高考数学专题数列超经典

高考复习序列-----

高中数学数列

一、数列的通项公式与前n 项的和的关系

①11

,

1,2n n n s n a s s n -=?=?-≥?

（注：该公式对任意数列都适用）

②1(2)n n n S S a n -=+≥ （注：该公式对任意数列都适用） ③12n n S a a a =+++L （注：该公式对任意数列都适用） ④s n+1?s n?1=a n+1+a n （注：该公式对任意数列都适用） 二、等差与等比数列的基本知识 1、等差数列

⑴ 通项公式与公差：

定义式：d a a n n =--1

一般式：()q pn a d n a a n n +=?-+=11 推广形式： ()n m a a n m d =+-m

a a d m

n --=

?；

⑵ 前n 项和与通项n a 的关系：

前n 项和公式：1()

n n n a a s +=

1(1)n n na d -=+211

()2

d n a d n =+-.

前n 项和公式的一般式：应用：若已知()n n n f +=2

2，即可判断为某个等差数列n 的前n 项和，并可求出首项及公差的值。

n a 与n S 的关系：1(2)n n n a S S n -=-≥（注：该公式对任意数列都适用）

例：等差数列12-=n S n ，=--1n n a a （直接利用通项公式作差求解） ⑶ 常用性质：

①若m+n=p+q ，则有 m n p q a a a a +=+ ；特别地：若,m n p a a a 是的等差中项，则有2m n p a a a =+?n 、

m 、p 成等差数列；

②等差数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如123,a a a ++456,a a a ++789a a a ++，???）仍是等差

数列；

③{}n a 为公差为d 等差数列，n S 为其前．n ．项和．．，则232,,m m m m m S S S S S --，43m m S S -，．．

．也成等差数列, A 、 构成的新数列公差为D=m 2d ，即m 2d=(S 2m -S m )- S m ；

B 、 对于任意已知S m ，S n ，等差数列{}n a ?

?

????n S n 也构成一个公差为2d 等差数列。

⑥若项数为偶数，设共有2n 项，则①S 偶-S 奇nd =； ② 1

n n S a

S a +=奇偶； ⑦若项数为奇数，设共有21n -项，则①S 奇-S 偶n a a ==中；②1

S n

S n =-奇偶。

例：已知等差数列{}n a ，其中===11010010,10,100S S S 则 解析：法一，用等差数列求和公式1(1)

2

n n na d -=+

求出d a ,1 法二，10S ，10011020301020...,S S S S S S ---成等差数列，设公差为D ，则：

D S S S 451010100110+=-

法三,

63. 等比数列的通项公式： ⑴ ①一般形式：1

*11()n n

n a a a q

q n N q

-==

?∈； ②推广形式：n m

n m a a q

-=?

，n q =

③其前n 项的和公式为：11

(1)

,11,1

n n a q q s q na q ?-≠?

=-??=?，或11,11,1n n a a q q q s na q -?≠?-=??=?.

⑵数列{}n a 为等比数列

()()211

111002,n n n n n n n

a q q a a a n n N a a q a -+-++?

=≠?=?>≥∈?=?()1a q 0n N*≠∈、，n n

S A q B ?=?+

⑶ 常用性质：

①

若m+n=p+q ，则有 m n p q a a a a ?=? ；特别地：若,m n p a a a 是的等比中项，则有 2

m n p a a a =??n 、

m 、p 成等比数列; ②

等比数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如123,a a a ++456,a a a ++789a a a ++，???）仍是等比数列；

③{}n a 为等比数列，n S 为其前n 项和，则232,,m m m m m S S S S S --，43m m S S -，．．．也成等比数列（仅当当

1q ≠-或者1q =-且m 不是偶数时候成立）；

设等比数列

{}

n b 的前．n 项积．．

为n

T ，则

k

T ，

232,k k k k T T T T ，43k k

T

T 成等比数列． ④ {}n a 为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列. ⑤ {}n a 既是等差数列又是等比数列?{}n a 是各项不为零的常数列.

判断或证明一个数列是等差数列的方法：

①定义法：

）常数）（*+∈=-N n d a a n n (1?{}n a 是等差数列

②中项法：

)22

1*++∈+=N n a a a n n n （?{}n a 是等差数列

③一般通项公式法：

),(为常数b k b

kn a n +=?{}n a 是等差数列

④一般前n 项和公式法：

),(2为常数B A Bn

An S n +=?{}n a 是等差数列

判断或证明一个数列是等差数列的方法：

（1）定义法：

?=+（常数）q a a n

n 1

{}n a 为等比数列； （2）中项法：?≠?=++)0(2

2

1n n n n a a a a {}n a 为等比数列；

（3）通项公式法：??=为常数）q k q k a n

n ,({}n a 为等比数列；

（4）前n 项和法：?-=为常数）（q k q k S n n ,)1({}n a 为等比数列。

?-=为常数）（q k kq k S n n ,{}n a 为等比数列。

数列最值的求解

（1）10a >，0d <时，n S 有最大值；10a <，0d >时，n S 有最小值；

（2）n S 最值的求法：①若已知n S ，的最值可求二次函数的最值；

n S 2

n S an bn =+

可用二次函数最值的求法（n N +∈）；②或者求出中的正、负分界项，即：

若已知n a ，则n S 最值时n 的值（n N +∈）可如下确定100n n a a +≥??

≤?或1

0n n a a +≤??≥?。 例1：等差数列{}n a 中，12910S S a =>，，则前 项的和最大。 【解析】：

()项）项和最大（或前前，1011020001110121012111012111011129121291??

?

?=-=????+=+-=?=++?=-?=>a a a a a a a a a a a a S S S S a Θ

例2．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知 001213123<>=S S a ，，

①求出公差d 的范围，

②指出1221S S S ，，

，Λ中哪一个值最大，并说明理由。 【解析】：

① ()()()3

7

24

00,5215642144211212212212,21221312131211231--?<>+=+=+-=+=

?-=-=ππΘd S S d S d

d d a a S d d a a ，，根据已知同理：

② 由0001213123πd S S a 及，，<>=，可知，n=12是前n 项和正负分界项，

故()(),70,60φπn a n a n n ≤≥所以，6S 最大

变式：若等差数列的首项为为31，从第16项开始小于1 ，则此数列公差d 的取值范围是 解析：116πa ，但要注意此时还要一个隐含条件115φa ，联立不等式组求解。 3、若数列的前n 项和n n S n 102-=，则=n a ，{}n ns 数值最小项是第 项。 【解析】：法一（导数法）：

根据等差数列前n 项和的标准形式Bn An S n +=2

，可知该数列为等差数列，

n

n nS n a a a d S S a n n S a n n 112112,2,7,9102

12122211-=?-==-=∴-=-=-=-==令

时时，即当’‘4

11

0)(,114)(,112)(2=

=-=-==n n f n n f n n nS n f n ,取得最小值， 其中15)3(,14)2(34

11

2-=-=f f ，分别求出ππ

，可见当n=3时{}n ns 取得最小。 法二（列举法）：对于,0,01且数值较大时且数值较小φπd a 可用列举法，分别求出n=1、2…时的{}n ns 的值，再进行比较发现。

4、已知数列{}n a ，的最小值为则

n

a n a a a n

n n ,2,3311=-=+ 【解析】：法一（均值不等式）：由累加法：33--2

2

1+=?=-n n a n n a a n n ，令

{}n a

时取得最小值。

，可见，，取得最小值，时，，即可见当6663

)

6(5

33)5(63353333

,133)(=====-+==

n f f n a n n n n n n a n f n n ππΘ 法二（列举法）：实在没招时使用该法。

5、 已知等差数列{}n a 的前n 项和的最小值为则n n S n S S S ,25,0,1510== 。 【解析】：

49

-49-)7(48-)6(,732063

20

0)(,320)(,)(,310300,3

22'2'23110110，故取，而时取得最小值，

，即当令====-==-=∴-=?=+?==?--

=f f n n f n n n f S n n f n n S n a a a S d m n m S n S d n n m n ππΘ

6、

数列通项公式的求法：

类型1：等差数列型)(1n f a a n n +=+

思路：把原递推式转化为)(1n f a a n n =-+，再使用累加法（逐差相加法）求解。

例，已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则

2

1221111*21)2(21)1(2n a a a n a a n a a n n n n n =∴+=-?

+-=-+-=----以上逐次累加，

所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =

变式： 已知数列{}n a 满足1232n

n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。

解： 1232n n n a a +=+?两边除以1

2n +，得

113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，此时23

)(=n f ，故数列

{}2n n

a 是以1

2

22a 11==为首项，以23

为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222

n

n a n =-

评注：本题n n a a 、1+前的系数不一致，不能直接使用前述方法，解题的关键是把递推关系式1232

n

n n a a +=+?转化为

113222n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n

a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出3

1(1)22n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。

类型2：等比数列型n n a n f a )(1=+ 把原递推式转化为

)(1

n f a a n

n =+，再使用累乘法（逐商相乘法）求解。 例 （2004年全国I 第15题，原题是填空题）已知数列{}n a 满足

11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==++++-≥L ，，求{}n a 的通项公式。

解：因为123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥L ①

所以1123123(1)n n n a a a a n a na +-=++++-+L

②

用②式－①式得1.n n n a a na +-=则1(1)(2)n n a n a n +=+≥；故

1

1(2)n n

a n n a +=+≥ 所以13222122![(1)43].2

n n n n n a a a n a a n n a a a a a ---=

????=-???=L L

③

由123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥L ，21222n a a a ==+取得，则21a a =，又知11a =，则21a =，

代入③得!13452n n a n =?????=

L 。所以，{}n a 的通项公式为!

.2

n n a = 评注：本题解题的关键是把递推关系式1(1)(2)n n a n a n +=+≥转化为

1

1(2)n n

a n n a +=+≥，进而求出132122

n n n n a a a a a a a ---????L ，从而可得当2n n a ≥时，的表达式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。 类型4：待定系数法处理q pa a n n +=+1 或n n n q pa a +=+1型数列

把原递推式

,

1q pa a n n +=+转化为

;1),(1q

p

t t a p t a n n -=

-=-+转化思路：

为等比数列，则数列此式与原式比较，得到令?

?????--=

=-++t a t a q p

t t a p t a n n n n -1),-(11 例，数列{}n n n n a a a a a 求,32,1,11+==+

解：令1-312

),(21=-=-=-+t t a t a n n 比较原递推式，

，所以?

?????=+++2111n n a a 即{}1+n a 是公比为2的等比数列， 1+n a =（11+a ）1

-n 2，或令n n b a =+1，{}n b 是公比为2的等比数列，所以

n n n n b a b b b 2,21,2*1111=∴=+==-其中，

变式1：已知数列{}n a 满足112356n

n n a a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。

思路：等式两边同时除于

15+n ；原递推式变成

,535*52511+=++n n n n a a 令n n

n

b a =5，()n

n n n n n n n n n n n n n n n n n a b b b a b b b t t b t b b b 521525252*5152*11565,521153

152

)(5253521111

1111111+=?+=?=??? ??=??

?

??-=-?==??? ??=-?=-=?-=-?+=∴------++

评注：本题解题的关键是把递推关系式1235n

n n a a +=+?转化为)-(1t a p t a n n =-+，最后再求出数列{}n a 的

通项公式。

变式2：已知数列{}n a 满足112,12

n

n n a a a a +=

=+，求数列{}n a 的通项公式。 思路：将原递推式两边倒数后换元，再转化为,

1q pa a n n +=+

变式3：已知数列{}n a 满足5

13n n a a ?=+，17a =，求数列{}n a 的通项公式。 思路：将原递推式两边求对数后换元，再转化为,

1q pa a n n +=+

变式4：已知数列{}n a

满足111

(14116

n n a a a +=

+=，，求数列{}n a 的通项公式。 思路：：

换元n b =2

1(1)24

n n a b =

-，再代入原递推式，再转化为,1q pa a n n +=+ 类型5 已知n n a S 、递推式()n n a f S = 求n a

这种类型一般利用??

?-==-1,1

,11φn S S n S a n n

n 导出1--=n n n S S a ，消去n S ，得到n a 与1-n a 的递推式，再利用前

面的方法求解出n a （知识迁移：??

?-==+--2

,1

,211φn S S n S a a n n n n ）

例，已知数列{}n a 前n 项和2

214---=n n n a S ，求：（1）的关系与n n a a 1+，（2）通项n a 。

解：（1）

222212121*212

1

2121212121)214()214(11111

12121111+=?+=??? ??-+=???

?

??-+=?-----=-=++--+--+--+++n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a S S a

（2）由上式：222222

1111

=-?+=++++n n n n n n n n a a a a ，

令n n

n a b 2=，即有21=-+n n b b ，而，222111===S a b ，

所以，{}=1b b n 为2，公差为2,的等差数列，12

2,2-=

?==n n n n

n n n a a b n b Θ 类型6：12()n a a a f n =g g

L g 求n a

用作商法：(1),(1)()

,(2)

(1)n f n f n a n f n =??=?

≥?-?

数列求和的常用方法

然数和公式：

① ()

1122n n n +++???+=

；

②

()()

222121126n n n n ++++???+=

；

③ ()2

2

333

1124

n n n +++???+=

一、利用等差等比数列的求和公式求和 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2

)

1(2)(11-+=+=

2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)

1(11)1()1(111

q q q a a q

q a q na S n n

n

[例1] 已知3

log 1log 23-=

x ，求???++???+++n

x x x x 32的前n 项和. 解：由2

1

2log log 3log 1log 3323=?-=?-=

x x x ，由等比数列求和公式得

n n x x x x S +???+++=32＝x x x n

--1)1(＝

2

11)

21

1(21--n ＝1－n 21（利用等比数列求和公式） [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1

)32()(++=

n n

S n S n f 的最大值.

解：由等差数列求和公式得 )1(2

1+=

n n S n ， )2)(1(21

1++=+n n S n

∴ 1)32()(++=

n n

S n S n f ＝64

342++n n n ＝

n

n 64341+

+＝

50

)8(12+-

n

n 50

1≤

∴ 当

8

8

-

n ，即n ＝8时，501)(max =n f

二、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.

[例3] 求和：1

32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………①

解：由题可知，{1

)12(--n x

n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1

-n x

}的通项之积

设n

n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ②

①－②得 n

n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错位相减）

再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x

x x S x )12(1121)1(1

----?

+=-- ∴ 2

1)1()

1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+

[例4] 求数列

??????,2

2,,26,24,2232n n

前n 项的和. 解：由题可知，{

n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 2

1

}的通项之积 设n n n

S 2

226242232+???+++=

…………………………………① 14322

226242221++???+++=n n n

S ………………………………② ① -②14322

22222222222)21

1(+-+???++++=

-n n n n

S 1122212+---=n n n ∴ 1

22

4-+-

=n n n S 三、反序相加法求和

这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +. [例5] 求οοοοο

89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++的值

解：设οοοοο89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++=S

…………. ①

将①式右边反序得

οοοοο1sin 2sin 3sin 88sin 89sin 22222+++???++=S …………..②

又因为 1cos sin ),90cos(sin 2

2

=+-=x x x x ο

，①+②得

)89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222οοοοοο++???++++=S ＝89

∴ S ＝44.5

题1 已知函数 （1）证明：

；

（2）求的值.

解：（1）先利用指数的相关性质对函数化简，后证明左边=右边 （2）利用第（1）小题已经证明的结论可知，

两式相加得：

所以

.

四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例5] 求数列的前n 项和：231

,,71,41,

1112-+???+++-n a

a a n ，… 解：设)231

()71()41(

)11(12-++???++++++=-n a

a a S n n 将其每一项拆开再重新组合得

)23741()1

111(12-+???+++++???+++

=-n a

a a S n n 当a ＝1时，2)13(n n n S n -+

=＝2

)13(n

n +

1≠a 时，2)13(111

1n n a

a S n n -+--

=＝2)13(11n n a a a n -+---

五、裂项法求和

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的. 通项分解（裂项）如：

（1）)()1(n f n f a n -+= （2）οοο

οο

n n n n tan )1tan()

1cos(cos 1sin -+=+ （3）()()???

??+--=-+=+-=+=

1211212112121;1

11)1(1n n n n a n n n n a n n

（4）)

11(1))((1C An B An B C C An B An a n +-+-=++=

⑸ (

)

b a b

a b a a n n n n a n n --=

+=-+=++=

1

1;111

[例6] 求数列

???++???++,1

1,,321,

2

11n n 的前n 项和.

解：设n n n n a n -+=++=

111

则 1

13

212

11+++

???+++

+=

n n S n

＝)1()23()12(n n -++???+-+- ＝11-+n [例7] 在数列{a n }中，1

1211++???++++=

n n n n a n ，又12+?=n n n a a b ，求数列{b n }的前n 项的和.

解： ∵ 2

11211n

n n n n a n =++???++++=

∴ )111(82

122+-=+?=

n n n n b n

∴ 数列{b n }的前n 项和

)]1

11(

)4131()3121()211[(8+-+???+-+-+-=n n S n

＝)1

11(8+-

n ＝ 18+n n

六、分段求和法（合并法求和）

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，因此，在求数列的和时，可将这些项放在一起先求和，然后再求S n .

[例8] 求cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°的值.

解：设S n ＝ cos1°+ cos2°+ cos3°+···+ cos178°+ cos179°

∵ )180cos(cos ο

ο

ο

n n --=

∴S n ＝ （cos1°+ cos179°）+（ cos2°+ cos178°）+ （cos3°+ cos177°）+···

+（cos89°+ cos91°）+ cos90°＝ 0

[例9] 在各项均为正数的等比数列中，若103231365log log log ,9a a a a a +???++=求的值.

解：设1032313log log log a a a S n +???++=

由等比数列的性质 q p n m a a a a q p n m =?+=+ （找特殊性质项） 和对数的运算性质 N M N M a a a ?=+log log log 得

)log (log )log (log )log (log 6353932310313a a a a a a S n ++???++++= （合并求和）

＝)(log )(log )(log 6539231013a a a a a a ?+???+?+? ＝9log 9log 9log 333+???++ ＝10

高考文科数学数列经典大题训练(附答案)

1.（本题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且34-=n n a S (1,2,)n =， （1）证明:数列{}n a 是等比数列； （2）若数列{}n b 满足1(1,2,)n n n b a b n +=+=，12b =，求数列{}n b 的通项公式． ; 2.（本小题满分12分） 等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== 1.求数列{}n a 的通项公式. 2.设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?? ???? 的前项和. … 3.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= （1） 求数列{}n a 的通项公式； （2） 令n n b na =，求数列的前n 项和n S 。

~ 4.已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为﹣4． （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式； （Ⅱ）设b n=（4﹣a n）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n． % 5.已知数列{a n}满足，，n∈N×． （1）令b n=a n+1﹣a n，证明：{b n}是等比数列； （2）求{a n}的通项公式． {

、 ~

、 1.解：（1）证：因为34-=n n a S (1,2,)n =，则3411-=--n n a S (2,3,)n =， 所以当2n ≥时，1144n n n n n a S S a a --=-=-， 整理得14 3 n n a a -=． 5分 由34-=n n a S ，令1n =，得3411-=a a ，解得11=a ． 所以{}n a 是首项为1，公比为4 3 的等比数列． 7分 （2）解：因为14 ()3 n n a -=， ' 由1(1,2,)n n n b a b n +=+=，得114 ()3 n n n b b -+-=． 9 分 由累加得)()()(1231`21--++-+-+=n n n b b b b b b b b

高中数学数列专题大题训练

高中数学数列专题大题组卷 一．选择题（共9小题） 1．等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A．130 B．170 C．210 D．260 2．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7 C．6 D． 3．数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a6=（） A．3×44B．3×44+1 C．44D．44+1 4．已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）5．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）A．B．C．D． 6．已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A．138 B．135 C．95 D．23 7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3 B．4 C．5 D．6 8．等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n项和S n=（） A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D． 9．设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（） A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0 C．若0＜a 1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0 二．解答题（共14小题） 10．设数列{a n}（n=1，2，3，…）的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．

高考数学《数列》大题训练50题含答案解析

一．解答题（共30小题） 1．（2012?上海）已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足．（1）设c n=3n+6，{a n}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值； （2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有b n≥b k； （3）设，．当b1=1时，求数列{b n}的通项公式． 2．（2011?重庆）设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4． （Ⅰ）求{a n}的通项公式； ( （Ⅱ）设{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n+b n}的前n项和S n． 3．（2011?重庆）设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n（n∈N*）． （Ⅰ）若a1，S2，﹣2a2成等比数列，求S2和a3． （Ⅱ）求证：对k≥3有0≤a k≤． 4．（2011?浙江）已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a（a∈R）设数列的前n 项和为S n，且，，成等比数列． （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及S n； ` （Ⅱ）记A n=+++…+，B n=++…+，当a≥2时，试比较A n与B n的大小． 5．（2011?上海）已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n=3n+6，b n=2n+7（n∈N*）．将集合{x|x=a n，n∈N*}∪{x|x=b n，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2，

（1）写出c1，c2，c3，c4； （2）求证：在数列{c n}中，但不在数列{b n}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…； （3）求数列{c n}的通项公式． 6．（2011?辽宁）已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=﹣10 * （I）求数列{a n}的通项公式； （II）求数列{}的前n项和． 7．（2011?江西）（1）已知两个等比数列{a n}，{b n}，满足a1=a（a＞0），b1﹣a1=1，b2﹣a2=2，b3﹣a3=3，若数列{a n}唯一，求a的值； （2）是否存在两个等比数列{a n}，{b n}，使得b1﹣a1，b2﹣a2，b3﹣a3．b4﹣a4成公差不为0的等差数列若存在，求{a n}，{b n}的通项公式；若不存在，说明理由． 8．（2011?湖北）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5． （I）求数列{b n}的通项公式； ] （II）数列{b n}的前n项和为S n，求证：数列{S n+}是等比数列． 9．（2011?广东）设b＞0，数列{a n}满足a1=b，a n=（n≥2） （1）求数列{a n}的通项公式； （4）证明：对于一切正整数n，2a n≤b n+1+1．

高考数学题型全归纳：数列求和的若干常用方法含答案

数列求和的若干常用方法 数列求和是数列的重要内容之一，也是高考数学的重点考查对象。除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧.如某些特殊数列的求和可采用分部求和法转化为等差数列或等比数列的和或用裂项求和法、错位相减法、逆序相加法、组合化归法，递推法等。本文就此总结如下，供参考。 一、分组求和法 所谓分组法求和就是：对一类既不是等差数列，也不是等比数列的数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并。 例1．数列{a n }的前n 项和12-=n n a S ，数列{b n }满)(,311* +∈+==N n b a b b n n n .（Ⅰ）证明数列{a n }为等比数列；（Ⅱ）求数列{b n }的前n 项和T n。 解析：（Ⅰ）由12,,1211-=∴∈-=++*n n n n a S N n a S ， 两式相减得：,2211n n n a a a -=++01.,211≠=∈=∴*+n n n a a N n a a 知同， ,21=∴+n n a a 同定义知}{n a 是首项为1，公比为2的等比数列.（Ⅱ）,22,211111-+-+-=-+==n n n n n n n n b b b b a ,2,2,2234123012=-=-=-b b b b b b ,221--=-n n n b b 等式左、右两边分别相加得： ,222 121322211 2101+=--+=++++=---n n n n b b n T n n n 2)2222()22()22()22()22(12101210+++++=++++++++=∴-- =.12222 121-+=+--n n n n 例2．已知等差数列{}n a 的首项为1，前10项的和为145，求：. 242n a a a +++ 解析：首先由31452 91010110=?=??+=d d a S 则：6223221)21(232)222(32 2323)1(1224221--?=---=-+++=+++∴-?=?-=-+=+n n n a a a a n d n a a n n n n n n n 二、裂项求和法

高中数学数列放缩专题：用放缩法处理数列和不等问题

用放缩法处理数列和不等问题（教师版） 一．先求和后放缩（主要是先裂项求和，再放缩处理） 例1．正数数列{}n a 的前n 项的和n S ，满足12+=n n a S ，试求： （1）数列{}n a 的通项公式； （2）设11+= n n n a a b ，数列{}n b 的前n 项的和为n B ，求证：2 1

高考数学数列大题训练答案版

高考数学数列大题训练 1. 已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且1,641≠=q a 公比 （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设n n a b 2log =，求数列.|}{|n n T n b 项和的前 解析： (1)设该等差数列为{}n c ，则25a c =，33a c =，42a c =Q 533222()c c d c c -==- ∴2334()2()a a a a -=-即：223111122a q a q a q a q -=- ∴12(1)q q q -=-，Q 1q ≠， ∴121, 2q q ==，∴1164()2n a -=g (2)121log [64()]6(1)72n n b n n -==--=-g ，{}n b 的前n 项和(13)2n n n S -= ∴当17n ≤≤时，0n b ≥，∴(13)2 n n n n T S -== （8分） 当8n ≥时，0n b <，12789n n T b b b b b b =+++----L L 789777()()2n n n S b b b S S S S S =-+++=--=-L (13)422 n n -=- ∴(13)(17,)2(13)42(8,)2 n n n n n T n n n n -?≤≤∈??=?-?-≥∈??**N N 2.已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ，其中.154=a （Ⅰ）求321,,a a a ； （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S 解：（1）由151241=+=-a a a n n 及知,1234+=a a 解得：,73=a 同理得.1,312==a a （2）由121+=-n n a a 知2211+=+-n n a a

2019年高考数学高频考点专题43数列数列的求和4分组求和倒序相加法 文数(含解析)

专题43 数列 数列的求和4 （ 分组求和、倒序相加法） 【考点讲解】 一、具本目标：1.掌握等差、等比数列的求和方法； 2. 掌握等非差、等比数列求和的几种常见方法. 考纲解读：会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和，非等差、等比数列的求和是高考的热点，特别是错位相减法和裂项相消法求和. 二、知识概述： 求数列前n 项和的基本方法 （1）直接用等差、等比数列的求和公式求和； 等差：； 等比： 公比是字母时需要讨论. (理)无穷递缩等比数列时，q a S -= 11 （2）掌握一些常见的数列的前n 项和公式： ； ； ； ； （3）倒序相加法求和：如果一个数列 {}n a ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数， 那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法. （4）错位相减法求和：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么

这个数列的前n 项和即可用此法来求.q 倍错位相减法：若数列{}n c 的通项公式n n n c a b =?，其中{}n a 、 {}n b 中一个是等差数列，另一个是等比数列，求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再将所得新和式与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和．这种方法叫q 倍错位相减法． 温馨提示：1.两个特殊数列等差与等比的乘积或商的组合. 2.关注相减的项数及没有参与相减的项的保留. （5）分组求和：有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，先分别求和，再合并.通项公式为a n ＝ 的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和． 形如： n n b a +其中， （6）并项求和法 一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如类 型，可采用两项合并求解. 合并求和：如求 的和. （7）裂项相消法求和：把数列的通项拆成两项之差，正负相消剩下首尾若干项. 常见拆项： ； . 【真题分析】

高考数学大题题型解答技巧

高考数学大题题型解答技巧 六月，有一份期待，年轻绘就畅想的星海，思想的热血随考卷涌动，灵魂的脉搏应分 数澎湃，扶犁黑土地上耕耘，总希冀有一眼金黄黄的未来。下面就是小编给大家带来 的高考数学大题题型解答技巧，希望大家喜欢! 高考数学大题必考题型(一) 排列组合篇 1.掌握分类计数原理与分步计数原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题。 2.理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题。 3.理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质，并能用它们解决一些简单 的应用问题。 4.掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题。 5.了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义。 6.了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件 的概率。 7.了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事 件的概率乘法公式计算一些事件的概率。 8.会计算事件在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率. 立体几何篇 高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题3道，解答题1道)，共计总分27分左右，考查的知识点在20个以内。选择填空题考核立几中的计算型问题，而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题，当然，二者均应以正确的空间想象为前提。随着新的 课程改革的进一步实施，立体几何考题正朝着“多一点思考，少一点计算”的发展。从 历年的考题变化看，以简单几何体为载体的线面位置关系的论证，角与距离的探求是 常考常新的热门话题。 知识整合 1.有关平行与垂直(线线、线面及面面)的问题，是在解决立体几何问题的过程中，大量的、反复遇到的，而且是以各种各样的问题(包括论证、计算角、与距离等)中不可缺 少的内容，因此在主体几何的总复习中，首先应从解决“平行与垂直”的有关问题着手，通过较为基本问题，熟悉公理、定理的内容和功能，通过对问题的分析与概括，掌握

高考理科数学复习题解析 数列求和

高考数学复习 第四节 数列求和 [考纲传真] 1.掌握等差、等比数列的前n 项和公式.2.掌握特殊的非等差、等比数列的几种常见的求和方法． 1．公式法 (1)等差数列的前n 项和公式： S n ＝n a 1＋a n 2 ＝na 1＋n n －12 d ； (2)等比数列的前n 项和公式： 2．分组转化法 把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解． 3．裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和． 4．错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n 项和可用错位相减法求解． 5．倒序相加法 如果一个数列{a n }的前n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解． 6．并项求和法 一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解． 例如，S n ＝1002 －992 ＋982 －972 ＋…＋22 －12 ＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050. [常用结论] 1．一些常见的数列前n 项和公式：

(1)1＋2＋3＋4＋…＋n ＝ n n ＋1 2 ； (2)1＋3＋5＋7＋…＋2n －1＝n 2 ； (3)2＋4＋6＋8＋…＋2n ＝n 2 ＋n . 2．常用的裂项公式 (1) 1n n ＋k ＝1k ? ?? ??1 n －1n ＋k ； (2)1 4n 2－1＝1 2n －1 2n ＋1＝12? ?? ??1 2n －1－12n ＋1； (3) 1 n ＋n ＋1 ＝n ＋1－n ； (4)log a ? ?? ??1＋1n ＝log a (n ＋1)－log a n . [基础自测] 1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋1 1－q .( ) (2)当n ≥2时， 1n 2－1＝12? ?? ??1 n －1－1n ＋1.( ) (3)求S n ＝a ＋2a 2 ＋3a 3 ＋…＋na n 之和时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( ) (4)推导等差数列求和公式的方法叫做倒序求和法，利用此法可求得sin 2 1°＋sin 2 2°＋sin 2 3°＋…＋sin 2 88°＋sin 2 89°＝44.5.( ) [答案] (1)√ (2)√ (3)× (4)√ 2．(教材改编)数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＝1 n n ＋1 ，则S 5等于( ) A ．1 B.56 C.16 D. 1 30 B [∵a n ＝ 1n n ＋1＝1n －1 n ＋1 ， ∴S 5＝a 1＋a 2＋…＋a 5＝1－12＋12－13＋…－16＝5 6.] 3．若S n ＝1－2＋3－4＋5－6＋…＋(－1) n －1 ·n ，则S 50＝________. －25 [S 50＝(1－2)＋(3－4)＋…＋(49－50)＝－25.] 4．数列112，314，518，7116，…，(2n －1)＋1 2 n ，…的前n 项和S n 的值等于________．

高考数学数列题型专题汇总

高考数学数列题型专题 汇总 公司内部档案编码：[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08]

高考数学数列题型专题汇总 一、选择题 1、已知无穷等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，且S S n n =∞ →lim .下列 条件中，使得()*∈q a （B ）6.07.0,01-<<-q a （D ）7.08.0,01-<<-

A ．{}n S 是等差数列 B ．2{}n S 是等差数列 C ．{}n d 是等差数列 D ．2{}n d 是等差数列 【答案】A 二、填空题 1、已知{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，若16a =，350a a +=，则 6=S _______.. 【答案】6 2、无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意 *∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值为________. 【答案】4 3、设等比数列{}n a 满足a 1+a 3=10，a 2+a 4=5，则a 1a 2a n 的最大值 为 . 【答案】64 4、设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2=4，a n +1=2S n +1，n ∈N *，则 a 1= ，S 5= . 【答案】1 121

备战高考技巧大全之高中数学黄金解题模板：专题26 数列求和方法答案解析

【高考地位】 数列是高中数学的重要内容,又是高中数学与高等数学的重要衔接点,其涉及的基础知识、数学思想与方法,在高等数学的学习中起着重要作用,因而成为历年高考久考不衰的热点题型,在历年的高考中都占有重要地位。数列求和的常用方法是我们在高中数学学习中必须掌握的基本方法，是高考的必考热点之一。此类问题中除了利用等差数列和等比数列求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。下面，就近几年高考数学中的几个例子来谈谈数列求和的基本方法和技巧。 【方法点评】 方法一 公式法 解题模板：第一步 结合所求结论，寻找已知与未知的关系； 第二步 根据已知条件列方程求出未知量； 第三步 利用前n 项和公式求和结果 例1.设}{n a 为等差数列，n S 为数列}{n a 的前n 项和，已知77=S ，7515=S ，n T 为数列}{n S n 的前n 项和，求n T ． 【评析】直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论．常用的数列求和公式有：

等差数列前n 项和公式： 11()(1)22 n n n a a n n S na d +-==+． 等比数列前n 项和公式：111(1)(1)(1)11n n n na q S a q a a q q q q =??=--?=≠?--? ． 自然数方幂和公式：1123(1)2 n n n +++???+=+ 22221123(1)(21)6 n n n n +++???+=++ 333321123[(1)]2 n n n +++???+=+ 【变式演练1】已知{a n }是等差数列，a 1+a 2=4，a 7+a 8=28，则该数列前10项和S 10等于（ ） A.64 B.100 C.110 D.120 【答案】B 【解析】 试题分析：a 1+a 2=4，a 7+a 8=28，解方程组可得11,2a d == 101109101002 S a d ?∴=+ = 考点：等差数列通项公式及求和 方法二 分组法 解题模板：第一步 定通项公式：即根据已知条件求出数列的通项公式； 第二步 巧拆分：即根据通项公式特征，将其分解为几个可以直接求和的数列； 第三步 分别求和：即分别求出各个数列的和； 第四步 组合：即把拆分后每个数列的求和进行组合，可求得原数列的和. 例2. 已知数列{a n }是3＋2－1,6＋22－1,9＋23－1,12＋24－1，…，写出数列{a n }的通项公式并求其前n 项 S n .

2020届高考数学一轮复习通用版讲义数列求和

第四节数列求和 一、基础知识批注——理解深一点 1．公式法 (1)等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)d 2 . 推导方法：倒序相加法． (2)等比数列{a n }的前n 项和S n ＝????? na 1 ，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ，q ≠1. 推导方法：乘公比，错位相减法． (3)一些常见的数列的前n 项和： ①1＋2＋3＋…＋n ＝ n (n ＋1) 2 ； ②2＋4＋6＋…＋2n ＝n (n ＋1)； ③1＋3＋5＋…＋2n －1＝n 2. 2．几种数列求和的常用方法 (1)分组转化求和法：一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后相加减． (2)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得前n 项和． (3)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么求这个数列的前n (4)倒序相加法：如果一个数列{a n }与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解． 二、基础小题强化——功底牢一点 (一)判一判(对的打“√”，错的打“×”) (1)如果数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋1 1－q .( ) (2)当n ≥2时， 1n 2 －1＝12? ???1 n －1－1n ＋1.( ) (3)求S n ＝a ＋2a 2＋3a 2＋…＋na n 之和时，只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得．( )

高中数学数列求和专题复习知识点习题.doc

数列求和例题精讲 1． 公式法求和 （1）等差数列前 n 项和公式 S n n(a 1 a n ) n(a k 1 a n k ) n( n 1) d 2 2 na 1 2 （2）等比数列前 n 项和公式 q 1 时 S n na 1 q 1 时 S n a 1 (1 q n ) a 1 a n q 1 q 1 q （3）前 n 个正整数的和 1 2 3 n(n 1) n 2 前 n 个正整数的平方和 12 22 32 n 2 n(n 1)(2n 1) 6 前 n 个正整数的立方和 13 23 33 n 3 [ n(n 1) ] 2 （ 1）弄准求和项数 n 的值； 2 公式法求和注意事项 （ 2）等比数列公比 q 未知时，运用前 n 项和公式要分类。 例 1．求数列 1，4，7， ，3n 1 的所有项的和 例 2．求和 1 x x 2 x n 2 ( n 2, x 0 )

2．分组法求和 例 3．求数列 1， 1 2，1 2 3，，1 2 3 n 的所有项的和。 5n 1 (n为奇数 ) 例 4．已知数列a n中，a n ，求 S2m。 ( 2) n (n为偶数 ) 3．并项法求和 例 5．数列a n 中， a n ( 1) n 1 n2，求 S100。 例 6．数列a n中，，a n( 1) n 4n ，求 S20及 S35。 4．错位相减法求和 若a n 为等差数列，b n 为等比数列，求数列a n b n（差比数列）前n项 b n 的公比。 和，可由S n qS n求 S n，其中q 为

例 7．求和12x 3x 2nx n 1（x0 ）。 5．裂项法求和 :把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项。 例 8．求和 1 1 1 1 。 1 3 3 5 5 7 (2n 1)(2n 1) 例 9．求和 1 1 1 1 2 1 3 2 23 。 n 1n ［练习］ 1 1 1 1 1 2 3 2 3 n 1 2 1 a n S n 2 1 n 1

高考理科数学试题汇编(含答案)数列大题

（重庆）22．（本小题满分12分，（1）小问4分，（2）小问8分） 在数列{}n a 中，()2 1113,0n n n n a a a a a n N λμ+++=++=∈ （1）若0,2,λμ==-求数列{}n a 的通项公式； （2）若()0 001,2,1,k N k k λμ+= ∈≥=-证明：01 0011 223121 k a k k ++<<+++ 【答案】（1）132n n a -=?；（2）证明见解析. 试题分析：(1)由02λμ==-，,有212,(n N )n n n a a a ++=∈

若存在某个0n N +∈，使得0n 0a =，则由上述递推公式易得0n 10a +=，重复上述过程可得 10a =，此与13a =矛盾，所以对任意N n +∈,0n a ≠. 从而12n n a a +=()N n +∈，即{}n a 是一个公比q 2=的等比数列. 故11132n n n a a q --==?. (2)由0 1 1k λμ= =-，，数列{}n a 的递推关系式变为 21101 0,n n n n a a a a k +++ -=变形为2101n n n a a a k +??+= ?? ?()N n +∈. 由上式及13a =，归纳可得 12130n n a a a a +=>>>>>>L L 因为22220010000 11111 1 11n n n n n n n a a k k a a k k k a a a k k +-+= = =-+? ++ +，所以对01,2n k =L 求和得() () 00011211k k k a a a a a a ++=+-++-L 01000010200000011111 111111112231313131 k a k k k k a k a k a k k k k k ??=-?+?+++ ? ?+++????>+?+++=+ ? ++++??L L 另一方面，由上已证的不等式知001212k k a a a a +>>>>>L 得 00110000102011111 111k k a a k k k k a k a k a +??=-?+?+++ ? ?+++?? L 0000011111 2221212121 k k k k k ??<+ ?+++=+ ?++++??L 综上：01001 12231 21 k a k k ++ <<+ ++ 考点：等比数列的通项公式，数列的递推公式，不等式的证明，放缩法.

高三数学高考数列求和(裂项及错位)

考点十二 数列求和（裂项及错位） [真题1] (2009山东卷)等比数列{n a }的前n 项和为n S ，已知对任意的n N +∈，点(,)n n S 均在函数(0x y b r b =+>且1,,b b r ≠均为常数)的图像上. （1）求r 的值； （11）当b=2时，记1()4n n n b n N a + += ∈，求数列{}n b 的前n 项和n T . [命题探究] 创新是高考命题的要求,《考试大纲》提出命题要“创设比较新颖的问题情境”，同时，“在知识的交汇点处设计命题”是近年来高考命题的一种趋势。本题将数列的递推关系式以点在函数图像上的方式给出，体现了这种命题理念，也渗透了数列是定义在正整数集上的函数观念。第（2）问中对b 的赋值，旨在使问题变得简捷，也使设置的数列求和问题降低难度，达成“不求在细节上人为地设置障碍，而是在大方向上考查考生的数学能力”的命题指导思想。 [命题探源] 本题在设置等比数列的递推关系时，以点(,)n n S 在函数(0x y b r b =+>的图像上的方式给出，这种命题方式与2008年福建一道文科有相似之处：“已知｛a n ｝是正数组成的数列，a 1=1 1n a +）（n ∈N *）在函数y =x 2+1的图象上.(Ⅰ)求数列｛a n ｝的通项公式；(Ⅱ)若列数｛b n ｝满足b 1=1,b n +1=b n +2n a ，求证：b n ·b n +2＜b 2 n +1.”本题中增加了对参数r 的求解，因此，如何正确求出r 的值，成为本题的解题思考点，这恰好需要对递推 关系式{ 11,(1) ,(2) n n n S n a S S n -==-≥的正确理解（理角题目的条件：数列{n a }是等比数列，则11S a =满足数列递推式）。第（2）问求数列{}n b 的前n 项和n T ， 所用的方法是错位相减法，也是课本中推导等比数列前n 项和公式时所用的方法。高考复习历来提倡回归课本，理解教材，例题的求解方法、公式的推导方法，都需要我们在回归课本中积累知识，提炼方法，形成能力。 [知识链接] 数列求和的几种常见题型与求解方法 （1）裂项相消法：如果数列的通项可“分裂成两项差”的形式，且相邻项分裂后相关联，那么常选用裂项相消法求和.常用裂项形式有： ① 111(1)1n n n n =-++； ②1111()()n n k k n n k =-++； ③ )(1 )0(1 n k n k k k n n -+= >++ **④ 2 1 1 1 1 1 1 1 1(1)(1)1k k k k k k k k k - = < < = - ++--. （2）错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）. 设{a n }是等差数列，且公差为d,{b n }是等比数列，且公比为q,记S n =a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n n n n n n n n b a b a b a b a b a b a S ++++++=----1122332211... ① =n qS 1112233221...+-----++++++n n n n n n n n b a b a b a b a b a b a ② =-n S q )1(+11b a 11232)...(+---+++++n n n n n b a b b b b b d （3）分组求和法：在直接运用公式法求和有困难时，常将“和式”中“同类项”先合并在一起，再运用公式法求和. （4）倒序相加法：若和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联，则常可考虑选用倒序相加法，发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前n 和公式的推导方法）. 《规范解答》 广东省汕头市高三数学复习系列 等差数列、等比数列的性质及应用 新人教A 版 一．课题：等差数列、等比数列的性质及应用 二．教学目标：熟练掌握等差（比）数列的基本公式和一些重要性质，并能灵活运用性质解决有关的问题，培养对知识的转化和应用能力． 三．教学重点：等差（比）数列的性质的应用． 四．教学过程： （一）主要知识：

高考数学数列大题专题

高考数学数列大题专题 1. 已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且1,641≠=q a 公比 （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设n n a b 2log =，求数列.|}{|n n T n b 项和的前 2.已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ，其中.154=a （Ⅰ）求321,,a a a ； （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S 3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且有12a =，11353n n n n S a a S --=-+(2)n ≥ （1）求数列n a 的通项公式； （2）若(21)n n b n a =-，求数列n a 的前n 项的和n T 。 4.已知数列{n a }满足11=a ，且),2(22*1N n n a a n n n ∈≥+=-且． （Ⅰ）求2a ，3a ；（Ⅱ）证明数列{n n a 2}是等差数列； （Ⅲ）求数列{n a }的前n 项之和n S

5.已知数列{}n a 满足31=a ，1211-=--n n n a a a . （1）求2a ，3a ，4a ； （2）求证：数列11n a ??? ?-?? 是等差数列，并写出{}n a 的一个通项。 622,,4,21121+=-===++n n n n n b b a a b a a . 求证： ⑴数列{b n +2}是公比为2的等比数列； ⑵n a n n 221-=+； ⑶4)1(2221-+-=++++n n a a a n n Λ. 7. .已知各项都不相等的等差数列}{n a 的前六项和为60，且2116a a a 和为 的等比中项. （1）求数列}{n a 的通项公式n n S n a 项和及前； （2）若数列}1{,3),(}{11n n n n n b b N n a b b b 求数列且满足=∈=-*+的前n 项和T n .

高考数学专题复习数列求和

第4讲数列求和 一、选择题 1．设数列{(－1)n}的前n项和为S n，则对任意正整数n，S n＝( ) A.n[1n－1] 2 B. 1n－1＋1 2 C.1n＋1 2 D. 1n－1 2 解析∵数列{(－1)n}是首项与公比均为－1的等比数列， ∴S n＝11n1 11 ＝ 1n－1 2 . 答案 D 2．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|＝( ) A．66 B．65 C．61 D．56 解析当n＝1时，a1＝S1＝－1，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝n2－4n＋2－[(n －1)2－4(n －1)＋2]＝2n－5.∴a2＝－1，a3＝1，a4＝3，…，a10＝15，∴|a1| ＋|a2|＋…＋|a10|＝1＋1＋81＋15 2 ＝2＋64＝66. 答案 A 3．在数列{a n}中，a n＝ 1 n n ＋1 ，若{a n}的前n项和为 2 013 2 014 ，则项数n为( )． A．2 011 B．2 012 C．2 013 D．2 014 解析∵a n＝1 n n ＋1＝ 1 n － 1 n＋1 ，∴S n＝1－ 1 n＋1 ＝ n n＋1 ＝ 2 013 2 014 ，解得n＝2 013. 答案 C 4．数列{a n}满足a n＋1＋(－1)n a n＝2n－1，则{a n}的前60项和为( )．A．3 690 B．3 660 C．1 845 D．1 830 解析当n＝2k时，a2k＋1＋a2k＝4k－1， 当n＝2k－1时，a2k－a2k－1＝4k－3，

∴a 2k ＋1＋a 2k －1＝2，∴a 2k ＋1＋a 2k ＋3＝2， ∴a 2k －1＝a 2k ＋3，∴a 1＝a 5＝…＝a 61. ∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 60＝(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a 60＋a 61)＝3＋7＋11＋…＋(4×30－1)＝30 3＋119 2 ＝30×61＝1 830. 答案 D 5．若把能表示为两个连续偶数的平方差的正整数称为“和平数”，则 1～100 这100个数中，能称为“和平数”的所有数的和是( ) A ．130 B ．325 C ．676 D ．1 300 解析 设两个连续偶数为2k ＋2和2k (k ∈N ＋)，则(2k ＋2)2－(2k )2＝4(2k ＋1)，故和平数 是4的倍数，但不是8的倍数，故在1～100之间，能称为和平数的有4×1,4×3,4×5,4×7，…，4×25，共计13个，其和为4×1＋252 ×13＝676. 答案 C 6．数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝1 2(n ∈N *)，且a 1＝1，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 21 ＝ ( )． A.21 2 B ．6 C ．10 D ．11 解析 依题意得a n ＋a n ＋1＝a n ＋1＋a n ＋2＝1 2，则a n ＋2＝a n ，即数列{a n }中的奇数项、 偶数项分别相等，则a 21＝a 1＝1，S 21＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 19＋a 20)＋a 21＝10(a 1＋a 2)＋a 21＝10×1 2＋1＝6，故选B. 答案 B 二、填空题 7．在等比数列{a n }中，若a 1＝1 2，a 4＝－4，则公比q ＝________；|a 1|＋|a 2|＋… ＋|a n |＝________. 解析 设等比数列{a n }的公比为q ，则a 4＝a 1q 3，代入数据解得q 3＝－8，所以