(完整版)圆锥曲线的小题专项训练

圆锥曲线的小题

椭圆的离心率

1.【2017浙江，2】椭圆22

194

x y +=的离心率是

A B C ．

23

D ．

59

【答案】B 【解析】

试题分析：e =

=

B ．

2.【2017课标3，理10】已知椭圆C ：22

221x y a b

+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，

A 2，且以线段A 1A 2

为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为

A B C D ．

13

【答案】A 【解析】

试题分析：以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点()0,0，半径为r a =，圆的方程为

222x y a +=，

直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即：

d a =

=，

整理可得22

3a b =，即()

222223,23a a c a c =-=，

从而22

223

c e a ==，椭圆的离心率c e a ===，

故选A .

【考点】椭圆的离心率的求解；直线与圆的位置关系

【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式e ＝

c

a

； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝a 2－c 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围).

3.【2016高考浙江理数】已知椭圆C 1：+y 2=1(m >1)与双曲线C 2：–y 2=1(n >0)的焦点

重合，e 1，e 2分别为C 1，C 2的离心率，则（）

A ．m >n 且e 1e 2>1

B ．m >n 且e 1e 2<1

C ．m 1

D ．m

则很容易出现错误。

4.【2016高考新课标3理数】已知

为坐标原点，

是椭圆

：

的

左焦点，分别为

的左，右顶点.为

上一点，且

轴.过点

的直线与

线段

交于点，与

轴交于点

.若直线经过

的中点，则

的离心率为（）

（A）（B）（C）（D）

【答案】A

【解析】

试题分析：由题意设直线的方程为，分别令与得点，，由，得，即

，整理，得，所以椭圆离心率为，故选A．

考点：椭圆方程与几何性质．

【思路点拨】求解椭圆的离心率问题主要有三种方法：（1）直接求得的值，进而求得

的值；（2）建立的齐次等式，求得或转化为关于的等式求解；(3)通过特殊值或特殊位置，求出．

5.【2016高考江苏卷】如图，在平面直角坐标系中，是椭圆

的右焦点，直线与椭圆交于两点，且,则该椭圆的离心率是.

【答案】

【解析】由题意得，因此

考点：椭圆离心率

【名师点睛】椭圆离心率的考查，一般分两个层次，一是由离心率的定义，只需分别求出，这注重考查椭圆标准方程中量的含义，二是整体考查，求的比值，这注重于列式，即需

根据条件列出关于的一个齐次等量关系，通过解方程得到离心率的值.

双曲线的离心率

1.【2017课标II ，理9】若双曲线C :22

221x y a b

-=（0a >，0b >）的一条渐近线被圆

()

2

224x y -+=所截得的弦长为2，则C 的离心率为（）

A ．2

B ．

C ．

D 【答案】A 【解析】

即：

()222

43c a c -=，整理可得：224c a =,

双曲线的离心率2e ===。故选A 。 【考点】双曲线的离心率；直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式

【名师点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a

=

； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围)。

2..【2016高考新课标2理数】已知12,F F 是双曲线22

22:1x y E a b

-=的左，右焦点，点M 在

E 上，1M

F 与x 轴垂直，211

sin 3

MF F ∠=,则E 的离心率为（ ）

（A

（B ）3

2

（C

（D ）2 【答案】A 【解析】

试题分析：因为1MF 垂直于x 轴，所以22

12,2b b MF MF a a a

==+，因为211sin 3MF F ∠=，

即21

2

2

1

3

2b MF a

b MF a a

==

+

，化简得b a =

，故双曲线离心率e ==选A.

考点：双曲线的性质.离心率.

【名师点睛】区分双曲线中a ，b ，c 的关系与椭圆中a ，b ，c 的关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.双曲线的离心率e ∈(1，＋∞)，而椭圆的离心率e ∈(0，1)． 3.【2015高考新课标2，理11】已知A ，B 为双曲线E 的左，右顶点，点M 在E 上，?ABM 为等腰三角形，且顶角为120°，则E 的离心率为（） A

B ．2 C

D

【答案】D

【考点定位】双曲线的标准方程和简单几何性质．

【名师点睛】本题考查双曲线的标准方程和简单几何性质、解直角三角形知识，

正确表示点

M 的坐标，利用“点在双曲线上”列方程是解题关键，属于中档题．

4.【2017课标1，理】已知双曲线C ：22

221x y a b

-=（a >0，b >0）的右顶点为A ，以A 为圆心，

b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点.若∠MAN =60°，则C 的离心率为________.

【解析】试题分析：

如图所示，作AP MN ⊥，因为圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点，则MN 为双曲线的渐近线b

y x a

=

上的点，且(,0)A a ，AM AN b == 而AP MN ⊥，所以30PAN ∠=o

， 点(,0)A a 到直线b

y x a

=

的距离AP =在Rt PAN ?中，cos PA PAN NA

= 代入计算得2

2

3a b =

，即a =

由2

2

2c a b =+得2c b =

所以c e a =

==

. 【考点】双曲线的简单性质.

5.【2017北京，理9】若双曲线2

2

1y x m

-=，则实数m =_________.

【答案】2

6.【2016高考山东理数】已知双曲线E ：22

221x y a b

-=（a ＞0，b ＞0），若矩形ABCD 的四

个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |=3|BC |，则E 的离心率是_______. 【答案】2 【解析】

试题分析：假设点A 在第一象限，点B 在第二象限，则2b A(c,)a ，2

b B(c,)a -，所以

22b |AB |a =，|BC |2c =，由2AB 3BC =，222

c a b =+得离心率e 2=或1e 2

=-（舍

去），所以E 的离心率为2. 考点：双曲线的几何性质

【名师点睛】本题主要考查双曲线的几何性质.本题解答，利用特殊化思想，通过对特殊情况的讨论，转化得到一般结论，降低了解题的难度.本题能较好的考查考生转化与化归思想、一般与特殊思想及基本运算能力等.

7.【2015高考山东，理15】平面直角坐标系xoy 中，双曲线()

22

122:10,0x y C a b a b

-=>>

的渐近线与抛物线()2

2:20C x py p =>交于点,,O A B ，若OAB ?的垂心为2C 的焦点，则

1C 的离心率为.

【答案】

3

2

【解析】设OA 所在的直线方程为b y x a =

,则OB 所在的直线方程为b y x a

=-, 解方程组22b y x a x py

?=???=?得：2

222pb x a

pb y a ?

=????=??

，所以点A 的坐标为2222,pb pb a a ?? ??? , 抛物线的焦点F 的坐标为:0,

2p ?

?

???

.因为F 是ABC ?的垂心，所以1OB AF k k ?=- , 所以，2222252124pb p b b a pb a a a ??

- ?

-=-?= ? ? ???

. 所以，222

2293

142

c b e e a a ==+=?= .

8.【2015湖南理13】设F 是双曲线C ：22

221x y a b

-=的一个焦点，若C 上存在点P ，使线

段PF 的中点恰为其虚轴的一个端点，则C 的离心率为. 【答案】5. 【解析】

试题分析：根据对称性，不妨设)0,(c F ，短轴端点为),0(b ，从而可知点)2,(b c -在双曲线

上，

∴5142222==?=-a

c

e b b a c . 【考点定位】双曲线的标准方程及其性质.

【名师点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其性质，属于容易题，根据对称性将条件

中的信息进行

等价的转化是解题的关键，在求解双曲线的方程时，主要利用2

2

2

b a

c +=，焦点坐标，渐

近线方程等性质，

也会与三角形的中位线，相似三角形，勾股定理等平面几何知识联系起来.

抛物线

1.【2017课标1，理10】已知F 为抛物线C ：y 2=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线l 1，

l 2，直线l 1与C 交于A 、B 两点，直线l 2与C 交于D 、E 两点，则|AB |+|DE |的最小值为 A ．16

B ．14

C ．12

D ．10

【答案】A

【解析】试题分析：设11223344(,),(,),(,),(,)A x y B x y D x y E x y ，直线1l 方程为1(1)y k x =-

联立方程214(1)

y x y k x ?=?=-?得2222111

240k x k x x k --+=∴21122124k x x k --+=-212

1

24

k k += 同理直线2l 与抛物线的交点满足2

2342

2

24

k x x k ++= 由抛物线定义可知1234||||2AB DE x x x x p +=++++

22

122222121224244448816k k k k k k ++=++=++≥= 当且仅当121k k =-=（或1-）时，取得等号. 【考点】抛物线的简单性质

2.【2016年高考四川理数】设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线上

任意一点，M 是线段PF 上的点，且

=2

,则直线OM 的斜率的最大值为( )

（A ）（B ）（C ）（D ）1

【答案】C 【解析】

试题分析：设（不妨设），则由

已知得，，，

，，故选C.

考点：抛物线的简单的几何性质，基本不等式的应用．

3.【2016年高考四川理数】设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线2

2(p 0)y px =>上

任意一点，M 是线段PF 上的点，且

PM =2MF ,则直线OM 的斜率的最大值为( )

（A

（B ）2

3

（C

（D ）1

【答案】C 【解析】

试题分析：设()()2

2,2,,P pt pt M x y （不妨设0t >），则2

2,2.

2p FP pt pt ??=- ???

u u u r 由已知得13FM FP =u u u u r u u u r ，22,2362,3p p p x t pt y ?-=-??∴??=??，22,332,

3p p x t pt y ?

=+??∴?

?=??

，

2

211212OM t k t t t ∴=

=≤=++，(

)max OM k ∴=，故选C. 考点：抛物线的简单的几何性质，基本不等式的应用．

【名师点睛】本题考查抛物线的性质，结合题意要求，利用抛物线的参数方程表示出抛物线上点P 的坐标，利用向量法求出点M 的坐标，是我们求点坐标的常用方法，由于要求最大值，因此我们把k 斜率用参数t 表示出后，可根据表达式形式选用函数，或不等式的知识求出最值，本题采用基本不等式求出最值．

4.【2016高考新课标1卷】以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点,交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB

|=

DE|=则C 的焦点到准线的距离为 (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 【答案】B 【解析】

考点：抛物线的性质。

【名师点睛】本题主要考查抛物线的性质及运算,注意解析几何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一定要注意运算的准确性与技巧性,基础题失分过多是相当一部分学生数学考不好的主要原因.

5.【2015高考四川，理10】设直线l 与抛物线

24y x =相交于

A ，

B 两点，与圆

()

()2

2250x y r r -+=>相切于点M ，

且M 为线段AB 的中点.若这样的直线l 恰有4条，则r 的取值范围是（）

（A ）

()13，

（B ）()14，（C ）()23，（D ）()24， 【答案】D 【解析】

显然当直线l 的斜率不存在时，必有两条直线满足题设.当直线l 的斜率存在时，设斜率为

k .设11221200(,),(,),,(,)A x y B x y x x M x y ≠，则2

11

222

44y x y x ?=??=??，相减得

121212()()4()y y y y x x +-=-.由于12x x ≠，所以

1212

12

22y y y y x x +-?=-，即02ky =.圆心为(5,0)C ，由CM AB ⊥得00000

1,55

y k ky x x -?

=-=--，所以00

25,3x x =-=，即点M

必在直线3x =上.将3x =代入2

4y

x =

得2012,y y =∴-<<.因为点M 在圆

()

()2

2250x y r r -+=>上，所以2

2

2

2

2

000(5),412416x y r r y -+==+<+=.又

2044y +>（由于斜率不存在，故00y ≠，所以不取等号），所以204416,24y r <+<∴<<.选D.

利用这个范围即可得到r 的取值范围。

6.【2015高考浙江，理5】如图，设抛物线24y x =的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点

A ，

B ，

C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则BCF ?与ACF

?的面积之比是（ ）

A.

11BF AF -- B. 2

21

1BF AF -- C. 11BF AF ++ D. 2

2

1

1

BF AF ++ 【答案】A.

【解析】1

1

--===??AF BF x x AC BC S S A B ACF BCF ，故选A. 【考点定位】抛物线的标准方程及其性质

【名师点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其性质，属于中档题，解题时，需结合平面几何中同高的三角形面积比等于底边比这一性质，结合抛物线的性质：抛物线上的点到准线的距离等于其到焦点的距离求解，在平面几何背景下考查圆锥曲线的标准方程及其性质，是高考中小题的热点，在复习时不能遗漏相应平面几何知识的复习.

7.【2017课标II ，理16】已知F 是抛物线C :28y x =的焦点，M 是C 上一点，FM

的延

长线交y轴于点N。若M为FN的中点，则FN=。

【答案】6

【解析】

试题分析：

点A，

【考点】抛物线的定义；梯形中位线在解析几何中的应用。

【名师点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化。如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题。因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化。

8.【2016高考天津理数】设抛物线

2

2

2

x pt

y pt

?=

?

=

?

，（t为参数，p＞0）的焦点为F，准线为l.过

抛物线上一点

A作l的垂线，垂足为B.设C（7

2

p,0），AF与BC相交于点E.若|CF|=2|AF|，且△ACE的面

积为p 的值为_________.

【解析】

试题分析：抛物线的普通方程为22y px =，(

,0)2p F ，7322

p

CF p p =-=，又2CF AF =，则32AF p =，由抛物线的定义得32

AB p =，所以A x p =，则

||A y =，由//CF AB 得EF CF EA AB =，即2EF CF EA AF

==，所以

2

CEF CEA S S ??==，ACF AEC CFE S S S ???=+=，所以132

p ?=，

p =

考点：抛物线定义

【名师点睛】1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若P (x 0，y 0)为抛物线y 2＝2px (p ＞0)上一点，由定义易得|PF |＝x 0＋p

2；若过焦点的弦AB

的端点坐标为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则弦长为|AB |＝x 1＋x 2＋p ，x 1＋x 2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．

9.【2016高考浙江理数】若抛物线y 2=4x 上的点M 到焦点的距离为10，则M 到y 轴的距离是_______． 【答案】9 【解析】

试题分析：1109M M x x +=?= 考点：抛物线的定义．

【思路点睛】当题目中出现抛物线上的点到焦点的距离时，一般会想到转化为抛物线上的点到准线的距离．解答本题时转化为抛物线上的点到准线的距离，进而可得点到y 轴的距离．

圆锥曲线解题技巧和方法综合(方法讲解+题型归纳,经典)

圆锥曲线解题方法技巧归纳 第一、知识储备： 1. 直线方程的形式 （1）直线方程的形式有五件：点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2）与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离d = ③夹角公式：2121 tan 1k k k k α-= + （3）弦长公式 直线 y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：12AB x =- = 或12AB y y =- （4）两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥?=-1 ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种？（三种形式） 标准方程：22 1(0,0)x y m n m n m n +=>>≠且 2a = 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种 标准方程：22 1(0)x y m n m n +=?< 距离式方程： 2a = (3)、三种圆锥曲线的通径你记得吗？

22 222b b p a a 椭圆：；双曲线：；抛物线： (4)、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？ 如：已知21F F 、是椭圆13 42 2=+y x 的两个焦点，平面内一个动点M 满足221=-MF MF 则 动点M 的轨迹是（ ） A 、双曲线； B 、双曲线的一支； C 、两条射线； D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式：1 2 2tan 2 F PF P b θ ?=在椭圆上时，S 1 2 2cot 2 F PF P b θ ?=在双曲线上时，S （其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos |||| PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==?=?） (6)、记住焦半径公式：（1）00;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为，可简记为 “左加右减，上加下减”。 （2）0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为 （3）11||,||22 p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 (6)、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ 第二、方法储备 1、点差法（中点弦问题） 设() 11,y x A 、()22,y x B ，()b a M ,为椭圆13 42 2=+y x 的弦AB 中点则有 1342 12 1=+y x ，1342 22 2=+y x ；两式相减得( )()03 4 2 2 2 1 2 2 21=-+-y y x x ? ()() ()() 3 4 21212121y y y y x x x x +-- =+-?AB k =b a 43- 2、联立消元法：你会解直线与圆锥曲线的位置关系一类的问题吗？经典套路是什 么？如果有两个参数怎么办？ 设直线的方程，并且与曲线的方程联立，消去一个未知数，得到一个二次方程，

圆锥曲线题型归类大全 17

高考圆锥曲线的常见题型 典型例题 题型一：定义的应用 例1、动圆M 与圆C 1:(x+1)2+y 2=36内切,与圆C 2:(x-1)2+y 2 =4外切,求圆心M 的轨迹方程。 例2、方程 表示的曲线是 题型二：圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： 1、椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 2、双曲线：由, 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐 标轴上； 3、抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 典型例题 例1、已知方程 1212 2=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的 取值范围是 例2、k 为何值时,方程 1592 2=---k y k x 的曲线：(1)是椭圆;(2)是双曲线. 题型三：圆锥曲线焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题

1、椭圆焦点三角形面积2 tan 2α b S = ；双曲线焦点三角形面积 2 cot 2α b S = 2、常利用第一定义和正弦、余弦定理求解 3、22,,,n m mn n m n m +-+四者的关系在圆锥曲线中的应用； 典型例题 例1、 椭圆x a y b a b 222210+=>>()上一点P 与两个焦点F F 12，的张角∠F P F 12= α， 求证：△F 1PF 2的面积为b 22 tan α 。 例2、已知双曲线的离心率为2，F 1、F 2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且， ．求该双曲线的标准方程 题型四：圆锥曲线中离心率，渐近线的求法 1、a,b,c 三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值； 2、a,b,c 三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的范围；

文科圆锥曲线专题练习及问题详解

文科圆锥曲线 1.设12F F 是椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，12PF F ?是底角为30的等腰三 角形，则E 的离心率为（ ） () A 12 () B 23 () C 3 4 () D 4 5 【答案】C 【命题意图】本题主要考查椭圆的性质及数形结合思 想，是简单题. 【解析】∵△21F PF 是底角为0 30的等腰三角形， ∴322c a = ，∴e =3 4 ， ∴0260PF A ∠=，212||||2PF F F c ==，∴2||AF =c ， 2.等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线x y 162=的准线交于,A B 两点，AB =；则C 的实轴长为（ ） ()A ()B ()C 4 ()D 8 【命题意图】本题主要考查抛物线的准线、直线与双曲线的位置关系，是简单题. 【解析】由题设知抛物线的准线为：4x =，设等轴双曲线方程为：222x y a -=，将4x =代入等轴双曲线方程解 得y =||AB =a =2， ∴C 的实轴长为4，故选C. 3.已知双曲线1C ：22 221(0,0)x y a b a b -=>>的离心率为2.若抛物线22:2(0)C x py p =>的焦点到双曲线1C 的渐近线的距 离为2，则抛物线2C 的方程为 (A) 2x y = (B) 2x y = (C)28x y = (D)216x y = 考点：圆锥曲线的性质 解析：由双曲线离心率为2且双曲线中a ，b ，c 的关系可知a b 3=，此题应注意C2的焦点在y 轴上，即（0，p/2）到直线x y 3=的距离为2，可知p=8或数形结合，利用直角三角形求解。 4.椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为4x =-，则该椭圆的方程为 （A ） 2211612x y += （B ）221128x y += （C ）22184x y += （D ）22 1124 x y += 【命题意图】本试题主要考查了椭圆的方程以及性质的运用。通过准线方程确定焦点位置，然后借助于焦距和准线求解参数,,a b c ，从而得到椭圆的方程。 【解析】因为242c c =?=，由一条准线方程为4x =-可得该椭圆的焦点在x 轴上县2 2448a a c c =?==，所以2 2 2 844b a c =-=-=。故选答案C 5.已知1F 、2F 为双曲线22 :2C x y -=的左、右焦点，点 P 在C 上，12||2||PF PF =，则12cos F PF ∠=

圆锥曲线解题技巧教案

圆锥曲线―概念、方法、题型、及应试技巧总结 1.圆锥曲线的两个定义： （1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如方程8=表示的曲线是_____（答：双曲线的左支） （2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e 。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。 如已知点)0,22(Q 及抛物线4 2 x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____（答2） 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝ 1（0a b >>）。方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ， C 同号，A ≠B ）。 如（1）已知方程1232 2=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____（答： 11 (3,)(,2)22 ---） ； （2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1 （0,0a b >>）。方程22 Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ， B 异号）。 如设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2= e 的双曲线C 过点 )10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=） （3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时2 2(0)y px p =->，开口 向上时22(0)x py p =>，开口向下时2 2(0)x py p =->。 如定长为3的线段AB 的两个端点在y=x 2上移动，AB 中点为M ，求点M 到x 轴的最短距离。 4 5 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由x 2 ,y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 1

最新高考数学二轮专题综合训练-圆锥曲线(分专题-含答案)

圆锥曲线综合训练题 一、求轨迹方程： 1、（1）已知双曲线1C 与椭圆2C ：22 13649 x y +=有公共的焦点，并且双曲线的离心率1e 与椭 圆的离心率2e 之比为7 3，求双曲线1C 的方程． （2）以抛物线2 8y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ，求P 点的轨迹方程． （1）解：1C 的焦点坐标为(0, 27e = 由127 3 e e = 得13e =设双曲线的方程为2 2 221(,0)y x a b a b -=>则22222 13 139a b a b a ?+=??+=? ? 解得229,4a b == 双曲线的方程为 22194y x -= （2）解：设点00(,),(,)M x y P x y ，则00 62 2 x x y y +? =????=??，∴00262x x y y =-??=?． 代入2008y x =得：2 412y x =-．此即为点P 的轨迹方程． 2、（1）ABC ?的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，建立适当的坐标系求此三角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．（2）△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=5 3 sinA,求点A 的轨迹方程． 解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ， 8=c ，有6=b ，故其方程为 ()0136 1002 2≠=+y y x ．设()y x A ，，()y x G ''，，则()013610022≠'='+'y y x ． ①由题意有???????='='33 y y x x ，代入①，得A 的轨迹方程为 ()01324 9002 2≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）．

圆锥曲线解题技巧和方法综合(全)

圆锥曲线的解题技巧 一、常规七大题型： (1) 中点弦问题 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法(点差法)：设曲线上两点为(小，儿)，匕2，)，2)，代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式(当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论)，消去四个参数。 x2 y2 如：(1) —+ —= 1(?>Z?>O)与直线相交于A、B,设弦AB中点为M(xo,yo),則有cr lr 典+卑《 = 0。 a- \r 2 2 (2) 冷一亠= l(d>0“>0)与直线I相交于A、B,设弦AB中点为M(x°,y°)則有cr Zr 算-辱0 a~ b- (3) y2=2px (p>0)与直线I 相交于A、B 设弦AB 中点为M (x。, y0),则有 2y?k=2p,即y o k=p. 典型例题给定双曲线，一斗=1。过A (2, 1)的直线与双曲线交于两点片及鬥，求线段片人的中点P的轨迹方程。 (2) 焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点p,与两个焦点仟、竹构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。 X2 y2 典型例题设P(X, y)为椭IS—+ —= 1上任一点，F](—C0),化(c,0 )为焦点， cr lr

APF}F2 =a9 ZPF占=0。 (1) 求证离心率“血3+0): sin a + sin 0 (2) 求IPFf + PFJ’的灵值。 (3) 直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直线过椭圆的焦点，结合三大曲线的定艾去解。 典型例题 抛物线方程y? =p(x +1)(p>0),直线x + y = t与x轴的交点在抛物线准线的右边。 (1) 求证：直线与拋物线总有两个不同交点 (2) 设直线与抛物线的交点为A、B,且0A丄0B,求p关于t的函数f(t)的表达式。 (4) 圆锥曲线的相关最值(范围)问题 < 圆锥曲线中的有关置值(范国)问题，常用代数法和几何法解决。 <1>若命题的条件和结论具有明显的几何意艾，一般可用因形性质来解决。 <2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数(通常利用二次函数，三角函数，均值不等式)求最值。 (1) ,可以设法得到关于a的不等式?通过解不等式求出a的范囤，即：“求范囤，找不等式”。或者将a表示为另一个变量的函数，利用求函数的值域求出a的范围；对于(2)首先要把ANAB的面积表示为一个变董的函数，然后再求它的最大值，即：“最值问题，函数思想二 最值问题的处理思路： 1、建立目标函数。用坐标表示距离，用方程消参转化为一元二次函数的最值问题，关键是由方程求心y的范國； 2、数形结合，用化曲为直的转化思想： 3、利用判别式，对于二次函数求罠值，往往由条件建立二次方程，用判别式求最值：

圆锥曲线大题归类

圆锥曲线大题归类 一．定点问题 例1.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a >1)的上顶点为A ，右焦点为F ，直线AF 与圆M ： (x －3)2＋(y －1)2＝3相切． (1)求椭圆C 的方程； (2)若不过点A 的动直线l 与椭圆C 交于P ，Q 两点，且AP →·AQ → ＝0，求证：直线l 过定点，并求该定点的坐标． [解析](1)圆M 的圆心为(3,1)，半径r ＝ 3. 由题意知A (0,1)，F (c,0)， 直线AF 的方程为x c ＋y ＝1，即x ＋cy －c ＝0， 由直线AF 与圆M 相切，得|3＋c －c |c 2＋1 ＝3， 解得c 2＝2，a 2＝c 2＋1＝3， 故椭圆C 的方程为x 23＋y 2＝1. (2)方法一：由·＝0知AP ⊥AQ ，从而直线AP 与坐标轴不垂直， 故可设直线AP 的方程为y ＝kx ＋1，直线AQ 的方程为y ＝－1k x ＋1. 联立??? y ＝kx ＋1， x 23＋y 2＝1，整理得(1＋3k 2)x 2＋6kx ＝0，

解得x ＝0或x ＝－6k 1＋3k 2 ， 故点P 的坐标为(－6k 1＋3k 2，1－3k 2 1＋3k 2 )， 同理，点Q 的坐标为(6k k 2＋3，k 2－3k 2＋3 ) ∴直线l 的斜率为k 2－3k 2＋3－1－3k 2 1＋3k 26k k 2＋3－－6k 1＋3k 2 ＝k 2－14k ， ∴直线l 的方程为y ＝k 2－14k (x －6k k 2＋3)＋k 2－3k 2＋3 ， 即y ＝k 2－14k x －12. ∴直线l 过定点(0，－12)． 方法二：由·＝0知AP ⊥AQ ，从而直线PQ 与x 轴不垂直，故可设直线l 的方程为y ＝kx ＋t (t ≠1)， 联立????? y ＝kx ＋t ，x 23＋y 2＝1， 整理得(1＋3k 2)x 2＋6ktx ＋3(t 2－1)＝0. 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)则????? x 1＋x 2＝－6kt 1＋3k 2， x 1x 2＝3(t 2－1)1＋3k 2， (*) 由Δ＝(6kt )2－4(1＋3k 2)×3(t 2－1)>0，得 3k 2>t 2－1.由·＝0，

圆锥曲线综合试题(全部大题目)含答案

1. 平面上一点向二次曲线作切线得两切点，连结两切点的线段我们称切点弦.设过抛物线 22x py =外一点00(,)P x y 的任一直线与抛物线的两个交点为C 、D ，与抛物线切点弦AB 的交点为Q 。 （1）求证：抛物线切点弦的方程为00()x x p y y =＋； （2）求证：112|||| PC PD PQ +=. 2. 已知定点F （1，0），动点P 在y 轴上运动，过点P 作PM 交x 轴于点M ，并延长MP 到点N ，且.||||,0PN PM PF PM ==? （1）动点N 的轨迹方程； （2）线l 与动点N 的轨迹交于A ，B 两点，若304||64,4≤≤-=?AB OB OA 且，求直线l 的斜率k 的取值范围. 3. 如图，椭圆13 4: 2 21=+y x C 的左右顶点分别为A 、B ，P 为双曲线134:222=-y x C 右支上（x 轴上方）一点，连AP 交C 1于C ，连PB 并延长交C 1于D ，且△ACD 与△PCD 的面积 相等，求直线PD 的斜率及直线CD 的倾斜角. 4. 已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P 满足条件||||PM PN -=记动点P 的轨迹为W . （Ⅰ）求W 的方程；

（Ⅱ）若,A B 是W 上的不同两点，O 是坐标原点，求OA OB ?的最小值. 5. 已知曲线C 的方程为:kx 2+(4-k )y 2=k +1,(k ∈R) （Ⅰ）若曲线C 是椭圆，求k 的取值范围； （Ⅱ）若曲线C 是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60°，求此双曲线的方程； （Ⅲ）满足（Ⅱ）的双曲线上是否存在两点P ，Q 关于直线l ：y=x -1对称，若存在，求出过P ，Q 的直线方程；若不存在，说明理由。 6. 如图（21）图，M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足： 6.PM PN += (1)求点P 的轨迹方程； (2)若2 ·1cos PM PN MPN -∠＝,求点P 的坐标. 7. 已知F 为椭圆22221x y a b +=(0)a b >>的右焦点，直线l 过点F 且与双曲线 12 2 2=-b y a x 的两条渐进线12,l l 分别交于点,M N ，与椭圆交于点,A B . （I ）若3 MON π∠= ，双曲线的焦距为4。求椭圆方程。 （II ）若0OM MN ?=（O 为坐标原点），1 3 FA AN =，求椭圆的离心率e 。

(浙江专用)2020高考数学二轮复习专题五解析几何第3讲圆锥曲线中的综合问题专题强化训练

第3讲 圆锥曲线中的综合问题 专题强化训练 1．已知方程x 2 2－k ＋y 2 2k －1 ＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是( ) A.? ?? ??12，2 B ．(1，＋∞) C ．(1，2) D.? ?? ??12，1 解析：选C.由题意可得，2k －1>2－k >0， 即? ????2k －1>2－k ，2－k >0，解得1

圆锥曲线解题技巧和方法综合(经典)

圆锥曲线解题方法技巧归纳 第一、知识储备: １. 直线方程的形式 （１）直线方程的形式有五件:点斜式、两点式、斜截式、截距式、一般式。 （2)与直线相关的重要内容 ①倾斜角与斜率tan ,[0,)k ααπ=∈ ②点到直线的距离d = ③夹角公式： 2121 tan 1k k k k α-= + （3）弦长公式 直线 y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离：12AB x =- = 或12AB y =- (4)两条直线的位置关系 ①1212l l k k ⊥?=－１ ② 212121//b b k k l l ≠=?且 2、圆锥曲线方程及性质 (1)、椭圆的方程的形式有几种?(三种形式) 标准方程:22 1(0,0)x y m n m n m n +=>>≠且 距离式方程2a = 参数方程：cos ,sin x a y b θθ== (2)、双曲线的方程的形式有两种

标准方程:22 1(0)x y m n m n +=?< 距离式方程 :|2a = (３)、三种圆锥曲线的通径你记得吗? 22 222b b p a a 椭圆：；双曲线：；抛物线： (4）、圆锥曲线的定义你记清楚了吗？ 如:已知21F F 、是椭圆13 42 2=+y x 的两个焦点,平面内一个动点M 满足 221=-MF MF 则动点Ｍ的轨迹是( ) Ａ、双曲线;B 、双曲线的一支；C 、两条射线；D 、一条射线 (5)、焦点三角形面积公式:1 2 2tan 2 F PF P b θ ?=在椭圆上时，S 1 2 2cot 2 F PF P b θ ?=在双曲线上时，S (其中222 1212121212||||4,cos ,||||cos |||| PF PF c F PF PF PF PF PF PF PF θθθ+-∠==?=?） （6)、记住焦半径公式:(1） 00 ;x a ex a ey ±±椭圆焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为,可简记为“左加右减,上加下减”。 (2)0||x e x a ±双曲线焦点在轴上时为 (3)11||,||22 p p x x y ++抛物线焦点在轴上时为焦点在y 轴上时为 （6）、椭圆和双曲线的基本量三角形你清楚吗？ 第二、方法储备 １、点差法（中点弦问题) 设() 11,y x A 、()22,y x B ，()b a M ,为椭圆13 42 2=+y x 的弦AB 中点则有

高考数学试题分类汇编圆锥曲线

高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、 F 2,若P 为其上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2， －1）的距离及点P 到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （41，－1） B. （4 1，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点 的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用12c 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11 c a ＜ 2 2 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④

D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32 a 的点 到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞) 5.（江西卷7）已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点，满足120MF MF ?=的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是C A ．(0,1) B ．1 (0,]2 C ． D ． 6.（辽宁卷10）已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点（0，2）的距离及P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ A ） A B ．3 C D ．9 2 7.（全国二9）设1a >，则双曲线22 22 1(1)x y a a - =+的离心率e 的取值范围是（ B ） A ． B ． C ．(25)， D ．(2 8.（山东卷(10)设椭圆C 1的离心率为 13 5 ，焦点在X 轴上且长轴长为26.若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8， A B C D -

圆锥曲线综合练习试题(有答案)

圆锥曲线综合练习 一、 选择题： 1．已知椭圆221102 x y m m +=--的长轴在y 轴上，若焦距为4，则m 等于（ ） A ．4 B ．5 C ．7 D ．8 2．直线220x y -+=经过椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的离心率为（ ） A B ．12 C ．2 3 3．设双曲线22 219 x y a -=(0)a >的渐近线方程为320x y ±=，则a 的值为（ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 4．若m 是2和8的等比中项，则圆锥曲线2 2 1y x m +=的离心率是（ ） A B C D 5．已知双曲线22 221(00)x y a b a b -=>>，，过其右焦点且垂直于实轴的直线与双曲线交于M N ， 两点，O 为坐标原点．若OM ON ⊥，则双曲线的离心率为（ ） A B 6．已知点12F F ，是椭圆2 2 22x y +=的两个焦点，点P 是该椭圆上的一个动点，那么12||PF PF +u u u r u u u u r 的最小值是（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．7．双曲线221259 x y -=上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为（ ） A ．22或2 B ．7 C ．22 D ．2 8．P 为双曲线22 1916 x y -=的右支上一点，M N ，分别是圆22(5)4x y ++=和22(5)1x y -+= 上的点， 则||||PM PN -的最大值为（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 9．已知点(8)P a ，在抛物线24y px =上，且P 到焦点的距离为10，则焦点到准线的距离为（ ） A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 10．在正ABC △中，D AB E AC ∈∈，，向量12DE BC =u u u r u u u r ，则以B C ，为焦点，且过D E ，的双曲线离心率为（ ） A B 1 C 1 D 1 11．两个正数a b ，的等差中项是92，一个等比中项是a b >，则抛物线2b y x a =-的焦点坐标是（ ） A ．5(0)16- ， B ．2(0)5-， C ．1(0)5-， D ．1 (0)5 ， 12．已知12A A ，分别为椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>的左右顶点，椭圆C 上异于12A A ，的点P

高中数学圆锥曲线解题技巧方法总结

圆锥曲线 1.圆锥曲线的两定义： 第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数 2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝 对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|， 则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如方 程8=表示的曲线是_____（答：双曲线的左支） 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时1 22 22=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1 （0a b >>）。方程22 Ax By C +=表示椭圆的充要条 件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。 若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，2 2 y x +的最小值是___ ） （2）双曲线：焦点在x 轴上： 2 2 22b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。方程 22 Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）。 如设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴 上，离心率2= e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=） （3）抛物线：开口向右时2 2(0)y px p =>，开 口向左时2 2(0)y px p =->，开口向上时 22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由x 2 ,y 2 分母的大小决定，焦点在 分母大的坐标轴上。 如已知方程1212 2=-+-m y m x 表示焦点在y 轴 上的椭圆，则m 的取值范围是__（答：)2 3 ,1()1,( --∞） （2）双曲线：由x 2,y 2 项系数的正负决定，焦 点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 提醒：在椭圆中，a 最大，2 2 2 a b c =+，在双曲线中，c 最大，2 2 2 c a b =+。 4.圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆（以122 22=+b y a x （0a b >>）为例）： ①范围：,a x a b y b -≤≤-≤≤；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），四个顶点(,0),(0,)a b ±±，其中长轴长 为2a ，短轴长为2b ；④准线：两条准线2 a x c =± ； ⑤离心率：c e a =，椭圆?01e <<，e 越小，椭圆 越圆；e 越大，椭圆越扁。 如（1）若椭圆152 2 =+m y x 的离心率510 = e ，则m 的值是__（答：3或 3 25）； （2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角 形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答： 22） （2）双曲线（以22 22 1x y a b -=（0,0a b >>）为 例）：①范围：x a ≤-或,x a y R ≥∈；②焦点：两个焦点(,0)c ±；③对称性：两条对称轴0,0x y ==，一个对称中心（0,0），两个顶点(,0)a ±，其中实轴长为2a ，虚轴长为2b ，特别地，当实轴和虚轴的长相等 时，称为等轴双曲线，其方程可设为 2 2 ,0x y k k -=≠；④准线：两条准线2 a x c =±； ⑤ 离心率：c e a =，双曲线?1e >，等轴双曲线 ?e =e 越小，开口越小，e 越大，开口越大； ⑥两条渐近线：b y x a =±。 （3）抛物线（以2 2(0)y px p =>为例）：①范围： 0,x y R ≥∈；②焦点：一个焦点(,0)2 p ，其中p 的几 何意义是：焦点到准线的距离；③对称性：一条对称轴0y =，没有对称中心，只有一个顶点（0,0）；④准线： 一条准线2 p x =-； ⑤离心率：c e a =，抛物线 ?1e =。 如设R a a ∈≠,0，则抛物线2 4ax y =的焦点坐标为 ________（答：)161 , 0(a ）； 5、点00(,)P x y 和椭圆122 22=+b y a x （0a b >>）的 关系：（1）点00(,)P x y 在椭圆外?2200 221x y a b +>；（2） 点00(,)P x y 在椭圆上?220 220b y a x +＝1；（3）点 00(,)P x y 在椭圆内?2200 221x y a b +< 6．直线与圆锥曲线的位置关系： （1）相交：0?>?直线与椭圆相交； 0?>?直线与双曲线相交，但直线与双曲线相交不一定有0?>，当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，故0?>是直线与双曲线相交的充分条件，但不是必要条件；0?>?直线与抛物线相交，但直线与抛物线相交不一定有0?>，当直线与抛物线的对称轴平行时，直线与抛物线相交且只有一个交点，故0?>也仅是直线与抛物线相交的充分条件，但不是必要条件。 （2）相切：0?=?直线与椭圆相切；0?=?直线与双曲线相切；0?=?直线与抛物线相切； （3）相离：0?中， 以00(,)P x y 为中点的弦所在直线的斜率k=0 p y 。 提醒：因为0?>是直线与圆锥曲线相交于两点的必要 条件，故在求解有关弦长、对称问题时，务必别忘了检验0?>！ 11．了解下列结论 （1）双曲线1 2 222 =-b y a x 的渐近线方程为0=±b y a x ； （2）以x a b y ±=为渐近线（即与双曲线 12222=-b y a x 共渐近线）的双曲线方程为λ λ(22 22=-b y a x 为参数，λ≠0）。 （3）中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆、双曲线方程可设为2 2 1mx ny +=； （4）椭圆、双曲线的通径（过焦点且垂直于对称 轴的弦）为2 2b a ，焦准距（焦点到相应准线的距离） 为2b c ，抛物线的通径为2p ，焦准距为p ； （5）通径是所有焦点弦（过焦点的弦）中最短的弦； （6）若抛物线2 2(0)y px p =>的焦点弦为AB ， 1122(,),(,)A x y B x y ，则①12||AB x x p =++； ②2 21212,4 p x x y y p ==- （7）若OA 、OB 是过抛物线2 2(0)y px p =>顶点O 的两条互相垂直的弦，则直线AB 恒经过定点(2,0)p 12.圆锥曲线中线段的最值问题： 例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)

《圆锥曲线解题十招全归纳》

《圆锥曲线解题十招全归纳》 招式一：弦的垂直平分线问题 例题1、过点T(-1,0)作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0)，使得ABE ?是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。 招式二：动弦过定点的问题 例题2、已知椭圆C ：22 221(0)x y a b a b +=>>， 且在x 轴上的顶点分别为A 1(-2,0),A 2(2,0)。 （I ）求椭圆的方程； （II ）若直线:(2)l x t t =>与x 轴交于点T,点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论

招式三：过已知曲线上定点的弦的问题 例题4、已知点A 、B 、C 是椭圆E ：22221x y a b += (0)a b >>上的三点，其中点A 是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且0AC BC =，2BC AC =，如图。(I)求点C 的坐标及椭圆E 的方程； (II)若椭圆E 上存在两点P 、Q ，使得直线PC 与直线QC 关于直线x =PQ 的斜率。 招式四：共线向量问题 1：如图所示，已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:22定点=++为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足N 点,0,2=?=的轨迹为曲线E.I ）求曲线E 的方程；II ）若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两点G 、H （点G 在点F 、H 之间），且满足λ=，求λ的取值范围.

2：已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线2 14 y x =的焦点，离心率 为 5 .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若1MA AF λ=，2MB BF λ= ，求证：1210λλ+=-. 3、已知△OFQ 的面积S=26, 且m FQ OF =?。设以O 为中心，F 为焦点的双曲线经过Q ， 2)14 6 ( ,||c m c -==，当||取得最小值时，求此双曲线方程。 类型1——求待定字母的值 例1设双曲线C ：)0(12 22>=-a y a x 与直线L ：x+y=1相交于两个不同的点A 、B ，直线L 与y 轴交 于点P ，且PA=PB 12 5 ，求a 的值

圆锥曲线综合训练一

圆锥曲线综合训练一Revised on November 25, 2020

圆锥曲线综合训练一 一、选择题(本题共10小题，每小题5分，共50分) 1. 若点O 和点F 分别为椭圆22 143 x y + =的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP FP 的最大值为 A ．2 B ．3 C ．6 D ．8 2. 若直线b x y +=与曲线243x x y --=有公共点，则b 的取值范围是 A ．[1-+ B ．[1 C ．[11 -+， D ．[1- 3. 设抛物线28y x =上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是 A ． 4 B ． 6 C ． 8 D ．12 4.设抛物线28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，PA ⊥l ，A 为垂 足，如果直线AF PF = （A ）（B ）8 （C ） （D ）16 5.设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 C 1 2 D 1 2 6.已知椭圆22 22:1(0)x y C a b a b +=>>，过右焦点F 且斜率为 (0)k k >的直线与C 相交于A 、B 两点，若3AF FB =，则k = A ． 1 B ． C ．． 2 7.已知抛物线22(0)y px p =>的准线与圆22670x y x +--=相切，则p 的值为 A 1 2 B 1 C 2 D 4

8.已知双曲线E的中心为原点，(30) F，是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为(1215) N--，，则E的方程为 A 22 1 36 x y -=B 22 1 45 x y -= C 22 1 63 x y -= D 22 1 54 x y -= 9.设O为坐标原点，F1，F2是双曲线 2 2 x a － 2 2 y b ＝１（a＞0，b＞0）的焦点，若 在双曲线上存在点P，满足∠F1PF2=60°，OP a，则该双曲线的渐近线方程为 A x=0 x±y=0 C x y=0 D x±y=0 10.若点O和点(20) F-，分别为双曲线 2 2 2 1(0) x y a a -=>的中心和左焦点，点P为 双曲线右支上的任意一点，则OP FP ?的取值范围为 ( ) A．[3) -+∞B．[3) ++∞ C． 7 [) 4 -+∞ ， D． 7 [) 4 +∞， 二．填空题（本小题共5小题，每小题5分，共25分） 11. 若双曲线 2 4 x - 2 2 y b =1（0 b>）的渐近线方程为 1 2 y x =±，则ｂ等 于． 12. 在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线 22 1 412 x y -=上一点M的横坐标为 3，则点M到双曲线的右焦点的距离为． 13. 已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C 于点D， 且2 =，则C的离心率为． 14. 已知圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线1 :- =x y l被该圆所截得的弦长为2 2，则圆C的标准方程为．