【2012优化方案】数学 必修2 第二章2.2.1知能优化训练
1．若一圆的标准方程为(x －1)2＋(y ＋5)2
＝3，则此圆的圆心和半径分别是________．
解析：由圆的标准方程可得圆心(1，－5)，半径r ＝ 3.
答案：(1，－5)， 3
2．若方程x 2＋y 2－x ＋y ＋m ＝0表示一个圆，则m 的范围为________．
解析：表示圆的条件是：12＋12－4m ＞0，即m ＜12
. 答案：m ＜12
3．圆x 2＋y 2＋4x －6y －3＝0的圆心和半径分别为________．
解析：将圆的一般方程化为标准方程为
(x ＋2)2＋(y －3)2＝42.
∴圆心为(－2,3)，r ＝4
答案：(－2,3)，4
4．点P (m 2,5)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是________．
解析：∵x 20＋y 20＝m 4＋25＞24，∴点P 在圆外．
答案：在圆外
一、填空题
1．圆x 2＋y 2＋ax ＝0的圆心的横坐标为1，则a 等于________．
解析：将圆x 2＋y 2＋ax ＝0化为标准方程为(x ＋a 2)2＋y 2＝a 24，由已知得－a 2
＝1，∴a ＝－2. 答案：－2
2．已知A (1，－3)，B (－3,3)，则以AB 为直径的圆的方程是________．
解析：所求圆的半径为12
AB ＝13，圆心为线段AB 的中点(－1,0)． 答案：(x ＋1)2＋y 2＝13
3．经过圆x 2＋2x ＋y 2＝0的圆心C ，且与直线x ＋y ＝0垂直的直线方程是________．
解析：圆x 2＋2x ＋y 2＝0的圆心(－1,0)且与直线x ＋y ＝0垂直，所求直线的斜率k ＝1，所求直线方程为y ＝x ＋1，即x －y ＋1＝0.
答案：x －y ＋1＝0
4．(2010年高考上海卷)圆C ：x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0的圆心到直线l ：3x ＋4y ＋4＝0的距离d ＝________.
解析：易求得圆心C (1,2)，∴d ＝|3×1＋4×2＋4|32＋42
＝3. 答案：3
5．已知圆C 与圆(x －1)2＋y 2＝1关于直线y ＝－x 对称，则圆C 的方程为________．
解析：圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为(1,0)，它关于直线y ＝－x 的对称点为(0，－1)，所以圆C 的圆心为(0，－1)，半径为1，其方程为x 2＋(y ＋1)2＝1.
答案：x 2＋(y ＋1)2＝1
6．圆(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2的点的个数为________．
解析：圆心(－1，－2)到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝|－1－2＋1|2
＝2，又圆半径r ＝22，所以满足条件的点共有3个．
答案：3
7．(2011年无锡调研)已知直线l ：x －y ＋4＝0与圆C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2，则C 上各点到
l 的距离的最小值为________．
解析：由图可知：过圆心作直线l ：x －y ＋4＝0的垂线，则AD
长即为所求．
∵C ：(x －1)2＋(y －1)2＝2的圆心为C (1,1)，半径为2，点C 到
直线l ：x －y ＋4＝0的距离为d ＝|1－1＋4|2
＝22， ∴AD ＝CD －AC ＝22－2＝2，故C 上各点到l 的距离的最
小值为 2.
答案： 2
8．圆x ＋y 2＋6x －8y ＋1＝0的圆心坐标为________；若直线4ax －3by ＋6＝0(a 、b ∈R)始终平分此圆的周长，则ab 的取值范围是________．
解析：化为标准方程为(x ＋3)2＋(y －4)2＝24，
故圆心坐标为(－3,4)，
∵直径平分圆周长，∴直线过圆心，
∴－12a －12b ＋6＝0，即a ＋b ＝12
， ab ＝a ????12－a ＝－a 2＋12
a ＝－????a －142＋116≤116
， ∴ab ∈?
???－∞，116. 答案：(－3,4) ?
???－∞，116 9．设P (x ，y )是曲线x 2＋(y ＋4)2＝4上任意一点，则(x －1)2＋(y －1)2的最大值为________． 解析：(x －1)2＋(y －1)2表示点P (x ，y )到定点(1,1)的距离，由于点P 是圆x 2＋(y ＋4)2＝4上任意一点，圆心C (0，－4)与定点的距离为(0－1)2＋(－4－1)2＝26，
故(x －1)2＋(y －1)2的最大值为26＋2.
答案：26＋2
二、解答题
10．已知曲线C ：(1＋a )x 2＋(1＋a )y 2－4x ＋8ay ＝0，
(1)当a 取何值时，方程表示圆；
(2)求证：不论a 为何值，曲线C 必过两定点；
(3)当曲线C 表示圆时，求圆面积最小时a 的值．
解：(1)当a ＝－1时，方程为x ＋2y ＝0，表示一条直线；当a ≠－1时，????x －21＋a 2＋???
?y ＋4a 1＋a 2＝4＋16a 2
(1＋a )2
表示圆． (2)证明：方程变形为x 2＋y 2－4x ＋a (x 2＋y 2＋8y )＝0.
对于a 取任何值，上式成立，则有?????
x 2＋y 2－4x ＝0，x 2＋y 2＋8y ＝0， 解得????? x ＝0，y ＝0，或??? x ＝165，y ＝－85，
∴C 过定点A (0,0)，B ????165
，－85. (3)由(2)曲线C 过定点A 、B ，在这些圆中，当以AB 为直径时，圆的面积最小(其余不以AB 为直径的圆，AB 为弦，直径大于AB 的长，圆的面积也大)，
从而得以AB 为直径圆的方程：
????x －852＋????y ＋452＝165
， ∴21＋a ＝85，4a 1＋a ＝45，4＋16a 2(1＋a )2＝165
， 解得a ＝14
. 11．矩形ABCD 的两条对角线相交于点M (2,0)，AB 边所在直线的方程是x －3y －6＝0，点T (－1,1)在AD 所在直线上．求：(1)AD 边所在直线的方程；
(2)矩形ABCD 外接圆的方程．
解：(1)因为AB 边所在直线的方程为x －3y －6＝0，且AD 与AB 垂直，所以直线AD 的斜率为－3.
又因为T (－1,1)在直线AD 上，所以AD 边所在直线的方程为y －1＝－3(x ＋1)，即3x ＋y ＋2＝0.
(2)由?
???? x －3y －6＝0，3x ＋y ＋2＝0，解得点A 的坐标是(0，－2)． 因为矩形ABCD 两条对角线的交点为M (2,0)，所以M 为矩形ABCD 外接圆的圆心，又AM ＝(2－0)2＋(0＋2)2＝22，从而矩形ABCD 外接圆的方程为(x －2)2＋y 2＝8.
12．等腰三角形的顶点是A (4,2)，底边一个端点是B (3,5)，求另一个端点C 的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么．
解：设另一端点C 的坐标为(x ，y )．依题意，得AC ＝AB .由两点间
距离公式，得(x －4)2＋(y －2)2＝(4－3)2＋(2－5)2，整理得(x －
4)2＋(y －2)2＝10.
这是以点A (4,2)为圆心，以10为半径的圆，如图所示，又因为A 、
B 、
C 为三角形的三个顶点，所以A 、B 、C 三点不共线．即B 、C
不能重合且B 、C 不能为圆A 的一直径的两个端点．
因为点B 、C 不能重合，所以点C 不能为(3,5)．
又因为点B 、C 不能为一直径的两个端点，
所以x ＋32≠4，且y ＋52
≠2，即点C 不能为(5，－1)． 故端点C 的轨迹方程是(x －4)2＋(y －2)2＝10(除去点(3,5)和(5，－1))，它的轨迹是以点A (4,2)为圆心，
10为半径的圆，但除去(3,5)和(5，－1)两点．
第2章 地图的数学基础习题及参考答案
第二章地图的数学基础 习题及参考答案 习题 一、判断题（对的打“√”，错的打“×”） 1.地球体的数学表面，也是对地球形体的二级逼近，用于测量计算的基准面。 2.在地图学中，以大地经纬度定义地理坐标。 3.1：100万的地形图，是按经差2o，纬差3o划分。 4.1987年国家测绘局公布：启用《1985国家高程基准》取代《黄海平均海水面》，其比《黄海平均海水面》下降29毫米。 5.球面是个不可展的曲面，要把球面直接展成平面，必然要发生断裂或褶皱。 6.长度比是一个常量，它既不随着点的位置不同而变化，也不随着方向的变化而变化。 7.长度变形没有正负之分，长度变形恒为正。 8.面积变形有正有负，面积变形为零，表示投影后面积无变形，面积变形为正，表示投影后面积增加；面积变形为负，表示投影后面积缩小。 9.制1：100万地图，首先将地球缩小100万倍，而后将其投影到平面上，那么1：100万就是地图的主比例尺。 10.在等积圆锥投影上中央经线上纬线间隔自投影中心向外逐渐增大。 11.J—50—5—E表示1：5万地形图。 12.地形图通常是指比例尺小于1：100万，按照统一的数学基础，图式图例，统一的测量和编图规范要求，经过实地测绘或根据遥感资料，配合其他有关资料编绘而成的一种普通地图。 13.等积投影的面积变形接近零。 14.等角投影能保持制图区域较大面积的形状与实地相似。 15.水准面有无数个，而大地水准面只有一个。 16.地球面上点的位置是用地理坐标和高程来确定的。 17.正轴圆锥投影的各种变形都是经度的函数，与纬度无关。 18.磁坐偏角指磁子午线与坐标纵线之间的夹角。以坐标纵线为准，磁子午线东偏为负，西偏为正。） 19.一般情况下真方位角（A）、磁偏角（δ）、磁方位角（Am）三者之间的关系是A=Am+δ。 20.不同地点的磁偏角是不相同的，同一地点的磁偏角是相同的。 二、名词解释 1.大地体 2.水准面 3.大地水准面
优化设计方案数学基础
第二章 优化设计的数学基础 优化设计中绝大多数是多变量有约束的非线性规划问题，即是求解多变量非线性函数的极值问题。由此可见，优化设计是建立在多元函数的极值理论基础上的，对于无约束优化问题为数学上的无条件极值问题，而对于约束优化问题则为数学上的条件极值问题。本章主要叙述与此相关的数学基础知识。 第一节 函数的方向导数与梯度 一、函数的方向导数 一个二元函数()21,x x F 在点() 02010,x x X 处的偏导数，即函数沿坐标轴方向的变化率定义为： 而沿空间任一方向S 的变化率即方向导数为：
方向导数与偏导数之间的数量关系为 依此类推可知n 维函数()n x x x F ,,,21 在空间一点() 002010,,,n x x x X 沿S 方向的方向导数为 二、函数的梯度 函数()X F 在某点X 的方向导数表明函数沿某一方向S 的变化率。—般函数在某一确定点沿不同方向的变化率是不同的。为求得函数在某点X 的方向导数为最大的方向，引入梯度的概念。 仍以二元函数()21,x x F 为例进行讨论，将函数沿方向S 的方向导数写成如下形式 令： 图2-1 二维空间中的方向 图2-2 三维空间中的方向
称为()21,x x F 在点X 处的梯度()X F grad ，而同时设S 为单位向量 于是方向导数可写为： 此式表明，函数()X F 沿S 方向的方向导数等于向量()X F ?在S 方向上的投影。且当()()1,cos =?S X F ，即向量()X F ?与S 的方向相向时，向量()X F ?在S 方向上的投影最大，其值为()X F ?。这表明梯度()X F ?是函数()X F 在点X 处方向导数最大的方向，也就是导数变化率最大的方向。 上述梯度的定义和运算可以推广到n 维函数中去，即对于n 元函数()n x x x F ,,,2 1 ，其梯度定义为 由此可见，梯度是一个向量，梯度方向是函数具有最大变化率的方向。即梯度()X F ?方向是函数()X F 的最速上升方向，而负梯度()X F ?-方向则为函数()X F 的最速下降方向。 例2-1 求二元函数()2214x x F π =X 在[]T 1,10=X 点沿 ???===44211πθπθS 和???===6 3212πθπθS 的方向导数。 解：()()()????????????=????????????????=?2121214 2x x x x F x F F ππX X X ，将[]T 1,10=X 代入可得
第二章地图学的数学基础比例尺
第二章地图学的数学基础比例尺 第九节地图比例尺的含义和表示 由于地图投影的原因会造成地图上各处的缩小比例不一致性，因此，进行地图投影时，应考虑地图投影对地图比例尺的影响。 电子地图出现后传统的比例尺概念发生新变化，在以纸质为信息载体的地图上，地图内容的选取、概括程度、数据精度等都与比例尺密切相关，而在计算机生成的屏幕地图上，比例尺主要表明地图数据的精度。屏幕上比例尺的变化，并不影响上述内容涉及的地图本身比例尺的特征。 一、地图比例尺的含义 当制图区域比较小，景物缩小的比例也比较小时，由于采用了各方面变形都比较小的地图投影，因此，图面上各处长度缩小的比例都可以看成是相等的。在这种情况下，地图比例尺的含义，具体指的是图上长度与相应地面之间的长度比例。 当制图区域相当大，制图时对景物的缩小比率也相当大，在这种情况下采用的地图投影比较复杂，地图上的长度也因地点和方向不同而有所变化。在这种情况下所注明的比例尺含义，其实质指的是在进行地图投影时，对地球半径缩小的比率，通常称之为地图主比例尺。 地图经过投影后，体现在地图上只有个别的点或线才没有长度变形。换句话说，只有在这些没有变形的点或线上，才可以用地图上注明的主比例尺进行量算。 二、地图比例尺的表示 1.比例尺的表示 传统地图上的比例尺通常有以下几种表现形式：数字式比例尺、文字式比例尺、图解式比例尺。 （1）数字式比例尺如1∶10000 （2）文字式比例尺如图上1厘米等于实地1千米 （3）图解比例尺：可分为直线比例尺、斜分比例尺和复式比例尺。 直线比例尺，是以直线线段形式标明图上线段长度所对应的地面距离。 斜分比例尺，是一种根据相似三角形原理制成的图解比例尺，利用这种斜分比例尺，可以量取比例尺基本长度单位的百分之一。 斜分比例尺是由纵、横两种分划组成的复合比例尺，纵分划为斜线，横分划及其注记与直线比例尺相同。使用该比例尺时，先在图上用量角规卡出欲量线段的长度，然后再到复合比例尺上去比量。比量时应注意：每上升一条水平线，斜线的偏值将增加0.01基本单位；量角规的两脚务必位于同一水平线上。 复式比例尺，又称投影比例尺，是一种根据地图主比例尺和地图投影长度变形分布规律设计的一种图解比例尺。 2.特殊比例尺 （1）变比例尺 当制图的主区分散且间隔的距离比较远时，为了突出主区和节省图面，可将主区以外部分的距离按适当比例相应压缩，而主区仍按原来规定的比例尺表示。 （2）无级别比例尺-多尺度 是一种随数字制图的出现而与传统的比例尺系统相对而言的一个新概念，并没有一个具体的表现形式。在数字制图中，由于计算机或数据库里可以存贮物体的实际长度面积体积等数据，
第二章地图的数学基础习题及参考答案.
第一章导论习题及参考答案 习题 一、判断题（对的打“√”，错的打“×”） 1.比例尺、地图投影、各种坐标系统就构成了地图的数学法则。（√） 2.地图容纳和储存了数量巨大的信息，而作为信息的载体，只能是传统概念上的纸质地图(×) 3.地图的数学要素主要包括地图投影、坐标系统、比例尺、控制点、图例等。(×) 4.实测成图法一直是测制大比例尺地图最基本的方法。(√) 5.磁坐偏角指磁子午线与坐标纵线之间的夹角。以坐标纵线为准，磁子午线东偏为负，西偏为正。(×） 6.一般情况下真方位角（A）、磁偏角（δ）、磁方位角（Am）三者之间的关系是A=Am+δ(×)。 7.大规模的三角测量和地形图测绘，其成为近代地图学的主流。(√) 8.城市规划、居民地布局、地籍管理等需要以小比例尺的平面地图作为基础图件。(×) 9.实地图即为“心象地图”，虚地图即为“数字地图”(√) 10.方位角是由标准方向线北端或者南端开始顺时针方向到某一直线的夹角。(×) 11.1987年国家测绘局公布： 启用《1985国家高程基准》取代《黄海平均海水面》，其比《黄海平均海水面》下降29毫米。(×)
12.目前我国各地高程控制点的绝对高程起算面是1956黄海平均海水面。(×) 13.磁偏角只随地点的不同而不同。(×) 14.南京紫金山最高点对连云港云台山最高点的高差为正。(×) 15.不同地点的磁偏角是不相同的，同一地点的磁偏角是相同的。(×) 二、名词解释 1.地图 2.直线定向 3.真xx 4.磁xx 5.磁偏角 6.xx收敛角 7.磁坐偏角 8.方位角 9.象限角 10.地图学 11.xx方向 12.1956年xx高程系 三、问答题 1.地图的基本特性是什么？ 2.我国地图学家把地图学分为哪几个分支学科组成？
优化设计七年级下册数学全部答案.doc
学习好资料欢迎下载 5.1 相交线 学前温故1、两方无2、180°新课早知1、邻补角2、对顶角 3、∠ BOD ∠AOC和∠ BOD 4、相等 5、C 轻松尝试应用 1 ～ 3 CAC 4、15°5、∠ AOF 和∠ BOE 6 、解：因为∠ AOD与∠ BOC是对顶角 所以∠ AOD=∠BOC 又因为∠ AOD+∠BOC=220°所以∠ AOD=110°而∠ AOC与∠ AOD是邻补 角 则∠ AOC+∠AOD=180°所以∠ AOC=70° 智能演练能力提升 1 ～ 3 CCC 4、 10° 5、对顶角邻补角互为余角 6 、 135°40°7、 90° 8、不是9、解： 因为 OE平分∠ AOD, ∠ AOE=35°, 所以∠ AOD=2∠ AOE=70°由∠ AOD与∠ AOC是邻补角，得∠ AOC=180°- ∠ AOD=110°因此∠ COE =∠AOE+∠ AOC=35° +110°=145° 10 、2 6 12 n(n-1) 4046132 5.1.2 垂线学前温故90°新课早知 1、垂直垂线垂足 2、 D BE CD C 3、一条垂线段 4、 B 5、 垂线段的长度6、 D 轻松尝试应用 1～3 DBD 4、∠ 1 与∠ 2 互余 5 、30°6、解：由对顶角相等，可知∠ EOF=∠BOC=35°, 又因为 OG⊥ AD, ∠FOG=30°, 所以∠ DOE=90° - ∠ FOG-∠EOF=90°-30 °-35 ° =25° 智能演练能力提升1～3 AAB 4 、①④ 5 、解:如图. 6、 解：因为 CD⊥ EF, 所以∠ COE=∠ DOF=90 °因为∠ AOE=70° , 所以∠ AOC=90° -70 ° =20° , ∠ BOD=∠ AOC=20° , 所以∠ BOF=90°- ∠BOD=90°-20 °=70°因为 OG平分∠ BOF,所以∠ BOG=0.5× 70°=35° , 所 以∠ BOG=35°+20°=55° 7、解（ 1）因为 OD平分∠ BOE,OF平分∠ AOE,所以∠ DOE=1/2∠BOE,∠EOF=1/2∠AOE, 因为∠ BOE+∠AOE=180° , 所以∠ DOE+∠EOF=1/2∠ BOE+1/2∠ AOE=90° , 即∠ FOD=90°, 所以 OF⊥OD (2) 设∠ AOC=x,由∠ AOC: ∠ AOD=1:5,得∠ AOD=5x. 因为∠ AOC=∠ AOD=180°, 所以 x+5x=180 °, 所以 x=30°. 所以∠ DOE=∠ BOD=∠AOC=30°. 因为∠ FOD=90°, 所以∠ EOF=90°-30 °=60° 8、 D 9 解: (1)如图所示: (2)如图所示 :
七年级优化设计答案(数学下册)
七年级优化设计答案（数学下册） 5.1相交线 学前温故1、两方无2、180°新课早知1、邻补角2、对顶角3、∠BOD ∠AOC和∠BOD 4、相等5、C 轻松尝试应用 1～3 CAC 4、15°5、∠AOF 和∠BOE 6、解：因为∠AOD与∠BOC是对顶角 所以∠AOD=∠BOC 又因为∠AOD+∠BOC=220°所以∠AOD=110°而∠AOC与∠AOD是邻补角 则∠AOC+∠AOD=180°所以∠AOC=70° 智能演练能力提升 1～3 CCC 4、10°5、对顶角邻补角互为余角 6、135°40°7、90°8、不是9、解：因为OE平分∠AOD, ∠AOE=35°, 所以∠AOD=2∠AOE=70°由∠AOD与∠AOC是邻补角，得∠AOC=180°-∠AOD=110°因此∠COE =∠AOE+∠AOC=35°+110°=145° 10、2 6 12 n(n-1) 4046132 5.1.2垂线学前温故90°新课早知1、垂直垂线垂足2、D BE CD C 3、一条垂线段4、B 5、垂线段的长度6、D 轻松尝试应用1～3 DBD 4、∠1与∠2互余 5、30°6、解：由对顶角相等，可知∠EOF=∠BOC=35°,又因为OG⊥AD, ∠FOG=30°,所以∠DOE=90°-∠FOG-∠EOF=90°-30°-35°=25° 智能演练能力提升1～3 AAB 4、①④ 5、解:如图.
6、 解：因为CD⊥EF, 所以∠COE=∠DOF=90 °因为∠AOE=70°,所以∠AOC=90°-70°=20°, ∠BOD=∠AOC=20°,所以∠BOF=90°-∠BOD=90°-20°=70°因为OG平分∠BOF,所以∠BOG=0.5×70°=35°, 所以∠BOG=35°+20°=55° 7、解（1）因为OD平分∠BOE,OF平分∠AOE, 所以∠DOE=1/2∠BOE, ∠EOF=1/2∠AOE, 因为∠BOE+∠AOE=180°, 所以∠DOE+∠EOF=1/2∠BOE+1/2∠AOE=90°,即∠FOD=90°, 所以OF⊥OD (2)设∠AOC=x,由∠AOC: ∠AOD=1:5,得∠AOD=5x. 因为∠AOC=∠AOD=180°,所以x+5x=180°, 所以x=30°. 所以∠DOE=∠BOD=∠AOC=30°. 因为∠FOD=90°,所以∠EOF=90°-30°=60° 8、D 9解:(1)如图所示:
四年级数学作业优化设计
四年级数学作业优化设计 ---------“小数的加法和减法”单元 红领巾寄宿学校高数备课组数学教学的重要组成部分——数学作业,它对于学生巩固课堂所学知识,形成技能技巧、培养和发展能力,提高学生的素质有着十分重要的作用. 一、指导思想： 第一,作业内容要针对教学目标,明确练什么,练到什么程度,使作业练习围绕教学目标适度开展.针对课本教学上的重点及学生理解上的疑点,使学生通过作业练习,克服学习障碍,得到正确强化来确定作业内容. 第二,作业安排要有层次性,习题由浅如深,由会到熟到巧,循序渐进.每次作业应有适当的质的提高,能引导学生拾级而上,融会贯通. 第三,作业形式多样性.从题形看,可选择计算题、应用题等主观性习题,也可选择填空题、判断题、选择题等客观性习题.从思维方向看,既有一题多问、一题多解等发散性思维的练习,又有多题一问、多题一解等集中性思维的练习.再如,从答题方式看,既有口头练习、书面练习,又有操作练习等等. 第四,把握好作业题的质量与数量.质量以一定的数量为存在条件,没有数量,就很难谈上质量,但没有质量的数量也是没有意义的.因此,既要着力提高作业的质量,又要保证一定的作业时间和作业量. 二、设计理念： 小数的加法和减法这一单元是需要培养学生形成熟练计算技能的内容,作业设计中适当分散练习比过度集中练习效果更好.例如每天进行三,五分钟的口算训练,避免机械重复、盲目多练.笔算练习可训练学生正确计算,并通过验算要求学生自觉检查,判断自己计算的正误.利用填空、判断、比较等多种形式培养学生应用运算定律或运算性质进行简算.在加强口算和估算,科学安排笔算练习的基础上,还可联系实际生活中的应用,选择学生感兴趣的素材作为计算背景,切实提高学生的计算能力,体会生活中处处有数学.通过“你能提出什么数学问题”的作业练习,培养学生从生活中发现并提出问题,充分体现学生是数学学习的主人. 作业不应是单一枯燥的文本,而应是富有色彩、充满情趣的多元的、花样的
第2章工程随机数学基础习题答案解析
第2章 随机变量及其分布 习题 2 1．设有函数 ?? ?≤=其它， , 0,0,sin )(πx x x F 试说明)(x F 能否是某随机变量的分布函数。 解： 不能，易知对21x x <，有： 122121{}{}{}()(),P x X x P X x P X x F x F x <<=<-<=- 又)()(,0}{1221x F x F x X x P ≥≥<<，因此)(x F 在定义域内必为单调递增函数。 然而)(x F 在),0(π上不是单调递增函数，所以不是某随机变量的分布函数。 2．－筐中装有7只蓝球，编号为1，2．3，4，5，6，7.在筐中同时取3只，以X 表示取出的3只当中的最大号码，写出随机变量X 的分布列。 解：X 的可能值为3，4，5，6，7。在7只篮球中任取3个共有3 7C 种取法。 }3{=X 表示取出的3只篮球以3为最大值，其余两个数是1，2，仅有这一种情 况，故351 5673211)3(37=????= ==C X P }4{=X 表示取出的3只篮球以4为最大值，其余两个数可以在1，2，3中任取 两个，共有2 3C 种取法，故 35 3 56732113)4(3723=????===C C X P 。 }5{=X 表示取出的3只篮球以5为最大值，其余两个数可在1，2，3，4中任取 2个，共有2 4C 种取法，故 35 6 5673212134)5(3724= ??????===C C X P ， }6{=X 表示取出的3只篮球以6为最大值，其余两个数可在1，2，3，4，5中 任取2个，共有2 5C 种取法，故 35 10 5673212145)6(3725=??????===C C X P ， }7{=X 表示取出的3只篮球以7为最大值，其余两个数可在1，2，3，4，5，6 中任取2个，共有2 6C 种取法，故 3515 5673212156)7(372 6= ??????===C C X P 。 3. 设X 服从)10(-分布，其分布列为,)1(}{1k k p p k X P --== ,1,0=k 求X 的分布 函数，并作出其图形。
最新2优化设计的数学基础汇总
2优化设计的数学基 础
第二章优化设计的数学基础 优化设计中绝大多数是多变量有约束的非线性规划问题，即是求解多变量非线性函数的极值问题。由此可见，优化设计是建立在多元函数的极值理论基础上的，对于无约束优化问题为数学上的无条件极值问题，而对于约束优化问题则为数学上的条件极值问题。本章主要叙述与此相关的数学基础知识。 第一节函数的方向导数与梯度 一、函数的方向导数 一个二元函数?Skip Record If...?在点?Skip Record If...?处的偏导数，即函数沿坐标轴方向的变化率定义为： 而沿空间任一方向S的变化率即方向导数为：
方向导数与偏导数之间的数量关系为 依此类推可知n维函数?Skip Record If...?在空间一点?Skip Record If...?沿S方向的方向导数为 二、函数的梯度 函数?Skip Record If...?在某点X的方向导数表明函数沿某一方向S的变化率。—般函数在某一确定点沿不同方向的变化率是不同 的。为求得函数在某点X的方向导数为最大的方向，引入梯度的概念。 仍以二元函数?Skip Record If...?为例进行讨论，将函数沿方向S 的方向导数写成如下形式 令： 图2-1 二维空间中的方向图2-2 三维空间中的方向
称为?Skip Record If...?在点X处的梯度?Skip Record If...?，而同时设S为单位向量 于是方向导数可写为： 此式表明，函数?Skip Record If...?沿S方向的方向导数等于向量?Skip Record If...?在S方向上的投影。且当?Skip Record If...?，即向量?Skip Record If...?与S的方向相向时，向量?Skip Record If...?在S 方向上的投影最大，其值为?Skip Record If...?。这表明梯度?Skip Record If...?是函数?Skip Record If...?在点X处方向导数最大的方向，也就是导数变化率最大的方向。 上述梯度的定义和运算可以推广到n维函数中去，即对于n元函数?Skip Record If...?，其梯度定义为 由此可见，梯度是一个向量，梯度方向是函数具有最大变化率的方向。即梯度?Skip Record If...?方向是函数?Skip Record If...?的最速上升方向，而负梯度?Skip Record If...?方向则为函数?Skip Record If...?的最速下降方向。 例2-1求二元函数?Skip Record If...?在?Skip Record If...?点沿?Skip Record If...?和?Skip Record If...?的方向导数。
优化问题的数学模型及基本要素
第1章 优化设计 1 1-1 优化设计 1-1-1 最优化 (, ) 所谓最优化，通俗地说就是在一定条件下，在所有可能的计划、设计、安排中找出最好的一个来。换句话说，也就是在一定的条件下，人们如何以最好的方式来做一件事情。( ) 结论的唯一性是最优化的特点，即公认最好。( ) 最优化的思想体现在自然科学、工程技术及社会活动的各个领域，最优化的方法在这些领域也得到了广泛地应用。(P1) 1-1-2 最优化方法 () 要从所有可能的方案中找出最优的一个，用“试”（）的办法是不可行的，需要采用一定的数学手段。二十世纪五十年代以前，用于解决最优化问题的数学方法仅限于古典的微分和变分( )。数学规划法在五十年代末被首次用于解决最优化问题，并成为现代优化方法的理论基础。线性规划和非线性规划是数学规划的主要内容，它还包括整数规划、动态规划、二次规划等等。( , , , ) 数学规划法与电子计算机的密切结合,改变了最优化方法多有理论研究价值,而少有实际应用的局面,使得解决工程中的优化问题成为可能。因此,我们现在所说的最优化方法，实际上包括了最优化理论和计算机程序二方面的内容。( ) 1-1-3 优化设计 下面以一个简单的问题为例来说明传统设计与优化设计这二个不同的设计过程。 例1-1 设计一个体积为53 的薄板包装箱，其中一边的长度不小于4m 。要求使薄板耗材最少，试确定包装箱的尺寸参数，即长a ，宽b 和高h 。 分析 包装箱的表面积s 与它的长a ，宽b 和高h 尺寸有关。因此，耗板最少的问题可以转化为表面积最小问题，故取表面积s 为设计目标。 传统设计方法: 首先固定包装箱一边的长度如)(4m a =。要满足包装箱体积为3 5m 的设计要求，则有以下多种设计方案: 如果包装箱的长度a 再取)(4m a >的其他值，则包装箱的宽度和高度还会有很多其他结果… 。 最后，从上面众多的可行方案中选择出包装箱表面积最小的方案来，这就是相对最好的设计方案。但由于不可能列出所有可能的设计方案，最终方案就不一定是最优的。 机械产品的传统设计通常需要经过：提出课题、调查分析、技术设计、结构设计、绘图等环节。传统分析通常是在调查分析的基础上，参照同类产品，通过估算、验算、类比或试