六年级奥数专题-比的应用
六年级奥数专题-比的应用
比的应用（一）
专题简析:
我们已经学过比的知识,都知道比和分数、除法其实是一回事,所有比与分数能互相转化。运用这种方法解决一些实际问题可以化难为易,化繁为简。
例题1。
甲数是乙数的23 ,乙数是丙数的4
5 ,甲、乙、丙三数的比是（ ）:（ ）:（ ）。
【思路导航】甲、乙两数的比 2:3
乙、丙两数的比 4:5
甲、乙、丙三数的比 8:12:15
答:甲、乙、丙三数的比是 8:12:15。 练习1
1、 甲数是乙数的45 ,乙数是丙数的5
8 ,甲、乙、丙三数的比是（ ）:（ ）:（ ）。
2、 甲数是乙数的45 ,甲数是丙数的4
9 ,甲、乙、丙三数的比是（ ）:（ ）:（ ）。
3、 甲数是丙数的37 ,乙数是丙数的21
2 ,甲、乙、丙三数的比是（ ）:（ ）:（ ）。
例题2。
光明小学将五年级的140名学生,分成三个小组进行植树活动,已知第一小组和第二小组人数的比是2:3,第二小组和第三小组人数的比是4:5。这三个小组各有多少人？ 【思路导航】先求出三个小组人数的连比,再按求出的连比进行分配。 ①一、二两组人数的比 2:3
二、三两组人数的比 4:5 一、二、三组人数的比 8:12:15 ②总份数:8+12+15＝35
③第一组:140×8
35 ＝32（人）
④第二组:140×12
35 ＝48（人）
⑤第三组:140×15
35
＝60（人）
答:第一小组有32人,第二小组有48人,第三小组有60人。
练习2
1、 某农场把61600公亩耕地划归为粮田与棉田,它们之间的比是7:2,棉田与其他作物面积
的比6:1。每种作物各是多少公亩？
2、 黄山小学六年级的同学分三组参加植树。第一组与第二组的人数的比是5:4,第二组与第
三组人数的比是3:2。已知第一组的人数比二、三组人数的总和少15人。六年级参加植树的共有多少人？
3、 科技组与作文组人数的比是9:10,作文组与数学组人数的比是5:7。已知数学组与科技组
共有69人。数学组比作文组多多少人？
例题3。
甲、乙两校原有图书本数的比是7:5,如果甲校给乙校650本,甲、乙两校图书本数的比就是3:4。原来甲校有图书多少本？ 【思路导航】由甲、乙两校原有图书本数的比是7:5可知,原来甲校图书的本数是两校图书总
数的
77+5 ,由于甲校给了乙校650本,这时甲校的图书占两校图书总数的3
3+4
,甲校给乙校的650本图书,相当于两校图书总数的77+5 －33+4 ＝1384
。
650÷（77+5 －33+4 ）×7
7+5
＝2450（本）
答:原来甲校有图书2450本。
练习3
1、 小明读一本书,已读的和未读的页数比是1:5。如果再读30页,则已读和未读的页数之比
为3:5。这本书共有多少页？
2、 甲、乙两包糖的重量比是4:1。从甲包取出130克放入乙包后,甲、乙两包糖的重量比为
7:5。原来甲包有多少克糖？ 3、 五年级三个班举行数学竞赛。一班参加比赛的占全年级参赛总人数的1
3
,二班与三班参
加比赛人数的比是11:13,二班比三班少8人。一班有多少人参加了数学竞赛？
例题4。
从前有个农民,临死前留下遗言,要把17头牛分给三个儿子,其中大儿子分得1
2 ,二儿子分
得13 ,小儿子分得1
9 ,但不能把牛卖掉或杀掉。三个儿子按照老人的要求怎么也不好分。后来一位邻居顺利地把17头牛分完了,你知道这到底是怎么回事吗？
【思路导航】因为12 +13 +19 ＝1718 ,1718
﹤1,就是说三兄弟并未将全部牛分完,所以我们求出三
个儿子分牛头数的连比,最后再按比例分配。
① 三个儿子分牛头数的连比:12 :13 :1
9 ＝9:6:2
② 总份数:9+6+2＝17
③ 三个儿子各分得牛的头数:
17×9
17 ＝9（头）
17×6
17 ＝6（头）
17×2
17
＝2（头）
答:大儿子分得9头,二儿子分得6头,小儿子分得2头。 练习4
1、 图书室取出一批书,按照一年级得12 ,二年级得13 ,三年级得1
7 ,正好是41本,各年级各得
多少本？
2、 古罗马富豪约翰逊再临终前,对怀孕的妻子写下这样一份遗嘱:如果生下来是个男孩,就
把遗产的三分之二给儿子,母亲拿三分之一；如果生下来的是女孩就把遗产的三分之一给女儿,三分之二给母亲。结果他的妻子生了双胞胎―― 一男一女,这是他没有预料到的。求出接近于遗嘱条件,把遗产分给三个继承人的比。
（1） 从儿子、母亲、女儿所得的比例来看,他们三人所得的遗产的比是（ ）:（ ）:
（ ）。
（2） 从母亲至少得遗产的1
3 来看,儿子、母亲、女儿所得遗产的比是（ ）:（ ）:（ ）。
3、 甲、乙、丙三人共做零件900个。甲做总数的30％,乙比丙多做1
3 。三人各做多少个？
例题5。
两个相同的瓶子装满酒精溶液。一个瓶中酒精与水的体积之比是3:1,另一个瓶中酒精与水的体积之比是4:1。若把两瓶酒精溶液混合,混合液中酒精与水的体积之比是多少？
【思路导航】抓住两个瓶子相同的关系,分别求出每个瓶中的酒精占瓶子容积的几分之几再
解答。
① 一个瓶中酒精占瓶子容积的比
31+3 ＝3
4
② 另一个瓶中酒精占瓶子容积的比
41+4 ＝45
③ 两瓶子里的酒精占一个瓶子容积的比 34 +45 ＝3120
④ 水占一个瓶子容积的比
2－3120 ＝920 ⑤ 混合液中酒精与水的比 3120 :9
20
＝31:9
答:混合液中酒精与水的比是31:9。
练习5
1、 两块一样重的合金,一块合金中铜与锌的比是2:5,另一块合金中铜与锌的比是1:3。现将
两块合金合成一块,求出锌合金中铜与锌的比。
2、 将一条公路平均分给甲、乙两个工程队修筑。甲队已修的与剩下的比是2:1,乙队已修
的与剩下的比是5:2。这条公路已修了全长的几分之几？ 3、 光华电视机厂上半年生产的电视机产量占全年的5
8
,照这样的速度计算,全年可超产
1000台。这个工厂上半年生产电视机多少台？
练1
1、 4:5:8
2、 4:5:9
3、 6:35:14 练2
1、 棉田:粮田:其他＝21:6:1 21+6+1＝28
粮田:61600×21
28 ＝46200公亩
棉田:61600×6
28 ＝13200公亩
其他:61600×1
28
＝2200公亩
2、 第一、二、三组人数的比是15:12:8
15÷（12+8－15）×（15+12+8）＝105人 3、 科技组、作文组、数学组的人数的比是9:10:14 69÷（9+14）×（14－10）＝12人 练3 1、 30÷（33+5 －1
1+5 ）＝144页
2、 130÷（44+1 －77+5 ）×4
4+1
＝480克
3、 8÷（13－11）×（11+13）÷（1－13 ）×1
3
＝48人
练4
1、 一、二、三年级的比是12 : 13 : 1
7 ＝21:14:6
21+14+6＝41 一年级:41×21
41 ＝21本
二年级:41×14
41 ＝14本
三年级:41×6
41
＝6本
2、 （1）儿子:母亲＝2:1 母亲:女儿＝2:1,从儿子、母亲、女儿所得的比来看,三人所得遗产的比是4:2:1。
（2）对立遗嘱人的愿望可解释为:他要给母亲至少留下13 遗产,因此母亲应得1
3 ,余下的
2
3
按4:1分给儿子和女儿,儿子、母亲、女儿所得的比是8:5:2。 3、 甲:900×30％＝270个 1+3＝4
乙:（900－270）×4
3+4 ＝360个
丙:900－270－360＝270个
1、 把一块合金的质量看作“1”
铜一共是25+2 +11+3 ＝15
28
锌一共是2－1528 ＝41
28
新合金中铜与锌的比是1528 :41
28 ＝15:41
2、 12 ×22+1 +12 ×55+2 ＝2942
3、 1000÷（58 ×2－1）×5
8 ＝2500台
第十五周 比的应用（二）
专题简析:
比是反映数量关系的一种常见形式,也是解数学题的一种重要工具,有了它,我们处理倍数关系、解答分数应用题就方便灵活得多。在这一讲,我们讲探讨稍复杂的比是应用题。
例题1 甲、乙两个学生放学回家,甲要比乙多走15 的路,而乙走的时间比甲少1
11 ,求甲、乙两
人速度的比。
【思路导航】因为 速度＝路程÷时间,所以,甲、乙速度的比＝甲路程甲时间 :乙路程
乙时间
（1）甲、乙路程的比:（1+1
5 ）:1＝6:5
（2）甲、乙时间的比:1:（1－1
11 ）＝11:10
（3）甲、乙速度的比:611 :5
10 =12:11
答:甲、乙速度的比是12:11。 练习1
1、 小明和小芳各走一段路。小明走的路程比小芳多15 ,小芳用的时间比小明多1
8
。求小明
和小芳速度的比。27:20
2、 甲走的路程比乙多13 ,乙用的时间比甲多1
4
。求甲、乙的速度比。5:3
3、 一个人步行每小时走5千米,如果骑自行车每1千米比步行少用8分钟。这个人骑自行
车的速度和步行速度的比是多少？3:1
例题2 制造一个零件,甲需6分钟,乙需5分钟,丙需4.5分钟。现在有1590个零件的制造任
务分配给他们三个人,要求在相同的时间内完成,每人应该分配到多少个零件？
【思路导航】先求出工作效率的比,然后根据同一时间内,工作总量的比等于工作效率的比进
行解答。
甲、乙、丙工作效率的比: 16 :15 :1
4.5 ＝15:18:20
总份数:15+18+20＝53 甲 :1590×15
53 ＝450（个）
乙 :1590×18
53 ＝540（个）
丙 :1590×20
53
＝600（个）
答:甲、乙、丙分配到的零件分别是450个、540个、600个。 练习2
1、 加工一个零件,甲需3分钟,乙需3.5分钟,丙需4分钟。现在有1825个零件需要甲、乙、
丙三人加工。如果规定用同样的时间完成任务,那么各应加工多少个？700、600、525 2、 甲、乙、丙三人在同一时间里共制造940个零件。甲制造一个零件需5分钟,比乙制造
一个零件所用的时间多25％,丙制造一个零件所用的时间比甲少2
5 。甲、乙、丙各制造
了多少个零件？240、300、400
3、 加工某种零件要三道工序,专做第一、二、三道工序的工人每小时分别能完成零件48
个,32个,28个,现有118名工人,要使每天三道工序完成的零件个数相同,每道工序应安排多少工人？28、42、48
例题3 两个服装厂一个月内生产服装的数量是6:5,两厂西服价格的比是11:10。已知两厂这个月内总产值为6960万元。两厂的产值各是多少万元？ 【思路导航】因为产值＝价格×产量,所以
甲产值:乙产值＝（甲价格×甲产量）:（乙价格×乙产量） 两厂的产值比为:（11×6）:（10×5）＝66:50
甲厂产值为:6960×66
66+50 ＝3960（元）
乙厂产值为:6960×50
66+50
＝3000（元）
答:两厂的产值分别是3960万元和3000万元。
练习3
1、 甲、乙两个长方形长的比是4:5,宽的比是3:2,面积的和是242平方厘米。求甲、乙两
个长方形的面积分别是多少平方厘米？132、110
2、 苹果和梨的单价的比是6:5,王大妈买的苹果和梨的重量的比是2:3,共花去18元。王大
妈买苹果和梨各花了多少元？8、10
3、 大、小两种苹果,其单价比是5:4,重量比是2:3。把两种苹果混合,成为100千克的混合
苹果,单价为每千克4.40元。大、小两种苹果原来每千克各是多少元？5、4
▲例题4 A 、B 两种商品的价格比是7:3。如果它们的价格分别上涨70元,它们的价格比就
是7:4,这两种商品原来的价格各是多少元？ 【思路导航】
解法一:因为A 、B 两种商品涨价的数值相同,所以涨价后两种商品价格差不变。由于价格差
不变,所以价格差对应的份数也应该相同。
原价格比＝7:3＝21:9 现价格比＝7:4＝28:16
【 这样前后项的差都是12,价格涨了（28－21）＝7份,是70元】 70÷（28－21）＝10元 A:10×21＝210（元） B:10×9＝90（元）
解法二:由于两种商品的价格差不变,选两种商品的价格差做单位“1“进行解答。 （1）原来A 商品的价格是价格差的几倍 7÷（7－3）＝7
4
（2）后来A 商品的价格是价格差的几倍 7÷（7－4）＝7
3
（3）A 、B 两种商品的价格差是 70÷（73 －7
4
）＝120（元）
（4）原来A 商品的价格是
120÷（7－3）×7＝210（元） （5） 原来B 商品的价格是
120÷（7－3）×3＝90（元）
答:A 、B 两种商品原来的价格分别是210元和90元。 练习4
用两种思路解答下列应用题:
1、 甲、乙两个建筑队原有水泥重量的比是4:3。甲队给乙队54吨水泥后,甲、乙两队水泥
重量的比是3:4。原来甲队有水泥多少吨？216 2、 甲书架上的书是乙书架上的4
7
,两书架上各增加154本后,甲书架上的书是乙书架上的
5
6
,甲、乙两书架上原来各有多少本书？56、98 ▲兄弟两人,每年收入的比是4:3,每年支出的比是18:13。从年初到年底,他们都结余720元。他们每年的收入各是多少元？7200、5400
例题5 如图是甲、乙、丙三地的线路图,已知甲地到丙地的路程与乙地到丙地的路程比是1:2。王刚以每小时4千米的速度从甲地步行到丙地,李华同时以每小时10千米的速度从乙地骑自行车去丙地,他比王刚早1小时到达丙地。甲、乙两地相距多少千米？
甲 丙 乙 【思路导航】
解法一:根据路程的比和速度的比求出时间的比,从而求出王刚和李华所用的时间,再求出各
自所走的路程。
王刚和李华所用时间的比 14 :2
10
＝5:4
王刚所用的时间
1÷（5－4）×5＝5（小时）
甲地到丙地的路程 4×5＝20（千米）
甲、乙两地的路程
20×（1+2）＝60（千米）
解法二:如果李华每小时行4×2＝8千米,他将与王刚同时到达丙地。现在他每小时多行10－
8＝2千米。在王刚从甲地到丙地的这段时间内,李华比应行的路程多行了10×1＝10千米。据此,可求出王刚从甲地到丙地的时间。
王刚从甲地到丙地的时间
10 ×1÷（10－4×2）＝5（小时） 甲、乙两地的路程
4×5×（1+2）＝60（千米）
▲解法三:如果王刚每小时行10÷2＝5千米,就能和李华同时到达。由此可见,王刚走完甲地
到丙地的路程,用每小时4千米的速度和每小时5千米的速度相比,所用的时间相差
1小时。再根据1千米的路程,两种速度所用的时间相差 14 －15 ＝ 1
20
小时。最
后求出甲地到丙地的路程。
甲地到丙地的路程
1÷（14 －1
10÷2
）＝20（千米）
甲、乙两地的路程
20×（1+2）＝60（千米）
答:甲、乙两地相距60千米。
练习5
1、 一辆汽车在甲、乙两站间行驶,往返一次共用去4小时（停车时间不算在内）。汽车去
时每小时行45千米,返回时每小时行30千米。甲、乙两地相距多少千米？72
▲甲做3000个零件比乙做2400个零件多用1小时,甲、乙工作效率的比是6:5。甲、乙每小时各做多少个？乙:（3000×5
6
－2400）÷1＝100个、甲:120
2、 下图是甲、乙、丙三地的路线图。已知甲地到丙地的路程与乙地到丙地的路程的比是
2:3。一辆货车以每小时40千米的速度从甲地开往丙地,一辆客车同时以每小时50千米的速度从乙地开往丙地,客车比火车迟1小时到达丙地。求甲、乙两地的路程？500
甲 丙 乙 答案: 练1
1、 小明与小芳路程的比是（1+1
5
）:1＝6:5
小明与小芳时间的比是1:（1+1
8
）＝8:9
小明与小芳速度的比是:68 :5
9 ＝27:20
2、 甲、乙路程的比是（1+1
3
）:1＝4:3
甲、乙时间的比是1:（1+1
4 ）:1＝4:5
甲、 乙速度的比是44 :3
5
＝5:3
3、 （1）骑自行车每行1千米用的时间为:60÷5－8＝4分钟
（2）骑车与步行的速度的比是60
4 :5＝3:1
练2
1、 甲、乙、丙效率的比是13 :13.5 :1
4 ＝28:25:21
总份数:28+25+21＝73
甲应加工的个数:1825×28
73 ＝700个
乙应加工的个数:1825×25
73 ＝600个
丙应加工的个数:1825×21
73 ＝525个
2、 （1）5÷（1+25％）＝4分钟
（2）5×（1－2
5 ）＝3分钟
（3）15 :14 :1
3 ＝12:15:20
（4）12+15+20＝47 （5）甲:940×12
47 ＝240个
乙:940×15
47 ＝300个
丙:940×20
47 ＝400个
3、 （1）148 :132 :1
28
＝14:21:24
（2）14+21+24＝59
（3）第一道工序:118×14
59 ＝28名
第二道工序:118×21
59 ＝42名
第三道工序:118×24
59
＝48名
练3
1、 （1）甲、乙两个长方形面积的比是:（4×3）:（5×2）＝6:5
（2）甲、乙两个长方形的面积分别是:
甲:242×6
6+5＝132平方厘米
乙:242×5
6+5＝110平方厘米2、苹果与梨的总价比为:
（6×2）:（5×3）＝4:5
苹果:18×4
4+5＝8元
梨:18×5
4+5＝10元
3、两样苹果的总价:4.4×100＝440元
两种苹果总价的比:（5×2）:（4×3）＝5:6
大苹果的总价:440×5
5+6＝200元
大苹果的重量:100×2
2+3＝40千克大苹果的单价:200÷40＝5元
小苹果的单价:5÷5×4＝4元
练4
1、解法一:54÷（4－3）×4＝216吨
解法二:54÷（4
4+3－
3
4+3）×
4
4+3＝216吨
2、解法一:甲、乙原来的比是4:7
甲、乙后来的比是5:6＝15:18
甲书架上原有的书:154÷（15－4）×4＝56本
乙书架上原有的书:154÷（18－7）×7＝98本
解法二:由于甲、乙两个书架上本数的差没有变,因此,以甲、乙两个书架上本书的差为单位“1”来考虑。
甲、乙两个书架上相差的本数
154÷（5
6－5－
4
7－4
）＝42本
原来甲、乙两个书架上的本数
甲:42÷（7－4）×4＝56本
乙:42÷（7－4）×7＝98本
3、解法一:兄、弟二人收入的是4:3＝20:15
兄、弟二人支出的比是18:13
兄一年的收入是720÷（20－18）×20＝7200元
弟一年的收入是720÷（15－13）×15＝5400元解法二:兄弟二人的收入相差
720÷（4
4－3－
18
18－13
）＝1800元
兄、弟每年的收入各是:
兄:1800÷（4－3）×4＝7200元
弟:1800÷（4－3）×3＝5400元 练5
1、 解法一:4÷（145 +1
30
）＝72千米
解法二:45×（4×30
45+30 ）＝72千米
2、 乙:（3000×5
6
－2400）÷1＝100个
甲:100×6
5 ＝120个
3、 （1）乙地到丙地的路程
1÷（150 －1
40÷2×3 ）＝300千米
（2）甲、乙两地之间的路程 300×（1+2
3 ）＝500千米