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数值分析第四版习题及答案

第四版

数值分析习题

第一章绪论

1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差.

2. 设x 的相对误差为2％,求n

x 的相对误差.

3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出

它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====?

4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:

********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****

1234

,,,x x x x 均为第3题所给的数.

5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?

6. 设028,Y =按递推公式

1n n Y Y -= ( n=1,2,…)

计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差?

7. 求方程2

5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字≈27.982).

8. 当N 充分大时,怎样求

11N

dx x +∞

9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2

10. 设

212S gt =

假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对

误差增加,而相对误差却减小.

11. 序列

{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字),计算到

10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗?

12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?

13.

()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式

ln(ln(x x =-

计算,求对数时误差有多大?

14. 试用消元法解方程组

{

101012121010;2.

x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠?

15. 已知三角形面积1sin ,2s ab c =

其中c 为弧度,

02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ???证明面积的误差s ?满足

.s a b c s a b c ????≤++

第二章插值法

1. 根据(

2.2)定义的范德蒙行列式,令

20000112111

()(,,,,)11

n n n n n n n n n x x x V x V x x x x x x x x

x x ----==

证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x - ,且

101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=-- .

2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式.

4. 给出cos x ,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,

研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.

5. 设0k x x kh =+,k =0,1,2,3,求032max ()x x x l x ≤≤.

6. 设

x 为互异节点(j =0,1,…,n ),求证:

i) 0

()(0,1,,);

k k

j j

j x l x x k n =≡=∑

ii) 0

()()1,2,,).

k j

j j x

x l x k n =-≡0(=∑

7. 设

[]2

(),f x C a b ∈且()()0f a f b ==,求证21

()()().

8max max a x b

a x

b f x b a f x ≤≤≤≤≤-"

8. 在44x -≤≤上给出()x

f x e =的等距节点函数表,若用二次插值求x

e 的近似值,要使截

断误差不超过6

10-,问使用函数表的步长h 应取多少? 9. 若2n

n y =,求4

n y ?及4

n y δ. 10. 如果()f x 是

m 次多项式,记()()()f x f x h f x ?=+-,证明()f x 的k 阶差分

()(0)k f x k m ?≤≤是m k -次多项式,并且()0(m l f x l +?=为正整数).

11. 证明1()k k k k k k f g f g g f +?=?+?.

12. 证明1

0010

n n k

n n k k k k f g

f g f g g f --+==?=--?∑∑

13. 证明

200

.n j n j y y y -=?=?-?∑

14. 若1011()n n

n n f x a a x a x a x --=++++ 有n 个不同实根12,,,n x x x ,证明

{

10,02;

, 1.

()

n k n

k n a k n j j

x f x -≤≤-=-==

'∑

15. 证明n 阶均差有下列性质: i)

若()()F x cf x =,则[][]0101,,,,,,n n F x x x cf x x x = ;

ii) 若()()()F x f x g x =+,则[][][]010101,,,,,,,,,n n n F x x x f x x x g x x x =+ .

16. 74()31f x x x x =+++,求0172,2,,2f ???

? 及0182,2,,2f ???? . 17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是

(4)22311()()()()/4!,(,)k k k k R x f x x x x x x ++=ξ--ξ∈

并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.

18. 求一个次数不高于4次的多项式()P x ,使它满足(0)(1)P P k =-+并由此求出分段三次

埃尔米特插值的误差限. 19. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式()P x ,以便使它能够满足以下边界条件

(0)(0)0P P ='=,(1)(1)1P P ='=,(2)1P =.

20. 设[](),f x C a b ∈,把[],a b 分为n 等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数()n x ?并证明当n →∞时,()n x ?在[]

,a b 上一致收敛到()f x .

21. 设2

()1/(1)f x x =+,在55x -≤≤上取10n =,按等距节点求分段线性插值函数()h I x ,

计算各节点间中点处的()h I x 与()f x 的值,并估计误差.

22. 求2

()f x x =在[],a b 上的分段线性插值函数()h I x ,并估计误差.

23. 求4

()f x x =在[]

,a b 上的分段埃尔米特插值,并估计误差.

试求三次样条插值并满足条件

i) (0.25) 1.0000,(0.53)0.6868;S S '='= ii)

(0.25)(0.53)0.S S "="=

25. 若

[]2

(),f x C a b ∈,()S x 是三次样条函数,证明 i)

[][][][]2

()()()()2()()()b

a a a a f x dx S x dx f x S x dx S x f x S x dx "-"="-"+""-"????;

ii) 若()()(0,1,,)i i f x S x i n == ,式中i x 为插值节点,且01n a x x x b =<<<= ,则

[][][]

()()()()()()()()()b

S x f x S x dx S b f b S b S a f a S a ""-"="'-'-"'-'?

26. 编出计算三次样条函数()S x 系数及其在插值节点中点的值的程序框图(()S x 可用(8.7)

式的表达式).

第三章函数逼近与计算

1. (a)利用区间变换推出区间为[]

,a b 的伯恩斯坦多项式.

(b)对()sin f x x =在[]0,/2π上求

1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的

马克劳林级数部分和误差做比较. 2. 求证:

(a)当()m f x M ≤≤时,(,)n m B f x M ≤≤. (b)当()f x x =时,(,)n B f x x =. 3. 在次数不超过6的多项式中,求()sin 4f x x =在[]

0,2π的最佳一致逼近多项式. 4. 假设()f x 在[],a b 上连续,求()f x 的零次最佳一致逼近多项式. 5. 选取常数a ,使301

max x x ax

≤≤-达到极小,又问这个解是否唯一?

6. 求()sin f x x =在[]0,/2π上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.

7. 求()x

f x e =在[]

0,1上的最佳一次逼近多项式.

8. 如何选取r ,使2

()p x x r =+在[]1,1-上与零偏差最小?r 是否唯一? 9. 设43

()31f x x x =+-,在[]0,1上求三次最佳逼近多项式. 10. 令[]()(21),0,1n n T x T x x =-∈,求***

123(),(),(),()T x T x T x T x .

11. 试证

{}

()n

x 是在[]

0,1上带权

ρ=

的正交多项式.

12. 在[]1,1-上利用插值极小化求1

()f x tg x -=的三次近似最佳逼近多项式. 13. 设()x

f x e =在[]1,1-上的插值极小化近似最佳逼近多项式为()n L x ,若n f L ∞-有界,

证明对任何1n ≥,存在常数n α、n β,使

11()()()()(11).n n n n n T x f x L x T x x ++α≤-≤β-≤≤

14. 设在[

]1,1

-上234511315165()128243843840x x x x x x ?=-

----,试将()x ?降低到3次多

项式并估计误差.

15. 在[

]1,1-上利用幂级数项数求()sin f x x =的3次逼近多项式,使误差不超过0.005.

16. ()f x 是

[]

,a a -上的连续奇(偶)函数,证明不管n 是奇数或偶数,()f x 的最佳逼近多项式

*()n n F x H ∈也是奇(偶)函数.

17. 求a 、b 使[]2

sin ax b x dx π

+-?

为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.

18. ()f x 、

[]1

(),g x C a b ∈,定义

()(,)()();()(,)()()()();

b b

a f g f x g x dx

b f g f x g x dx f a g a =''=''+??

问它们是否构成内积?

19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计6

01x dx x +?的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,

并比较其结果.

20. 选择a ,使下列积分取得最小值:1

2221

(),x ax dx x ax dx

----?

21. 设空间

{}{}

10010121,,,span x span x x 1?=?=,分别在1?、2?上求出一个元素,使得其为

[]20,1x C ∈的最佳平方逼近,并比较其结果.

22. ()f x x =在[]1,1-上,求在{}2

11,,span x x ?=上的最佳平方逼近.

23.

sin (1)arccos ()n n x u x +=

是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系

()()()112n n n u x xu x u x +-=-.

24. 将

1()sin

2f x x

=在[]1,1-上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼

近多项式并画出误差图形,再计算均方误差.

25. 把()arccos f x x =在[]1,1-上展成切比雪夫级数.

26.

y a bx =+.

27.

用最小二乘拟合求.

29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT 算法的程序框图. 31. 现给出一张记录{

}{}4,3,2,1,0,1,2,3k x =,试用改进FFT 算法求出序列{}k x 的离散频谱

{}k C (0,1,,7).k =

第四章数值积分与数值微分

1. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具

有的代数精度:

(1)101()()(0)()

h f x dx A f h A f A f h --≈-++?; (2)21012()()(0)()

h f x dx A f h A f A f h --≈-++?;

(3)

[]1

121()(1)2()3()/3

f x dx f f x f x -≈-++?

;

(4)[][]

()(0)()/1(0)()h

f x dx h f f h ah f f h ≈++'-'?

2. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:

(1)1

20,84x

dx n x =+?; (2)12

10(1),10x e dx n x --=?;

(3)1,4

n =?

;

(4)

n =.

3. 直接验证柯特斯公式(2.4)具有5次代数精度.

4. 用辛普森公式求积分1

0x e dx

并计算误差. 5. 推导下列三种矩形求积公式:

(1)2()

()()()()2b

a f f x dx

b a f a b a 'η=-+

-?; (2)2

()

()()()()2b

a f f x dx

b a f b b a 'η=---?

; (3)

()

()()()()224b

a b f f x dx b a f b a +"η=-+-?

. 6. 证明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)当n →∞时收敛到积分()b

f x dx

7. 用复化梯形公式求积分()b

f x dx

,问要将积分区间[]

,a b 分成多少等分,才能保证误差不

超过ε(设不计舍入误差)?

x e dx

-,要求误差不超过5

10-.

9. 卫星轨道是一个椭圆,

椭圆周长的计算公式是S a =θ

,这里a 是椭圆

的半长轴,c 是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离,记h 为近地点距离,H 为远地点距离,6371R =公里为地球半径,则(2)/2,()/2a R H h c H h =++=-.我国第一颗人造

卫星近地点距离439h =公里,远地点距离2384H =公里,试求卫星轨道的周长. 10. 证明等式

sin

3!5!n n

n n π

πππ=-

试依据sin(/)(3,6,12)n n n π=的值,用外推算

法求π的近似值.

11. 用下列方法计算积分

y ?

并比较结果.

(1) 龙贝格方法;

(2) 三点及五点高斯公式;

(3) 将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式.

12. 用三点公式和五点公式分别求

()(1)f x x =

+在x =1.0,1.1和1.2处的导数值,并估计误

()f x

第五章常微分方程数值解法

1. 就初值问题0)0(,=+='y b ax y 分别导出尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达式，并与准确解

bx ax y +=

21相比较。

2. 用改进的尤拉方法解初值问题

?=<<+=',1)0(;

10,y x y x y

取步长h=0.1计算，并与准确解x

e x y 21+--=相比较。

3. 用改进的尤拉方法解

?=-+=',0)0(;2y y x x y

取步长h=0.1计算)5.0(y ，并与准确解

+-+-=-x x e y x 相比较。 4. 用梯形方法解初值问题

?==+',1)0(;

0y y y

证明其近似解为

22n

n h h y ??? ??+-=

并证明当0→h 时，它原初值问题的准确解x

e y -=。

5. 利用尤拉方法计算积分

e x

t ?

在点2,5.1,1,5.0=x 的近似值。

6. 取h=0.2，用四阶经典的龙格－库塔方法求解下列初值问题：

1）??

?=<<+=',1)0(;10,y x y x y

2）??

?=<<+='.1)0(;10),1/(3y x x y y

7. 证明对任意参数t ，下列龙格－库塔公式是二阶的：

?????????

-+-+=++==++=+).)1(,)1(();,();

,();(2

13121

321

hK t y h t x f K thK y th x f K y x f K K K h y y n n n n n n n n

8. 证明下列两种龙格－库塔方法是三阶的：

1） ???

?????

???++=++==++=+);

32,32();3

,3();,();3(4

2312

1311

hK y h x f K K h y h x f K y x f K K K h y y n n n n n n n n 2） ???

?????

???

++=++==+++=+).

43,43();2,2();,();432(9

2312

13211

hK y h x f K K h y h x f K y x f K K K K h y y n n n n n n n n

9. 分别用二阶显式亚当姆斯方法和二阶隐式亚当姆斯方法解下列初值问题：

,0)0(,1=-='y y y

取,181.0,0,2.010===y y h 计算)0.1(y 并与准确解x

e y --=1相比较。

10. 证明解),(y x f y ='的下列差分公式

)34(4)(211111-+-+'+'-'++=

n n n

n n n y y y h

y y y

是二阶的，并求出截断误差的首项。 11. 导出具有下列形式的三阶方法： ).(22110221101----+'+'+'+++=n n n

n n n n y b y b y b h y a y a y a y 12. 将下列方程化为一阶方程组：

1）;1)0(,1)0(,

023='==+'-''y y y y y

2）;0)0(,1)0(,0)1(1.02='==+'--''y y y y y y

3）,,)(,)(223

3y x r r y

t y r x t x +=-=''-

=''

.2)0(,0)0(,0)0(,4.0)0(='=='=y y x x

13. 取h=0.25，用差分方法解边值问题

?===+''.68.1)1(,0)0(;0y y y y

14. 对方程),(y x f y =''可建立差分公式

),,(2211n n n n n y x f h y y y +-=-+

试用这一公式求解初值问题

?==='',0)1()0(;1y y y

验证计算解恒等于准确解

2)(2x x x y -=

15. 取h=0.2用差分方法解边值问题

?=='--=-'-''+.2)1(,1)0()0(;

363)1(2y y y x y y x y x

第六章方程求根

1. 用二分法求方程012

=--x x 的正根，要求误差<0.05。

2. 用比例求根法求0sin 1)(=-=x x x f 在区间[0,1]内的一个根，直到近似根k x 满足精度

005.0|)(|

3. 为求方程012

3=--x x 在5.10=x 附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式。

1）2/11x x +=，迭代公式21/11k k x x +=+； 2）231x x +=，迭代公式3211k k x x +=+；

3）

112-=

x x ，迭代公式1/11-=+k k x x 。试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似根。 4. 比较求0210=-+x e x

的根到三位小数所需的计算量；

1）在区间[0,1]内用二分法；

2) 用迭代法

10/)2(1xk

k e x -=+，取初值00=x 。 5. 给定函数)(x f ，设对一切)(,x f x '存在且M x f m ≤'≤<)(0，证明对于范围内M /20<<λ的任意定数λ，迭代过程)(1k k k x f x x λ-=+均收敛于)(x f 的根*x 。

6. 已知)(x x ?=在区间[a,b]内只有一根，而当a

1|)(|>≥'k x ?，

试问如何将)(x x ?=化为适于迭代的形式？

将tgx x =化为适于迭代的形式，并求x=4.5（弧度）附近的根。

7. 用下列方法求013)(3

=--=x x x f 在20=x 附近的根。根的准确值*

x ＝1.87938524…，要求计算结果准确到四位有效数字。 1) 用牛顿法；

2）用弦截法，取9.1,110==x x ； 3）用抛物线法，取2,3,1210===x x x 。 8. 用二分法和牛顿法求0=-tgx x 的最小正根。

9. 研究求a 的牛顿公式

,0),(2101>+=

+x x a

x x k

k k

证明对一切a x k k ≥

=,,2,1 且序列 ,,21x x 是递减的。

10. 对于0)(=x f 的牛顿公式)(/)(1k k k k x f x f x x '-=+，证明

2211)/()(-----=k k k k k x x x x R

收敛到))(2/()(*

*'''-x f x f ，这里*

x 为0)(=x f 的根。 11. 试就下列函数讨论牛顿法的收敛性和收敛速度：

????

?<--≥=;0,;0,)(x x x x x f 2)

????

?<-≥=.0,;0,)(3

232x x x x x f 12. 应用牛顿法于方程02

=-a x ，导出求立方根3a 的迭代公式，并讨论其收敛性。

13. 应用牛顿法于方程01)(2=-

=x a x f ，导出求a 的迭代公式，并用此公式求115的

值。

14. 应用牛顿法于方程0)(=-=a x x f n

和

01)(=-

=n x a

x f ，分别导出求n a 的迭代公

式，并求

)/()(lim 21k n k n k x a x a --+∞

→

15. 证明迭代公式

a x a x x x k k k k ++=+2

3)3(

是计算a 的三阶方法。假定初值0x 充分靠近根*

x ，求

)/()(lim 31k k k x a x a --+∞

→

第七章解线性方程组的直接方法

1. 考虑方程组：

??????

?-=+++=+++=+++=+++;2557.03927.02786.04002.01784.0;4240.00643.03781.01920.03645.0;1550.01129.04015.03872.02246.0;4043.02943.03678.01234.04096.0432

1432143214321x x x x x x x x x x x x x x x x

(a) 用高斯消去法解此方程组（用四位小数计算），

(b) 用列主元消去法解上述方程组并且与(a)比较结果。

2. (a) 设A 是对称阵且011≠a ，经过高斯消去法一步后，A 约化为

??????21110

A a a T

证明A 2是对称矩阵。

(b)用高斯消去法解对称方程组：

??-=++-=++=-+.8621.02147.14759.08468.0;7321

.14759.08423.13475.0;4127

.08468.03475.06428.0321321321x x x x x x x x x 4. 设A 为n 阶非奇异矩阵且有分解式A=LU ，其中L 为单位下三角阵，U 为上三角阵，求证A 的所有顺序主子式均不为零。

5. 由高斯消去法说明当)1,,2,1(0-=≠?n i i 时，则A=LU ，其中L 为单位下三角阵，U 为上三角阵。

6. 设A 为n 阶矩阵，如果),

,,2,1(||||1

n i a a n

i j j ij ii =>∑≠=称A 为对角优势阵。证明：若A

是对角优势阵，经过高斯消去法一步后，A 具有形式

??????21110A a a T 。 7. 设A 是对称正定矩阵，经过高斯消去法一步后，A 约化为

??????21110

A a a T ，

其中;)(,)(1)

2(2-==n ij n ij a A a A

证明（1）A 的对角元素);,,2,1(0n i a ii => （2）A 2是对称正定矩阵；

（3）

);,,2,1(,)(n i a a ii n n =≤ （4）A 的绝对值最大的元素必在对角线上；（5）|;

|max ||max ,2)2(,2ij n

j i ij n

j i a a ≤≤≤≤≤

（6）从（2），（3），（5）推出，如果1||

(

8. 设k L 为指标为k 的初等下三角阵，即

?????

??????????=+1111,1nk k k k m m L （除第k 列对角元下元素外，和单位阵I 相同）

求证当k j i >,时，ij k ij k I L I L =~也是一个指标为k 的初等下三角阵，其中ij I 为初等排

列阵。

9. 试推导矩阵A 的Crout 分解A=LU 的计算公式，其中L 为下三角阵，U 为单位上三角阵。

10. 设d Ux =，其中U 为三角矩阵。

(a) 就U 为上及下三角矩阵推导一般的求解公式，病写出算法。 (b) 计算解三角形方程组d Ux =的乘除法次数。 (c) 设U 为非奇异阵，试推导求1

-U

的计算公式。

11. 证明（a ）如果A 是对称正定阵，则1

-A 也是正定阵；

（b ）如果A 是对称正定阵，则A 可唯一写成L L A T

=,其中L 是具有正对角元的下三角阵。 12. 用高斯－约当方法求A 的逆阵：

?????????

???-----=5101242170131312A

13. 用追赶法解三对角方程组b Ax =，其中

????

????????=????????????????--------=00001,2100012100012100012100012b A

14. 用改进的平方根法解方程组

.654131*********??????????=????????????????????---x x x

15. 下述矩阵能否分解为LU （其中L 为单位下三角阵，U 为上三角阵）？若能分解，那么

分解是否唯一？

.461561552621,133122111,764142321??

????????=??????????=??????????=C B A

16. 试划出部分选主元素三角分解法框图，并且用此法解方程组

?????

?????=????????????????????-321212111430321x x x .

17. 如果方阵A 有)|(|0t j i a ij >-=，则称A 为带宽2t+1的带状矩阵，设A 满足三角分解条件，试推导LU A =的计算公式，对.,,2,1n r =

1）

∑--=-=1

)

,1max(r t i k ki

rk ri ri u

a u )),min(,,1,(t r n r r i ++= ；

2）rr

r t i k kr

ik ir ir u u l

a l /)(1

)

,1max(∑--=-

= )),min(,,1(t r n r i ++= .

18. 设

?????=3.01.05.06.0A ，

计算A 的行范数，列范数，2-范数及F-范数。 19. 求证

(a) ∞∞≤≤||||||||||||1x n x x ，

(b)

F A c A A n

||||||||||||1

22≤≤。

20. 设 n

n R

P ?∈且非奇异，又设||||x 为n

R 上一向量范数，定义

||||||||Px x p =。

试证明p x ||||是n

R 上的一种向量范数。

21. 设n

n R

A ?∈为对称正定阵，定义

2/1),(||||x Ax x A =，

试证明A x ||||为n

R 上向量的一种范数。

22. 设T

n n x x x x R x ),,(,21 =∈，求证

∞

≤≤=∞

→==∑||||max )||||(lim 11

/1x x x n

i i n

i p p i y 。

23. 证明：当且尽当x 和y 线性相关且0≤y x T

时，才有

222||||||||||||y x y x +=+。

24. 分别描述2

R 中（画图）

),2,1(},,1|||||{2∞=∈==v R x x x S v v 。

25. 令?是n

R （或n C ）上的任意一种范数，而P 是任意非奇异实（或复）矩阵，定义范

数||||||||Px x ='，证明||||||||1

-='PAP A 。

26. 设t s A A ||||,||||为n

n R ?上任意两种矩阵算子范数，证明存在常数0,21>c c ，使对一切

n n R A ?∈满足

s t s A c A A c ||||||||||||21≤≤

27. 设n n R A ?∈，求证A A T 与T AA 特征值相等，即求证

)()(T T AA A A λλ=。 28. 设A 为非奇异矩阵，求证

∞∞

≠∞-=||||||||min

||||1

01y A A y 。

29. 设A 为非奇异矩阵，且1||||||||1<-A A δ，求证1

)(-+A A δ存在且有估计

.||||||||)

(1||

||||

||)

(||

||||)(||1

11A A A cond A A A cond A A A A δδδ-≤+----

30. 矩阵第一行乘以一数，成为

?????=112λλA 。

证明当

=λ时，∞)(A cond 有最小值。

31. 设A 为对称正定矩阵，且其分解为W W LDL A T T ==，其中T

L D W 2/1=，求证

(a) ;])([)(2

22ωcond A cond =

(b)

.)()()(222ωωcond cond A cond T

= 32. 设

???=989999100A

计算A 的条件数。),2()(∞=v A cond v

33. 证明：如果A 是正交阵，则1)(2=A cond 。 34. 设n

n R

B A ?∈,且?为上矩阵的算子范数，证明

)()()(B cond A cond AB cond ≤。

第八章解方程组的迭代法

1. 设方程组

???

??=+-=++--=++3

1032202412

25321321321x x x x x x x x x

(a) 考察用雅可比迭代法,高斯-塞德尔迭代法解此方程组的收敛性;

(b) 用雅可比迭代法,高斯-塞德尔迭代法解此方程组,要求当4)()1(10||||-∞+<-k k x x 时迭代

终止．

2. 设

???=0200A , 证明:即使1||||||||1>=∞A A 级数 +++++k A A A I 2也收敛． 3. 证明对于任意选择的A, 序列

,!41,!31,21,

32A A A A I

收敛于零．

４. 设方程组

?=+=+;;

22221211212111b x a x a b x a x a );0,(1211≠a a

迭代公式为

??????

?-=-=--);(1);(1)1(121222)(2)

1(212111)(1k k k k x a b a x x a b a x ).,2,1( =k

求证: 由上述迭代公式产生的向量序列

}{)(k x 收敛的充要条件是 .122

1121

12<=

a a a a r

5. 设方程组

(a) ???

??=++=++=++3

8.04.028.04.014.04.0321321321x x x x x x x x x (b)

???

??=++=++=-+1

2211

22321321321x x x x x x x x x

试考察解此方程组的雅可比迭代法及高斯-塞德尔迭代法的收敛性。

6. 求证A

A k k =∞

→lim 的充要条件是对任何向量x ，都有

lim Ax x A k k =∞

→

7. 设b Ax =，其中A 对称正定，问解此方程组的雅可比迭代法是否一定收敛？试考察习题5(a)方程组。 8. 设方程组

????????

?=+--=+--=--=--.

21414

214141;214141;2141414213

21432431x x x x x x x x x x x x (a) 求解此方程组的雅可比迭代法的迭代矩阵0B 的谱半径；

(b) 求解此方程组的高斯－塞德尔迭代法的迭代矩阵的谱半径；

???

??-=+-=-+-=-.

34;44;143232121x x x x x x x

精确解

,)21

,1,21(T x -=*要求当6

)(105||||-∞*?<-k x x 时迭代终止，并且对每一个ω值确定迭代次数。

10. 用SOR 方法解方程组（取ω＝0.9）

???

??=+-=++--=++.

31032;2024;1225321321321x x x x x x x x x

要求当4

)()1(10||||-∞+<-k k x x 时迭代终止。

11. 设有方程组b Ax =，其中A 为对称正定阵，迭代公式

),()()()1(k k k Ax b x x -+=+ω ),2,1,0( =k

试证明当

βω2

<时上述迭代法收敛（其中βλα≤≤<)(0A ）。

12. 用高斯－塞德尔方法解b Ax =，用)1(+k i x 记)1(+k x 的第i 个分量，且

∑∑=-=++--=n

j k i ij i j k j

ij i k i

x a x

a b r )

)

1()

1(。

(a) 证明

i k i k i

k i

a r x x )

1()()1(+++

=； (b) 如果*-=x x k k )()

(ε

，其中*x 是方程组的精确解，求证： ii k i k i

k i

a r )1()()1(++-

=ε

其中 ∑∑=-=++-=n

j k i ij i j k j

ij k i

a a r )

)1()

1(εε

。

),()()()()(k k k A Q εεε=

证明 ∑

=++-=-n

j jj k j k k a

r Q Q 12

)1()

()

1()()()(ε

。

(d) 由此推出，如果A 是具有正对角元素的非奇异矩阵，且高斯－塞德尔方法对任意初始向

量)

0(x 是收敛的，则A 是正定阵。

13. 设A 与B 为n 阶矩阵，A 为非奇异，考虑解方程组

,,221121b Az Bz b Bz Az =+=+

其中n

R d d z z ∈2121,,,。

(a) 找出下列迭代方法收敛的充要条件 );0(,)(12)1(2)(21)1(1≥-=-=++m Bz b Az Bz b Az m m m m

(b) 找出下列迭代方法收敛的充要条件 );0(,)1(12)1(2)(21)1(1≥-=-=+++m Bz b Az Bz b Az m m m m

比较两个方法的收敛速度。 14. 证明矩阵

???

?????=111a a a a a a A

对于121<<-a 是正定的，而雅可比迭代只对212

<-a 是收敛的。 15. 设

????

?????

???--=7030121340203215A ，试说明A 为可约矩阵。 16. 给定迭代过程，g Cx x

k k +=+)()

1(，其中),2,1,0( =∈?k R C n n ，试证明：如果C 的

特征值),2,1(0)( ==i C i λ，则迭代过程最多迭代n 次收敛于方程组的解。

17. 画出SOR 迭代法的框图。

18. 设A 为不可约弱对角优势阵且10≤<ω，求证：解b Ax =的SOR 方法收敛。 19. 设b Ax =，其中A 为非奇异阵。 (a) 求证A A T

为对称正定阵；

(b) 求证2

22))(()(A cond A A cond T

=。

第九章矩阵的特征值与特征向量计算

1. 用幂法计算下列矩阵的主特征值及对应的特征向量：

(a)

????????----=3121432371A , (b) ?????

?????--=1333643432A , 当特征值有3位小数稳定时迭代终止。

2. 方阵T 分块形式为

??????????

?=nn n n T T T T T T T 22211211, 其中),,2,1(n i T ii =为方阵，T 称为块上三角阵，如果对角块的阶数至多不超过2，则称T 为准三角形形式，用)(T σ记矩阵T 的特征值集合，证明

)()(1

i ii T T ==σσ

3. 利用反幂法求矩阵

??????????111132126

的最接近于6的特征值及对应的特征向量。

4. 求矩阵

??????????310130004

与特征值4对应的特征向量。

5. 用雅可比方法计算

???

?????=0.225.05.025.00.10.15.00.10.1A

的全部特征值及特征向量，用此计算结果给出例3的关于p 的最优值。

6. (a)设A 是对称矩阵，λ和)1||(||2=x x 是A 的一个特征值及相应的特征向量，又设P 为

一个正交阵，使

T e Px )0,,0,1(1 ==

证明T

PAP B =的第一行和第一列除了λ外其余元素均为零。

(b)对于矩阵

???

?????--=118285102102A ,

λ=9是其特征值，

x ?

?? ??=32,31,32是相应于9的特征向量，试求一初等反射阵P ，使1e Px =，并计算T PAP B =。

7. 利用初等反射阵将

???

?????=124213431A

正交相似约化为对称三对角阵。 8. 设n

n R

A ?∈，且11,j i a a 不全为零，ij P 为使0)

2(1=j a 的平面旋转阵，试推导计算A P ij 第i

行，第j 行元素公式及T

ij AP 第i 列，第j 列元素的计算公式。

9. 设1-n A 是由豪斯荷尔德方法得到的矩阵，又设y 是1-n A 的一个特征向量。

(a)证明矩阵A 对应的特征向量是y P P P

x n 221-= ； (b)对于给出的y 应如何计算x ？ 10. 用带位移的QR 方法计算

(a)

??????????-=310112021A , (b) ??

???

?????=110121013B 全部特征值。

11. 试用初等反射阵A 分解为QR ，其中Q 为正交阵，R 为上三角阵，

????????---=54211211

1A 。

数值分析习题答案

第一章绪论习题参考答案

1． ε（lnx ）≈

***

()

()r x x x εεδ

==。

2．

****

()

()()0.02n n

r n

n x

x x n x x n x

x εεεε-=

≈

==。

3． *1x 有5位有效数字，*2x 有2位有效数字，*3x 有4位有效数字，*4x 有5位有效数字，*

5x 有2位有效数字。

4． ******433

124124()()()()0.5100.5100.510

1.0510x x x x x x εεεε----++≈++=?+?+?=?************

123231132123()()()()0.214790825

x x x x x x x x x x x x εεεε≈++=**

**6

2224***2444

1()()()8.85566810x x x x x x x εεε-≈-=?。

5．

1()1

()()()0.00333333

r r r V R V V V εεεε=≈===。

6．

33100111

()100101010022Y ε--=?

??=?。

7．

12855.982x =≈

，

280.01786

55.982x =-=

≈

≈。

8． 21arc 12N dx tgN x π

+∞

=-+?

9．

21()()0.005

2x S S εεε-

=≈=。

10． ()()0.1S g t t g t εε≈=，2()2()0.2

()2r g t t t S t t gt εεε≈==

，故t 增加时S 的

绝对误差增加，相对误差减小。

11． 108

1001

()10()102y y εε==?，计算过程不稳定。

12．

1)0.005051f =≈，

1.4=，

则

611)0.004096f ==

，20.005233f ==

，33(30.008f =-=

，40.005125f ==

，

5991f =-=，4f 的结果最好。

13．

(30) 4.094622f =-，开平方时用六位函数表计算所得的误差为

102

ε-=?，分别代入等价公式)1x x (ln )x (f ),1x x (ln )x (f 2

21++-=--=中

计算可

得

()ln(1(60103102f x εε--

≈

=+=??=?

，

47211

()ln(1108.3310602f ε--=+

≈

??=?。

14．

方程组的真解为1210000000009999999981.000000, 1.000000

999999999999999999x x =≈=≈，

而无论用方程一还是方程二代入消元均解得121.00, 1.00x x ==，结果十分可

靠。

15．

sin sin cos tan sin s b c a a c b ab c c a b c c c s ab c a b c ??+?+????<∴

≈≤++

第二章插值法习题参考答案

∏∏-≤<≤-=--=1

()

()(n i j j i

n i i n x x

x x x V ；

∏-≤<≤---=

01101)

(),,,(n i j j i

n n x x

x x x V . 2.

)12)(12()

1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0)(2+-+-?

+------?-+-+-+?=x x x x x x x L 37236

52-

+=x x . 3. 线性插值：取510826.0,693147.0,6.0,5.01010-=-===y y x x ，则

620219.0)54.0()54.0(54.0ln 00

101-=-?--+

=≈x x x y y y L ；

二次插值：取

510826.0,693147.0,916291.0,6.0,5.0,4.0210210-=-=-====y y y x x x ，则

)54.0(54.0ln 2L ≈

))(()54.0)(54.0())(()54.0)(54.0())(()

54.0)(54.0(120210221012012010210x x x x x x y x x x x x x y x x x x x x y ----?

+----?+----?=

＝－0.616707 .

4. )

)()((21

)()()(1011x x x x f x L x f x R --''=-=ξ，其中],[10x x ∈ξ. 所以总误差界 |

))((|max |)(s co |max 21

|)(|1011010x x x x x x R x x x x x x --?''≤≤≤≤≤ 8

2011006.1180601814)(121-?=??? ????=-??=πx x .

5. ))()(()

)()(()(3212023102x x x x x x x x x x x x x l ------=

当

h x x ?±+

=37

40 时，取得最大值

277

710|)(|max 230+=

≤≤x l x x x .

6. i) 对),,1,0(,)(n k x x f k

==在n x x x ,,,10 处进行n 次拉格朗日插值，则有

)()(x R x P x n n k +=

)

())(()!1(1

)(0)1(0n n n

i k j j x x x x f n x x l --++

=+=∑ ξ

数值分析试题及答案汇总

数值分析试题一、填空题（2 0×2′） 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =?(x )在有解区间满足 |?’(x )| <1 ，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的前插公式，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的后插公式；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的拉格朗日插值公式。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所以当系数a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…)收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 ?(B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。 11. 牛顿下山法的下山条件为 |f(xn+1)|<|f(xn)| 。 12. 线性方程组的松弛迭代法是通过逐渐减少残差r i (i =0,1,…,n )来实现的，其中的残差 r i ＝ (b i -a i1x 1-a i2x 2-…-a in x n )/a ii ，(i =0,1,…,n )。 13. 在非线性方程f (x )=0使用各种切线法迭代求解时，若在迭代区间存在唯一解，且f (x )

数值分析最佳习题(含答案)

第一章绪论姓名学号班级习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。 1 若误差限为5 105.0-?,那么近似数有几位有效数字？（有效数字的计算）解：2*103400.0-?=x ，325* 102 1 1021---?=?≤-x x 故具有3位有效数字。 2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算）解：10314159.0?= π，欲使其近似值* π具有4位有效数字，必需 41*1021 -?≤-ππ，3*3102 11021--?+≤≤?-πππ，即14209.314109.3*≤≤π 3 已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ?有几位有效数字？（有效数字的计算）解：3* 1021-?≤ -a a ，2*102 1 -?≤-b b ，而1811.2=+b a ，1766.1=?b a 2123****102 1 10211021)()(---?≤?+?≤-+-≤+-+b b a a b a b a 故b a +至少具有2位有效数字。 2 123*****102 1 0065.01022031.1102978.0)()(---?≤=?+?≤-+-≤-b b a a a b b a ab 故b a ?至少具有2位有效数字。 4 设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差？（误差的计算）解：已知 δ=-* *x x x ，则误差为 δ=-= -* **ln ln x x x x x 则相对误差为 * * ** * * ln ln 1ln ln ln x x x x x x x x δ = -= - 5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5* =，已知 cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v 2π=的绝对误差限与相对误差限。（误差限的计算）解： * 2******2),(),(h h r r r h r r h v r h v -+-≤-ππ 绝对误差限为 π ππ252.051.02052)5,20(),(2=??+????≤-v r h v

【重磅】数值分析习题与答案

第一章绪论习题一 1.设R>0,RR的相对误差为δ，求f(R)=lnR的误差限。解：求lnR的误差极限就是求f(R)=lnR的误差限，由公式(1. 2.4)有已知RR的相对误差满足，而，故即 2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得有5位有效数字，其误差限，相对误差限有2位有效数字，有5位有效数字， 3.下列公式如何才比较准确？（1）（2）解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。（1）（2） 4.近似数RR=0.0310,是 3 位有数数字。

5.计算取，利用：式计算误差最小。四个选项：第二、三章插值与函数逼近习题二、三 1.给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值误差限，因，故二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值误差限，故 2.在-4≤R≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过，函数表的步长h应取多少?

解：用误差估计式（5.8），令因得 3.若，求和. 解：由均差与导数关系于是 4.若互异，求的值，这里p≤n+1. 解：，由均差对称性可知当有而当P＝n＋1时于是得 5.求证. 解：解：只要按差分定义直接展开得

6.已知的函数表求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差. 解：根据给定函数表构造均差表由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式 N3(R)=1.0067R+0.08367R(R-0.2)+0.17400R(R-0.2)(R-0.3 ) 由此可得 f(0.23)N3(0.23)=0.23203 由余项表达式(5.15)可得由于 7.给定f(R)=cosR的函数表用Newton等距插值公式计算cos0.048及cos0.566的近似值并估计误差解：先构造差分表

数值分析习题集及答案

（适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》）第一章绪论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: ***** 123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: * * * * * * * * 12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中* * * * 1234,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 11783 100 n n Y Y -=- ( n=1,2,…) 计算到100Y .若取783≈27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字(783≈27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设2 12S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加, 而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101 n n y y -=-(n=1,2,…),若02 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10 y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 (21)f =-,取 2 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 6 3 11,(322), ,9970 2. (21) (322) --++ 13. 2 ()ln(1)f x x x =- -,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 2 2 ln(1)ln(1)x x x x - -=-+ + 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组{ 10 10 12121010; 2. x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 15. 已知三角形面积 1sin , 2 s ab c = 其中c 为弧度, 02c π << ,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ???证明面积的误差s ?满足 . s a b c s a b c ????≤ ++ 第二章插值法 1. 根据( 2.2)定义的范德蒙行列式,令

数值分析复习题及答案65177

数值分析复习题一、选择题 1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有（）和（）位有效数字. A ．4和3 B ．3和2 C ．3和4 D ．4和4 2. 已知求积公式()()2 11211()(2)636f x dx f Af f ≈++?，则A ＝（） A ． 16 B ．13 C ．12 D ．2 3 3. 通过点()()0011,,,x y x y 的拉格朗日插值基函数()()01,l x l x 满足（） A ．() 00l x ＝0，()110l x = B ． ()00l x ＝0，()111l x = C ．()00l x ＝1，()111l x = D ． ()00l x ＝1，()111l x = 4. 设求方程()0f x =的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。 A ．超线性 B ．平方 C ．线性 D ．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组1231231220223332x x x x x x x x ++=??++=??--=? 作第一次消元后得到的第3个方程（）. A ．232x x -+= B ．232 1.5 3.5x x -+= C ．2323x x -+= D ．230.5 1.5x x -=- 二、填空 1. 设 2.3149541...x *=，取5位有效数字，则所得的近似值x= . 2.设一阶差商 ()()()21122114,321f x f x f x x x x --= ==---， ()()()322332615,422f x f x f x x x x --===--

则二阶差商 ()123,,______f x x x = 3. 设(2,3,1)T X =--, 则2||||X = ，=∞||||X 。 4．求方程 2 1.250x x --= 的近似根，用迭代公式 1.25x x =+，取初始值 01x =，那么 1______x =。 5．解初始值问题 00'(,)()y f x y y x y =??=?近似解的梯形公式是 1______k y +≈。 6、 1151A ??= ?-??，则A 的谱半径＝。 7、设 2()35, , 0,1,2,... , k f x x x kh k =+== ，则[]12,,n n n f x x x ++= 和[]123,,,n n n n f x x x x +++= 。 8、若线性代数方程组AX=b 的系数矩阵A 为严格对角占优阵，则雅可比迭代和高斯-塞德尔迭代都。 9、解常微分方程初值问题的欧拉（Euler ）方法的局部截断误差为。 10、为了使计算 23123101(1)(1)y x x x =+ +----的乘除法运算次数尽量的少,应将表达式改写成。 11. 设T X )4,3,2(-=, 则=1||||X ，2||||X = . 12. 一阶均差()01,f x x = 13. 已知3n =时，科茨系数()()()33301213,88C C C ===，那么 ()33C = 14. 因为方程()420x f x x =-+=在区间[]1,2上满足，所以()0f x =在区间内有根。 15. 取步长0.1h =，用欧拉法解初值问题()211y y y x y ?'=+???=?的计算公式 . 16.设 * 2.40315x =是真值 2.40194x =的近似值，则*x 有位有效数字。

数值分析习题与答案

第一章绪论习题一?1．设x＞0，x＊的相对误差为δ,求f(ｘ)=ln x的误差限。解:求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(１.2.４）有已知x*的相对误差满足，而 ,故即 2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值,试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。解:直接根据定义和式（１.2.２)(1.２.3）则得?有５位有效数字，其误差限,相对误差限有２位有效数字，有5位有效数字， 3．下列公式如何才比较准确？ (１)?(2）解:要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。

（1)?(2） 4.近似数x*=０.０３１0,是 3 位有数数字。 5.计算取,利用 :式计算误差最小。四个选项: 第二、三章插值与函数逼近习题二、三 1. 给定的数值表用线性插值与二次插值计算ln０．5４的近似值并估计误差限. 解：仍可使用n＝1及n＝２的Laｇrange插值或Neｗｔo ｎ插值，并应用误差估计（5.8)。线性插值时,用0．５及0．6两点，用Newton插值??误差限，因,

故? 二次插值时，用0.5，0．6,０.7三点,作二次Ｎewton插值 ?误差限，故? 2. 在－4≤x≤4上给出的等距节点函数表，若用二次插值法求的近似值，要使误差不超过,函数表的步长ｈ应取多少? 解：用误差估计式（５．8), ?令因?得 3. 若,求和.

解：由均差与导数关系 ?于是 4. 若互异,求的值,这里p≤n+1. 解:,由均差对称性可知当有?而当P＝n ＋1时 ?于是得 5. 求证. 解:解:只要按差分定义直接展开得 ? 6. 已知的函数表

应用数值分析(第四版)课后习题答案第9章

第九章习题解答 1.已知矩阵????? ???????=??????????=4114114114,30103212321A A 试用格希哥林圆盘确定A 的特征值的界。解：,24)2(, 33)1(≤-≤-λλ 2.设T x x x x ),...,,(321=是矩阵A 属于特征值λ的特征向量，若i x x =∞，试证明特征值的估计式∑≠=≤-n i j j ij ii a a 1λ. 解：,x Ax λ = ∞∞∞∞≤==x A x x Ax i λλ 由 i x x =∞ 得 i n in i ii i x x a x a x a λ=++++ 11 j n j i i ij i ii x a x a ∑≠==-1)(λ j n j i i ij j n j i i ij i ii x a x a x a ∑∑≠=≠=≤=-11λ ∑∑≠=≠=≤≤-n j i i ij i j n j i i ij ii a x x a a 11λ 3.用幂法求矩阵 ???? ??????=1634310232A 的强特征值和特征向量，迭代初值取T y )1,1,1()0(=。解：y=[1,1,1]';z=y;d=0; A=[2,3,2;10,3,4;3,6,1]; for k=1:100 y=A*z; [c,i]=max(abs(y)); if y(i)<0,c=-c;end

z=y/c if abs(c-d)<0.0001,break; end d=c end 11.0000 =c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z 10.9999 =c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z 11.0003 =c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z 10.9989=c ,0.7500) 1.0000 0.5000(z 11.0040 =c ,0.7498) 1.0000 0.5000(z 10.9859=c ,0.7506) 1.0000 0.5001(z 11.04981 =c ,0.7478) 1.0000 0.4995(z 10.8316 =c ,0.7574) 1.0000 0.5020(z 11.5839 =c ,) 0.7260 1.0000 0.4928 (z 9.4706 =c ,0.8261) 1.0000 0.5280(z 17 = c ,0.5882) 1.0000 0.4118(z 11T (11)10T (10)9T (9)8T (8)7T (7)6T (6)5T (5)4T (4)3T (3)2T (2)1T (1)=========== 强特征值为11，特征向量为T 0.7500) 1.0000 0.5000(。 4.用反幂法求矩阵???? ??????=111132126A 最接近6的特征值和特征向量，迭代初值取 T y )1,1,1()0(=。解：y=[1,1,1]';z=y;d=0; A=[6,2,1;2,3,1;1,1,1]; for k=1:100 AA=A-6*eye(3); y=AA\z; [c,i]=max(abs(y)); if y(i)<0,c=-c;end z=y/c; if abs(c-d)<0.0001,break; end d=c end d=6+1/c

数值分析复习题要答案

第一章 1、ln2＝0.69314718…，精确到 10－3 的近似值是多少？解精确到 10－3＝0.001，即绝对误差限是 e ＝0.05％，故至少要保留小数点后三位才可以。 ln2≈0.693。 2、设115.80,1025.621≈≈x x 均具有5位有效数字，试估计由这些数据计算21x x ， 21x x +的绝对误差限解：记126.1025, 80.115x x == 则有11232411 10, | 102|||2 x x x x --≤?-≤?- 所以 121212121212211122||||||||||||x x x x x x x x x x x x x x x x x x -=-+-+≤-- 3411 80.11610 6.10102522 0.007057-==??+≤?? 1212112243|()|||11 |10100.0005522 |x x x x x x x x --≤≤?+?=+-+-+- 3、一个园柱体的工件,直径d 为10.250.25mm,高h 为40.00 1.00mm,则它的体积V 的近似值、误差和相对误差为多少。解： ()() 22222222 4 314210254000000330064 221025400002510251002436444 3300624362436 0073873833006 , .....; ()()()......, ..().()..% .r d h V d h V mm d h V dh d d h V mm V V V πππππεεεεε= ≈=??===+=???+?==±====第二章： 1、分别利用下面四个点的Lagrange 插值多项式和Newton 插值多项式N 3(x )，计算L 3(0.5)及N 3(-0.5) x －2 －1 0 1 f (x ) －1 1 2

数值分析第四版习题及答案

第四版数值分析习题第一章绪论 1.设x>0,x得相对误差为δ,求得误差、 2.设x得相对误差为2％,求得相对误差、 3.下列各数都就是经过四舍五入得到得近似数,即误差限不超过最后一位得半个单位,试指出它们就是几位有效数字: 4.利用公式(3、3)求下列各近似值得误差限: 其中均为第3题所给得数、 5.计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R时允许得相对误差限就是多少? 6.设按递推公式 ( n=1,2,…) 计算到、若取≈27、982(五位有效数字),试问计算将有多大误差? 7.求方程得两个根,使它至少具有四位有效数字(≈27、982)、 8.当N充分大时,怎样求? 9.正方形得边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝? 10.设假定g就是准确得,而对t得测量有±0、1秒得误差,证明当t增加时S得绝对误差增加,而相对误差却减小、 11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到得结果最好? 13.,求f(30)得值、若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式计算,求对数时误差有多大? 14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果就是否可靠? 15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c得误差分别为证明面积得误差满足第二章插值法 1.根据(2、2)定义得范德蒙行列式,令证明就是n次多项式,它得根就是,且、 2.当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)得二次插值多项式、 3. 4., 研究用线性插值求cos x 近似值时得总误差界、

数值分析第四版习题及答案

使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设212 S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1 101n n y y -=-(n=1,2,…),若02 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10 y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 21)f =,取2 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 63 22)70 2. (21)(322)--++ 13. 2 ()ln(1)f x x x =-,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 2 2 ln(1)ln(1)x x x x -=-+ 计算,求对数时误差有多大? 14. 试用消元法解方程组 {101012121010;2. x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 15. 已知三角形面积 1 sin ,2 s ab c = 其中c 为弧度, 02c π << ,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ???证明面积的误差s ?满足 .s a b c s a b c ????≤++ 第二章插值法 1. 根据( 2.2)定义的范德蒙行列式,令

数值分析习题集及答案[1].(优选)

数值分析习题集（适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》）长沙理工大学第一章绪论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=( n=1,2,…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 1 1N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若

数值分析1-4习题及答案

1、 0.1％,要取几位有效数字？（ c ） (a) 2 (b) 3 (c) 4 (d) 5 2、若* 12.30x =是经过四舍五入得到的近似数，则它有几位有效数字？（ c ） (a) 2 (b) 3 (c) 4 (d) 5 3、已知n ＋1个互异节点(x 0,y 0), (x 1,y 1),…, (x n ,y n )和过这些点的拉格朗日插值基函数l k (x )(k =0,1,2,…,n )，且ω(x )=(x －x 0) (x －x 1)… (x －x n )．则n 阶差商f (x 0,x 1,…, x n )= ( ) (a) ∑=n k k k y x l 0 )( (b) ∑='n k k k k x l y 0)( (c) ∑=n k k k x y 0)(ω (d) ∑='n k k k x y 0)(ω 4、已知由数据（0，0），（0.5，y ），（1，3），（2，2）构造出的三次插值多项式 33()6 P x x y 的的系数是，则等于（） (a) -1.5 (b) 1 (c) 5.5 (d) 4.25 5、设(0,1,2,3,4)i x i =为互异结点，()i l x 为拉格朗日插值基函数,则 4 2 () ()i i i x x l x =-∑等于（ a ） (a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 4 4()[,],()()(),()(),( )(), ' () ' (),22 ()()_________________________f x C a b H x a b a b H a f a H b f b H f H a f a f x H x ∈++====-=设是满足下列插值条件的三次多项式：则插值余项 1、是以0，1，2为节点的三次样条函数，则b=-2,c=3 2、已知(1)0,(1)3,(2)4,f f f =-=-=写出()f x 的牛顿插值多项式 2()P x =___2537 623x x +-__,其余项表达式 R(x)=__() (1)(1)(4) [1,4]6 f x x x ξξ'''-+-∈-_______________________ 3、确定求积公式1 0121 ()(1)(0)'(1)f x dx A f A f A f -≈-++? 中的待定参数，使其代数精度尽量高,则A 0=_ 29__________, A 1=__169________, A 2=_29 _______,代数精度=__2_________。

数值分析第四版习题及答案

第四版数值分析习题第一章绪论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y .(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字. 8. 当N 充分大时,怎样求 2 11N dx x +∞ +? ? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算61)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 ln(ln(x x =- 计算,求对数时误差有多大?

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数值分析习题集（适合课程《数值方法A 》和《数值方法B 》）长沙理工大学第一章绪论 1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差. 2. 设x 的相对误差为2％,求n x 的相对误差. 3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字: *****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====? 4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限: ********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中**** 1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数. 5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 6. 设028,Y =按递推公式 1n n Y Y -=…) 计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差? 7. 求方程2 5610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982). 8. 当N 充分大时,怎样求2 1 1N dx x +∞+?? 9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2 ? 10. 设 212S gt = 假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列 {}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字), 计算到 10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗? 12. 计算6 1)f =, 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 3 -- 13. ()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?

数值分析整理版试题及答案

例1、已知函数表 x -1 1 2 ()f x -3 0 4 求()f x 的Lagrange 二次插值多项式和Newton 二次插值多项式。解：（1）k x -1 1 2 k y -3 0 4 插值基函数分别为 ()()()()()()()()()() 1200102121()1211126 x x x x x x l x x x x x x x ----= ==-------- ()()()()()()()() ()()021******* ()1211122x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+---+- ()()()()()()()()()()0122021111 ()1121213 x x x x x x l x x x x x x x --+-= ==-+--+- 故所求二次拉格朗日插值多项式为 () ()()()()()()()()()()2 20 2()11131201241162314 121123537623k k k L x y l x x x x x x x x x x x x x ==?? =-? --+?-+-+?+-????=---++-=+-∑ （2）一阶均差、二阶均差分别为

[]()()[]()()[][][]010********* 011201202303 ,11204 ,412 3 4,,5 2,,126 f x f x f x x x x f x f x f x x x x f x x f x x f x x x x x ---===-----= = =----=== --- k x ()k f x 一阶二阶 -1 -3 1 0 3/ 2 2 4 4 5/6 故所求Newton 二次插值多项式为 ()()[]()[]()() ()()()20010012012,,,35 311126537623P x f x f x x x x f x x x x x x x x x x x x =+-+--=-+ +++-=+- 例2、设2 ()32f x x x =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{} span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。解：若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，且()1x ρ=，这样，有

数值分析版试题及答案

例1、已知函数表求() f x的Lagrange二次插值多项式和Newton二次插值多项式。解：（1）由题可知插值基函数分别为故所求二次拉格朗日插值多项式为（2）一阶均差、二阶均差分别为均差表为

故所求Newton 二次插值多项式为例2、设2()32f x x x =++，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。解：若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，且()1x ρ=，这样，有所以，法方程为 011231261192 34a a ??????????=?????????? ?????????? ，经过消元得012311 62110123a a ??? ???????=???????????????????? 再回代解该方程，得到14a =，011 6 a = 故，所求最佳平方逼近多项式为* 111 ()46 S x x = +

例3、设()x f x e =，[0,1]x ∈，试求()f x 在[0, 1]上关于()1x ρ=，{}span 1,x Φ=的最佳平方逼近多项式。解：若{}span 1,x Φ=，则0()1x ?=，1()x x ?=，这样，有所以，法方程为解法方程，得到00.8732a =，1 1.6902a =，故，所求最佳平方逼近多项式为例4、用4n =的复合梯形和复合辛普森公式计算积分1?。解：（1）用4n =的复合梯形公式由于 2h =，()f x =，()121,2,3k x k k =+=，所以，有（2）用4n =的复合辛普森公式由于2h =，()f x =，()121,2,3k x k k =+=，()1 2 220,1,2,3k x k k +=+=，所以，有例5、用列主元消去法求解下列线性方程组的解。解：先消元再回代，得到33x =，22x =，11x =

数值分析试题及答案汇总

数值分析试题及答案汇总 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

数值分析试题一、填空题（2 0×2′） 1. ?? ????-=? ?????-=32,1223X A 设x =是精确值x *=的近似值，则x 有 2 位有效数字。 2. 若f (x )=x 7－x 3＋1，则f [20,21,22,23,24,25,26,27]= 1 ， f [20,21,22,23,24,25,26,27,28]= 0 。 3. 设，‖A ‖∞＝___5 ____，‖X ‖∞＝__ 3_____， ‖AX ‖∞≤_15_ __。 4. 非线性方程f (x )=0的迭代函数x =(x )在有解区间满足 |’(x )| <1 ，则使用该迭代函数的迭代解法一定是局部收敛的。 5. 区间[a ,b ]上的三次样条插值函数S (x )在[a ,b ]上具有直到 2 阶的连续导数。 6. 当插值节点为等距分布时，若所求节点靠近首节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的前插公式，若所求节点靠近尾节点，应该选用等距节点下牛顿差商公式的后插公式；如果要估计结果的舍入误差，应该选用插值公式中的拉格朗日插值公式。 7. 拉格朗日插值公式中f (x i )的系数a i (x )的特点是：=∑=n i i x a 0)( 1 ；所以当系数 a i (x )满足 a i (x )>1 ，计算时不会放大f (x i )的误差。 8. 要使 20的近似值的相对误差小于%，至少要取 4 位有效数字。 9. 对任意初始向量X (0)及任意向量g ，线性方程组的迭代公式x (k +1)=Bx (k )+g (k =0,1,…) 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是 (B)<1 。 10. 由下列数据所确定的插值多项式的次数最高是 5 。

数值分析试题及答案

数值分析试题及答案一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1. 3.142和3.141分别作为的近似数具有（）和（）位有效数字. A．4和3 B．3和2 C．3和4 D．4和4 2. 已知求积公式，则＝（） A． B．C．D． 3. 通过点的拉格朗日插值基函数满足（） A．＝0，B．＝0， C．＝1，D．＝1， 4. 设求方程的根的牛顿法收敛，则它具有（）敛速。 A．超线性B．平方C．线性D．三次 5. 用列主元消元法解线性方程组作第一次消元后得到的第3个方程（）. A．B． C．D．单项选择题答案 1.A 2.D 3.D 4.C 5.B 得分评卷人二、填空题（每小题3分，共15分） 1. 设, 则， . 2. 一阶均差 3. 已知时，科茨系数，那么 4. 因为方程在区间上满足，所以在区间内有根。 5. 取步长，用欧拉法解初值问题的计算公式.填空题答案

1. 9和 2. 3. 4. 5. 得分评卷人三、计算题（每题15分，共60分） 1. 已知函数的一组数据：求分段线性插值函数，并计算的近似值. 计算题1.答案 1. 解，，所以分段线性插值函数为 2. 已知线性方程组（1）写出雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式；（2）对于初始值，应用雅可比迭代公式、高斯－塞德尔迭代公式分别计算（保留小数点后五位数字）. 计算题2.答案 1.解原方程组同解变形为雅可比迭代公式为高斯－塞德尔迭代法公式用雅可比迭代公式得用高斯－塞德尔迭代公式得 3. 用牛顿法求方程在之间的近似根（1）请指出为什么初值应取2？（2）请用牛顿法求出近似根，精确到0.0001. 计算题3.答案

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