考研高数精品笔记
第一章 函数、极限、连续
第1节 函数
a)
反函数和原函数关于y=x 对称。 b)
只有定义域关于原点对称的函数才能讨论奇偶性。 c)
多个奇函数之和为奇函数；多个偶函数之和为偶函数。 d) 2k 个奇函数的乘积是偶函数；2k+1个奇函数的乘积是偶函数；任意个偶函数的乘
积还是偶函数。(k=0,1,2......)。
e) 如果f(x)是周期函数，周期为T ，则f(ax+b)也是周期函数，周期为|T/a|。
f) 基本初等函数包括：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数。初等
函数即上述五大类函数，以及它们有限次的四则运算与复合而成的函数。
g) 一切初等函数在其定义域内都是连续的。
第2节 极限
a) 左右极限存在且相等?极限存在。
b) 如果函数在X 0极限为A ，则可以将函数改写为f(X)=A+ɑ(x)，其中
0=(x)ɑlim 0x x →。（等价无穷小）
c) 极限存在?极限唯一。（极限唯一性）
d) A x =→)(f lim 0x x ，且A>0，则在x 的邻域内，f(x)>0。（保号性）
e) 函数f(x)在点x=x 0存在极限，则存在该点的一个去心邻域U ，在U 内f(x)有界。（有
界性）
f)
当limf(x)=A ，limg(x)=B ，那么 lim(f(x)+g(x))=limf(x)+limg(x)=A+B
lim(f(x)-g(x))=limf(x)-limg(x)=A-B
lim(f(x)*g(x))=limf(x)*limg(x)=A*B lim(f(x)/g(x))=limf(x)/limg(x)=A/B limg(x)不等于0 lim(f(x))^n=(limf(x))^n=A n
lim(f(x)^g(x))=A b
（极限的四则运算）
g) 有限个无穷小之和仍然是无穷小。有限个无穷小之积仍然是无穷小。无穷小和有界
量乘积仍然是无穷小。
h) )
()(lim x g x f =l
i. l=0，f(x)=o(g(x)).
ii. l=∞，f(x)是g(x)低阶.
iii.0 iv. l=1，等价无穷小，记作f(x)~g(x). 特别的，如果k x g x f )] ([)(lim =l(l ≠0)，则称f(x)是g(x)的k 阶无穷小。 i) 等价无穷小代换： x →0时，x ~sinx ~tanx ~arcsinx ~arctanx ~e x -1~ln(1+x) 1-cosx ~21x 2 =》1-cos αx ~2 αx 2 x 1+-1~2 1x =》α)x 1(+-1~αx tanx-x ~3 13x x-sinx ~6 13x 特殊的，x →0时a x -1~xlna j) 只有因子才能进行等价无穷小的代换。 k) 要注重推广形式。例如【x →0时，x ~sinx 】，如果当x →x 0 时，f(x)→0，那么将原式中x 换成f(x)也成立。 l) 求极限的方法： i. 利用函数的连续性（极限值等于函数值）。利用极限的四则运算性质。 ii. 抓头公式（处理多项式比值的极限）。 1. 抓小头公式。（x →0） 2. 抓大头公式。（x →∞）（分子分母同除最高次项）（极限为【最高次项 的系数比】） iii.两个准则： 1. 夹逼准则 2. 单调有界必有极限 iv. 两个重要极限： 1. x sinx lim 0x →=1 （利用单位圆和夹逼准则进行证明） 2. e x x =+∞→)11(lim x e =+→x 10x )x 1(lim （利用单调有界准则进行证明） 口诀：倒倒抄。（结合抓头公式） v. 无穷小的运算性质、等价无穷小的代换 1. 有限个无穷小之和为无穷小。有限个无穷小之积为无穷小。无穷小与有界 量乘积为无穷小。 2. 12种等价无穷小的代换。 vi. 左右极限：求分段函数分段点的极限值。 vii.利用导数的定义求极限。导数定义：增量比，取极限。构造出“增量比”的形 式，则极限就是导数。 viii. 定积分的定义求极限。（处理多项求和的形式） ix. 泰勒公式 1. 泰勒公式中系数表达式： 2. 当=0的时候，泰勒公式则称为麦克劳林公式。 常用的麦克劳林公式： e x sinx cosx ln(x+1) (1+x)m x. 洛必达法则 使用前提：（1）分子分母都趋向于0。（2）分子分母的极限都存在。（3）分子分母导数的比值为一个定值或为无穷。 第一层次 第二层次 0*∞：转换成或 ∞-∞：通分化为（常用换元的方法求解） 第三层次 使用进行转化。 第3节连续与间断 a)连续 某点：极限值=函数值?函数在该点连续 开区间：在该区间中每个点都是连续的，则在开区间连续。 闭区间：开区间连续切在端点连续 b)间断 第一类间断点（左右极限都存在） 可去间断点：左右极限相等 跳跃间断点：左右极限不相等 第二类间断点（左右极限至少有一个不存在） 无穷间断点：因趋于无穷而造成的不存在。 振荡间断点：因振荡而不存在。 c)初等函数的连续性 i.基本初等函数在相应的定义域内连续。 ii.区间I上的连续函数做四则运算形成的新函数在I上仍然是连续函数。 iii.连续函数经过有限次的复合仍为连续函数。 iv.原函数连续且单调，反函数必为连续且单调。 v.一切初等函数在相应定义区间内连续。 d)闭区间连续函数的性质 如果f(x)在[a,b]连续，则： 1.f(x)在[a,b]有界。 2.有最大最小值 3.介值定理 4.零点定理：f(a)*f(b)<0，a、b之间必有零点。 第二章一元函数微分学 第1节导数与微分 1导数 a)导数定义：增量比，取极限。 b)左导数和右导数存在且相等?导数存在 c)函数在某点的导数值即函数在该点的切线的斜率。 d)导数的物理意义：对路程函数中的t求导为瞬时速度.etc e)导数的经济意义：边际成本、边际收益、边际利润。 f)函数的相对变化率（弹性）： g)可导与连续的关系：可导必连续，连续不一定可导。 h)偶函数的导数是奇函数。 2微分 微分定义：自变量沿着切线方向的增量。 3求导法则 a)导数微分表（4组16个）。 b)导数的四则运算。 c)反函数的导数：原函数导数的倒数。 d)复合函数求导法则。 e)参数方程求导： f)隐函数求导：左右两侧同时求导，y当作x的函数处理。 g)对数求导法 i.幂指函数：先将等式两边同时化为ln的真数，再运用隐函数求导法则。 ii.连乘函数：先将等式两边同事化为ln的真数，变成连加，再运用隐函数求导法则。 4高阶导数 a)莱布尼茨公式： b)反函数的二阶导数： c)参数方程的二阶导数： 第2节微分中值定理 1罗尔中值定理 条件：（1）f(x)在[a,b]连续。（2）f(x)在(a,b)可导。（3）f(a)=f(b)。 结论：在a和b之间必有一个值使得f’()=0。 几何意义：在该条件下的函数，必可在在其区间内找到一点使得切线斜率为0。 引申---费马引理