2017年全国高考理科数学试题及答案-全国III卷
绝密★启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ）
理科数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合A={}22(,)1x y x y +=│
，B={}(,)x y y x =│，则A ?B 中元素的个数为 A ．3 B ．2 C ．1 D ．0
2．设复数z 满足(1+i)z =2i ，则∣z ∣=
A ．12
B
C
D ．2 3.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.
根据该折线图，下列结论错误的是
A ．月接待游客量逐月增加
B ．年接待游客量逐年增加
C ．各年的月接待游客量高峰期大学*科网致在7,8月份
D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳
4.(x +y )(2x -y )5的展开式中x 3y 3的系数为
A.-80
B.-40
C.40
D.80
5.已知双曲线C 22221x y a b -= (a ＞0,b ＞0)的一条渐近线方程为y x =,且与椭圆22
1123
x y += 有公共焦点，则C 的方程为 A. 221810x y -= B. 22145x y -= C. 22154x y -= D. 22
143
x y -= 6．设函数f (x )=cos(x +3
π)，则下列结论错误的是 A ．f (x )的一个周期为?2π
B ．y =f (x )的图像关于直线x =83π对称
C ．f (x +π)的一个零点为x =6π
D ．f (x )在(2
π,π)单调递减 7．执行右面的程序框图，为使输出S 的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2
8.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为
A.π
B.3π4
C.π2
D.π4
9.等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为
A.-24
B.-3
C.3
D.8
10.已知椭圆C ：22
221x y a b
+=，（a >b >0）的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为
C.3
D.13 11.已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则a = A.12- B.13 C.12
D.1 12. 在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上.若AP =λ
AB +μAD ，则λ+μ的最大值为
A.3
C. D.2
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 若x ，y 满足约束条件y 0200x x y y -≥??+-≤??≥?
，则z 34x y =-的最小值为__________.
14. 设等比数列 a n 满足a 1 + a 2 = –1, a 1 – a 3 = –3，则a 4 = ___________.
15.设函数10()20x x x f x x +≤?=?>?，，，，
则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是_________。 16.a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与a ，b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成30°角；
②当直线AB 与a 成60°角时，AB 与b 成60°角；
③直线AB 与a 所称角的最小值为45°；
④直线AB 与a 所称角的最小值为60°；
其中正确的是________。（填写所有正确结论的编号）
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：60分。
17.（12分）
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A cos A=0，a b=2. （1）求c；
（2）设D为BC边上一点，且AD AC,求△ABD的面积.
18.（12分）
某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处学科#网理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。
（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；
（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？
19．（12分）
如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，△ACD 是直角三角形，∠ABD =∠CBD ，
AB =BD ．
（1）证明：平面ACD ⊥平面ABD ；
（2）过AC 的平面交BD 于点E ，若平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部分，求二面角D –AE –C 的余弦值．
20.（12分）
已知抛物线C ：y 2=2x ，过点（2,0）的直线l 交C 与A ,B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆.
（1）证明：坐标原点O 在圆M 上；
（2）设圆M 过点P （4，-2），求直线l 与圆M 的方程.
21.（12分）
已知函数()f x = x ﹣1﹣alnx.
（1） 若()0f x ≥ ，求a 的值；
（2） 设m 为整数，且对于任意正整数n ，11+2（） 2111++22n
（
）（1） ﹤m ，求m 最小值.
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =??=?
（t 为参数），直线l 2的参数方程为2,,x m m m y k =-+???=??
（为参数）.设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C . （1）写出C 的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ+sin θ
，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径.
23.[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知函数f （x ）=│x +1│–│x –2│.
（1）求不等式f （x ）≥1的解集；
（2）若不等式f （x ）≥x 2–x +m 的解集非空，求m 的取值范围.