中考数学二轮复习二次根式知识归纳总结含答案

一、选择题

1．

5﹣x ，则x 的取值范围是（ ）

A ．为任意实数

B ．0≤x≤5

C ．x≥5

D ．x≤5

2．下列计算正确的为（ ）．

A

5=-

B

=C

=+ D

= 3．若

有意义，则 x 的取值范围是 （ ） A ．3x > B ．3x ≥

C ．3x ≤

D ．x 是非负数 4．

已知2a =

，2b =

的值为（ ）

A ．4

B ．5

C ．6

D ．7 5．在函数

中，自变量x 的取值范围是（ ） A ．x≥－2且x≠3 B ．x≤2且x≠3 C ．x≠3 D ．x≤－2

6．当4x =

-的值为（ ）

A ．1 B

C ．2

D ．3 7．下列计算正确的是（ ）

A

6=± B

．=C

．6= D

=（a≥0，b≥0）

8．x ≥3是下列哪个二次根式有意义的条件（ ） A

B

C

D

9．下列属于最简二次根式的是( )

A

B

C

D

10．如果实数x ，y

=-(),x y 在（ ）

A ．第一象限

B ．第二象限

C ．第一象限或坐标轴上

D ．第二象限或坐标

轴上 二、填空题

11．

设4 a,小数部分为 b.则1a b

- = __________________________.

12．将2(3)(0)3a a a a -<-化简的结果是___________________. 13．设四边形ABCD 是边长为1的正方形，以对角线AC 为边作第二个正方形ACEF ，再以对角线AE 为边作第二个正方形AEGH ，如此下去……．

⑴记正方形ABCD 的边长为11a =，按上述方法所作的正方形的边长依次为

234,,,,n a a a a ，请求出234,,a a a 的值；

⑵根据以上规律写出n a 的表达式．

14．3x x

=，且01x <<2691x x x =+-______． 15．)230m m --≤，若整数a 满足52m a +=a =__________．

16．已知a 73

+a 3+5a 2﹣4a ﹣6的值为_____． 17．11882． 18．已知x 51-，y 51+，则x 2＋xy ＋y 2的值为______． 19．化简：3222＝_____．

20．1+x

有意义，则x 的取值范围是____． 三、解答题

21．计算：

（18322（2）

)((25225382

+-+． 【答案】(1)52

【分析】

（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可；

（2）根据平方差公式化简，再化简、合并同类二次根式即可.

【详解】

（1

=

=

（2）)((222

+-+

=2223

--+ =5-4-3+2

=0

22．已知1,2y =. 【答案】1

【解析】

【分析】

根据已知和二次根式的性质求出x 、y 的值，把原式根据二次根式的性质进行化简，把x 、y 的值代入化简后的式子计算即可．

【详解】

1-8x≥0，x≤

18 8x-1≥0，x≥

18，∴x=18，y=12，

∴原式532-==1222

. 【点睛】

本题考查的是二次根式的化简求值，把已知条件求出x 、y ，把要求的代数式进行正确变形是解题的关键，注意因式分解在化简中的应用．

23．观察下列等式：

1

==；

==

== 回答下列问题：

（1

（2）计算：

【答案】（1（2）9

【分析】

（1）根据已知的31

=-n=22代入即可

求解；（2）先利用上题的规律将每一个分数化为两个二次根式的差的形式，再计算即可．

【详解】

解：（1

= （2+

99+

=1100++-

=1

=10-1

=9.

24．先化简，再求值：(()69x x x x --+，其中1x =.

【答案】化简得6x+6，代入得

【分析】

根据整式的运算公式进行化简即可求解. 【详解】

(()

69x x x x +--+

=22369x x x --++

=6x+6

把1x =代入原式=61）

【点睛】

此题主要考查实数的运算，解题的关键熟知整式的运算法则.

25．先化简，再求值：24224x x x x x x ??÷- ?---??，其中2x =．

【答案】

22

x x +-，1 【分析】

先把分式化简，然后将x 、y 的值代入化简后的式子求值即可．

【详解】 原式(2)(2)22(2)2

x x x x x x x x +-+=?=---，

当2x =

时，原式1==. 【点睛】

本题考查了分式的化简求值这一知识点，把分式化到最简是解题的关键．

26．计算

（1

）

)(

1

21123-??-- ??

（2

）已知：

1

1

,22x y ==，求22x xy y ++的值． 【答案】（1）28-；（2）17．

【分析】

（1）先利用完全平方公式和平方差公式计算二次根式的乘法、负指数幂运算，再计算二次根式的加减法即可得；

（2）先求出x y +和xy 的值，再利用完全平方公式进行化简求值即可得．

【详解】

（1

）原式(

)(

(

22

1312??=?+--????，

((

)1475452=?+---

230=+

28=-；

（2

）

(

1119,

22x y =

=

，

1

1

22x y ∴

+=

+=， ()1

1119112224xy =

?=?-=， 则()222x xy y x y xy ++=+-， 22=-，

192=-，

17=．

【点睛】

本题考查了二次根式的混合运算、完全平方公式和平方差公式等知识点，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．

27．计算：

（1 （2）（)()2

221-

【答案】2）1443

【分析】

(1)先化成最简二次根式，然后再进行加减运算即可；

(2)套用平方差公式和完全平方式进行运算即可．

【详解】

解：(1)原式＝23223323，

(2)原式(34)(12431)1124311443，

故答案为：1443．

【点睛】

本题考查二次根式的四则运算，熟练掌握二次根式的四则运算是解决本题的关键．

28．先阅读下面的解题过程，然后再解答.

a ，

b ，使a b m +=，ab n =，即22m +==

0)a b ==±>.

这里7m =，12n =，

由于437+=，4312?=，

所以22+==，

2===.

.

【答案】见解析

【分析】

应先找到哪两个数的和为13，积为42．再判断是选择加法，还是减法．

【详解】

根据题意，可知13m =，42n =，

由于7613+=，7642?=，

所以2213+=，=

=

==

【点睛】 此题考查二次根式的性质与化简，解题关键在于求得13m =，42n =.

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、选择题

1．D

解析：D

【分析】

根据二次根式的性质得出5-x≥0，求出即可．

【详解】

|5|5x x ==-=-，

∴5-x≥0，

解得：x≤5，

故选D ．

【点睛】

本题考查了二次根式的性质的应用，注意：当a≥0，当a≤0．

2．D

解析：D

【分析】

根据二次根式的性质、二次根式的加法以及混合运算的法则逐项进行判断即可．

【详解】

A 5=，故A 选项错误；

B B 选项错误；

C ．+

+=222

，故C 选项错误；

D 2

=，正确， 故选D ．

【点睛】

本题考查了二次根式的运算，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键．

3．B

解析：B

【分析】

直接利用二次根式有意义的条件进而分析得出答案．

【详解】

有意义的x 的取值范围是：x ≥3．

故选：B ．

【点睛】

本题考查二次根式有意义的条件，解题关键是正确掌握定义和二次根式有意义的条件．

4．B

解析：B

【分析】

根据二次根式的混合运算和完全平方公式进行计算，即可得到结果．

【详解】

解：∵2a =，2b =，

∴227a b ++

2252527 55454745

4 25= ∴

255

故选：B ．

【点睛】

本题主要考查了二次根式的混合运算和完全平方公式，熟悉相关运算法则是解题的关键 5．A

解析：A

【分析】

根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，列不等式组求解．

【详解】

解：根据题意，有

2030x x +≥??-≠?

， 解得：x ≥-2且x ≠3；

故选：A ．

【点睛】

当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．

6．A

解析：A

【分析】

根据分式的运算法则以及二次根式的性质即可求出答案．

【详解】

解：原式2223232323x x x x

1

12323

x x 将4x =代入得， 原式1

1423

423 221

11313

3113 3

33113

1=.

故选：A.

【点睛】

本题考查分式的运算以及二次根式的性质，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及观察出分母可以开根号，本题属于较难题型．

7．D

解析：

D

6=，故A 不正确；

根据二次根式的除法，可直接得到2=，故B 不正确；

根据同类二次根式的性质，可知C 不正确；

（a≥0，b≥0）可知D正确.

故选：D

8．D

解析：D

【分析】

根据二次根式有意义的条件逐项求解即可得答案.

【详解】

A、x+3≥0，解得：x≥-3，故此选项错误；

B、x-3＞0，解得：x＞3，故此选项错误；

C、x+3＞0，解得：x＞-3，故此选项错误；

D、x-3≥0，解得：x≥3，故此选项正确，

故选D．

【点睛】

本题考查了二次根式和分式有意义的条件，二次根式的被开方数是非负数．分式的分母不能等于0．

9．B

解析：B

【分析】

判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．

【详解】

解：A，不符合题意；

B

C=2，不符合题意；

D

故选B．

【点睛】

本题考查了最简二次根式的定义．在判断最简二次根式的过程中要注意：

（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；

（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．

10．D

解析：D

【分析】

先判断出点的横纵坐标的符号，进而判断点所在的象限或坐标轴．

【详解】

=-

∴x 、y 异号，且y>0，

∴x<0，或者x 、y 中有一个为0或均为0．

∴那么点(),x y 在第二象限或坐标轴上．

故选：D ．

【点睛】

根据二次根式的意义，确定被开方数的取值范围，进而确定a 、b 的取值范围，从而确定点的坐标位置．

二、填空题

11．【分析】

根据实数的估算求出a,b ，再代入即可求解.

【详解】

∵1＜＜2，

∴-2＜-＜-1，

∴2＜＜3

∴整数部分a=2,小数部分为-2=2-，

∴==

故填：.

【点睛】

此题主要考查无理

解析：12-

【分析】

根据实数的估算求出a,b ，再代入1a b -

即可求解. 【详解】

∵1＜2，

∴-2＜＜-1，

∴2＜43

∴整数部分a=2,小数部分为4，

∴1a

b -=2222=-=12-

故填：12-

.

此题主要考查无理数的估算，分母有理化等，解题的关键熟知实数的性质.

12．．

【分析】

根据二次根式的性质化简即可．

【详解】

∵a＜0．∴a－3＜0，∴==．

故答案为：．

【点睛】

本题考查了二次根式的性质与化简，正确判断根号内的符号是解题的关键．

解析：

【分析】

根据二次根式的性质化简即可．

【详解】

∵a＜0．∴a－3＜0，∴(a-=-=

故答案为：

【点睛】

本题考查了二次根式的性质与化简，正确判断根号内的符号是解题的关键．

13．（1）a2＝，a3＝2，a4＝2；（2）an＝（n为正整数）．

【解析】

（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝1，∠B＝90°．

∴在Rt△ABC中，AC＝＝＝．同理：AE＝2，EH＝2，

解析：（1）a2，a3＝2，a4＝；（2）a n n为正整数）．

【解析】

（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝1，∠B＝90°．

∴在Rt△ABC中，AC

AE＝2，EH＝，…，

即a2a3＝2，a4＝

（2）a

n n为正整数）．

14．．

【分析】

利用题目给的求出，再把它们相乘得到，再对原式进行变形凑出的形式进行计算．

【详解】

∵，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴原式

．

故答案是：．

【点睛】

本题考查二次根式的运

解析：

1

2

．

【分析】

，再把它们相乘得到

1

x

x

-，再对原式进行变形凑出

1

x

x

-的形式进行计算．

【详解】

3

=，

∴

2

2

1

239

x

x

=++==，

∴

1

7

x

x

+=，

∴

2

1

2725

x

x

=-+=-=，

∵01

x

<<，

=，

∴

1

x

x

=-=-

∴原式

=

==

=．

． 【点睛】 本题考查二次根式的运算和乘法公式的应用，解题的关键是熟练运用乘法公式对式子进行巧妙运算．

15．【分析】

先根据确定m 的取值范围，再根据，推出，最后利用来确定a 的取值范围．

【详解】

解：

为整数

为

故答案为：5．

【点睛】

本题考查的知识点是二次根式以及估算无理数的大小，利用

解析：5

【分析】

)30m -≤确定m 的取值范围，再根据m a +=

32a ≤≤，最后利用78<<来确定a 的取值范围．

【详解】 解：()230m m --≤

23m ∴≤≤

m a +=

a m ∴=

32a ∴≤≤

7528<<

46

∴<<

a

a为整数

∴为5

a

故答案为：5．

【点睛】

本题考查的知识点是二次根式以及估算无理数的大小，利用“逼近法”得出

围是解此题的关键．

16．-4

【分析】

先将a进行化简，然后再进一步分组分解代数式，最后代入求得答案即可. 【详解】

解：当a＝－＝－＝－3时，

原式＝a3+6a2+9a－(a2+6a+9)－7a+3

＝a(a+3)2－(

解析：-4

【分析】

先将a进行化简，然后再进一步分组分解代数式，最后代入求得答案即可.

【详解】

－3时，

解：当a

原式＝a3+6a2+9a－(a2+6a+9)－7a+3

＝a(a+3)2－(a+3)2－7a+3

＝7a－7－7a+3

＝－4．

故答案为：－4．

【点睛】

本题综合运用了二次根式的化简，提公因式及完全平方公式法分解因式，熟练掌握分母有理化的方法及因式分解的方法是解题的关键.

17．【解析】

【详解】

根据二次根式的性质和二次根式的化简，可知==.

故答案为.

【点睛】

此题主要考查了二次根式的运算，解题关键是明确最简二次根式，利用二次根式的性质化简即可.

解析：2

【解析】

【详解】

. 【点睛】 此题主要考查了二次根式的运算，解题关键是明确最简二次根式，利用二次根式的性质化简即可.

18．4

【详解】

根据完全平方公式可得：

原式=－xy==5－1=4．

解析：4

【详解】

根据完全平方公式可得：

原式=2()x y +－xy=21515151)2222

=5－1=4． 19．【分析】

直接合并同类二次根式即可．

【详解】

解：．

故答案为

【点睛】

合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变． 解析：

【分析】

直接合并同类二次根式即可．

【详解】

解：=．

故答案为【点睛】

合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变．

20．x≥0．

【分析】

直接利用二次根式有意义的条件进而分析得出答案．

【详解】

∵有意义，∴x≥0，

故答案为x≥0．

【点睛】

此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．解析：x≥0．

【分析】

直接利用二次根式有意义的条件进而分析得出答案．

【详解】

有意义，∴x≥0，

故答案为x≥0．

【点睛】

此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握定义是解题关键．

三、解答题

21．无

22．无

23．无

24．无

25．无

26．无

27．无

28．无

二次根式知识点总结及练习题大全

二次根式知识点总结及练习题大全 1.二次根式：式子（≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质： （1）（）2= （≥0）；（2） 5.二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，?变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． =·（a≥0，b≥0）；（b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． 【典型例题】 （2）、平方法 当时，①如果，则；②如果，则。 例1、比较与的大小。 例2、比较与的大小。 （3）、分母有理化法 通过分母有理化，利用分子的大小来比较。 例3、比较与的大小。

（4）、分子有理化法 通过分子有理化，利用分母的大小来比较。 例4、比较与的大小。 （5）、倒数法 例5、比较与的大小。 （6）、媒介传递法 适当选择介于两个数之间的媒介值，利用传递性进行比较。 例6、比较与的大小。 （7）、作差比较法 在对两数比较大小时，经常运用如下性质： ①；② 例7、比较与的大小。 （8）、求商比较法 它运用如下性质：当a>0，b>0时，则： ①；② 例8、比较与的大小。 二次根式的概念和性质1．判断题（对的打“∨”，错的打“×”） （1）（）2=- （）;（2）=- （） （3）（-）2=- （）;（4）（2）2=2×=1 （） 2．下面的计算中，错误 ．．的是（） A．=±0.03 B．±=±0.07 C．=0.15 D．-=-0.13 3．下列各式中一定成立的是（） A．=+=3+4=7 B．=- C．（-）2= D．=1-= 4．（）2-=________； 5．+（-）2=________．6．[-]·-6；

二次根式知识点总结及其应用

二次根式知识总结 一、基本知识点 1.二次根式的有关概念： （1）形如 的 式子叫做二次根式. （即一个 的算术平方根叫做二次根式 二次根式有意义的条件:被开方数大于或等于零 （2）满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式： ①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式； (3）几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。 2.二次根式的性质： （1） 非负性 3.二次根式的运算： 二次根式乘法法则 二次根式除法法则 二次根式的加减： (一化，二找，三合并 ) （1）将每个二次根式化为最简二次根式； （2）找出其中的同类二次根式； （ 3）合并同类二次根式。 Ps:类似于合并同类项，关键是把同类二次根式合并。 二次根式的混合运算：原来学习的运算律（结合律、交换律、分配律）仍然适用 0()a ≥0 2(2)(0 )a = ≥ = (0,0)a b = ≥ ≥ (0 0)a b = ≥> (0,0)a b = ≥≥ (0,0)a b = ≥>

二、二次根式的应用 1、非负性的运用 例：1.已知：0+=,求x-y 的值. 2、根据二次根式有意义的条件确定未知数的值 例1 有意义的x 的取值范围 例2.若2)(11y x x x +=-+-，则y x -=_____________。 3、运用数形结合，进行二次根式化简 例：.已知x,y 都是实数,且满足5.011+-+-

二次根式知识点总结复习整理

二次根式知识点总结 1. 二次根式的概念 二次根式的定义： 形如)0(≥a a 的式子叫二次根式，其中a 叫被开方数，只有当a 是一个非负数时，a 才有意义． 2. 二次根式的性质 1. 非负性：)0(≥a a 是一个非负数． 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2.)0()(2≥=a a a 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：)0()(2≥=a a a 3. ? ??<-≥==)0()0(2a a a a a a 注意：（1）字母不一定是正数． （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替． 3. 最简二次根式和同类二次根式 1、最简二次根式： （1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式； ②被开方数中不含能开得尽方的数或因式；分母中不含根号． 2、同类二次根式（可合并根式）： 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式 4. 二次根式计算——分母有理化 1．分母有理化 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 2．有理化因式： 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两

个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下： ①单项二次根式：利用a a a =?来确定，如：a 与a ，b a +与b a +，b a -与b a -等分别互为有理化因式。 ②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如b a +与b a -，b a +与b a -，y b x a +与y b x a -分别互为有理化因式。 3．分母有理化的方法与步骤： ①先将分子、分母化成最简二次根式； ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式； 5. 二次根式计算——二次根式的乘除 1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。 )0,0(≥≥?=b a b a ab 2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。 )0,0(≥≥=?b a ab b a 3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 。 )0,0(≥≥=b a b a b a 4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。 )0,0(≥≥=b a b a b a 注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还 要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式．

二次根式知识点总结材料和习题

二次根式的知识点汇总 知识点一：二次根式的概念 形如（）的式子叫做二次根式。 注： 在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而，等都不是二次根式。 知识点二：取值围 1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根 式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。知识点三：二次根式（）的非负性 （）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。 注： 因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0；若，则a=0,b=0。 知识点四：二次根式（）的性质 （） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注：

二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若，则，如：，. 知识点五：二次根式的性质 文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注： 1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本 身，即；若a是负数，则等于a的相反数-a,即； 2、中的a的取值围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义； 3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。 知识点六：与的异同点 1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实 数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即，。因而它的运算的结果是有差别的，，而 2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而. 知识点七：二次根式的运算 （1）因式的外移和移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，?变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面．（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式．

二次根式知识点

二次根式 教学目标： １、理解分母有理化的意义，会寻找合适的有理化因式将分母有理化。 ２、解决一元一次方程和一元一次不等式，体会二次根的运用。 ３、认识由整式、分式、二次根式构成的代数式知识系统和逻辑顺序，体会 化归思想。 教学重点：１、理解分母有理化的意义，会寻找合适的有理化因式将分母有理化。 ２、通过解决简单的实际问题以及解决一元一次方程和一元一次不等式，体会二次根的运用。 教学难点：理解分母有理化的意义，会寻找合适的有理化因式将分母有理化。 教学过程： 在二次根式运算中，实数运算律、运算性质以及运算顺序规定都适用。 1、二次根式的定义：式子 (a ≥0)叫做二次根式。 2.最简二次根式：满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式； （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。如 不是最简二次根式，因被开方 数中含有4是可开得尽方的因数，又如 ， ， ..........都不是 最简二次根式，而 ， ，5 ， 都是最简二次根式。 3.同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二 次根式就叫做同类二次根式。如 , , 就是同类二次根式，因为 =2 ， =3 ，它们与 的被开方数均为2。 4.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，则说 这两个代数式互为有理化因式。如 与 ，a+ 与a- ， - 与 + ，互为有理化因式。 ()()?x y x y +-= 利用平方差公式，得 ()()x y x y +-=x-y 观察上面这个等式，左边是两个含有二次根式的代数式相乘，右边不含二次根式。 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说两个含有二次根式的代数式互为有理化因式，如x y +与x y -互为有理化因式， 2、二次根式的性质： 1. (a≥0)是一个非负数, 即 ≥0; 2.非负数的算术平方根再平方仍得这个数，即：( )2=a(a ≥0)；

二次根式知识点总结

二次根式知识点总结 王亚平 1. 二次根式的概念 二次根式的定义： 形如)0(≥a a 的式子叫二次根式，其中a 叫被开方数，只有当a 是一个非负数时， a 才有意义． 2. 二次根式的性质 1. 非负性：)0(≥a a 是一个非负数． 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2.)0()(2 ≥=a a a 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完 全平方的形式：)0()(2 ≥=a a a 3. ? ? ?<-≥==)0() 0(2 a a a a a a 注意：（1）字母不一定是正数． （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方 根代替． 3. 最简二次根式和同类二次根式 1、最简二次根式： （1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或 2、同类二次根式（可合并根式）： 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式 4. 二次根式计算——分母有理化 1．分母有理化 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。 2．有理化因式：

两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下： ①单项二次根式：利用a a a =?来确定，如：a 与a ，b a +与b a +，b a -与b a -等分别互为有理化因式。 ②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如b a +与b a - ，b a + 与 b a - ，y b x a +与y b x a -分别互为有理化因式。 3．分母有理化的方法与步骤： ①先将分子、分母化成最简二次根式； ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式； 5. 二次根式计算——二次根式的乘除 1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。 )0,0(≥≥? = b a b a ab 2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。 )0,0(≥≥= ? b a ab b a 3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根 。 )0,0(≥≥= b a b a b a 4．二次根式的除法法则：两个数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。 )0,0(≥≥= b a b a b a 注意：乘、除法的运算法则要灵活运用，在实际运算中经常从等式的右边变形至等式的左边，同时还 要考虑字母的取值范围，最后把运算结果化成最简二次根式． 6. 二次根式计算——二次根式的加减 二次根式的被开方数相同时是可以直接合并的，如若不同，需要先把二次根式化成最简二次根式，然后把被开方数相同的二次根式（即同类二次根式）的系数相加减，被开方数不变。 1、判断是否同类二次根式时，一定要先化成最简二次根式后再判断。 2、二次根式的加减分三个步骤： ①化成最简二次根式； ②找出同类二次根式； ③合并同类二次根式，不是同类二次根式的不能合并

二次根式知识点总结大全

二次根式 【知识回顾】 1.二次根式：式子 a （a ≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质： （1）（a ）2=a （a ≥0）； （2）==a a 2 5.二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术平方根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先分解因式，变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． a （a ＞0） a -（a ＜0） 0 （a =0）；

（2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． ab =a ·b （a≥0，b≥0）； b b a a =（b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． 【典型例题】 1、概念与性质 例1、下列各式 1）222 11,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153 x a a a --+---+， 其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、求下列二次根式中字母的取值范围 （1） x x -- +31 5；（2） 2 2)-(x

二次根式知识点归纳及题型总结精华版

二次根式知识点归纳和题型归类 一、知识框图 二、知识要点梳理 知识点一、二次根式的主要性质： 1.； 2.； 3.； 4.积的算术平方根的性质：； 5.商的算术平方根的性质：. 6.若，则. 知识点二、二次根式的运算 1．二次根式的乘除运算 (1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号. (2) 注意每一步运算的算理；

(3) 乘法公式的推广： 2．二次根式的加减运算 先化简，再运算， 3．二次根式的混合运算 (1)明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里； (2)整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用. 一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。） 1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。 A 、3-； B 、x ； C 、12+x ； D 、1-x 2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 （1） （2）121+-x （3）45++x x (6). （7）若1)1(-=-x x x x ， 则x 的取值范围是 （8）若1 313++=++x x x x ，则x 的取值范围是 。 3.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是 ；若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________． 4.当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 。 5. 若20042005a a a -+-=，则2 2004a -=_____________；若433+-+-=x x y ，则=+y x 6．设m 、n 满足3 29922-+-+-=m m m n ，则mn = 。 8. 若三角形的三边a 、b 、c 满足3442-++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是 10.若0|84|=--+-m y x x ，且0>y 时，则（ ） A 、10<)0() 0(0)(a a a b a a (即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值)来解题 1.已知233x x +＝－x 3+x ，则（ ） A.x ≤0 B.x ≤－3 Ｃ.x ≥－3 D.－3≤x ≤0 2.．已知a

二次根式知识点总复习

二次根式知识点总复习 一、选择题 1．5 x+有意义，那么x的取值范围是（） A．x≥5B．x>-5 C．x≥-5 D．x≤-5 【答案】C 【解析】 【分析】 先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】 Q式子5 x+有意义， ∴x+5≥0，解得x≥-5. 故答案选：C. 【点睛】 本题考查的知识点是二次根式有意义的条件，解题的关键是熟练的掌握二次根式有意义的条件. 2．如果最简二次根式38 -能够合并，那么a的值为（） a-与172a A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【解析】 【分析】 根据两最简二次根式能合并，得到被开方数相同，然后列一元一次方程求解即可． 【详解】 根据题意得，3a-8=17-2a， 移项合并，得5a=25， 系数化为1，得a=5． 故选：D． 【点睛】 本题考查了最简二次根式，利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键． 3．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简|a|＋2 -的结果是（） (a b) A．2a+b B．-2a+b C．b D．2a-b 【答案】B 【解析】 【分析】

根据数轴得出0a <，0a b -<，然后利用绝对值的性质和二次根式的性质化简． 【详解】 解：由数轴可知：0a <，0b >， ∴0a b -<， ∴()2a a b a a b =-+-=-+， 故选：B ． 【点睛】 本题考查了数轴、绝对值的性质和二次根式的性质，根据数轴得出0a <，0a b -<是解题的关键． 4．已知n 是整数，则n 的最小值是（ ）． A ．3 B ．5 C ．15 D ．25 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 解：=Q 也是整数， ∴n 的最小正整数值是15，故选C ． 5．在下列算式中：=②=； ③42 ==；=，其中正确的是（ ） A ．①③ B ．②④ C ．③④ D ．①④ 【答案】B 【解析】 【分析】 根据二次根式的性质和二次根式的加法运算，分别进行判断，即可得到答案. 【详解】 ①错误； =②正确； 222 ==，故③错误； ==④正确； 故选：B. 【点睛】 本题考查了二次根式的加法运算，二次根式的性质，解题的关键是熟练掌握运算法则进行解题.

二次根式知识点总结大全

二次根式 【知识回顾】 1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式。 2.最简二次根式：必须同时满足下列条件： ⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式。 3.同类二次根式： 二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式。 4.二次根式的性质： （1）（a ）2 =a （a ≥0）； （2）==a a 2 5.二次根式的运算： （1）因式的外移和内移：如果被开方数中有的因式能够开得尽方，那么，就可以用它的算术根代替而移到根号外面；如果被开方数是代数和的形式，那么先解因式，?变形为积的形式，再移因式到根号外面，反之也可以将根号外面的正因式平方后移到根号里面． （2）二次根式的加减法：先把二次根式化成最简二次根式再合并同类二次根式． （3）二次根式的乘除法：二次根式相乘（除），将被开方数相乘（除），所得的积（商）仍作积（商）的被开方数并将运算结果化为最简二次根式． ab =a ·b （a≥0，b≥0）； b b a a =（b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，?乘法对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． 【典型例题】 a （a ＞0） a -（a ＜0） 0 （a =0）；

1、概念与性质 例1下列各式1）22211,2)5,3)2,4)4,5)(),6)1,7)2153 x a a a --+---+， 其中是二次根式的是_________（填序号）． 例2、求下列二次根式中字母的取值范围 （1）x x --+31 5；（2）22)-(x 例3、 在根式1) 222;2);3);4)275x a b x xy abc +-，最简二次根式是（ ） A ．1) 2) B ．3) 4) C ．1) 3) D ．1) 4) 例4、已知：的值。 求代数式22,211881-+-+++-+-=x y y x x y y x x x y 例5、 （2009龙岩）已知数a ，b ，若2()a b -=b －a ，则 ( ) A. a>b B. a

二次根式知识点归纳及题型知识讲解

一. 利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a ≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数。） 题型一：判断二次根式 （1）下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：2、33、1x 、x （x>0）、0、42、-2、1x y +、x y +（x≥0，y ≥0）． （2）在式子()()()230,2,12,20,3,1,2 x x y y x x x x y +=--++f p 中，二次根式有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 （3）下列各式一定是二次根式的是（ ）A. 7- B. 32m C. 21a + D. a b 题型二：判断二次根式有没有意义 1、写出下列各式有意义的条件: （1）43-x （2）a 83 1- （3）42+m （4）x 1- 2、21 x x --有意义，则 ；3、若x x x x --=--32 32成立，则x 满足_____________。 练习：1.下列各式中一定是二次根式的是（ ）。 A 、3-； B 、 x ； C 、12+x ； D 、1-x 2.x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。 （1） （2）121+-x （3） . （5）若1)1(-=-x x x x ， 则x 的取值范围是 （6）若1 313++=++x x x x ，则x 的取值范围是 。 3.若13-m 有意义，则m 能取的最小整数值是 ；20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________． 4.当x 为何整数时，1110+-x 有最小整数值，这个最小整数值为 。 5. 若20042005a a a --=，则2 2004a -=_____________；若433+-+-=x x y ，则=+y x 6．设m 、n 满足3 29922-+-+-=m m m n ，则mn = 。 8. 若三角形的三边a 、b 、c 满足3442 -++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是

二次根式知识点及典型例题练习

第十六章 二次根式 知识点： 1、二次根式的概念：形如（a ≥0）的式子叫做二次根式。“”＝ “”，叫做二次根号，简称根号。根号下面的整体“a ”叫做被开方数。 2、二次根式有意义的条件：a ≥0； 二次根式没有意义的条件：a 小于0； 例1、 a +1表示二次根式的条件是______。 例2、已知y=2x -+2x -+5，求x y 的值。 例3、若1a ++1b -=0，求a 2004+b 2004的值。 例4、 当x ______时，12--x 有意义，当x ______时，3 1+x 有意义。 例5、若无意义2+x ，则x 的取值范围是______。 例6、（1）当x 是多少时，31x -在实数范围内有意义？ （2）当x 是多少时， 2x 在实数范围内有意义？3x 呢？ 3、二次根式的双重非负性： ≥0；a ≥0 。 例1、 已知＋ ＝０，求ｘ，ｙ的值． 例2、 若实数ａ、ｂ满足 ＋＝０，则２ｂ－ａ＋１＝＿＿＿． 例3、 已知实ａ满足，求ａ-2010的值． 例４、 在实数范围内，求代数式 的值． 例5、 设等式＝在实数范围内成立，其中ａ、ｘ、ｙ是两两不同的实数，求的值． 例6、已知9966 x x x x --=--，且x 为偶数，求（1+x ）22541x x x -+-的值． 4、二次根式的性质： (3)

例1、(1) ()25.1=________ (2) ()252 =________ (3) ()2 2.0-=________ (4) 272??? ? ??=________ 例2、化简 （1）9=_____ （2）2(4)-=_____ （3）25=_____ (4)2 52??? ??--=_____ （4）2(3)- =_____ 例3.（1）若2a =a ，则a 可以是什么数？ （2）若2a =-a ，则a 是什么数？ （3）2a >a ，则a 是什么数？ 例4.当x>2，化简2(2)x --2(12)x -． 5、积的算术平方根的性质 (a ≥0，b ≥0)即两个非负数的积的算术平方根，等于积中各因式的 算术平方根的积。 ， 6、商的算术平方根的性质 (a ≥0，b ＞0) 商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根。 。 例1、计算 （1）57 （2139（3927 （412 6 例2、化简 （1916?（21681?（3229x y （4）54

二次根式知识点总结及常见题型

二次根式知识点总结及常见题型 资料编号:20190802 一、二次根式的定义 形如a （a ≥0）的式子叫做二次根式.其中“ ”叫做二次根号,a 叫做被开方数. （1）二次根式有意义的条件是被开方数为非负数.据此可以确定字母的取值范围; （2）判断一个式子是否为二次根式,应根据以下两个标准判断: ①是否含有二次根号“”; ②被开方数是否为非负数. 若两个标准都符合,则是二次根式;若只符合其中一个标准,则不是二次根式. （3）形如a m （a ≥0）的式子也是二次根式,其中m 叫做二次根式的系数,它表示的是: a m a m ?=（a ≥0）; （4）根据二次根式有意义的条件,若二次根式B A -与A B -都有意义,则有B A =. 二、二次根式的性质 二次根式具有以下性质: （1）双重非负性:a ≥0,a ≥0;（主要用于字母的求值） （2）回归性: () a a =2 （a ≥0）;（主要用于二次根式的计算） （3）转化性:? ??≤-≥==)0() 0(2a a a a a a .（主要用于二次根式的化简） 重要结论: （1）若几个非负数的和为0,则每个非负数分别等于0. 若02=++C B A ,则0,0,0===C B A . 应用与书写规范:∵02=++C B A , A ≥0,2 B ≥0, C ≥0 ∴0,0,0===C B A . 该性质常与配方法结合求字母的值.

（2） ()() ()? ??≤-≥-=-=-B A A B B A B A B A B A 2;主要用于二次根式的化简. （3）()() ??????=002 2A B A A B A B A ,其中B ≥0; 该结论主要用于某些带系数的二次根式的化简:可以考虑把二次根号外面的系数根据符号以平方的形式移到根号内,以达到化简的目的. （4）() B A B A ?=22 ,其中B ≥0. 该结论主要用于二次根式的计算. 例1. 式子 1 1-x 在实数范围内有意义,则x 的取值范围是_________. 分析:本题考查二次根式有意义的条件,即被开方数为非负数,注意分母不能为0. 解:由二次根式有意义的条件可知:01>-x ,∴1>x . 例2. 若y x ,为实数,且2 1 11+ -+-=x x y ,化简:11--y y . 分析:本题考查二次根式有意义的条件,且有重要结论:若二次根式B A -与A B -都有意义,则有B A =. 解:∵1-x ≥0,x -1≥0 ∴x ≥1,x ≤1 ∴1=x ∴12 1 2100<=++=y ∴ 11 11 1-=--= --y y y y . 习题1. 如果53+a 有意义,则实数a 的取值范围是__________. 习题2. 若233+-+-=x x y ,则=y x _________. 习题3. 要使代数式x 21-有意义,则x 的最大值是_________. 习题4. 若函数x x y 21-= ,则自变量x 的取值范围是__________. 习题5. 已知128123--+-=a a b ,则=b a _________.

中考数学二次根式知识点及练习题含答案

一、选择题 1．若3 x+在实数范围内有意义，则x的取值范围是（） A．x＞3 B．x＞－3 C．x≥－3 D．x≤－3 2．下列运算正确的是（） A．3223 ÷=B．235 += C．233363 ?=D．18126 -= 3．下列说法错误的个数是（） ①所有无限小数都是无理数；②()23-的平方根是3 ±；③2a a =；④数轴上的点都表示有理数 A．1个B．2个C．3个D．4个 4．对于已知三角形的三条边长分别为a,b,c，求其面积的问题，中外数学家曾经进行过深入研究，古希腊的几何学家海伦给出求其面积的海伦公式： ()()() S p p a p b p c =---，其中 2 a b c p ++ =,若一个三角形的三边长分别为 2,3,4，则其面积（） A． 3 15 4 B． 3 15 2 C． 3 5 2 D． 3 5 4 5．当4 x=时， 22 2323 43124312 x x x x x x -+ - -+++ 的值为（） A．1 B．3C．2 D．3 6．若 1 x+ 有意义，则字母x的取值范围是( ) A．x≥1B．x≠2C．x≥1且x＝2 D．.x≥-1且x≠2 7．已知a满足2018a -＋2019 a-＝a，则a－2 0182＝( ) A．0 B．1 C．2 018 D．2 019 8．若a ab +有意义，那么直角坐标系中点A(a,b)在（） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 9．实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简﹣+b的结果是 （） A．1B．b+1C．2a D．1﹣2a 10．如果实数x，y23 x y xy y =-(),x y在（）

二次根式 知识点总结

知识点一：二次根式的概念 【知识要点】 二次根式的定义：形如的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个 非负数时， 才有意义． 【例2】若式子 3 x -有意义，则x 的取值范围是 ． 举一反三： 1、使代数式2 21x x - +-有意义的x 的取值范围是 2、如果代数式mn m 1+ -有意义，那么，直角坐标系中点P （m ，n ）的位置在（ ） A 、第一象限 B 、第二象限 C 、第三象限 D 、第四象限 【例3】若y=5-x +x -5+2009，则x+y= 解题思路：式子a （a ≥0），50 ,50 x x -≥?? -≥? 5x =，y=2009，则x+y=2014 举一反三： 111x x --2()x y =+，则x －y 的值为（ ） A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3 3、当a 211a +取值最小，并求出这个最小值。 已知a 5b 是 51 2 a b + +的值。 若17的整数部分为x ，小数部分为y ，求y x 1 2 + 的值.

知识点二：二次根式的性质 【知识要点】 1. 非负性：是一个非负数． 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2. ()()a a a 20=≥． 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式： 3. a a a a a a 200==≥-

二次根式知识点及习题

二次根式 知识点一：二次根式的概念 形如（）的式子叫做二次根式。 注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为 负数没有平方根，所以是为二次根式的前提条件，如，，等是二次根式，而， 等都不是二次根式。 知识点二：取值范围 1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时，有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。 2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，没有意义。 知识点三：二次根式（）的非负性 （）表示a的算术平方根，也就是说，（）是一个非负数，即0（）。 注：因为二次根式（）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（）的算术平方根是非负数，即0（），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、 偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0；若，则 a=0,b=0；若，则a=0,b=0。 知识点四：二次根式（）的性质 （） 文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。 注：二次根式的性质公式（）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应 用：若，则，如：，. 知识点五：二次根式的性质 文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。 注： 1、化简时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即 ；若a是负数，则等于a的相反数-a,即； 2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，一定有意义； 3、化简时，先将它化成，再根据绝对值的意义来进行化简。 知识点六：与的异同点 1、不同点：与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即 ，。因而它的运算的结果是有差别的，，而 2、相同点：当被开方数都是非负数，即时，=；时，无意义，而. 知识点七：二次根式的性质和最简二次根式

二次根式知识点总结

二次根式知识点总结 王亚平 1.二次根式的概念 二次根式的定义：形如"（a-0）的式子叫二次根式，其中a叫被开方 数，只有当a是一个非负数时，a才有意义. 2. 二次根式的性质 1. 非负性：心心-。）是一个非负数. 注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到. 2 （掐）2 =a（a H0） 注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个 非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a乂a）2（a - 0） —:a(a^0) v a = a = * I—a(a<0) 3. 注意：（1）字母不一定是正数. （2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替. 3. 最简二次根式和同类二次根式

1、最简二次根式: (1)最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式；分母中不含根号. 2、同类二次根式(可合并根式)： 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式 4. 二次根式计算分母有理化 1. 分母有理化 定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化。2.有理化因式：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说 这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下： ①单项二次根式：利用y「a=a来确定，如：a与' a,a b与，a b, a-b与心-b 等分别互为有理化因式。 ②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如a.b 与 a - - b , a ? b 与? a —, a x b.、y与a_x-b、y分别互为有理化因式。 3. 分母有理化的方法与步骤： ①先将分子、分母化成最简二次根式； ②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；

二次根式知识点总结及答案

一、选择题 1．下列计算正确的是（ ） A ．=1212 ? B ．4-3=1 C ．63=2÷ D ．8=2± 2．下列根式是最简二次根式的是（ ） A ．4 B ．21x + C ． 12 D ．40.5 3．下列二次根式是最简二次根式的是( ) A ．12 B ．3 C ．0.01 D ． 12 4．下列方程中，有实数根的方程是（ ） A ．240x += B ．210x -+= C ．12x += D ．331x x -+-=． 5．下列计算正确的是（ ） A ．325+= B ．2222+= C ．2651-= D ．822-= 6．如图，是按一定规律排成的三角形数阵，按图中数阵的排列规律，第9行从左至右第5 个数是（ ） 1232567 22 310 A ．210 B ．41 C ．52 D ．51 7．实数a ，b ，c ，满足|a |+a =0，|ab |=ab ，|c |-c =0，那么化简代数式2b -|a +b |+|a -c |-222c bc b -+的结果为（ ） A ．2c -b B ．2c -2a C ．-b D ．b 8．若1 a ab +有意义，那么直角坐标系中点A(a,b)在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 9．下列二次根式中，与3是同类二次根式的是（ ） A ．18 B ． 13 C 24 D 0.3 10．下面计算正确的是（ ）

A ．3+3=33 B ．273=3÷ C ．2?3=5 D ． () 2 2=2-- 二、填空题 11．比较实数的大小:(1)5? -______3- ；（2）51 4 -_______12 12．设42-的整数部分为 a,小数部分为 b.则1 a b - = __________________________. 13．已知2215x 19x 2+--=，则2219x 215x -++=________． 14．设a ﹣b=2+3，b ﹣c=2﹣3，则a 2+b 2+c 2﹣ab ﹣ac ﹣bc=_____． 15．将1、2、3、6按右侧方式排列.若规定(m ，n )表示第m 排从左向右第n 个数，则(5，4)与(9，4)表示的两数之积是______. 16．已知实数m 、n 、p 满足等式 33352m n m n m n p m n p -+?--=+--+--，则p =__________． 17．化简：-32=_________,1 x =________. 18．已知4a ，化简：2(3)|2|a a +--=_____． 19．实数a 、b 在数轴上的位置如图所示，则化简() 2 22a b a b -+ -＝_____． 20．函数y ＝ 42 x x --中，自变量x 的取值范围是____________． 三、解答题 21．先观察下列等式，再回答问题： 2211+2+()1 =1+1=2； 2212+2+()212=2 12 ；