同济六版高数(上)期中考试卷(有答案)
高等数学Ⅰ期中考试试题
班级 学号 姓名 成绩
一、选择题(每小题3分,共15分)
1. 若函数()f x 在点0x 处的极限存在，则（ ）． (A) ()f x 在0x 处的函数值存在且等于极限值 (B) ()f x 在0x 处的函数值存在，但不一定等于极限值 (C) ()f x 在0x 处的函数值未必存在 (D) 如果0()f x 存在，必等于极限值
2. 已知当0x →时，()3sin sin 3f x x x =- 与 k
c x 为等价无穷小，则（ ） (A) 1,4k c == (B) 1,4k c ==- (C) 3,4k c == (D) 3,4k c ==- 3. 若抛物线 2
y ax = 与曲线 ln y x = 相切，则 a =（ ）． (A)
12e
(B) 2e (C)
2e
(D)
e 2
4.设(),()f x g x 在[,]a b 上可导，且()()()()0f x g x f x g x ''+<，则当(,)x a b ∈时， 有不等式（ ）． (A)
()()()
()
f x
g x f a g a >
(B)
()()()
()
f x
g x f b g b >
(C) ()()()()f x g x f a g a > (D) ()()()()f x g x f b g b > 5.设 ()(1)(2)(3)f x x x x x =--- ，则方程()0f x '=的实根共有（ ）． (A) 4个 (B) 3个 (C) 2个 (D) 1个
二、填空题(每小题3分,共21分)
6. 设,a b 为常数，则 0
sin sin lim lim
sin sin 3x x ax bx bx ax x x
x x
→∞
→--+=++ .
7. 设ln y =，则微分d y = ．
8. 曲线12e 1e x x
y --+=
-的所有渐近线的方程为 ．
9. 设2e
x
y x =，则n 阶导数()
n y
= ．
10.设()x ?在x a =连续，则()||()F x x a x ?=-在x a =可导的充要条件是
11.设()f x ''存在，若3
()y f x =，则
d d y x
=；
22
d d y x =．
12.函数 2
()f x x = 在区间[,]a b 上使拉格朗日中值定理成立的ξ= ．
三、计算与证明题(第13-21题每小题6分, 第22题10分，共64分)
13.写出函数22()||(1)
x x f x x x -=
- 的间断点，并指出间断点的类型.
14. 设1p >，求函数()(1)p
p
f x x x =+-在[0,1]上的最大值与最小值.
15. 设 3
330y xy x -+=，求
22
d d y x
.
16. 求2
lim (0,0)2x x x
x a b a b →??+>> ???
．
17. 求曲线 4
3
2y x x =- 的凹凸区间和拐点．
18. 求常数a b 、的值，使函数 2122()lim
1
n n
n x ax bx
f x x
-→∞
++=+ 为连续函数.
19. 设函数()y y x =由参数方程 33
1133
1133x t t y t t ?=--????=-+??
确定，求函数()y y x =的极值.
20.设()f x 在0x =处连续，且20
()lim
31
x
x f x e
→=-，求(0)f 与(0)f '的值.
21.比较 e π 与 e π
的大小.
22.设函数()f x 对任意实数12,x x 有1212()()()f x x f x f x +=?，而且(0)1f '=，证明： （1）()f x '=()f x ； （2）()e x
f x =．
0x =，第一类中跳跃间断点； 1x =，第一类中可去间断点；
1x =-，第二类中无穷间断点；
（6分）
17: 12(1)y x
x ''=-
凹区间为(,0],[1,)-∞+∞ 凸区间为[0,1] 拐点为(0,0),(1,
1)-
(1)(1),
1f f a b +-=+= (1)(1),
1f f a b +--=--=-
0,1a b == （6分）
21:
证明 ()e ln f x x x =- 在 [e,)+∞ 上单调增加后可得： e
e π
π>
（2）由于
()e
()e ()e ()e ()e ()0
x
x x x x f x f x f x f x f x -----'
'=-+=-+=
所以 e ()x f x C -= ， ()e x f x C =
由(0)1f '=得1C =，故 ()e x
f x = （10分）