圆锥曲线里弦长公式与点差法

知识点1：直线与圆锥曲线的位置关系

注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的必要条件，但不是充分条件．

例1：P228，例4

练习：已知直线1:-=kx y L 与双曲线2

2

:y x C -=4。 ⑴若直线L 与双曲线C 无公共点，求k 的范围； ⑵若直线L 与双曲线C 有两个公共点，求k 的范围； ⑶若直线L 与双曲线C 有一个公共点，求k 的范围；

知识点2：圆锥曲线上的点到直线的距离问题：

例1：在抛物线x y 642=上求一点，使它到直线L ：04634=++y x 的距离最短，并求这个最短距离。

练习：椭圆

14

16

2

2

=+

y

x

上的点到直线022=-+y x 的最大距离是（ ）

A.3

B.11

C.22

D.10

知识点3：弦长问题：

直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点，化解这个难点的方法是：设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入。即当直线()k 斜率为与圆锥曲线交于点()11y ,x A ，()22y ,x B 时，则AB =2

k

1+21x x -=2

k 1+()212

214x x x x -+

=2

11k

+

21y y -=2

1

1k

+

()212

214y y y y -+

可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和，两根之积的代数式，然后再进行整体带入求解。 例1：过双曲线

16

3

2

2

=-

y

x

的右焦点2F ，倾斜角为0

30的直线交双曲线于A 、B 两点，求

AB 。

练习：1、已知椭圆：

19

2

2

=+y

x

，过左焦点F 作倾斜角为

6

π

的直线交椭圆于A 、

B 两点，求弦AB 的长

2、过椭圆

2

2

15

4

x

y

+

=的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A 、B 两点，O 为坐标原

点，则△OAB 的面积为

知识点4：中点弦问题：求以某定点为中点的圆锥曲线的弦的方程的几种方法：

⑴.点差法：将弦的两个端点坐标代入曲线方程，两式相减，即可确定弦的斜率，然后由点斜式得出弦的方程；

⑵.设弦的点斜式方程，将弦的方程与曲线方程联立，消元后得到关于x （或y ）的一元二次方程，用根与系数的关系求出中点坐标，从而确定弦的斜率k ，然后写出弦的方程； ⑶.设弦的两个端点分别为()()2211,,,y x y x ，则这两点坐标分别满足曲线方程，又

??

?

??++2,22121y y x x 为弦的中点，从而得到四个方程，由这四个方程可以解出两个端点，从而求出弦的方程。

例1：已知椭圆C 的焦点分别为F 1（22-，0）和F 2（2

2，0），长轴长为6，

设直线y =x +2交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标。

已知双曲线方程2

2

2y x -=2。⑴求以A ()1,2为中点的双曲线的弦所在的直线方程；

⑵过点()1,1能否作直线L ，使L 与双曲线交于1Q ，2Q 两点，且1Q ，2Q 两点的中点为()1,1？如果存在，求出直线L 的方程；如果不存在，说明理由。

练习：1、直线y =x －1被抛物线y 2=4x 截得线段的中点坐标是_____. 2、如果椭圆

19

36

2

2

=+

y

x

的弦被点)2,4(平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）

A.02=-y x

B.042=-+y x

C.01232=-+y x

D.082=-+y x

3、已知椭圆方程为

2

2

12x

y +=，内有一条以点11,2

P ??

???

为中点的弦A B ，求A B 所在的直线l 的方程及AB 的弦长。

4、中心在原点，一个焦点为F 1（0，50）的椭圆截直线23-=x y 所得弦的中点横坐标为21

，求椭圆的方程

5、求过定点(0,1)的直线被双曲线2

2

14

y

x -

=截得的弦中点轨迹方程

练 习 题

1.（09上海）过点)0,1(A 作倾斜角为4

π

的直线，与抛物线22y x =交于M N 、两点，则

MN = 。

2.（09海南）已知抛物线C 的顶点坐标为原点，焦点在x 轴上，直线y=x 与抛物线C 交于A ，B 两点，若()2,2P 为A B 的中点，则抛物线C 的方程为 。

3.（08宁夏海南）过椭圆

2

2

15

4

x

y

+

=的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A 、B 两

点，O 为坐标原点，则△OAB 的面积为

4.（11全国）已知直线L 过抛物线C 的焦点，且与C 的对称轴垂直，L 与C 交于A ，B 两点，

||12AB =，P 为C 的准线上一点，则A B P ?的面积为（ ）

A ．18

B ．24

C ． 36

D ． 48

5.（09山东）设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( ) A.24y x =± B.28y x =± C. 24y x = D. 28y x =

6.（09山东）设双曲线12

22

2=-

b

y a

x 的一条渐近线与抛物线y=x 2

+1 只有一个公共点，则

双曲线的离心率为( ). A.

4

5 B. 5 C.

2

5 D.5

7.（10全国）设1F ,2F 分别是椭圆E ：2

x +

22

y b

=1（0﹤b ﹤1）的左、右焦点，过1F 的直

线L 与E 相交于A 、B 两点，且2AF ，A B ，2B F 成等差数列。⑴求A B ⑵若直线L 的斜率为1，求b 的值。

8.（11江西）已知过抛物线()022>=p px y 的焦点，斜率为22的直线交抛物线于()12,,A x y ()22,B x y （12x x <）两点，且9=AB ．⑴求该抛物线的方程；⑵O 为坐标原

点，C 为抛物线上一点，若OB OA OC λ+=，求λ的值．

(完整版)用“点差法”解圆锥曲线的中点弦问题

用“点差法”解圆锥曲线的中点弦问题 与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式求解，但运算量较大。若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。下面就如何用点差法计算举几个例子供大家参考。 一、 求以定点为中点的弦所在直线的方程 例1、过椭圆14 162 2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。 解：设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、),(22y x B Θ )1,2(M 为AB 的中点 ∴421=+x x 221=+y y Θ又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，1642 222=+y x 两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x 于是0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ∴2 1244)(421212121-=?-=++-=--y y x x x x y y 即21-=AB k ，故所求直线的方程为)2(2 11--=-x y ，即042=-+y x 。 例2、已知双曲线12 2 2=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。 解：设存在被点M 平分的弦AB ，且),(11y x A 、),(22y x B 则221=+x x ，221=+y y 122121=-y x ，122 222=-y x 两式相减，得 0))((21))((21212121=-+--+y y y y x x x x ∴22 121 =--=x x y y k AB 故直线)1(21:-=-x y AB

二次曲线中的万能弦长公式

二次曲线中的万能弦长公式 王忠全 我们把圆、椭圆、双曲线、抛物线称为二次曲线，用设而不求的方法，可得到其弦长公式。 设直线方程为：y=kx+b （特殊情况要讨论k 的存在性），二次曲线为f （x ，y ）=0，把直线方程代入二次曲线方程，可化为ax 2+by 2+c=0，（或ay 2+by+c=0），设直线和二次曲线的两交点为A （x 1，y ），B （x ，y ） 那么：x 1，x 2是方程ax +by +c=0的两个解，有 x 1+x 2=-a b ，x 1x 2=a c ， ()()||k 1x x 4)(k 1))(k (1)()(||2 21221222122212212 21221a x x x x b kx b kx x x y y x x AB ? +=-+?+=-+=--++-=-+-= 同理：若化为关于y 的方程ay 2+by+c=0，则|AB|= | |112a k ?+. 例、已知过点M （-3，-3）的直线m 被圆x 2+y 2+4y-21=0所截得的弦长为45，求直线m 的方程。 解析:设直线方程m:y+3=k(x+3), 即y=kx+3k-3,代入x 2+y 2+4y-21=0,得x 2+k 2x 2+9k 2+9+6k 2x-6kx-18k-21+4kx+12k-12=0, 即(1+k 2)x 2+(6k 2-2k)x+9k 2-6k-24=0,那么 032,092,2,210 232016162416808096246454196246454|1|96246024364243612122222222342342=+-=++=-==--=--+=+-=++-=++-++-+-+y x y x k k k k ，k k ，k k k ，，k k k k k k k k k k k k 或所求直线方程为得两边平方即

圆锥曲线点差法

圆锥曲线--- 点差法 1、椭圆14162 2=+y x 的弦被点)1,2(P 所平分，求此弦所在直线的方程. 2、椭圆22 1369x y +=的一条弦被(4,2)A 平分,那么这条弦所在的直线方程是. 3、已知椭圆1222=+y x ，求过点?? ? ??2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程． 4、已知直线y =－x +1与椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 相交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在直线02:=-y x l 上，求此椭圆的离心率. 5、已知椭圆C 的方程x y 22 43 1+=，试确定m 的取值范围，使得对于直线4y x m =+，椭圆C 上有不同两点关于该直线对称. 6、在抛物线24y x =上恒有两点关于直线y =kx +3对称，求k 的取值范围. 7、已知P 、Q 是椭圆C ：1242 2=+y x 上的两个动点，)26,1(M 是椭圆上一定点， F 是其左焦点，且|PF |、|MF |、|QF |成等差数列. 求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A ； 8、已知椭圆1257522=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线2 1=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标。 9、过点M （-2,0）的直线m 与12 22 =+y x 交于21,P P ,线段21P P 的中点为P ,设直线m 的斜率为),0(1 1≠k k 直线OP 的斜率为2k ，则21k k 的值为 10、椭圆122=+by ax 与直线x y -=1交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为 23，b a 的值为

11、过椭圆14 92 2=+y x 内一点M （2,0）引椭圆的动弦AB ，则弦AB 的中点N 的轨迹方程是 12、点P （8,1）平分双曲线4422=-y x 的一条弦，则这条弦所在的直线方程 13、已知椭圆2222=+y x 及椭圆外一点（0,2），过这点任意引直线与椭圆交于点A 、B ，求弦AB 的中点P 的轨迹方程。 14、求k 的取值范围，使抛物线02:2=-+kx y y C )0(≠k 上存在关于直线1:-=x y l 对称的两点。 15、已知直线l 与椭圆164:22=+y x C 交于21,P P ,线段21P P 的中点为P ，设直线 l 的斜率为k )0(≠k ，直线OP 的斜率为 'k 。求证：'kk 是一个定值。 16、已知双曲线12 122=-y x ，过点B(1,1)是否存在直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且B 是线段PQ 的中点，若存在，求直线方程；若不存在，说明理由。 17、在双曲线113 122 2=-x y 的一支上不同三点，A 、B （6,26）、C 与焦点F(0,5)的距离成等差数列，求证：线段AC 的垂直平分线l 经过一定点。

用点差法解圆锥曲线的中点弦问题

用点差法解圆锥曲线的中点弦问题 与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。 解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。 若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。 一、 以定点为中点的弦所在直线的方程 例1、过椭圆14 162 2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。 解：设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、),(22y x B Θ )1,2(M 为AB 的中点 ∴421=+x x 221=+y y Θ又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，1642 222=+y x 两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x 于是0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ∴ 2 1244)(421212121-=?-=++-=--y y x x x x y y 即21-=AB k ，故所求直线的方程为)2(2 11--=-x y ，即042=-+y x 。 例2、已知双曲线12 2 2=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。 策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的条件。 本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。 解：设存在被点M 平分的弦AB ，且),(11y x A 、),(22y x B 则221=+x x ，221=+y y 122121=-y x ，122 222=-y x 两式相减，得 0))((2 1))((21212121=-+--+y y y y x x x x ∴22121 =--=x x y y k AB 故直线)1(21:-=-x y AB 由?? ???=--=-12)1(2122y x x y 消去y ，得03422=+-x x ∴ 08324)4(2<-=??--=? 这说明直线AB 与双曲线不相交，故被点M 平分的弦不存在，即不存在这样的直线l 。 评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的M 位置非常重要。（1）若中点M 在圆锥曲线内，则被点M 平分的弦一般存在；（2）若中点M 在圆锥曲线外，则被点M 平分的弦可能不存在。 二、 过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹 例3、已知椭圆1257522=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线2 1=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标。

用点差法解圆锥曲线问题

用点差法解圆锥曲线的中点弦问题 与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。 解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。 若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。 一、 以定点为中点的弦所在直线的方程 例1、过椭圆 14 16 2 2 =+ y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线 的方程。 解：设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、),(22y x B )1,2(M 为AB 的中点 ∴421=+x x 221=+y y 又A 、B 两点在椭圆上，则1642 12 1=+y x ，1642 22 2=+y x 两式相减得0)(4)(2 2212221=-+-y y x x 于是0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ∴ 2 12 44) (421212 121- =?- =++-=--y y x x x x y y 即2 1- =AB k ，故所求直线的方程为)2(2 11-- =-x y ，即042=-+y x 。 例2、已知双曲线12 2 2 =- y x ， 经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。 策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设 的条件。本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。 解：设存在被点M 平分的弦AB ，且),(11y x A 、),(22y x B 则221=+x x ，221=+y y 12 2 12 1=- y x ，1 2 2 22 2=- y x

解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型

解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型 总论：常用的八种方法 1、定义法 2、韦达定理法 3、设而不求点差法 4、弦长公式法 5、数形结合法 6、参数法（点参数、K 参数、角参数） 7、代入法中的顺序 8、充分利用曲线系方程法 七种常规题型 （1）中点弦问题 （2）焦点三角形问题 （3）直线与圆锥曲线位置关系问题 （4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题 （5）求曲线的方程问题 1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。 2．曲线的形状未知-----求轨迹方程 （6） 存在两点关于直线对称问题 （7）两线段垂直问题 常用的八种方法 1、定义法 （1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。

2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、设而不求法 解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有 02 20=+k b y a x 。(其中K 是直线AB 的斜率) （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有 020 20=-k b y a x (其中K 是直线AB 的斜率) （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. (其中K 是直线AB 的斜率) 4、弦长公式法 弦长公式：一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB 长的方法是：把直线方程y kx b =+代入圆锥曲线方程中，得到型如ax bx c 2 0++=的方程，方程的两根设为x A ，x B ，判别式为△，则||||AB k x x A B =+-=12·| |12a k △ ·+，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。 5、数形结合法 解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来

点差法在圆锥曲线的应用

中点弦与点差法在圆锥曲线的应用 【考情分析】 1、高考要求 （1）了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用； （2）掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）； （3）了解双曲线的定义、结合图形和标准方程、知道它的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）； （4）了解曲线与方程的对应关系； （5）理解数形结合的思想； （6）了解圆锥曲线的简单应用。 从全国卷考试说明，全国卷椭圆和抛物线要求比较高，都是“掌握”和“理解”，而对双曲线要求大大降低，是“了解”；直线与圆锥曲线、曲线与方程的要求都是“了解”。 【复习本专题的意义】 解析几何是高考的重点，也是难点。一轮复习应该在注重知识面广的同时，要根据文科数学的特点加强思想方法的渗透，总结一些源于教材而高于教材的重要结论和解题规律，做到基础扎实、结论熟练、思路清晰、方法准确、讲练得体，并引导学生充分结合考试说明和命题规律，学会整理知识要点、解题方法、解题技巧，分类收集典型考例，深入浅出，自然实现重点突出，难点的突破，在能力提升同时也为二轮复习打下前站，为二轮复习的飞跃打下坚实的基础。 与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。涉及到解决圆锥曲线中点弦的问题，常采用“点差法”来求解。“点差法”是利用直线和圆锥曲线的两个交点，把交点代入圆锥曲线的方程，得到两个等式，两式相减，可以得到一个与弦的斜率及中点相关的式子（也称中点和斜率结合公式），再结合已知条件，运用学过的知识使问题得到解决。当题目涉及弦的中点、斜率时，一般都可以用点差法来解。与韦达定理法复杂繁琐的计算相比，点差法可以大大减少运算量，优化解题过程，达到“设而不求”的目的。 本微专题将从求弦的斜率与弦的中点问题、求弦中点轨迹、求弦的中点坐标、弦的垂直平分线问题和求曲线的方程等方面引导学生自主学习、合作探究，使一轮复习备考落实到实处，为2019年高考取胜作充分准备。 【教学内容】 直线与二次曲线相交，特别是直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。这类问题一般有以下三种类型：（1）求中点弦所在直线方程问题；（2）求弦中点的轨迹方程问题；（3）求弦中点的坐标问题。其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。 一、求中点弦所在直线方程问题

圆锥曲线三种弦长问题

圆锥曲线三种弦长问题的探究 在高考中，圆锥曲线的综合问题，常以直线与圆锥曲线的性质及其位置关系的有关知识为主体，而直线与圆锥曲线的弦长问题，是在圆锥曲线中常见一个重要方面，下面对圆锥曲线中出现的有关弦长问题作简单的探究： 一、一般弦长计算问题： 例1、已知椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>，直线1:1x y l a b -=被椭圆C 截得的弦长为 且e = ，过椭圆C 2l 被椭圆C 截的弦长AB ， ⑴求椭圆的方程；⑵弦AB 的长度. 思路分析：把直线2l 的方程代入椭圆方程，利用韦达定理和弦长公式求解. 解析：⑴由1l 被椭圆C 截得的弦长为2 2 8a b +=，………① 又3 e =，即2223c a =，所以22 3a b =………………………….② 联立①②得2 2 6,2a b ==，所以所求的椭圆的方程为22 162 x y +=. ⑵∴椭圆的右焦点()2,0F ，∴2l 的方程为：)2y x =-， 代入椭圆C 的方程，化简得，2 51860x x -+= 由韦达定理知，1212186 ,55 x x x x +== 从而12x x -= = ， 由弦长公式，得1255 AB x =-==， 即弦AB 的长度为 5 点评：本题抓住1l 的特点简便地得出方程①，再根据e 得方程②，从而求得待定系数2 2 ,a b ，得出椭圆的方程，解决直线与圆锥曲线的弦长问题时，常用韦达定理与弦长公式。

二、中点弦长问题： 例2、过点()4,1P 作抛物线28y x =的弦AB ，恰被点P 平分，求AB 的所在直线方程及弦AB 的长度。 思路分析：因为所求弦通过定点P ，所以弦AB 所在直线方程关键是求出斜率k ，有P 是弦 的中点，所以可用作差或韦达定理求得，然后套用弦长公式可求解弦长. 解法1：设以P 为中点的弦AB 端点坐标为()()1122,,,A x y B x y ， 则有22 11228,8y x y x ==，两式相减，得()()()1212128y y y y x x -+=- 又12128,2x x y y +=+= 则21 21 4y y k x x -= =-，所以所求直线AB 的方程为()144y x -=-，即4150x y --=. 解法2：设AB 所在的直线方程为()41y k x =-+ 由()2418y k x y x ?=-+??=??，整理得2 83280ky y k --+=. 设()()1122,,,A x y B x y ，由韦达定理得128 y y k +=， 又∵P 是AB 的中点，∴ 1212y y +=，∴8 24k k =?= 所以所求直线AB 的方程为4150x y --=. 由24150 8x y y x --=??=? 整理得，22300y y --=，则12122,30y y y y +==- 有弦长公式得， 12AB y =-== . 点评：解决弦的中点有两种常用方法，一是利用韦达定理及中点坐标公式来构造条件；二是 利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造中点坐标和斜率的关系求解，然后可套用弦长公式求解弦长. 三、焦点弦长问题： 例3、（同例1、⑵） 另解：⑵∴椭圆的右焦点()2,0F ，∴2 l 的方程为： )2y x =-， 代入椭圆C 的方程) 222162y x x y ?=-??+ =?? ，化简得，2 51860x x -+=

高中数学解题方法系列：解析几何中的点差法解中点弦问题

高中数学解题方法系列：点差法解圆锥曲线的中点弦问题 与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。 解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。 若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。 一、以定点为中点的弦所在直线的方程 例1、过椭圆14 162 2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。解：设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、) ,(22y x B )1,2(M 为AB 的中点∴4 21=+x x 221=+y y 又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，16 42222=+y x 两式相减得0 )(4)(2 2212221=-+-y y x x 于是0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ∴2 1244)(421212121-=?-=++-=--y y x x x x y y 即21-=AB k ，故所求直线的方程为)2(2 11--=-x y ，即042=-+y x 。例2、已知双曲线12 2 2=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。 策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题设的条件。 本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。 解：设存在被点M 平分的弦AB ，且),(11y x A 、) ,(22y x B 则221=+x x ，221=+y y

圆锥曲线中“点差法”的应用

圆锥曲线中“点差法”的应用 丹江口市一中数学组 严高翔 在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为()()1122,,x y x y 、，代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法”，此法有着不可忽视的作用，其特点是巧代斜率,设而不求，优化运算。本文列举数例，以供参考。 一．以定点为中点的弦所在直线的方程 例1、过椭圆 14 162 2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。 解：设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、),(22y x B )1,2(M 为AB 的中点 ∴421=+x x 221=+y y 又A 、B 两点在椭圆上，则 1642121=+y x ，1642222=+y x 两式相减得 0)(4)(2 2212221=-+-y y x x 于是0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ∴2 1 244)(421212121-=?-=++-=--y y x x x x y y 即21- =AB k ，故所求直线的方程为)2(2 1 1--=-x y ，即042=-+y x 。 例2、已知双曲线12 2 2 =-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。 策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线 ，然后验证它是否满足题 设的条件。本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。 解：设存在被点M 平分的弦AB ，且),(11y x A 、),(22y x B 则221=+x x ，221=+y y 12212 1=-y x ，12 2 22 2=-y x 两式相减，得

圆锥曲线的弦长公式及其推导过程

圆锥曲线的弦长公式及其推导过程 关于直线与圆锥曲线相交求弦长，通用方法是将直线b kx y+ =代入曲线方程，化为关于x的一元二次方程，设出交点坐标()(), , , , 2 2 1 1 y x B y x A利用韦达定理及弦长公式 ] 4 ) )[( 1( 2 1 2 2 1 2x x x x k- + +求出弦长，这种整体代换、设而不求的思想方法对于求直线与曲线相交弦长是十分有效的，然而对于过焦点的圆锥曲线弦长求解利用这种方法相比较而言有点繁琐,若利用圆锥曲线的定义及有关定理导出各种曲线的焦点弦长公式就更为简捷. 一、椭圆的焦点弦长 若椭圆方程为)0 (1 2 2 2 2 > > = +b a b y a x ,半焦距为c>0，焦点)0, ( ), 0, ( 2 1 c F c F-,设过 1 F的直线l的倾斜角为l,α交椭圆于两点()(), , , , 2 2 1 1 y x B y x A求弦长AB． 解：连结B F A F 2 2 ,,设y B F x A F= = 1 1 ,,由椭圆定义得y a B F x a A F- = - =2 , 2 2 2 ,由余弦定理得2 2 2) 2( cos 2 2 ) 2(x a c x c x- = ? ? - +α,整理可得 α cos 2 ? - = c a b x,同理可求 得 α cos 2 ? + = c a b y，则 α α α2 2 2 2 2 2 cos 2 cos cos c a ab c a b c a b y x AB - = ? + + ? - = + =; 同理可求得焦点在y轴上的过焦点弦长为 α2 2 2 2 sin 2 c a ab AB - =（ａ为长半轴,b为短半轴，c为半焦距)． 结论:椭圆过焦点弦长公式： ? ? ? ?? ? ? ? - ? - = ). ( sin 2 ), ( cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 轴上 焦点在 轴上 焦点在 y c a ab x c a ab AB α α

高中数学圆锥曲线解题技巧总结

高中数学圆锥曲线解题 技巧总结 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

解圆锥曲线问题的常用方法大全 1、定义法 （1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。 （2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将 半径与“点到准线距离”互相转化。 （3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。 2、韦达定理法 因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有： （1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有 020 20=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02 020 =-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 【典型例题】 例1、(1)抛物线C:y 2=4x 上一点P 到点A(3,42)与到准线的距离和最小,则点 P 的坐标为______________ (2)抛物线C: y 2=4x 上一点Q 到点B(4,1)与到焦点F 分析：（1）A 在抛物线外，如图，连PF ，则PF PH =现，当A 、P 、F 三点共线时，距离和最小。

高中数学圆锥曲线的解题技巧汇总(精华)

高中数学圆锥曲线的解题技巧汇总 一、常规七大题型： （1）中点弦问题 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为(,)x y 11，(,)x y 22，代入 方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去 四个参数。 如：（1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有02020=+k b y a x 。 （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有02020 =-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 典型例题 给定双曲线x y 2 2 21-=。过A （2，1）的直线与双曲线交于两点P 1 及P 2，求线段P 1P 2的中点P 的轨迹方程。 （2）焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点P ，与两个焦点F 1、F 2构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥。 典型例题 设P(x,y)为椭圆x a y b 222 21+=上任一点，F c 10(,)-，F c 20(,)为焦点，∠=PF F 12α，∠=PF F 21β。 （1）求证离心率β αβαsin sin )sin(++=e ； （2）求|||PF PF 13 23+的最值。 （3）直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式、根与系数 的关系、求根公式等来处理，应特别注意数形结合的思想，通过图形的直观性帮助分析解决问题，如果直

圆锥曲线专题点差法

圆锥曲线专题：点差法的使用 例1：椭圆C ：13 42 2=+y x 的左顶点为A ，左焦点为F 。过M （-4，0）作直线l 交曲线C 于B 、C 两点（B 在M 、C 之间），N 为BC 的中点。 （1） 证明：ON BC k k ?为定值； （2） 求点N 的轨迹方程； （3） 是否存在直线l ，使得FN ⊥AC （1）134212 1 =+y x ；1342 222=+y x 作差得()()()()03421212121 =+-++-y y y y x x x x ， 所以4 3 21212121-=++?--= ?x x y y x x y y k k ON BC 。 （2）? ??????????+=--=+=+=+=+4221341342 121212 1 22222 121x y x x y y y y y x x x y x y x ()()()()()。 y x x y y x y y y y x x x x 1 34204324203 42221212121=++=+?+=+-++-整理可得代入得作差得 再由中点须在原椭圆内部得点N 的轨迹为：() ()0x 113 4 22 2 ≤<-=+ +y x 。 （3）由F （-1，0），可知0>FN k ，0>AC k ，所以不存在直线l ，使得FN ⊥AC 。 例2：椭圆C ：13 42 2=+ y x 上有两个不同的点A 、B ，已知弦AB 的中点T 在直线1=x 上，试在x 轴上找一点P ，使得BP AP =。 解：()11,y x A 、()22,y x B 、()0,0x P 、()t T ,1。 1342 12 1=+y x ；13 42 22 2=+y x ；221=+x x ；t y y 221=+。

圆锥曲线焦点弦长公式(极坐标参数方程)

圆锥曲线焦点弦长公式（极坐标方程） 圆锥曲线的焦点弦问题是高考命题的大热点，主要是在解答题中，全国文科一般为压轴题的第22题，理科和各省市一般为第21题或者第20题，几乎每一年都有考察。由于题目的综合性很高的，运算量很大，属于高难度题目，考试的得分率极低。本文介绍的焦点弦长公式是圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）的通用公式，它是解决这类问题的金钥匙，利用这个公式使得极其复杂的问题变得简单明了，中等学习程度的学生完全能够得心应手！? 定理 已知圆锥曲线（椭圆、双曲线或者抛物线）的对称轴为坐标轴(或平行于坐标轴)，焦点为F ，设倾斜角为α的直线l 经过F ，且与圆锥曲线交于A 、B 两点，记圆锥曲线的离心率为e ，通径长为H ，则 （1）当焦点在x 轴上时，弦AB 的长| cos 1|||2 2αe H AB -= ； （2）当焦点在y 轴上时，弦AB 的长| sin 1|||22αe H AB -=. 推论： （1）焦点在x 轴上，当A 、B 在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，α 22cos 1||e H AB -=； 当A 、B 不在双曲线的一支上时，1 cos ||22-= αe H AB ；当圆锥曲线是抛物线时， α 2 sin ||H AB = . （2）焦点在y 轴上，当A 、B 在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，α 2 2sin 1||e H AB -=；当A 、B 不在双曲线的一支上时，1 sin ||22-= αe H AB ；当圆锥曲线是抛物线时， α 2 cos ||H AB = .

典题妙解 下面以部分高考题为例说明上述结论在解题中的妙用. 例1（06湖南文第21题）已知椭圆13 4221=+y x C ：，抛物线px m y 22 =-）（（p ＞0）， 且1C 、2C 的公共弦AB 过椭圆1C 的右焦点. （Ⅰ）当x AB ⊥轴时，求p ，m 的值，并判断抛物线2C 的焦点是否在直线AB 上； （Ⅱ）若3 4 =p 且抛物线2C 的焦点在直线AB 上，求m 的值及直线AB 的方程. 2F O A B x y

差分法(点差法)在圆锥曲线中的应用

差分法（点差法）在圆锥曲线中的应用 圆锥曲线综合题是每年高考必考的题目，这些题目的解法灵活多变，其中涉及圆锥曲线中点弦的有关问题，用差分法求解，具有构思精巧，简便易行的优点，现举例说明如下： （一）在椭圆中的应用： ()()()()()()()()2222 11 22 221212121212 1212121122 11 11 2 2,,mx ny mx ny mx ny m x x x x n y y y y y y x x y y AB AB x x AB A x y B x y +=+=+=+-++-=-++-??????? ??? 设是椭圆上不重合的两点， 则，， 两式相减得是直线的斜率，，是线段的中点坐标，所以1式可以解决与椭圆弦的斜率及中点有关的问题， 此法称为代点作差法，简称，点差法。 ()221 1625400 x y +=例：求以椭圆内一点P 3，1为中点的弦AB 所在的直线方程。 ()()()()()()11222222 1122 221212121212121212,, A B 1625400 1625400 1625400 25048 6 2A x y B x y x y x y x y x x x x y y y y y y x x y y x x +=?+=??+=??+-++-=-+=+=∴=-- 解：设弦AB 的两个端点的坐标分别为，、两点在椭圆上， 则，两式相减得 16由题知，，()12AB 12, 25 48 : 3, 48251690. 25 y y l x x y x x -∴=--+-=-即 （二）在双曲线中的应用： 在处理有关弦的问题时,也可以应用”点差法”。但特别需要注意的是椭 圆是封闭型曲线，而双曲线是开放型曲线，求解后应检查其存在性，否则容易产生增根。

圆锥曲线焦点弦长公式极坐标参数方程

圆锥曲线焦点弦长公式（极坐标参数方程） 圆锥曲线的焦点弦问题是高考命题的大热点，主要是在解答题中，全国文科一般为压轴题的第22题，理科和各省市一般为第21题或者第20题，几乎每一年都有考察。由于题目的综合性很高的，运算量很大，属于高难度题目，考试的得分率极低。本文介绍的焦点弦长公式是圆锥曲线（椭圆、双曲线和抛物线）的通用公式，它是解决这类问题的金钥匙，利用这个公式使得极其复杂的问题变得简单明了，中等学习程度的学生完全能够得心应手！? 定理 已知圆锥曲线（椭圆、双曲线或者抛物线）的对称轴为坐标轴(或平行于坐标轴)，焦点为F ，设倾斜角为α的直线l 经过F ，且与圆锥曲线交于A 、B 两点，记圆锥曲线的离心率为e ，通径长为H ，则 （1）当焦点在x 轴上时，弦AB 的长| cos 1|||2 2αe H AB -= ； （2）当焦点在y 轴上时，弦AB 的长| sin 1|||22αe H AB -=. 推论： （1）焦点在x 轴上，当A 、B 在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，α 22cos 1||e H AB -=； 当A 、B 不在双曲线的一支上时，1 cos ||2 2-= αe H AB ；当圆锥曲线是抛物线时，α 2 sin ||H AB = . （2）焦点在y 轴上，当A 、B 在椭圆、抛物线或双曲线的一支上时，α 22sin 1||e H AB -=； 当A 、B 不在双曲线的一支上时，1 sin ||2 2-= αe H AB ；当圆锥曲线是抛物线时，

α 2cos ||H AB = . 典题妙解 下面以部分高考题为例说明上述结论在解题中的妙用. 例1（06湖南文第21题）已知椭圆13 4221=+y x C ：，抛物线px m y 22 =-）（（p ＞0）， 且1C 、2C 的公共弦AB 过椭圆1C 的右焦点. （Ⅰ）当x AB ⊥轴时，求p ，m 的值，并判断抛物线2C 的焦点是否在直线AB 上； （Ⅱ）若3 4 =p 且抛物线2C 的焦点在直线AB 上，求m 的值及直线AB 的方程.

用“点差法”解圆锥曲线的中点弦问题

用“点差法”解圆锥曲线的中点弦问题 一、求以定点为中点的弦所在直线的方程例 1、过椭圆内一点引一条弦，使弦被点平分，求这条弦所在直线的方程。解：设直线与椭圆的交点为、为的中点 又、两点在椭圆上，则，两式相减得于是即，故所求直线的方程为，即。例 2、已知双曲线，经过点能否作一条直线，使与双曲线交于、，且点是线段的中点。若存在这样的直线，求出它的方程，若不存在，说明理由。解：设存在被点平分的弦，且、则，，两式相减，得故直线由消去，得这说明直线与双曲线不相交，故被点平分的弦不存在，即不存在这样的直线。策略：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的位置非常重要。（1）若中点在圆锥曲线内，则被点平分的弦一般存在；（2）若中点在圆锥曲线外，则被点平分的弦可能不存在。 二、求弦的中点坐标和中点轨迹方程例 3、已知椭圆的一条弦的斜率为3，它与直线的交点恰为这条弦的中点，求点的坐标。解：设弦端点、，弦的中点，则，又，两式相减得即，即点的坐标为。例

4、已知椭圆,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。解：设弦端点、，弦的中点，则，又，两式相减得即，即，即由，得点在椭圆内它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为 三、求与中点弦有关的圆锥曲线的方程例 5、已知中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，求椭圆的方程。解：设椭圆的方程为，则┅┅①设弦端点、，弦的中点，则，，又，两式相减得即┅┅②联立 ①②解得，所求椭圆的方程是 四、求圆锥曲线上两点关于某直线对称的问题例 6、已知椭圆，试确定的取值范围，使得对于直线，椭圆上总有不同的两点关于该直线对称。解：设，为椭圆上关于直线的对称两点，为弦的中点，则，两式相减得，即，， 这就是弦中点轨迹方程。它与直线的交点必须在椭圆内联立，得则必须满足，即，解得例 7、已知抛物线C: 和直线为使抛物线上存在关于对称的两点，求的取值范围。解：设抛物线C上存在不同的两点关于直线对称，线段的中点为，则，①，②① －②可得：＝，即由于，所以，故，即，即。又因为在直线上，所以，因为在抛物线开口内，所以，故，所以。即的取值范围是。策略：本题需要根据弦中点位置求的取值范围，如果不考虑位置，可能得出错误的结果。请务必小心。

点差法巧解圆锥曲线

点差法巧解圆锥曲线 高中部 周钢 点差法是指在求解圆锥曲线时，题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标，利用直线和圆锥曲线的两个交点，把交点代入圆锥曲线的方程并作差，求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程的一种特殊方法。点差法在解决特定问题时，可以减少很多的运算，因此对于这种方法，我们应该予以重视。 例1：过点()1,4P 作抛物线x y 82=的弦AB ，恰被点P 平分，求AB 所在直线的方程. 解：法一、设AB 所在直线的方程为()()014≠+-=k x k y ， 由()?? ?=+-=x y x k y 81 42 ，消去x 并整理，得083282=+--k y ky . 设()11,y x A ，()22,y x B ，由根与系数的关系，得k y y 821=+， 又P 是AB 的中点，所以 12 21=+y y . 所以428 =?=k k ， 所以直线AB 的方程为()441-=-x y ，即0154=--y x . 法二、设()11,y x A ，()22,y x B ，则有12 18x y =，22 28x y =， 两式相减，得()()()2121218x x y y y y -=+-， 又221=+y y ，则482 11212=+=--= y y x x y y k ， 所以直线AB 的方程为()441-=-x y ，即0154=--y x . 通过例1可以看出：法一为传统解法，在联立求解过程中，可能出现计算失误导致最终结果的偏差；法二为点差法，利用中点直接解出直线斜率，计算简便。例1比较简单，传统方法亦可解决，但已经能够看出点差法在计算方面的优势。 例2：已知椭圆C 的两个焦点分别为()0,11-F ，()0,12F ，M 是此椭圆上的一点，且 21MF MF ⊥8=. （1）求椭圆C 的方程； （2）点B 是椭圆C 短轴的一个端点，且其纵坐标大于零，M 、N 是椭圆C 上不同于点B