亚纯函数
题型13 超越函数及超越函数图象的确定(原卷版)
秒杀高考数学题型之超越函数及超越函数图象的确定 【秒杀题型二】：由初等函数构造的超越函数。 【题型1】：由初等函数构造的超越函数解不等式。 『秒杀策略』：是指不能转化为初等不等式去解的不等式，最佳解法是画出图象比较图象的高低。 1.(2013年新课标全国卷I11)已知函数???>+≤+-=0 ),1ln(0,2)(2x x x x x x f ,若ax x f ≥)(，则a 的取值范围是 ( ) A.(]0,∞- B.(]1,∞- C.[]1,2- D.[]0,2- 2.(2012年新课标全国卷)当2 10≤
7.(2009年辽宁卷)若1x 满足2,522x x x =+满足5)1(log 222=-+x x ,21x x += ( ) A. 25 B.3 C.2 7 D.4 【题型2】：由初等函数构造的超越函数图象确定。 『秒杀策略』：首先利用函数的奇偶性排除答案，然后再利用剩余选项的不同点代入特值(或极限)来确定。 1.(2013年新课标全国卷I)函数()(1cos )sin f x x x =-在[,]ππ-的图象大致为 ( ) 2.(2012年新课标全国卷10)已知函数x x x f -+= )1ln(1 )(,则)(x f y =的图象大致为 ( ) 3.(2015年新课标全国卷II10)如图，长方形ABCD 的边AB =2，BC =1，O 是AB 的中点，点P 沿着边BC ， CD 与DA 运动，x BOP =∠，将动点P 到B A ,两点距离之和表示为x 的函数)(x f ，则)(x f 的图象大 致为 ( )
浅谈整函数与亚纯函数
浅谈整函数与亚纯函数 摘 要: 本文主要介绍整函数，亚纯函数和它们的相关定理，推论以及超越整函数，超越亚纯函数，刘维尔定理，代数学基本定理等等． 关键词: 整函数；超越整函数；亚纯函数；超越亚纯函数；刘维尔定理 The Discussion of Integral Function and Meromorphic Functions Abstract : This paper mainly introduces integral function and its related theorem ， corollary ， transcendental integral function ， meromorphic functions and its related theorem ， corollary ， transcendental meromorphic functions ， and Liuweier theorem ， algebra fundamental theorem ， etc ． Keywords : I ntegral function;Transcendental integral function;Meromorphic function;Transcendental meromorphic functions;Liuweier theorem 1 整函数的概念 定义1 在整个z 平面上解析的函数称为整函数． 例如，多项式，z e ，sin z 等都是整函数． 设()f z 为一整函数，则()f z 只z =∞以为孤立奇点且有 ()0 ()0.n n n f z c z z ∞ == ≤<+∞∑ 定理1 设()f z 为一整函数，则 (1)z =∞为()f z 的可去奇点的充要条件为()f z =常数0c ， (2)z =∞为()f z 的m 阶极点的充要条件为是()f z 是一个m 次多项式 ()010.m m m c c z c z c +++≠
全纯函数
全纯函数 维基百科 全纯函数（holomorphic function）是复分析研究的中心对象；它们是定义在复平面C的开子集上的，在复平面C中取值的，在每点上皆复可微的函数。这是比实可微强得多的条件，暗示著此函数无穷可微并可以用泰勒级数来描述。 解析函数（analytic function）一词经常可以和“全纯函数”互相交换使用，虽然前者有几个其他含义。 全纯函数有时称为正则函数。在整个复平面上都全纯的函数称为整函数（entire function）。“在一点a全纯”不仅表示在a可微，而且表示在某个中心为a 的复平面的开邻域上可微。双全纯（biholomorphic）表示一个有全纯逆函数的全纯函数。 定义 若U为C的开子集而f : U→C是一个函数，我们称f是在U中一点z0复可微(complex differentiable)，若极限 存在。 极限取所有趋向z0的复数的序列，并对所有这种序列差的商趋向同一个数 f '(z ). 直观上，如果f在z0复可微而我们从r方向趋向点z0，则函数的像会0 从f '(z0) r方向趋近点f(z0)，其中的乘积是复数乘法。 这个可微性的概念和实可微性有几个相同性质: 它是线性的，并服从乘积，商和链式法则。 若f在U中每点z0复可微，我们称f在U上全纯。我们称f在点z0全纯，如果它在z0的某个邻域全纯。 下面是一个等价的定义。一个复函数全纯当且仅当它满足柯西-黎曼方程. 例子 z的所有复系数的多项式函数在C上是全纯的。
所有z的三角函数和所有指数函数也是。 (三角函数事实上和指数函数密切相关并可以通过欧拉公式来用指数函数定义)。 对数函数的主支在集合C - {z∈R : z ≤ 0}上全纯。平方根函数可以定义为 所以任何对数ln(z)全纯的地方，它也全纯。函数1/z在 {z : z≠ 0} 上全纯。 不是全纯的函数的典型例子有复共轭（complex conjugation）和取实部。 性质 因为复微分是线性的，并且服从积、商、链式法则，所以全纯函数的和、积和复合是全纯的，而两个全纯函数的商在所有分母非0的地方全纯。 每个全纯函数在每一点无穷可微。它和它自己的泰勒级数相等，而泰勒级数在每个完全位于定义域U内的开圆盘上收敛。泰勒级数也可能在一个更大的圆盘上收敛；例如，对数的泰勒级数在每个不包含0的圆盘上收敛，甚至在复实轴的附近也是如此。证明请参看证明全纯函数解析。 若把C和R2等同起来，则全纯函数和满足柯西-黎曼方程的双实变量函数相同，该方程组含有两个偏微分方程。 在非0导数的点的附近，全纯函数是共形的(或称保角的)。因为他们保持了小图形的角度和形状(但尺寸可能改变)。 柯西积分公式表明每个全纯函数在圆盘内的值由它在盘边界上的取值所完全决定。 几个变量 多复变函数的复解析函数定义为在一点全纯和解析，如果它局部可以(在一个多盘，也即中心在该点的圆盘的直积)扩张为收敛的各个变量的幂级数。这个条件比柯西-黎曼方程要强；事实上它可以这样表述： 一个多复变量函数是全纯的当且仅当它满足柯西-黎曼方程并且局部平方可积。
半纯函数的无穷级数展开
亚纯函数的无穷级数展开 我们知道，如果?()z 在0z 的邻域内全纯，则?()z 在0z 的邻域内可展成Taylor 级数()n n n z z a 00-∑∞ =；如果z 。是?(z)的一孤立奇点， 它可以在z 。的去心邻域展成Laurent 级数()n n n z z a ∑+∞ -∞ =-0。 亚纯函数是一类非常重要函数，由于它的奇点为极点,我们从Laurent 级数的展开式中得到启发，可否将亚纯函数按其奇点的分布情况展开成无穷级数，答案是肯定的。这样亚纯函数的研究又有了一种工具，下面我们来研究这理论。 设)(z f 为区域D 内的亚纯函数,它可以表为两个全纯函数之比，即 ) () ()(z g Z h z f = . 其中()()z g z h ,是D 内的全纯函数，且()z g 的零点是()z f 的极点，设想()z g 可分解因式如下 ()()...)(21z z z z a z g --= 由此我们对上式施以对数运算，再施以微分运算，就将()z f 展开成如下的形式， ()()∑ ∞ -=k n k k k z z a z f (其中k n 为与极点的级有关的正整数) 即我们依()z f 的极点展开成一分式型级数有关的理论我们不进行
深入讨论。下面我们以亚纯函数tgz 与ctgz 为例说明这种展开方法。由于tgz ＝ctg （2 π-z ），所以我们只研究ctgz 的展开方法 即可。 我们先研究用微积分学有关理论来展开ctgz 。这种方法的技巧性很强，它需要先把t sin 在实数域内展成无穷乘积,这样会减少在复数域内的许多繁杂的讨论。 因为()mx i mx x i x m sin cos sin cos +=+ 展开左边取实部得 ()()???+???---?=--x x m m m x x m mx m m 331sin cos 3 2121sin cos sin (1) 若12+=n m 是奇数，用公式()k k x x 22sin 1cos -=置换（1）中余弦函数 的偶次幂后，得 ()()x P x x n 2sin sin 12sin ?=+ （2） 其中()u P 为一个n 次幂整多项式。 如果用n u u u ,...,,21表这多项式的根,则此多项式可以用如下方法分解因式 ()()()()???? ??-???? ??-???? ? ?-=---=n n u u u u u u A u u u u u u a u P 1...11 (2121) 从（2）容易定出根n u u u ,...,,21,如果x 使()012sin =+x m ,但0sin ≠x ,则x 2sin 就一定是()u P 的根。1 2,...,1 22,12+++=n n n n x πππ介于0与2 π之间， 且为递增序列，从而 .1 2sin ,...,122sin ,1 2sin 22 22 1+=+=+=n n u n u n u n π ππ
最新高三复习专题12超越函数解决策略.pdf
高三复习专题12 超越函数解决策略 知识点： y e x 与y ln x 是两个基本的超越函数，它们的很多性质和图像在解题中有着非常 重要的作用.其中从他衍生的除导数不等式e x x 1与ln x x 1导数放缩的重要工具之外， 另外六个应用于高中数学压轴题中也屡见不鲜，在复习过程中，亦须掌握其常见的解决策略. 一.常见图像及其性质： 1.y xe x 性质： 2. x e x y 性质： 3.x e y x 性质： 4.y x ln x 性质： 5.x x y ln 性质： 6.x x y ln 题组1.y xe x
1.已知函数x e a x x f 1)(，（e R a ,是自然底数） （1）求函数 f (x) 的极值；（2）当a 1的值时，若直线l : y kx 1与曲线y f (x) 没有公共点，求k 的最大值. 提示（1）略（2）1 k 2.已知函数1ln )(x a x x f ，a R （1）若函数 f (x) 的最小值为0，求a 的值；（1a ） （2）证明：e x (ln x 1) sin x 0 ．略 题组2x e x y x
2.已知函数 f x ae 2 x a 2e x x . （1）讨论f x 的单调性 （2）若f x 有两个零点，求a 的取值范围
题组3.x e y x 1.已知函数x e ax x f 2)( a R ，x R .讨论)(x f 的零点个数.2.证明：e x ex ln x ex 2 3.设函数 f (x) ax 2 a ln x ，,1) (x e e x x g 其中 a R ，（1）讨论 f (x) 的单调性； （2）证明：当x 1 时，g(x) 0 （3）确定a 的所有可能取值，使得 f (x) g(x) 在区间(1, ) 内恒成立．
高三复习专题超越函数解决策略
高 三复习专题12 超越函数解决策略 知识点： y e x 与 y ln x 是两个基本的超越函数，它们的很多性质和图像在解题中有着非常 重要的作用.其中从他衍生的除导数不等式e x x 1 与ln x x 1导数放缩的重要工具之外， 另外六个应用于高中数学压轴题中也屡见不鲜，在复习过程中，亦须掌握其常见的解决策略. 一.常见图像及其性质： xe x 性质： 2. x e x y = 性质： 3.x e y x = 性质： 4. y x ln x 性质： 5.x x y ln = 性质： 6.x x y ln = 题组 xe x 1.已知函数x e a x x f +-=1)(，（e R a ,?是自然底数）
（1）求函数 f (x ) 的极值； （2）当 a 1的值时，若直线 l : y kx 1与曲线 y f (x ) 没有公共点，求 k 的最大值. 提示（1）略（2）1=k 2.已知函数 1ln )(-+=x a x x f ， a R （1）若函数 f (x ) 的最小值为 0，求 a 的值；（1=a ） （2）证明： e x (ln x 1) s in x 0 ．略 题组2x e x y = 1.已知函数 f xx ae x a R ， x R .讨论)(x f 的零点个数. 2.已知函数 f xa e 2 x a 2e x x . （1）讨论 f x 的单调性 （2）若 f x 有两个零点，求 a 的取值范围
题组3.x e y x = 1.已知函数 x e ax x f -=2)( a R ， x R .讨论)(x f 的零点个数. 2.证明： e x ex ln x ex 2 3.设函数 f (x ) ax 2 a ln x ，,1)(x e e x x g -=其中a R ， （1）讨论 f (x ) 的单调性； （2）证明：当 x 1 时， g (x ) 0 （3）确定 a 的所有可能取值，使得 f (x ) g (x ) 在区间 (1, ) 内恒成立． 题组4x x y ln = 1.设函数x be x ae x f x x 1 ln )(-+=，曲线)(x f 在))1(,1(f 处的切线为2)1(+-=x e y . 证明：.1)(>x f 2.已知函数x a x x x f +-=ln )(. （1）讨论函数)(x f 的单调性； （2）证明： 1)1ln(11<+<+x x x . 题组5x x y ln = 1.设,,x y z 为正数，且235x y z ==，则( ) A ．235x y z << B ．523z x y << C ．352y z x << D ．325y x z << 2.已知函数11)1(ln )(=+++=x x b x a x f 的图像在处的切线方程032+-+y x . （1）求b a ,的值. （2）当0>x 时，恒有x x ln > （3）证明：对任意的0>M ,总存在正数0x ，使得0x x >时，恒有x M x ln >. 题组6x x y ln =
超越函数积分的五种解法Word版
超越函数积分的五种解法 On the five solutions to integral transcendental function 袁玉军，陈婷婷，韩仁江 指导老师：李声锋 蚌埠学院 数学与物理系 摘要: 大学数学课程系统介绍了幂级数、留数、拉普拉斯变换以及二元函数等理论，本文基于这些理论，给出了求解超越函数积分问题的五种方法. 关键词：超越函数；积分；大学数学 Abstract:In this paper ,by using the Laplace transform ,the residue theorem,the binary function,etc.to solve the problem of the transcendental function's integral Keywords:transcendental function ,integral 1.引言 牛顿——莱布尼茨公式是计算定积分或广义积分的一般方法，但在某些情况下会遇到函 数的原函数不能用初等函数表示，如x x sin ，x ln 1，2 x e ±等函数. 在阻尼振动、热传导与正态 分布等实际问题中，常常遇到此类函数的积分，此时就不能用牛顿——莱布尼茨公式求解.在 大学数学课程的学习中，我们已经较全面掌握了幂级数、留数、拉普拉斯变换以及二元函数等理论，本文将基于这些理论，给出超越函数定积分的五种解法. 2.五种解法 (1)基于幂级数展开法求积分 引理1[1] 若函数项级数 ()n u x ∑在区间[],a b 上一致收敛，且每一项都连续，则 ()().b b n n a a u x dx u x dx =∑∑? ? 例1 求定积分 1 0ln .1x dx x -? 分析 注意到ln 1x x -在()0,1内连续，且01ln ln lim ,lim 1.11x x x x x x +- →→=-∞=-- 若定义函数
专题四《超越函数的图像及应用》
专题四 超越函数的图像及其应用 2016.10.2 【设计意图】 在必修一我们学习了基本初等函数幂函数、指数函数与对数函数的图像和性质，初步体会到函数图像在研究函数性质时的作用，以及利用函数的性质作出函数图像的方法.在选修2-2学习了函数与导数，掌握了利用导数研究函数的单调性、极值与最值的方法.因此，利用导数可以研究函数的性质，从而画出函数图像，进而研究函数的零点问题及方程的根的情况. 【实例分析】 一、三次函数的图像 对于三次函数f(x)=ax 3+bx 2+cx+d(a ≠0).()x f '=3ax 2+2bx+c.()x f '的判别式△=4(b 2－3ac). 当a>0时，若x →+∞，则f(x)→+∞，若x →－∞，则f(x)→－∞； 当a<0时，若x →+∞，则f(x)→－∞，若x →－∞，则f(x)→+∞. ()x f '中，当△>0时，()x f '=0有两根x 1，x 2，所以f(x)有两个极值点；当△≤0时，f(x)在R 上是单调函数，据此可得y=f(x)图像类型大致如下： 由此表可研究三次函数的图像、单调性、极值、最值与零点问题. 例1讨论函数y=x 3－6x 2+9x －10－a(a ∈R)零点的个数. 例2（2014全国Ⅱ）已知函数f(x)=ax 3－3x 2+1，若f(x)存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的取值范围是（ ） A.(2，+∞) B.(1，+∞) C.(－∞，－2) D.(－∞，－1) 二、其他超越函数的图像及应用 例3（2015全国Ⅰ）设函数f(x)=e x (2x －1)－ax+a,其中a<1,若存在唯一的整数x 0使得f(x 0)<0,则实数a 的取值范围是( ) A.??????-1,23e B.??????-43,23e C.??????43,23e D.?? ????1,23e 例4已知函数f(x)=x 2lnx.若当t>0时，存在唯一正实数s ，使得f(s)=t ，则t 的取值范围是______. 例5（2016全国）已知函数f(x)= (x-2)e x +a(x-1)2有两个零点.求实数a 的取值范围；