b abi ab ??--=-+-=??=?? 2222606056010a b b b b b a ??--=??--=?+-=?=±?=?? 所以,方程的解为2,2,3,3,,i i ---。 8、解方程210x ix i -+-= (1)x R ∈ (2)x C ∈ 解:(1)1x = (2)11x orx i ==-
一元二次方程(根与系数关系专题测试) 一、单选题(共10题;共30分) 1.已知x1,x2是方程x2﹣3x﹣2=0的两根,则x12+x22的值为() A. 5 B. 10 C. 11 D. 13 2.已知关于x的一元二次方程x2+5x﹣m=0的一个根是2,则另一个根是() A. ﹣7 B. 7 C. 3 D. ﹣3 3.一元二次方程x2-5x+6=0的两根分别是x1、x2,则x1+x2等于() A. 5 B. 6 C. -5 D. -6 4.是方程的两根, 的值是() A. 2017 B. 2018 C. 2019 D. 2020 5.关于x的方程有两个实数根,,且,那么m的值为() A. -1 B. -4 C. -4或1 D. -1或4 6.关于x的方程(为常数)根的情况下,下列结论中正确的是() A. 两个正根 B. 两个负根 C. 一个正根,一个负根 D. 无实数根 7.已知一元二次方程x2﹣4x+m=0有一个根为2,则另一根为() A. ﹣4 B. ﹣2 C. 4 D. 2 8.已知,是一元二次方程的两个实数根且,则的值为(). A. 0或1 B. 0 C. 1 D. -1 9.若α,β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根,则α2+β2+αβ的值为() A. 10 B. 9 C. 7 D. 5 10.若a≠b,且则的值为() A. B. 1 C. .4 D. 3 二、填空题(共6题;共18分) 11.如果x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根,那么x1+x2=﹣, x1x2= ,这就是一元二次方程根与系数的关系(韦达定理).利用韦达定理解决下面问题:已知m与n是方程x2﹣5x﹣25=0的两根,则+ =________. 12.一元二次方程的两根为,则________
中考数学辅导之—一元二次方程根与系数之间的 关系 我们系统的学习了一元二次方程的解法及一元二次根的判别式和一元,从暑假开始我们将学习几何,二次方程根与系数之间的关系.本次,我们全面复习前面所学内容,下次. 中的第六章解直角三角形一、基本内容的整式方程叫一元且未知数的次数最高是1.一元二次方程含义:含有一个未知数,2. 二次方程20) +bx+c=0(a一般形式:ax≠2.: 3.解法22如=b(b≥0)0)和(x+a)的形式可直接开平方:①直接开平方法形如 x.=b(b≥2: 两边开平方得(3x-1)=551?51??,?x?x5?x53?13x?1??21332 :② 配方法:例03x??2x?11222解:1?2x3x??xx?3311212?xx??? 939321412??x?(x)??3393121?,xx????x?121333因 为很多公式的推导用这种方,.但要掌握此类解法在解一元二次方程时,一般不用. 法?b??2)??0(?0axbx??c?0(a?)的求根公式是x:③公式法a2将一元二次方程转,:方程右边为零.左边分解成(ax+b)(cx+d)的形式④因式分解法. 变成两个一元一次方程来解化成ax+b=0,cx+d=0的形式,2-4ac =b根的判别式:△4.2. 方程有两个不相等实根b-4ac>0 2-4ac=0 方程有两个相等实根. b2-4ac<0 方程无实根. b2-4ac≥0 b方程有实根. 有三种应用: ①不解方程确定方程的根的情况. ②利用方程的根的条件(如有两个不相等实根,无实根,有实根等) 利用Δ建立不等式求m或k的取值范围. ③证明Δ必小于零,或Δ必大于零来证明方程无实根或一定有实根,将Δ化成完 全平. 来证<0Δ或>0Δ一定有,无论取何值k)或m(叙述不论,方式 cb2. +bx+c=0(a≠0)的根,则5.根与系数间的关系,某x,x是ax?x,x?x?x??212121aa: 应用. 求方程中m或k的值或另一根①不解方程,. 求某些代数式的值②不解方程,. 的取值范围m或k③利用两根的关系,求方程中. 使它与原方程有某些关系④建立一个方程,. ⑤一些杂题 : 二、本次练习: 填空题(一)22mx??x3mx?2x?m m=____. 1.关于x是一元二次方程的方程,则2常数化成一元二次方程的形式是____.其一次项系数是 2.将方程4x____,-kx+k=2x-1____. 项是222x=____. 则代数式(x+2)+(x-2)的值相等的值与8(x,-2)3.522 +( )=(x- )4.x?x 22k=____.
13.6(1)实系数一元二次方程 上海市新中高级中学 陶志诚 一、教学内容分析 本节内容是在前面学习了复数的运算后,对初中已学过的一元二次方程的求根公式和韦达定理的推广和完善. 为了实际应用和数学自身发展的需要,数的概念需要再一次扩充——由实数扩充到了复数,解决了负数开平方的问题。那么实系数一元二次方程20a x b x c ++=,当240b ac ?=-<时方程在复数集中解的情况同样需要进一步研究.因此,本节课主要是探讨实系数一元二次方程在复数集中解的情况和在复数范围内如何对二次三项式进行因式分解等问题. 二、教学目标设计 理解实系数一元二次方程在复数集中解的情况;会在复数集中解实系数一元二次方程;会在复数范围内对二次三项式进行因式分解;理解实系数一元二次方程有虚数根时根与系数的关系,并会进行简单应用. 三、教学重点及难点 在复数集中解实系数一元二次方程;在复数范围内对二次三项式进行因式分解. 四、教学用具准备 电脑、实物投影仪 五、教学流程设计
六、教学过程设计 (一)复习引入 1.初中学习了一元二次方程20ax bx c ++=(a b c R ∈、、且0)a ≠的求根公式,我 们回顾一下: 当240b ac ?=-≥ 时,方程有两个实数根:2b x a =-± 2.上一节课学习了“复数的平方根与立方根”,大家知道-1的平方根是:i ±. 设问①:一元二次方程210x +=在复数范围内有没有解? 设问②:在复数范围内如何解一元二次方程210x x ++=? [说明] 设问①学生可以根据“复数的平方根”知,x 即为-1的平方根:i ±;设问②是为了引出本节课的课题:实系数一元二次方程. (二)讲授新课 1、实系数一元二次方程在复数集C 中解的情况: 设一元二次方程20(0)ax bx c a b c R a ++=∈≠、、且. 因为0a ≠,所以原方程可变形为2b c x x a a +=-, 配方得
一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练 一、根据判别式,讨论一元二次方程的根。 例1:已知关于的方程(1)有两个不相等的实数根,且关于的方程(2)没有实数根,问取什么整数时,方程(1)有整数解? 分析:在同时满足方程(1),(2)条件的的取值范围中筛选符合条件的的整数值。 解:∵方程(1)有两个不相等的实数根, ∴ 解得; ∵方程(2)没有实数根, ∴ 解得; 于是,同时满足方程(1),(2)条件的的取值范围是 其中,的整数值有或 当时,方程(1)为,无整数根; 当时,方程(1)为,有整数根。 解得: 所以,使方程(1)有整数根的的整数值是。 总结:熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础,正确确定的取值范围,并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理,从而筛选出 ,这也正是解答本题的基本技巧。 二、判别一元二次方程两根的符号。 例1:不解方程,判别方程两根的符号。
分析:对于来说,往往二次项系数,一次项系数,常数项皆为已知,可据此求出根的判别式△,但△只能用于判定根的存在与否,若 判定根的正负,则需要确定或的正负情况。因此解答此题的关键是:既要求出判别式的值,又要确定或的正负情况。 解:∵,∴△=—4×2×(—7)=65>0 ∴方程有两个不相等的实数根。 设方程的两个根为, ∵<0 ∴原方程有两个异号的实数根。 总结:判别根的符号,需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定,另外由于本题中<0,所以可判定方程的根为一正一负;倘若>0,仍需考虑的正负,方可判别方程是两个正根还是两个负根。 三、已知一元二次方程的一个根,求出另一个根以及字母系数的值。 例2:已知方程的一个根为2,求另一个根及的值。 分析:此题通常有两种解法:一是根据方程根的定义,把代入原方程,先求出的值,再通过解方程办法求出另一个根;二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。 解法一:把代入原方程,得: 即 解得 当时,原方程均可化为: ,