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函数的图像及其变换

函数的图像及变换

一、函数图像的变换对称变换(||)翻折翻折变换|()|翻折

左右平移平移变换上下平移横坐标不变，纵坐标伸缩伸缩变换纵坐标不变，横坐标伸缩y f x y f x ??

?=???=??

???

???????

关于x 轴对称：(,)(,)x y x y →- 关于y 轴对称：(,)(,)x y x y →- 关于原点对称：(,)(,)x y x y →-- 关于y x =对称：(,)(,)x y y x →

关于y x =-对称：(,)(,)x y y x →-- 关于直线x a =对称：(,)(2,)x y a x y →-（轴对称）关于y x b =+对称：(,)(,)x y y b x b →-+ 关于y x b =-+对称：(,)(,)x y b y x b →--+ 关于点(,)P a b 对称：(,)(2,2)x y a x b y →--（点对称）

例1：已知2

()2f x x x =-，且()g x 与()f x 关于点(1,2)对称，求()g x 的解析式.（相关点法）

例2：已知函数()y f x =的图像关于直线1x =-对称，且当(0,)x ∈+∞时，有1

()f x x

，则当 (,2)x ∈-∞-时，()f x 的解析式是（）.

A. 1x -

B. 12x +

C.12x -+

D. 12x

例3：下列函数中，同时满足两个条件“①x R ?∈，

()()01212f x f x ππ++-=；②当6

π-

<时，'

()0f x >”的一个函数是（） A.()sin(2)6

f x x π

B. ()cos(2)3

f x x π

C. ()sin(2)6

f x x π

D. ()cos(2)6

f x x π

①关于形如()y f x =的图像画法：

当0x ≥时，()y f x =；当0x ≤时，()y f x =-

()y f x =为偶函数，关于y 轴对称，即把0x ≥时()y f x =的图像画出，然后0x ≤时的图像与 0x ≥的图像关于y 轴对称即可得到所求图像.

②关于形如()y f x =的图像画法

当()0f x ≥时，()y f x =；当()0f x ≤时，()y f x =-

先画出()y f x =的全部图像，然后把()y f x =的图像x 轴下方全部关于x 轴翻折上去，原x 轴上方的图像保持不变，x 轴下方的图像去掉不要即可得到所求图像.

例3：画出下列函数的图像.

（1）12

log y x = （2）228y x x =--

例4:设函数2()45f x x x =--.

（1）在区间[2,6]-上，画出函数()f x 的图像；

（2）设集合{}

()5A x f x =≥，(,2][0,4][6,)B =-∞-+∞.试判断集合A B 、之间的关系，并给出证明；

（3）当2k >时，求证：在区间[1,5]-上，3y kx k =+的图像位于函数()f x 图像的上方.

①左右平移

把函数()y f x =的全部图像沿x 轴方向向左（0a >）或向右（0a <）平移a 个单位即可得到函数

()y f x a =+的图像

②上下平移

把函数()y f x =的全部图像沿y 轴方向向上（0a >）或向下（0a <）平移a 个单位即可得到函数

()y f x a =+的图像

例4：将函数lg(32)1y x =-+按向量(2,3)a =-平移后得到新的图象解析式为例5:把一个函数的图象按向量(,2)8

a π

平移后得到的图象的解析式为sin(2)24

y x π

-，则

原来函数的解析式 .

Ⅰ.将函数()y f x =的全部图像中的每一点横坐标不变，纵坐标伸长(1)a >或缩短(01)a <<为原来的

a 倍得到函数()(0)y af x a =>的图像.

Ⅱ. 将函数()y f x =的全部图像中的每一点纵坐标不变，横坐标伸长(1)a >或缩短(01)a <<为原来的

倍得到函数()(0)y f ax a =>的图像. 例6：已知函数21

()2

lg(2)-=++x f x x ，把函数()y f x =的图像关于y 轴对称，然后向右平移1个单位，

最后纵坐标保持不变，横坐标变为原来的2倍得到()g x 的图像，求()g x 的解析式.

例7：已知函数2()log (1)f x x =+，将()y f x =的图像向左平移1个单位，再将图像上所有点纵坐标伸长到原来的2倍，得到函数()y g x =的图像. （1）求()y g x =的解析式和定义域；（2）求函数()(1)()F x f x g x =--的最大值.

【练习】

1.为了得到函数3

1x y -=-的图像，只需要把函数2x y =的图像上所有的点（）.

A.向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

B.向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度

C.向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度

D.向左平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度 2.下面四个图形中，与函数22log (1)y

x x =+≥的图像关于y x =对称的是（）.

3.若函数()()y f x x R =∈满足(2)()f x f x +=，且[1,1]x ∈-时，()f x x =，则函数()

y f x =的图像与函数4

log y x =的图像的交点的个数为（）.

A.3

B.4

C.6

D.8

4.将函数b

y a x a

++的图像向右平移2个单位长度后又向下平移2个单位，所得到的函数图像与原图像如果关于直线y x =对称，那么（）.

A. 1,0a b =-≠

B. 1,a b R =-∈

C.1,0a b =≠

D. 0,a b R =∈ 5.已知2

()f x x x =+

，且()g x 与()f x 关于点(1,0)-对称，求()g x 的解析式.

6.画出下列函数的图像.

（1）ln y x = （2）2

6y x x =--

7. 函数()2x

f x =和3

()g x x =的图像的示意图如图所示，设两函数的图像交于点11(,)A x y ，

22(,)B x y ，且12x x <.

（1）请指出示意图中曲线12,C C 分别对应于哪一个函数；

（2）若12[,1],[,1]x a a x b b ∈+∈+，且{},1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12a b ∈，指出,a b 的值，并说明理由；

（3）结合函数图像的示意图，判断(6),(6),(2010),(2010)f g f g 的大小关系.

8.已知函数()f x 和()g x 的图像关于原点对称，且2

()2f x x x =+. （1）求函数()g x 的解析式；（2）解不等式()()1g x f x x ≥--；

（3）若()()()1h x g x f x λ=-+在[1,1]-上是增函数，数λ的取值围.

6. 已知函数()y f x =，把函数()y f x =的图像向左平移1个单位，然后横坐标保持不变，纵坐标变为原来的3倍再向下平移3个单位得到()g x 的图像，求()g x 的解析式.

补充：

请把相应的幂函数图象代号填入表格.

①32x

y=；②2-

y；③2

y=；④1-

y；⑤3

y=；⑥2

y=；⑦3

y=；

⑧21-

y；⑨3

y=.

常规函数图像有：

函数代号①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩图象代号

H I

指数函数：逆时针旋转，底数越来越大 .

对数函数：逆时针旋转,底数越来越小幂函数：逆时针旋转，指数越来越大。

记住口诀

指数函数：逆时针旋转，底数越来越大

对数函数：逆时针旋转,底数越来越小

幂函数：逆时针旋转，指数越来越大。

其它象限图象看函数奇偶性确定。

对称性结论

1.函数)(x f y =图象关于a x =对称??-=+)()(x a f x a f )2()(x a f x f -=? )2()(x a f x f +=-；

2.若函数=y )(x f 定义域为R ，且满足条件)()(x b f x a f -=+，则函数)(x f y =的图象关于直线

a x +=

对称. 3.函数)(x f y =图象关于),(b a 成中心称?b x a f x a f 2)()(=++- b x f x a f 2)()2(=+-?

4.若函数)(x f y =定义域为R ，且满足条件c x b f x a f =-++)()(（c b a ,,为常数），则函数)(x f y =的图象关于点)2

,2(

b a +对称.

函数的图象教学设计教案设计

函数()0,0)sin(>>+=ω?ωA x A y 的图象教学设计教学目标 1．知识与技能（1）结合物理中的简谐振动，了解()0,0)sin(>>+=ω?ωA x A y 的实际意义；（2）用“五点法”作出()0,0)sin(>>+=ω?ωA x A y 的图象, 并借助图形计算器动态演示三角函数图象，研究参数?ω，，A 对函数图象变化的影响，让学生进一步了解三角函数图象各种变换的实质和内在规律．（3）考察参数A 、?、ω对()0,0)sin(>>+=ω?ωA x A y 图象影响的过程中认识到函数x y sin =与()0,0)sin(>>+=ω?ωA x A y 的联系. 2．过程与方法（1）经历x y sin =到()0,0)sin(>>+=ω?ωA x A y 图象变换探究的过程，培养学生的数学发现能力和概括总结能力. （2）让学生经历三角函数图象各种变换的探求和运用，体验各种变换的内在联系，提高学生的推理能力、分析问题和解决问题的能力．（3）在研究各种变换的过程中，让学生体验由简单到复杂、由特殊到一般的化归思想，渗透数形结合的思想． 3．情感、态度、价值观（1）通过三角函数图象各种变换的探求，培养学生的探索能力、钻研精神和科学态度．（2）通过合作学习，探求三角函数图象各种变换，培养学生团结协作的精神. 教学重点与难点教学重点：函数()0,0)sin(>>+=ω?ωA x A y 的图象以及参数?ω,,A 对图象变换的影响.函数x y sin =的图象与函数()0,0)sin(>>+=ω?ωA x A y 的图象之间的变换关系. 教学难点：函数()0,0)sin(>>+=ω?ωA x A y 的图象与函数x y sin =的图象与之间的变

高中数学第10讲函数图像及其变换(教案)新人教版必修1

函数图像与变换教学目标：掌握常见函数图像及其性质（高考要求B ），熟悉常见的函数图像（平移、对称、翻折）变换（高考要求B ）. 教学重难点：掌握常见函数图像及其性质，会用“平移、对称、翻折”等手段进行函数图像变换。教学过程：一.知识要点： 1.常见函数图像及其性质：（1）平移变换： ①y =f (x ) →y ＝f (x ±a )(a >0)图象横向平移a 个单位，（左+右—）. ②y =f (x ) →y ＝f (x )±b (b >0)图象纵向平移b 个单位，(上+下—) ③若将函数)(x f y =的图象右移a 、上移b 个单位，得到函数b a x f y +-=)(的图象； ④若将曲线0),(=y x f 的图象右移a 、上移b 个单位，得到曲线0),(=--b y a x f 的图象. （2）对称变换： ①y =f (x ) →y =f (－x )图象关于 y 轴对称; 若f (－x )=f (x ),则函数自身的图象关于y 轴对称. ②y =f (x ) →y =－f (x )图象关于x 轴对称. ③y =f (x ) →y =－f (－x )图象关于原点对称; 若f (－x )=－f (x ),则函数自身的图象关于原点对称. ④y =f (x ) →y =f －1(x )图象关于直线y =x 对称. ⑤y =f (x ) →y =－f －1(－x )图象关于直线y =－x 对称. ⑥y =f (x ) →y =f (2a －x )图象关于直线x =a 对称； ⑦y =f (x ) →y =2b －f (x )图象关于直线y =b 对称. ⑧y =f (x ) →y =2b －f (2a －x )图象关于点(a ,b ) 对称. 若f (x )=f (2a －x )(或f (a ＋x )=f (a －x ))则函数自身的图象关于直线x =a 对称. 若函数()y f x =的图象关于直线2 a b x +=对称()()f a mx f b mx ?+=- ()()f a b mx f mx ?+-= （3）翻折变换主要有 ①y =f (x ) →y ＝f (|x |)的图象在y 轴右侧(x >0)的部分与y ＝f (x )的图象相同，在y 轴左侧部分与其右侧部分关于y 轴对称. ②y =f (x ) →y ＝|f (x )|的图象在x 轴上方部分与y =f (x )的图象相同，其他部分图象为y ＝f (x )图象下方部分关于x 轴的对称图形. 二.基础练习： 1.若把函数f (x )的图象作平移变换，使图象上的点P (1，0)变换成点Q (2，－1)，则函数y ＝f (x )的图象经此变换后所得图象的函数解析式为 ( A ) A.y ＝f (x －1)－1 B.y ＝f (x ＋1)－1 C.y ＝f (x －1)＋1 D.y ＝f (x ＋1)＋1 2.已知函数y =f (x )的图象如图2—3，则下列函数所对应的图象中，不正确的是( B ) A.y =|f (x )| B.y =f (|x |) C.y =f (－x ) D.y =－f (x ) 解： y =f (|x |)是偶函数，图象关于y 轴对称. 图2—3

高三数学一轮复习第11讲三角函数的图像与性质教案

三角函数的图像与性质

π??

据正弦函数单调性写出函数的值域(如本例以题试法(2))； (3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在给定区间上的值域(最值)问题(如例1(2))．以题试法 1． (1)函数y ＝ 2＋log 1 2 x ＋tan x 的定义域为________． (2)(2012·山西考前适应性训练)函数f (x )＝3sin ? ????2x －π6在区间??????0，π2上的值域为( ) A.??????－32，32 B.??????－32，3 C.??????－332，332 D.???? ??－332，3 解析：(1)要使函数有意义则????? 2＋log 1 2 x ≥0， x >0，tan x ≥0， x ≠k π＋π2 ，k ∈Z ?? ???? 0

三角函数的图象

电教优质课教案《三角函数图象》舞钢市第二高级中学李培林

《三角函数图象》教案舞钢市第二高级中学李培林一、教材分析： 1、地位与作用本节内容是《普通高中课程标准实验教科书〃数学必修4》（人教A 版）第一章第5节内容，是高一年级课程，三角函数的图象既是函数图象知识的延伸，也是物理简谐波和交流电的图象，还是自然界的生命线，广泛应用于医学领域的心电图，脑电图，多普勒，核磁共振等。同时三角函数的图象对于研究三角函数的性质起到了非常重要的作用，是历年来高考的热点和重点。 2、知识与技能掌握由函数sin y x =的图象到函数sin()y A x ω?= +的图象的变换原理，理解振幅变换、周期变换和平移变换，区分先周期后平移，先平移后周期两种变换的联系与区别，灵活应用三种变换解答三角函数的图象问题。二、学情分析对高一的学生来说，已经学习了函数图象的平移、伸缩、对称和翻折四种变换，有一定观察分析、解决问题的能力，但对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度，因此思维灵活性受到制约。根据以上特点，教师恰当引导，提高学生学习自主性和主动性，带领学生直接参与分析问题、解决问题并品尝劳动成果的喜悦。三、设计思想：

本节课采用自主学习的课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，以“三角函数的图象”为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。四、教学目标： A.课堂目标 1、理解三角函数“几何”作图法 2、掌握三角函数“五点”作图法 3、掌握三角函数图像变换原理与方法 4、能用三种变换解答三角函数的图象问题 B.过程与方法让学生从已有的知识出发，通过学生自主探索、合作交流，亲身体验数学规律的发现，由特殊到一般归纳出数学规律，并用规律解决数学问题，让学生掌握数形结合的思想方法。 C.情感态度与价值观培养学生勇于探索、善于发现、不畏艰辛的创新品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的兴趣，培养学生合情合理探索数学规律的数学思想方法，增强学生的协作能力和交流能力，发展学生的创新意识，培养创造性思维的能力。

函数图象的几何变换教案

函数图象的几何变换教案【教学目标】1．让学生熟练掌握各种图象变换，能迅速作出给定的函数图象； 2．让学生了解用数形结合法解决方程、不等式、含参问题的讨论； 3．培养学生主动运用数形结合方法解题的意识．【教学重点】函数图象的几何变换【教学难点】1．各种图象变换之间的区别及灵活应用； 2．运用数形结合方法解题．【例题设置】例1（平移易错点剖析），例2、4（函数作图），例3（找中心），例5（图象法解不等式）【教学过程】第一课时一、复习九种基本函数及圆锥曲线的图象． ⑴ 正比例函数 kx y =，)0,(≠∈k R k ⑵ 反比例函数 k y = ， )0,(≠∈k R k ☆ 其图象是以原点为中心，以直线y x =和y x =-为对称轴的双曲线． ⑶ 一次函数 b kx y +=，)0,(≠∈k R k ⑷ 一元二次函数 )0(2 ≠++=a c bx ax y ⑸ 指数函数 ,0x y a a =>且1≠a （特征线：1=x ） ⑹ 对数函数 0, log >=a x y a 且1≠a （特征线：1=y ） ⑺ 正弦函数 R x x y ∈=,sin ，周期π2=T ⑻ 余弦函数 x y cos =，R x ∈，周期π2=T ⑼ 正切函数 ),2 (,tan Z k k x x y ∈+ ≠=π π 周期π=T ☆一个小结论：在区间)2 , 0(π 上恒有x x x sin tan >>（证明文科留至《三角函数》一节

再给出，理科用导数证明如下）证明：① 记()tan f x x x =-，则2 1 ()10cos f x x '= ->在)2 ,0(π上恒成立，故()f x 在)2 ,0(π上为增函数，所以()(0)0f x f >=，即当(0,)2x π ∈时，恒有tan x x > ② 记()sin g x x x =-，则()1cos 0g x x '=->在)2, 0(π 上恒成立，故()g x 在)2 ,0(π 上为增函数，所以()(0)0g x g >=，即当(0,)2 x π ∈时，恒有sin x x > 综上所述，在区间)2 ,0(π 上恒有x x x sin tan >> ⑽ 椭圆 X 型：12222=+b y a x ； Y 型： 122 22=+b x a y ⑾ 双曲线 X 型：12222=-b y a x ； Y 型： 122 22=-b x a y ⑿ 抛物线 px y 22=)0(>p ；px y 22-= )0(>p ； py x 22=)0(>p ；py x 22-= )0(>p ． ★注意：1．牢记九种基本函数及圆锥曲线图象是进行函数图象变换的基础，也是提高用数形结合方法解题速度的关键． 2．理解各种曲线图象的较为精确的画法，这在用数形结合法解题，涉及两个图象之间关系时，才不至于造成误解．二、图象的初等变换 A 、平移变换 1．要作出函数)(a x f y +=的图象，只需将函数)(x f y =的图象向左)0(>a 或向右 )0(h 或向下 )0(