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专题十一数列求和的常用方法

专题十一数列求和的常用方法
专题十一数列求和的常用方法

专题十一 数列求和的常用方法

一、公式法

①等差数列求和公式;②等比数列求和公式;③常用公式:)1(21

1

+==

∑=n n k S n

k n ,)12)(1(6112++==∑=n n n k S n

k n ,21

3)]1(21

[+==∑=n n k S n

k n

二、.并项求和法:将数列的相邻的两项(或若干项)并成一项(或一组)得到一个新的

且更容易求和的数列.

三、分组求和法:将数列分成可以求和的几组。

四.裂项相消法:将数列的每一项拆(裂开)成两项之差,使得正负项能互相抵消,剩

下首尾若干项. ①

111(1)1n n n n =-++ ②1111

(k)k k n n n n =-++()

③1111[](1)(2)2(1)(1)(2)n n n n n n n =--++++;④n n n n a n -+=++=11

1

五.错位相减法:若}{n a 是等差数列,{n b }是等比数列,则数列{n n b a ?}的求和运用错

位求和方法,这是仿照推导等比数列前n 项和公式的方法.

六.倒序相加法:将一个数列的倒数第k 项(k =1,2,3,…,n )变为顺数第k 项,然后将得到的新数列与原数列相加,这是仿照推导等差数列前n 项和公式的方法. 七、通项转换法:先对通项进行变形,发现其内在特征,再运用分组求和法求和。 【课前热身】

1、数列2, ,21

,,814,413,2121-+n n 的前n 项之和为n n n+112122??+-????

()() 2、设5033171,)1(4321S S S n S n n ++?-++-+-=-则 = 1 ;

3、数列1,(1+2),(1+2+22),…,(1+2+22+…+n-1

2),…的前n 项和等于n+1

2-2-n

4、 已知数列{n a }的通项公式是n n n a n 则前,6

512++=项和为n

3n 3+()

典型例题:

例1、(1)求

89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 2

2

2

2

2++???+++的值

(2)求证:n n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++???+++

解:(1)设S n =

89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++

则S n =22222sin 89sin 88sin 87sin 2sin 1+++???++

∴2S n =89,故S n =

892

(2)设T n =01n-13(21)(21)n

n n n n

C C n C n C ++???+-++, 则T n =n-110

(21)(21)3n n n n n

n C n C C C ++-+???++ ∴2T n =01n-1n (22)n n n n n C C C C ??+++???++??

=n

(22)2n +? ∴n n

n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++???+++

注:本例是运用倒序相加法求和。

例2、132)12(7531--+???++++=n n x n x x x S (n 2n )N +≥∈且 解:当x=0时,1n S =

当x=1时,2135(21)n S n n =+++???+-=;

当01x x ≠≠且时,132)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ∴x n S = 231

35(23)(21)n n x x x n x n x -+++???+-+-

∴(1-x )n S =2

3

1

122222n 1n n x x x x

x -++++???+--()

=n-12x x 12n 1x n x +

--(-1)

()-1 ∴n S =n-12

12x x 2n 11x 1x 1x

n

x -+----(-1)()() 综上:n S =2n-12

1x 0n x 112x x 2n 1x 0x 11x 1x 1x n

x ?

?=??

=??-?+-≠≠?---?

()()

(-1)()(且)() 注:本题运用错位相减法,但要注意分类讨论。

例3 、(1)求数列的前n 项和:231

,,71,41,1112-+???+++-n a

a a n (2)求

1

1111111111个n ???+???+++之和. (3)求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.

(4)求和:;1)2(3)1(21?++-?+-?+?=n n n n S n

解:(1)设S=21111

114732n n a a a -++

++++???++-() =[]21111114732n n a a a

-+++???+++++???+-()()

当a=1时,S=23n 1n 3n n

n 22

-++=() 当a 1≠时,S=n

1-3n 1n a 21-a

-+1()

()1 综上:S=2n 3n n

a 121-3n 1n a a 121-a ?+=??

??-?+≠???()1()()()1

(2)a n =n n 9

1

1119999101109999

n ????=?-=?-

个() ∴n S =12n

11101010n 99?++???+-()=n 1101011n 999-?-()=n+110109n 81

-- (3)a n =3

2

23n n n ++

∴n S =3

3

3

2

2

2

2(12n 3(12n (12n ++???++++???+++???+))+)

=()()()()2

n n 1n n 12n 1n n 12322++++??+??

??

+6=()()2

n n 1n 22++

(4)a k =()()2k n k k +k n -+1=-+1

∴n S =()2

2

2

(12n n+1(12n -++???+++???+)+)=()()()

n n 12n 1n n 12

+++-+6

=

()()

n n 1n 2++6

注:本题先看通项,再运用分组求和,但第(4)小题中的n 注意是常数,易看成变量而出错,故通项可以看成第k 项。 【课堂检测】

1、11+103+1005+……+[10n +(2n -1)]的值为

()n 210101n 9

-+

2、1+2+3+4+5+…+n

2

=

()n

n 2122

+?

3、已知数列?

?????++11

n n 的前n 项之和为10,则项数n 为 120

8、数列{(-1)n-1(4n-3)}的前100项之和为 -200 :

10、数列0.5, 0.55, 0.555, 0.5555,…的前n 项之和为n

551n 198110??

??--?? ???????

【课堂小结】本节课复习总结了数列求和的各种方法,对于数列求和,先看数列的通项,

再确定求和的方法,对于含参数问题,注意分类讨论。 【课后作业】

1、

1)1(1

1411311212

222-+++-+-+-n 的值为()()

31142n 12n 2--++ 2、111112123123+n +

+++++++++ =2n

n+1

3、已知等比数列{a n }前n 项和为S n 且S 5=2, S 10=6,则a 16+a 17+a 18+a 19+a 20等于16

4、在等比数列{a n }中,若有a 3=2S 2+1, a 4=2S 3+1,则该数列的公比q= 3 。

5、数列{a n }:n n n a a a a a a -====++12321,2,3,1,则S 2002= 5

6、142536(3)n S n n =?+?+?++?+ =

()()

n n+1n+53

7、数列1,

111111111,,,,,,,,,223334444…的前100项和等于91314

8、2,log m N m +∈的整数部分用F (m )表示,则(1)(2)(1024)F F F ++???+ 的值是 8204

9、等差数列{a n }中,已知公差d=5,前20项的和S 20=400,则

222

22

2420

13

19()()a a a a a a ++???+-++???+= 2000

10、已知数列{a n }前n 项的和S n =3+n

2,则2

2

2

2

1

23n a a a a ++???+=n 4+71

3

11、给定1log (2)()n n a n n N ++=+∈,定义使123k a a a a ???为整数的k 叫做企盼数,则在区间(1,2008)内的所有企盼数的和为 2026

12、已知等比数列{ a n }n a 2b a 3n n S =?+=1的前项和,。(1)求a ,b 的值及数列{a n }的通项公式;(2)设b n =

n

n

a ,求数列{

b n }.n n T 前项和 解:(1)n-11n 2a a 2n n n S S -≥=-=?时,,∴

n+1

n

a 2a = ∴

2

1

a 2a =,又2a 2a = ∴

2a

23

=得a 3= ∴1a 2a b 3=+=得b -3=

综上:a 3=,b -3=n-1

a 32n =?

(2) b n =

n 1

n n n 1a 32-=?,

01n 2n 11121n 11n 132323232n T ---=?+?+???+?+?

12n T = 12n 1n 1121n 11n 1

32323232

--?+?+???+

?+? ∴12n T =01n 2n 1n 11111n 13222232--???++???++-? ???=n

n

111n 12133212

??

- ?

???-?- ∴n T =n

n n-1

412n 14n+2

13232332?????--?=-?? ????????

13、已知二次函数y=f (x )的图像经过坐标原点,其导函数为f x x '()=6-2,数列

{a n }n n S 的前项和为,点(n ,S n )

n N*)∈(均在函数y=f (x )的图像上。(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设b n =

n n+1

3

a a , n T 是数列{

b n }n 前项和,求使得n T m <20对所

有n N*∈都成立的最小正整数m 。

解:(1)设f (x )=ax 2 +bx(a ≠0),则()f x =2ax +b=6x-2', ∴a 3b 2

=??

=-?,∴f (x )=3x 2 -2x ,即()n S =f n =3n -2n 2

当n n n-1n 2a =S -S =6n-5≥时, ①当n n 1a =1=时,也满足①, ∴n a ==6n-5。 (2)b n =

()()n n+133111a a 6n-56n+126n-56n+1??

==- ???

n T =1111111277136n-56n+1-+-+???+-()=16n 11

26n+1

2+3n

= 在n N +∈单调递增,

∴31,72n T ??∈????

,∴

1

2

≥m 20得10m ≥

(完整版)数列求和常见的7种方法

数列求和的基本方法和技巧 一、总论:数列求和7种方法: 利用等差、等比数列求和公式 错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和 分段求和法(合并法求和) 利用数列通项法求和 二、等差数列求和的方法是逆序相加法,等比数列的求和方法是错位相减法, 三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。 数列是高中代数的重要内容,又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一,除了等差数列和等比数列有求和公式外,大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面,就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式:d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式:?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3)]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-= x ,求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解:由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x

由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 (利用常用公式) =x x x n --1)1(= 2 11)211(21--n =1-n 21 [例2] 设S n =1+2+3+…+n ,n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解:由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n , )2)(1(2 1 ++=n n S n (利用常用公式) ∴ 1)32()(++= n n S n S n f =64 342++n n n = n n 64341+ += 50 )8(12+- n n 50 1≤ ∴ 当 8 8- n ,即n =8时,501)(max =n f 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和,其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和:1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解:由题可知,{1 )12(--n x n }的通项是等差数列{2n -1}的通项与等比数列{1 -n x }的通项之积 设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② (设制错位) ①-②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- (错位相减) 再利用等比数列的求和公式得:n n n x n x x x S x )12(1121)1(1 ----? +=-- ∴ 2 1)1() 1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 解:由题可知,{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 2 1 }的通项之积

数列求和的常用方法

数列求和的常用方法 永德二中 王冬梅 数列是高中数学的重要内容,又是学习高等数学的基础。在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位。数列求和是数列的重要内容之一,除了等差数列和等比数列有求和公式外,大部分数列的求和都需要一定的技巧。 下面,简单介绍下数列求和的基本方法和技巧。 第一类:公式法 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。 1、等差数列的前n 项和公式 2 )1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+= 2、等比数列的前n 项和公式 ?? ???≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 3、常用几个数列的求和公式 (1)、)1(213211 += +?+++==∑=n n n k S n k n (2)、)12)(1(6132122221 2++= +?+++==∑=n n n n k S n k n (3)、233331 3)]1(21[321+=+?+++==∑=n n n k S n k n 第二类:乘公比错项相减(等差?等比) 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列}{n n b a ?的前n 项和,其中}{n a ,}{n b 分别是等差数列和等比数列。 例1:求数列}{1-n nq (q 为常数)的前n 项和。 解:Ⅰ、若q =0, 则n S =0 Ⅱ、若q =1,则)1(2 1321+= +?+++=n n n S n Ⅲ、若q ≠0且q ≠1, 则12321-+?+++=n n nq q q S ① n n nq q q q qS +?+++=3232 ② ①式—②式:n n n nq q q q q S q -+?++++=--1321)1(

2019年高考数学高频考点专题43数列数列的求和4分组求和倒序相加法 文数(含解析)

专题43 数列 数列的求和4 ( 分组求和、倒序相加法) 【考点讲解】 一、具本目标:1.掌握等差、等比数列的求和方法; 2. 掌握等非差、等比数列求和的几种常见方法. 考纲解读:会用公式法、倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组转化法求解不同类型数列的和,非等差、等比数列的求和是高考的热点,特别是错位相减法和裂项相消法求和. 二、知识概述: 求数列前n 项和的基本方法 (1)直接用等差、等比数列的求和公式求和; 等差:; 等比: 公比是字母时需要讨论. (理)无穷递缩等比数列时,q a S -= 11 (2)掌握一些常见的数列的前n 项和公式: ; ; ; ; (3)倒序相加法求和:如果一个数列 {}n a ,与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数, 那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法. (4)错位相减法求和:如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的,那么

这个数列的前n 项和即可用此法来求.q 倍错位相减法:若数列{}n c 的通项公式n n n c a b =?,其中{}n a 、 {}n b 中一个是等差数列,另一个是等比数列,求和时一般可在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比,然后再将所得新和式与原和式相减,转化为同倍数的等比数列求和.这种方法叫q 倍错位相减法. 温馨提示:1.两个特殊数列等差与等比的乘积或商的组合. 2.关注相减的项数及没有参与相减的项的保留. (5)分组求和:有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,把数列的每一项分成若干项,使其转化为等差或等比数列,先分别求和,再合并.通项公式为a n = 的数列,其中数列{b n },{c n }是等比数列或等差数列,可采用分组求和法求和. 形如: n n b a +其中, (6)并项求和法 一个数列的前n 项和中,可两两结合求解,则称之为并项求和.形如类 型,可采用两项合并求解. 合并求和:如求 的和. (7)裂项相消法求和:把数列的通项拆成两项之差,正负相消剩下首尾若干项. 常见拆项: ; . 【真题分析】

数列求和7种方法(方法全,例子多)

数列求和的基本方法和技巧(配以相应的练习) 一、总论:数列求和7种方法: 利用等差、等比数列求和公式 错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和 分段求和法(合并法求和) 利用数列通项法求和 二、等差数列求和的方法是逆序相加法,等比数列的求和方法是错位相减法, 三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。 数列是高中代数的重要内容,又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一,除了等差数列和等比数列有求和公式外,大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面,就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式:d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+=

2、等比数列求和公式:??? ??≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3 )]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1 log 23-= x ,求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解:由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 (利用常用公式) =x x x n --1)1(=2 11) 21 1(2 1--n =1-n 21 [例2] 设S n =1+2+3+…+n ,n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解:由等差数列求和公式得 )1(21+= n n S n , )2)(1(2 1 ++=n n S n (利用常用公式) ∴ 1)32()(++= n n S n S n f =64 342++n n n

求数列通项公式和前n项和的常用方法(含高考题精选)

求数列通项公式和前n 项和的常用方法 一、求数列通项公式的常用方法 1.公式法:等差数列或等比数列的通项公式。 2.归纳法:由数列前几项猜测出数列的通项公式,再用数学归纳法证明其正确性。 3.累乘法:利用3 21 121 (0,2)n n n n a a a a a a n a a a -=???≠≥型如: 1()n n a g n a += 4.构造新数列: 类型1累加法 )(1n f a a n n +=+ 类型2 累乘法 n n a n f a )(1=+ 类型3 q pa a n n +=+1(其中p ,q 均为常数,)0)1((≠-p pq )。解法(待定系数法):把原递 推公式转化为:)(1t a p t a n n -=-+,其中p q t -=1,转化为等比数列求解。 类型4 n n n q pa a +=+1(其中p ,q 均为常数,)0)1)(1((≠--q p pq ) 。 (或1n n n a pa rq +=+,其中p ,q, r 均为常数) 解法:先在原递推公式两边同除以1 +n q ,得:q q a q p q a n n n n 111+?=++引入辅助数列{}n b (其中n n n q a b =),得:q b q p b n n 1 1+=+再待定系数法解决。 类型5 递推公式为n S 与n a 的关系式。(或()n n S f a =) 解法:1.利用?? ?≥???????-=????????????????=-) 2() 1(11n S S n S a n n n 2.升降标相减法 二、数列求和的常用方法 1.直接或转化等差、等比数列的求和公式求和 (1)等差数列求和公式:d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= (2)等比数列求和公式:?????≠--=--==) 1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 2.错位相减法 设数列{}n a 的等比数列,数列{}n b 是等差数列,则求数列{}n n b a 的前n 项和n S 。 3.裂项求和法 (1)1 1 1)1(1+- =+=n n n n a n (2))121121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n 等。4.分组求和法:对一类既不是等差数列,也不是等比数列的数列,若将这类数列适当拆开,可分为 几个等差、等比或常见的数列,然后分别求和,再将其合并。 5.逆序相加法 把数列正着写和倒着写再相加(即等差数列求和公式的推导过程的推广)

数列求和常见的7种方法

数列求与得基本方法与技巧 一、总论:数列求与7种方法: 利用等差、等比数列求与公式 错位相减法求与 反序相加法求与 分组相加法求与 裂项消去法求与 分段求与法(合并法求与) 利用数列通项法求与 二、等差数列求与得方法就是逆序相加法,等比数列得求与方法就是错位相减法, 三、逆序相加法、错位相减法就是数列求与得二个基本方法。 数列就是高中代数得重要内容,又就是学习高等数学得基础。在高考与各种数学竞赛中都占有重要得地位、数列求与就是数列得重要内容之一,除了等差数列与等比数列有求与公式外,大部分数列得求与都需 要一定得技巧、下面,就几个历届高考数学与数学竞赛试题来谈谈数列求与得基本方法与技巧、 一、利用常用求与公式求与 利用下列常用求与公式求与就是数列求与得最基本最重要得方法。 1、等差数列求与公式: 2、等比数列求与公式: 3、4、 5、 [例1]已知,求得前n项与。 解:由 由等比数列求与公式得(利用常用公式) ===1- [例2]设S n=1+2+3+…+n,n∈N*,求得最大值、 解:由等差数列求与公式得, (利用常用公式) ∴= == ∴当,即n=8时, 二、错位相减法求与 这种方法就是在推导等比数列得前n项与公式时所用得方法,这种方法主要用于求数列{an·bn} 得前n项与,其中{a n}、{bn}分别就是等差数列与等比数列。 [例3]求与:………………………① 解:由题可知,{}得通项就是等差数列{2n—1}得通项与等比数列{}得通项之积 设………………………。②(设制错位)

①-②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- (错位相减) 再利用等比数列得求与公式得: ∴ [例4] 求数列前n 项得与、 解:由题可知,{}得通项就是等差数列{2n}得通项与等比数列{}得通项之积 设…………………………………① ………………………………② (设制错位) ①—②得 (错位相减) ∴ 三、反序相加法求与 这就是推导等差数列得前n项与公式时所用得方法,就就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以得到n 个。 [例5] 求证: 证明: 设…………………………、。 ① 把①式右边倒转过来得 (反序) 又由可得 ………….。……、. ② ①+②得 (反序相加) ∴ [例6] 求得值 解:设…………、 ① 将①式右边反序得 ………….。② (反序) 又因为 ① +②得 (反序相加) )89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++???++++=S =89 ∴ S=44、5 题1 已知函数 (1)证明:; (2)求得值。 解:(1)先利用指数得相关性质对函数化简,后证明左边=右边 (2)利用第(1)小题已经证明得结论可知, 两式相加得: 所以、 练习、求值:

数列求和的常用方法

数列求和的常用方法 主要方法: 1.求数列的和关键是看数列的通项公式形式注意方法的选取: 2.求和过程中注意分类讨论思想的运用;转化思想的运用; 一、公式法 二、分组求和法:把数列的每一项分成若干项,使其转化为等差或等比数列,再求和。 1、求和:①321ΛΛ个 n n S 111111111++++= ②22222)1 ()1()1(n n n x x x x x x S ++++++ =Λ ③求数列1,3+4,5+6+7,7+8+9+10,…前n 项和n S 2 、 求 数 列 的 前 n 项 和 : 231 ,,71,41, 1112-+???+++-n a a a n ,… 三、 合并求和法: 1、求22222212979899100-++-+-Λ的和。 2、1-2+3-4+5-6+7-8+9-……….+ n 1-1 n +)( 3(2014山东19文) 在等差数列{}n a 中,已知2d =,2a 是1a 与4a 等比中项. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)设()12 ,n n n b a += 记()1231n n n T b b b b =-+-++-L ,求n T . 4.( 2014山东19理) 已知等差数列}{n a 的公差为2,前n 项和为n S ,且1S ,2S ,4S 成等比数列。 (I )求数列}{n a 的通项公式; (II )令n b =,4) 1(1 1 +--n n n a a n 求数列}{n b 的前n 项和n T 。 5、(2011山东理数20)等比数列{}n a 中,123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且123,,a a a (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)若数列{}n b 满足:()1ln n n n n b a a =+-,求数列{}n b 的前n 项和n S . 6、(2011山东文数20)等比数列{}n a 中,123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且123,,a a a (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)若数列{}n b 满足:(1)ln n n n n b a a =+-, 求数列{}n b 的前2n 项和2n S . 四、 错位相减法:.×. 1、已知数列)0()12(,,5,3,11 2 ≠--a a n a a n Λ,求前 n 项和。 2、 132)12(7531--+???++++=n n x n x x x S 3、求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和 4、{2}.n n n ?求数列前项和 5、设{}n a 是等差数列,{}n b 是各项都为正数的等比数列,且111a b ==,3521a b +=,5313a b +=

数列求和高考专题

数列求和高考专题 1.【2017天津,理18】已知{}n a 为等差数列,前n 项和为()n S n *∈N ,{}n b 是首项为2的等比数列,且公比大于0,2312b b +=,3412b a a =-,11411S b =. (Ⅰ)求{}n a 和{}n b 的通项公式; (Ⅱ)求数列221{}n n a b -的前n 项和()n *∈N . 【答案】 (1)32n a n =-.2n n b =.(2)1328 433 n n n T +-=?+. 【解析】 (II )解:设数列221{}n n a b -的前n 项和为n T , 由262n a n =-, 12124n n b --=?,有()221314n n n a b n -=-?, 故()23 245484314n n T n =?+?+?+ +-?, ()()23414245484344314n n n T n n +=?+?+?+ +-?+-?, 上述两式相减,得()2 3 1324343434314n n n T n +-=?+?+?+ +?--?

( )()()1 112144314 14 3248.n n n n n ++?-= ---?-=--?- 得1328 433 n n n T +-= ?+. 所以,数列221{}n n a b -的前n 项和为 1328 433 n n +-?+. 2.【2017江苏,19】 对于给定的正整数k ,若数列{}n a 满足1111n k n k n n n k n k a a a a a a --+-++-++++++ ++ 2n ka =对任意正整数()n n k >总成立,则称数列{}n a 是“()P k 数列”. (1)证明:等差数列{}n a 是“(3)P 数列”; (2)若数列{}n a 既是“(2)P 数列”,又是“(3)P 数列”,证明:{}n a 是等差数列. 【答案】(1)见解析(2)见解析 (2)数列{}n a 既是“()2P 数列”,又是“()3P 数列”,因此, 当3n ≥时, 21124n n n n n a a a a a --+++++=,① 当4n ≥时, 3211236n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=.② 由①知, 3214n n n a a a ---+=- ()1n n a a ++,③ 2314n n n a a a ++++=- ()1n n a a -+,④ 将③④代入②,得112n n n a a a -++=,其中4n ≥, 所以345,,, a a a 是等差数列,设其公差为'd .

高中数列求和方法大全

1.直接法:即直接用等差、等比数列的求和公式求和。 (1)等差数列的求和公式:d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= (2)等比数列的求和公式?????≠--==) 1(1)1()1(11q q q a q na S n n (切记:公比含字母时一定要讨论) 3.错位相减法:比如{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++Λ 4.裂项相消法:把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。 常见拆项公式: 111)1(1+-=+n n n n ; 1111()(2)22 n n n n =-++ )1 21 121(21)12)(12(1+--=+-n n n n !)!1(!n n n n -+=? 5.分组求和法:把数列的每一项分成若干项,使其转化为等差或等比数列,再求和。 6.合并求和法:如求22222212979899100-++-+-Λ的和。 7.倒序相加法: 8.其它求和法:如归纳猜想法,奇偶法等 (二)主要方法: 1.求数列的和注意方法的选取:关键是看数列的通项公式; 2.求和过程中注意分类讨论思想的运用; 3.转化思想的运用; (三)例题分析: 例1.求和:①321ΛΛ个 n n S 111111111++++= ②22222)1 ()1()1(n n n x x x x x x S ++++++ =Λ ③求数列1,3+4,5+6+7,7+8+9+10,…前n 项和n S 思路分析:通过分组,直接用公式求和。 解:①)110(9 110101011112 -= ++++==k k k k a Λ321Λ个 ] )101010[(9 1 )]110()110()110[(9122n S n n n -+++=-++-+-=ΛΛ81 10910]9)110(10[911--=--=+n n n n ②)21()21()21(224422+++++++++ =n n n x x x x x x S Λ

高三数学总复习综合专题数列求和(学生版)

数列求和 概述:先分析数列通项的结构特征,再利用数列通项揭示的规律来求数列的前n 项和,即求和抓通项。 1、直接(或转化)由等差数列、等比数列的求和公式求和 思路:利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。 ①等差数列求和公式:d n n na a a n S n n 2)1(2)(11-+=+=; ②等比数列求和公式:?????≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n ; ③)1(211+==∑=n n k S n k n ; ④)12)(1(6112++==∑=n n n k S n k n ; ⑤21 3)]1(21[+==∑=n n k S n k n 。 2、逆序相加法 思路:把数列正着写和倒着写再相加。(即等差数列求和公式的推导过程的推广) 例1:设函数2 22)(+=x x x f 的图象上有两点),(),,(211121y x P y x P ,若)(2121OP OP OP +=,且点P 的横坐标为2 1。 (1)求证:P 点的纵坐标为定值,并求出这个定值; (2)若; 求,),()3()2()1(*n n S N n n n f n f n f n f S ∈+?+++= 3、错位相减法

思路:设数列{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列,则求{}n n b a 的前n 项和n S 可用错位相减法。 例2:在数列{}n a 中,1112(2)2()n n n n a a a n λλλ+*+==++-∈N ,,其中0λ>。 (1)求数列{}n a 的通项公式; (2)求数列{}n a 的前n 项和n S 。 4、裂项相消法 思路:这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的。一般地,数列{}n a 为等差数列,且公差不为 0,首项也不为0,∑∑∑=++==+-?=-=n i i i i i n i n i i i a a d a a d a a 111111)11(1)11(11。 常见的通项分解(裂项)如下: ①)11(1)(1k n n k k n n a n +-?=+=,(当1≠k 时,通项裂项后求和是隔项相消的,注意观察剩余项) 1 11)1(1+-=+=n n n n a n ;(通项裂项后求和是逐项相消的,剩余的是所裂项的首项和末项) ②)1 21121(211)12)(12()2(2+--+=+-=n n n n n a n ; ③]) 2)(1(1)1(1[21)2)(1(1++-+=++=n n n n n n n a n 等。 例3:求数列 ???++???++,11 ,,321 ,211 n n 的前n 项和。 补充练习:已知二次函数()y f x =的图象经过坐标原点,其导函数为26)('-=x x f ,数列{}n a 的前n 项

高中数列求和公式

数列求和的基本方法和技巧 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式:d n n na a a n S n n 2 )1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式:?????≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(21 1 +==∑=n n k S n k n 自然数列 4、 )12)(1(611 2++==∑=n n n k S n k n 自然数平方组成的数列 [例1] 已知3log 1log 23-= x ,求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解:由2 12log log 3log 1log 3323=?-=?-=x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 (利用常用公式) =x x x n --1)1(=2 11)211(21--n =1-n 21 [例2] 设S n =1+2+3+…+n ,n ∈N *,求1 )32()(++=n n S n S n f 的最大值. 解:由等差数列求和公式得 )1(21+= n n S n , )2)(1(21++=n n S n (利用常用公式) ∴ 1)32()(++=n n S n S n f =64 342++n n n =n n 64 341 ++=50)8 (12+-n n 50 1≤ ∴ 当 8 8-n ,即n =8时,501)(max =n f 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和,其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.错位相减法:如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成,那么常选用错位相减法(这也是等比数列前n 和公式的推导方法).

数列求和的8种常用方法(最全)

求数列前n 项和的8种常用方法 一.公式法(定义法): 1.等差数列求和公式: 11()(1)22 n n n a a n n S na d ++==+ 特别地,当前n 项的个数为奇数时,211(21)k k S k a ++=+?,即前n 项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算; 2.等比数列求和公式: (1)1q =,1n S na =; (2)1q ≠,( )111n n a q S q -= -,特别要注意对公比的讨论; 3.可转化为等差、等比数列的数列; 4.常用公式: (1)1 n k k ==∑1 2 123(1)n n n ++++=+L ; (2)21n k k ==∑222211 63 1123(1)(21)()(1)2 n n n n n n n ++++=++==++L ; (3)31n k k ==∑33332(1)2 123[ ]n n n +++++=L ; (4)1 (21)n k k =-=∑2135(21)n n ++++-=L . 例1 已知3log 1 log 23-= x ,求23n x x x x ++++ 的前n 项和. 解:由21 2log log 3log 1log 3323=?-=?-=x x x 由等比数列求和公式得 23n n S x x x x =++++L =x x x n --1)1(=2 11)211(2 1--n =1-n 2 1 例2 设123n S n =++++ ,*n N ∈,求1 )32()(++=n n S n S n f 的最大值. 解:易知 )1(21+=n n S n , )2)(1(2 1 1++=+n n S n ∴ 1)32()(++=n n S n S n f =64 342++n n n =n n 64341++=50 )8(1 2+-n n 50 1≤ ∴ 当 8 8 -n ,即8n =时,501)(max =n f . 二.倒序相加法:如果一个数列{}n a ,与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数,那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法。如:等差数列的前n 项和即是用此法推导的,就是

高三数学一轮复习 数列求和巩固与练习

高三数学一轮复习 数列求和巩固与练习 A .64 B .100 C .110 D .120 解析:选B.设等差数列公差为d ,则由已知得 ? ???? a 1+a 1+d =4a 1+6d +a 1+7d =28, 即????? 2a 1+d =42a 1+13d =28 , 解得a 1=1,d =2, ∴S 10=10a 1+10×92d =10×1+10×9 2 ×2=100. 2.等差数列{a n }的通项公式为a n =2n +1,其前n 项的和为S n ,则数列{S n n }的前10项的和为( ) A .120 B .70 C .75 D .100 解析:选C.S n =n (a 1+a n )2=n (n +2),∴S n n =n +2. 故S 11+S 22+…+S 10 10 =75. 3.(原创题)设函数f (x )=x m +ax 的导函数f ′(x )=2x +1,则数列{ 1f (n ) }(n ∈N * )的前n 项和是( ) A.n n +1 B.n +2n +1 C.n n -1 D.n +1n 解析:选A.f ′(x )=mx m -1 +a =2x +1,∴a =1,m =2,∴f (x )=x (x +1), 1f (n )= 1 n (n +1) =1n -1n +1,用裂项相消法求和得S n =n n +1 .故选A. 4.若S n =1-2+3-4+…+(-1)n -1 ·n ,S 17+S 33+S 50等于________. 解析:由题意知S n =????? n +12(n 为奇数), -n 2(n 为偶数). ∴S 17=9,S 33=17,S 50=-25, ∴S 17+S 33+S 50=1. 答案:1 5.若数列{a n }是正项数列,且a 1+a 2+…+a n =n 2 +3n (n ∈N * ),则a 12+a 23+…+ a n n +1 =________. 解析:令n =1得a 1=4,即a 1=16,当n ≥2时,a n =(n 2+3n )-[(n -1)2 +3(n -1)]=2n +2,所以a n =4(n +1)2 ,当n =1时,也适合,所以a n =4(n +1)2 (n ∈N * ).于是 a n n +1 =

数列求和方法及巩固

数列求和的方法 1、公式法: 如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列,我们可以运用等差、等比数列的前n 项和的公式来求. ①等差数列求和公式:()() 11122 n n n a a n n S na d +-= =+ ②等比数列求和公式:()()()11111111n n n na q S a q a a q q q q ?=? =-?-=≠? --? 常见的数列的前n 项和:123+++……+n=(1)2 n n +, 1+3+5+……+(2n-1)=2 n 2222123+++……+n =(1)(21)6n n n ++,3333 123+++……+n =2 (1)2n n +?????? 等. 2、倒序相加法: 类似于等差数列的前n 项和的公式的推导方法。如果一个数列{}n a ,与首末两项等距的两项之和等于首末两项之和,可采用正序写和与倒序写和的两个和式相加,就得到一个常数列的和。这一种求和的方法称为倒序相加法. 例1、 已知函数( )x f x = (1)证明:()()11f x f x +-=; (2)求128910101010f f f f ?? ?????? + +++ ? ? ? ??? ?? ?? ?? 的值. 解:(1)先利用指数的相关性质对函数化简,后证明左边=右边 (2)利用第(1)小题已经证明的结论可知, 1928551101010101010f f f f f f ????????????+=+==+ = ? ? ? ? ? ??? ???? ?? ???? 128910101010S f f f f ?? ?? ????=+ +++ ? ? ? ?????????令 982110101010S f f f f ?? ??????=+ +++ ? ? ? ??? ?? ?? ?? 则 两式相加得: 192991010S f f ? ? ????=?+= ? ? ??????? 所以92S =.

数列求和的常用方法(三课时)

数列求和的常用方法(三课时) 数列求和是数列的重要内容之一,也是高考数学的重点考查对象。数列求和的基本思路是,抓通项,找规律,套方法。下面介绍数列求和的几种常用方法: 一、直接(或转化)由等差、等比数列的求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式:d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式:?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211 +==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(6112 ++==∑=n n n k S n k n 5、 2 1 3)]1(21[+==∑=n n k S n k n 例1(07高考山东文18)设{}n a 是公比大于1的等比数列,n S 为数列{}n a 的前n 项和.已知37S =,且123334a a a ++,,构成等差数列. (1)求数列{}n a 的等差数列. (2)令31ln 12n n b a n +== ,,,, 求数列{}n b 的前n 项和T . 解:(1)由已知得12313 27:(3)(4)3.2 a a a a a a ++=?? ?+++=??, 解得22a =. 设数列{}n a 的公比为q ,由22a =,可得132 2a a q q ==,. 又37S =,可知2 227q q ++=,即22520q q -+=, 解得121 22 q q ==,.由题意得12q q >∴=,. 11a ∴=.故数列{}n a 的通项为12n n a -=. (2)由于31ln 12n n b a n +== ,,,, 由(1)得3312n n a += 3ln 23ln 2n n b n ∴==, 又13ln 2n n n b b +-= {}n b ∴是等差数列. 12n n T b b b ∴=+++ 1()2 (3ln 23ln 2) 23(1)ln 2. 2 n n b b n n n += += += 故3(1) ln 22 n n n T += .

数列求和7种方法(方法全_例子多)

一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式:d n n na a a n S n n 2 )1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式:?????≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S n k n [ [∴当8 -n ,即n =8时,50)(max =n f 题1.等比数列的前n项和S n=2n-1,则= 题2.若12+22+…+(n -1)2=an 3+bn 2+cn ,则a =,b =,c = . 解:原式=答案:

二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和,其中{a n }、{b n }分别是等差数列和等比数列. [例3]求和:132)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解:由题可知,{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n -1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积 设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=……………………….②(设制错位) n n 1432-∴[例4]2 练习题1已知,求数列{答案: 练习题2的前n 项和为____ 答案: 三、反序相加法求和 这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以得到n 个)(1n a a +. [例5]求证:n n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++???+++

数列求和常用方法(经典讲解)

求数列前n 项和常用方法(经典讲解) 一.公式法(定义法): 1.等差数列求和公式: 11()(1)22 n n n a a n n S na d ++==+ 特别地,当前n 项的个数为奇数时,211(21)k k S k a ++=+?,即前n 项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算; 2.等比数列求和公式: (1)1q =,1n S na =; (2)1q ≠,( )111n n a q S q -= -,特别要注意对公比的讨论; 3.可转化为等差、等比数列的数列; 4.常用公式: (1)1n k k ==∑1 2 123(1)n n n ++++=+L ; (2)21n k k ==∑222211 63 1123(1)(21)()(1)2 n n n n n n n ++++=++==++L ; (3)31n k k ==∑33332(1)2 123[ ]n n n +++++=L ; (4)1(21)n k k =-=∑2135(21)n n ++++-=L . 例1 已知3log 1 log 23-= x ,求23n x x x x ++++的前n 项和. 解:由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 23n n S x x x x =++++L =x x x n --1)1(=2 11) 21 1(2 1--n =1-n 2 1 例2 设123n S n =++++,*n N ∈,求1 )32()(++=n n S n S n f 的最大值. 解:易知 )1(21+=n n S n , )2)(1(2 1 1++=+n n S n ∴ 1)32()(++=n n S n S n f =64 342++n n n =n n 64341++=50)8(12+-n n 50 1 ≤ ∴ 当 8 8-n ,即8n =时,501 )(max =n f . 二.倒序相加法:如果一个数列{}n a ,与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数,那 么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法。如:等差数列的前n 项和即是用此法推导的,就是

高考数学专题复习数列求和

第4讲数列求和 一、选择题 1.设数列{(-1)n}的前n项和为S n,则对任意正整数n,S n=( ) A.n[1n-1] 2 B. 1n-1+1 2 C.1n+1 2 D. 1n-1 2 解析∵数列{(-1)n}是首项与公比均为-1的等比数列, ∴S n=11n1 11 = 1n-1 2 . 答案 D 2.已知数列{a n}的前n项和S n=n2-4n+2,则|a1|+|a2|+…+|a10|=( ) A.66 B.65 C.61 D.56 解析当n=1时,a1=S1=-1,当n≥2时,a n=S n-S n-1=n2-4n+2-[(n -1)2-4(n -1)+2]=2n-5.∴a2=-1,a3=1,a4=3,…,a10=15,∴|a1| +|a2|+…+|a10|=1+1+81+15 2 =2+64=66. 答案 A 3.在数列{a n}中,a n= 1 n n +1 ,若{a n}的前n项和为 2 013 2 014 ,则项数n为( ). A.2 011 B.2 012 C.2 013 D.2 014 解析∵a n=1 n n +1= 1 n - 1 n+1 ,∴S n=1- 1 n+1 = n n+1 = 2 013 2 014 ,解得n=2 013. 答案 C 4.数列{a n}满足a n+1+(-1)n a n=2n-1,则{a n}的前60项和为( ).A.3 690 B.3 660 C.1 845 D.1 830 解析当n=2k时,a2k+1+a2k=4k-1, 当n=2k-1时,a2k-a2k-1=4k-3,

∴a 2k +1+a 2k -1=2,∴a 2k +1+a 2k +3=2, ∴a 2k -1=a 2k +3,∴a 1=a 5=…=a 61. ∴a 1+a 2+a 3+…+a 60=(a 2+a 3)+(a 4+a 5)+…+(a 60+a 61)=3+7+11+…+(4×30-1)=30 3+119 2 =30×61=1 830. 答案 D 5.若把能表示为两个连续偶数的平方差的正整数称为“和平数”,则 1~100 这100个数中,能称为“和平数”的所有数的和是( ) A .130 B .325 C .676 D .1 300 解析 设两个连续偶数为2k +2和2k (k ∈N +),则(2k +2)2-(2k )2=4(2k +1),故和平数 是4的倍数,但不是8的倍数,故在1~100之间,能称为和平数的有4×1,4×3,4×5,4×7,…,4×25,共计13个,其和为4×1+252 ×13=676. 答案 C 6.数列{a n }满足a n +a n +1=1 2(n ∈N *),且a 1=1,S n 是数列{a n }的前n 项和,则S 21 = ( ). A.21 2 B .6 C .10 D .11 解析 依题意得a n +a n +1=a n +1+a n +2=1 2,则a n +2=a n ,即数列{a n }中的奇数项、 偶数项分别相等,则a 21=a 1=1,S 21=(a 1+a 2)+(a 3+a 4)+…+(a 19+a 20)+a 21=10(a 1+a 2)+a 21=10×1 2+1=6,故选B. 答案 B 二、填空题 7.在等比数列{a n }中,若a 1=1 2,a 4=-4,则公比q =________;|a 1|+|a 2|+… +|a n |=________. 解析 设等比数列{a n }的公比为q ,则a 4=a 1q 3,代入数据解得q 3=-8,所以

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