三角函数最值或值域的求法
三角函数最值或值域的
求法
-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
三角函数最值或值域的求法
三角函数的最值问题是本章的一个重要内容,要求掌握求三角函数最值的常见方法。
类型一：利用1cos 1sin ,≤≤x x 这一有界性求最值。
例1：求函数x
x y sin 21
sin --=的值域。
解：由x
x y sin 21
sin --=
变形为(1)sin 21y x y +=+，知1y ≠-，则有21sin 1y x y +=+，由
21|sin |||11y x y +=≤+22221||1(21)(1)1y y y y +?≤?+≤++2
03
y ?-≤≤，则此函
数的值域是2
[,0]3
y ∈-
类型二：x b x a y cos sin +=型。此类型通常可以可化为sin cos )y a x b x x ?=++求
其最值（或值域）。
例2：求函数)3
sin()6sin(π
π++-=x x y （R x ∈）的最值。
解法1：)12
sin(2]4)6sin[(2)6cos()6sin(π
ππππ+=+-=-+-=x x x x y ，∴函数的最
大值为2，最小值为2-。
分析2：运用公式sin (α±β) = sin αcos β ± cos αsin β
解法2：x x y cos 2
1
3sin 213-++= ∴函数的最大值为2，最小值为2-。 分析3：观察发现角)3(π+x 与角)6(π-x 的差恰好为2π，故将)6(π
-x 看成基本量，将
函数化归为同一角)6
(π
-x 的函数式。
解法3： （运用和差化积公式 ）
)4cos()12sin(2ππ-+=x y )12
sin(2π
+=x ∴函数的最大值为2，最小值为2-。
类型三：)0(sin sin 2≠++=a c x b x a y 型。此类型可化为)0(2≠++=a c bt at y 在区间
]1,1[-上的最值问题。
例3：求函数1sin 3cos 2++=x x y （R x ∈）的最值
分析：转化为一个角的同一种函数sinx ，将问题化归为“二次函数”的最值问题，用配方法。
解：4
9)23(sin 1sin 3sin 122+--=++-=x x x y ∴函数的最大值为4
9
，最小值为4325-
例4：求函数1sin 3cos 2++=x a x y （R a ∈，R x ∈）的最大值。
解：1sin 3cos 2++=x a x y
转化为2sin sin 2y x x =-+配方得：
24
3)23(sin 2
2++-
-=a a x y ①当123>a ，即332>a 时，在sinx=1，即)(22
z k k x ∈+=ππ时，13max +=a y ②当123- 时，13max +-=a y ③当12 3 1≤≤-a ，即332332≤≤-a 时，在a x 23sin =，即 a k x 23arcsin 2+=π或)(23 arcsin 2z k a k x ∈-+=ππ时，2432max +=a y 综上：2max 1()33 2(41(3a y a a a +>??=+≤≤???+<-? ?? 类型四：)0(cos sin sin 2≠+?+=a c x x b x a y 型。此类型可利用倍角公式、半角公式进 行降次、整理，再利用辅助角公式求出最值。 例5：求函数)24 74 ( cos sin 4sin 3cos 35)(22π π ≤ <-+=x x x x x x f 的最值，并求取得最值时x 的值。 分析：先化简函数，化成一个角的一种函数再由正弦，余弦函数的有界性，同时应注意角度的限定范围。 解：由降幂公式和倍角公式，得 x x x x f 2sin 22 2cos 1322cos 135)(--++= 332sin 23cos 32+-=x x 33)6 2cos(4++=π x ∵2474ππ≤ 36232π ππ≤ + 7π =x ，()f x 无最大值。 类型五：d x c b x a x f ++= cos sin )(型。此类型最值问题可考虑如下几种解法：①转化为 c x b x a =+cos sin 再利用辅助角公式求其最值；②利用万能公式求解；③采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。 例6：求函数sin cos 2 x y x =-的值域。 解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx , sinx )与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。作出如图得图象，当过Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sin cos 2 x y x = -得最值，由几何知识，易求得过Q 的两切线 得斜率分别为3- 、3 。结合图形可知，此函数的值域 是[。 解法2：将函数sin cos 2x y x =-变形为cos sin 2y x x y -= ，∴sin()x φ+= 由 |sin()|1x φ+= ≤22(2)1y y ?≤+ ，解得：y ≤≤ [ 解法3：利用万能公式求解：由万能公式2 12sin t t x +=，221cos 1t x t -=+，代入sin cos 2x y x =-得到2 213t y t =--则有2320yt t y ++=知：当0t =，则0y =，满足条件；当0t ≠，由24120y =-≥△ ，y ?≤≤ ，故所求函数的值域是[。 解法4：利用重要不等式求解：由万能公式2 12sin t t x +=，221cos 1t x t -=+，代入 sin cos 2x y x =-得到2 213t y t =--当0t =时，则0y =，满足条件；当0t ≠时， 22 113(3) y t t t t = =---+，如果t > 0 ，则221133(3)y t t t t ==-≥=---+，此时即 有0y ≤<；如果t < 0 ，则21()(3)y t t =≤= -+- 0y <≤。 综上：此函数的值域是[33 - 。 类型六：含有x x x x cos sin cos sin ?±与的最值问题。解此类型最值问题通常令 x x t cos sin ±=，x x t cos sin 212?±=，22≤≤-t ，再进一步转化为二次函数在区间上的最值问题。 例7：求函数sin cos sin cos y x x x x =?++的最大值并指出当x 为何值时，取得最大值。 解法1：)4 sin(22sin 21cos sin cos sin π ++=++?=x x x x x x y ，当sin 2x = 1，且 1)4sin(2=+πx ，即)(224222z k k x k x ∈??? ???? +=++=π ππππ，解得)(42z k k x ∈+=ππ ，max 12y =+解法2：设t=sinx +cosx ，则)4sin(2π+=x t ∴]2,2[-∈t ∴)1(2 1 cos sin 2-=t x x ∴1)1(2 1 )1(2122-+=+-=t t t y ∵当]1,2[--∈t 时，函数y 是减函数 ∴]22 1 ,1[--∈y ∵当]2,1[-∈t 时，函数y 是增函数 ∴]22 1 ,1[+-∈y ∴]221,1[]221,1[+---∈ y 即]22 1 ,1[+-∈y 当2=t 时，221 +=y ，即2cos sin =+x x ， 解得，∴)(42z k k x ∈+=ππ时，22 1 max +=y 。 类型七：形如x x y 2cos sin ?=或)0,,0(sin sin ><<+ =b a x x b x a y n m π型函数最值问题。构造条件并利用均值不等式求解。 例8：求下列函数的量值并说明当x 为何值时，取得最值。 （1）22tan 4cot y x x =+； （2）x x y sin cos 2?=，)2 ,0(π ∈x ； 分析：观察发现可以用重要不等式求其最值。 解（1）∵2tan 0x ≥，2cot 0x ≥， ∴22tan 4cot 2tan 2cot 4y x x x x =+≥??=当且仅当tan 2cot x x =，即2±=tgx 时，等号成立，∴2arctg k x ±=π，)(z k ∈，即当)(2z k arctg k x ∈±=π时，y 有最小值，最小值为4，没有最大值。 （2）∵)2 ,0(π ∈x ∴0sin 2≥x ，0cos 2≥x ∴x x y 242cos sin ?=，∴2422221 sin cos (sin sin 2cos )2 y x x x x x =?=?? 27 4)32(21)3cos 2sin sin (2133222==++≤x x x 当且仅当x x 22cos 2sin =时等号成立，∵0cos 2=x 时，显然x x 22cos 2sin ≠， )2 ,0(π∈x ∴x x 2 2cos 2sin =可得22=x tg ，即tgx = )x k k z π=+∈， ∴当)x k k z π=+∈时，7242≤y ，∵)2 ,0(π ∈x ，∴]932,0(∈y ∴当2arctg x =，y 有最大值 9 3 2，y 无最小值。 类型九：条件最值问题。 例9：已知αβαsin 2sin 2sin 322=+，求βα22sin sin +=y 的取值范围。 分析：用函数的思想分析问题，这是已知关于sin α，sin β的二元条件等式求二元二次函数的值域问题，应消元，把二元变一元，注意自变量的范围。 解：∵αβαsin 2sin 2sin 322=+，∴ααβsin sin 2 3 sin 22+-= ∵1sin 02≤≤β ∴32sin 01sin sin 2 30 sin sin 2 3 22≤≤??? ???? ≤+-≥+-ααααα解得 ∵21)1(sin 21sin sin 21sin sin 2222+--=+-=+=αααβαy ∵32 sin 0≤≤α。 ∴sin α=0时，0min =y ； 32sin = α时，94max =y ∴9 4sin sin 022≤+≤βα。 例10：求函数x x y -+=1的最大值和最小值，并指出当x 分别为何值时取到最大值和最小值。 解：∵定义域为0≤x ≤1，可设x x 2cos =且2 0π θ≤ ≤ θθ22sin cos 11=-=-x ，2 0π θ≤ ≤ ∴)4 sin(2cos sin sin cos 22π θθθθθ+=+=+=y ∵20πθ≤≤，∴4 344π πθπ≤+≤，∴1)4sin(22≤+≤πθ即21≤≤y ∴当44ππθ=+或434ππθ=+，即θ =0或2π θ=（此时x=1或x=0），y=1； 当2πθ+，即4πθ=时，（此时2 1 =x ），2=y ， 当x=0或x=1时，y 有最小值1；当2 1 =x 时，y 有最大值2。 评析：利用三角换元法求解此类问题时，要注意所设角的取值范围，要同原函数定义域相一致，尽量恰到好处。 三角函数的值域-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 如何求三角函数的值域 濮阳外国语学校 王艳敏 电话： 摘要：三角函数的最值是中学数学的一个重要内容，归纳这一内容，有助于学生进一步掌握已经学过的三角知识，沟通三角、代数、几何的联系，培养学生的思维能力。 关键词：函数最值 三角函数 三角函数最值问题是高中数学的重点内容之一,也是高考命题的热点,由于三角函数和代数、几何等知识联系紧密,故求解这类问题的方法灵活多变,能力要求高,具有一定的综合性.本文介绍三角函数值域问题的一些常见类型和解题方法。 一． 基本型： 或 cos y a x b =+ 解决策略：利用sinx 和cosx 的有界性,即sin 1x ≤和cos 1x ≤ 解：x R ∈ 2sin(3 y x π =+ ） []sin()113x π ∴+∈- ，∴函数的值域为分析：引入辅助角，再利用正弦函数的有界性 sin y a x b =+1≤分析：利用 sinx 的有界性 1sin 1x -≤≤解： 12sin 13x ∴-≤+≤ [] 2sin 113y x ∴ =+- 函数的值域为，2sin 1y x =+例1.求 值域。 sin cos y a x b x c =++), tan b x c a ??=++= y 其中二、形如 引入辅助角转化为基本型 解决策略： 例2、求函数 sin y x x =+[]22-， 三、形如22 sin sin cos cos y a x b x x x =++ 型的函数 解决策略：通过降幂再转化为sin()y A x ω?=+ 来求解 例3.求 22 sin 2sin cos 3cos y x x x x =++ 的值域 解： 2 12sin cos 2cos y x x x =++ sin 2cos 22)24 x x x π=++=++ 1sin(2)14 x π -≤+≤ 所以所求函数的值域为2?-? 四、反比例型：形如 sin sin a x b y c x d +=+ 或cos cos a x b y c x d +=+ 解决策略：用反表示法，再利用有界性或数形结合。 例4、求函数1sin 2cos x y x -= -的值域 方法一 解：由1sin 2cos x y x -= - 得 2cos 1sin y y x x -=- sin cos 12x y x y ∴-=- )12tan x y y ??-=-=其中 sin()x ?∴-= sin()1x ?-≤ 1≤ 22(12)1y y ∴-≤+ 24340 03 y y y -≤∴≤≤ 方法二 解：此函数看做过定点A （2，1）和动点B （cosx,sinx ）的直线的斜率。如图所示 因为点B 的轨迹是单位圆 当直线和圆相切时斜率取最值 设直线方程为1(2)y k x -=- 即1 kx y -+-由于直线与圆相切 1= 解得 k=0或k=43 所以函数1sin 2cos x y x -= -的值域为40,3?????? 五、二次型，形如 2sin sin y a x b x c =++ 解决策略：转化为二次函数在有限闭区间上的值域问题 三 角 函 数 考点1：三角函数的有关概念； 考点2：三角恒等变换；（两角和、差公式，倍角半角公式、诱导公式、同角的三角函数关系式） 考点3：正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质；（定义域、值域、最值；单调区间、最小正周 期、对称轴对称中心） 考点4：函数y =Asin()0,0)(>>+???A x 的图象与性质；（定义域、值域、最值；单调区间、最小 正周期、对称轴对称中心、图像的变换） 一、三角函数求值问题 1. 三角函数的有关概念 例1. 若角θ的终边经过点(4,3)(0)P a a a -≠，则sin θ= ． 练习1．已知角α的终边上一点的坐标为（3 2cos ,32sin π π），则角α的最小正值为（ ） A 、65π B 、32π C 、35π D 、6 11π 2、公式法： 例2.设(0,)2πα∈，若3 sin 5α=)4 πα+=（ ） A. 75 B. 15 C. 75- D. 15 - 练习1．若πtan 34α??-= ??? ，则cot α等于（ ） Ａ．2- Ｂ．12 - Ｃ．12 Ｄ．2 2．α是第四象限角，5 tan 12 α=-，则sin α=（ ） A ．15 B ．15- C ．513 D ．513 - 3． cos 43cos77sin 43cos167o o o o +的值为 。 4．已知1sin cos 5θθ+=，且324 θππ ≤≤，则cos2θ的值是 ． 3．化简求值 例3.已知α为第二象限角，且sin α，求sin(/4)sin 2cos21 απαα+++的值 练习：1。已知sin α=，则44sin cos αα-的值为（ ） A ．15 - B ．35 - C ．15 D ．35 求三角函数的值域(或最值)的方法 三角函数y＝sinx及y＝cosx是有界函数，即当自变量x在R内取一定的值时，因变量y有最大值y max＝1和最小值y min＝－1，这是三角函数y＝sinx及y＝cosx的基本性质之一，利用三角函数的这一基本性质，我们可以使一些比较复杂的三角函数求最值的问题得以简化．虽然这部分内容在教材中出现不多，但是，在我们的日常练习和历年高考试题中却频频出现，学生也往往对这样的问题颇感棘手．笔者根据日常的教学积累，对三角函数求值域或最值的方法，加以归纳总结如下． 1 配方分析法 如果所给的函数是同名不同次或可化为同名不同次及其他能够进行配方的形式，可采用此方法． 例1求函数y＝2cos2x＋5sinx－4的值域． 解原函数可化为 当sinx＝1时，y max＝1； 当sinx＝－1时，y min＝－9， ∴原函数的值域是y∈[－9，1]． 注：此种方法在求三角函数的值域或最值问题中较为常见．但在最后讨论值域时，往往容易忽略自变量(例1中以sinx为自变量)的取值范围而出现错误应该引起注意． “cosx”，再求已知函数的最值 例2求下列函数的最值，并求出相应的x值． y＝asinx＋bcosx或可转化为此种形式的函数，其最大值和最小值分别为y max＝ 3 求反函数法 如果函数的表达式中仅含有某一个三角函数名，我们可考虑此种方法，用因变量y表示出该函数，再利用该函数的值域求对应的原函数的值域． ∴原函数的值域是 4 应用函数的有界性 上面的求反函数法实际上就是在应用函数的有界性求最值，在此只不过是为了更加突出一下． 解由原式可得 (3y－1)sinx＋(2y－2)cosx＝3－y， 则上式即为 利用函数的有界性有 ∴原函数的值域是 三角函数的定义域、值 域和最值 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 三角函数的定义域、值域和最值 一 知识点精讲： 1 三角函数的定义域 （1）r y =αsin 定义域为R. （2）r x =αcos 定义域为R. （3）x y = αtan 定义域为 ? ?? ???∈+≠Z k k ,2|ππαα. （4）y x =αcot 定义域为 {}Z k k ∈≠,|παα. 2 三角函数的值域 ① )0(,sin ≠+=a b x a y 型 当0>a 时，],[b a b a y ++-∈ ； 当0 求三角函数值域及最值的常用方法 （一）一次函数型 或利用：=+ =x b x a y cos sin )sin(22?+?+x b a 化为一个角的同名三角函数形式，利用三角函数的有界性或单调性求解； （2）2sin(3)512 y x π =-- +，x x y cos sin = （3）函数x x y cos 3sin +=在区间[0,]2 π 上的最小值为 1 ． （4）函数tan( )2 y x π =- (4 4 x π π - ≤≤ 且0)x ≠的值域是 (,1][1,)-∞-?+∞ （二）二次函数型 利用二倍角公式，化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、 换元及图像法求解。 （2）函数)(2cos 2 1 cos )(R x x x x f ∈- =的最大值等于43． （3）.当2 0π < （三）借助直线的斜率的关系，用数形结合求解 型如d x c b x a x f ++= cos sin )(型。此类型最值问题可考虑如下几种解法： ①转化为c x b x a =+cos sin 再利用辅助角公式求其最值； ②利用万能公式求解； ③采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。 例1：求函数sin cos 2 x y x = -的值域。 解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx , sinx )与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。作出如图得图象，当过Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sin cos 2 x y x = -得最值，由几何知识，易求得过Q 的两切线得斜率分别为3 3 -、 33。结合图形可知，此函数的值域是33 [,]33 - 。 解法2：将函数sin cos 2x y x =-变形为cos sin 2y x x y -=，∴22s i n ()1y x y φ+= +由2 |2||sin()|11y x y φ+= ≤+22(2)1y y ?≤+，解得：3333 y - ≤≤，故值域是33 [,]33- 解法3：利用万能公式求解：由万能公式2 12sin t t x +=，221cos 1t x t -=+，代入sin cos 2x y x =-得到2 213t y t =--则有2 320yt t y ++=知：当0t =，则0y =，满足条件；当0t ≠，由2 4120y =-≥△，3333 y ?-≤≤，故所求函数的值域是33[,]33-。 解法4：利用重要不等式求解：由万能公式2 12sin t t x +=，221cos 1t x t -=+，代入sin cos 2x y x = -得到2 213t y t =--当0t =时，则0y =，满足条件；当0t ≠时， 22 113(3) y t t t t = =---+，如果t > 0，则2223113233(3)y t t t t ==-≥-=---+， x Q P y O 高考复习专题 三角函数的值域与最值 一、基础知识 1、形如()sin y A x ω?=+解析式的求解：详见“函数()sin y A x ω?=+解析式的求解”一节，本节只列出所需用到的三角公式 （1）降幂公式：2 21cos21cos2cos ,sin 22 αα αα+-= = （2）2sin cos sin2ααα= （3）两角和差的正余弦公式 ()sin sin cos sin cos αβαββα+=+ ()sin sin cos sin cos αβαββα-=- ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- ()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+ （4）合角公式：()sin cos a b ααα?+=+，其中tan b a ?= 2、常见三角函数的值域类型： （1）形如()sin y A x ω?=+的值域：使用换元法，设t x ω?=+，根据x 的范围确定t 的范围，然后再利用三角函数图像或单位圆求出x ω?+的三角函数值，进而得到值域 例：求()2sin 2,,444f x x x πππ?? ??=- ∈- ???? ??? 的值域 解：设24 t x π =- 当,44x ππ?? ∈- ???? 时，32,444t x πππ??=-∈-???? sin 22t ?∴∈-??? () f x ?∴∈? （2）形如()sin y f x =的形式，即()y f t =与sin t x =的复合函数：通常先将解析式化简为同角同三角函数名的形式，然后将此三角函数视为一个整体，通过换元解析式转变为熟悉的 函数，再求出值域即可 例：求()2 2sin cos 2,,63f x x x x ππ?? =-+∈- ???? 的值域 解：()() 2 2 sin 1sin 2sin sin 1f x x x x x =--+=++ 三角函数最值问题—解题9法 三角函数是重要的数学运算工具，三角函数最值问题是三角函数中的基本内容，也是高中数学中经常 涉及的问题。这部分内容是一个难点，它对三角函数的恒等变形能力及综合应用要求较高。解决这一类问 题的基本途径，同求解其他函数最值一样，一方面应充分利用三角函数自身的特殊性（如有界性等），另 一方面还要注意将求解三角函数最值问题转化为求一些我们所熟知的函数（二次函数等）最值问题。下面 就介绍几种常见的求三角函数最值的方法： 一配方法 若函数表达式中只含有正弦函数或余弦函数，切它们次数是2时，一般就需要通过配方或换元将给定 的函数化归为二次函数的最值问题来处理。 例1函数的最小值为（）. A． 2 B . 0 C . D . 6 [分析]本题可通过公式将函数表达式化为，因含有cosx 的二次式，可换元，令cosx=t，则配方，得, 当t=1时,即cosx=1时，,选B. 例2 求函数y=5sinx+cos2x的最值 [分析]：观察三角函数名和角，其中一个为正弦，一个为余弦，角分别是单角和倍角，所以先化简，使三角函数的名和角达到统一。 二引入辅助角法 例3已知函数当函数y取得最大值时，求自变量x的集合。 [分析] 此类问题为的三角函数求最值问题，它可通过降次化简整理为型求解。 解： 三利用三角函数的有界性 在三角函数中，正弦函数与余弦函数具有一个最基本也是最重要的特征——有界性，利用正弦函数与余弦函数的有界性是求解三角函数最值的最基本方法。 例4求函数的值域 [分析] 此为型的三角函数求最值问题，分子、分母的三角函数同名、同角，这类三角函数一般先化为部分分式，再利用三角函数的有界性去解。或者也可先用反解法，再用三角函数的有界性去解。 解法一：原函数变形为，可直接得到：或 解法一：原函数变形为或 例5已知函数，求函数f(x)的最小正周期和最大值。 [分析] 在本题的函数表达式中，既含有正弦函数，又有余弦函数，并且含有它们的二次式，故需设法通过降次化二次为一次式，再化为只含有正弦函数或余弦函数的表达式。 解： f(x)的最小正周期为，最大值为。 四引入参数法（换元法） 对于表达式中同时含有sinx+cosx，与sinxcosx的函数，运用关系式 一般都可采用换元法转化为t的二次函数去求最值，但必须要注意换元后新变量的取值范围。 例6 求函数y=sinx+cosx+sinxcosx的最大值。 [分析]解：令sinx+cosx=t，则 ，其中 研究性学习 班级： 小组： 组长： 组员： 开题报告 三角学的起源与发展 三角学之英文名称 Trigonometry ，约定名于公元1600年，实际导源于希腊文trigono (三角)和metrein (测量)，其原义为三角形测量（解法），以研究平面三角形和球面三角形的边和角的关系为基础，达到测量上的应用为目的的一门学科。早期的三角学是天文学的一部份，后来研究范围逐渐扩大，变成以三角函数为主要对象的学科。现在，三角学的研究范围已不仅限于三角形，且为数理分析之基础，研究实用科学所必需之工具 一、课题提出的背景 运用数学知识解决现实生活中的实际问题是一项很重要的数学能力，也是新课程标准对学生能力的基本要求。九年级下册锐角三角函数内容不仅是初中数学教学的重点，而且是培养学生运用能力的理想材料，锐角三角函数解实际问题渗透了数形结合的数学思想，通过测量，工程技术等问题，转化为解直角三角形的应用题和数学活动，有助于培养学生的空间想象能力和运用数学的能力，更好地培养学生理论和实践相结合的意识。学生在学习本部分内容时，对概念的形成难以理解，更不能把实际问题抽象成数学模型，造成对实际问题的解决无所适从，学生作业练习中更出现严重错误，利用数学知识解决实际问题的能力欠缺，导致学生对数学学习没有乐趣和积极性，因此，本人把锐角三角函数解决实际问题作为课题进行研究，培养学生数学运用能力。 二、所要解决的主要问题 1、通过实际问题培养学生经历概念的形成能力。 2、研究如何培养学生数形结合的数学思想。 3、研究如何培养学生对实际问题的分析和解决能力。 4、培养学生良好的解决问题的数学思想和方法，使学生对实际问题的探索充满乐趣。 三角函数的值域或最值问题 三角函数的值域或最值问题在高考中时有出现，常见题型主要有以下几类： 一、可化为k x Af x f ++=)()(?ω型 例1、已知R x x x x y ∈++= ,1cos sin 2 3cos 212，求y 的最大值及此时x 的集合. 练习：若ABC ?的三个内角A 、B 、C 成等差数列，则C A 2 2cos cos +的最小值是 . 二、化为一个角的三角函数的一元二次方程 例2、设关于x 的函数)12(cos 2cos 22+--=a x a x y 的最小值为)(a f ，试写出)(a f 的表达式 练习：求函数1sin 2cos )(2-+=x a x x f 的最值 三、当x x cos sin ±与x x cos sin 同时出现时用换元 例3、求函数x x x x y cos sin cos sin ++=的最小值 练习：求x x x x x f cos sin 1cos sin )(++= 的值域 四、d x c b x a x f ++= sin sin )(型 例4、求2sin 1sin 3)(+-=x x x f 的值域 五、d x c b x a x f ++= cos sin )(或d x c b x a x f ++=sin cos )(型 例5、求函数x x y cos 2sin +=的值域 六、条件极值 例6、已知4422=+y x ，求y x y xy x M 24222++++=的最大值 课后作业： 1、求x x y sin cos 2+=在区间]4 ,4[ππ-上的最值 2、求)1cos 3(log 5.0+=x y 的值域 3、求),0(,2 cos sin π∈+=x x x y 的值域 4、已知αβαsin 2sin 2cos 322=+，求βα22cos cos +的最值 5、求),0(,sin 4sin π∈+=x x x y 的值域 三角函数求值域专题 求三角函数值域及最值的常用方法： （1） 一次函数型：或利用为：=+=x b x a y cos sin )sin(22?+?+x b a ， 利用函数的有界性或单调性求解；化为一个角的同名三角函数形式， （1）：5)12 3sin(2+- -=π x y ，x x y cos sin = （2）x x y cos 3sin 4-= （3）.函数在区间上的最小值为 1 ． （4）函数且的值域是___(,1][1,)-∞-?+∞ （2）二次函数型：化为一个角的同名三角函数形式的一元二次式，利用配方法、 换元及图像法求解； 二倍角公式的应用： 如： （1） x x y 2cos sin += （2）函数的最大值等于 4 3 ． （3）.当时，函数的最小值为 4 ． （4）.已知k ＜－4，则函数y ＝cos2x ＋k (cos x －1)的最小值是 1 ． （5）.若，则的最大值与最小值之和为____2____． （3）借助直线的斜率的关系用数形结合求解； 型如d x c b x a x f ++= cos sin )(型。此类型最值问题可考虑如下几种解法： ①转化为c x b x a =+cos sin 再利用辅助角公式求其最值； ②利用万能公式求解； ③采用数形结合法（转化为斜率问题）求最值。 例1：求函数sin cos 2 x y x = -的值域。 解法1：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点P(cosx , sinx )与定点Q(2, 0)所确定的直线的斜率的范围。作出如图得图象，当过Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数sin cos 2 x y x = -得最值，由几何知 高中数学学案：三角函数的最值问题 1. 会通过三角恒等变形、利用三角函数的有界性、结合三角函数的图象,求三角函数的最值和值域． 2. 掌握求三角函数最值的常见方法,能运用三角函数最值解决一些实际问题. 1. 阅读：必修4第24～33页、第103～116页、第119～122页． 2. 解悟：①正弦、余弦、正切函数的图象和性质是什么？②三角函数y ＝A sin (ωx ＋φ)(A>0,ω>0)的最值及对应条件；③两角和与差的正弦、余弦、正切公式是什么？辅助角公式是否熟练？④二倍角公式是什么？由倍角公式得到的降幂扩角公式是什么？必修4第123页练习第4题怎么解？ 3. 践习：在教材空白处,完成必修4第131页复习题第9、10、16题. 基础诊断 1. 函数f(x)＝sin x,x ∈? ????π6，2π3的值域为? ?? ??12，1__． 2. 函数f(x)＝sin x －cos ? ?? ??x ＋π6的值域为3]__． 解析：因为f(x)＝sin x －cos (x ＋π6)＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝32sin x －32cos x ＝3sin (x －π6), 所以函数f(x)＝sin x －cos (x ＋π6)的值域为[－3,3]． 3. 若函数f(x)＝(1＋3tan x)cos x,0≤x<π2,则f(x)的最大值为__2__． 解析：f(x)＝(1＋3tan x)cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2sin ? ????x ＋π6.因为0≤x<π2,所以π6≤x ＋π6<2π3,所以sin ? ????x ＋π6∈???? ??12，1, 所以当sin ? ?? ??x ＋π6＝1时,f(x)有最大值2. 4. 函数y ＝2sin 2x －3sin 2x 范例导航 考向? 形如y ＝a sin 2x ＋b cos x ＋c 的三角函数的最值 微专题27 三角函数的值域与最值 一、基础知识 1、形如()sin y A x ω?=+解析式的求解：详见“函数()sin y A x ω?=+解析式的求解”一节，本节只列出所需用到的三角公式 （1）降幂公式：2 21cos21cos2cos ,sin 22 αα αα+-= = （2）2sin cos sin2ααα= （3）两角和差的正余弦公式 ()sin sin cos sin cos αβαββα+=+ ()sin sin cos sin cos αβαββα-=- ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- ()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+ （4）合角公式：()22sin cos a b a b ααα?+=++，其中tan b a ?= 2、常见三角函数的值域类型： （1）形如()sin y A x ω?=+的值域：使用换元法，设t x ω?=+，根据x 的范围确定t 的范围，然后再利用三角函数图像或单位圆求出x ω?+的三角函数值，进而得到值域 例：求()2sin 2,,444f x x x πππ?? ??=- ∈- ???? ??? 的值域 解：设24 t x π =- 当,44x ππ?? ∈- ???? 时，32,444t x πππ??=-∈-???? 22sin 22t ?∴∈-??? ()2,2f x ??∴∈-?? （2）形如()sin y f x =的形式，即()y f t =与sin t x =的复合函数：通常先将解析式化简为同角同三角函数名的形式，然后将此三角函数视为一个整体，通过换元解析式转变为熟悉的 函数，再求出值域即可 例：求()2 2sin cos 2,,63f x x x x ππ?? =-+∈- ???? 的值域 解：()() 2 2 sin 1sin 2sin sin 1f x x x x x =--+=++ 高三数学理科复习十六——三角函数的值域与最值 一、【知识复习与自学质疑】 1.求下列函数的最大值、最小值 （1）2sin cos ;3 y x x = （2）y = （3）212sin 1;2y x ??=-++ ??? （4）2515sin 416y x ??=-+ ?? ? 2.（1）若4x π≤ ，则()2cos sin f x x x =+的最小值是_________ （2）若 2x π ≤，则()sin f x x x =的值域是 3.（1）函数2cos sin x y x -= ()0x π<<的最小值是 （2）函数2cos 12cos 1x y x +=-的值域是 二、【例题精讲】 例1、已知1sin sin 3x y += ，求2sin cos y x -的最大值与最小值. 例2、求函数sin cos sin cos y x x x x =++的最大值. 例3、已知函数()22cos sin sin cos 3f x x x x x x π? ?=+-+ ??? ，求函数()f x 的最大值、最小值以及取得最值时的x 的值。 【矫正反馈】 1.(1)已知()0,θπ∈，函数23sin 13sin y θθ =+的最大值是___________________________ (2)已知()0,x π∈，函数2sin sin y x x =+的最小值是_____________________ （3）函数()223sin ,sin y x x k k Z x π= +≠∈的值域是____________________________ 2.设，当0,2x π??∈????时，()f x 的最大值为4，则a =_____________ 3.函数()2sin cos 36y x x x R ππ????=--+∈ ? ?????的最小值等于____________________ 4.函数sin 2sin x y x =+的值域为 ；函数sin cos 2 x y x =+的值域为 5.函数sin 2sin y x x =-的值域是_________________ 6.若()22cos 2cos 22sin 136f x x x x ππ????=-+ -++ ? ?????，则()f x 的最大值为_________ 7.函数()()sin 2cos 2y x x =--的最大值、最小值分别是_____________________________ 【迁移应用】 8.已知函数()22sin 23sin cos f x a x a x x a b =-++的定义域是,2ππ?????? ，值域是[]2,5，求,a b 的值. 9．求函数()24sin cos2f x a x x =--的最大值和最小值.（a R ∈） 三角函数值域的求法 第二课时 【教学目标】 1．会根据正、余弦函数的有界性和单调性求简单三角函数的最值和值域； 2．运用转化思想，通过变形、换元等方法转化为代数函数求其给定区间内的值域和最值。 3．通过对最值问题的探索与解决，提高运算能力，增强分析问题和解决问题能力。体现数学化归、转换、类比等重要的思想方法在解决三角最值问题中的作用。 【教学重点】求三角函数的最值与值域 【教学难点】灵活选取不同的方法来求三角函数的最值和值域 知识回顾 求下列函数的值域 1 2 3 问题：求函数的值域 例1 ? 方法1（利用函数的有界性） sin cos y x x = +22cos cos y x x x =+22[,] x ππ ∈-[0,] x π ∈2sin 2cos sin cos 22y )22sin()sin()11 y x y x x y x x y x x ψψψ-= --=-+=-+= +≤≤≤≤?? 解：可化为 又2-sin 2+sin x x y = 2-sin 2+cos x x y = 方法2（运用模型、数形结合） 2 求下列函数的值域 2413830k 334433k k +≤-+≤≤≤ ?+??? 解析：函数的值域可看作求过点P(2,2)的单位圆切线的斜率k 的最大、最小值设切线PA 的方程为：y-2=k(x-2)即：kx-y-2k+2=0 设原点到切线的距离d,则d=1 即：即解得：故所求函数的值域为： ，22 222:cos sin 3 cos sin sin sin 115(sin )24 3 sin x 5y 45 ,] 44y x x x y x x y x x x x π π =+≤ =+=-++=--+ ≤ ∴≤≤≤≤ 例且解：可化为 又 故原函数的值域为[222sin 2cos y=1cos 1-cos x 0 cos x 1sin 2cos 1cos 2sin cos = 1cos 2cos (1cos )1cos 2cos (1 cos ) 11 2(cos ) 22 -1cos x<1 1 4 2 1 ,4] 2 x x x x x x x x x x x x x x x y -≠∴≠- --= -=+=+- ≤∴-≤≤-例3：解：又 又 故原函数的值域为[2 222sin cos =) 4 sin cos =1+2sin x cos x=t 1sin cos 2 1()(2 1 (1) 12 21x x t x t x x t t x x t f t t t t t y π ++≤≤+-=-=+≤=+--≤≤∴-≤≤例4: y=sinx+cosx+sinxcosx 解：设即 又可化为即原函数可化为 又 12 1 ] 2 原函数的值域为 高中数学总复习-三角函数 第5课 三角函数的图像和性质(一) 【考点导读】 1. 能画出正弦函数，余弦函数，正切函数的图像，借助图像理解正弦函数，余弦 函数在［0,2 ］，正切函数在(一,一)上的性质； 2 2 2. 了解函数y Asin( x )的实际意义，能画出y A si n( x )的图像； 3. 了解函数的周期性，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 【基础练习】 动的最小正周期T _____L_；初相 —- 2. 三角方程2sin(_ - x)=1的解集为 4. 要得到函数y sinx 的图象，只需将函数 y cos x ______ - ____ 个单位. 【范例解析】 例 1.已知函数 f (x) 2sin x(sin x cosx). (I) 用五点法画出函数在区间 ——上的图象，长度 为一个周期； 2’ 2 (H)说明f(x) 2s in x(si nx cosx)的图像可由y si nx 的图像经过怎样变换而 1. 已知简谐运动 f(x) 2sin (3X )( 2)的图象经过点(0，1)，则该简谐运 3.函数 y Asin( x )( 0, 尹R)的部分图象如图所示，则函数表达为 y 4si n( x ) 8 4 的图象向右平移 分析：化为Asin( x )形式.得到? 列表，取点，描图: x 335 88888 y11逅1 1 V21 故函数y f(x)在区间［-，2］上的图象是: (U)解法一：把y sinx图像上所有点向右平移—个单位，得到y sin(x ) 4 4 1 的图像，再把y sin(x -)的图像上所有点的横坐标缩短为原来的丄(纵坐标不 4 2 变)，得到y si n(2x —)的图像，然后把y sin(2x —)的图像上所有点纵坐标 4 4 伸长到原来的倍(横坐标不变)，得到y 2 sin(2x -)的图像，再将 4 y . 2 sin(2x )的图像上所有点向上平移1个单位，即得到 4 y 1 - 2 sin(2x -)的图像. 1 解法二：把y sinx图像上所有点的横坐标缩短为原来的-(纵坐标不变)，得 2 到y sin 2x的图像，再把y sin 2x图像上所有点向右平移—个单位，得到 8 解：(I)由f(x)2sin2x 2sin xcosx 1 cos2x sin 2x 2(sin 2x cos — 4 cos2xs in ) 4 2sin(2x 4 ). 三角函数最值与值域专题 三角函数的最值问题是高考的一个重要内容,要求掌握求三角函数最值的常见方法。 类型一：利用1cos 1sin ,≤≤x x 这一有界性求最值。 例1：求函数x x y sin 21sin --= 的值域。 解：由x x y sin 21sin --=变形为(1)sin 21y x y +=+，知1y ≠-，则有21sin 1y x y +=+，21|sin |||11y x y +=≤+22221||1(21)(1)1y y y y +?≤?+≤++203 y ?-≤≤，则此函数的值域是2[,0]3 y ∈- 例2,若函数cos y a x b =+的最大值是1，最小值是7-，求a,b 练习：1，求函数1cos 3cos x y x -=+的值域 3][1-∞-∞（，，+） 2,函数x y sin =的定义域为[a ，b]，值域为]2 1,1[-，则b-a 的最大值和最小值之和为b A ．34π B ．π2 C ．38π D ．π4 类型二：x b x a y cos sin += 型。此类型通常可以可化为sin cos )y a x b x x ?=+=+求其最值（或值域）。 例1：求函数3sin 4cos ,(0,)2y x x x π =+∈的最值。 解：343sin 4cos 5sin(),cos ,sin 55 (,),(3,5] 2y x x x x y ???π ???=+=+==+∈+∈ 2,求函数)3sin()6sin(ππ++- =x x y （R x ∈）的最值。 解法:)12sin(2]4)6sin[(2)6cos()6sin(π ππππ+=+-=-+-=x x x x y ，∴函数的最大值为2，最小值为2-。 练习：1,函数y=3sin(x+20°) +5sin(x+80°)的最大值是： （ c ） A 、215B 、216C 、7 D 、8 2,已知函数x x f 2sin )(=，)62cos()(π+=x x g ，直线x ＝t （t ∈?? ????2,0π）与函数f (x )、g (x )的图像分别交于M 、N 两点，则|MN |的最 类型三：)0(sin sin 2≠++=a c x b x a y 型。此类型可化为)0(2≠++=a c bt at y 在区间]1,1[-上的最值问题。 例1：求函数1sin 3cos 2++=x x y （R x ∈）的最值 解：49)23(sin 1sin 3sin 122+- -=++-=x x x y ∴函数的最大值为4 9，最小值为4325- 例2：求函数1sin 3cos 2++=x a x y （R a ∈，R x ∈）的最大值。 解：1sin 3cos 2 ++=x a x y 转化为2sin sin 2y x x =-+配方得： ①当123>a ，即332>a 时，在sinx=1，13max +=a y 海豚教育个性化简案 学生姓名：年级：科目： 授课日期：月日上课时间：时分------ 时分合计：小时 教学目标1.……掌握三角函数的的一般形式的应用 2.……掌握三角函数的值域的求法 3.……理解换元法和几何法的应用 重难点导航1.……三角函数的图像应用 2.……三角函数的值域求法1.……换元法和几何法 教学简案： 1、教学流程 知识回顾 例题讲解 随堂练习 课后作业 2、作业布置 3、教学反馈 授课教师评价：今日学生课堂表现符合共项（大写）审核人签字（姓名、日期） □准时上课：无迟到和早退现象 □今天所学知识点全部掌握：教师任意抽查一知识点，学生能完全掌握□上课态度认真：上课期间认真听讲，无任何不配合老师的情况 □海豚作业完成达标：全部按时按量完成所布置的作业，无少做漏做现象课前： 课后： 学生签字： 教师签字：胡洪光 备注：请交至行政前台处登记、存档保留，隔日无效（可另附教案内页）大写：壹贰叁肆签章： （2011杭九中高一期末） 1、设()?? ? ??≤≤-- +-=20214sin cos 2 πx a x a x x f ，用a 表示f(x)的最大值M(a). 2、求函数sin cos sin cos y x x x x =?++的最大值并指出当x 为何值时，取得最大值。 （2008?重庆）函数f （x ）=sin 54cos x x +（0≤x ≤2π）的值域是 。 （2006?辽宁）已知函数f （x ）=sinx+cosx-|sinx-cosx|，则f （x ）的值域是 。 （2011四川）求下列各式的最值：（1）已知(0,)x π∈，求函数23sin 13sin y θ θ =+的最大值； （2）已知(0,)x π∈，求函数2 sin sin y x x =+的最小值． 例谈三角函数值域(最值)的几种求法 南县一中 肖胜军 有关三角函数的值域（最值）的问题是各级各类考试考察的热点之一，这类问题的解决涉及到化归、转换、类比等重要的数学思想，采取的数学方法包括易元变换、问题转换、等价化归等重常用方法。掌握这类问题的解法，不仅能加强知识的纵横联系，巩固基础知识和基本技能，还能提高数学思维能力和运算能力。 一、合理转化，利用有界性求值域 例1、求下列函数的值域： （1）1sin cos y x x =+ （2）cos 3 cos 3 x y x -= + （3）2 2 sin 2sin cos 3cos y x x x x =++ （4）3sin()4cos()44 y x x π π =+ ++解析： （1）根据11sin cos sin 222x x x ≤ ≤可知：13 22 y ≤≤ （2）将原函数的解析式化为：3(1)cos 1y x y += -，由cos 1x ≤可得：1 22 y -≤≤- (3) 原函数解析式可化为：2 1sin 22cos 2sin 2cos 22)4 y x x x x x π =++=++=++ 可得： 22y ≤≤+ （4）根据sin cos )a x b x x φ?+=+∈?可得：55y -≤≤ 二、单调性开路，定义回归 例2、求下列函数的值域： （1）y = （2）y = （3）2cos ,63y x x x ππ?? ??=+∈ ?? ????? （4）y 1sin 02x ≤≤≤解析：（1）由-1知： 1sin 1,cos1cos sin 1 2 2 x x π π ≤-≤≤≤ ≤≤≤≤（2）由- 有（）125sin()663366 x x x ππππππ +≤≤≤+≤≤≤（3）y=2由知：由正弦函数的单调性：1y 2 [](4)0,2y == 三、抓住结构特征，巧用均值不等式 三角函数的定义域、值域和最值 一 知识点精讲： 1 三角函数的定义域 （1）r y = αsin 定义域为R. （2）r x = αcos 定义域为R. （3）x y = αtan 定义域为 ? ?? ? ??∈+≠ Z k k ,2|ππ αα. （4）y x = αcot 定义域为{}Z k k ∈≠,|παα. 2 三角函数的值域 ① )0(,sin ≠+=a b x a y 型 当0>a 时，],[b a b a y ++-∈ ； 当0
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