(完整版)二次根式的复习(附答案).doc
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二次根式的复习
知识精要
1、二次根式的概念
代数式 a a 0 叫做二次根式。
其中 a 是被开方数(可为整式或分式). a 有意义的条件是a0 .
2、二次根式的性质
a(a 0)
性质 1 a2 a a 0 ；※a2 a 0(a 0)
a(a 0)
性质 2 ( a)2 a a 0 ;
性质 3 ab a b a 0,b 0
※ ab a b( a 0, b 0)
性质 4 a a （ a 0, b >0）一般地,我们有ab2 a b2 b a
b b
3、最简二次根式
化简二次根式
把二次根式里被开方数所含的完全平方因式移到根号外, 或者化去被开方数的分母的过程 , 称为化简二次根式, 通常把形如m a a 0 的式子叫做最简二次根式。
4、同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个根式叫做同类二
次根式。
5.二次根式的混合运算
6.分母有理化
把分母中的根号化去就是分母有理化. 即是指分母不含二次根式的运算的技术。
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分母有理化的方法是把分子和分母都乘以同一个适当的代数式
, 使分母不含根号 .
上述的适当代数式即是指有理化因式。
精解名题
二次根式有意义的条件：
例 1：求下列各式有意义的所有 x 的取值范围。
（ 1） 3 2 x ； （ 2） 3 x 1；
（ 3） x 1 ；
x 2
（ 4）
x 1
；（ 5） x
2x
1；（ 6） x 2 4
1 3
x
x 5
解：（ 1）要使
3 2x 有意义，必须 32 x 0 ，由 32 x
0 得 x 3 ，
3
时，式子
2
当 x
3 2x 在实数范围内有意义。
2
（ 2）要使 3 x 1 有意义， x
1 为任意实数均可，
当 x 取任意实数时 3
x
1 均有意义。
（ 3） 当 x
1且 x 2 时，式子 x
1
在实数范围内有意义。
x
2
（ 4）当 x
1，且x 1 时， x 1 有意义。
1 3 x
（ 5）当 x
1
时，式子
x
2x 1 在实数范围内有意义。
2
（ 6）当 x
2 且 x
5 或 x
2 且 x 5 时式子
x
2
4
有意义
x
5
最简二次根式
例 2. 根式 5a 2 , a
2
4, 17 ,
m
,2 6x , 12x
中最简二次根式为
3
___________________________________________________.
解： a 2
4 ， 17 ， 2 6x
同类二次根式根式：
例 3. 已 知 二 次 根 式
3a 2, 5 是 同 类 二 次 根 式 , 写 出 三 个
a 的 可 能 值
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_________________________. 解： 3a+2 是 5 的倍数
a为 6，11， 16（答案不唯一）
分母有理化：
例 4. 将下列二次根式分母有理化
（1）2a
4 （2） a 2
a 2 a 2
解：（ 1）2 a 2
(2) 2 a 2 2a
a 2
（3） 5 （4） p 2 q 2 （ p>q）12x 2 p q
解：（ 3）
15x
6x
( p q) p q
（ 4）
2
化简：
例 5：化简：
（1）a 4b
a 4 a
b 4b a 2 b
（ 2）2 a a 2 4 a 2 4
a 2 2a
2
2a
2
（ 1）原式a 2 ba 2 b 2
解：
a 2 b
a 2 b
a 2
b
a 2
b 2
1
a 2 b
a 2 b
a 4b
（ 2）原式
1
2a 1
2a a 2 4a 4 a
2 4a 4 a 2 2a 2a
1 2a 1 2a |a 2| 2a |a 2| 2a
a 2 2a 2a 原题只保证a 0 ，因此要分类讨论
a 2 时，及 0 a 时 2
当a 2时，
原式 1 2a 1 2a a 2
2a a 2 2a a 2 2a
2a
2 a a 2 a 2 2a 3a
2 2a
2a
2a
当 0 a 2时，
原式 1 2a 1 2a a 2
2a 2 a 2a
a 2 2a
2a 2 a a 2 2 a 2a
a 6 2a
2a
2a
化简求值 ：
例 6：已知： a
3
2 ， b
3
2 ，求：
ab 3
3
的值。
2
2
ab
解： a b
3
2
2
3 2
3， a · b
3
2 2 ·
3 2 1
2 4
ab 3
a 3
b ab(b 2
a 2 )
ab a
b 2 2ab
将 a b 与 a · b 的值代入， 3
1
1 · 5 5
得： 1
3 2 2· 1 1
4
4 4
2 4 2 8
备选例题（拓展）
1 a、 b、S
满足 3 a 5 b 7, S 2 a 3 b ，求S
的最大值和最小值
.
例、若
解： 3 a 5 b 7 （1） 2 a - 3 b S （2）
由（1）×3+（ 2）×5 得 a (21 5S) 19
由（1）×2-（2）×3 得 b (14 - 3S) 19
因为 a 0， b 0 所以（ 21+5s） /19 ≥0，且（ 14-3s） /19 ≥0解得 s≥-21/5，且 s≤14/3 所以 -21/5 ≤s≤14/3
所以 S 的最大值 14/3，最小值 -21/5
※例 2、已知a， b 均为正数，且 a +b=2，求U= a 24 b 2 1 的最小值．解：作线段AB=2,
过A 作 AC ⊥ AB, 且 AC=2,
过B 在 AB 的另一侧作 BD ⊥ AB, 且 BD=1
在AB 上任取一点 P,设 PA=a，则 PB=b ，则 a+b=2
连结 PC,PD ,CD由勾股定理得
CP= a2 22 a 2 4
DP=b21b2 1
CD=√ 13,【可添画辅助线，构造出直角三角形来】
由两点之间线段最短得CP+DP≥CD
即a24b2113
所以若 a+b=12，则 u=a24b2 1 最小值是√13
热身练习
一．填空
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1.
1
4 2 ） 10 1 ；（ 3） x ；（ 4） 1 a 2
； (5) 5 。其中一定是
有下列式子： （ ） ；（
二次根式的是： _(1)(2)(4)_________________( 只填序号 )。
2.若 x 11 x
(x y)2 ，则 x y =___2__________ 。
3.使代数式
x
3
有意义的 X 的取值范围是 ______x >4____________ 。
x 4
4.
( 3) 2 =___3____; a 2
b 3
(c 4)2
0 ,则 a b c ____________ . 。 3
5.若 12 n 为正整数，则实数 n 的最大值是 ___11________.
6.
b 3 2
b ,则 b 的取值范围是 ___b ≤ 3_____________.
3
( a 1) 2
a 1成立的条件是 ______a ≥ 1__________________.
7.当 x 0 时 ,化简 1 x
x 2 的结果是 ____1___________.
8.计算 :
(1) ( 3
2 ) 2
4
2
( 1 ) 0
4
解：
11
3
4
(2) ( 2009) 0
123 2
解： 3
3
9.若 x y 3 2x y 0,求 x y 的值 .
解： x=1,y=2
x y =-1
10、满足等式
x x 成立的 X 的取值范围是 _______
x 2 x 2
解： x>2
11、化简：( a 3) 1 （忽视二次根式a中 a 0 而造成错解）
3 a
解：3 a
12、已知：a
1
，求：
1 2a a
2 a2 2a 1
的值。
2 3 a 1 a2 a
解：原式 = a 1 1 把 a 代入得原式=3.
a
自我测试
1、化简
a 3
2 4a 4
a
a
解： a
a 2
2、已知：x 1 ，y 1 ，求： x2 5xy y 2
2 3 2 3
解： 9
3、若 5 的整数部分为a，小数部分是b，求：a 1
的值。b
解： - 5
4.计算 : (5 3 3)2 (3 3 6) 2
解： 1
5.点 P( 3 a,5 a )是第二象限的点,则 a 2 4a 4 a 5 ____. 解： 3
6.已知x 2
2
x
18x 10 ,则x的值是____________. x 2
解： 2
7.已知a b 3,ab 2
b a
,计算的值 .
a b
解：3
2 2
8.若a, b分别是6 13 的整数和小数部分,则求( a 1)(b 1) 的值. 解： a=2,b=4 13
(a 1)(b 1) =9 3 13
9、已知 a,b 分别为等腰三角形的两条边长,且 a,b 满足b43a 6 3 2 a ,求此三角形的周长 ?
解： a=2,b=4
周长为 10
1 1
,求x 1
10、已知实数 x 满足x 8, x 的值 .
x x x
解： 2
11、已知x b
=2-
x a
，其中 a、b 是实数，且 a+b≠ 0，化简x 1 x + x 1 x ，a b x 1 x x 1 x
并求值．
解： 4a 4b 2