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第2课时函数概念与表示

第2课时函数概念与表示
第2课时函数概念与表示

第二讲 函数概念与表示

一.要点精讲

1.函数的概念: 2.构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域

3.两个函数的相等: 4.映射的概念

注意:(1)这两个集合有先后顺序,A 到B 的映射与B 到A 的映射是截然不同的.其中f 表示具体的对应法则,可以用汉字叙述。(2)“都有唯一”包含两层意思:一是必有一个;二是只有一个,也就是说有且只有一个的意思。 5.常用的函数表示法6.分段函数7.复合函数

若y =f (u),u=g(x ),x ∈(a ,b ),u ∈(m,n),那么y =f [g(x )]称为复合函数,u 称为中间变量,它的取值范围是g(x )的值域。

二.典例分析

题型一:函数概念

例1.(1)函数()y f x =的图象与直线1x =的公共点数目是( )

A. 1

B. 0

C. 0或1

D. 1或2

(2)若32)(+=x x f ,R x ∈;则原象2所对应的象为 ;象2所对应的原象为 。

例2。(1)设函数).89(,)

100()5()100(3)(f x x f x x x f 求???<+≥-= (2)设函数f (x )=???+∞∈-∞∈-)

,1(,log ]1,(,281x x x x ,则满足f (x )=41的x 值为 。 变式:函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=

,若()15,f =-则()()5f f =__ ________; 题型二:判断两个函数是否相同

例3.试判断以下各组函数是否表示同一函数?

(1)f (x )=2x ,g (x )=33x ; (2)f (x )=x x ||,g (x )=???<-≥;

01,01x x (3)f (x )=x 2-2x -1,g (t )=t 2-2t -1。 (4)f (x )=x

1+x ,g (x )=x x +2;

题型三:函数定义域问题 例4.求函数的定义域:02

)23()

12lg(2)(x x x x x f -+--=;

变式: (1) 已知函数()f x 定义域为(1,4),)(2x f 的定义域为 ;

(2)已知函数)(2

x f 定义域为(1,4),()f x 的定义域为 。 题型四:函数值域问题

例5.求下列函数的值域:

(1)232y x x =-+; (2)y =; (3)312

x y x +=-;

(4)y x =+ (5)y x =+ (6)|1||4|y x x =-++;

(7)22221x x y x x -+=++; (8)2211()212

x x y x x -+=>-; (9)1sin 2cos x y x -=-。

题型五:函数解析式

例6.(1)已知32)12(2++=-x x x f ,求()f x ;(2)已知()f x 满足12()()3f x f x x +=,求()f x 。

(3)已知()f x 是一次函数,且满足3(1)2(1)217f x f x x +--=+,求()f x ;

变式:(1)已知33

1

1()f x x x x +=+,求()f x ; (2)已知x x f x f 4)()(2=--,求)(x f 。

题型六:函数应用

例7已知在x 克%a 的盐水中,加入y 克%b 的盐水,浓度变为%c ,将y 表示成x 的函数关系式( )

A .x b c a c y --=

B .x c b a c y --=

C .x a c b c y --=

D .x a

c c b y --= 例8。 动点P 从边长为1的正方形ABCD 的顶点出发顺次经过B 、C 、D 再回到A ;设x 表示P 点的行程,y 表

示PA 的长,求y 关于x 的函数解析式.

变式:等腰梯形ABCD 的两底分别为AB =10,CD =4,两腰AD =CB =5,动点P 由B 点沿折线BCDA 向A 运动,设P 点所经过的路程为x ,三角形ABP 的面积为S. 求函数S =f (x )的解析式。

作业:

1.函数y =)23(log 2

1-x 的定义域是 .

2.已知函数f (x )=?????<+≥)4()1()4()21(x x f x x 则f (log 23)的值为 .

3:设1232,2()((2))log (1) 2.

x e x f x f f x x -??=?-≥??<,则的值为,( ) A .0 B .1 C .2 D .3 4.

函数0

y =_____________________.

5.设函数f (x )=,0

,20,2?????>≤++x x c bx x 若f (-4)=f (0),f (-2)=-2,则关于x 的方程f (x )=x 的解的个数为 . 6.设函数.)().0(1),0(121)(a a f x x

x x x f >???????<≥-=若则实数a 的取值范围是 . 7.若二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴交于(2,0),(4,0)A B -,且函数的最大值为9,则这个二次 函数的表达式是 .

8。从盛满20升纯酒精的容器里倒出1升,然后用水加满,再倒出1升混合溶液,再用水加满. 这样继续下去,建立所倒次数x 和酒精残留量y 之间的函数关系式 .

9.求定义域:).lg()lg()(2

2a x ka x x f -+-=

10.12,x x 是关于x 的一元二次方程22(1)10x m x m --++=的两个实根,又2212y x x =+, 求()y f m =的解析式及此函数的定义域.

第二课时 函数的概念(二)

第二课时函数的概念(二) 课标要求素养要求 1.会判断两个函数是否为同一函数. 2.能正确使用区间表示数集. 3.会求一些简单函数的值域. 1.通过对区间概念的理解及判断两个函 数为同一函数,提升数学抽象素养. 2.通过求一些简单函数的值域,提升逻 辑推理、数学运算素养. 新知探究 设计运行时速达350公里的京津城际列车呈现出超越世界的 “中国速度”,使得新时速旅客列车的运行速度值界定在200 公里/时与350公里/时之间. 问题1如何表示列车的运行速度的范围? 提示我们已学习不等式、集合知识,所以用不等式可表示为200

{x |a ≤x a } (a ,+∞) {x |x ≤a } (-∞,a ] {x |x 0时,值域为????? 4ac -b 24a ,+∞ , 当a <0时,值域为? ? ??-∞, 4ac -b 24a . 拓展深化 [微判断] 1.已知定义域和对应关系就可以确定一个函数.(√) 2.两个函数的定义域和值域相同就表示同一函数.(×) 提示 两个函数的定义域、值域相同,而对应关系不一定相同. 3.函数y =1+x 2的值域为(1,+∞).(×) 提示 y =1+x 2的值域为[1,+∞). [微训练] 1.下表表示y 是x 的函数,则函数的值域是( )

2019精品教育4.示范教案(2.1函数的概念第1课时)

1.2 函数及其表示 1.2.1 函数的概念 整体设计 教学分析 函数是中学数学中最重要的基本概念之一.在中学,函数的学习大致可分为三个阶段.第一阶段是在义务教育阶段,学习了函数的描述性概念,接触了正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等最简单的函数,了解了它们的图象、性质等.本节学习的函数概念与后续将要学习的函数的基本性质、基本初等函数(Ⅰ)和基本初等函数(Ⅱ)是学习函数的第二阶段,这是对函数概念的再认识阶段.第三阶段是在选修系列的导数及其应用的学习,这是函数学习的进一步深化和提高. 在学生学习用集合与对应的语言刻画函数之前,学生已经把函数看成变量之间的依赖关系;同时,虽然函数概念比较抽象,但函数现象大量存在于学生周围.因此,课本采用了从实际例子中抽象出用集合与对应的语言定义函数的方式介绍函数概念. 三维目标 1.会用集合与对应的语言来刻画函数,理解函数符号y=f(x)的含义;通过学习函数的概念,培养学生观察问题、提出问题的探究能力,进一步培养学习数学的兴趣和抽象概括能力;启发学生运用函数模型表述思考和解决现实世界中蕴涵的规律,逐渐形成善于提出问题的习惯,学会数学表达和交流,发展数学应用意识. 2.掌握构成函数的三要素,会求一些简单函数的定义域,体会对应关系在刻画函数概念中的作用,使学生感受到学习函数的必要性的重要性,激发学生学习的积极性. 重点难点 教学重点:理解函数的模型化思想,用集合与对应的语言来刻画函数. 教学难点:符号“y=f(x)”的含义,不容易认识到函数概念的整体性,而将函数单一地理解成对应关系,甚至认为函数就是函数值. 课时安排 2课时 教学过程 第1课时函数的概念 导入新课 思路1.北京时间2005年10月12日9时整,万众瞩目的“神舟”六号飞船胜利发射升空,5天后圆满完成各项任务并顺利返回.在“神舟”六号飞行期间,我们时刻关注“神舟”六号离我们的距离y随时间t是如何变化的,本节课就对这种变量关系进行定量描述和研究.引出课题. 思路2.问题:已知函数y=1,x请用初中所学函数的定义来解释y与x的函数关系?先让学生回答后,教师指出:这样解释会显得十分勉强,本节将用新的观点来解释,引出课题. 推进新课 新知探究 提出问题 (1)给出下列三种对应:(幻灯片) ①一枚炮弹发射后,经过26 s落到地面击中目标.炮弹的射高为845 m,且炮弹距地面的高度为h(单位:m)随时间t(单位:s)变化的规律是h=130t-5t2. 时间t的变化范围是数集A={t|0≤t≤26},h的变化范围是数集B={h|0≤h≤845}.则有对应 f:t→h=130t-5t2,t∈A,h∈B. ②近几十年来,大气层的臭氧迅速减少,因而出现了臭氧洞问题.图1-2-1-1中的曲线显示了南极上空臭氧层空洞的面积S(单位:106 km2)随时间t(单位:年)从1991~2001年的变化情况.

第三章 3.1 3.1.1 第二课时 函数的表示方法

第二课时函数的表示方法 课标要求 素养要求 1.掌握函数的三种表示法:解析法、列表法、图像法以及各自的优缺点. 2.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数. 3.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用. 1.结合实例,经历函数三种表示法的抽象过程,体会三种表示法的作用,培养学生的数学抽象素养. 2.结合实例,加深对分段函数概念的理解及应用,提升逻辑推理、数学运算素养. 教材知识探究 (1)已建成的京沪高速铁路总长约1 318千米,设计速度目标值为380千米/时.若京沪高速铁路时速按300千米/时计算,火车行驶x小时后,路程为y千米,则y 是x的函数,可以用y=300x来表示,其中y=300x叫做该函数的解析式. (2)如图是我国人口出生率变化曲线: (3)下表是大气中氰化物浓度与污染源距离的关系表 污染源距离50100200300500 氰化物浓度0.6780.3980.1210.050.01 问题 提示解析法、图像法和列表法. 1.函数的三种表示方法函数的定义中,对应关系有哪三种表达形式

(1)解析法:在函数y =f (x )中,如果f (x )是用代数式(或解析式)来表示的,这种表示函数的方法称为解析法. (2)列表法:用列表的形式给出了函数的对应关系,这种表示函数的方法称为列表法. (3)图像法 ①函数图像:一般地,将函数y =f (x ),x ∈A 中的自变量x 和对应的函数值y ,分别看成平面直角坐标系中点的横坐标与纵坐标,则满足条件的点(x ,y )组成的集合F 称为函数的图像,即F ={(x ,y )|y =f (x ),x ∈A }. ②图像上点的坐标与函数的关系:如果F 是函数y =f (x )的图像,则图像上任意一点的坐标(x ,y )都满足函数关系y =f (x );反之,满足函数关系y =f (x )的点(x ,y )都在函数图像F 上. ③图像法:用函数的图像表示函数的方法称为图像法. ④作函数图像的方法 ⅰ.描点作图法:实际作图时,经常先描出函数图像上一些有代表性的点,然后再根据有关性质作出函数图像,这称为描点作图法.其步骤是列表、描点、连线. ⅱ.变换作图法 图像的变换不简单 b.对称:y =f (x )――――――→关于x 轴对称 y =-f (x ); y =f (x )――――――→关于y 轴对称y =f (-x ); y =f (x )――――――――→关于原点对称y =-f (-x ). 求解y =f (x )与y =f (-x )、y =-f (x )的关系时需利用该结论. c.其他:y =f (x )―――――――――――――――→保留x 轴上方图像,再把x 轴下方图像翻折到上方 y =|f (x )|; y =f (x )――――――――――――――――――――――――――――――→删掉y 轴左侧的图像,保留y 轴右侧的图像, 并把y 轴右侧的图像翻折到左侧,得到y 轴左侧的图像y =f (|x |). 2.分段函数与常数函数

高一数学函数的概念及表示方法

全方位教学辅导教案姓名性别年级高一 教学 内容 函数与映射的概念及其函数的表示法 重点难点教学重点:理解函数的概念;区间”、“无穷大”的概念,定义域的求法,映射的概念教学难点:函数的概念,无穷大”的概念,定义域的求法,映射的概念 教学目标1.理解函数的定义;明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素; 2.能够正确理解和使用“区间”、“无穷大”等记号;掌握分式函数、根式函数定义域的求法,掌握求函数解析式的思想方法 3.了解映射的概念及表示方法 4.了解象与原象的概念,会判断一些简单的对应是否是映射,会求象或原象. 5.会结合简单的图示,了解一一映射的概念 教学过程课前检 查与交 流 作业完成情况: 交流与沟通 针 对 性 授 课 一、函数的概念 一、复习引入: 初中(传统)的函数的定义是什么?初中学过哪些函数? 设在一个变化过程中有两个变量x和y,如果对于x的每一个值,y都有唯一的 值与它对应,那么就说x是自变量,y是x的函数.并将自变量x取值的集合叫做 函数的定义域,和自变量x的值对应的y值叫做函数值,函数值的集合叫做函数 的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义. 初中已经学过:正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等 问题1:()是函数吗? 问题2:与是同一函数吗? 观察对应: 30 45 60 90 2 1 2 2 2 3 9 4 1 1 -1 2 -2 3 -3 3 -3 2 -2 1 -1 1 4 9 1 2 3 1 2 3 4 5 6 (1)(2) (3)(4) 开平方求正弦 求平方乘以2 A A A A B B B B 1 二、讲解新课:

1.2.1函数的概念(教学设计)(优秀经典公开课比赛教案)

1.2.1函数的概念(教学设计) 教学目的: 1.理解函数的定义;明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素; 2.理解静与动的辩证关系,激发学生学习数学的兴趣和积极性。 教学重点:理解函数的概念 教学难点:函数的概念 教学过程: 一、复习回顾,新课引入: 初中(传统)的函数的定义是什么?初中学过哪些函数? 设在一个变化过程中有两个变量x 和y ,如果对于x 的每一个值,y 都有唯一的值与它对应,那么就说x 是自变量,y 是x 的函数.并将自变量x 取值的集合叫做函数的定义域,和自变量x 的值对应的y 值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域.这种用变量叙述的函数定义我们称之为函数的传统定义. 初中已经学过:正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等。 问题1:1=y (R x ∈)是函数吗? 问题2:x y =与x x y 2 =是同一函数吗? 观察对应: 300450600 90212 22 3941 1-12-23-3 3-32-21-1 149 123 123456 (1) (2)(3)(4) 开平方 求正弦 求平方 乘以2 A A A A B B B B 1 二、师生互动,新课讲解: (一)函数的有关概念 设A ,B 是非空的数集,如果按某个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个x ,在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应,那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的函数,记作 )(x f y =, x ∈A 其中x 叫自变量,x 的取值范围A 叫做函数)(x f y =的定义域;与x 的值相对应的y 的值叫做函数值,函数值的集合 {}A x x f ∈|)((?B )叫做函数y=f(x)的值域.值域是集合B 的子集。

《变量与函数》第2课时 教学设计

《变量与函数》教学设计 第2课时 进一步研究运动变化过程中变量之间的对应关系,在观察具体问题中变量之间对应关系的基础上,抽象出函数的概念. 1.进一步体会运动变化过程中的数量变化; 2.从典型实例中抽象概括出函数的概念,了解函数的概念. 概括并理解函数概念中的对应关系. 多媒体:PPT课件、电子白板. 一、观察思考,分析变化 问题1 下面变化过程中,是否包含两个变量?同一问题中的变量之间有什么联系? (1)汽车以60 km/h 的速度匀速行驶,行驶的时间为t h,行驶的路程为s km; (2)每张电影票的售价为10 元,设某场电影售出 x张票,票房收入为y 元; (3)圆形水波慢慢地扩大,在这一过程中,圆的半径为 r ,面积为 S ; (4)用10 m 长的绳子围一个矩形,当矩形的一边长为 x,它的邻边长为 y. [活动说明与建议]说明:本问题主要是给出具体事例让学生认识并抽象得到函数的概◆教材分析 ◆教学目标 ◆教学重难点 ◆ ◆课前准备 ◆ ◆教学过程

念,函数概念的抽象应循序渐进,首先让学生知道这些事例是一个变换的过程,其次这些变换过程中都含有两个变量,这两个变量之间存在着某种联系,最后由教师引导通过具体的数据,发现当给定一个变量的值时,有唯一的另一个变量的值与之对应,这种对应关系每个问题都不同. 建议:在教师的引导下,充分的让学生通过实例感知函数,感知这种对应关系. 【归纳】上面每个问题中的两个变量相互联系,当其中一个变量取定一个值时,另一个变量就有唯一的值与之对应. 二、观察思考,再次概括 问题2:一些用图或表格表达的问题中,也能看到两个变量之间存在上面那样的关系. (1)下面是中国代表团在第23 届至30 届夏季奥运会上获得的金牌数统计表,届数和金牌数可以分别记作 x 和 y,对于表中每一个确定的届数 x,都对应着一个确定的金牌数y 吗? (2)如图是北京某天的气温变化图,你能根据图象说出某一时刻的气温吗? 问题3:综合以上这些现象,你能再次归纳出上面所有事例的变量之间关系的共同特点吗?函数的定义: 一般地,在一个变化过程中,如果有两个变量x 与y,并且对于x 的每一个确定的值,y 都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说 x 是自变量,y 是 x 的函数.如果当 x =a 时,对应的 y =b,那么 b 叫做当自变量的值为 a 时的函数值. 三、初步应用,巩固知识:

函数的概念与表示法

函数的概念和函数的表示法 考点一:由函数的概念判断是否构成函数 函数概念:设A 、B 是非空的数集,如果按照某种确定的关系f ,使对于集合A 中的任意一个数x ,在集合B 中都有 唯一确定的数f (x )和它对应,那么就称f :A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数。 例1. 下列从集合A 到集合B 的对应关系中,能确定y 是x 的函数的是( ) ① A={x x ∈Z},B={y y ∈Z},对应法则f :x →y= 3 x ; ② A={x x>0,x ∈R}, B={y y ∈R},对应法则f :x →2y =3x; ③ A=R,B=R, 对应法则f :x →y=2 x ; 变式1. 下列图像中,是函数图像的是( ) ① ② ③ ④ 变式2. 下列式子能确定y 是x 的函数的有( ) ①22x y +=2 1= ③ A 、0个 B 、1个 C 、2个 D 、3个 变式3. 已知函数y=f (x ),则对于直线x=a (a 为常数),以下说法正确的是( ) A. y=f (x )图像与直线x=a 必有一个交点 B.y=f (x )图像与直线x=a 没有交点 C.y=f (x )图像与直线x=a 最少有一个交点 D.y=f (x )图像与直线x=a 最多有一个交点 变式4.对于函数y =f(x),以下说法正确的有…( ) ①y 是x 的函数 ②对于不同的x ,y 的值也不同 ③f(a)表示当x =a 时函数f(x)的值,是一个常量 ④f(x)一定可以用一个具体的式子表示出来 A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 变式5.设集合M ={x|0≤x ≤2},N ={y|0≤y ≤2},那么下面的4个图形中,能表示集合M 到集合N 的函数关系的有( ) A .①②③④ B .①②③ C .②③ D .② 考点二:同一函数的判定 函数的三要素:定义域、对应关系、值域。 如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,我们就称这两个函数相等。 例2. 下列哪个函数与y=x 相同( ) ①. y=x ②.y = ③. 2 y = ④.y=t ⑤.3 3x y = ;⑥.2x y =

121函数的概念(1)补充练习

变式训练 1.已知a 、b ∈N *,f (a +b )=f (a )f (b ),f (1)=2,则 )2006()2007()2()3()1()2(f f f f f f +++ =_________.分析:令a =x ,b =1(x ∈N *), 则有f (x +1)=f (x )f (1)=2f (x ), 即有) ()1(x f x f +=2(x ∈N *). 所以,原式= 2006222++=4012. 答案:4012 2.2007山东蓬莱一模,理13设函数f (n )=k (k ∈N *),k 是π的小数点后的第n 位数字,π= 3.1415926535…,则[]{} 100 )10(f f f 等于________. 分析:由题意得f (10)=5,f (5)=9,f (9)=3,f (3)=1,f (1)=1,…, 则有[]{} 100 )10(f f f =1. 答案:1 2.2007山东济宁二模,理10已知A={a ,b ,c },B={-1,0,1},函数f :A→B 满足f (a )+f (b )+f (c )=0,则这样的函数f (x )有( ) A.4个 B.6个 C.7个 D.8个 活动:学生思考函数的概念,什么是不同的函数.定义域和值域确定后,不同的对应法则就是不同的函数,因此对f (a ),f (b ),f (c )的值分类讨论,注意要满足f (a )+f (b )+f (c )=0. 解:当f (a )=-1时, 则f (b )=0,f (c )=1或f (b )=1,f (c )=0, 即此时满足条件的函数有2个; 当f (a )=0时, 则f (b )=-1,f (c )=1或f (b )=1,f (c )=-1或f (b )=0,f (c )=0, 即此时满足条件的函数有3个; 当f (a )=1时, 则f (b )=0,f (c )=-1或f (b )=-1,f (c )=0, 即此时满足条件的函数有2个. 综上所得,满足条件的函数共有2+3+2=7(个). 故选C. 点评:本题主要考查对函数概念的理解,用集合的观点来看待函数. 变式训练 若一系列函数的解析式相同,值域相同,但是定义域不同,则称这些函数为“同族函数”.那么解析式为y =x 2,值域是{1,4}的“同族函数”共有( ) A.9个 B.8个 C.5个 D.4个 分析:“同族函数”的个数由定义域的个数来确定,此题中每个“同族函数”的定义域中至少含有1个绝对值为1的实数和绝对值为2的实数. 令x 2=1,得x =±1;令x 2=4,得x =±2. 所有“同族函数”的定义域分别是{1,2},{1,-2},{-1,2},{-1,-2},{1,-1,2},{1,-1,-2},{1,-2,2},

函数的图象第二课时导学案2教案

函数的图象(第二课时)导学案 主备人:李丽荣 执教人: 时间:2009-11-5 学习目标:1、熟练掌握画简单函数图象的方法(列表、描点、连线); 2、能从图象上看出重要的信息和特征; 3、结合实例培养自己数形结合的思想和读图能力. 学习重点:熟练画简单函数图象,并从中读出重要信息。 学习难点:能从函数图象中体会到函数的一些主要性质。 一、知识回顾 1、一般地,对于一个函数,如果把自变量x 与函数y 的每对对应值分别作为点的 坐标,那么坐标平面内由这些点组成的图形就是这个函数的_________. 2、通过函数图象可以 地研究函数。 二、新知预习 描点法画函数图象的一般步骤如下: 第一步: (表中给出一些自变量的值及其对应的函数值) 第二步: (在直角坐标系中,以 的值为横坐标,相应的函数值为 ,描出表格中数值对应的点) 第三步: (按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用 的曲线或线段连接起来) 三:例题解析 1.试一试:画出y= 6 x (x>0)的图象,该函数的自变量的取值为 的实数,即正x … 0.5 1.5 2.5 3 3.5 … y … 6 2 1.5 … 曲线从左向右 ,即当x 由小变大时,y = 6 x 随之 . 2.议一议:自学课本103页---104页(思考)小组讨论后,回答后面的问题。 3.某车间的甲、乙两名工人分别同时生产同种零件,它们一天生产零件y (个)与生产时间t (小时)的函数关系如图所示。 甲 乙 4 10 2 5 40 y 个

(1)根据图像填空:①甲、乙中, 先完成一天的生产任务;在生产过程中, 因机器故障停止生产 小时;②当t= 时,甲、乙生产的零件个数相等。 (2)谁在哪一段时间内的生产速度最快?求该段时间内,他每小时生产零件的个数。 四、随堂练习 1、画出函数2 x y 的图象。并结合图象完成课本104页的练习3的第(2)小问。 (1) :(2)描点和连线 x … -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … y … … 2、小颖从家出发,直走了20分钟,到一个离家1000米的图书室,看了40分钟的书后,用20分钟返回到家,下图中表示小颖离家时间与距离之间的关系的是( ) 3、(2006 湖北十堰课改)学校升旗仪式上,徐徐上升的国旗的高度与时间的关系可以用一幅图近似地刻画,这幅图是下图中的( ) 3.(2006 益阳课改)小明骑自行车上学,开始以正常速度匀速行驶,途中自行车出了故 1000 x (分) 20 60 80 D . O 1000 x (分) 20 60 75 A . O 1000 x (分) 20 75 B . O 1000 x (分) 60 75 C . O 时间 A. 高度 时间 B. 高度 时间 C. 高度 时间 D. 高度

函数的基本概念及表示法

题一:定义集合{1,2,…,n }到{1,2,…,n }上的函数f :k →i k ,k =1,2,…,n .记作:121,2,,,,,n n i i i ?? ??? . 设121,2,,,,,n n f i i i ??= ??? ,12 1,2,,,,,n n g j j j ??= ??? (这里的j 1,j 2,…,j n n j j j ,,,21 也是1,2,…,n 这n 个整数的一个排列).定义g f 12 1,2,,,,,n n i i i ??= ??? 121,2,,,,,n n j j j ?? ??? ,其中)]([)(k g f k g f = ,k =1,2,…,n ..则? ?? ? ?????? ??4,5,1,2,35,4,3,2,13,1,2,4,55,4,3,2,1= 题二:在加工爆米花的过程中,爆开且不糊的粒数占加工总数的比率称为可食用率p .它的大小主要取决于加工时间t (单位:分钟). 做了三次实验,数据记录如图所示.已知图中三个点都在函数p =-0.2t 2+bt +c 上,则由此得到的理论最佳加工时间为 分钟. 题三:3,10 ()((5)),10x x f x f f x x -≥?=?+

高一函数的概念教学设计

高一函数的概念教学设计 一、教学目标 1、知识与技能: 函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型.高中阶段不仅把函数看成变量之间 的依赖关系,同时还用集合与对应的语言刻画函数,高中阶段更注重函数模型化的思想与意识. 2、过程与方法: (1)通过实例,进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型,在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数,体会对应关系在刻画函数概念中的作用; (2)了解构成函数的要素; (3)会求一些简单函数的定义域和值域; (4)能够正确使用“区间”的符号表示某些函数的定义域; 3、情态与价值,使学生感受到学习函数的必要性的重要性,激发学习的积极性。 二、教学重点与难点: 重点:理解函数的模型化思想,用集合与对应的语言来刻画函数; 难点:符号“y=f(x)”的含义,函数定义域和值域的区间表示; 三、学法与教学用具

1、学法:学生通过自学、思考、交流、讨论和概括,从而更好地完成本节课的教学目标. 2、教学用具:投影仪. 四、教学思路 (一)创设情景,揭示课题 1、复习初中所学函数的概念,强调函数的模型化思想; 2、阅读课本引例,体会函数是描述客观事物变化规律的数学模型的思想: (1)炮弹的射高与时间的变化关系问题; (2)南极臭氧空洞面积与时间的变化关系问题; (3)“八五”计划以来我国城镇居民的恩格尔系数与时间的变化关系问题 3、分析、归纳以上三个实例,它们有什么共同点。 4、引导学生应用集合与对应的语言描述各个实例中两个变量间的依赖关系; 5、根据初中所学函数的概念,判断各个实例中的两个变量间的关系是否是函数关系. (二)研探新知 1、函数的有关概念 (1)函数的概念:

第五章 5.2 5.2.1 第二课时 三角函数值的符号及公式一

第二课时三角函数值的符号及公式一 课标要求素养要求 1. 能利用三角函数的定义,判断正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号. 2.通过任意角的三角函数的定义理解终边相同角的同一三角函数值相等. 通过三角函数值在各象限内的符号和公式一的应用,重点提升学生的数学运算和逻辑推理素养 . 教材知识探究 地球自转会引起昼夜的交替变化,而公转引起四季交替变化,月亮圆缺变化的周期性,而三角函数值是否有“周而复始”的变化规律呢? 问题如图,角α的终边OP绕原点O,旋转无数周后的三角函数值与α的对应的三角函数值相等吗? 提示相等,根据任意角的三角函数的定义可得,终边相同角的同一三角函数值相等. 1.三角函数值在各象限的符号 口诀概括为:一全正、二正弦、三正切、四余弦(如图). 2.公式一函数名称不变 (1)语言表示:终边相同的角的同一三角函数的值相等.

(2)式子表示:???sin (α+k ·2π)=sin α, cos (α+k ·2π)=cos α,其中k ∈Z .tan (α+k ·2π)=tan α, (3)角α的终边每绕原点旋转一周,函数值将重复出现. 教材拓展补遗 [微判断] 1.同一个三角函数值能找到无数个角与之对应.(√) 2.若sin α·cos α>0,则角α为第一象限角.(×) 提示 sin α·cos α>0,则sin α,cos α同号,则α为第一、三象限角. 3.终边相同角的同名三角函数的值相等.(√) 4.sin 3>0,cos 4<0.(√) 5.sin α>0,则α为第一、二象限角.(×) 提示 α的终边位于第一、二象限或y 轴正半轴. [微训练] 1.sin 390°的值为( ) A.32 B.22 C.12 D.-12 解析 sin 390°=sin(360°+30°)=sin 30°=1 2,故选C. 答案 C 2.下列4个实数中,最小的数是( ) A.sin 1 B.sin 2 C.sin 3 D.sin 4 解析 ∵4位于第三象限,故sin 4<0,故选D. 答案 D 3.计算:sin(2π+π6)=________,cos 19π 3=________. 解析 sin(2π+π6)=sin π6=12,cos 19π3=cos(6π+π3)=cos π3=1 2. 答案 12 12

函数的定义及表示方法

函数的定义及表示方法 1若函数()f x 满足(21)1f x x -=+,则(1)f = . 2函数()f x 对于任意实数x 满足条件1(2)() f x f x += ,若(1)5f =-,则((5))f f = . 3若函数2(21)2f x x x +=-,则(3)f = . 4已知函数2 2 (),1x f x x R x =∈+. (1)求1()()f x f x +的值; (2)计算:111 (1)(2)(3)(4)()()()234 f f f f f f f ++++++. 5已知,a b 为常数,若22()43,()1024,f x x x f ax b x x =+++=++求5a b -的值 6设函数3 (100)(),(89).[(5)](100)x x f x f f f x x -≥?=? +

高一数学教案 1.2.1 函数的概念(第二课时) (人教A版必修1)

1.2.1 函数的概念 第二课时 函数概念的应用 【教学目标】 1.进一步加深对函数概念的理解,掌握同一函数的标准; 2.了解函数值域的概念并能熟练求解常见函数的定义域和值域. 3.经历求函数定义域及值域的过程,培养学生良好的数学学习品质。 【教学重难点】 教学重点 能熟练求解常见函数的定义域和值域. 教学难点 对同一函数标准的理解,尤其对函数的对应法则相同的理解. 【教学过程】 1、创设情境 下列函数f (x )与g(x )是否表示同一个函数?为什么? (1)f (x )= (x -1) 0;g(x )=1 ; (2) f (x )=x ;g(x )=x 2; (3)f (x )=x 2;g(x )=(x + 1) 2 ; 、 (4) f (x ) =|x |;g(x )=x 2. 2、讲解新课 总结同一函数的标准:定义域相同、对应法则相同 3、典例 例1 求下列函数的定义域: (1)11+?-=x x y ; (2)232531 x x y -+-=; 分析: 一般来说,如果函数由解析式给出,则其定义域就是使解析式有意义的自变量的取值范围.当一个函数是由两个以上的数学式子的和、差、积、商的形式构成时,定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合. 解 : (1)由???≥+≥-,01,01x x 得???-≥≥, 1,1x x 即1≥x ,故函数11+?-=x x y 的定义域是1[,)∞+. (2)由?????≥-≠-,05,0322x x 得?????≤≤-±≠, 55,3x x 即5-≤x ≤5且x ≠±3, 故函数的定义域是{x|5-≤x ≤5且x ≠±3}. 点评: 求函数的定义域,其实质就是求使解析式各部分有意义的x 的取值范围,列出不等式(组),然后求出它们的解集.其准则一般来说有以下几个: ① 分式中,分母不等于零. ② 偶次根式中,被开方数为非负数. ③ 对于0x y =中,要求 x ≠0. 变式练习1求下列函数的定义域: (1)x x x y -+=||)1(0 ;(2)x x x y 121 32+--+=.

高中数学第三章函数的概念与性质3.1函数的概念及其表示3.1.2第2课时分段函数分层演练

第2课时分段函数 分层演练 综合提升 A 级 基础巩固 1.德国数学家狄利克雷在数学上有着重大贡献,函数D (x )={0,x ?Q ,1,x ∈Q 是以他的名字命名的函数,则D (D (π))= ( ) A.1 B.0 C.π D.-1 答案:A 2.若f (x )={2x ,x >0, f (x +1),x ≤0,则f (43)+f (-43)= ( ) A.-2 B.4 C.2 D.-4 答案:B 3.若函数f (x )={1-x 2,x ≤1,x 2+x -2,x >1,则f (1 f (2))的值为 ( ) A.1516 B.-2716 C.89 D.18 答案:A 4.函数f (x )={x 2-x +1,x <1, 1x ,x >1的值域是 ( ) A .34,+∞ B .(0,1) C .3 4,1 D .(0,+∞) 答案:D 5.已知函数f (x )={x +2,x <0, x 2,0≤x <2, 12x ,x ≥2. (1)求f (f (f (-1 2)))的值; (2)若f (x )=2,求x 的值. 解:(1)因为f (-12)=-12+2=3 2, 所以f (f (-12))=f (32)=(32)2=9 4, 所以f (f (f (-1 2)))=f (94)=12×94=9 8. (2)当f (x )=x +2=2时,解得x =0,不符合题意,舍去;

当f (x )=x 2 =2时,解得x =±√2,其中x =√2符合要求; 当f (x )=12x =2时,解得x =4,符合要求. 综上,x 的值是√2或4. B 级 能力提升 6.某市出租车起步价为5元(起步价内行驶里程为3 km),以后每增加1 km,加收1.8元(不足1 km 按1 km 计价),则乘坐出租车的费用y (单位:元)与行驶的里程x (单位:km)之间的函数图象大致为下图中的 ( ) A B C D 解析:由已知得y ={5,03 = {5,00时,1-a <1,1+a >1,所以2(1-a )+a =-1-a -2a ,解得a =-32(舍去). 当a <0时,1-a >1,1+a <1,所以-1+a -2a =2+2a +a ,解得a =-34. 8.如图,△OAB 是边长为2的等边三角形,记△OAB 位于直线x =t (t >0)左侧的图形的面积为f (t ),试求函数f (t )的解析式. 解:过点B 作BE 垂直x 轴于点E ,可得OE =12OA =1,BE =√3. 当0

《函数与它的表示法》第二课时教案

5.1函数与它的表示法(2) 教材分析: 本节内容是在上节课的基础上引导学生进一步认识函数的概念和自变量的取值范围,为 今后学习反比例函数和二次函数的性质做好知识准备,对学生函数性质接受有很重要的作用,因此本节内容在教材中有着承上启下的作用. 教学设想: 本节课主要采用小组探究式、师生合作的学习方式,让学生通过观察和动手操作得到 结论.通过问题引导学生对函数的概念进行再认识,紧接着探究函数的取值范围,在探究过 程中采用小组合作交流,教师适时点拨的形式,鼓励学生大胆发言,培养学生思维的全面性.教学目标: 知识与技能:1、通过对实例的探究,进一步了解函数的概念. 2、会根据具体情境写出函数的解析式并确定自变量的取值范围. 过程与方法:经历探索确定函数自变量范围的方法,培养学生操作、归纳、推理能力,让学生接触并解决一些现实生活中的问题,逐步培养学生的应用能力. 情感态度和价值观:通过真实的、贴近学生生活的素材和适当的问题情境,激发学生学习数 学的热情和兴趣,操作活动中,培养学生的合作精神. 教学重难点: 重点:确定函数解析式及自变量的取值范围. 难点:确定自变量的取值范围. 课前准备 教具准备 PPT课件 课时安排:2课时 教学过程: 情景导入: 这节课我们进一步研究上一节课的三个例子,思考下列问题: (1)在这些问题中,自变量可以取值的范围分别是什么? (2)对于自变量在它可以取值的范围内每取一个值,另一个变量是否都有唯一确定的值与 它对应? (3)由此你对函数有了哪些进一步的认识? 【设计意图】: 通过师生相互交流可以帮助学生建立学习信心,为解决后来的问题降低了难度. 合作探究一:函数的定义 回忆七年级学的函数概念:在同一变化过程中,有两个变量x和y,如果对于x的每—个值,y都有唯一的值与之对应,我们就把y叫做x的函数,其中x叫做自变量.

函数的概念第二课时教学设计

函数的概念第二课时教学设计 A【教学目标】 1.进一步加深对函数概念的理解,掌握同一函数的标准; 2.了解函数值域的概念并能熟练求解常见函数的定义域和值域. 3.经历求函数定义域及值域的过程,培养学生良好的数学学习品质。 B【教学重难点】 教学重点 能熟练求解常见函数的定义域和值域. 教学难点 对同一函数标准的理解,尤其对函数的对应法则相同的理解. C【教学过程】 1、创设情境 下列函数f(x)与g(x)是否表示同一个函数?为什么? (1)f(x)=(x-1)0;g(x)=1;(2)f(x)=x;g(x)=x; 、(3)f(x)=x2;g(x)=(x+1)2;(4)f(x)=|x|;g(x)=. 2、讲解新课 总结同一函数的标准:定义域相同、对应法则相同 3、典例 例1求下列函数的定义域: (1)y?x?1?x?1;(2)y?1 x2?3?5?x2;

分析:一般来说,如果函数由解析式给出,则其定义域就是使解析式有意义的自变量的取值范围.当一个函数是由两个以上的数学式子的和、差、积、商的形式构成时,定义域是使各部分都有意义的公共部分的集合. 解:(1)由??x?1?0,?x?1,得?即x?1,故函数y?x?1?x?1的定义域是[1,??).x?1?0,x??1,?? 2???x?3?0,?x??,(2)由?得?即?5≤x≤5且x≠±, 2???5?x?0,???x?5, 故函数的定义域是{x|?≤x≤且x≠±3}. 点评:求函数的定义域,其实质就是求使解析式各部分有意义的x的取值范围,列出不等式(组),然后求出它们的解集.其准则一般来说有以下几个: ①分式中,分母不等于零. ②偶次根式中,被开方数为非负数. ③对于y?x0中,要求x≠0. (专业的、优秀的、实惠的教育辅导机构) y?(x?1)0 x|?xy?2x?3?1 2?x? 变式练习1求下列函数的定义域:(1);(2)1x. ?x?1?0,?x??1,(x?1)0解(2)由?得?故函数y?是{x|x<0,且x ≠?1}.x|?x?x?0,?|x|?x?0,

函数的概念及表示方法

函数的概念及表示方法 一、选择题(每小题5分,共60分) 1、 数)(x y ?=的图象与直线a x =的交点个数为( ) A 、必有1个 B 、1个或2个 C 、至多1个 D 、可能2个以上 2、 下列四组中的函数 )(x f 与)(x g ,表示相同函数的一组是( ) A 、2)()(,)(x x g x x f == B 、1)(,11)(2-=-+=x x g x x x f C 、 x x x g x x f ==)(,)(0 D 、2)(,)(x x g x x f == 3、 下列选项正确的是( ) (1)x x y -+-= 12可以表示函数 (2)521=-+-y x 可以表示函数(3)122=+y x 可以表示函数 (4)12=+y x 可以表示函数 A 、 (2)(4) B 、(1)(3) C 、(1)(2) D 、(3)(4) 4、下列关于分段函数的叙述正确的是( ) (1) 分段函数的定义域是各段定义域的并集,值域是各段值域的并集 (2)分段函数尽管在定义域不同的部分有不同的对应法则,但它们是同一个函数 (3)若21,D D 分别是分段函数的两个不同对应法则的值域,则Φ=21D D I A 、 (1) B 、(2)、(3) C 、(1)、(2) D 、(1)、(3) 5、设2:x x f →是集合A 到B 的映射,如果{}2,1=B ,那么B A I =( ) A 、 Φ B 、 {}1 C 、Φ 或{}2 D 、Φ或{}1 6、若函数)(x f 满足),)(()()(R y x y f x f y x f ∈+=+,则下列各项不恒成立 的是( ) A 、0)0(=f B 、)1(3)3(f f = C 、)1(2 1)21(f f = D 、0)()(<-x f x f 7、将x y 1=的图像变换至函数23++=x x y 的图像,需先向 平移 个单位,再向 平移 个单位( ) A 、左,2,上,1 B 、左,2,下,1 C 、右,2,上,1 D 、右,2,上,1 8、已知函数)(x f 的定义域是),(b a ,其中b>a+2,则)13()13()(+--=x f x f x f 的定义域是( )

函数的概念与表示法

函数的概念和函数的表示法 考点一:由函数的概念判断是否构成函数 函数概念:设A、B是非空的数集,如果按照某种确定的关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称 f:A→B为从集合A到集合B的一个函数。 例1. 下列从集合A到集合B的对应关系中,能确定y是x的函数的是( ) ①{x x∈Z},{y y∈Z},对应法则f:x→ 3 x; ②{xx>0∈R}, {y y∈R},对应法则f:x→2y=3x; ③, 对应法则f:x→2x; 变式1. 下列图像中,是函数图像的是( ) ①②③④ 变式2. 下列式子能确定y是x的函数的有() ①22 x y+=2 1= A、0个B、1个 C、2个 D、3个变式3.已知函数(x),则对于直线(a为常数),以下说法正确的是() A.(x)图像与直线必有一个交点(x)图像与直线没有交点 (x)图像与直线最少有一个交点(x)图像与直线最多有一个交点 变式4.对于函数y=f(x),以下说法正确的有…( ) ①y是x的函数 ②对于不同的x,y的值也不同

A .1个 B .2个 C.3个 D.4个 变式5.设集合M ={0≤x≤2},N ={0≤y≤2},那么下面的4个图形中,能表示集合M到集合N 的函数关系的有( ) A.①②③④ B .①②③ C.②③ D.② 考点二:同一函数的判定 函数的三要素:定义域、对应关系、值域。 如果两个函数的定义域相同,并且对应关系完全一致,我们就称这两个函数相等。 例2. 下列哪个函数与相同( ) ①. x ②.y = ③. 2 y = ④ ⑤.33x y =;⑥.2x y = 变式1.下列函数中哪个与函数y ) A . y = B . y =-y =- D . y x = 变式2. 下列各组函数表示相等函数的是( ) A. 29 3 x y x -=- 与 3y x =+ B. 1y = 与 1y x =- C. 0y x =(x ≠0) 与 1y =(x≠0) D. 21y x =+,x ∈Z 与21y x =-,x ∈Z 变式3. 下列各组中的两个函数是否为相同的函数?

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