第54讲 抛 物 线(教师版) 备战2021年新高考数学微专题讲义
第54讲抛物线
一、课程标准
1、了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；
2、掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.
二、基础知识回顾
1、、抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
2 、抛物线的标准方程与几何性质
3 、与焦点弦有关的常用结论
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． (1)y 1y 2＝－p 2，x 1x 2＝
p 24
. (2)|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p
sin 2θ(θ为AB 的倾斜角)．
(3)1|AF |＋1|BF |为定值2p
. (4)以AB 为直径的圆与准线相切． (5)以AF 或BF 为直径的圆与y 轴相切． 三、自主热身、归纳总结
1、抛物线y 2＝4x 的准线方程为( )
A. x ＝1
B. x ＝－1
C. y ＝1
D. y ＝－1 【答案】 B
【解析】 由题意得抛物线的焦点在x 轴上，且2p ＝4，即p ＝2，所以抛物线的准线方程为直线x ＝－p
2＝－
1.
2、 设抛物线y 2＝8x 上的一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是( )
A. 4
B. 6
C. 8
D. 12 【答案】 B
【解析】 如图所示，抛物线的准线l 的方程为x ＝－2，F 是抛物线的焦点，过点P 作PA ⊥y 轴，垂足为A ，延长PA 交直线l 于点B ，则AB ＝2.因为点P 到y 轴的距离为4，所以点P 到准线l 的距离PB ＝4＋2＝6，所以点P 到焦点的距离PF ＝PB ＝6.故选B.
3、过抛物线y 2＝4x 的焦点的直线l 交抛物线于P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)两点，如果x 1＋x 2＝6，则|PQ |＝( )
A ．9
B ．8
C ．7
D ．6
【答案】B
【解析】抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1.根据题意可得，|PQ |＝|PF |＋|QF |＝x 1＋1＋x 2＋
1＝x 1＋x 2＋2＝8.
4、拋物线y ＝2ax 2(a ≠0)的焦点是( )
A.????a 2，0
B.????a 2，0或????
－a 2，0
C.????0，18a
D.????0，18a 或????0，－1
8a 【答案】C
【解析】抛物线的方程化成标准形式为x 2＝1
2a y (a ≠0)，其焦点在y 轴上，所以焦点坐标为????0，18a .故选C. 5、已知抛物线C 与双曲线x 2－y 2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C 的方程为________． 【答案】y 2＝±4 2x
【解析】：由已知可知双曲线的焦点为(－2，0)，(2，0)．设抛物线方程为y 2＝±2px (p >0)，则p
2＝2，所
以p ＝2 2，所以抛物线方程为y 2＝±4 2x .
6、设抛物线y 2＝8x 的准线与x 轴交于点Q ，若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点，则直线l 的斜率的取值范围是________． 【答案】[－1,1]
【解析】：Q (－2,0)，当直线l 的斜率不存在时，不满足题意，故设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，代入抛物线方程，消去y 整理得k 2x 2＋(4k 2－8)x ＋4k 2＝0，当k ＝0时，l 与抛物线有公共点；当k ≠0时，Δ＝64(1－k 2)≥0得－1≤k <0或0 四、例题选讲 考点一 抛物线的定义及其应用 例1 (1)已知抛物线定点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线x －y ＋2＝0上，则抛物线方程为____． (2)动圆过点(1，0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为____． 【答案】（1）y 2＝－8x 或x 2＝8y （2）y 2＝4x 【解析】 (1)直线x －y ＋2＝0与坐标轴的交点分别为(－2，0)和(0，2)，当焦点为(－2，0)时，抛物线焦点在x 轴负半轴上，且p ＝4，则抛物线方程为y 2＝－8x ；当焦点为(0，2)时，抛物线焦点在y 轴正半轴上且p ＝4，则抛物线方程为x 2＝8y ；故抛物线方程为y 2＝－8x 或x 2＝8y. (2)设动圆的圆心坐标为(x ，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x. 变式1、(1)若抛物线y 2＝4x 上一点P 到其焦点F 的距离为2，O 为坐标原点，则△OFP 的面积为( ) A.1 2 B ．1 C.32 D ．2 (2)设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，若B (3,2)，则|PB |＋|PF |的最小值为________． 【答案】 (1)B (2)4 【解析】 (1)设P (x P ，y P )，由题可得抛物线焦点为F (1,0)，准线方程为x ＝－1. 又点P 到焦点F 的距离为2， ∴由定义知点P 到准线的距离为2. ∴x P ＋1＝2，∴x P ＝1. 代入抛物线方程得|y P |＝2， ∴△OFP 的面积为S ＝12·|OF |·|y P |＝1 2 ×1×2＝1. (2)如图，过点B 作BQ 垂直准线于点Q ，交抛物线于点P 1，则|P 1Q |＝|P 1F |.则有|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4，即|PB |＋|PF |的最小值为4. 变式2、(1)定长为3的线段AB 的两个端点在抛物线y 2＝2x 上移动，M 为AB 的中点，则点M 到y 轴的最短距离为( ) A.1 2 B ．1 C.3 2 D ．2 (2)设P 是抛物线y 2＝4x 上的一个动点，F 为抛物线的焦点，若B (3,2)，则|PB |＋|PF |的最小值为__________． 【答案】(1)B (2)4 【解析】 (1)如图所示，抛物线y 2＝2x 的准线为l ：x ＝－1 2，过A ，B ，M 分别作AA ′，BB ′，MM ′垂直于 l ，垂足分别为A ′，B ′，M ′.由抛物线定义知|AA ′|＝|FA |，|BB ′|＝|FB |.又M 为AB 中点，由梯形中位线定理得|MM ′|＝12(|AA ′|＋|BB ′|)＝12(|FA |＋|FB |)≥12|AB |＝12×3＝32，则M 到y 轴的距离d ≥32－12＝1(当且仅当AB 过抛物线的焦点时，等号成立)，所以d min ＝1，即点M 到y 轴的最短距离为1. (2)如图，过点B 作BQ 垂直准线于点Q ，交抛物线于点P 1，则|P 1Q |＝|P 1F |，则|PB |＋|PF |≥|P 1B |＋|P 1Q |＝|BQ |＝4.故|PB |＋|PF |的最小值为4. 方法总结：与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关，实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化． (1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解． (2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决． 考点二 抛物线的标准方程及其几何性质 例2 已知抛物线y 2＝2px(p ＞0)的焦点为F ，过F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，且|AF|＝4|FB|，O 为坐标原点，若△AOB 的面积为5 8 ，求p 的值． 【解析】 易知抛物线y 2＝2px 的焦点F 的坐标为????p 2，0，准线为x ＝－p 2 ， 不妨设点A 在x 轴上方，如图，过A 、B 作准线的垂线AA′，BB′，垂足分别为A′，B′，过点B 作BH ⊥AA′，交AA′于H ，则|BB′|＝|A′H|，设|FB|＝t ，则|AF|＝|AA′|＝4t ，∴|AH|＝|AA′|－|A′H|＝3t ，又|AB|＝5t ， ∴在Rt △ABH 中，cos ∠HAB ＝3 5， ∴tan ∠HAB ＝4 3 ， 则可得直线AB 的方程为y ＝43 ????x －p 2.由?????y ＝43????x －p 2，y 2＝2px ，得8x 2－17px ＋2p 2＝0， 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则|AB|＝x 1＋x 2＋p ＝178p ＋p ＝25 8 p ， 易知点O 到直线AB 的距离为d ＝2 5 p. ∴S △AOB ＝12×258p×25p ＝5p 28＝5 8 ，∴p 2＝1，又p ＞0，∴p ＝1. 变式1、已知点F 1，F 2分别是双曲线3x 2－y 2＝3a 2(a >0)的左、右焦点，点P 是抛物线y 2＝8ax 与双曲线的一个交点，若||PF 1＋||PF 2＝12，则抛物线的准线方程为__________． 【答案】x ＝－2 【解析】 将双曲线方程化为标准方程得x 2a 2－y 23a 2＝1，抛物线的准线为x ＝－2a ，联立????? x 2 a 2－y 2 3a 2＝1，y 2＝8ax ?x ＝3a ，即点P 的横坐标为3a .而由???? ? |PF 1|＋|PF 2|＝12，|PF 1|－|PF 2|＝2a ?|PF 2|＝6－a ，又因为双曲线的右焦点与抛物线的焦 点相同，所以|PF 2|＝3a ＋2a ＝6－a ，解得a ＝1，所以抛物线的准线方程为x ＝－2. 变式2、（黑龙江省鹤岗一中2019届模拟）顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝－x B.x 2＝－8y C ．y 2＝－8x 或x 2＝－y D ．y 2＝－x 或x 2＝－8y 【答案】D 【解析】设抛物线为y 2＝mx ，代入点P (－4，－2)，解得m ＝－1，则抛物线方程为y 2＝－x ；设抛物线为x 2＝ny ，代入点P (－4，－2)，解得n ＝－8，则抛物线方程为x 2＝－8y .故抛物线方程为y 2＝－x 或x 2＝－8y . 变式3、（山西省临汾一中2019届模拟）直线l 过抛物线y 2＝－2px (p ＞0)的焦点，且与该抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是( ) A ．y 2＝－12x B .y 2＝－8x C ．y 2＝－6x D ．y 2＝－4x 【答案】B 【解析】设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，根据抛物线的定义可知|AB |＝－(x 1＋x 2)＋p ＝8.又AB 的中点到y 轴的距离为2，∴－x 1＋x 2 2＝2，∴x 1＋x 2＝－4，∴p ＝4，∴所求抛物线的方程为y 2＝－8x .故选B. 方法总结：1．求抛物线标准方程的方法 (1)定义法：若题目已给出抛物线的方程(含有未知数p )，那么只需求出p 即可． (2)待定系数法：若题目未给出抛物线的方程，对于焦点在x 轴上的抛物线的标准方程可统一设为y 2＝ax (a ≠0)，a 的正负由题设来定；焦点在y 轴上的抛物线的标准方程可设为x 2＝ay (a ≠0)，这样就减少了不必 要的讨论． 2．抛物线性质的应用技巧 (1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程． (2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质简化运算 考点三 综合考查直线与抛物线的问题 例3、如图，已知抛物线关于y 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(2，1)，A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)均 在抛物线上． (1)求抛物线的方程； (2)若∠APB 的平分线垂直于y 轴，求证：直线AB 的斜率为定值． 【解析】 (1)由已知条件，可设抛物线的方程为x 2＝2py(p>0)．∵点P(2，1)在抛物线上，∴22＝2p×1，解得p ＝2.故所求抛物线的方程为x 2＝4y. (2)由题意知k AP ＋k BP ＝0，∴ y 1－1x 1－2＋y 2－1 x 2－2 ＝0， ∴x 214－1x 1－2＋x 224－1x 2－2 ＝0，∴x 1＋24＋x 2＋24＝0， ∴x 1＋x 2＝－4，∴k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝x 214－ x 2 24x 1－x 2 ＝x 1＋x 2 4＝－1，∴直线AB 的斜率为定值－1. 变式1、如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A(8，－4)，P(2，t)(t<0)在抛物线y 2＝2px(p>0)上． (1)求p ，t 的值； (2)过点P 作PM 垂直于x 轴，M 为垂足，直线AM 与抛物线的另一交点为B ，点C 在直线AM 上，若PA ，PB ，PC 的斜率分别为k 1，k 2，k 3，且k 1＋k 2＝2k 3，求点C 的坐标． 【解析】 (1)将点A(8，－4)代入y 2＝2px ，得p ＝1.将点P(2，t)代入y 2＝2x ，得t ＝±2.∵t<0，∴t ＝－2. (2)由题意知，点M 的坐标为(2，0)，直线AM 的方程为y ＝－23x ＋43 .联立?????y ＝－23x ＋43，y 2＝2x ，解得B ????12，1，∴k 1＝－13，k 2＝－2，代入k 1＋k 2＝2k 3，得k 3＝－76，故直线PC 的方程为y ＝－76x ＋13 ，联立 ??? y ＝－23x ＋43 ， y ＝－76x ＋13 ，解得C ? ???－2，83. 变式2、过抛物线y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线交于A ，B 两点，若|AF |＝2|BF |，则|AB |等于( ) A ．4 B.9 2 C ．5 D ．6 【答案】 B 【解析】易知直线l 的斜率存在，设为k ，则其方程为y ＝k (x －1)． 由? ???? y ＝k x －1 ， y 2 ＝4x 得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， 得x A ·x B ＝1，① 因为|AF |＝2|BF |，由抛物线的定义得 x A ＋1＝2(x B ＋1)， 即x A ＝2x B ＋1，② 由①②解得x A ＝2，x B ＝1 2， 所以|AB |＝|AF |＋|BF |＝x A ＋x B ＋p ＝9 2 . [应用结论] 法一：由对称性不妨设点A 在x 轴的上方，如图，设A ，B 在准线上的射影分别为D ，C ，作BE ⊥AD 于E ， 设|BF |＝m ，直线l 的倾斜角为θ，则|AB |＝3m ， 由抛物线的定义知 |AD |＝|AF |＝2m ，|BC |＝|BF |＝m ， 所以cos θ＝|AE ||AB |＝13，所以tan θ＝22，则sin 2θ＝8cos 2θ，所以sin 2θ＝8 9.又y 2＝4x ，知2p ＝4，故利用 弦长公式|AB |＝2p sin 2θ＝9 2 . 法二：因为|AF |＝2|BF |，1|AF |＋1|BF |＝12|BF |＋1|BF |＝32|BF |＝2p ＝1，解得|BF |＝3 2 ，|AF |＝3， 故|AB |＝|AF |＋|BF |＝9 2 . 方法总结：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系． (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式||AB ＝x 1＋x 2＋p ；若不过焦点，则必须用弦长公式． (3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法．涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解． 五、优化提升与真题演练 1、（2020年高考全国Ⅰ卷理数）已知A 为抛物线C :y 2=2px （p >0）上一点，点A 到C 的焦点的距离为12，到y 轴的距离为9，则p =（ ） A ．2 B ．3 C ．6 D ．9 【答案】C 【解析】设抛物线的焦点为F ，由抛物线的定义知||122 A p AF x =+=，即1292p =+，解得6p . 故选：C ． 2、（2020年高考全国Ⅰ卷理数）设O 为坐标原点，直线2x =与抛物线C ：22(0) y px p =>交于D ，E 两点，若OD OE ⊥，则C 的焦点坐标为（ ） A ． 1 ,04?? ??? B ． 1,02?? ??? C ． (1,0) D ． (2,0) 【答案】B 【解析】因为直线2x =与抛物线2 2(0)y px p =>交于,E D 两点，且OD OE ⊥， 根据抛物线的对称性可以确定4 DOx EOx π ∠=∠= ，所以()2,2D ， 代入抛物线方程44p =，求得1p =，所以其焦点坐标为1 (,0)2 ， 故选：B ． 3、（2020年高考北京）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作 PQ l ⊥于Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ） A ． 经过点O B ． 经过点P C ． 平行于直线OP D ． 垂直于直线OP 【答案】B 【解析】如图所示： ． 因为线段FQ 的垂直平分线上的点到,F Q 的距离相等，又点P 在抛物线上，根据定义可知，PQ PF =，所以线段FQ 的垂直平分线经过点P . 故选：B ． 4、（2019·全国高考）若抛物线y 2=2px （p >0）的焦点是椭圆2231x y p p + =的一个焦点，则p =（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 【答案】D 【解析】因为抛物线2 2(0)y px p =>的焦点(,0)2 p 是椭圆 2231x y p p +=的一个焦点，所以23()2 p p p -=，解得8p =，故选D ． 5、(2018·全国卷Ⅰ)设抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，过点(－2,0)且斜率为2 3的直线与C 交于M ，N 两点， 则FM →·FN → ＝( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【答案】D 【解析】由题意知直线MN 的方程为y ＝23 (x ＋2)．联立????? y ＝23x ＋2，y 2＝4x ，消去y 并整理，得x 2－5x ＋4 ＝0.解得x N ＝1，x M ＝4.所以y N ＝2，y M ＝4.又抛物线y 2＝4x 的焦点为F (1,0)，所以FM →＝(3,4)，FN → ＝(0,2)．所以FM →·FN → ＝3×0＋2×4＝8.故选D. 6、（2017·全国高考）过抛物线2 :4C y x =的焦点F ，3的直线交C 于点M （在x 轴上方）， l 为C 的准线，点N 在l 上且MN l ⊥，则点M 到直线NF 的距离为（ ） A.3 B.335 D.22【答案】A 【解析】设直线l 与x 轴相交于点P ，与直线MN 相交于点Q ，(1,0)F ， 设||||MN MF m ==，因为||2,30PF NQM =∠=，所以||4,||2QF QM m ==， 所以42m m +=，解得：4m =，设00(,)M x y ，由焦半径公式得：014x +=， 所以03x =，023y =， 所以233 sin sin NP MNF NFP NF ∠=∠= == ， 所以点M 到直线NF 的距离为||sin 4NM MNF ?∠== 7、(2018·全国卷Ⅰ)已知点M (－1,1)和抛物线C ：y 2＝4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若∠AMB ＝90°，则k ＝________. 【答案】2 【解析】解法一：由题意可知C 的焦点坐标为(1,0)，所以过焦点(1,0)，斜率为k 的直线方程为x ＝y k ＋1， 设A ????y 1k ＋1，y 1，B ??? ?y 2 k ＋1，y 2， 将直线方程与抛物线方程联立得????? x ＝y k ＋1， y 2＝4x ， 整理得y 2－4 k y －4＝0， 从而得y 1＋y 2＝4 k ，y 1·y 2＝－4. ∵M (－1,1)，∠AMB ＝90°， ∴MA →·MB → ＝0， 即????y 1k ＋2·????y 2k ＋2＋(y 1－1)(y 2－1)＝0， 即k 2－4k ＋4＝0，解得k ＝2. 解法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则????? y 21＝4x 1，①y 22＝4x 2 ，② ②－①得y 22－y 2 1＝4(x 2－x 1)， 从而k ＝y 2－y 1x 2－x 1＝4y 1＋y 2 . 设AB 的中点为M ′，如图，连接MM ′. ∵直线AB 过抛物线y 2＝4x 的焦点， ∴以线段AB 为直径的⊙M ′与准线l ：x ＝－1相切． ∵M (－1,1)，∠AMB ＝90°， ∴点M 在准线l ：x ＝－1上，同时在⊙M ′上， ∴准线l 是⊙M ′的切线，切点为M ，且M ′M ⊥l ， 即MM ′与x 轴平行， ∴点M ′的纵坐标为1， 即 y 1＋y 2 2 ＝1?y 1＋y 2＝2， 故k ＝4y 1＋y 2＝4 2 ＝2. 8、（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知P 是抛物线2 4y x =上的动点，点P 在y 轴上的射影是M ，点 A 的坐标为()2,3，则PA PM +的最小值是__________． 1 【解析】设抛物线的焦点是()1,0F ， 根据抛物线的定义可知1PM PF =- 1PA PM PA PF ∴+=+-， PA PF AF +≥， 当,,A P F 三点共线时，等号成立， PA PM ∴+的最小值是1AF ， AF = = PA PM ∴+ 1. 1 9、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知抛物线()2 20y px p =>的焦点为F (4，0)，过F 作直线l 交抛 物线于M ，N 两点，则p =_______， 4 9 NF MF - 的最小值为______． 【答案】8p = 1 3 【解析】∵ 抛物线()2 20y px p =>的焦点为F(4，0)， ∴ 8p =， ∴ 抛物线的方程为2 16y x =， 设直线l 的方程为4x my =+，设()11,M x y ，()22,N x y ， 由2164 y x x my ?=?=+?得216640y my --=， ∴1216y y m +=，1264y y =-， 由抛物线的定义得 11MF NF +1211 44x x =+++()()21124444x x x x +++=++()()211244888my my my my ++++=++()()122121216864 m y y m y y m y y ++=++ + 2 221616 6412864m m m +=-++()() 22161 641 m m +=+14=， ∴ 49 NF MF - 11494NF NF ??=-- ? ??? 419NF NF =+ -1≥1 3=， 当且仅当 4 9 NF NF = 即6NF =时，等号成立， 故答案为：13 ．